Конструктивные методы решения краевых задач со свободными границами для нелинейных уравнений параболического типа

Догучаева, Светлана Магомедовна

Конструктивные методы решения краевых задач со свободными границами для нелинейных уравнений параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Догучаева, Светлана Магомедовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нальчик МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Конструктивные методы решения краевых задач со свободными границами для нелинейных уравнений параболического типа»

Автореферат диссертации на тему "Конструктивные методы решения краевых задач со свободными границами для нелинейных уравнений параболического типа"

РГБ ЛАч

правах рук

\ 7 еда

Догучаева Светлана Магомедовна

Конструктивные методы решения краевых задач со свободными границами для нелинейных уравнений параболического типа

Специальность 01.01.03 - Математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нальчик -

2000

Работа выполнена в Кабардино-Балкарском государственном университете им. Х.М. Бербекова и Институте математики HAH Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Березовский А.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Шогенов В.Х. кандидат физико-математических наук, доцент Бечелова А.Р.

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

Прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН

Защита состоится 28 декабря 2000г. в 1022 часов на заседании специализированного Совета К063.88.06 при Кабардино-Балкарском государственном университете по адресу:

360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КБГУ.

Автореферат разослан 27 ноября 2000г.

Ученый секретарь ДС К063.88.06 к.ф.-м.н Кайгермазов A.A.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При исследовании нелинейных краевых задач, описывающих процессы загрязнения и рекреации среды, отражающих наряду с диффузией адсорбцию и химические реакции, особый интерес представляют задачи типа Стефана со свободной границей и источниками, существенно зависящими от искомого поля концентрации. В теоретическом плане для подобных задач остаются актуальными вопросы существования, единственности, стабилизации и пространственной локализации решений. В практическом плане - особенно важным представляется разработка эффективных численно-аналитических методов их решения.

Разработка эффективных методов приближенного решения задач указанного класса позволяет установить функциональные зависимости основных параметров процесса от входных данных, дающие возможность рассчитывать и прогнозировать эволюцию рассматриваемого процесса.

Среди работ, в которых рассматриваются вопросы разрешимости задач типа Стефана со свободной границей, следует отметить работы A.A. Самарского, O.A. Олейник, С.А. Каменомосткой, Л.И. Рубенштейна и др.

Цель работы. Целью данной диссертации является исследование задач со свободными границами в новой постановке, моделирующей процессы переноса и диффузии с учетом реакции загрязняющих субстанций в проблемах охраны окружающей среды; их качественному исследованию и, главным образом, разработке конструктивных методов построения приближенных решений поставленных задач.

Общие методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода Биркгофа разделения переменных, метода нелинейных интегральных уравнений, метода Роте, а также метода эквивалентной линеаризации

Научная новизна и практическая ценность. Исследуемые в диссертации постановки задач типа задачи Стефана рассматриваются впервые. Для данного класса задач получены следующие, выносимые на защиту, основные результаты:

1. Исследованы качественно новые эффекты пространственно- временной локализации

2. Установлены необходимые условия пространственной локализации и стабилизации к предельным стационарным состояниям,

3. Доказана теорема о единственности решения задачи со свободной границей в случае условий Дирихле на известной поверхности.

4. Получены, методом разделения переменных, точные пространственно локализованные семейства частных решений вырождающихся квазилинейных параболических уравнений.

5. Разработаны эффективные методы приближенного решения одномерных стационарных задач со свободными границами на основе применения метода Роте в сочетании с методом нелинейных интегральных уравнений.

6. Получены точные пространственно локализованные решения стационарных задач диффузии с реакцией.

Результаты диссертационной работы могут быть применены при постановке и решении различных проблем современного естествознания, в частности металлургии и криомедицины, и представляются весьма эффективными методами при прогнозировании, например, воздушной среды.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре отдела математической физики и теории нелинейных колебаний Института математики HAH Украины и кафедры математической физики Киевского университета имени Тараса Шевченко, на Международной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" (август 1997 г.Нальчик), на семинаре математического факультета Кабардино-Балкарского государственного университета по математической физике и вычислительной математике.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 5 работ самого автора, 2 работы опубликованы в ведущих профильных изданиях, 8 работ - в сборниках научных трудов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы содержащего 82 наименования. Объем работы состав-

ляет 96 стр, набранных в среде Microsoft Office 97(стиль Times Roman).

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель исследований, дан краткий обзор и анализ современного состояния проблем, которые изучаются в диссертации, и проводится аннотация полученных результатов.

с, = div(K(p ,t,c)gradc)~ div{cu)— f(c) + w в Q(i), t > 0, сИ = с0ЫвП(0)

(K(p,t,c)-grad(c,n))+ac - accp на S(t), (1)

c(p,t) = 0, (K(p,t,c) • grad(c,n)) = 0 на T(i),

где K(p,t,c) - тензор турбулентной диффузии; и - вектор скорости среды, c(p,t) - концентрация среды.

Значительное внимание в первой главе уделено постановкам начально-краевых задач для поверхностей уровня концентрации в случае направленных процессов диффузии, когда имеет место взаимно-однозначное соответствие между концентрацией и одной из пространственных координат. Монотонная зависимость с = с(х,у, z,t) от z позволяет трансформировать дифференциальное уравнение, начальное и краевые условия задачи для поля концентраций в дифференциальное уравнение и соответствующие дополнительные условия для поля ее поверхностей уровня z = z(x,y,c,t) .Это достигается при помощи дифференцирования обратных функций, разрешения уравнения известной поверхности S : <$>(x,y,z,t) = 0 функций, разрешения уравнения известной поверхности S : у, z, t) = 0 —» z = zs (x, y, t) и обратного про-

чтения тождества с(х,у,г5^)=с(х,у^). Дифференциальное уравнение (1) относительно С при этом преобразуется в уравнение для г — Аг — г, - /(с)гс ,

Ы2

где Аг = Ут(К-Угг)-

у,=у-кд

К-

Уг = гх1 +г у]+к,

дг

При переходе от независимых переменных х,у,г к независимым переменным х,у,с физическая область трансформируется в нефизическую область ограниченную частью

плоскости с=О, в которую переходит свободная поверхность Г, и свободной в общем случае неизвестной поверхностью с=с(х,у,1) ,в которую переходит известная поверхность 5(1).

В отличие от оператора сИу^гас1с• прямой задачи оператор Л обратной задачи существенно нелинейный. В диссертации доказана положительность соответствующей оператору А квадратичной

формы +т]2 +у£2 -2а^ — 2/Зт]^ и тем самым установлена его эллиптичность, что позволяет рассматривать для него задачи в данной постановке. Интегрированием по частям получен аналог первой формулы Грина для оператора А

с{х,у,1) с(0

ао.

jjdxdy |и Azdc-

¿) О О

Д.

Я|

иК

(V*)2

(х V Л

1 * 7

Рассмотрена задача со свободной границей для поля концентраций с = с(х, у, 1,1), когда на поверхности £(£) задано условие Дирихле

diviK.grайс) - с, = /(с) - ц>, Ре * > О с(Р,0) = со(Р), РеЙ(0),

c = <p(p,t), PeS(t), t>0 (2)

с = 0, K— = 0, PeY(t), t> О ôn

В этом случае переход относительно поверхности уровня z = z(x,y,c,î) позволил избавиться от свободной поверхности с = с(х, y,t), так как она полностью определяется условием Дирихле c(x,y,0 = <p(x,y,zs(X y)t),t). В результате получена следующая начально - краевая задача для сильно нелинейного параболического оператора А - — в изменяющейся во времени, но уже из-dt

вестной области: Qc(i) :

Az = z, - (/(с) -w(z)]zc x,yeD(t), 0<с <c(x,y,t), t> О, z(x,y,c,0) = Zq (x,y,c), x,ye D{t), (3)

z(x,y,c,t) = zs(x,y,c,t), c = c(x,y,t), x,y e D(t), t> 0, zc(x,y,0,0 = -°°, x,yeD(t), t> 0,

Здесь же исследуется вопрос о единственности решения зада-чи(3).

Имеет место следующая теорема

Теорема 1. Если функция источников W = COïlSt, функция стоков f(c) монотонно возрастает и /(о) = 0, то решение задачи Дирихле (2) для поверхностей уровня положительно и единственно.

нечной скорости распространения, пространственной локализации и стабилизации за конечное время (рекреации) загрязняющих веществ. В работе установлено, что перечисленные эффекты можно описать с помощью предложенных моделей, если существует несобственный интеграл

С W 1

¡K(w)[lK(v)f(v)dv]~2dw< оо (4)

о о

Рассмотрена соответствующая (1) нелокальная начально-краевая задача с й — О

ffед^ 1 Ac), o<z«»,t>o,

oz\ oz) at c(z,0) = 0, 0 < z < то, /00 / \\\ct+f{c)\lzdt = -\Q{t)dt, t> 0; 00 0 dc

c(<x>,t) = 0, K(c)— = 0, z =°o>0. dz

Стационарная задача в безкоординатной форме имеет вид: div(K(c) grade) = f(c) в Q \ Р {0 < с < да},

(.K(c)grad(c,п))+ас = 0 на S = dQf)dD, (5) с = 0, (K(c)grad(c,n)) = 0 наГ={с = 0} = аоП£>, jff/(c)dv + afj cds = Q.

п S

В полуокрестности со е Q точки Р е Г переход к полукоординатной форме записи позволил получить задачу Коши

д_ Эп

дх\

+ divx(K(c)gradTc) = /(с) в (О (^<0),(6)

с = 0, К(с)— = 0, 7 = 0, 07

где 17 - координата, отсчитываемая по нормали Я к Г в точке Р, а две другие декартовы координаты г, г2 лежат в касательной плоскости к Г в точке Р. Так как в о можно считать, что с(г,, г2 ц) слабо зависит от тангенциальных координат, то есть

с(г, ,т2 Г]) = с(т]), то для определения с(//) из (6) следует задача Коши

— ад— =/(с), г| <0,

«Л (7)

с = о, ад—=0,7 = 0.

Получено точное решение задачи (7)

г -I-!/

С № /2

77(с) = |л:(и>) 21 К{у)/(у)<ь (8)

о |_ 0 и доказана следующая теорема

Теорема 2. Необходимым условием существования пространственно-локализованного решения рассматриваемых нелокальных задач со свободными границами является существование несобственного интеграла (4).

Кроме того, доказано, что условие (4) является необходимым и достаточным для существования пространственно локализованного решения следующей нелокальной стационарной задачи со свободной границей:

йг

аг

= Дс),

0 < г < оо,

\mdz-

(9)

с{оо) = 0, ДГ(с)—= 0, г

■ ОО.

то есть имеет место

Теорема 3. Если функция f(c) удовлетворяет условиям /(с) = с2/М, У2<ju<\, при с —>0, а К(с)-непрерывная положительная функция, то при любом Q> О положительное решение нелокальной краевой задачи (9) существует и единственно.

Здесь же рассмотрены очень важные для практики вопросы рекреации среды за конечное время. В работах В.В. Калашникова (1974) и А.А.Самарского (1982) с помощью теорем сравнения эта проблема сведена к решению дифференциального неравенства

— < —/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не завися-dt

щие от координаты) решение. При этом для времени рекреации получена оценка

о/(*)

(10)

В отличие от этих подходов в диссертации осуществлена попытка получить более точные оценки, в которых учитывалось бы начальное распределение концентрации Сд (х) и ее носитель 5(0).

С этой целью при помощи полученных в работе априорных оценок найдено дифференциальное неравенство для квадрата нормы решения

^ + (П)

из которого следует более точная оценка для Т

Т< ,(1+/?жо)

где с - корень уравнения

"(1 -ру2лУг

2_0-/у с /2 =<р,

y(t) HkMI2 , s(0) = ~-p(l + /})c

(12)

Вторая глава посвящена вопросам моделирования процессов переноса и диффузии пассивных примесей в стратифицированных средах. Исходной здесь является задача (1)с /(с) з О и краевым условием Дирихле или нелокальным условием ct = div(K(p,t,c)gradc) - div(cü) + со в Q(t), t> О

с(р,0) = со(р) в ОД,

c(p,t) = q>(p,t) на S{t) или jc(p,t)dv = Q{t), (13)

О(0

c{p,t) = О, {K{p,t,c)grad(c,n)) = 0 на Г(0-Рассмотрены одномерные задачи турбулентной диффузии с учетом зависимости коэффициента диффузии от масштаба, времени и концентрации. Они представляют собой локальные и нелокальные задачи для квазилинейного уравнения

дс dt

1 д

.в-1

rn-xK{r,t,c)

дс_ дг

/г-1,2,3,

(14)

где К(г,(,с) =К0<р(()гтс1!; <р^) - произвольная функция;

К0,т и к- некоторые постоянные. Частные решения этого уравнения разыскиваются методом разделения переменных в виде

(15)

c(r,t) = f(t)B(rj), р> О,

где функции/(/),5(г]),ф(/) и параметр р определяются в процессе разделения переменных в (14). В результате получено обыкновенное дифференциальное уравнение для В(т])

dt]

Р2К0ч~г -f

dr]

и представления

c{r,t)^(t)f B{rj), =

-rf-p' p

CiB-У)

dB dr\

P =

2-m 1 + kC,

>0,

-0,(16)

(17)

Для

двух

значении

произвольной

постоянной

С, — Сх и Сх=(т ^/уравнение (16) допускает точ-

ные решения, зависящие от одной произвольной постоянной. Последнюю можно определить, удовлетворяя тем или иным дополнительным условиям. В случае краевого условия Дирихле

с(0,0 = В0[ф(0]У* (18)

получено точное пространственно локализованное решение в случае к>0,т<2:

Мк

ВМТ'1

, \1-т

\гфУ);

т}0 = [в*К0(2 - т)р / к]Р'{2~т\ р = пк + 2-т.

и точное нелокализованное решение в случае к<0, т<2:

"\-1/к

, 0<г<гф(0 , гД0<г<со

, (19)

с{г,1)=В«Ш-п

/р

N 2-т

1 +

.(«У

О < Г < 00. (20)

щ = [к0(2-т)р/вУ1|4'(2_т)5 Р = 2-т-п\к[

Здесь= |ф(т)с1т; гф (/) = . При к 0 из получен-

ных решений следует решение линейной задачи

сМ = вМ) Г/(1"т) ехр[- г2- /(1 - т)гК^)\

которое при ф{{) = 1 и т — О преобразуется в фундаментальное решение уравнения диффузии.

Получены точные решения также в случае мгновенных или постоянно действующих сосредоточенных источников, когда дополнительным является нелокальное краевое условие вида

Q = <on\c{r,t)rn-xdr

(21)

где соп - площадь единичной сферы (й>1 =2,еог = 27и,о)ъ = 4л").

Найденные точные решения при к > О вида (19) представляют собой диффузионную волну, распространяющуюся по невозмущенной среде с конечной скоростью. При к < 0 такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

Рассмотрены задачи о диффузии от постоянно действующих точечного и линейного источников в движущейся среде, когда для определения концентрации служит квазилинейное уравнение

1 д

г""1 дг

К(г,х,с)г

п-1 0с дг

03„

(22)

где К{г,х,с) = КцК(х)гтск, ô(r)~ дельта-функция Дирака; Q-мощность источника. Трактовка координаты X как времени /, позволила здесь также получить точные частные решения для (22)

il Ik

:(r,x) =

Сгхт)

0<г <гф(х), Гф(х)<Г< 00,

(23)

По

' 2Скг{2 + 2к)Кь ко

1+к

С г ~

Q(l + k)

лкй(2 + 2ку

Упк

Решение (23) дает принципиальную возможность описания пространственной локализации диффузионного возмущения. В этом случае определяется фронт диффундирующей волны, разделяющей области с нулевой и ненулевой концентрациями. При к —> 0 из него следует известное решение Робертса, не позволяющее, однако, описать пространственную локализацию.

Третья глава диссертации посвящена исследованию конкретных задач диффузии с реакцией в стратифицированной воздушной среде, представляющая собой следующую одномерную задачу со свободной границей.

ихх~и1=/(и)> 0 < лт < £(/), />0,

ы(х,0) = и0(х), 0<х< 5(0), (24)

их —Ии = ~}г<р, х = 0, ¿>0,

и- 0, их= 0, х = ¿>0.

Осуществлена численно-аналитическая реализация задачи (24), основанная на методе Роте, что позволило получить следующую аппроксимацию задачи в виде системы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений относительно приближенного значения и(х)=и(х^к), и

и(х) = и(х,1к_}):

и"-т~1и = ир - г"1 и, 0 < дг <

и'-Ии = -Ьср, х = 0, (25)

н(л) = 0 н'О) = 0.

Решение задачи (25) сведено к нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра

и(х) — л/т ¡зИ—^

] ей

о V

Ыг Ыт.

«Ю

сИ; = 1кр.

(26)

(27)

Для численных расчетов решение (26),(27) с помощью конечномерной аппроксимации сведено к нахождению решений системы нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых значений и] = и{х]) а sj.

Здесь же рассмотрены задачи со свободными границами в проблеме загрязнения и самоочищения атмосферы точечными ис-

точниками. При отсутствии адсорбирующей поверхности S(t) (mesS = 0) в случае плоских, цилиндрических или точечных источников загрязнения, когда концентрация зависит от одной пространственной координаты - расстояния к источнику и времени, получена простейшая одномерная нелокальная задача со свободной границей

-^=/(с),0<г<гф(0,'>0,

1 д f „_, 8с

г"'1 дг{ дгу

с(г,0) = 0, 0 < г < (0) (28)

дс

с(г,0 = 0, — = 0, г = гф(0, t> 0;

дг

2--— = хх~рир, 0<л<s(r), г> 0,

I 1 Т + — \QiDdt (29)

о о У о

Построение решения задачи (28), (29) проведено методом Роте в сочетании с методом нелинейных интегральных уравнений.

Преобразованием зависимых и независимых переменных нелокальная задача со свободной границей о точечном источнике приведена к каноническому виду

д2и ди

дх2 дг

и(х,0) = 0, 0 <л; <5(0), (5(0) = 0), (30)

м(5(г),г) = м;с(5(г),г) = 0, г>0

содержащему только одну функцию, определяющую функцию

Ф).

В частных случаях получены точные решения соответствующих нелокальных стационарных задач со свободной границей для уравнения Эмдена-Фаулера

а2и

dx1

■ xx~ßuß, 0<x<s,

u(s) = ux($) = 0, Jjf2 pußdx = q

(31)

] = (1 / 6)(2 s + x)(s -х)г, где

Наряду с методом Роте в сочетании с методом интегральных уравнений, решение нестационарной задачи (31) строится методом эквивалентной линеаризации. В этом методе существенно используется конструкция решения стационарной задачи. В результате проблема сведена к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, решение которой может быть получено одним из приближенных методов, например, методом Рунге-Кутта.

Основные результаты диссертации

опубликованыв следующих работах:

1. Березовский A.A., Догучаева С.М. Пространственная локализация и стабилизация в процессах диффузии с реакцией //Доповда HAH Украши. -1998. -№2. -С. 1-5.

2. Березовский H.A., Догучаева С.М. Задачи Стефана в проблеме загрязнения и самоочищения окружающей среды точечными источниками //Нелинейные краевые задачи мат.физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1995. -

3. Березовська JI.M., Догучаева С.М. Задача Д1р1хле для по-верхонь р1вря поля концентрацш //Математичш методи в науково-техшчних дослщженях - Кшв: Ин-т математики HAH Украши, 1996.-С.9-14.

4. Березовский A.A., Догучаева С.М. Математична модель за-бруднення та сомоочищення оточуного середовища точкавим джерелом //Задачи со свободными границами и нелокальные задачи для нелинейных параболических уравнений. - Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1996. С.13-16.

5. Догучаева С.М. Задачи со свободной границей в проблеме окружающей среды //Нелинейные краевые задачи мат. физики и их приложения - Киев: Ин-т. математики HAH Украины, 1995.-

С.18-21.

С.87-91

6. Doguchaeva Svetlana M., Berezovsky Arnold A. Matematical models scattering, decompozition and sorption of gas, smoke and other kinds of pollutions in a turbulent atmoshere //Internanional Conference Nonlinear Differential Eguations, Kiev, August 21-27,1995, p. 187.

7. Догучаева C.M. Пространственная локализация решений краевых задач для вырождающегося параболического уравнения в проблеме окружающей среды //Нелинейные краевые задачи мат. Физики и их приложения.-Киев:Ин-т математики HAH Украины,

1996.-С. 100-104.

8. Догучаева С.М. Одномерная задача Коши для поверхностей уровня поля концентраций //Задачи со свободными границами и нелокальные задачи для нелинейных параболических уравнений. -Киев:Ин-т математики HAH Украины, 1996 - С. 27-30.

9. Догучаева С.М. Качественные эффекты процессов диффузии и массопереноса, сопровождающиеся адсорбцией и химическими реакциями //Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. -Киев: Ин-т математики,

1997,-С. 103-106.

10. Догучаева С.М. Задачи со свободными границами для вырождающегося параболического уравнения в проблеме окружающей среды //Доповцц HAH Украши. - 1999. - №12 - С.28-29.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Догучаева, Светлана Магомедовна

ЕДЕНИЕ.

ABA I. КЛАССИЧЕСКИЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ

СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ.

I. Общая характеристика задач массопереиоса и диффузии с реакцией.

I. Начально-краевые задачи для поверхностей уровня поля концентраций. Качественные эффекты процессов диффузии, сопровождающиеся адсорбцией и химическими реакциями.

I. Стабилизация за конечное время к стационарным, пространственно локализованным решениям.

ABA II. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ПЕРЕНОСА И

ДИФФУЗИИ ПАССИВНЫХ ПРИМЕСЕЙ В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕДАХ.

Метод разделения переменных в квазилинейном параболическом уравнении диффузии и переноса.

Точные решения задач диффузии и переноса от сосредоточенных, мгновенных и постоянно действующих источников в покоящейся среде.

ABA III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ

С РЕАКЦИЕЙ.

Метод Роте и интегральные уравнения задачи.

Задачи со свободными границами в проблеме загрязнения и самоочищения точечным источником.

ШЮЧЕНИЕ.

ТЕРАТУРА.

Введение диссертация по математике, на тему "Конструктивные методы решения краевых задач со свободными границами для нелинейных уравнений параболического типа"

При исследовании нелинейных краевых задач, описывающих процессы загрязнения и рекреации среды, отражающих наряду с диффузией адсорбцию и химические реакции, особый интерес представляют задачи типа Стефана со свободной границей и источниками, существенно зависящими от искомого поля концентрации.

Нелинейные задачи со свободными границами в экологических проблемах позволяют описать реально наблюдаемую локализацию процессов загрязнения (рекреации) окружающей среды. Нелинейность здесь обусловлена как зависимостью тензора турбулентной диффузии К, так и стоков загрязнения / от концентрации с. В первом случае пространственная локализация достигается за счет вырождения, когда при с = О и К = 0. Однако она имеет место только в данный момент времени г и при г да отсутствует.

Эволюцию процессов диффузии с реакцией, стабилизирующихся к предельным стационарным состояниям с четко выделенной пространственной локализацией, позволяют описать математические модели со специальной зависимостью стоков /(с). Последняя моделирует расход вещества, обусловленный химическими реакциями дробного порядка, когда /(с) = . В этом случае, независимо от вырождения коэффициента диффузии, имеет место пространственно-временная локализация диффузионного возмущения среды. В любой момент времени / локально диффузионное возмущение занимает некоторую область 0(7), ограниченную заранее неизвестной свободной поверхностью Г(7). Поле концентрации с(р, /) при этом представляет собой диффузионную волну с фронтом Г(/), рас-цространяющуюся по невозмущенной среде, где с = О .

Вполне естественно, что эти качественные эффекты можно получить только на основании нелинейного подхода к моделированию процессов с реакцией.

Однако такой подход сопряжен со значительными математическими трудностями при исследовании возникающих здесь нелинейных задач со свободными границами, когда определению подлежит пара функций - поле концентрации c(p,t) и свободная граница Г(/) = {(p,t): c(p,t) = О}. Такие задачи, как уже отмечалось, относятся к более сложным, мало исследованным задачам математической физики.

Значительно меньше исследований проведено для краевых задач со свободными границами в виду их сложности, которая связана как с их нелинейностью, так и с тем, что они требуют априорного задания топологических характеристик искомых полей. Среди работ, в которых рассматриваются вопросы разрешимости таких задач, следует отметить работы A.A. Самарского, O.A. Олейник, С.А.Каменомосткой, и др. При некоторых ограничениях на заданные функции в работах А.А.Березовского, Е.С. Сабининой доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи со свободной границей для уравнения теплопроводности.

Не менее важное значение имеет разработка эффективных методов приближенного решения задач указанного класса, что позволит установить функциональные зависимости основных параметров процесса от входных данных, дающие возможность рассчитывать и прогнозировать эволюцию рассматриваемого процесса.

В связи с быстрым совершенствованием вычислительной техники все большее развитие получают эффективные численные методы решения таких задач. К ним относятся метод прямых, проекционно-сеточный метод, развитый в работах Г.И.Марчука, В.И.Огошкова. В последнее время успешно применяется метод фиксированных полей, основная идея которого заключается в том, что фиксируется подвижная граница и на ней задается часть известных краевых условий, решается полученная краевая задача, а затем, пользуясь оставшимися краевыми и полученным решением, находится новое, более точное положение свободной границы и т. д. Задача нахождения свободной границы при этом сводится к последующему решению ряда классических краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Так как задачи со свободными границами все же исследованы недостаточно полно, а решение их сопряжено со значительными трудностями, то для их исследования и решения требуется привлечение новых идей, использование всего арсенала конструктивных методов нелинейного анализа, современных достижений математической физики, вычислительной математики и возможностей современной вычислительной техники. В теоретическом плане для таких задач остаются актуальными вопросы существования, единственности, положительности, стабилизации и пространственно-временной локализации решений.

Диссертационная работа посвящена постановке новых задач со свободными границами, моделирующих процессы переноса и диффузии с реакцией загрязняющих субстанций в проблемах охраны окружающей среды, их качественному исследованию и, главным образом, разработке конструктивных методов построения приближенных решений таких задач.

В первой главе дана общая характеристика задач диффузии в активных средах, то есть средах, в которых стоки существенно зависят от концентрации. Указаны физически обоснованные ограничения на стоки, при которых проблема сведена к следующей задаче со свободными границами для квазилинейного параболического уравнения: с, = div(K(p, t, с) grade) - div(cu) - f (с)+ w в Q (/) ,t> 0, с(р,0) = е0(р) в cm c)grade, n)+ac = accp на S(t), c)gradc,n) = 0 на Г if), где K(p,t,c) - тензор турбулентной диффузии; ü - вектор скорости среды, c(p,t) - концентрация среды.

Значительное внимание в первой главе уделено постановкам начально-краевых задач для поверхностей уровня концентрации в случае направленных процессов диффузии, когда имеет место взаимно-однозначное соответствие между концентрацией и одной из пространственных координат. Монотонная зависимость c(x,y,z,t) от z позволяет трансформировать дифференциальное уравнение, начальное и краевые условия задачи для поля концентраций в дифференциальное уравнение и соответствующие дополнительные условия для поля ее поверхностей уровня - z = z(x,y,c,t). Это достигается при помощи дифференцирования обратных функций, разрешения уравнения известной поверхности S: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) и обратного прочтения тождества с(х,у,zs,t)=с(x,y,t). Дифференциальное уравнение (1) относительно с при этом преобразуется в уравнение для z— Az=zt-f (c)zc, где

2 ^ Az=vT (К*т*)-[К—Ъ Vz = lzx + jz +к, VT = V-к— . zc dz

При переходе от независимых переменных x,y,z к независимым переменным х>у,с физическая область Q(i) трансформируется в нефизическую область Qc(/), ограниченную частью плоскости с = 0, в которую переходит свободная поверхность Г, и свободной в общем случае неизвестной поверхностью c=c(x,y,t), в которую переходит известная поверхность S(t).

В отличие от оператора divKgrad ■ прямой задачи оператор А обратной задачи существенно нелинейный. В диссертации доказана положительность соответствующей оператору А квадратичной формы e+rf+yf-latf-lßrt, и тем самым установлена его эллиптичность, что позволяет рассматривать для него постановки краевых задач. Интегрированием по частям получен аналог первой формулы Грина для оператора А c{x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n}iï- \\viyrv,VTz)dxdy

8dr

Lk d

Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *

Vzf

A л vcdc dxdy.

Рассмотрена задача со свободной границей для поля концентраций с = с(х,у,г,1), когда на поверхности задано условие Дирихле div(Kgradc) - с, = /(с) - Ре г с(Р,0)=с0(Р), РеЩо), с = (р{р,0, РеБ^), ¿>0, (2)

РеГ(4 ¿>0. с = 0, К— = 0, дп

В этом случае переход относительно поверхности уровня г = г(х,у,с^) позволил избавиться от свободной поверхности с=с{х,у,?), так как она полностью определяется условием Дирихле с(х,у^) = д>(х,у,гх(х,у^),О-В результате получена следующая начально-краевая задача для сильно нелинейного параболического оператора^ - — в изменяющейся во времени, но уже известной области С2с(0: <9/

Az = z( ~[/(c)-w(z)]zc, x,yED(t), 0 <c<c(x,y,t), t> 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), х,у,сеПс(О), z(x, y,c,t) = zs (x, y, c, t), с = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t)=-co, x,y&D(t), t> 0.

Здесь же исследуется вопрос о единственности решения задачи (3). Исходя из полученного аналога первой формулы Грина для оператора А с учетом краевых условий после элементарных, но довольно громоздких преобразований с использованием неравенства Юнга, установлена монотонность оператора А на решениях zx и z2 задачи

Лг2 - Аг1)(г2 - )(Ьсс1ус1с < 0 . (4)

ПсСО ^

С другой стороны, с помощью дифференциального уравнения, краевых и начального условия показано, что

Полученное противоречие и доказывает теорему единственности решения задачи Дирихле для поверхностей уровня концентрации c(x,y,t)

Теорема 1. Если функция источников w - const, функция стоков f(c) монотонно возрастает и /(0) = 0, то решение задачи Дирихле (2) для поверхностей уровня положительно и единственно.

В третьем параграфе первой главы рассматриваются качественные эффекты процессов диффузии, сопровождающиеся адсорбцией и химическими реакциями. Эти эффекты не могут быть описаны на основании линейной теории. Если в последней скорость распространения бесконечна и тем самым отсутствует пространственная локализация, то рассматриваемые нелинейные модели диффузии с реакцией при установленных в работе функциональных зависимостях коэффициента турбулентной диффузии К и плотности стоков (кинетики химической реакций) / от концентрации с позволяют описать реально наблюдаемые эффекты конечной скорости распространения, пространственной локализации и стабилизации за конечное время (рекреации) загрязняющих веществ. В работе установлено, что перечисленные эффекты можно описать с помощью предложенных моделей, если существует несобственный интеграл с w 1

K(w)[jK(v)f(v)dvf2dw < 00. (6)

0 0

Рассмотрена соответствующая (1) нелокальная начально - краевая задача с dz{ dt) dt c(z,0) = 0, 0<z<oo, /(c), 0<z<oo,i>0, t со ^ t

§ct+f{c)]dzdt = -\Q(t)dt, t>0;

00 dc с(сс^) = 0,К(с)— = 0, z = oo,t>0. dz

Стационарная задача в безкоординатной форме имеет вид div(K(c)grade) = f(c) в Q \ Р {0 < с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 на 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) grade,п) = 0 на Г s {с = 0} = dQ. П D,

JJJ/(c)dv + cds = q. a s

В полуокрестности со eQ точки Ре Г переход к полукоординатной форме записи позволил получить задачу Коши drj

К(с) дс дт] divT (K(c)gradTc) = f(c) в со rj<0

8) дс с = 0, К(с)~ = 0,77 = 0,

ОТ] где т] - координата, отсчитываемая по нормали и к Г в точке Р, а две другие декартовы координаты т1,т2 лежат в касательной плоскости к Г в точке Р. Так как в со можно считать, что с(т1,т2,г/) слабо зависит от тангенциальных координат, то есть с ( тх, т2,1] ) = с(т]), то для определения с{т]) из (8) следует задача Коши drj drj f(c), TJ< О, dc c = 0, K(c) — = 0,77 = 0. drj

Получено точное решение задачи(9)

77(с)= рэдо 2 с [ о с1м?< 00 (10) и доказана следующая теорема

Теорема 2. Необходимым условием существования пространственнолокализованного решения рассматриваемых нелокальных задач со свободными границами является существование несобственного интеграла(б).

Кроме того, доказано, что условие (6) является необходимым и достаточным 1 для существования пространственно-локализованного решения следующей одномерной стационарной задачи со свободной границей яг /(с), 0<г<со,

00 О тск=^- си) о 2 с1с с(оо) = 0 , К{с)— = 0, г = оо, с1г то есть имеет место

2/1-1 1 '

Теорема 3. Если функция/(с) удовлетворяет условиям f(c) = c ^ , ^ < // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 положительное решение нелокальной краевой задачи (11) существует и единственно.

Здесь же рассмотрены очень важные для практики вопросы рекреации среды за конечное время. В работах В.В.Калашникова и А.А.Самарского с помощью теорем сравнения эта проблема сведена к решению дифференциального неравенства — < -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение.

При этом для времени рекреации получена оценка ш

Т<]. ск х)

12)

В отличие от этих подходов в диссертации осуществлена попытка получить более точные оценки, в которых учитывалось бы начальное распределение концентрации со (х) и ее носитель «(0). С этой целью при помощи полученных в работе априорных оценок найдено дифференциальное неравенство для квадрата нормы решения Ж

13) из которого следует более точная оценка для Т т<

1+ /?>(())] где с - корень уравнения

1-У?)

14)

Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^—Ш+Р)^1 ■

Вторая глава посвящена вопросам моделирования процессов переноса и диффузии пассивных примесей в стратифицированных средах. Исходной здесь является задача (1)с /(с) = 0 и краевым условием Дирихле или нелокальным условием с, = (И\{К(р,Г,с)%гайс)-<И\{сй) + а> в 0(0, t>0 с(р,0) = с0(р) в 0(0),

С(Р>*) = ф(р,0 на или = ()({), с(р,Г) = 0, (К(р^,с)%?аёс,п) = 0 на Г(Г).

Рассмотрены одномерные задачи турбулентной диффузии с учетом зависимости коэффициента диффузии от масштаба, времени и концентрации. Они представляют собой локальные и нелокальные задачи для квазилинейного уравнения дс

1 д dt г"-1 дг п-\

K(r,t,c) дс дг п = 1,2,3,

16) где K(r,t,c) = K0(p(t)rmck; <p(t) - произвольная функция; KQ,m и к - некоторые постоянные. Частные решения этого уравнения разыскиваются методом разделения переменных Биркгофа в виде c(r,t) = f(t)B(T1), tj = г7т Р>0,

17) где функции и параметр р определяются в процессе разделения переменных в (16) . В результате получено обыкновенное дифференциальное уравнение для В(т]) ат] и представления

Оn+m+p-2)/pBk £® drj

-п n-pip dB

C.B-ij— dtl, о,

18)

2-m

Д ля двух значений произвольной постоянной С{ - С, = и

19)

С1 = ^Ур уравнение (18) допускает точные решения, зависящие от одной произвольной постоянной. Последнюю можно определить, удовлетворяя тем или иным дополнительным условиям. В случае краевого условия Дирихле с(0,0 = В0[ф^)]'п/р (20) получено точное пространственно локализованное решение в случае к > 0, т < 2:

ВоШ

-п! р 1

2-т Г гф\ч;

Л/к 0 <г <гф(/),

О, гф(/)<г< оо,

Вд^0(2-т\ р = пк + 2-т , и точное нелокализованное решение в случае к <0, т <2:

21)

-и/р

1+ Л2-«' Г

1/к 0 < г < 00.

22) = [к^2 - т)/?/^1 р = 2-т- п\к\.

Здесь ф(1) = \(р{г)йт; гф (/) = [^(О]^ • о

При к —» 0 из полученных решений следует решение линейной задачи с(г,0 = ВйШт-т) ехр[- /(1 - т)2к0ф{1)\ , которое при ф(1) = 1 и т = 0 преобразуется в фундаментальное решение уравнения диффузии.

Получены точные решения также в случае мгновенных или постоянно действующих сосредоточенных источников, когда дополнительным является нелокальное краевое условие вида б = 0>„ ¡Ф,0гП-^Г,

23) где о)п - площадь единичной сферы (со1 =2,а>2 = 2я,а>3 = 4ж).

Найденные точные решения при к >0 вида (21) представляют собой диффузионную волну, распространяющуюся по невозмущенной среде с конечной скоростью. При к < О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

1 д

П-1 дг

K(r,x,c)rn~l or

-vdivc = —^S{r),

Ov,

24) где К(г,х,с) = К0к(х)гтск, 8(г) - дельта-функция Дирака, О, - мощность источника. Трактовка координаты х как времени/, позволила здесь также получить точные частные решения нелокальной задачи вида (21) г 2/(2+2 к) 2 о, 1

Г \2 Г

V гф \ли

Гф(х)<Г<СС,

Мк 0<г<гф (х), Ф

2С2 (2 + 2к)К0 ко

1+к

25)

Решение (25) дает принципиальную возможность описания пространственной локализации диффузионного возмущения. В этом случае определяется фронт диффундирующей волны, разделяющей области с нулевой и ненулевой концентрациями. При к -» 0 из него следует известное решение Робертса, не позволяющее, однако, описать пространственную локализацию.

Осуществлена численно-аналитическая реализация задачи(26), основанная на методе Роте, что позволило получить следующую семидикретную аппроксимацию задачи в виде системы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений относительно приближенного значения и{х) = и{х,1к), и 5 = ) V и{х)-и{х^к1): V и"-т~хи = гг - т~1 и, 0 < х < 5, и'-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0.

Решение (27) сведено к нелинейным интегральным уравнениям типа Воль-терра и нелинейного уравнения при х = 0 5 и(х) ~ 4т [я/г-^-—* с/г + к^тэк -¿г п V л/г л/г

0 < X < 5, к(р.

28)

Для численных расчетов решение системы (28) с помощью конечномерной аппроксимации сведено к нахождению решений системы нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых значений и. = и(х}) и я-.

Здесь же рассмотрены задачи со свободными границами в проблеме загрязнения и самоочищения атмосферы точечными источниками. При отсутствии адсорбирующей поверхности 5(0 (тие&З = 0) в случае плоских, цилиндрических или точечных источников загрязнения, когда концентрация зависит от одной пространственной координаты - расстояния к источнику и времени, получена простейшая одномерная нелокальная задача со свободной границей

1 бс г

8с

-— = /(с), 0<г<гф(О,/>0, дt гп~х 8г \ 8г, ф,0) = 0, 0<г<гф (0) (29) 5с с(г,0 = 0, — = 0, г = гф(0, ^>0; аг

1 I Ьг + /(с) Г~1£/г=— • (30) о о ^ ; ^

Построение решения задачи (29), (30) проведено методом Роте в сочетании с методом нелинейных интегральных уравнений.

Преобразованием зависимых и независимых переменных нелокальная задача со свободной границей о точечном источнике приведена к каноническому виду д2и ди 1-я д Л , ч л г---= х рир, 0<х<^(г), г>0,

5л:2 8т и(х,0) = 0, 0 < л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Пмг + = д(г), т> 0, о содержащему только одну функцию, определяющую функцию д(т).

В частных случаях получены точные решения соответствующих нелокальных стационарных задач со свободной границей для уравнения Эмдена-Фаулера с12и 1-я в л

-2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

В частности, при /? = 0 м(л:) = (1/6)(25 + х)(5-х)2, где* = (Зз)1/3.

Наряду с методом Роте, в сочетании с методом нелинейных интегральных уравнений, решение нестационарной задачи(32) строится методом эквивалентной линеаризации. В этом методе существенно используется конструкция решения стационарной задачи. В результате проблема сведена к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, решение которой может быть получено одним из приближенных методов, например, методом Рунге-Кутта.

На защиту выносятся следующие результаты:

-исследование качественных эффектов пространственно-временной локализации;

-установление необходимых условий пространственной локализации к предельным стационарным состояниям;

-теорема о единственности решения задачи со свободной границей в случае условий Дирихле на известной поверхности;

-получение методом разделения переменных точных пространственно локализованных семейств частных решений вырождающихся квазилинейных параболических уравнений;

-разработка эффективных методов приближенного решения одномерных нестационарных локальных и нелокальных задач со свободными границами на основе применения метода Роте в сочетании с методом интегральных уравнений;

-получение точных пространственно локализованных решений стационарных задач диффузии с реакцией.

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом.

1 .Исследованы качественно новые эффекты пространственно-временной локализации.

2. Установлены необходимые условия пространственной локализации и стабилизации к предельным стационарным состояниям.

6. Получены точные пространственно локализованные решения стационарных задач диффузии с реакцией.

На основе вариационного метода в сочетании с методом Роте, метода нелинейных интегральных уравнений разработаны эффективные методы решения с доведением до алгоритмов и программ численных расчетов на ЭВМ, и получены приближенные решения одномерных нестационарных локальных и нелокальных задач со свободными границами, позволяющие описывать пространственную локализацию в проблемах загрязнения и самоочищения стратифицированных водной и воздушной сред.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при постановке и решении различных проблем современного естествознания, в частности металлургии и криомедицины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Догучаева, Светлана Магомедовна, Нальчик

1. Арсенин В.Я. Краевые задачи математической физики и специальные функции. -М.: НаукаД 984.-384с.

2. АхромееваТ. С., Курдюмов С. П., МалинецкийГ. Г., Самарский A.A. Двух-компонентные диссипативные системы в окрестности точки бифуркации // Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. -М.: Наука, 1986. -С. 7-60.

3. Базалий Б.В.Об одном доказательстве существования решения двухфазной задачи Стефана //Математический анализ и теория вероятностей. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978.-С. 7-11.

4. Базалий Б.В., Шелепов В. Ю. Вариационные методы в смешанной задаче теплового равновесия со свободной границей //Краевые задачи математической физики. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978. С. 39-58.

5. Баренблат Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Наука, 1972.-277с.

6. Беляев В.И. О связи распределения сероводорода в Черном море с вертикальным переносом его вод/Юкеаналогия.-1980.-14, Вып.З.-С. 34-38.

7. Березоесъка Л.М., Догучаева С.М. Задача з вшьною межею для поверхш р1вня поля концентраци в проблем! оточуючого середовища//Крайов1 задач! для лиференщальних р!внянь.-Вип. 1(17).-Кшв: 1н-т математики HAH Украши, 1998. С. 38-43.

8. Березовъка Л.М., Догучаева С.М. Задача Д1р1хле для поверхонь р1вня поля концентрацш //Матиматичш методи в науково-техшчних дослщженнях. -Кшв: 1н-т математики HAH Украши, 1996. С. 9-14.

9. Березовская JI. М., Докучаева С.М. Пространственная локализация и стабилизация в процессах диффузии с реакцией //Доповцц HAH Украши.-1998.-№2.-С. 7-10.

10. Ю.Березовский A.A. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. В. 2 ч. —Киев: Наукова думка, 1976.-Ч.1. 252с.

11. М.Березовский A.A. Нелинейные интегральные уравнения кондуктивного и лучистого теплообмена в тонких цилиндрических оболоч-ках//Дифференциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. Киев, 1982. - С. 3-14.

12. Березовский A.A. Классические и специальные постановки задач Стефана //Нестационарные задачи Стефана. Киев, 1988. - С. 3-20. - (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 88.49).

13. Березовский A.A., Богуславский С.Г. Вопросы гидрологии Черного моря //Комплексные океанографические исследования Черного моря. Киев: Наукова думка, 1980. - С. 136-162.

14. Березовский A.A., Богуславский С./".Задачи тепло- и массопереноса в решении актуальных проблем Черного моря. Киев, 1984. - 56с. (Препр. /АН УССР. Ин-т математики; 84.49).

15. Березовський М.А., Догучаева С.М. Математична модель забрудненная та самоочищения оточуючого середовища //Вюник Кшвського ушверситету. -Вип 1.- 1998.-С. 13-16.

16. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колобаний. М.: Наука, 1974. - 501с.

17. Вызова Н.Л.,Рассеяния примеси в пограничном слое атмосферы. Л.: Гид-рометеоиздат, 1974. - 192с.21 .Будок Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972. - 687с.

18. Вайнберг M. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.-415с.

19. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 512с.

20. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский A.A. Локализация тепла в нелинейных средах //Дифф. Уравнения. 1981. - Вып. 42. -С. 138-145.31 .Данилюк И.И. О задаче Стефана//Успехи мат. Наук. 1985. - 10. - Вып. 5(245)-С. 133-185.

21. Данилюк ИИ, Кашкаха В.Е. Об одной нелинейной системе Ритца. //Докл. АН УССР. Сер.А. 1973. - №40. - С. 870-873.

22. ЪЪДогучаева С.М. Задачи со свободной границей в проблеме окружающей среды //Нелинейные краевые задачи мат. физики и их приложения. Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1995. - С. 87-91.

23. Doguchaeva Svetlana M. Berezovsky Arnold A. Mathematical models scattering, decompozition and sorption of gas, smoke and other kinds of pollutions in a turbulent atmoshere //Internat. Conf. Nonlinear Diff/ Equations? Kiev, August 21-27, 1995, p. 187.

24. ЪЪДогучаева С.М. Пространственная локализация решений краевых задач для вырождающегося параболического уравнения в проблеме окружающей среды //Нелинейные краевые задачи мат. физики и их приложения. -Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1996. С. 100-104.

25. ЪбДогучаева С.М.Одномерная задача Коши для поверхностей уровня поля концентраций //Задачи со свободными границами и нелокальные задачидля нелинейных параболических уравнений. Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1996. - С. 27-30.

26. ЪЪ.Догучаева С.М. Пространственная локализация решений краевых задач для вырождающегося параболического уравнения в проблеме окружающей среды // Нелинейные краевые задачи мат. физики и их приложения. -Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1996. С. 100-104.

27. Догучаева С. М. Задачи со свободными границами для вырождающегося параболического уравнения в проблеме окружающей среды //Доповда HAH Украши. 1997. - №12. - С. 21-24.

28. Калашников А. С. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением //Мат. заметки. 1974. - 14, №4. - С. 891-905. (56)

29. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка //Успехи мат. наук. 1987. - 42, вып.2(254). - С. 135-164.

30. Калашников А. С. Об классе систем типа "реакция-диффузия" //Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1989. - Вып. 11. - С. 78-88.

31. Калашников A.C. Об условиях мгновенной компактификации носителей решений полулинейных параболических уравнений и систем // Мат. заметки. 1990. - 47, вып. 1. - С. 74-78.

32. Ab.Калашников А. С. О диффузии смесей при наличии дальнодействия //Журн. вычисл. математики и мат. физики. М., 1991. - 31, №4. - С. 424436.

33. Каменомостская С. Л. О задаче Стефана//Мат. сборник. 1961. -53, №4, -С. 488-514.

34. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям -М.: Наука, 1976. 576с.

35. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с. (78)

36. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. - 736с.

37. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967. 599с.

38. Мартинсон Л.К. О конечной скорости распространения тепловых возмущений в средах с постоянными коэффициентами теплопроводности //Журн. вычисл. матем. и мат. физики. М., 1976. - 16, №6. - С. 1233-1241.

39. Марчук Г.М., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981. -416 с.

40. Митрополъский Ю.А., Березовский A.A. Задачи Стефана с предельным стационарным состоянием в спец электрометаллургии, криохирургии и физике моря //Мат. физика и нелин. Механика. 1987. - Вып. 7. - С. 50-60.

41. Митрополъский Ю.А., Березовский A.A., Шхануков МХПространственно временная локализация в задачах со свободными границами для нелинейного уравнения второго порядка //Укр. мат. журн. 1996. - 48, №2 - С. 202211.

42. Митрополъский Ю. А., Шхануков М.Х., Березовский A.A. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения //Укр. мат. журн. 1995. -47, №11.- С. 790-800.

43. Озмидов Р.В. Горизонтальная турбулентность и турбулентный обмен в океане. М.: Наука, 1968. - 196с.

44. Озмидов Р.В. Некоторые результаты исследования диффузии примесей в море //Океанология. 1969. - 9. - №1. - С. 82-86.66 .Okubo A.A. Rewiew of theoretical models forn turbulent diffusion in sea. -Oceanogr. Soc. Japan, 1962, p. 38-44.

45. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана //Докл. АН СССР. Сер. А. 1960. - №5. - С. 1054-1058.

46. Олейник O.A. О задаче Стефана //Первая летняя математическая школа. Т.2. Киев: Наук, думка, 1964. - С. 183-203.

47. Roberts О. F. The Theorotical Scattering of Smoke in a Turbulent Atmosphere. Proc. Roy., London, Ser. A., v. 104,1923. - P.640-654.

48. Ю.Сабинина E.C. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений //Докл. ÀH СССР. 1962. - 143, №4. - С. 494-797.

49. Х.Сабинина Е.С. Об одном классе квазилинейных параболических уравнений не разрешимых относительно производной по времени //Сиб. мат. журн. 1965. - 6, №5. - С. 1074-1100.

50. Самарский A.A. Локализация тепла в нелинейных средах //Успехи мат. наук. 1982. - 37, вып. 4 - С. 1084-1088.

51. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1986. - 288с.

52. А.Самарский A.A., Курдюмов С.П., Галактионов В.А. Математическое моделирование. Процессы в нелин. средах. М.: Наука, 1986. - 309с.

53. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:ИЛ, 1954.-416 с.

54. Stefan J. Uber dietheorie der veisbildung, insbesondere über die eisbildung im polarmere //Sitzber. Wien. Akad. Nath. naturw., Bd. 98, IIa, 1889. P.965-983

55. Sutton O.G. Micrometeorology. New. York-Toronto-London. 1953. 333p.1%.Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: Мир, 1968.-427с.

56. Фридман А. Вариационные принципы в задачах со свободными границами. М. :Наука, 1990. -536с.