Конструктивные методы решения задач со свободными границами в проблемах криомедицины тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Одномерные краевые задачи типа Стефана в криохирургии.

§1.0 задаче Стефана.

§2. Задачи Стефана в активных средах.

§3. Метод квазилинеаризации в нелинейных краевых задачах.

§4. Задача плоскопараллельной криодеструкции биоткани.

ГЛАВА 2. Двумерные задачи криодеструкции.

§1. Локально - одномерный метод.

§2. Двумерная постановка задач типа Стефана с явным выделением границы раздела фаз.

§3. Двумерная краевая задача типа Стефана для криоинструмента в форме прямоугольной призмы.

§5. Краевая задача типа Стефана для цилиндрического криоинструмента.

§6. Краевая задача типа Стефана для конического криоинструмента.

ГЛАВА 3. Определение параметров в двумерных задачах криодеструкции биоткани.

§1. Двумерная обратная краевая задача типа Стефана в прямоугольной области.

§2. Двумерная обратная краевая задача типа Стефана для полукольца.

§3. Двумерная обратная краевая задача типа Стефана для криоинструмента формы прямоугольной призмы.

§4. Двумерная обратная краевая задача типа Стефана для криоинструмента формы треугольной призмы.

§5. Обратная краевая задача типа Стефана для инструмента цилиндрической формы.

§6. Обратная краевая задача типа Стефана для конического инструмента.

С середины XIX века [11] во многих странах начали проводиться исследования по оценке влияния на организм искусственного глубокого охлаждения (гипотермии). В 1863 году А.Вальтер в экспериментах на кроликах показал, что снижение температуры увеличивает безопасность хирургического вмешательства. В 1938 году Т.Фэй впервые использовал метод гипотермии для лечения онкологических больных. С 1949 по 1953 годы в Канаде активно разрабатывались показания к искусственной гипотермии больных, оперируемых по поводу пороков сердца. В дальнейшем этот метод нашел широкое распространение во всем мире. Суть этого метода заключается в том, что при помощи специальной аппаратуры снижают температуру тела больного, одновременно блокируя ответные реакции организма на охлаждение.

Помимо общей гипотермии, в практику вошли методики локальной гипотермии. Так, гипотермия желудка стала использоваться для остановки интенсивных кровотечений из верхних отделов пищеварительного тракта при язвенной болезни желудка и двенадцатиперстной кишки, при геморрагических гастритах, а также при тяжелых клинических формах воспаления поджелудочной железы - для снятия явлений воспаления. Местная гипотермия почки используется во время операций по пересадке почек. Разработана аппаратура, позволяющая охлаждать почку контактным способом либо путем пропускания через почечные сосуды охлажденных жидкостей. Гипотермия предстательной железы, осуществляемая разными способами, является необходимым элементом оперативного вмешательства при опухолях этой железы у мужчин.

В 1965 году в нашей стране был создан аппарат «Холод-2Ф» для искусственного охлаждения мозга. Основными составными частями этого аппарата являлись охлаждающее приспособление для головы, бактеплообменник, холодильный агрегат, насос для подачи охлаждающей жидкости, электродвигатель и электронный блок управления.

Для краниоцеребральной гипотермии у больных с тяжелой травмой черепа создан также аппарат флюидокраниотерм (О.А.Смирнов и др., 1970). В России активно разрабатываются способы гипотермии новорожденных с невротоксическими синдромами и черепно-мозговыми травмами.

В последние десятилетия XX века во всем мире получили распространение устройства локальной гипотермии для автоматического поддержания заданной температуры отдельных частей тела или органов. Охлаждение в этих устройствах обычно достигается за счет циркуляции газового или жидкого теплоносителя. Созданы аппараты для гипотермии желудка, поджелудочной железы, почек, прямой кишки и органов малого таза, предстательной железы и т.п. Аппараты - генераторы холода - обычно обеспечивают последующее согревание частей тела.

Параллельно с использованием холода в терапевтических целях, развивалась специфическая хирургическая отрасль медицины - криохирургия (от греч. «криос» - холод). В последние десятилетия в медицине как эффективный метод лечения используется гипотермия (в онкологии, нейрохирургии, гинекологии и др.) Гипотермия заключается в разрушении патологических клеток в заданном объеме биологической ткани с помощью замораживания. Криохирургический метод лечения онкологических заболеваний имеет ряд существенных преимуществ перед обычными операциями при помощи скальпеля. Однако из-за недостаточного математического обеспечения хирургическое вмешательство производится до сих пор на основе эмпирических знаний.

Разрабатываемый комплекс программ даст возможность хирургу, выбрав криоинструмент какой-либо формы, посмотреть на экране компьютера размеры и формы зон криопоражения, замораживания и охлаждения биоткани в любой момент времени после начала операции. Имеется также возможность выбора таких параметров как начальная температура криозонда, плотность ткани, коэффициенты теплообмена с внешней средой, теплопроводности, температуропроводности и т.д. Таким образом, полностью моделируется на ЭВМ реальное криовоздействие, что позволяет подобрать заранее, до начала операции, наиболее оптимальные размеры и форму криоин-струмента в зависимости от формы раковой опухоли, а также определить время криовоздействия для ее уничтожения.

Около 100 лет назад было замечено, что замораживание тканей с помощью орошения их хлорэтилом вызывает обезболивание при хирургических вмешательствах. Было показано, что живые клетки полностью замерзают при температурах около -20°С. При быстром замораживании в клетках развивается ряд процессов, ведущих к их разрушению. В 70-х годах было установлено, что для криодеструкции предпочтительно быстрое замораживание (до 50°С в минуту и медленное оттаивание со скоростью до 12°С в минуту). При этом клетки подвергаются резкому обезвоживанию, в них резко повышается концентрация электролитов, клеточные мембраны повреждаются кристалликами льда. Охлаждение ткани, кроме того, приводит к прекращению кровообращения в зоне замораживания, что также приводит к гибели клеток. Криовоздействие весьма удобно для хирургического лечения опухолей, поскольку оно позволяет полностью разрушить данный объем опухолевой или патологической ткани, как на поверхности, так и в глубине, это воздействие практически безболезненно и бескровно, очаги криодеструкции быстро заживают. Криохирургические операции стали выполнять не только с целью полного удаления опухоли, но и для облегчения состояния больного, когда опухоль, например, пищевода, неоперабельна. Основным методом криодеструкция стала в нейрохирургии для лечения труднодоступных опухолей подкорковых структур мозга.

С начала XX века криохирургическими методами заинтересовались офтальмологи. В 1914 году С.В.Романов впервые применил холод для лечения трахомы. В 1918 году Шелер использовал холод для лечения отслойки сетчатой оболочки глаза. В 1961 х оду Т.Крвавич для удаления хрусталика применил метод криоэкстракции (удаления при помощи холода). Позднее холодовые хирургические технологии стали использовать для создания спайки между инструментом (холодовым манипулятором) и опухолью сосудистой оболочки с целью удаления опухоли, для удаления внутриглазных инородных тел, кист, для создания спаек между оболочками глаза при их отслойках, для создания очагов атрофии в реснитчатом теле глаза при глаукоме, для удаления внутриглазных паразитов (цистицерка и др.), для ускорения рассасывания крови при диабетическом и травматическом ее скоплении в полостях глаза, при язвах роговицы, удалении из глаза немагнитных, инородных тел и в ряде других ситуаций. В зависимости от охлаждающего агента, степень охлаждения глазных тканей колеблется от 0 до -190°С. Разработаны способы аппликаций углекислотного снега, криообду-вания, использования различных сжиженных газов.

Специалисты по уху, горлу и носу стали использовать криозонды и криоаппликаторы для хирургических вмешательств внутри носа, глотки, гортани, трахеи, внутреннего уха. Начиная с 1964 года, криохирургия стала использоваться в урологии.

Еще более широко криохирургия стала применяться в гинекологии. Эти методики оказались наиболее удобными из-за минимальной травма-тичности и безболезненности. Разработаны предельно простые способы лечения.

Методом выбора криохирургия становится при целом ряде детских, в том числе врожденных, заболеваний.

Широкое распространение криовоздействия получили в дерматологической и косметологической практике.

В медицине также широко применяются низкие температуры при консервации и хранении биоматериалов - крови, костного мозга, отдельных органов. В отличии от консервации и хранения, цель криохирургии состоит в гибели клеток в локальном, четко ограниченном объеме биоткани, занимаемом злокачественной опухолью. Гибель клеток достигается в результате разрыва мембран образующимися при криогенном охлаждении кристаллами льда внеклеточной и внутриклеточной воды, а также осмотического разбухания при оттаивании биоткани. Криохирургический метод лечения онкологических заболеваний имеет ряд существенных преимуществ перед обычными операциями при помощи скальпеля, а именно:

1) возможность разрушать заданный объем биоткани как примыкающий к поверхности тела, так и расположенный в глубине любого органа;

2) проникновение с минимальной травматизацией ткани;

3) бескровное течение хирургических вмешательств;

4) резкое снижение вероятности возникновения метастазов;

5) быстрая заживляемость очагов криодеструкции;

6) отсутствие противопоказаний.

К основным достоинствам криохирургического метода лечения следует отнести локализацию, препятствующую миграции злокачественных клеток из разрушаемого объема, что обычно имеет место с кровотоком при хирургическом вмешательстве с помощью скальпеля. Локальные криопо-раженные участки отмирают и отторгаются биотканью, и основная задача состоит в контроле за гибелью всех злокачественных клеток в данном объеме. Однако из-за недостаточного математического обеспечения хирургическое вмешательство производится до сих пор на основе эмпирических знаний.

Очевидно, что развитие и внедрение криохирургического метода в широкую медицинскую практику во многом зависит от достоверного описания теплового процесса замораживания биоткани, сопровождающегося фазовым переходом вода-лед. По динамике изотерм криопоражения (-20°

- -50° С) и замораживания (0° - -3° С), скорости понижения температуры, времени достижения заданного или стационарного состояния (экспозиции) и другим параметрам криогенного воздействия на биоткань можно прогнозировать его результаты и одновременно получить необходимые данные для расчета различного криохирургического инструмента и оборудования. В связи с этим, наряду с экспериментальными исследованиями, весьма актуальным является математическое моделирование тепловых процессов в замораживаемой биоткани, требующее разработки эффективных методов решения задач типа Стефана, отличительной особенностью которых в криобиологии является пространственная локализация и существование предельных стационарных решений.

Локальное замораживание и разрушение биологической ткани осуществляется криозондами различной формы охлаждающей поверхности, располагаемыми на поверхности биоткани или внедряемыми в нее. С понижением температуры криозонда в ткани возникает нестационарное температурное поле. Повреждение возникает в результате фазового изменения, т.е. замораживания биоткани вблизи охлаждающей поверхности криозонда. Распространению фронта замораживания препятствуют выделяющаяся на нем теплота кристаллизации и действующие в незараженной ткани источники тепла крово- и лимфотока, метаболизма, окислительных реакций. Это приводит к реально наблюдаемой пространственной локализации теплового возмущения, а при установившемся отводе тепла и к стабилизации во времени к предельному пространственно локализованному стационарному состоянию. При конкретной температуре криозонда фронт замораживания распространяется по ткани до некоторого предельного положения. Соответствующее предельное положение изотермы криопоражения определяет максимальный размер деструкции биоткани. На динамику криопоражения влияет геометрия охлаждающей поверхности криозонда и его температура, теплофизические характеристики замороженной и не замороженной ткани, метаболическая скорость теплообразования ткани, температура крови, скорость кровотока в ткани, условия теплообмена на поверхности ткани. Решение рассматриваемых в данной работе задач дает возможность хирургу, выбрав криоинструмент какой-либо формы, посмотреть на экране компьютера размеры и формы зон криопоражения, замораживания и охлаждения биоткани в любой момент времени после начала операции. Имеется также возможность выбора таких параметров как начальная температура криозон-да, плотность ткани, коэффициенты теплообмена с внешней средой, теплопроводности и т.д. Таким образом, полностью моделируется на ЭВМ реальное криовоздействие, что позволяет подобрать заранее, до начала операции, наиболее оптимальные размеры и форму криоинструмента в зависимости от формы раковой опухоли, а также определить время криовоздействия для ее уничтожения.

Решение задач типа Стефана сопряжено со значительными трудностями в связи с их существенной нелинейностью и требует привлечения новых идей, использования всего арсенала конструктивных методов нелинейного анализа и возможностей современной вычислительной техники.

В последнее время при решении задач Стефана применяются различные приближенные аналитические методы. К таким методам следует отнести методы сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [1,20], метод интегральных уравнений [14,99], эффективность которого известна лишь в линейном случае, методы теории потенциала [111,128], метод малого параметра [72], метод Роте [86], метод нелинейных вариационных параметров [127] и др.

Однако в связи с быстрым совершенствованием вычислительной техники все большее развитие получают эффективные численные методы решения таких задач. К ним относится метод прямых и метод сеток [118], проекционно-сеточный метод [76], развитый в работах [90,118], метод декомпозиции и метод фиксированных областей [82] и др. Вообще, все существующие в настоящее время методы численного решения задач типа Стефана можно условно разбить на два класса: с явным выделением фронта и сквозного счета. Численные алгоритмы, основанные на явном выделении фронта, см. [12,47], обладают высокой точностью определения межфазной границы, но как правило весьма громоздки и для получения решения требуют больших затрат машинного времени. По этим причинам они зачастую неприемлемы для многомерных и многофазных задач. Среди методов решения задач Стефана с явным выделением фронта раздела фаз следует отметить разностный метод с ловлей фронта в узел сетки, подвергнутый достаточно полному теоретическому исследованию в работах [33,48], однако, он также мало пригоден, когда искомые функции зависят от нескольких пространственных координат. Также можно отметить работу [84], в которой предлагается новый подход к численному решению двухфазной задачи Стефана. В основу метода положена идея построения и использования адаптивной сетки. В предлагаемом подходе осуществляется автоматическое выделение фронта и перестановка расчетной сетки. Метод также учитывает кинетику фазовых превращений, что бывает важным во многих задачах.

Для математического моделирования определенного класса задач с фазовыми превращениями эффективными оказались методы, основанные на принципиально ином подходе [117]. Идея метода состоит в отказе от непосредственного поиска неизвестной фазовой границы и замене его процедурой сглаживания функции теплосодержания. Введение процедуры сглаживания позволяет получать обобщенное решение задачи Стефана с помощью экономичного алгоритма сквозного счета [34], эффективность которого особенно заметна в многомерных постановках, так как алгоритм не зависит ни от числа фазовых фронтов, ни от размерности задачи. Недостатком указанного метода является сравнительно низкая точность определения положения фазового фронта, а также чувствительность к выбору параметра сглаживания, определить значение которого априори в ряде случаев затруднительно.

Нельзя не отметить также метод динамической адаптации для численного решения нестационарных многомерных задач Стефана, предложенный в [85]. В работе рассматривается метод численного решения многофронтовых нестационарных двумерных по пространству задач Стефана с явным выделением межфазных границ в произвольных областях. В основу метода положена идея динамической адаптации расчетной сетки, выполняемой посредством перехода к произвольной нестационарной системе координат. Преобразование координат осуществляется автоматически с помощью искомого решения. Изложение метода проводится на примере решения задачи, типичной для обработки материалов концентрированными потоками энергии. Основными особенностями подобных задач являются наличие двух фазовых переходов: плавления-кристаллизации и испарения -и существенное, достигающее нескольких порядков различие между характерными размерами рассматриваемой области и зоны выделения энергии (пятно фокусировки) [156].

Выбор математической модели и алгоритма численного решения задач типа Стефана определяется типом задачи, целью исследования, стоимостью вычислений и требуемой степенью точности решения.

Седцевиной задачи Стефана для среды с фиксированными характеристиками является определение операторов, описывающих неизвестные поверхности раздела фаз. Сущность обратной задачи состоит в том, чтобы по заданным поверхностям (или некоторой части их) определить порождающие их величины (или некоторую их часть). Обратная задача Стефана является некорректной задачей. В квазистационарном случае, например, она сводится к смешанной эллиптической задаче в одной фазе и к эллиптической же задаче с данными Коши на свободной границе - в другой фазе. Так мы приходим к «оптимизационной» постановке [57] с тепловым потоком (или температурой) в качестве «управления». В реальных условиях этот поток определяется скоростью V , которая и выступает как числовой параметр «управления» [58]. Несколько лет спустя в работе [114] была рассмотрена задача об оптимальном управлении в нестационарной однофазной задаче, когда уклонение измеряется нормой в Ь2(Ц>, а роль управления играет температура на заданной части границы.

Постановка обратной задачи восходит к работе Стефана [163], в которой рассматривается также решение вида бегущей волны для полупространства. Следующими по времени были, по-видимому, работы [88], [89], посвященные также одномерным постановкам. В работе [53] исследуется одномерная квазилинейная обратная задача, когда известной считается не свободная граница, а температура на заданной кривой. Представляют теоретический и, возможно, практический интерес задачи типа Стефана при всевозможных сочетаниях в различных фазах уравнений эллиптического, параболического и гиперболических типов.

В [29] описывается определение теплофизических параметров для одномерной стационарной задачи криодеструкции биоткани.

1. Определение параметров м>0 и Д

Рассматривается одна из возможных двухпараметрических аппроксимаций функциональной зависимости источников тепла от температуры считая, что последние имеют компактный носитель хирр ч>(Т) =[Тп, Т]. Вне интервала [Тп, Т] источники равны нулю, а внутри этого интервала они сначала возрастают от нуля до некоторого максимального значения при

Полученное точное аналитическое решение стационарной задачи Стефана позволяет определить параметры м>о я /3 функциональной зависимости (1) по дополнительной экспериментальной информации о процессе

О)

Т=Т , а затем убывают к нулю при Т= Т. криодеструкции биоткани. Рассмотрены возможные здесь подходы.

Если измерен поток тепла с поверхности биоткани ()(Т), например, по мощности криоустановки или по измеренной температуре Г(от^а/Т-'Га)), а также поток тепла в замороженную биоткань <2 '=(2(ТЛ т0 Для м'о и Р получается система уравнений, которая легко разрешается:

1+рУ2г{г) {т-гЪо2(т)-оЧт-))

2 л(т-тТ' (Г-ЯЬУ) '

Величины м'о к Р можно найти по измеренным значениям г , и гь

Рассматриваются также два частных случая О и ¡5=1 , когда определению подлежит только постоянная м>0. При (5^0 она может быть определена по измеренному отводу тепла с поверхности биоткани У=()(Т):

ОЧт) л(т* -тл)+2л(т-т*) '

Аппроксимация (1) с ¡5=1 не позволяет описать пространственную локализацию - гь=оо . Она обобщает используемую в литературе зависимость источников тепла от температуры: гч = {0, Т<Т\ ж0г(1-г/г} Т>Т\ = сьтъ

Здесь можно не привлекая экспериментальные данные определить м>0 через измеренный поток ()(Т) :

2. Рассмотрен также случай функциональной зависимости источников тепла от температуры, близкой к зависимости (2):

Ат)={ - Т<Г'

Цг(1-г/г)ь2£, Т>Т\ у*,=сьть, е« 1

Показана асимптотика для 2ъ и г при в«1.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию одномерных и двумерных прямых и обратных задач типа Стефана для нелинейных уравнений, возникающих при математическом моделировании проблем криохирургии, определению параметров в этих моделях, разработке конструктивных методов решения таких задач с доведением до алгоритмов и программ, расчетов на ЭВМ. Основной упор в работе делается на двумерные задачи типа Стефана.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

1. Андреева Т.А., Березовский A.A., Ивахненкова В.В. Задачи со свободной границей для одномерного нелинейного эволюционного уравнения // Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах - Киев, «Нау-кова думка», Ин-т математики, 1991г.- С.12-15.

2. Арсенин В.Я. Краевые задачи математической физики и специальные функции М.: Наука, 1984 - 384с.

3. Базалий Б.В., Дегтярев С.П. Классическая разрешимость нестационарной задачи Стефана с конвекцией. ДАН СССР, 1986, т.286, №6.

4. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. О двухфазной стационарной задаче Стефана. В кн.: Мат. физика. - Киев: Наукова думка, 1974, вып. 16, с. 52-61.

5. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об одной смешанной задаче со свободной границей для уравнения Лапласа. ДАН СССР, 1973, т. 209, №2, с. 320323.

6. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об одной стационарной задаче Стефана. -Докл. АН УССР. Сер. А, 1974, №1, с. 5-8.

7. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об одной тепло физической квазистационарной задаче со свободной границей. В кн.: Краевые задачи теплопроводности. - Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1975, с. 45-56.

8. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об одном классе нелинейных задач со свободной границей. В кн.: Тр. Всесоюзн. конф. по уравнениям с частными производными. -М.: Изд-во МГУ, 1978, с. 264-265.

9. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об одном обобщении стационарной задачи Стефана. — В кн.: Мат. физика. Киев: Наукова думка, 1975, вып. 27, с. 65-80.

10. Бакирова О.И. О некоторых методах решения задачи Стефана. Дифференциальные уравнения. 1983, т.19, Т 3, с. 491-500.

11. Баранов А.Ю., Кидалов В.Н. Лечение холодом (Криомедицина). СПб.: Атон, 1999, 272 с.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975, - 631с.З

13. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1986,- 183 с. 4

14. Березовская JIM., Березовский A.A., Жураев К,О. Основные уравнения осесимметричной гипотермии и криодеструкции биоткани Киев, 1990, С.1-8 - (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 90.27).

15. Березовский A.A. Двумерные математические модели крио деструкции биоткани //Матем. моделирование физ. процессов. Киев. Ин-т математики АН УССР, 1989.-С.14-38.

16. Березовский A.A. Классические и специальные постановки задач Стефана Киев, 1988 - С.З-20.(Препр./АН УССР, Ин-т математики 88.49).

17. Березовский A.A. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики: Части I и II Киев: Наукова думка, 1976.

18. Березовский A.A. Математическая модель плоской криодеструкции биоткани Киев, 1984 - 30с. - (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 84.50).

19. Березовский A.A. Одномерная локальная задача Стефана плоскопараллельной криодеструкции биологической ткани //Задачи теплопроводности с подвижными границами. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985 -С.3-8.

20. Березовский A.A. Одномерные математические модели криодеструкции биологической ткани //Диф. ур-я с частными производными в прикладных задачах Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986.-С.З

21. Березовский A.A. Пространственная локализация криовоздействия на биологические ткани. Киев, 1987 - С.3-14. (Препр./АН УССР Ин-т математики; 87.60).

22. Березовский A.A., Жураев К.О. Сферически-симметричные задачи типа Стефана в проблемах гипотермии //Асимптотические методы и их приложения в задачах математической физики. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990 - С.4-8.

23. Березовский A.A., Жураев К.О., Юртин И.И. Нестационарные задачи сферически-симметричной гипотермии биоткани. Киев, 1990. С.9-20 (Препр. АН УССР. Ин-т математики; 90.27).

24. Березовский A.A., Кудаева Ф.Х. Задачи сферически-симметричной гипотермии и криодеструкции биоткани// Краевые задачи математической физики. Киев: Институт математики АН Украины, 1992. - С.

25. Березовский A.A., Кудаева Ф.Х. Канонический вид задач со свободными границами в проблемах гипотермии и криодеструкции биоткани //Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений Киев, Ин-т математики АН Украины, 1992. - С.23-31.

26. Березовский A.A., Кудаева Ф.Х. Осесимметричные задачи Стефана в проблемах криодеструкции биоткани. //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения Киев, Ин-т математики АН Украины, 1992. - С.20-23.

27. Березовский A.A., Леонтьев Ю.В. Математическое прогнозирование криовоздействия на биологические ткани//Журн. Криобиология,- Киев: Наукова думка, №3, 1989.-С.7-13.

28. Березовский A.A., Плотницкий Т.А. Математическое прогнозирование криовоздействия на биоткани //Всесоюзн. конф. «Механизмы криопов-реждения и криозащиты биологических объектов.» Тез. докладов. - т.1. Харьков, 1984. - 249с.

29. Березовский A.A., Плотницкий Т.А., Андреева Т.А. Задачи Стефана в проблемах криовоздействия на биоткани. Киев, 1988. - С.3-64 - (Препр. /АН УССР Ин-т математики; 88.71).

30. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики М.: Наука, 1982. -295с.

31. Бородин М.А. О классической разрешимости двухфазной нестационарной задачи Стефана. УМН, 1983, т. 38, вып. 5, с. 152.

32. Бородин М.А. О разрешимости двухфазной нестационарной задачи Стефана. ДАН СССР, 1982, т. 263, №5, с. 1040-1042.

33. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана. В сб. «Численные методы в газовой динамике.» Вып. IV. М., Изд-во МГУ, 1965, 139-183.

34. Будак Б.М., Соловьева E.H., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана. ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, Т 5, с. 828-840.

35. Буздов А.К., Буздов Б.К. Моделирование криодеструкции биологической ткани. Международная научно-практическая конференция ELBRUS-97 «Новые информационные технологии и их региональное развитие», Тезисы докладов. - Нальчик, 1998, с. 117-118.

36. Буздов А.К., Буздов Б.К. Об одной задаче типа Стефана для уравнения теплопроводности в цилиндрической системе координат. Вестник Кабардино-Балкарского госуниверситета. Серия физико-математические науки. Выпуск 1. - Нальчик, 1996, с. 35-37.

37. Буздов А.К., Буздов Б.К. Прямые и обратные задачи в проблемах криохирургии. Материалы международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий». - Москва-Сочи, 1999.

38. Буздов А.К. О нелокальной обратной краевой задаче для гиперболического уравнения. Нелокальные задачи для уравнений в частных производных. Межвузовский сборник научных трудов. - Нальчик, 1986.

39. Буздов А.К. Определение параметров в математических моделях криохирургии. Материалы международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий». - Москва-Сочи, 2000.

40. Буздов Б.К. Локально-одномерная схема для одной задачи криохирургии. // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев, Институт математики, 1994, стр. 39-41.

41. Буздов Б.К. О сходимости метода квазилинеаризации в нелинейных краевых задачах. В сб. «Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.» Киев, Институт математики АН Украины, 1993.

42. Буздов Б.К. Решение одной задачи криохирургии методом сглаживания. В сб. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев, институт математики HAH Украины, 1994 г.

43. Буздов Б.К. Численно-аналитические методы решения двумерных задач типа Стефана в криомедицине. Дис. канд. физ.-мат. наук. - Киев, 1995.

44. Вабищевич П.Н., Вабищевич Т.Н. Об одном методе численного решения задачи Стефана. Вестник МГУ, серия 16, Вычислительная математика и кибернетика, 1983, Т 4, с. 17-22.

45. Васильев Ф.П. Разностный метод решения задач типа Стефана для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1964, 157, Т 6, 1280-1283.

46. Вейник А.И. Теория затвердевания отливки. М.: Машгиз, 1960.

47. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.- 510с.

48. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, М., Наука, 1976. -512с.

49. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы М.: Наука, 1971. -439с.

50. Гольдман H.JI. Об одном классе нелинейных обратных задач с неизвестной границей. Дифференциальные уравнения, 1983, вып. 19, №4, с. 608-617.

51. Данилюк И.И. О задаче Стефана //Успехи математ. наук. 1985 - 40, вып. 5 (245) - С.133-185.

52. Данилюк И.И. Об интегральных функционалах с переменной областью интегрирования. Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1972, т. 118, с. 1-112.

53. Данилюк И.И., Кашкаха В.Е. Об одной нелинейной системе Ритца. -Докл. АН УССР. Сер. А, 1973, №10, с. 870-874.

54. Данилюк И.И., Миненко A.C. Об одной оптимизационной задаче со свободной границей. Докл. АН УССР. Сер. А, 1976, №5, с. 389-392.

55. Данилюк И.И., Олейник М.В. Об управлении неизвестной границей в двухфазной квазистационарной задаче Стефана. Докл. АН УССР. Сер. А, 1983, №4, с. 8-13.

56. Дегтярев С.П. Классическая разрешимость одной квазистационарной задачи Стефана при наличии конвекции. . Докл. АН УССР. Сер. А, 1985, №9.

57. Жерновой Ю.В. О решении обратной задачи Стефана в случае осесим-метричного температурного поля. Нестационарные задачи Стефана. Препринт 88.49. - Киев, ИМ АН УССР, 1988, с. 35-40.

58. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа //Успехи математ. наук 1962. - 17, №1. - С.3-146.

59. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка //Успехи матем. наук, т.42, вып.2(254) 1987, С. 136-176.

60. Калашников A.C. О некоторых нелинейных системах, описывающих динамику конкурирующих биологических видов //Матем. сборник, М., 1987. - С.11-23.

61. Калиткин H.H. Численные методы. М., Наука, 1978.

62. Каменомостская СЛ. О задаче Стефана. Мат. сб., 1961, т. 53, (95), №4, с. 488-514.

63. Канторович Л.В., Акилов В.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах , Физматгиз, 1959,- 744с.

64. Карелоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964, 487 с.

65. Кашкаха В.Е. Вариационный метод исследования некоторых нелинейных задач со свободной границей. Дис. канд. физ.-мат. наук. - Донецк, 1974.

66. Кашкаха В.Е., Данилюк И.И. Об одной нелинейной пространственной задаче со свободной границей. Докл. АН УССР. Сер. А, 1973, №2, с. 119-123.

67. Кершнер P.O. О некоторых свойствах обобщенных решений квазилинейных вырождающихся параболических уравнений.

68. Коздоба JI.A. Методы решения задач затвердевания (обзор). Физика и химия обработки материалов, 1973, №2, с. 41-59.

69. Коздоба J1.A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975,228 с.

70. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989, - 496с.

71. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. Труды Московского Математического общества, т. 16, 1967 г.

72. Курант Р. Уравнения с частными производными М.: Мир, 1964. - 612с.

73. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1-2, М. - Л.: Гостехиздат, 1951. - 544с.

74. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1973. -407с.

75. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

76. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и нелинейные уравнения параболическог типа. М.: Наука, 1967 - 736с.

77. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Краевая задача для линейных и квазилинейных параболических уравнений . Докл. АН СССР, 1961, 139, 544547.

78. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. М.: Наука, 1971,- 288с.

79. Лионе Ж.-С. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М.: Мир, 1972. 736с.

80. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука, 1975.

81. Мажукин В.И., Повещенко Ю.А., Попов С.Б., Попов Ю.П. Об однородных решениях задачи Стефана. Препринт Института прикладной математики им.М.В.Келдыша АН СССР, 1985, Т 122, 23 с.

82. Мажукин В.И., Самарский A.A., Чуйко М.М. Метод динамической адаптации для численного решения нестационарных многомерных задач Стефана. ДАН, 1999, т. 368, №3, с. 307-310.

83. Малов Ю.И., Мартинсон JI.K. Алгоритмы приближенных решений краевых задач для систем квазилинейных уравнений. М.: МГТУ, 1991,- 32с.

84. Мартинсон JI.K. О конечной скорости распространения тепловых возмущений в средах с постоянным коэффициентом теплопроводности //Журн. Вычис.математики и мат. физики. М.: 1976,- 16, №5,- С.1233-1241.

85. Мартынов Г.А. О распространении тепла в двухфазной среде при заданном законе движения границы фаз. ЖТФ, 1955, т. 25, №10, с.1754-1767.

86. Мартынов Г.А. О решении обратной задачи Стефана для полупространства при линейном законе движения границы. ДАН СССР, 1956, т. 109, №2, с.279.

87. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-416с.

88. Мейрманов A.M. О классической разрешимости многомерной задачи Стефана. ДАН СССР, 1979, т. 249, №6, с. 1309-1312.

89. Мейрманов A.M. О классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений. Мат. сб., 1980, т. 112 (154), №2 (6), с. 170-192.

90. Миненко A.C. Об одной теплофизической задаче со свободной границей. Дис. канд. физ.-мат. наук. - Донецк, 1979.

91. Митропольский Ю.А., Березовский A.A. Задачи Стефана в криохирургии //Всесоюзная конференция по нелинейным проблемам и математической физике, Тернополь, 10-12 сентября 1989: Тезисы докладов. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989 - C.287-2S8.

92. Митропольский Ю.А., Березовский A.A. Задачи Стефана в металлургии, криохирургии и физике моря. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989. -42с.

93. Митропольский Ю.А., Березовский A.A. Задачи Стефана с предельным стационарным состоянием в спецэлектрометаллургии, криохирургии и физике моря.//Мат.физика и нелинейная механика. Киев, Наукова думка, 1987. -вып.7. - С.50-60.

94. Митропольский Ю.А., Березовский A.A. Математическое прогнозирование в криохирургии //Наука в Сибири. 1985 - №46. - С.5.

95. Митропольский Ю.А., Березовский A.A., Плотницкий Т.А. Задачи со свободными границами для нелинейного эволюционного уравнения //Укр.мат.журн. 1992. - т. , №1. - С.

96. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Наука, 1983. 391с.

97. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: "Высшая школа", 1995.

98. Ниренберг JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу. -М.: Мир, 1977, с. 1-232.

99. Олейник O.A. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. Изв. АН СССР, Сер. Мат., 1961, т. 25, с. 3-20.

100. Олейник O.A. О задаче Стефана //Первая летняя математическая школа. т.2. Киев: Наукова думка. - 1964. - С. 183-203.

101. Олейник O.A. О некоторых нелинейных задачах теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первая матеметическая школа. - Киев: Наукова думка, 1964, с. 117-255.

102. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана. -ДАН СССР, 1960, т. 135, №5, с. 1054-1057.

103. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана. Докл. АН СССР, 1960, 135, Т 5, 1054-1057.

104. Олейник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. УМН, 1957, т. 12, вып. 3, с. 3-73.

105. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу Юй-Линь Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестандартной фильтрации //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958 - 22, №5 - С.667-704.

106. Петрова А.Г. Монотонность свободной границы в двухфазной задаче Стефана //Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984, №67. С.97-99.

107. Петровский И.Г Лекции об уравнениях с частными производный. М.: Физматгиз, 196,- 303с.

108. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига, Звайгзне, 1967. - 457с.

109. Рыкалин H.H., Углов A.A., Зуев И.В., Кокора А.Н. Лазерная и электронно-лучевая обработка материалов: Справочник. М.: Машиностроение, 1985. 495 с.

110. Сабинина Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений //Доклады АН СССР 1962. - 143, №4. - С.794- 797.

111. Саге К. Оптимальное управление системами со свободными границами при помощи вариационных неравенств. В кн.: Вычислительные методы в прикладной математике. - Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1982, с. 72-86.

112. Самарский A.A. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках. ЖВМ и МФ, 1963, т.З, №3, 431-466.

113. Самарский A.A. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области. ЖВМ и МФ, 1962, т.2, №5, 787-811.

114. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. ЖВМ и МФ, 1965, т.5, №5, с. 816-827.

115. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978. 589с.

116. Соболев C.JI. Лекции по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1966. - 433с.

117. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М,- Л., ГИТЛ, 1950. - 424с.

118. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736с.

119. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 202с.

120. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. ИЛ, М., 1957. -412с.

121. Фельгенхауэр У. Исследование некоторых многомерных задач Стефана. Дис. канд. физ.-мат. наук. - Донецк, 1981.

122. Фельгенхауэр У. О разрешимости однофазной квазилинейной задачи Стефана. Докл. АН УССР, сер. А, 1982, №5, с. 24-27.

123. Фельгенхауэр У. Об одной однофазной нестационарной задаче Стефана. Докл. АН УССР, сер. А, 1981, №1, с. 30-32.

124. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. - 536с.

125. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 427с.

126. Чжоу Юн-Линь. Краевые задачи для нелинейных параболических уравнений //Мат.сборник. 1959 - 47(89) - С.431-484.

127. Шаповаленко В.В. Минимизация функционала с переменной областью интегрирования в трехмерном случае. В кн.: Теория оптимальных процессов. - Изд-во Ж АН УССР, 1977, с. 25-30.

128. Шаповаленко В.В. Расчет температурного поля и фронта кристаллизации полого цилиндрического слитка. Мат. физика, 1977, вып. 22, с. 98102.

129. Шхануков М.Х. О сходимости одной конечно-разностной схемы. ЖВМ и МФ, 1969, 9, №3,712-714.

130. Albasiny E.L. Proc. Jast. Electr. Enqm. 103, Suppl., 1956, №1, p.158-164.

131. Amann H. Invariant sets and ekistence thtrems for semi linear parabolic and elliptic systems //J. Math. Anal. Appl. - 1978. - N65. p.432-467.

132. Arouns D.G. The porous medium equation, Nonlinear Diffusion Problems (A.Fasano and M.Primicerio,ed.) vol.1224, Springer Verlag, Berlin. 1986, -p.1-46.

133. Baiocchi C. Sur une problème â frontière libre traduisant le filtrage de liquides à traverse des milieux. C.R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1971, v.273, p.1215-1217.

134. Brillouin M. Sur quelques problèmes nonrésoloues de la physique mathématique classique. Propagation de la fusion. Ann. de l'Inst. H. Poincare, 1931, v.l, p. 285-308.

135. Caffarelli L.A. The reqularity of elliptic and parabolic free boundaries. -Bui. A. M. S., 1976, v. 82, p. 616-618.

136. Caffarelli L.A. The reqularity of free boundaries in higher dimentions. -Acta Math., 1977, v. 139, №3-4, p. 155-184.

137. Caffarelli L.A. The smoothness of the free surface m a filtration problem. -Arch. Rat. Mech. and Anal., 1976, v. 63, p. 77-86.

138. Daniljuk I.I. On integral functionals with a variable domain of integration. -Providence, Amer. Math. Soc., 1976, p. 1-144.

139. Duvant M.G. Résolution d'un problème de Stefan (Fusion d'un bloc de glace a zéro degré). C. R. Acad. Sc., Paris, ser. A, v. 276, p. 1461-1463.

140. Duvant M.G. Solution of two phases Stefan problem by variational inequality. In: Proc. of the Symp. on moving boundary problems. - Oxford, mars 1974, p. 25-27.

141. Duvant M.G. Two phases Stefan problem with varying specific heat coefficients. An. Acad. Brasil. Cience, 1975, v. 47, №3/4, p. 377-380.

142. Ei-Ichi Hanzawa. Classical solutions of the Stefan problem. Tohoku Math. J., 1981, v. 33, p. 297-335.

143. Friedman A. Free boundary problems for parabolic equations, Evaporation or condensation of a liquid drop //Math, and Mech. 1960. - v.9, N1. - p.I960.

144. Friedman A. Free boundary problems for parabolic equations, J.Melting of Solids //Math, and Mech. 1959. - v.8, N4. - p.499- 518.

145. Friedman A., Kinderlehrer D. A one phase Stefan problem. Indiana Univ. Math. J., 1975, v. 25, №11, p. 1005-1035.

146. Gilding B.H. and Kersner R. Instantaneous shrinking in nonlinear diffusion -convection //Proceedings of the (American math, society) v. 109, N2, 1990 -p.385-394.

147. Ichikewa K. A one-phase multidimentional Stefan problem by the method of variational inequalities. Internat. J. Numer. Meth. J. in Eng., 1979, v. 14, p. 1197-1220.

148. Ichikewa K. A one-phase multidimentional Stefan problem by the method of variational inequalities. Internat. J. Numer. Meth. J. in Eng., 1979, v. 14, p. 1221-1240.

149. Kerscher R. Localization conditions for thermal perturbations in a senibounded moving medium with absorptions, Moscow Univ, Math., Bull. 31(1976),-p.90-95.

150. Kinderlehrer D., Nirenberg L. The smoothness of the free boundary in the one phase Stefan problem. Comen. Pure and Appl. Math., 1978, v. 31, №3, p. 257-282.

151. Lame G., Clapeiron B. P. Mémoire sur la solidification par refroidissement d'un globe solid. Ann. de Chem. et de Phys. 1831, t. 47, p. 250-256.

152. Mazhukin V.l., Samarskii A.A. // Serv. Math. Industry. 1994. V.4. №1. P. 85-149.

153. Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations. Proc. Nat. Acad. Sei. USA 1961, v. 47, p. 1824-1831. (Рус. пер.: Математика, 1962, т. 6, №4.)

154. Nash J. The imbedding problem for Riemannian manifolds. Ann. of Math; 1956, v. 63, p. 20-63. (Рус. пер.: УМН, 1971, т.26, вып. 4.)

155. Nitsche J.A. A finite element method for parabolic free boundary problems. Free boundary problems, Roma, 1980, p. 277-318.

156. Sattinger D.H. Monotone Methods in Nonlinear Elliptic and Parabolic Equations //Indiana Univ. Math. J. 1972. N21. - p.979- 1000.

157. Stefan J. Über die Diffusion von Säuren und Basen gegen einander. S. В. Wien. Akad. Mat. Nato., 1889, Bd. 98, S. 614-634.

158. Stefan J. Über die Theorie Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung in Polarmeere. S. B. Wien. Akad. Math. Natur., 1889, Bd. 98, S. 965-983.

159. Stefan J. Über die Verdampfung und die Auflösung als Vorgänge der Diffusion. S. B. Wien. Akad. Mat. Natur., 1889, Bd. 98, S. 1418-1442.

160. Stefan J. Über einige Probleme der Theorie der Theorie der Wärmeleitung. -S. B. Wien. Akad. Mat. Natur., 1889, B. 98, S. 473-484.

161. Weber H. Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physic. Bd. 2, 6-te Aufl., Braunschweig, 1919.