Обратные задачи стефановского типа в теории электродуговых процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Р Г б О Д За правах рукописи

1 2 СЕН удк 517.95*

ИСКАКОВА КУАНЫП1 СЕЙТЖАНОВНА

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНОВСКОГО ТИПА В ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОДУГОВЫХ ПРОЦЕССОВ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандитата физико-математических наук

Алматы 1994

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики HAH Республики Казахстан

Научные руководители:

член-корр. HAH PK, д.ф.-м.н., проф. Ким.Б.Й. .

член-корр. HAH PK, д.ф.-м.н., проф. Харин С.Н.

Официальные оппоненты : член-корр. HAH PK,

д.ф.-м.н., проф. Отелбаев М.О.

к.ф.-м.н., вне Сыдыков Г.М.

Ведущая организация - Казахский государственный Национальный

университет им. Аль-Фараби

Залита состоится ег^юегЗ^С 19Э4 г в час.

на заседании специализированного Совета Д - 53.04.01 при Институте теоретической и прикладной математики НАН РК (480021, Алматы, ул. Пушкина, 125).

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотек« НАН РК.

Автореферат разослан ^ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д -к.ф.-м.н., не

53.04.01

А.Т.Кулахметовг

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Разработка и усовершенствование методов решения обратных задач математической физики тесно связаны с развитием современных технолог гий. В частности, при исследовании тепловых процессов в электрических контактах возникают задачи типа задачи Стефана, в которых область существования одной из фаз (жидкой) стягивается в точку в начальный момент времени. Это обстоятельство и определяет основные трудности при численном моделировании процесса фазовых превращений при малых временах. Величина эрозии контакта в конечном итоге определяется размером области жидкой фазы и зависит от свойств материала, характеристик дуги и теплового потока, поступающего в электрод. Она является результатом сложных физических процессов, связанных с ионной бомбардировкой катода, термсавгоэлектронной эмиссией, эмиссией обратных электронов, лучистым теплообменом, процессами испарения и др. Определение теплового потока в электрод в процессе его теплообмена с дугой представляет собой одну из наиболее важных проблем в теории электрических контактов, так как ее решение дает возможность оценить надежность и ресурс работы злектроконтактной системы.

Сложность и многообразие лриэлектродных процессов значительно усложняет теоретическое определение величины теплового потока, а экспериментальные методы могут дать лишь результирующее значение, получаемое, например, калориметрическим способом. При этом основные механизмы его генерации остаются в тени, а величина потока может варьироваться в довольно широком диапазоне, и ее трудно прогнозировать для различных ситуаций.

В связи с этим представляет интерес рассмотрение обратной задачи для определения величины теплового потока на поверхности теплопроводного тела с учетом фазового превращения вещества по измерениям нестационарной температуры внутри тела, в частности, по определениям положения фазовой границы, температура на которой предполагается известной.

Цель работы.

Основной целью работы является исследование существования и единственности решения обратной задачи типа задачи Стефана, возникающей при моделировании процессов тепло и- массообмена с наличием фазовых превращений для области, вырождающейся в начальный момент времени, и разработка алгоритма ее численного решения при малых зна-

чениях времени.

Научная новизна.

В отличие от известных работ, обзор которых можно найти в работе Алифанова О.М. и др., 1 в настоящей работе предполагается отсутствие жидкой фазы в начальный момент времени, т.е. область ее существования вырождается в точку. Показано, что разрешимость такой задачи тесно связана с решением прямой задачи подобного типа и зависит от некоторых условий согласования начальных и граничных условий, а также закона движения границы.

Доказана единственность минимизирующей функции для функционала, к которому сводится решение обратной задачи и предложен метод решения, представляющий сочетание асимптотического и численного методов.

В классе аналитических функций получено точное решение задачи для автомодельного закона движения границы расплава.

Практическая ценность.

Результаты диссертации могут быть использованы при моделировании и численных расчетах процессов, сопровождающихся фазовыми превращениями вещества при воздействии высоконцентрированного источника тепла, в частности при коммутации электрических контактов.

На защиту выносится:

- доказательство существования решения обратной задачи тина Стефана для области, вырождающейся в начальный момент времени;

- доказательство строгой выпуклости минимизируемого функционала и тем самым, единственности решения обратной задачи;

- модифицированный алгоритм численного решения обратной задачи, отличающийся сочетанием асимптотических (при * —► 0) и численных методов решения (при % > <о > 0).

- точное решение задачи в классе аналитических функций, для автомодельного движения границы фазового перехода.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Межвузовской конференции в г. Алматы в 1989 г., на Всесоюзной конференции по "Условно-корректным задачам математической физики и анализа" в 1989 г., на Всесоюзном семинаре по дуговым и приэлектродным процессам в электрических аппаратах и плазмотронах в г. Улан-Удэ в 1991 г., на международной конференции IБЬЮТА'93, г.Алматы, 1993 г.

'Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М. : Наука, 1988. - 285 с.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] - [5], приведенных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы равен 106 страницам, включая список литературы из 63 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение

Во введении обосновываются актуальность выбранной темы исследования, определены цели и задачи исследования, приводится обзор работ, краткое изложение содержания диссертации и полученных результатов по главам.

Глава 1

В этой главе рассматривается задача определения плотности теплового потока на внутренней поверхности сферы, которая плавится под воздействием этого потока. При этом предполагается, что плотность теплового потока не зависит от угловых координат, кроме того координата границы плавления заранее известна. Дополнительным условием для определения неизвестных функций (температуры v(r,t) и потока P(t)) является аналог условия Стефана, связывающее тепловые потоки через границу плавления a(t). Эту задачу математически можно сформулировать следующим образом. Найти функции u¡(r,<), (t = 1,2), P(t), удовлетворяющие уравнениям теплопроводности

~дГ = + + (1)

в области D\ — {b<r< a(t), а(0) = 6, 0 < í < <0},

dv* _ 2 dv2 о2

+ + (2)

в области D-i = {а(/) <г<оо, 0 <t< í0}.

»i(r ^ес'^пс1^), i»j(r,<) € C2-1(£)2)n C1'°([a(í))oo)n [0,<oD, P(t) € C(0,<oI-

В начальный момент времени область D-¡ вырождается, поэтому начальное условие задается для функции v%(г, i)

и2(г,0) = i/(r), b < г < oo. (3)

Краевые условия, условия сопряжения температурных полей и условие Стефана записываются в виде

-Ai^l^lr=i = P(t) i G [0,fo]> (4)

fi(r, 01,«w = «2(r, 0|r=a(t) = vit) t e [0, <o], (5)

dv2(rj)

dvfr ,t)

-M

dr

= -Л

2"

дг

+ <G[0,i0], (6)

r=a(()

r=a(t)

V2(r,i)|,=oo = Д°о) = 0 ie[0,io], (7)

и выполняется условие согласования

и[Ь) = ^(0).

Здесь 7 - удельный вес контактного материала, a(t) - закон движения жидкой фазы внутри твердой, Q - скрытая теплота плавления, А,- = const > 0, - коэффициент теплопроводности, о,- = const > 0 -коэффициент температуропроводности, qt = /2р/4тг2А; плотность джоу-левого теплового источника, р - удельное электрическое сопротивление, I - сила тока.

Рассматривается задача определения функции

где температура i>i(r,i) удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (5), (6), a(i) - известная функция, такая, что а'(0 6 С1[0, £о], а(0) = Ь, 0 < cf(t) < CP'^j >1, 0 < С < оо).

Введя вместо V\(r,t), Vi(r,t) новые неизвестные функции Ui(r,t), u2(r,i) по формулам

„ (г- Л - 91 « <* i\ ~ 92

уравнения (1), (2) можно привести к следующим

^ = b<r<a(t), a(0) = fc, 0 < f < i0, (8]

a(<) < r < oo, 0 < i < (9:

с начальным условием

u2(r,0) = ^(г), b < г < оо (io;

и граничными условиями

- Ä! (£îiM - |«i(M)) = m t е [о,toi, (11)

(^-alL-O^L,-*« (l2)

(13)

(14)

Ф) = <Р(0), (15)

где

= + fi(r) = rKr) + |,

Таким образом задача сводится к определению функции 6{t) из решения задачи (8) - (15) зная закон движения границы a(t). Решение задачи проводится в два этапа:

1. определение функции иг(г,<), удовлетворяющей уравнению (9), начальному условию (10), граничным условиям (12), (14) при условии (15);

2. определение функции ui(r, i)i удовлетворяющей уравнению (8) и граничным условиям (11), (12).

При доказательстве существования решения этих задач использованы известные результаты работ 1 3 *.

3Ким.Е.И., Бижалова Г.И. Исследование второй граничной задачи Стефана при малых значениях времени // Вест. АН КазССР, 1981. - N 6. -С. 76-86, '

'Кавокин A.A. Решение в малом некоторых нелинейных краевых задач для уравнения теплопроводности в области с подвижной границей. Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Алма-Ата, 1977 г.,

'Харин С.Н. Тепловые процессы в электрических контактах и связанные с ними сингулярные интегральные уравнения. Диссертация на соискание учен, степени канд. физ.-мат. наук., Алма-Ата, 1968.

- Ai

Ô«i(r,i)

9r

= -А,

r-o(<)

dv2{rtt) 1 дг

. AiÇi — Aaft .

H--,/v.x--r

lr-or(<)

2e»(*)

.da

+(Л2 - AiMi) + Qia(i)— t 6 [0, <o],

«з(г,*)|г=со = 0. Условие согласования имеет вид

т

4(0(0,0 + +

Для функций ui(r,t), иг(г,0 , с использованием функций Грина, получено интегральное представление. Далее, задача сводится к решению эквивалентной системы интегральных уравнений относительно функций

u[(a(t),i), u'3(o(i),<).

При изучении интегральных уравнений, к которым сводится определение величины u'j(a(i),i), аналогично работам 3,4 получены асимптотические представления для решения

h Ai bj

+^(M0) + ^)(eî"Ai)i + O(0 (16)

и величины теплового потока

0(0 = 0О + в^ + 0(0, (17)

где

во = А2Ц(Ь) + AiЪ (v(0) + + Q-ïbk.

Задачу определения значения функции 0(0 можно рассматривать как оптимизационную задачу: управляя величиной теплового потока 0(0 на поверхности электрода, к заданному моменту времени величину теплового потока на подвижной границе сделать как можно ближе к заданной величине, в частности, определяемой из условия Стефана (13).

Математическая формулировка этой задачи: требуется минимизировать функционал

т = /(¿«iwo.o -ло)а л as)

при условии, что «i(r,0 = «i(r, i, $) является решением задачи (8), (11), (12), а

т= М«2(г,0

дт

г=о(<)

Aiqi - Aiq2 Л2 - Ai Qfa(t) da 2Аю2(0 Ai V{) Ai dt'

При предположении, что управление в = 6(0 6 Я, состоящему из класса функций 0(0, таких, что 0(0 6 £г[МоЬ 0т;„ < 0(0 < 6тах, I) е доказаны следующие леммы: Лемма 1 Функционал J{9) является непрерывным.

Лемма 2

Пусть щ(г,1,в) - решение задачи (8), (11), (12). Тогда, если в\ Ф Вг хотя бы на некотором промежутке t G (ii> h) С (0,<o), то найдется такой интервал времени At 6 (0, t0), At > 0, на котором

(19)

С использованием этих лемм доказаны следующие теоремы Теорема 1

Функционал J{6) из (18) является строго выпуклым на множестве функций tij(r,t), $(t), определяемых условиями (8), (11), (12).

Откуда следует существование единственного минимума рассматриваемого функционала. Теорема 2

Функционал J(9) дифференцируем в пространстве ¿г[0, to] и его градиент J'(û) имеет вид.

где ф(г, t) - решение следующей сопряженной задачи:

-, 6 < г < a(i), а(0) = 6, 0 < t < t0,

дф(г, t) 2d^(r,t)

■ i л. ____

at 1 5г2

= О,

= О,

■=ь

Построение итерационных приближений к искомой функции осуществляется методом сопряженных градиентов, так как он обладает более высокой скоростью сходимости. Один из вариантов этого метода имеет вид

вш=вк-ачк, й = 0,1,2,...

7* = / Ат)Лт, р\т) = + 0крк-\т),

о

Рк=о -1 Ра = 0>

где в0(<) - известное начальное приближение, которое в случае a(t) = 6+ kt7, а(0) = b, следует определять используя асимптотическое npej ставление (17).

Для проверки метода проводилось сравнение с точным решением з; дачи (8)-(14) вида

к

= гим + exp —r(b + kt —г)

•

для a(i) ~ b-bkt, при малых i. Приближенное решение (8)-(14) выбир лось в виде

и,- = 4г + А\ + Е А\№ erfc (i = 1,2).

Коэффициенты Л,- (» = 1,2) определялись из минимизации невяз] в граничных условиях (10)-(14). Решение с точностью 5-10% для мал го времени определялось после 2-3 итераций, что подтверждает Э1 фективность предлагаемого метода с использованием асимптотическо представления 9{t).

Глава 2

В первом параграфе второй главы диссертации рассматривается р шение обратной сферической задачи стефан'овского типа при автомодел ном законе движения границы фазового перехода. Функции щ(г, t), щ(г, удовлетворяют уравнениям теплопроводности

в области {(г, t):b<r < a(t), t > 0}; (2

масти {(г,<) : a(t) < г < оо, t > 0} (2

r(r) при а(0) = b < г < оо; (2

+ при t > 0; Р

и1(а(0,<) = Ы<)при i>0; (Î

и3(а(0,0 = Уз(0при i>0; (î

dm - a'5'"1

dt

ÔUj 3Ô2Uj

~dt = °2 ôr*

u3(r,0)

-A, a„

где а(0) = b,i> 0;

«21^ = 0 при ОО;.

Здесь /(г), у>(<) - заданные функции, относительно которых предполагается, что они представимы в виде

„=0 я=0

причем коэффициенты /^(6), <р„ растут не быстрее некоторой показательной функции |У>п| < М".

Кроме того, предполагается, что заданная функция /(г) такова что,

ЦШг-.оо^г) = 0.

Решение задачи (20)-(27) ищется в виде 5

OQ

«1(г,0= Е<п/2

п=0

. .п Л Г — 6 „ , 6 — Г

Л„»пег!с --т» + B„i erfc

«а(г,0 = Е *п/г

п=0

2а\\Д г-Ь

C„inerfc--т= + Dni"erfc

2а\лД. Ь-г

2a2Vt ' р(о = £ Pni(n-1)/3,

»=0

(28)

(29)

(30)

где Ап, Вп, Сп, А>, Рп, коэффициентами подлежащие определению, i2"erfc х - функции Хартри , п .- положительное число или нуль,

00 0 х

i2nerfc х = / i^erfcf^, i°erfcz =!--=[

1 v*6

Для функций ¡"erfcx доказаны следующие оценки

i"erfc х < ineric 0 = -г, х > 0,

2»Г(! + 1)

i"erfcx > М а,Л(я + 1)Г(п/2 + 1)'

где М = е"1/24/21'4тг1/2, с помощью которых доказывается сходимость решений в классе аналитических функций.

»Ким Е.И., Омельченко В.Т., Харин С.Н. Математические модели тепловых процессов в электрических аппаратах. - Алма-Ата: Наука, 1977. - 236 с.

(31)

(32)

(33)

Во втором параграфе рассмотрена задача для случая равномерного движения границы. С помощью функции Грина третьей краевой задач* поставленная задача сводится к решению интегрального уравнения Воль-терра первого рода, которое затем решается численно. Предполагается что неизвестная функция 9(t) кусочно постоянна. Составляющие плот ности теплового потока 01,вг, • • • считаются известными и разным! между собой. Последующие составляющие теплового потока определяют ся из задачи минимизации разности

E(tn) = E(K"(Wi,Wi) - F(tn+i. О)2 ¡=1

методом наименьших квадратов относительно $л . Здесь n(t) = = dui(a(i),t)/dr, F(t) - заданная функция.

Глава 3

В третьей главе диссертации рассмотрена задача определения соста вляюгцих теплового потока, воздействующего на поверхность электрода

Удельный тепловой поток Р , идущий в катод, формируется как ре зультат баланса его компонент:

Р = Pi + Ри + Ртс - Pem - Pev, (34

где составляющие потока в правой части обусловлены следующими фи

зическими процессами: Р,- - ионной бомбардировкой катода,

Р,» - обратными электронами дуги,

Рте - лучистым потоком дуги,

Рст - эмиссионным охлаждением катода,

Pev - потерями тепла на испарение ,

и определяются следующими выражениями

Pi = ji [Ui - <Peff )сц + Uca%), (3i

/2 kT \

= + (3(

РгС = ат[ееГе4-£сТс4], (3'

= + (3!

Peu = LevlVevJ. (3:

Здесь j , jie , jem - плотности тока ионов, обратных электроне эмиссии, Ui , <рсф ф , Uc - потенциал ионизации, эффективная рабо:

выхода, катодное падение напряжения, аь , аз - коэффициенты рекомбинации, аккомодации и отражения электронов, Те - электронная температура дуги, к, aj - постоянные Больцмана и Стефана-Больцмана, е- заряд электрона, ее, ес - степени черноты дуги и катода, Ьп и Vtv - удельная теплота и скорость испарения, 7 - плотность, I - ток.

Величины, входящие в правые части (35) - (39), связаны следующими соотношениями:

£о с V 2е П

уравнение Макхоуна , те,т,- - массы электрона и иона, Е - напряженность электрического поля у катода; ¿¡е = 0.25пеУе • е • ехр^—е ис/кТе^ -уравнение плотности тока обратных электронов , пе,Уе - концентрация и скорость электронов в плазме дуги, Уе = у8/гГе/тгте - тепловая скорость электронов плазмы; = АОТссхр[—е <ре///- уравнение Ричардсона-Дэшмала; = ]т—]{е~ баланс электронного тока; .7 = +Небаланс полного тока; = — л/еЕ — Д(р - эффективная работа выхода с поправками на эффект Шоттки и температурную зависимость ; кТе = 0.15 е С/,е// - формула Бэйда-Йоса р = пкГе - уравнение состояния в плазме; р -давление, Уеу = \йА~1)1т' - скорость испарения.

Эффективный потенциал ионизации 11{ец учитывает влияние материала электрода на проводимость плазмы и определяется из выражений

/ сре/м /еиц\ I е {/,-2\

п ехрГ^г) = П1 схр("1тг)+ ехП~йГ>

Р1 = щкТе, Р2 = п2кТе,

где пь"2)^|"1,^|'2>РьР2 - соответственно концентрации, потенциалы ионизации, парциальные давления газа и паров металла, п = щ + п2.

В качестве примера приведен этот расчет для дуги на вольфрамовом катоде, горящей в атмосфере гелия при следующих данных, взятых из эксперимента 6 : I - 150Л, ^ = 2 • 107Л/л<2, <р = 4.55, ие = 7В, и{ = 24.5В, «1 = 1, а2 = 0.5, а3 = 0, р= 105В ■ м2, А = 88Вт/м • град, а2 = 0.35 • 10~*м2 ■ с~\ А = 90 • 104Д • м~г ■ град, О = 1.

"Жуков М.Ф., Козлов Н.П., Иустогаров A.B. и др. Приэлектродные

процессы в дуговых разрядах. - Новосибирск: Наука, 1982. - 157 с.

Список основных работ, опубликованных по теме диссертации

1. Искакова К.С. Решение обратной сферической задачи Стефана при автомодельном законе движения границы. // Изв, АН КазССР. Сер. физ.-матем. - 1986. - N 5. - С. 12-16.

2. Искакова К.С. Mathematical Model and the Calculation of Heat Flu> Components. //ISECTA'93, Proceedings of the International Symposium or Electrical Contacts, Theory and Applications. - Almaty, Kazakhstan, June 21-25, 1993. - C. 83-86.

3. Искакова К.С. Об одной обратной задаче стефановского типа в теории электроконтактной дуги для малых значений времени // В кн. Уравнения с разрывными коэффициентами и их приложения. - Алма-Ата, Наука 1985. - С. 34-43.

4. Искакова К.С. Сферическая обратная задача Стефана с равномерные движением границы фазового перехода. // Изв. АН КазССР. Сер. физ. матем. - 1989. - N 5. - С. 58-63.

5. Искакова К.С. Расчет составляющих нестационарного теплового пото ка в электрод // в кн. Нестационарные дуговые и приэлектродные про цессы в электрических аппаратах и плазмотронах.- Алма-Ата, 1991. - С 140 - 146.

3JieKTpoflorajwK racipjisp Ha3apHflcuimaru CTe$aHnuK TeKTec Kepi ecenrep

IDeKapaJMK niapTTU KajEnraa Kejrripyre apHajiraH CTeiasmuK TeKTec Kept KYM(3e3ilK ecenrep 3epTT8JiT8H.

OjiapRHH epeKfflejitri THicTi ayMaKH TeajteyjiepfliH eperane cnna-thh aHHKTaflniH aftMaKran yaKUTTUH dacTanKH MesrlJitHfleri xoftujiyH -6ojMn Tst5ujiajjj.

EceirriH meniiMtH ruimaKTU Kvpacrapyra MYMKiHfltK depeTiH TaJwaMflH saHe xyuKTay a^icrept xacaJWHraH.

3JieKTpo^ora TacKwm ma mscuh amKTay Macejiecinaeri KOJiflamJCTapu KapacTHpturraH.

Inverse Stefan Type Problems at the Theory of Arc Electrical Processes

Inverse spherical problems of Stefan type concerning reconstruction of boundary condition are investigated. Their peculiarity is bounded with disappearance of a domain at the initial time and it is the reason why corresponding integral equations become singular type.

Analytical and approximate methods for effective solution of this problem are elaborated. Some applications to the problem of definition of electrical arc flow are considered.