Генерация уединенных волн деформации в нелинейных твердых телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

00306Т20Э

На правах рукописи

Порубов Алексей Викторович

ГЕНЕРАЦИЯ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2006

003067209

Работа выполнена в Физико-Техническом институте им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Аэро Эрон Люттович

доктор физико-математических наук,

профессор

Ерофеев Владимир Иванович доктор физико-математических наук, профессор

Кудряшов Николай Алексеевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный университет

Защита состоится " Ч " 200^Тода в часов ^ минут на засе-

дании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН но адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О.,61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

т разослан " " I 20&£года.

Автореферат

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Генерация и усиление локализованной (уединенной) волны деформации, т.е., рост ее амплитуды по мере распространения, является важной во многих отношениях проблемой. В частности, рост амплитуды волны может привести к достижению предела текучести, что способствует появлению зон пластичности или микротрещин в волноводе. Усиление волны может быть свидетельством таких факторов, как геометрическая неоднородность водновода, микроструктура материала, влияния внешней среды посредством нормальных и тангенциальных напряжений на поверхность волновода ц др. Особо следует отметить проблему адекватного описания усиления сейсмических волн, обусловленное свойствами почвы, ее ('ложной неоднородной структуры. Все вышеизложенные проявления усиления волны деформации позволяет использовать данные о характере усиления для исследования прочности твердотельных конструкций, развития методов неразрушающего контроля, определения физических свойств упругих материалов. Актуальность исследования именно локализованных волн связана с их способностью генерироваться из достаточно произвольного возмущения, распространяться с сохранением своей формы и сохранять свою локализованную природу при усилении/ослаблении. Знание особенностей эволюции уединенной волны деформации может способствовать решению упомянутых выше проблем.

Существенным фактором, влияющим на генерацию и усиление уеди-нееной волны деформации, является нелинейность. Как правило, нелинейность обусловлена двумя факторами, геометрическим, связанным с нелинейной зависимостью деформаций от смещений, и физическим, проистекающим от необходимости нелинейного обобщения закона Гука. Таким, образом, актуальной проблемой является построение адекватной теории усиления нелинейных волн деформации. Недавние достижения в области общей классической нелинейной теории упругости связаны с работами Д. Бленда., Г. Кольского, П.А. Жилина, А.И. Лурье, Ж.А. Можена, Ф. Мурнагана, В.В. Новожилова, В.А. Пальмова, С. Трусде-ла, А.К. Эрннгена и ряда других авторов. В последнее время в работах Э.Л. Аэро, В.И. Ерофеева, А.II. Потапова, Р.Д. Миндлпна, Ж.А. Можена, Е.С. Сухуби, А.К. Эрннгена получили развитие нелинейные модели недпссипативных неклассических сред, а модели, учитывающие влияние диссииативных факторов, развивались в работах Можена, А.И. Потапо-

ва, К). Энгельбрехта и др. Аналогичные модели развиваются для моделирования смесей и сейсмических процессов, например, в работах В.Н. Николаевского. Несмотря на множество работ в данном направлении, во многих случаях остается открытым вопрос о выборе модели, адекватно описывающей нелинейный процесс, с одной стороны, и подлежащей математическому анализу с другой.

Основные достижения, связанные с описанием нелинейных волн деформации, представлены в работах А.И. Весницкого, JI.K. Зарембо, В.А. Краеильникова, Л.А. Островского, А.И. Потапова, О.В. Руденко, A.M. Самсонова, Ю. Энгельбрехта и других. Среди волн деформации, способных сохранять свою форму при распространении, в нелинейной акустике основное внимание уделялось высокочастотным волнам огибающей. В то же время известно, что баланс между нелинейностью и дисперсией может приводить к появлению длинной колоколообразной волны деформации постоянной формы (уединенной волны или солитона), которая может распространяться и передавать энергию на большие расстояния. Другой тип волны постоянной формы в виде слабой ударной волны, или кинка, возникает обычно вследствие баланса между нелинейностью и диссипацией. Важно отметить, что колоколообразные уединенные волны деформации- реально существующий тин волны, которые впервые были получены экпериментально в работах иод руководством A.M. Самсонова в ФТИ РАН. Следует также отметить эксперименты, проводимые в Институте Машиноведения в Нижнем Новгороде.

Существенной проблемой является то, что, как правило, модельные уравнения нелинйеных волн деформации неинтегрируемы и развитые общие методы построения решений (см. работы М. Абловица, В.Е. Захарова, А. Ньюэлла и др.) для них оказываются малопригодными. Аналитически удается найти только некоторые частные решения, обычно это решения в виде бегущей волны. Известно, что решения нелинейных уравнений чувствительны как к выбору начальных условий, так и к значениям коэффициентов уравнения. Поэтому велика вероятность, что тот или иной режим может быть пропущен или неверно истолкован при использовании только численного моделирования. Поэтому представляется актуальным поиск возможности использования даже частных аналитических решений неинтегрируемых уравнений для разработки численного алгоритма, предсказания поведения решения и подтверждения найденных численных решений.

Цели работы:

-Разработка метода получения адекватных модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом граничных условия на поверхности волновода.

-Использование метода для вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации в системах с внутренними источниками усиления/затухания, при наличии геометрической неоднородности, микроструктуры, а также с учетом воздействия внешней среды.

-Исследование генерации и усиления/гослабления нелинейных волн деформации с учетом воздействия дисперсионных, активных/ диссина-тивных факторов, а также диффракционной расходимости.

-Разработка метода аналитико-численного исследования неинтегри-руемых нелинейных уравнений, позволяющая описать нестационарные волновые процессы.

-Исследование применимости полученных аналитических результатов для оценки свойств упругих классических и неклассических материалов, определения параметров, характеризующих их свойства посредством оценки поведения волны деформации и возможного измерения ее амплитуды и скорости.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

-Новый метод вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом выполнения граничных условий на поверхности волновода.

- Новая нелинейная теория генерации уединенных волн продольной деформации в стержне и в пластине с учетом кубической нелинейности.

-Новая нелинейная теория описания роста и затухания уединенных волн деформации в стержне с микроструктурой, и в упругих волноводах (стержень и пластина), взаимодействующих с внешней упругой средой, а также в стержне, с изменяющимся поперечным сечением.

-Асимптотическая и численная нелинейная теория отражения уединенной волны от торца полу-бесконечного стержня.

-Новая теория усиления и селекции нелинейных волн деформации в стержне, воздействующем с внешней активной/диссипативной средой, в сейсмической среде л в среде с микроструктурой.

-Новая теория локализации и усиления двумерных волн деформации в пластине и в среде с микроструктурой.

-Новая процедура аналитико-численного исследования неинтегрируе-мых нелинейных уравнений, основанная на использовании частных аналитических решений для нужд численного моделирования нестационарных волновых процессов.

Практическая значимость работы заключается во-первых, в применении найденных решений для расчета прочности конструкций, например, стержневых, подвергающихся импульсному ударному воздействию. Предсказание особеннностей усиления локализованной волны в зависимости от свойств почвы имеет важное значение в сейсмологии. Во-вторых, возможно применение полученных аналитических результатов для оценки и измерения параметров (например, модулей упругости высоких порядков) используемых моделей упругих классических и неклассических материалов (материалов с микроструктурой, почв и др.). В-третьих, многие задачи механики деформируемого твердого тела в ограниченных областях могут быть успешно решены при помощи развитого в работе метода вывода модельных нелинейных уравнений. Наконец, процедура аналитико-численного исследования нестационарных нелинейных волновых процессов может быть использована для широкого класса задач математической и теоретической физики, связанных с нелинейными волновыми процессами.

Достоверность полученных результатов основана на на строгом использовании математического аппарата, соответствии аналитических и численных решений, физической обоснованности полученных решений.

Положения, выносимые на защиту

• Новый метод вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом граничных условия на поверхности волновода.

• Новые модельные нелинейные уравнения для волн продольной деформации в стержне н в пластине с учетом кубической нелинейности. Новая теория генерации уединенных волн деформации на основании решений этих уравнений.

• Теория отражения уединенной волны от торца нолу-бесконечного стержня.

• Теоретическое исследование влияния геометрической неоднородности волновода, недиссипативной микроструктуры и внешней упругой среды на генерацию и усиление уединенных волн деформации.

е

• Теория усиления и селекции нелинейных волн деформации в стержне, воздействующем с внешней активной/диссипативной средой.

• Исследование локализации и усиления нелинейных волн деформации для моделей сейсмической среды и среды с активной/диссипативной микроструктурой.

• Теория локализации двумерных нелинейных волн деформации.

• Приложение полученных результатов дли оценки значений упругих модулей высоких порядков, параметров микроструктуры, поверхностного натяжения на боковой поверхности волновода, свойств сейсмической среды.

• Разработка процедуры аналнтико-численного исследования неин-тегрируемых нелинейных уравнений, позволяющая описать нестационарные волновые процессы. Построение ряда новых точных решений.

• Исследование применимости полученных аналитических результатов для оценки свойств упругих классических и неклассических материалов, определения параметров, характеризующих их свойства посредством оценки поведения волны деформации и возможного измерения ее амплитуды и скорости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на многих международных конференциях, в частности, на Internationa] Workshop "Complex Structures, Generalized Continua and nonlinear Waves"(Нанси, Франция, 2006), "FPU ) 50: Nonlinear waves 50 years after Fermi-Pasta-Ulam"(Pyan, Франция, 2005), ISASUT Intensive Seminar on Non-Linear Waves, Generalized Continua and Complex Structures (Турин, Италия, 2005), RIAM Symposium No. 16ME-S1 "Physics and Mathematical Structures of Nonlinear Waves"(®yKyoKa, Япония, 2004), XII Winter School "Nonlinear Waves-2004" (Нижний Новгород, 2004), GAMM 2003 (Падуя, Италия, 2003), Международных конференциях "Advanced Problems in Mechanics-(Санкт - Петербург, 2002-2006), Euroinech 436: Nonlinear Waves in Micro structured Solids (Таллинн, Эстония, 2002), International Workshop on Nonlinear Lattice Structure and Dynamics (Дрезден, Германия, 2001), Fourth International Seminar on "Geometry, Continua and Microstructures" (Турин,

Италия, 2000), "Nonlinear Waves in Solids"(Гонконг, Китай, 2000), Международных конференциях "Дни Диффракции"(Санкт - Петербург, 2000-200G), Fourth International Congress on Industrie! and Applied Mathematics (Эдинбург, Великобритания, 1999), "Interface Р1]епотепа"(Мадрид, Испания, 1998), Euromech Colloquium 378 "Nonlocal Aspects in Solid Mechanics" (Мулуз, Франция 1998), 10-й Зимней школе но механике сплошных сред (Пермь 1995); научных сессиях МИФИ в 2005 и в 200G годах. Кроме того, результаты докладывались на семинарах ФТИ им.А.Ф. Иоффе РАН, Института Проблем Машиноведения РАН, СПб отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН, Университетов им. Пьера и Марии Кюри в Париже, Руана, Кашана (Франция), Турина (Италия), Эдинбурга и Глазго (Великобритания), Мадрида (Испания), Киото, Кюсю (Япония).

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (94-01-0Gla, 98-01-01109), Международного Научного фонда (R56000, R5G300), программы ИНТАС (99-00167).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 печатных работ, из них 1 монография (издательство World Scientific, 2003), 2 главы в коллективных монографиях (Birkhäuser, 2002; Наука, 1997), 23 статьи в реферируемых международных журналах, 8 статей в сборниках трудов международных конференций.

Вклад автора. Работы |8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] выполнены без соавторов. Работы |1, 2, 3, 4, 5, G, 7, 15, 36] выполнены на паритетной основе. В работах [16|-[35] автору принадлежит основной вклад в постановку задач и получение конечных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 303 наименований. Текст работы изложен на 306 страницах. Диссертация содержит 72 рисунка и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указана научная новизна, практическая значимость работы, перечислены положения, выносимые на защиту, указаны печатные работы, в которых отражены основные результаты, и определена

доля автора в совместных публикациях.

В первой главе строится теория вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации в одномерных волноводах. Рассмотрение ведется для изотропных материалов, плотность свободной или внутренней энергии которых описывается т.н. девятиконстантной моделью Мур-нагана,

„ Л + 2(1 т2 I + 2т ,, „ г Т

П = —2/Л2 + ——- 2шЛ/2 + п13 +

и11? + и212112 + и31г13 + и411 (1)

где модули третьего и четвертого порядков могут быть любого Знака, а ¡1 - инварианты тензора деформаций Коши-Грина. Модель называется нятиконстантной, если модулями четвертого порядка пренебрегают. Вначале в разделе 1.1 вводятся основные понятия и поясняются источники нелинейности. После постановки задачи в разделе 1.2.1, в разделе 1.2.2 следует обоснование и объяснение нового метода, позволяющего редуцировать исходную трехмерную постановку задачи к одномерному модельному уравнению для продольных волн деформации с учетом граничных условий на боковой поверхности волновода. Этот метод обобщает использованную ранее процедуру, основанную на учете ряда физических гипотез относительно ноля деформации в водноводе.

В результате в разделе 1.3 в рамках нятиконстантной модели выводятся соотношения для компонент вектора смещения в стержне с учетом граничных условий на поверхности стержня, а результирующее модельное уравнение для волн продольной деформации ь(х, Ь) оказывается известным уравнением с двумя дисперсиями (УДЦ), полученным ранее другими авторами на основании физических гипотез плоских сечений и Лява,

Уи ~ ьхх - сг ( у2)хх + «з уххи - о4 ухххх = 0. (2)

где коэффициенты зависят от свойств материала и радиуса стержня. Показывается, что отличие в коэффициентах при дисперсионных слагаемых оказывают существенное влияние на параметры точного решения УДД в виде локализованной колоколоообразной волны,

у = АсЬ~2(к(х-Уг)), (3)

АЛл„ _>алА

5 (. 50 100 * ' " 150 ■=[ Алдл ............... „ллЛ 200

5|. 50 100 ' 150 200

£|. 50 100 ' 150 Ц !\Лл*..х ...,ллЛ 200

50 ' а 00 ' 150 = [ Млл. , ,.. .ллМ 200

5|. 50 100 150 Ц К УА 200

5[ 50 150 Ц к./л 200

5|. 50 1Б0 Ч . П 200

50 100 150 200

Рис. 1: Образование последовательности уединенных волн из начального прямоугольного импульса растяжения.

поскольку они выражаются через коэффициенты уравнения (2). Также обнаружены отличия в числе генерируемых из начального возмущения уединенных волн и в значениях их амплитуд. Эволюция произвольного начального импульса исследуется численно, показано, что точное решение в виде бегущей волны позволяет предсказать важнейшие свойства решения, в частности, зависимость локализации волны от знака коэффициента при нелинейном слагаемом УДЦ, в частности, при 1 > 0 оказывается возможным образование только солитонов только из начального импульса растяжения, см. Рис.1, в то время как начальный импульс сжатия диспергирует. В то же время, отклонение от плоских сечений оказывается очень малым, что позволяет применять построенную теорию для объяснения экспериментальных данных но наблюдению солитона продольной деформации в стержне.

Поскольку не все свойства наблюдаемой волны деформации удовлетворительно описываются решением (3), в частности, ширина уединен-

ной волны, для уточнения модели в разделе 1.4 выводится новое уравнение для продольных волн с учетом кубической нелинейности в рамках девятиконстантной модели. Вывод модельного уравнения в разделе 1.4.1 осуществляется при помощи разработанного ранее в разделе 1.2.2 алгоритма. Показано, что результирующее уравнение имеет вид УДЦ с дополнительным кубическим нелинейным слагаемым (уъ)хх,

■Ун. - а ухх - С1 (ь2)хх - с2 (и3)хх + «з уххи ~ «4ухххх = 0. (4)

В разделе 1.4.2 исследуется точное решение уравнения в виде бегущей уединенной волны,

<ЗсЬ(к(х- П)) + 1' К >

проводится сравнение с аналогичным решением УДЦ. Показана возможность сужения уединенной волны, что более соответствует экспериментальным наблюдениям. Кроме того, найдено новое, ограниченное при с2 > 0, точное решение

' С}сЬ(к(х — VI)) — 1' ^ ;

которое вместе с (5) предсказывает существование как уединенной волны сжатия, так и растяжения в отличие от решения УДЦ. Раздел 1.4.3 посвящен численному исследованию генерации локализованных волн деформации в рамках выведенного уравнения, показано, что оба точных решения описывают локализованные волны, образующиеся из начального произвольного возмущения. Усьановлено, что кубическая нелинейность влияет на число уединенных волн, время образования волны и ее амплитуду. Наконец, раздел 1.5 посвящен исследованию отражения уединенной волны от торца стержня. Строится асимптотическое решение задачи позволяющее описать поведение бегущей уединеной волны вблизи торца в зависимости от условий его закрепления. Далее получено численное решение задачи в рамках уравнения УДЦ, показано хорошее совпадение с предсказаниями, сделанными на основании частного асимптотического решения. Отмечено сходство аналитических решений с экспериментами по наблюдению отражении от торца стержня из полистирола.

Рис. 2: Усиление продольной волны деформации: сравнение теории и эксперимента. Сплошные кружки • и прозрачные треугольники Л построены по данным из [30].

Во второй главе исследуется усиление волны деформации в стрежне, происходящее без притока энергии в волновод извне. В разделе 2.1 рассматривается усиление уединенной продольной волны деформации в сужающемся стержне. Процедура из раздела 1.2.2 используется в разделе 2.1.1 для вывода модельного уравнения,

Щт ~ шИ (я2у + + арАутт ~ ш4ухх ~4Ьд3д*"») =

(7)

модифицирующего ранее выведенное без учета граничных условий на боковой поверхности волновода. В разделе 2.1.2 строится асимптотическое решение, описывающее эволюцию уединенной волны (3), позволяющее получить аналитическую зависимость амплитуды н скорости волны от характера сужения (расширения) стержня. Анализ полученного соотношения определяет основные особенности усиления, связанные с одновременным сужением волны и ее стремлением к асимметричному виду. Проведенное сравнение с экспериментальными данными показывает хорошее совпадение с предсказаниями теории как следует из Рис.2.

Затем, в разделе 2.2 рассматривается влияние внешней упругой среды на эволюцию уединенной волны деформации в стержне. Раснростра-

Pue. 3: Усиление и восстановление уединенной волны деформации.

няющаяся в данной системе волна деформации является объемной для стержня и поверхностной для среды. Рассматривается контент с про-скальзванием, т.е, только по нормальным напряжениям, а внешняя среда полагается линейно-унругой. В разделе 2.2.1 приводится постановка задачи. Вначале, в разделе 2.2.2 строится решение для окружающей среды, затем полученные результаты используются в разделах 2.2.3, 2.2.4 для вывода уравнении для продольных волн деформации в стержне, используя методику Раздела 1.2. Найдены три режима распространения волн, зависящие от соотношений между характерными скоростями линейных волн деформаций в стержне и в окружающей среде. Это позволяет определить в разделе 2.2.5 нары материалов стержень-среда, в которых возможно распространение уединенной волны постоянной формы. Выведено модельное уравнение для продольных волн деформации, имеющее вид УДЦ, но с коэффициентами, зависящими от параметров внешней среды. Поскольку амплитуда н скорость возможной уединенной волны при наличии среды отличаются от случая стержня со свободной поверхностью, усиление уединенной волны деформации может быть достигнуто, если только часть стержня контактирует с внешней средой. Используя полученные аналитические результаты в разделе 2.2.6 проведено численное исследование этой ситуации. Показано, что с полном согласии с теорией волна может усиливаться, см. Рис.3, или ослабляться при переходе из зоны со свободной поверхностью в зону, контактирующую с внешней средой. Также возможны случаи делокгищзацни уединенной волны или, наоборот, локализации волнового пакета. Поскольку эти процессы хорошо описываются явными аналитическими выражениями, т.е., зависимостями амплитуды и скорости от параметров материалов стержня и внешней среды, в разделах 2.2.7 и 2.2.8 предложено приложение решения для оценки модулей Мурнагана и коэффициента поверхностного натяжения посредством оценок параметров уединенной волны деформации.

Наконец, раздел 2.3 посвящен исследованию влияния микроструктуры на эволюцию нелинейной волны деформации в стержне со свободной боковой поверхностью. Вначале, в разделе 2.3.1 описаны две модели для потенциальной энергии с учетом влияния микроструктуры, псевдоконтинуума Коссера и континуума Леру ("вмороженной микроструктуры"). Затем, в разделе 2.3.2 выводится модельное уравнение для первой модели, а для второй модели уравнение получено в разделе 2.3.3. В обоих случаях получаем УДЦ, однако коэффиценты при дисперсионных слагаемых теперь зависят от параметров микроструктуры. Оказывается, что

влияние двух микроструктур на поведение уединенной волны диаметрально противоположное. Так, континуум Леру способствует усилению и сужению уединенной волны деформации, а исевдоконтинуум Коссера -ее ослаблению и расширению. Математическое подобие рассматриваемой ранее задаче о воздействии внешней среды позволяет использовать численные результаты раздела 2.2.6 для стержня, часть которого содержит микроструктуру, т.е. область II на Рис. 3 соответствует микроструктуре но модели континуума Леру. Предложенное возможное применение найденных решений, как и в разделе 2.2, заключается в возможности оценки параметров микроструктуры и распознавании того или иного вида микроструктуры.

В третьей главе рассматривается влияние внешней среды на усиление волны деформации в стержне. В разделах 3.1 и 3.2 используется феноменологическая модель взаимодействия с активноц/диссииагивной средой только по нормальным напряжениям

Р"т = - Г) Ш; + х г2 и>хх1, (8)

где и) есть смещение вдоль радиуса стержня, к есть коэффициент жесткости внешней среды, г/ есть коэффициент вязкоупругости внешней среды, X есть коэффициент вязкости внешней среды. Эта модель была разработана ранее для описания реальных сейсмоактивных сред с характерной иерархией дискретного внутреннего строения (напр., сухих и водо-насыщенных песков), а также воздействия снега и замороженного грунта (нермафроста). Раздел 3.1 посвящен рассмотрению эволюции колоколо-образной волны в стержне. Новое модельное уравнение для волн деформации выводится в разделе 3.1.2 при помощи разработанного в разделе 1.2.2 метода,

Щ1 ~ «1 "и - «2Ухп ~ а3(у2)хх - а4ухххх -I- а5 ухх11-

о6 (У2)хх1 - а7 ухххх1 + а8 УххШ — 0. (9)

В разделе 3.1.3 получено новое точное решение в виде уединенной волны с фиксированными параметрами (см. Главу 6 о получении более общего периодического решения). Далее, для случая слабого воздействия внешней среды в разделе 3.1.4 построено асимптотическое решение, описывающее эволюцию уединенной волны иод действием актив-ных/диссипативных возмущений. На основании решения выведено уравнение для изменения скорости и амплитуды волны, позволяющее описать

— 1-г5 1.25 1 - — - — ' -—•

0.75 0.5 1 Ч У У ,У У Л

-40 -20 20 40 60

Рис. 4: Селекция уединенной волны деформации. 16

усиление волны до некоторого уровня, предписанного параметрами задачи и указать физические условия, необходимые для этого. Конечный предельный уровень амплитуды и скорости волны определяется не начальным условием, а параметрами задачи, прежде всего упругими свойствами материала стержня и параметрами внешней среды к, г) и Х- Это позволяет говорить о селекции уединенной волны, поскольку найденное асимптотическое решение показывает, что все начальные уединенные волны могут стремиться к уединенной волне с одной и той же амплитудой н скоростью. Этот процесс селекции уединенной волны показан на Рис.4.

Существование селектированной волны постоянной формы обеспечивается, с одной стороны, балансом между нелинейностью и дисперсией в стержне, а с другой- балансом между активным и диссипативным воздействием со стороны внешней среды. В то же время, воздействие среды может быть иным, обеспечивая баланс между нелинейностью и диссипацией. Для этого случая в разделе 3.2.2 выведено другое новое модельное уравнение,

1'и ~ "1 Ухх - «2Ухх1 - а3(у2)хх - а4ь„хх + «5УххШ-

«6 (Р%х1 ~ «7 ( У3)хх = О, (10)

описывающее эволюцию слабых ударных волн при воздействии внешней активной/диссицативной среды. Для этого уравнения в разделе 3.2.3 приводится ряд точных решений (см. главу 6 о получении решения), в том числе, периодическое решение, имеющее своим пределом уединенной волны волну в форме кинка

V = Ат\\1(тв) + В. (11)

Далее, в разделе 3.2.4 исследуется слабо-диссипативный предел выведенного уравнения, численное исследование указывает на отсутствие квазистационарного профиля волны нагрузки/разгрузки (кинка) в этом случае. Напротив, слабо-дисперсионный предел, исследованный в разделе 3.2.5, демонстрирует такую возможность, причем даже квазистационарное асимптотическое решение хорошо описывает форму профиля постоянной формы, которая возникает при численном исследовании эволюции начального профиля достаточно произвольного вида, см. Рис.5. Поскольку разность между максимумом и минимумом увеличивается но

-А

80 100 120

Рис. 5: Численное решение, демонстрирующее эволюцию в квазистационарное состояние, описываемое асимптотическим решением.

сравнению с начальным условием, здесь можно говорить об усилении волны нагрузки.

Раздел 3.3 посвящен исследованию влияния активной/диссипативной среды посредством касательных и нормальных напряжений, в частности, моделирующий воздействие посредством силы трения. В разделе 3.3.2 показано, что и при таких граничных условиях разработанный в первой главе метод позволяет получить еще одно новое модельное уравнение для описания эволюции нелинейных волн деформации в стержне,

Уи-а 1 ухх-а2 (у2)хх-а3 ьххи+ац ухххх = МЛ^+А ^2)х+0зУххх), (12)

где к,{ > 0 - коэффициент трения. В дальнейшем получены два вида асисмптотических решений, с учетом введения медленного времени, раздел 3.3.3, и медленной координаты, раздел 3.3.4, описывающих селекцию уединенной колоколообразной волны. Установлено, что они описывают эволюцию начальной волны к одной и той же симметричной относительно своего максимума/минимума селектированной уединенной волне. Показано, что селекция осуществляется только при определенных ненулевых при /?1 = /?1(ж), /?2 = 0, 0з = 0 получаем ситуацию, аналогичную образованию асимметричных уединенных волн деформации в сужающемся стержне, см. Раздел 2.1, где селекция не имеет места.

В четвертой главе исследуются объемные активные/диссипатнвные факторы, оказывающие влияние на усиление нелинейной волны деформации в среде. Раздел 4.1 посвящен моделированию нелинейных волн деформации в среде с актпвной/диссинативной микроструктурой.В разделе 4.1.1 предложена феноменологическая модель такой среды. Вводятся следующие малые параметры: £ << 1 описывающий упругость макродеформации; 6 = p2/L2 « 1, характеризующий соотношение между размером микроструктуры и длиной волны; 7 = d/L, характеризующий влияние диссипации. Далее выведено модельное нелинейное уравнение для одномерных волн деформации,

Vu - vm - -'nil <•-),.., - 702vxxi + S(a3vxxxx - a4vxxU) +

fS(a5 vxxxxl + a6 vxxUl) + 72a7vxxU = 0, (13)

коэффициенты которого зависят от параметров микроструктуры. В частности, оказалось, что включение градиента микродисторсии приводит к появлению дисперсии vXXXXl в то время как инерция микроструктуры дает нам смешанные но производным диссипативное и дисперсионное слагаемые. Эволюция волны деформации зависит от соотношения между параметрами £, j and S, также зависящих от микроструктуры. Раздел 4.1.2 посвящен исследованию возможности существования кап околообразных уединенных волн. Найдены соотношения между параметрами микроструктуры, при которых может распространяться уединенная волна постоянной формы (3) или происходить ее селекция. Получено асимптотическое решение, описывающее селекцию уединенной волны , см. Рис.4, вследствие диссииативных/активных возмущений. В разделе 4.1.3 найдены условия, при которых возможно распространение кинка (11) (волны нагрузки/разгрузки), построено аис.мптотическое решение, описывающее (подобно Рис.5) отклонение от формы классичекого кинка уравнения Бюргерса из-за влияния слабой дисперсии или диссипации высокого порядка. Предложено приложение полученных результатов для оценке параметров микроструктуры но поведению волны деформации, поскольку, измерения амплитуды и скорости уединенной волны позволяют получить значения этих параметров, если считать значения макромодулей упругости известными.

Раздел 4.2 посвящен анализу наблюдаемого усиления и селекции уединенной сейсмической волны за счет энергии, запасенной ранее ь среде.

Для моделирования сейсмической среды используется разработанная ранее модель,

щ + иих + ё, иххх = е/(м), (14)

где и есть продольная деформация, / - объемная сила, обусловленная так называемым дилатонным механизмом,

/(и) = а2и2 + а3и3) , (15)

«II вг, аз -положительные константы, характеризующие почву, и г есть малый параметр. Построенное в разделе 4.2.2 асимптотическое решение, как и для ранее решенных задач, позволяет описать процесс усиления и селекции локализованной сейсмической волны. В частности, в явном виде найдены пороговые значения амплитуды волны, (^1(0.1,(12,«з)> ^2(01, «2, «з), позволяющие определить возможность селекции уединенной волны но амплитуде начального условия. Проведенное в разделе 4.2.3 численное исследование позволило подтвердить правильность предсказаний асимптотического решения даже за пределами его формальной применимости, в частности, при распаде начального импульса произвольного вида, Рис. С, когда усиливаются и селектируются только те уединенные волны чьи амплитуды лежат в интервале ((Эьфг)- Также установлено, что взаимодействие между уединенными волнами не влияет на их селекцию. Важно отметить, что получено хорошее не только качественное, но и количественное согласие с асимптотическим решением в значениях амплитуды и скорости селектированной волны.

Раздел 4.3 посвящен применению разработанного алгоритма исследования усиления нелинейных волн деформаций к модельным уравнениям, описывающим влияние движущихся точечных дефектов, индуцированных внешним потоком энергии. Рассматриваются как волны в среде в разделе 4.3.2, так и волны в пластине в разделе 4.3.3. Установлено подобие модельных уравнений исследованным в Главе 3, что позволяет применить полученные в них решения для объяснения связи между усилением уединенной волны и характеристиками движущихся дефектов.

Пятая глава посвящена исследованию нелинейных волн деформации в двумерной постановке. В разделе 5.1 исследуется влияние внешней среды на локализацию и усиление волны деформации в пластине согласно модели Винклера- Пстернака, когда нормальные напряжения огг на боковой поверхности выраженны через поперечное смещение го,

= + А'2 Л гу, г = /г, (10)

X

Рис. 6: Эволюция начального распределения Гаусса и формирование двух селектированных волн.

<7.. = к^ш — к2 А V),

-к,

(17)

где Л есть двумерный оператор Лапласа по х и у, и к2 суть константы, характеризующие упругие свойства внешней среды. После постановки задачи в разделе 5.1.1, в разделе 5.1.2 метод из раздела 1.2.2 обобщается на двумерные задачи. Выводятся различные варианты модельных связанных нелинейных уравнений для продольных волн и поперечных волн, поляризованных в плоскости пластины. Раздел 5.1.3 посвящен исследованию плоских уединенных волн, локализованных только в направлении своего распространения, и описываемых УДЦ (2). Получена выражение для критического значения параметра внешней среды к2

при пересечении которого меняется знак амплитуды уединенной волны, что в дальнейшем оказывается существенным для поперечной неустойчивости. В разделе 5.1.4 рассматриваются волны, локализованные в плоскости или двумерные локализованные волны. В случае слабой диффрак-ционной расходимости эволюция продольной волны деформации описывается уравнением Кадомцева-Петвиашвнли (КП)

2Г1»т + (3 + 2аг/а1)(т12)1Ю + (а5/о1 - ав) г)моо + %,/ = 0, (19)

Показано, что при к2 > к2 изначально плоская уединенная волна вследствие поперечной модуляции превращается в цепочку двумерных локализованных волн, при этом соответствующее точное решение уравнения (19) описывает увеличение амплитуды двумерных волн по сравнению с плоской, т.е., усиление волны деформации, см. Рис. 7. В разделе 5.1.5 проводится численное исследование усиления изначально двумерного локализованного импульса деформации в пластине. Показано, что степень усиления зависит от формы и гладкости начального возмущения. В частности, начальный импульс в форме Гауссового распределения генерирует двумерную локализованною волны с амплитудой в 1.5-2 раза большей амплитуды начального возмущения. В то же время начальное возмущение в форме параллелепипеда позволяет получить усиление в 5-0 раз. Во всех случаях в результате генерируется продольная волна деформации, описываемая точным решением уравнения КП в виде лампа, см. Рис. 8. Процесс формирования лампа происходит подобно показанному

3(А + ц + АдЛ)

(18)

10 20 30

п

ТО 50 '

е)

40 50 1 )

10 ^0 30 40 50

X

С)

10 20 30 40 50

Ь)

А

10 20 30 40 50

а)

10 20 30 40 50

Рис. 7: Эволюция плоской уединенной волны в плоскости у — к/к, соответствующей максимуму промодулированной волны.

if.

(чшгоилгон ¿ня.юггп äFtmrt и vira .ill оичт iíMíN!.( ( :(¡ jii,(

kiihhi tu -и (ЧН

-tfott цотеанитгах gohdawaat .iriui í¡ ¡j\¡ hiíh.íiihkcIa ^ннашл! л)ныц :g .>eic|

Рис. 10: Образование двумерной локализований волны в результате усиления начального возмущении,

lia Рис. 7. Ijï) гой механизм двумерной тка. шзащш и рогга волны деформации обнаружен н разделе ö.l.(j для случая к2 < А'.;. ()н сшиан с резонансным взаимодействием плоских полубесконечных уединенных ноли п.ш вода с искривленными фронтами. Например, начальное возмущение. '¡ i'.fi|и: ■ на Риг.трансформируете» в волну, указанную на Рис. 10. Максимамыlue усиление состав. !нет четьцхмекратное yen.lenüa первоначальной волны. Численное и(^№дованне таких процессов позволяло установить связь между усилением двумерной йокализованной волны, iio.iv чей ной в [Результате взаимодействия. и высотой начальных ИОлШ Кроме тосо, существенлую роль в yell. je ниц двумерной локализованной полны играет кривизна фронтов начальных волн, искривление позволяет достичь почти 14-ти кратного усиления.

Раздел 5.2 поеншнен исследованию влиянии кубической нелинейности на эволюцию продольных волн в Пластине со свободными боковыми поверхностями. Постановка задачи в разделе 5.2.1 и вывод модельных уравнений в разделе Г>.2.2 огуществ. 1яются по использованной в предыдущих главах методике. Йграннчинясь рассмотрением только случая слабых поперечных изменений, считая, что волна движется вдоль оси

ж, получаем система связанных уравнений для продольных U(x,y,t) и поперечных V(x,y,t) смещений:

Uu-ai Uxx-a2Uyv-{al-ai)VX4-ai{Ul)x-a5(Ul)x-a&U;rx,rx+a7Uxx,l = О,

(20)

and

Vtl - щ V„ - a2Vxx - (щ - a2)U,.„ = 0, (21)

где о,; зависят от свойств материала пластины. В разделе 5.2.3 рассматривается точное решение в виде уединенной волны и проводится сравнение с моделью, основанной на учете только квадратичной нелинейности. Показано, что изменения, вызванные кубической нелинейностью в решении для пластины, отличаются от аналогичных изменений в стержне, полученных в главе 1. В частности, знак коэффициента при кубическом нелинейном слагаемом может быть противоположен знаку соответствующего коэффициента в уравнении для стержня (4)из Раздела 1-4, что существенно влияет на поведение уединенной волны деформации. В разделе 5.2.4 исследуется влияние кубической нелинейности на устойчивость плоской уединенной волны. Оказалось, что неустойчивость, приводящая к поперечной модуляции плоской волны, обеспечивается взаимным влиянием кубической нелинейности и смешанной дисперсии в уравнении.

Наконец, в разделе 5.3 исследуется селекция и усиление двумерных локализованных волн в среде, связанные с влиянием активной/диссинативной микроструктуры. В разделе 5.3.1 обобщены на двумерный уравнения, выведенные в разделе 4.1 в одномерной постановке. Асимптотическое решение уравнения

2v0t+Qi( v2)(iit-(a3-ai)voi)in)+b1vvll = 7[aj г'ооо-(аъ +afi)v5l)-2voT]+0('y2).

(22)

выведенного для случая малых поперечных возмущений в разделе 5.3.2, позволило определить условия усиления и селекции двумерной локализованной волны деформации в виде лампа, см. Рис.8. Найдены условия селекции лампа, изображенной на Рис. 11.

Шестая глава посвящена математическим аспектам задач, решенных в работе. Основное внимание уделено разработке комбинированного метода анализа модельных неинтегрируемых нелинейных уравнений, основанного на получении и использовании частных точных и асимптотически х решений для нужд численного моделирования нестационарных

2G

Vo

Рис. 11: Усиление и селекция двумерной локализованной волны в плоскости у = 0.

волновых процессов. Раздел 6.1.1 посвящен описанию метода нахождения частных точных решений уравнений. Затем в разделе 6.1.2 получено точное периодическое решение для модельного уравнения (9) из Раздела 3.1 в терминах эллиптической функции Вейерштрасса р(х — Vt,(|2,gз),

В а'

V = Ар+ —±- + 0. (23)

р + С

а в разделе 6.1.3- для уравнения (10)из раздела 3.2. Рассматриваемые в разделах 3.1 и 3.2 решения в виде уединенной волны являются частными случаями периодических решений. В разделе 6.1.4 получен ряд решений для связанных модуляционных уравнений Шредннгера и уравнения Гинзбурга-Ландау. Отличительной особенностью последних решений является их сложная структура, отличная от обычного точного решения в виде бегущей волны.

Все полученные точные решения являются частными, т.е., требующими специальных начальных условий. Однако, как показано в Разделе 6.2, многие из них точно предсказывают эволюцию начального возмущения произвольного вида, причем не только качественно, но и количественно.

Аналогичный вывод можно сделать относительно применимости частных асимптотических решений, рассмотренных в Разделе G.3. В качестве примера рассматривается уравнение, являющееся аналогом уравнений ии раздела 3.1, что позволяет использовать численные решения из раздела 6.3.2 для объяснения селекции волны деформации в разделе 3.1. В разделе 6.4 показано, что не только асимптотические колоколообразные решения, но и решения кинкового типа также описывают важнейшие особенности численных решений при произвольном начальном условии. В частности, влияние слабой дисперсии в рамках уравнения Кортевега-де Вриза- Бюргерса позволяет предсказать появление т.н. "шапочки"на фронте волны, см. Рис. 5. Наконец, в разделе 0.5 помещен краткий обзор по численным методам, использованным в настоящей работе.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

|1| Дрейден, Г. В., Пору бое, A.B., Самсонов, A.M., Семенова, И. В. Отражение продольной уединенной волны деформации от торца нелинейно-упругого стержня // ЖТФ. 2001. Т. 71, Вып. 5, 1-8.

|2] Порубов A.B., Самсонов A.M. Уточнение модели распространения продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне// Письма в ЖТФ. 1993. Т. 19. Выи. 12. 20-29.

|3| Порубов A.B., Самсонов A.M. Усиление солитона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне//Вопросы математической физики и прикладной математики. СПб.: ФТИ им. А.Ф. Иоффе, 2001. 139-152.

|4| Самсонов A.M., Дрейден Г.В., Порубов A.B., Семенова И.В. Соли-тоны продольной деформации в нелинейно-упругом стержне/ В кн. Российская наука: Выстоять и возродиться-М.: Наука. Физматлит., 1997. 33-41.

[5| Kliakhandler I.L. , Porubov A.V. and Velarde M.G. Localized finite-amplitude disturbances and selection of solitary waves// Phys. Rev. E. 2000. V. 02, 4959-49G2.

|G| Pastrone F. , Porubov A. V., Influence of Microstructures on the evolution of non-linear strain waves// Proc. of the Intl. Symp. of Multiscaling in Mechanics / Eds. G.C. Sih & C.P. Spyropoulos.- Greece, National Technical University of Athens Press, 2002. pp.102-109.

|7] Pastrone F., P. Cermelli P., Porubov A. V. Non-linear waves in 1-D solids with microstructure// Materials Physics and Mechanics .1. 2004. V. 7, Nol, 9-1G.

|8| Porubov A.V. Exact travelling wave solutions of nonlinear evolution equation of surface waves in a convect.ing fluid// J. Phys. A: Math. Gen. 1993. V. 20, L797- L800.

|9| Porubov A. V. Periodical solution to the nonlinear dissipat.ive equation for surface waves in a convective liquid layer// Phys. Lett. A. 199G. V. 221, 391-394.

|10] Porubov A.V. Strain solitary waves in an elastic rod with microstructure// Rendiconti del Seminario Mateinatico dell'Universita' e Politécnico di Torino. 2000. V. 58, 189-198.

[11] Porubov A. V. Dissipative nonlinear strain waves in solids// In : Selected Topics in Nonlinear Wave Mechanics/ Eds. Christov C.I. and Guran A. Boston,Birkháuser, 2002, P.223-2G0.

1121 Porubov A.V. Amplification of nonlinear strain waves in solids.- World Scientific, Singapore, 2003. 213 p.

113J Porubov A.V. Analytical solutions and unsteady processes governed by non-linear non-integrable equations// Rendiconti del Seminario Mateinatico delFUniversita' e Politécnico di Torino. 200G. in press.

|14| Porubov A.V. On formation of the rogue waves and holes in ocean//Rendiconti del Seminario Mateinatico deirUniversita' e Politécnico di Torino. 200G. in press.

115] Porubov A. V., Cermelli P., and Pastrone F. Solitary waves in nonlinear elastic solids with inicrostructures// Proe. Fifth Intern. Seminar on Geometry, Continua and Mierostruetures, Bukharest, Romania, September 2001, pp. 179-192.

|16| Porubov A. V., Gursky V.V. and Maugin G.A. "Selection of localized nonlinear seismic' waves// Proe. Estonian Acad. Sri., Phys. Math. (2003. V. 52, No 1. 85-93.

|17| Porubov A. V., Lavrenov I. V. and Tsuji H. Formation of abnormally high localized waves due to nonlinear two-dimensional waves interaction// Proceedings of the Intern. Conf. "Day on Diffract.ion'2004", Saint-Petersburg, Russia, 2001, pp.154-162.

| IS I Porubov A. V., Maugin G.A. Longitudinal strain solitary waves in presence of cubic nonlinearity// Intern. .1. Non-Linear Mech. 2005. V. 40, No 7, 1041-1048.

[19| Porubov A.V., Maugin G.A. On the role of cubic nonlinearity in localization of nonlinear strain waves //Proceedings of the 11 International Symposium on Nonlinear Acoustics, Pennsylvania, 18-22 July 2005 (AIP Conference Proe. V. 838, Melville, New York, 200G) 151 - 156.

120] Porubov A. V., Maugin G.A.Propagation of localized longitudinal strain waves in a plate in presence of cubic nonlinearity // Physical Review E. V. 74, No 4, 046617-046624 (2006).

|21| Porubov A.V., Maugin G.A., Gursky V.V., Krzhizhanovskaya V.V., and Shevchenko D. V. Localized nonlinear strain waves in complex dispersive-dissipative solids// Proceedings of the XXXI International Conference "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg, Russia, 2004, 270-278.

j22[ Porubov A.V., Maugin G.A., Gursky V.V., Krzhizhanovskaya V.V. On some localized waves described by the extended KdV equation// C. R. Mécanique.2005. V. 333. No7, 528-533.

|23| Porubov A.V., Maugin G.A., Marecv I7.1'. Two-dimensional nonlinear strain waves in plates// Proceedings of the XXXII International

Conference "Advanced Problems in Mechanics, St. Petersburg, Russia, 2004, 371-374.

|24| Porubov A.V., Maugin G.A., Mareev V.V. Localization of two-dimensional nonlinear strain waves in a plate//Intern. .1. Non-Linear Mech. 2004. V. 39, No 8, 1359-1370.

|25| Porubov A.V., Maugin G.A., Mareev V.V. Amplification of two-dimensional strain solitary waves// Proceedings of the RIAM Symposium No.lGME-Sl "Physics and Mathematical Structures of Nonlinear Waves", RIAM, Japan. 2005, 6-11.

|2G| Porubov, A.V-, Parker D.F. Some General Periodic Solutions to Coupled Nonlinear Schroclinger Equations// Wave Motion. 1999. V. 29, 97-109.

|27| Porubov A.V. and Pastrone F. Nonlinear bell-shaped and kink-shaped strain waves in microstructured solids/'/ Intern. J. Non-Linear Mech. 2004. V. 39, No 8, 1289-1299.

|28| Porubov A. V., Pastrone F., and Maut/in G.A. Selection of two-dimensional nonlinear strain waves in micro-structured media// C. R. Méeanique. 2004. V. 332. No 7, 513-518.

|29| Porubov A.V-, Samsonov A.M., Velarde M.G. and Dukhanovsky A.V. Strain solitary waves in an elastic rod embedded in another elastic external medium with sliding// Phys.Rev. E. 1998. V. 58, 3854 -38G4.

130] Porubov A. V., Tsuji H., Lavrenov I.V., and Oikawu M. Formation of the rogue wave due to nonlinear two-dimensional waves interaction// Wave Motion. 2005. V. 42, No3, 202-210.

|31| Porubov A. V., Velarde M.G. Local and nonlocal description of strain solitons in elastic wave'guides in contact with an elastic external medium// Proceedings of the Euromech Colloquium 378 "Nonlocal Aspects in Solid Mechanics/Eds. Brillard A. and Ganghofler J.F. 1998, pp.184-189.

|32| Porubov A. V., Velarde M.G. Exact Periodic Solutions of the Complex Ginzburg-Landau Equation// .1. Math. Phys. 1999. V. 40, 884-89G.

[33] Porubov A. V., Velarde M.G. Dispersive-dissipative solitons in nonlinear solids// Wave Motion. 2000. V. 31, 197-207.

|.34| Porubov A. V., Velarde M.G. On nonlinear waves in an elastic solid. // Comptes Rendus Acad Sci. (Paris) lib. 2000. V. 328, no 2, 165-170.

|35| Porubov A. V., Velarde M. G. Strain kinks in an elastic rod embedded in a viscoelastic medium// Wave Motion. 2002. V. 35, 189-204.

[36] Samsonov A.M., Dreiden G.V., Porubov A.V., Semenova I.V. Longitudinal-strain soliton focusing in a narrowing nonlinearly elastic rod// Phys. Rev. B. 1998. V. 57, 5778-5787.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 11.12.2006. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100. Заказ 1066Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: 550-40-14 Тел./факс: 297-57-76

Введение

1 Уединенные волны деформации в упругом стержне

1.1 Используемая модель нелинейно-упругого тела.

1.2 Моделирование нелинейных волн деформации в стержне со свободной боковой поверхностью.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Методика вывода модельного уравнения для нелинейных волн деформации.

1.3 Уравнение с двумя дисперсиями и его решение в виде уединенной волны.

1.4 Влияние кубической нелинейности.

1.4.1 Вывод модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями.

1.4.2 Решения в виде уединенной волны.

1.4.3 Генераця уединенных волн из начального условия произвольного вида

1.4.4 Заключительные замечания.

1.5 Отражение уединенной волны от торца стержня.

2 Усиление волны деформации в отсутствие притока энергии извне

2.1 Усиление продольной волны деформации в сужающемся стержне

2.1.1 Вывод уравнения для эволюции продольной волны деформации

2.1.2 Эволюция асимметричной уединенной волны деформации

2.2 Уединенные волны деформации в упругом стержне, помещенном во внешнюю среду с проскальзыванием.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Внешние напряжения на поверхности стержня.

2.2.3 Вывод соотношений для смещений и деформаций в стержне

2.2.4 Нелинейное уравнение для продольных волн деформации в стержне и его решение.

2.2.5 Влияние внешней среды на распространение уединенной волны деформации в стержне.

2.2.6 Численное исследование генерации и усиления волны деформации

2.2.7 Эффект поверхностного натяжения.

2.2.8 Определение модулей Мурнагана.

2.3 Уединенные волны деформации в упругом стержне с микроструктурой

2.3.1 Моделирование недиссипативной упругой среды с микроструктурой

2.3.2 Нелинейные волны в стержне с микроструктурой типа псевдо-континуум Коссера.

2.3.3 Нелинейные волны в стержне с "вмороженной "микроструктурой (континуум Леру)

2.3.4 Заключительные замечания.

Влияние диссипативной (активной) внешней среды

3.1 Эволюция колоколообразной уединенной волны при наличии диссипативной /активной внешней среды.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Диссипа.тивное уравнение с двумя дисперсиями

3.1.3 Точное решение в виде уединенной волны для ДУДД

3.1.4 Усиление и селекция колоколообразной уединенной волныЮЭ

3.1.5 Заключительные замечания.

3.2 Кинки деформации в упругом стержне, помещенном во внешнюю активную или диссипативную среду.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Комбинированное уравнение с двумя дисперсиями

3.2.3 Точные решения.

3.2.4 Слабо-диссипативный (активный) предел.

3.2.5 Предел слабой дисперсии.

3.2.6 Заключительные замечания.

3.3 Влияние внешних тангециальных напряжений на эволюцию уединенных волн деформации в нелинейно-упругом стержне.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Вывод модельного уравнения.

3.3.3 Симметричные уединенные волны деформации.

3.3.4 Эволюция несимметричных уединенных волн.

Влияние объемных активных и диссипативных факторов

4.1 Нелинейные уединенные волны деформации в среде с микроструктурой

4.1.1 Моделирование активной/диссипативной среды с микроструктурой

4.1.2 Колоколообразные уединенные волны.

4.1.3 Распространение волн нагрузки/разгрузки.

4.1.4 Заключительные замечания.

4.2 Селекция нелинейных уединенных сейсмических волн.

4.2.1 Моделирование нелинейных сейсмических волн.

4.2.2 Асимптотическое решение уравнения для сейсмических волн.

4.2.3 Численное исследование эволюции произвольного импульса

4.3 Движущиеся дефекты, индуцированные внешним потоком энергии

4.3.1 Основные положения и вывод модельного уравнения

4.3.2 Нелинейные волны в среде

4.3.3 Одномерные нелинейные волны в пластине.

5 Генерация и рост двумерных уединенных волн деформации

5.1 Локализация двумерных нелинейных волн деформации в пластине из-за влияния внешней среды.

5.1.1 Постановка задачи.

5.1.2 Определяющие уравнения для продольной и поперечной волн.

5.1.3 Одномерные локализованные волновые решения.

5.1.4 Двумерные локализованные волны.

5.1.5 Численное исследование усиления двумерных локализованных волн в пластине.

5.1.6 Резонансное взаимодействие плоских уединенных волн уравнения КП, приводящее к возникновению двумерных локализованных волн

5.1.7 Заключительные замечания.

5.2 Влияние кубической нелинейности на генерацию и локализацию волн деформации в пластине.

5.2.1 Постановка задачи.

5.2.2 Определяющие уравнения для продольных и горизонтально поперечных, волн.

5.2.3 Решение в виде плоской уединенной волны.

5.2.4 Неустойчивость плоской волны.

5.3 Селекция двумерных нелинейных волн деформации в среде с микроструктурой

5.3.1 Вывод уравнений.

5.3.2 Селекция двумерной локализованной волны

6 Некоторые аналитические решения для неинтегрируемых уравнений волновой динамики

6.1 Некоторые точные решения.

6.1.1 Выбор метода и основные предположения.

6.1.2 Точные решения для уравнения (3.8) из Раздела 3.

6.1.3 Точные решения для комбинированного уравнения с двумя дисперсиями (3.40) из Раздела 3.

6.1.4 Точные решения более сложного вида.

6.2 Проявление точных решений при эволюции начального импульса произвольной формы.

6.2.1 Реализация колоколообразных решений.

6.2.2 Реализация точных решений в виде кинка.

6.3 Использование асимптотических решений дли нужд численного моделирования.

6.3.1 Селекция уединенной волны, описываемая уравнением (6.10)

6.3.2 Численное исследование селекции уединенной волны

6.4 Асимптотические кинковые решения.

6.5 Численные методы решения нелинейных уравнений.

6.6 Заключительные замечания.

Актуальность работы. Генерация и усиление волны деформации, т.е., рост ее амплитуды по мере распространения, является важной во многих отношениях проблемой. В частности, увеличение амплитуды может привести к достижению предела текучести, что способствует появлению зон пластичности или микротрещин в волноводе. Усиление волны может быть свидетельством таких факторов, как геометрическая неоднородность водновода [43, 52, 62, 89, 107, 77, 274], микроструктура материала [109, 129, 157, 158, 231], движущиеся точечные дефекты [44, 45, 60, 61], температурные эффекты [38, 39, 55, 83, 167, 232, 77, 274]. Особо следует отметить проблему адекватного описания усиления в сейсмологии, в частности, наблюдаемые аномально высокие сейсмические волны деформации [12, 67, 68, 69, 118, 173]. Это усиление может быть обусловлено свойствами почв, их неоднородной структуры, наличия трещин. В последнее время стали исследоваться локализованные длинные сейсмические волны [12, 69]. Важно отметить, что ряд особенностей поведения сейсмических волн и их усиления может быть объяснен в рамках формализма теории упругости с микроструктурой [12, 159]. Усиление волны может быть вызвано влиянием внешней среды посредством нормальных и тангенциальных напряжений на поверхность упругого волновода. В ряде случаев только воздействие посредством нормальных напряжений существенно, тогда имеем контакт с проскальзыванием [15, 18, 66, 176, 180, 187, 189, 195]. Особый интерес вызывает контакт с трением [18, 66, 121, 176, 180, 189, 292], где исследуются обобщения закона Кулона-Амонтона зависимость от скорости проскальзывания и размеров области контакта [18, 66, 153, 180, 272, 292]. Все вышеизложенные проявления усиления волны деформации позволяет использовать данные о характере усиления для исследования прочности твердотельных конструкций, развития методов неразрушающего контроля, определения физических свойств упругих материалов. Актуальность исследования именно локализованных волн связана с их способностью генерироваться из достаточно произвольного возмущения [1, 11, 72, 148. 201], распространяться с сохранением своей формы и сохранять свою локализованную природу при усилении/ослаблении. Знание особенностей эволюции уединенной волны деформации может способствовать решению упомянутых выше проблем.

Очевидно, что существенным фактором, влияющим на усиление волны деформации, является нелинейность. Как правило, нелинейность обусловлена двумя факторами, геометрическим, связанным с нелинейной зависимостью деформаций от смещений, и физическим, проистекающим от необходимости нелинейного обобщения закона Гука. Таким, образом, актуальной проблемой является построение адекватной теории усиления нелинейных волн деформации. Теория волн деформации в твердых телах начала разрабатываться более двухсот лет назад, см. об этом [43, 56, 53, 57, 71, 228]. При этом долгое время развивалась лишь линеаризованная теория, что объяснялась невозможностью определения нелинейных эффектов в приложениях. Впоследствии исследования в области физических свойств материалов [21, 22, 57, 220], акустических сигналов [7, 77, 274] и.т.д. потребовали разработки нелинейных моделей. Недавние достижения в области общей классической нелинейной теории упругости могут быть найдены, в частности, в [43, 57, 122, 208, 209, 220], в то время как результаты но изучению нелинейных волн деформации представлены [13, 31, 32, 33, 65, 73, 81, 115, 155, 156, 215, 230. 236, 274, 282[. В последнее время наметился прогресс в нелинейном описании волновых процессов в неклассических средах. В частности, волны деформации в микроструктурах раньше рассматривались лишь в линейном приближении [19, 59, 109, 126]. Теперь же получили развитие как нелинейные модели недиссипативных сред с микроструктурой [31, 157, 164, 165], так и модели, учитывающие влияние диссипативных факторов [82, 129, 156, 157, 159]. Аналогичные модели развиваются для моделирования смесей [35] и сейсмических процессов [12, 69]. Несмотря на множество работ в данном направлении, во многих случаях остается открытым вопрос о выборе модели, адекватно описывающей нелинейный процесс, с одной стороны, и подлежащей математическому анализу с другой.

Среди типов волн, имеющих наиболее важное значение в приложениях, представляются нелинейные волны, способные сохранять свою форму при распространении. Среди волн деформации, способных сохранять свою форму при распространении, в нелинейной акустике основное внимание уделялось высокочастотным волнам огибающей [7, 14, 30, 65, 77, 73, 161, 162, 215, 237, 274]. В то же время известно, что баланс между нелинейностью и дисперсией может приводить к появлению длинной колоколообразной волны деформации постоянной формы (уединенной волны или солитона), которая может распространяться и передавать энергию на большие расстояния. Начиная с первого зарегистрированного наблюдения уединенной волны на воде, сделанного Джоном Скоттом Расселлом в 1834, солитоны в жидкостях были соблюдены и произведены много раз. Достижения теории солитонов широко отображены в литературе [1, 4, 11, 24, 37, 51, 72, 100, 145, 146, 148, 152, 156, 229, 191, 225, 235, 301]. Другой тип волны постоянной формы в виде слабой ударной волны, или кинка, возникает обычно вследствие баланса между нелинейностью и диссипацией. Такие волны также исследованы во многих областях физики [1, 51, 72, 100, 124, 277]. Включение в рассмотрение диссипативных или активных факторов приводит к выводу неинтегрируемых модельных уравнений. Поэтому только некоторые решения могут быть найдены аналитически, обычно это решения в виде бегущей волны [41, 51, 200, 239, 282]. Очевидно, что последние существуют лишь при специальных начальных условиях, порой требуются даже дополнительные ограничения на коэффициенты уравнения, или амплитуда и скорость волны могут принимать определенные фиксированные значения. Поэтому многие исследователи пренебрегают точными решениями, предпочитая сугубо численной исследование модельных уравнений. В результате интенсивно разрабатываются численные методы исследования, см., например, [6, 24,16, 90, 91,101, 215, 277, 303]. Применительно к уравнениям для длинных волн результаты по моделированию разностными методами можно найти в [6, 24, 137, 139, 140, 141, 277], в то время как псевдоспектральные методы представлены в работах [101, 134, 135, 277]. Известно, что решения нелинейных уравнений чувствительны как к выбору начальных условий, так и к значениям коэффициентов уравнения. Поэтому велика вероятность, что тот или иной режим может быть пропущен или неверно истолкован при использовании только численного моделирования. Следовательно, нужно искать возможности использования даже частных аналитических решений неинтегрируемых уравнений для разработки численного алгоритма, предсказания поведения решения и подтверждения найденных численных решений.

Исследованию длинных нелинейных волн деформации постоянной формы в волноводах посвящено множество работ, результаты которых представлены в монографиях [7, 31, 32, 45, 52, 65, 73. 81, 108, 155, 164, 211, 282]. Полное описание трехмерного нелинейного континуума является трудной проблемой. Именно поэтому трехмерные задачи обычно редуцируются до одномерного (1-D) вида, чтобы иметь возможность объяснения качественно новых аналитических решений. Конечно цилиндрический упругий стержень представляется подходящим реальным одномерным волноводом. Нелинейность, вызванная конечностью деформаций и упругими свойствами материала, и дис

Персия, следующая из конечного поперечного размера стержня, могут сбалансировать друг друга, что приводит к распространению колоколообразной уединенной волны деформации [32, 34, 58, 73, 74, 155, 211, 282]. В соответствии с теоретическими предсказаниями, было проведено успешное экспериментальное возбуждение уединенной волны в стержне из полистирола со свободной боковой поверхностью, используя голографическую интерферометрию [26, 27, 282], друние эксаериментальные данные можно найти в [82, 181]. Следовательно, было доказано, что нелинейные волны деформации постоянной формы, действительно существуют. Простейшим двумерным волноводом является упругая пластина. Нелинейные волны деформации в пластине изучались, в частности, в работах [33, 42, 84, 93, 99, 143, 144, 215, 274, 196, 282]. В основном работы по исследованию длинных нелинейных волн деформации касались вопросов генерации и распространения локализованных волн в волноводах, как правило, без учета диссипативных факторов. Наличие диссипации или подкачки энергии разрушает баланс между нелинейностью и дисперсией, и колоколообразная нелинейная волна деформации может затухать или усиливаться. Аналогичным образом, наличие дисперсии приводит к искажению кинка.

Для неклассических материалов рассмотрение, в основном, ограничивалось одномерной постановкой задачи и обычно в среде, а не в волноводах [31, 73, 129, 157]. существующие общие нелинейные теории содержат огромное количество неизвестных параметров, что делает их непригодными для практического применения. Недавние результаты по теории микроструктур можно найти, например, в [5, 157, 109, 59, 71, 231]. Большинство исследований относятся к линейной теории упругости, однако, есть также данные по нелинейной теории [5, 25, 31, 54, 82, 157, 109]. Волны деформации исследовались, более всего, в линейном приближении [109, 59, 71, 231], по нелинейным волнам в недиссипативной среде с микроструктурой следует отметить

5, 31, 54, 157, 162, 165, 87, 88]. Волны в упругих волноводах с микроструктурой не рассматривались широко. Кроме того, значения параметров, характеризующих микроструктуру, известны довольно скудно [88, 82].

Решения задач о генерации и усилении нелинейных волн деформации требуют разработки нового метода вывода модельных уравнений. Ранее при выводе использовались упрощающие гипотезы, следующие из физических предположений о характере деформации. Такие гипотезы являются, естественно, приближенными, они не учитывают граничных условий на боковой поверхности волновода. Порождаемые таким образом даже малые ошибки не могут существенно повлиять на поведение решения линеаризованной задачи, однако они приводят к существенным искажениям при решении нелинйеной задачи.

Важным моментом является то, что применимость нелинейных моделей для материалов обусловлена знанием значений параметров, характеризующих эти модели. В частности, для изотропных упругих сред это значения модулей Мурнагана высоких порядков, а для феноменологических моделей сред с микроструктурой- значения параметров, характеризующих свойства микроструктуры. До последнего времени они были известны только для некоторых материалов.

Исходя из приведенных выше соображений, был поставлены следующие цели работы:

-Разработка метода получения адекватных модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом граничных условия на поверхности волновода.

-Использование метода для вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации в системах с внутренними источниками усиления/затухания, при наличии геометрической неоднородности, микроструктуры, а также с учетом воздействия внешней среды.

-Исследование генерации и усиления/гослабления нелинейных волн деформации с учетом воздействия дисперсионных, активных/ диссипативных факторов, а также диффракционной расходимости.

-Разработка метода аналитико-численного исследования неинтегрируемых нелинейных уравнений, позволяющая описать нестационарные волновые процессы.

-Исследование применимости полученных аналитических результатов для оценки свойств упругих классических и неклассических материалов, определения параметров, характеризующих их свойства посредством оценки поведения волны деформации и возможного измерения ее амплитуды и скорости.

Диссертация состоит из шести глав. В первой главе строится теория вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации. Рассмотрение ведется для изотропных материалов, описываемых моделью Мурнагана. Вначале в разделе 1.1 вводятся основные понятия и поясняются источники нелинейности. Затем приводится вывод одномерного уравнении для продольных волн деформации в нелинейно-упругом цилиндрическом стержне. После постановки задачи в разделе 1.2.1, в разделе 1.2.2 следует обоснование и объяснение процедуры, позволяющей редуцировать исходную трехмерную постановку задачи к одномерному модельному уравнению для продольных волн деформации с учетом граничных условий на боковой поверхности волновода. В результате в разделе 1.3 выводятся соотношения для компонент вектора смещения с учетом граничных условий на поверхности стержня, а результирующее модельное уравнение оказывается известным уравнением с двумя дисперсиями (УДД), полученным ранее другим способом на основании физических гипотез плоских сечений и Лява [32, 92, 282]. Показывается, что отличие в коэффициентах при дисперсионных слагаемых оказывают существенное влияние на параметры точного решения УДД в виде локализованной колоколоообразной волны, а также на генерацию уединенных волн деформации из начального импульса произвольной формы. В то же время, отклонение от плоских сечений оказывается очень малым, что позволяет применять построенную теорию для объяснения экспериментальных данных [27] по наблюдению солитона продольной деформации в стержне. Эволюция произвольного начального импульса исследуется численно, показано, что точное решение в виде бегущей волны позволяет предсказать важнейшие свойства решения, в частности, зависимость локализации волны от знака коэффициента при нелинейном слагаемом УДД. Однако некоторые экспериментальные данные недостаточно хорошо описываются в рамках модели УДД, поэтому для уточнения модели в разделе 1.4 выводится новое уравнение для продольных волн с учетом кубической нелинейности. Вывод модельного уравнения в разделе 1.4.1 осуществляется при помощи разработанного ранее в разделе 1.2.2 алгоритма. В разделе 1.4.2 найдено новое точное решение в виде бегущей уединенной волны, проводится сравнение с аналогичным решением УДД. Раздел 1.4.3 посвящен численному исследованию формирования локализованных волн в рамках выведенного уравнения, устанавливаются свойства решения, позволяющие более точно описывать экспериментальные данные. Наконец, раздел 1.5 посвящен исследованию отражения уединенной волны от торца стержня. Строится асимптотическое решение задачи позволяющее описать поведение бегущей уединеной волны на торце в зависимости от условий закрепления торца стержня. Далее получено численное решение задачи в рамках уравнения УДД, показано хорошее совпадение с предсказаниями, сделанными на основании частного асимптотического решения. Отмечено сходство аналитических решений с экспериментами по наблюдению отражения от торца стержня из полистирола.

Во второй главе исследуется усиление волны деформации в стрежне, происходящее без притока энергии в волновод извне. В разделе 2.1 рассматривается усиление уединенной продольной волны деформации в сужающемся стержне. Процедура из раздела 1.2.2 используется в разделе 2.1.1 для вывода модельного уравнения, модифицирующего ранее известное. В разделе 2.1.2 строится аимптотическое решение, позволяющее получить аналитическую зависимость амплитуды и скорости волны от характера сужения (расширения) стержня. Анализ полученного соотношения позволяет определить основные особенности усиления, связанные с одновременным сужением волны и ее стремлением к асимметричному виду. Проведенное сравнение с экспериментальными данными показывает хорошее совпадение с предсказаниями теории.

Затем, в разделе 2.2 рассматривается влияние внешней упругой среды на эволюцию уединенной волны деформации в стержне. Распространяющаяся в данной системе волна деформации является объемной для стержня и поверхностной для среды. Рассматривается контект с проскальзванием, г.е, только по нормальным напряжениям, а внешняя среда полагается линейно-упругой. В разделе 2.2.1 приводится постановка задачи. Вначале, в разделе 2.2.2 строится решение для окружающей среды, затем полученные результаты используются в разделах 2.2.3, 2.2.4 для вывода уравнения для продольных волн деформации в стержне, используя методику Раздела 1.2. Найдены три режима распространения волн, зависящие от соотношений между характерными скоростями линейных волн деформаций в стержне и в окружающей среде. Это позволяет определить в разделе 2.2.5 пары материалов стержень-среда, в которых возможно распространение уединенной волны постоянной формы. Поскольку амплитуда и скорость возможной волны при наличии среды отличаются от случая стержня со свободной поверхностью, усиление уединенной волны деформации может быть достигнуто, если только часть стержня контактирует с внешней средой. Используя полученные аналитические результаты в разделе 2.2.6 проведено численное исследование этой ситуации. Показано, что в полном согласии с теорией волна может усиливаться или ослабляться при переходе из зоны со свободной поверхностью в зону, контактирующую с внешней средой. Также возможны случаи делокализации уединенной волны или, наоборот, локализации волнового пакета. Поскольку эти процессы хорошо описываются явными аналитическими выражениями, т.е., зависимостями амплитуды и скорости от параметров материалов стержня и внешней среды, в разделах 2.2.7 и 2.2.8 предложено приложение решения для оценки модулей Мурнагана и коэффициента поверхностного натяжения посредством оценок параметров уединенной волны деформации.

Наконец, раздел 2.3 посвящен исследованию влияния микроструктуры на эволюцию нелинейной волны деформации в стержне со свободной боковой поверхностью. Вначале, в разделе 2.3.1 описаны две известные модели псевдоконтинуума Коссера и континуума Леру ("вмороженной микроструктуры"). Затем, в разделе 2.3.2 выводится модельное уравнение для первой модели, а для второй модели уравнение получаено в разделе 2.3.3. В обоих случаях оно имеет вид УДД, однако коэффициенты при дисперсионных слагаемых теперь зависят от параметров микроструктуры. Оказывается, что влияние двух микроструктур на поведение уединенной волны диаметрально противоположное. Так, континуум Леру способствует усилению и сужению уединенной волны деформации, а псевдоконтинуум Коссера - ее ослаблению и расширению. Математическое подобие рассматриваемой ранее задаче о воздействии внешней среды позволяет использовать численные результаты раздела 2.2.6 для стержня, часть которого содержит микроструктуру. Предложено возможное применение найденных решений, как и в разделе 2.2, заключается в возможности оценки параметров микроструктуры и распознавании того или иного вида микроструктуры.

В третьей главе рассматривается влияние внешней среды на усиление и селекцию уединенной волны деформации в стержне. В разделах 3.1 и 3.2 используется феноменологическая модель взаимодействия с активной/диссипативной средой по нормальным напряжениям, применявшаяся ранее в сейсмологии и для моделирования воздействия замерзших грунтов. Раздел 3.1 посвящен рассмотрению эволюции колоколообразной волны в стержне. Новое модельное уравнение для волн деформации выводится в разделе 3.1.2 при помощи разработанного метода, который позволяет выводить уравнения и при неоднородных граничных условиях на поверхности волновода. В разделе 3.1.3 исследуется новое точное решение в виде уединенной волны. Далее в разделе 3.1.4 построено асимптотическое решение, описывающее влияние актив-ных/диссипативных возмущений на уединенную волну УДД, выведено уравнение для изменения скорости и амплитуды волны, позволяющее описать усиление или ослабление волны до некоторого уровня, предписанного параметрами задачи. Этот конечный уровень определяется не начальным условием, а параметрами задачи. Это позволяет говорить о селекции уединенной волны, поскольку найденное асимптотическое решение показывает, что все начальные уединенные волны могут стремиться к уединенной волне с одной и той же амплитудой и скоростью. В разделе 3.2.2 выведено другое новое модельное уравнение, описывающее эволюцию слабых ударных волн при воздействии внешней активной/диссипативной среды. Для этого уравнения в разделе 3.2.3 приводится ряд точных решений (см. главу 6 о получении решения), в том числе, периодическое решение, имеющее своим пределом уединенной волны волну в форме кинка. Далее, в разделе 3.2.4 исследуется слабо-диссипативный предел выведенного уравнения, численное исследование указывает на отсутствие квазистационарного профиля волны нагрузки/разгрузки (кинка) в этом случае. Напротив, слабо-диснерсионный предел , исследованный в разделе 3.2.5, демонстрирует такую возможность, причем даже квазистационарное асимптотическое решение хорошо описывает форму профиля постоянной формы, которая возникает при численном исследовании эволюции начального профиля достаточно произвольного вида. Раздел

3.3 посвящен исследованию влияния активной/диссипативной среды посредством касательных и нормальных напряжений. В разделе 3.3.2 показано, что и при таких граничных условиях разработанный в первой главе метод позволяет получить модельное уравнение для описания эволюции нелинейных волн деформации в стержне. В дальнейшем получены два вида аисмптотических решений, с учетом введения медленного времени, раздел 3.3.3, и медленной координаты, раздел 3.3.4, описывающих селекцию уединенной колоколооб-разной волны. Установлено, что они описывают эволюцию начальной волны к одной и той же селектированной уединенной волне.

В четвертой главе исследуются объемные активные/диссипативные факторы, оказывающие влияние на усиление нелинейной волны деформации в среде. Раздел 4.1 посвящен моделированию нелинейных волн деформации в среде с с активной/диссипативной микроструктурой. В разделе 4.1.1 предложена феноменологическая модель такой среды и выведено модельное нелинейное уравнение для одномерных волн деформации. Раздел 4.1.2 посвящен исследованию возможности существования ко л околообразных уединенных волн. Найдены соотношения между параметрами микроструктуры, при которых может распространяться уединенная волна постоянной формы или происходить ее селекция. Получено асимптотическое решение, описывающее селекцию уединенной волны. В разделе 4.1.3 найдены условия, при которых возможно распространение кинка (волны нагрузки/разгрузки), построено асимптотическое решение, описывающее отклонение от формы классического кинка уравнения Бюргерса из-за влияния слабой дисперсии или диссипации высокого порядка. Раздел 4.2 посвящен анализу усиления и селекции уединенной сейсмической волны на основании разработанной ранее модели. Полученное решение позволяет объяснить процесс передачи энергии сейсмической волне от среды, что вызывает рост амплитуды сейсмической волны. Так, построенное в разделе 4.2.2 асимптотическое решение, как и для ранее решенных задач, позволяет описать процесс усиления и селекции локализованной сейсмической волны. Проведенное в разделе 4.2.3 численное исследование позволило подтвердить правильность предсказаний аисмптотического решения за пределами его формальной применимости, в частности, при распаде начального импульса произвольного вида и при учете взаимодействия между волнами. Важно отметить, что получено хорошее количественное согласие в значениях амплитуды селектированной волны. Раздел 4.3 посвящен применению разработанного алгоритма исследования усиления нелинейных волн деформаций к модельным уравнениям, описывающим влияние движущихся точечных дефектов, индуцированных внешним потоком энергии. Рассматриваются как волны в среде, раздел 4.3.2, так и волны в пластине, раздел 4.3.3. Установлено подобие модельных уравнений исследованным в Главе 3, что позволяет применить полученные в них решения для объяснения связи между усилением уединенной волны и характеристиками движущихся дефектов.

Пятая глава посвящена исследованию нелинейных волн деформации в двумерной постановке. В разделе 5.1 исследуется влияние внешней среды на локализацию и усиление волны деформации в пластине. После постановки задачи в разделе 5.1.1, в разделе 5.1.2 выводятся различные варианты модельных нелинейных уравнений. Раздел 5.1.3 посвящен исследованию плоских уединенных волн, локализованных только в направлении своего распространения. Получена связь между параметрами внешней среды и знаком амплитуды уединенной волны, найдены области допустимых значений скоростей волны. В разделе 5.1.4 рассматриваются волны, локализованные в плоскости или двумерные локализованные волны. Найдены области значений параметров внешней среды, при которых изначально плоская волна вследствие поперечной модуляции превращается в цепочку двумерных локализованных волн, при этом обнаружено увеличение амплитуды двумерных волн по сравнению с плоской, т.е., усиление волны деформации. В разделе 5.1.5 проводится численное исследование усиления начального двумерного локализованного импульса деформации в пластине. Показано, что степень усиления зависит от формы и гладкости начальною возмущения. Другой механизм усиления обнаружен в разделе 5.1.6. Он связан с резонансным взаимодействием плоских полубесконечных уединенных волн или волн с искривленными фронтами. Численное исследование позволило установить связь между усилением двумерной локализованной волны, полученной в результате взаимодействия, и высотой начальных волн. Кроме того, существенную роль в усилении двумерной локализованной волны играет кривизна фронтов начальных волн. Раздел 5.2 посвящен исследованию влияния кубической нелинейности на эволюцию продольных волн в пластине. Постановка задачи, раздел 5.2.1, и вывод модельных уравнений, раздел 5.2.2, осуществляется по использова.нной в предыдущих главах методике. В разделе 5.2.3 рассматривается точное решение в виде уединенной волны и проводится сравнение с моделью, основанной на учете только квадратичной нелинйености. Показано, что изменения, вызванные кубической нелинейностью в решении для пластины, отличаются от аналогичных изменений в стержне, полученных в главе 1. Влияние кубической нелинейности на устойчивость плоской уединенной волны, рассмотрено в разделе 5.2.4. Оказалось, что неустойчивость, приводящая к поперечной модуляции плоской волны, обеспечивается взаимным влиянием кубической нелинейности и смешанной дисперсии. Наконец, в разделе 5.3 исследуется селекция и усиление двумерных локализованных волн в среде, связанные с влиянием активной/диссипативной микроструктуры. В разделе 5.3.1 обобщены на двумерный уравнения, выведенные в разделе 4.1 в одномерной постановке. Асимптотическое решение, найденной в разделе 5.3.2, позволило определить условия усиления и селекции двумерной локализованной волны деформации.

Шестая глава посвящена математическим аспектам задач, решенных в работе. Основное внимание уделено разработке комбинированного метода анализа модельных неинтегрируемых нелинейных уравнений, основанного на получении и использовании частных точных и асимптотических решений для нужд численного моделирования нестационарных волновых процессов. Раздел 6.1 посвящен нахождению некоторых точных решений уравнений, полученных ранее в работе. Методика поиска решений изложена в Разделе 6.1.1. Затем, в разделе 6.1.2 получено точное периодическое решение для модельного уравнений из Раздела 3.1, а в разделе 6.1.3- из раздела 3.2. Рассматриваемые в разделах 3.1 и 3.2 решения являются частными случаями периодических решений. В разделе 6.1.4 получен ряд решений для связанных модуляционных уравнений Шредингера и уравнения Гинзбурга-Ландау. Отличительной особенностью последних решений является их сложная структура, отличная от обычного точного решения в виде бегущей волны. Все полученные точные решения являются частными, требующими специальных начальных условий. Однако, нами показано в разделе 6.2, что многие из них точно предсказывают эволюцию начального возмущения произвольного вида, причем не только качественно, но и количественно. Аналогичный вывод можно сделать относительно применимости частных асимптотических решений, см. раздел 6.3. В качестве примера рассматривается уравнение, являющееся аналогом уравнений из раздела 3.1, что позволяет использовать численные решения из раздела 6.3.2 для объяснения селекции волны деформации в разделе 3.1. В разделе 6.4 показано, что не только асимптотические колоколообразные решения, но и решения кинкового типа также описывают важнейшие особенности численных решений при произвольном начальном условии. Наконец, в разделе 6.5 помещен краткий обзор по численным методам, использованным в настоящей работе.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

- Новая нелинейная теория генерации уединенных волн продольной деформации в стержне и в пластине с учетом кубической нелинейности.

-Новая нелинейная теория описания роста и затухания уединенных волн деформации в стержне с микроструктурой, и в упругих волноводах (стержень и пластина), взаимодействующих с внешней упругой средой, а также в стержне, с изменяющемся поперечным сечением.

-Асимптотическая и численная нелинейная теория отражения уединенной волны от торца полу-бесконечного стержня.

-Новая теория усиления и селекции нелинейных волн деформации в стержне, воздействующем с внешней активной/диссипативной средой, в сейсмической среде и в среде с микроструктурой.

-Новая теория локализации и усиления двумерных волн деформации в пластине и в среде с микроструктурой.

-Новая процедура аналитико-численного исследования неинтегрируемых нелинейных уравнений, основанная на использовании частных аналитических решений для нужд численного моделирования нестационарных волновых процессов.

Практическая значимость работы заключается во-первых, в применении найденных решений для расчета прочности конструкций, например, стержневых, подвергающихся импульсному ударному воздействию. Предсказание особеннностей усиления локализованной волны в зависимости от свойств почвы имеет важное значение в сейсмологии. Во-вторых, возможно применение полученных аналитических результатов для оценки и измерения параметров (например, модулей упругости высоких порядков) используемых моделей упругих классических и неклассических материалов (материалов с микроструктурой, почв и др.). В-третьих, многие задачи механики деформируемого твердого тела в ограниченных областях могут быть успешно решены при помощи развитого в работе метода вывода модельных нелинейных уравнений. Наконец, процедура аналитико-численного исследования нестационарных нелинейных волновых процессов может быть использована для широкого класса задач математической и теоретической физики, связанных с нелинейными волновыми процессами.

Достоверность полученных результатов основана на на строгом использовании математического аппарата, соответствии аналитических и численных решений, физической обоснованности полученных решений.

Положения, выносимые на защиту

• Новый метод вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом граничных условия на поверхности волновода.

• Новые модельные нелинейные уравнения для волн продольной деформации в стержне и в пластине с учетом кубической нелинейности. Новая теория генерации уединенных волн деформации на основании решений этих уравнений.

• Теория отражения уединенной волны от торца полу-бесконечного стержня.

• Теоретическое исследование влияния геометрической неоднородности волновода, недиссипативной микроструктуры и внешней упругой среды на генерацию и усиление уединенных волн деформации.

• Теория усиления и селекции нелинейных волн деформации в стержне, воздействующем с внешней активной/диссипативной средой.

• Исследование локализации и усиления нелинейных волн деформации для моделей сейсмической среды и среды с активной/диссипативной м и кростру ктурой.

• Теория локализации двумерных нелинейных волн деформации.

• Приложение полученных результатов для оценки значений упругих модулей высоких порядков, параметров микроструктуры, поверхностного натяжения на боковой поверхности волновода, свойств сейсмической среды.

• Разработка процедуры аналитико-численного исследования неинтегри-руемых нелинейных уравнений, позволяющая описать нестационарные волновые процессы. Построение ряда новых точных решений.

• Исследование применимости полученных аналитических результатов для оценки свойств упругих классических и неклассических материалов, определения параметров, характеризующих их свойства посредством оценки поведения волны деформации и возможного измерения ее амплитуды и скорости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на многих международных конференциях, в частности, на международной конференции "FPU+50: Nonlinear waves 50 years after Fermi-Pasta-Ulani"(PyaH, Франция, 2005), ISASUT Intensive Seminar on Non-Linear Waves, Generalized Continua and Complex Structures(Typmi, Италия, 2005), RIAM Symposium No. 16ME-S1 "Physics and Mathematical Structures of Nonlinear Waves"(Фукуока, Япония, 2004), XII Winter School "Nonlinear Waves-2004" (Нижний Новгород, 2004), GAMM 2003 (Падуя, Италия, 2003), Международных конференциях 'Advanced Problems in Mechanics"(Санкт-Петербург, 2002-2006), Euromech 436: Nonlinear Waves in Microstructured Solids (Таллинн, Эстония, 2002), International Workshop on Nonlinear Lattice Structure and Dynamics (Дрезден, Германия, 2001), Fourth International Seminar on "Geometry, Continua and Microstructures" (Турин, Италия, 2000), Международной конференции "Нелинейные волны в твердых телах"(Гонконг, Китай, 2000), Международных конференциях "Дни Диф-фракции"(Санкт - Петербург, 2000-2006), Четвертого международного Кон

- 19 гресса по индустриальной и прикладной математике (Эдинбург, Великобритания, 1999), Конференции по явлениям на поверхности раздела (Мадрид, Испания, 1998), Euromech Colloquium 378 "Nonlocal Aspects in Solid Mechanics" (Мулуз, Франция 1998), 10-я Зимней школе no механике сплошных сред(Пермь 1995); научных сессиях МИФИ в 2005 и в 2006 годах. Кроме того, результаты докладывались на семинарах ФТИ им.А.Ф. Иоффе РАН, Института Проблем Машиноведения РАН, СПб отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН, Университетов им. Пьера и Марии Кюри в Париже, Руана, Кашана (Франция), Турина (Италия), Эдинбурга и Глазго (Великобритания), Мадрида (Испания), Киото, Фукуоки (Япония).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 печатных работ, из них 1 монография (издательство World Scientific, 2003), 2 главы в коллективных монографиях (Birkhauser, 2002; Наука, 1997), 23 статьи в реферируемых международных журналах, 8 статей в сборниках трудов международных конференций.

Вклад автора. Работы [242, 243, 244, 245, 246, 247, 248[ выполнены без соавторов. Работы [28, 79, 80, 94, 198, 240, 241, 249, 284] выполнены на паритетной основе. В работах [250]-[270] автору принадлежит основной вклад в постановку задач и получение конечных результатов.

Заключение

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

• Разработан новый метод вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом граничных условия на поверхности волновода.

• При помощи этого метода выведен ряд новых модельных нелинейных уравнений для волн деформации в стержне и в пластине.

• Для решения выведенных уравнений разработана процедуры аналитико-численного исследования неинтегрируемых нелинейных уравнений, позволяющая описать нестационарные волновые процессы.

• Найденные при помощи этой процедуры решения позволили описать условия и особенности генерации, усиления и селекции уединенных волн деформации

- при учете кубической нелинейности в геометрически однородных стержне и пластине;

- вследствие влияния геометрической неоднородности стержня, недис-сипативной микроструктуры и внешней упругой среды;

- при воздействии внешней активной/диссипативной среды на боковую поверхность стержня;

1. Абловиц М. и Сегюр X., Солитоны и метод обратной задачи. -М: Мир, 1987. 479с.

2. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- Харьков: ГН-ТИУ, 1939. 270с.

3. Алексеев В.Н. и Рыбак С. А. Уравнения состояния для вязкоупругих биологических сред// Акустич. ж. 2002. Т. 48, 511-515.

4. Ахмедиев Н.Н. и Анкиевиц А. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки. -М.: Физматлит, 2003. 304с.

5. Аэро Э.Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой// Успехи механики. 2002. Т. 1. Вып.З, 130-176.

6. Верезип Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов.- Новосибирск: Наука, 1982. 160с.

7. Бирюков С.В., Гуляев В.В., Крылов В.В. и Плесский В.П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. -М: Наука, 1991.

8. Бхатшгар 17. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах, М: Мир, 1983. 136 с.

9. Быков В.Г. Нелинейные волновые процессы в геологических средах-Владивосток: Дальнаука, 2000. 190 с.

10. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками- М.: Физматлит, 2001. 208 с.

11. Викторов И. А. Типы звуковых волн в твердых телах// Акустич. ж. 1979. Т. 25. Вып.1. 1-17.

12. Галин Л. А. Контактные задачи упругости и вязкоупругости.- М.: Наука, 1980. 304 с.

13. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы М.: Наука, 1973.

14. Горшков К.А.Б Островский Л.А., Папко В.В. Взаимодействия и связанные состояния солитонов как классических частиц// ЖЭТФ. 1976. Т. 71. Вып.2, 585-593.

15. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия- М.: Наука, 2001. 478 с.

16. Грекова Е.Ф., Жилин П.А. Уравнения нелинейных упругих полярных сред и аналогии: среда Кельвина, нклассические оболочки и непроводящие ферромагнетики// Изв. Вузов. Северо-Кавказский регион. Ест. науки. 2000. 25-47.

17. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории стержней, пластин и оболочек. -М.: ВИНИТИ, 1973.

18. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И., Лебедев В.К. "О теории распространения волн в изотропныой упругой среде с начальными деформациями // Прикладная Механика. 1970. Т. 6, Вып.12, 42-49.

19. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоу пру гость .Киев: Наукова Думка, 1977. 152 с.

20. Гуляев Ю.В., Ползикова Н.И. Сдвиговые поверхностные акустические волны на цилиндрической поверхности твердого тела, покрытого слоем чужого материала // Акуетич. журнал. 1978. Т. 24, 287-290.

21. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Морис X. Солитоны и нелиненйые волновые уравнения. -М.: Мир, 1988. 694с.

22. Драгунов Т.Н., Павлов И. С., Потапов А.И. Ангармонические взаимодействия упругих и ориентационных волн в одномерных кристаллах// ФТТ. 1997. Т. 39. Вып.1, 137-144.

23. Дрейден, Г.В., Островский Ю.И., Самсонов, A.M., Семенова, И.В., и Сокуринская, Е.В. Формирование и распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом твердом теле // ЖТФ. 1988. Т. 58 , Вып. 9, 20402047 .

24. Журков С.И. Дилатонный механизм упрочнения твердых тел // ФТТ. 1983. Т.25, 1797-1800.

25. Зарембо Л.К., Красилъников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // УФН. 1970. Т. 102, 549-586.

26. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. -М: Изд-во. Моск. ун-та, 1999. 328 с.

27. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия Диссипация. Нелинейность. -М.: Физматлит, 2002. 208 с.

28. Ерофеев В.И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны в стержнях, пластинах и оболочках// Акустич. ж. 2002. Т. 48. 725-740.

29. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Я.Я.Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа// Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т.7. Вып.4. 35-47.

30. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Шешенин С.Ф. Упругие волны в твердых смесях. -Нижний Новгород: Интелсервис, 2002. 86с.

31. Кадомцев Б.В., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в среде со слабой дисперсией // ДАН СССР. 1970. Т. 192. 753-756.

32. Каложеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. -М.:Мир, 1985, 470 с.

33. Карташов Е.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел.-М.: Высш. шк. 2001, 550с.

34. Карташов Е.М., Бартенъев Г.М. Динамические эффекты в тведых телах при взаимодействии с интенсивными тепловыми потоками // Итоги науки и техники, серия: химия и технология вязко молекулярных соединений. 1988. Т. 25, 3.

35. Кристиансен P.M. Теория вязкоупругости М.: Мир, 1971.

36. Кащеев В.Н. Эвристический метод получения решений нелинейных уравнений солигоники.-Рига: Зинантне, 1990.

37. Ковалев Л.С., Майер А.П., Соколова, Е.С., Экль К. Солитоны в упругих пластинах // Физика низких температур. 2002. Т. 28, 1092-1102.

38. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах.-М.: ИЛ., 1955. 192 с.

39. Косевич A.M. Физическая механика реальных кристаллов Киев: Нау-кова Думка, 1981.

40. Косевич A.M., Ковалев А. С. Введение в нелинейную механику Киев: Наукова Думка, 1989.

41. Косевич A.M., Савотченко С.Е. Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике // Физика низких температур. 1999. Т. 25, 737-747.

42. Конюхов Б.А. и Шалашов P.M. Об эффектах третьего приближения при распространении упругих волн в изотропных твердых телах / / ПМТФ. 1974, No 4, 125-132.

43. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике- М.:Мир, 1972.

44. Кудряшов Н.А. Точные решения обощенного эволюционного уравнения волновой динамики // ПММ. 1988. Т. 52, 465-470.

45. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде// ПММ. 2001. Т. 65, 884-894.

46. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений.- М.: ИКИ, 2004.

47. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах.- М.: Московский Лицей, 1998.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Косевич A.M., Питаевский Л.П. Теория упругости, М.: Наука, 1987.

49. Лисина С.А., Потапов А.И., Нестеренко В.Ф. Нелинейная гранулированная среда с вращением частиц. Одномерная модель// Акуст. ж. 2001. Т. 47. Вып. 5, 666-674.

50. Лыков Б.Я. Теория теплопроводности, М.: Наука, 1967.

51. Ляв А. Математическая теория упругости,- М., -Л.: ОНТИ, 1935.

52. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости, М.: Наука, 1980.

53. Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержнях конечной длины // Акустич. журнал. 1983. Т. 29, 515-520.

54. Миндлин Р.Д. Микроструктура в лилейной упругости//Механика. 1964. Вып.4. 129-160.

55. Мирзоев Ф.Х., Панченко В.Я., Шелепин Л.А. Лазерный контроль процессов в твердых телах // УФН. 1996. Т. 166, е 1, 3-32.

56. Мирзоев Ф.Х., Шелепин, Л.А. "Нелинейные волны деформации и плотности дефектов в металических пластинах при воздействии внешних иото-ковэнергии// ЖТФ .2001. Т. 71, Вып.8, 23-26.

57. Молотков И.А., Вакулешо С.А. Нелинейные продольные волны ы неоднородных стрежнях// Интерференционные волны в слоистых сре-дах.1. Зап. научн. сем. ЛОМИ, Т. 99.- J1.: Наука, 1980. 64-73.

58. Мухин, С.И., Попов, С.Б., Попов, Ю.П. О разностных схемах с искусственной дисперсией// ЖВММФ. 1983. Т. 23. 1355-1369.

59. Найфе А.Х. Методы возмущений.-М.: Мир, 1976.

60. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике.- М.: Наука, 1990.

61. Никитин Л.В. Статика и динамика твердых тел с внешним сухим трением.- М.: Московскмй Лицей, 1998.

62. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред.- М.: Недра, 1984. 232с.

63. Николаевский В.Н. Вязкоупругость с внутренними осцилляторами как возможная модель сейсмоактивной среды /'/ ДАН СССР. 1985. Т. 283, Вып. 6, 1321-1324.

64. Николаевский В.Н. Математическое моделирование уединенных деформационных и сейсмических волн // ДАН СССР. 1995. Т. 341, Вып.З, 403405.

65. Николова Е.Г. Об эффективном поверхностном натяжении в твердых телах /'/' ЖЭТФ. 1977. Т. 72. 545-549.

66. Новацкий В. Теория упругости.- М.: Мир, 1975. 872 с.

67. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике,- М.: Мир, 1989.

68. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн,- М.: Физматлит, 2003. 400с.

69. Островский Л.А., Сутип A.M. Нелинейные упругие волны в стержне// ПММ.1977. Т.41, Вып. 3, 531-537.

70. Пастернак, П. Л. Основы нового метода расчета фундаментов упругого основания при помощи двух коэффициентов М.: Гос. изд-во литературы по строительству и архитектуре, 1954. 55с.

71. Пелиновский Д.Е., Стешнянц Ю.А. Самофокусированная неустойчивость плоских солитонов и цепочек двумерных солитонов с среде сположи-тельной дисперсией// ЖЭТФ. 1993. Т. 104. 3387-3400.

72. Поверхностные акустические волны. / Ред. А.А. Олинер. -М.: Мир, 1981.

73. Порубов А.В. Нелинейные волны на свободной поверхности слоя вязкой неоднородной жидкости. Дисс. канд. физ.-матем. наук. СПб.: Гос. Технический университет, 1995. 126с.

74. Порубов А.В., Самсонов A.M. Уточнение модели распространения продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне// Письма в ЖТФ. 1993. Т. 19. Вып. 12. 26-29.

75. Потапов А.И., Родюшкин В.М. Экспериментальное исследование волн деформации в материалах с микроструктурой// Акустич. журнал. 2001. Т. 47, 347-350.

76. Потапов А.И., Семерикова Н.П. Нелиненйные продольные волны в стержнях с учетом взаимодействия полей деформации и температуры// ПМТФ. 1988. Вып. 1, 57-61.

77. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиплоский пучок нелинейных продольных волн в пластине// Акустич. журнал. 1984. Т. 30, Вып. 6, 819-822.

78. Рэлей(Сгпретт Дж.) Теория звукаМ.: Гостехиздат, 1955.

79. Савин Г.Н., Лукашев А.А., Лыско Е.М. , Веремеенко С.В., Во-жевскал С.М. Распространение упругих волн в твердом теле в случае нелинейно-упругой модели сплошной среды// Прикладная Механика. 1970. 6, Вып.2, 38-42.

80. Савин Г.Н., Лукашев А.А., Лыско Е.М. Распространение упругих волн в твердом теле с микроструктурой// Прикладная Механика. 1970. Т. 6, Вып. 7, 48-52.

81. Савин Г.Н., Лукашев А.А., Лыско Е.М., Веремеенко С.В., Ага-сьев Г.Г. Распространение упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением частиц// Прикладная Механика. 1970. Т. 6, Вып.6, 37-41.

82. Сагомонян, А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. 416 с.90j Самарский А.А., Николаев E.C. Методы решения сеточных уравнений, М.: Наука, 1978.

83. Самарский А.А., Попов, Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004.-424с.

84. Самсонов A.M. О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне// ДАН СССР. 1988. Т. 299, 10831086.

85. Самсонов A.M., Дрейден Г. В., Пору бое А. В., Семенова И. В. Возбуждение и наблюдение продольных волн деформации в пластине// Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, Вып. 11, 61-68.

86. Самсонов A.M., Дрейден Г. В., Пору бое А. В., Семенова И.В. Солитоны продольной деформации в нелинейно-упругом стержне/ В кн. Российская наука: Выстоять и возродиться-М.: Наука. Физматлит., 1997. 33-41.

87. Слюняев А.В., Пелиновский Е.Н. Динамика солитонов большой амплитуды// ЖЭТФ. 1999. Т. 116, 318-335.

88. Солитоны. Под ред. Р. Буллафа и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983. 408 с.

89. Спенсер Э. Теория инвариантов.М.: Мир, 1974.

90. Сокуринская Е.В. Исследование нелинейных бегущих волн в одномерном упругом волноводе. Дисс. канд.физ.мат. наук. СПб.: Гос. Технический университет. 1991.

91. Сокуринская Е.В. Некоторые точные решения задачи о нелинейных упругих волнах в пластине// Письма в ЖТФ. 1994. Т. 20. , Вып. 3, 3641.100J Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

92. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркинаю- М.: Мир, 1988. 352с.

93. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В двух томах.- М.: Мир, 1991.

94. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф. и Б акута С. А. Упругие постоянные и модули металов и неметалов.- Киев: Наукова Думка, 1982.

95. Шалашов Г.М. Кросс-модуляция фкустических волн на кубической нелинейности твердых тел// Акустич. ж. 1984. Т. 30, 386-390.

96. Шевлков И. С. Волны Лява на поверхности цилиндра, покрытого слоем // Акустич. ж. 1977. Т. 23, 86-89.

97. Шохин Ю.И. Первое дифференциальное приближение,- Новосибирск: Наука, 1979.

98. Шутилов В.А. Основы физики ультразвука-Л.: Изд.-во Ленингр. Унта, 1980.

99. Энгельбрехт Ю.К., Нигул УК. Нелинейные волны деформации. -М.: Наука, 1981.

100. Эринген, А.К. Теория микрополярной упругости //Разрушение. М.:Мир. Т.2. 1975. 646-751.

101. Achenbach J.D., Sun С. Т. Moving load on afiexibility supported Timoshenko beam// Int. J. Solids Struct. 1965. V. 1, 353-370.

102. Alexeyev A.A.Classical and non-classical interactions of kinks in some bubbly medium// J. Phys. A. 1999. V. 32, 4419-4432.

103. Allen M.A. , Rowlands G. On transverse instabilities of solitary waves// Phys. Lett. A. 1997. V. 235, 145-146.

104. Alexander J.C., Pego R.L., Sachs R.L. On the transverse instability of solitary waves in the Kadomtsev-Petviashvili equation// Phys. Lett. A. 1997. V. 226. 187-192.

105. Babaoglu C., Erbay S. Two-dimensional wave propagation in a generalized elastic solid// Chaos, Solitons and Fractals. 2001. Y.12. 381-389.

106. Beatty M.F. Topics in finite elasticity: Hyperelasticity of rubber, elastomers, and biological tissues-with experiments//Appl. Mech. Rev. 1987. V. 40. 16991733.

107. Belokolos A., Bobenko A., Enol'skij V., Its V. and Matveeev V. Algebro-Geometrical Approach to Nonlinear Integrable Equations. Springer. Berlin. 1994.

108. Benilov E.S., Grimshaw R., Kuznetsova E.P. "The generation of radiating waves in a singularly-perturbed KdV equation// Pliysica D. 1993. Y. 69, 270278.

109. Beresnev I.A., Wen K.-L., Yeh Y.T. Seismological evidence for nonlinear elastic ground behavior during large earthquakes//Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 1995. V. 14. 103-114.

110. Berezovski A., Engelbrecht J., Maugin G.A. Thermoelastic wave propagation in inhomogeneous media// Arch. Appl. Mech. 2000. V. 70, 694706.

111. Cariello F. and Tabor M. Painleve expansions for nonintegrable evolution equations// Physica D. 1989. V. 39, 254-286.

112. Catheline S., Gennison J.-L., Fink M. Measurement of elastic nonlinearity of soft solid with transient elastography//JASA. 2003. V. 114. 3087-3091.

113. Cermelli P. and Pastrone F. Growth and decay of waves in microstructured solids// Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. 1997. V. 46, 32-40.

114. A. R. Champneys, B.A. Malomed, J. Yang, and D. J. Каир Embedded solitons: solitary waves in resonance with the linear spectrum// Physica D. 2001. 152-153; 340-354 .

115. Chang H.-C., Demekhin E.A., and Kopelevich D.I. Stability of a Solitary-Pulse against Wave Packet Disturbances in an Active Media// Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75, 1747

116. Chow K.W. A class of exact, periodic solutions of nonlinear envelope equations// J. Math. Phys. 1995. V. 36, 4125-4137.

117. Christiansen P.L., Eilbeck J.C., Enolskii V.Z., Rostov, N.A. Quasi-periodic solutions of the coupled nonlinear Schrodinger equations// Proc. R. Soc. bond. A. 1995. V. 451, 685-700.

118. Christou M.A. and Christov C.I. Fourier-Galerkin Method for Localized Solutions of the sixth-order Generalized Boussinesq Equation// Proc. Intern. Conf. on Dynamical Systems and Differential Equations, May 18-21, 2000. Atlanta, USA, 121-130.

119. Christou M.A. and Christov C.I. Fourier-Galerkin Method for Localized Solutions of the Equations with Cubic Nonlinearity// J. Сотр. Anal. Appl. 2002. V. 4, 63-77.

120. Christov C.I. Numerical Investigation of the long-time evolution and interaction of localized waves// Fluid Physics/ eds. Velarde M.G. к Christov C.I. World Scientific, Singapore, 1994. 353-378.

121. Christov C.I. and Maugvri G.A. An Implicit Difference Scheme for the Long-Time Evolution of Localized Solutions of a Generalized Boussinesq System// J. Corrrpt. Phys. 1995. V. 116, 39-51.

122. Christov C.I. and Velarde M.G. Inelastic Interactions of Boussinesq Solitons// Intern. J. Bif. Chaos. 1994. V. 4, 1095-1112.

123. Christov C.I. and Velarde M.G. Dissipative solitons// Physica D. 1995. V. 86, 323-347.

124. Clarkson P.A., LeVeque R.J., Saxton R. Solitary wave interaction in elastic rods// Stud. Appl. Math. 1986. V. 75, 95-122.

125. Collet B. Lattice approach for shear horizontal solitons in cubic crystal elastic plates// Materials Science Forum. 1993. V. 123-125, 417-426.

126. Collet В., Pouget J. Nonlinear dynamics of localized modes in elastic thin plates// Proceedings of the 2nd European Oscillation Conference, Prague, September 9-13, 1996, 113-118.

127. Conte R. Invariant Painleve analysis of partial differential equations// Phys. Lett. A . 1989. V. 140, 383-390,

128. Conte R., Fordy APickering A. A perturbative Painleve approach to nonlinear differential equations// Physica D. 1993. V. 69, 33-58.

129. Conte R. and Musette M., Link between solitary waves and projective Riccati equations// J. Phys.A.: Math.Gen. V. 1992. V. 25, 5609-5623.

130. Crighton D.G. Applications of KdV// Acta Applicandae Mathematical. 1995. V. 39, 39-67.

131. Destrade M, Saccornandi G. On finite amplitude elastic waves propagating in compressible solids// Phys. Rev. E. 2005. V. 72, 016620-1-016620-12.

132. Drazin P. G. and Johnson R. S. Soli tons: an Introduction. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.

133. Elmer, F.-J. Nonlinear dynamics of dry friction/,/ J. Phys. A: Math. Gen. 1997. V. 30, 6057-6063.

134. Engelbreeht J. One-Dimensional Deformation waves in Nonlinear Viscoelastic Media,// Wave Motion. 1979. V. 1, 65-74.

135. Engelbreeht J. Nonlinear wave processes of deformation in solids. Pitman, Boston, 1983.

136. Engelbreeht J. Nonlinear Wave Dynamics. Complexity and Simplicity. Kluwer, The Netherlands, 1997.

137. Engelbreeht J. and Braun M. Nonlinear waves in nonlocal media// Appl. Mecli. Rev. 1998. V. 51, No 8, 475-488.

138. Engelbreeht, J., Cermelli P. and Pastrone F. Wave hierarchy in microstructured solids// In: Geometry, Continua and Microstructure/ Ed. Maugin G.A. Herman Publ. Paris, 1999. 99-111.

139. Engelbreeht J. and Khamidullin Y. On the possible amplification of nonlinear seismic waves// Phys. Earth Planet. Inter. 1988. V. 50, 39-45.

140. Engelbrecht J. and Maugin G.A. Deformation waves in thermoelastic media and the concept of internal variables// Arch. Appl. Mech. 1996. V.66, 200-207.

141. Erbay S. Coupled modified Kadomtsev-Petviashvili equations in dispersive elastic media// Intern. J. Nonl. Mech. 1999. V.34. 289-297.

142. Erbay S., Erbay H.A., and Dost S. Nonlinear wave modulation in micropolar elastic media-I. longitudinal waves; II. Transverse waves// Int. J. Engng. Sci. 1991. V. 29, 845-858; 859-868.

143. Eringen A.C. and Suhubi E.S. Nonlinear theory of micro-elastic solids. Part 1,2// Intern. J. Eng. Sci. 1964. V. 2. 189-203; 389-404.

144. Erofeev V.I. Wave processes in Solids with microstructure. World Scientific, Sigapore, 2003.

145. Erofeev V.I. and Potapov A.I. Longitudinal strain waves in non-linearly elastic media with couple stresses// Int. J. Nonl. Mech. 1993. V. 28, 483-488.

146. Fares M.E. Mixed variational formulation in geometrically non-linear elasticity and a generalized nth- order beam theory// Int. J. Nonl. Mech. 1999. V. 34. 685-691.

147. Fares M.E. Generalized non-linear thermoelasticity for composite laminated structures using a mixed variational approach// Int. J. Nonl. Mech. 2000. V. 35. 439-.

148. Feng B.F. and Kawahara T. Stationary travelling-wave solutions of an unstable KdV-Burgers equation// Physica D. 2000. V. 137. 228-236.

149. B.-F. Feng, T. Mitsui A finite difference method for the Korteweg- de Vriesand the Kadomtsev-Petviashvili equations// J. Сотр. Appl.Math. 1998. V. 90. 95-116.

150. Fowler A.C. Mathematical Models in the Applied Sciences. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.

151. Garazo A.N. and Velarde M.G. Dissipative Korteweg-de Vries description of Marangoni-Benard oscillatory convection// Phys. Fluids A. 1991. V. 3. 22952300.

152. Giovine P., Oliveri F. Dynamics and wave propagation in dilatatnt granular materials// Meccanica. 1995. V. 30, 341-357.

153. Godano C., Oliveri F. Nonlinear seismic waves: a model fof site effects// Intern. J. Nonl. Mech. 1999. V.34, 457-468.

154. Godunov S.K. and Ryaben'kii V.S. Difference Schemes: introduction to the underlying theory of. North-Holland, Amsterdam, 1987.

155. Godunov S.K. Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients. AMS. 1997.

156. Goryacheva I.G. Contact mechanics in tribology. Kluwer, Dordrecht etc., 1998. 344 p.

157. Grimshaw R., Malomed B. and Benilov E. Solitary waves with damped oscillatory tails: an analysis of the fifth-order Korteweg-de Vries equation// Physica D. 1994. V. 77, 473-485.

158. Huges D.S., Kelly I.L. Second-Order Elastic Deformation of Solids// Phys.Rev. 1953. V. 92, 1145-1156.

159. Hunter J.K., Scheurle J. Existence of perturbed solitary wave solutions to a model equation for water waves// Physica D. 1988. V. 32, 253-268.

160. Iwasaki V, TohS., Kawahara T. Cylindrical quasi-solitons of the Zakharov-Kuznetsov equation// Physica D. 1990. V. 43, 293-303.

161. Jeffrey A., Kawahara T. Asymptotic Methods in Nonlinear Wave Theory. Pitman, London, 1982.

162. Johnson K.L. Contact Mechanics. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985.

163. Kakutani Т., Yamasaki N. Solitary waves in a two-layer fluid// J. Phys. Soc. Jpn. 1978. V. 45, 674-679.

164. Kawahara T. Oscillatory Solitary Waves in Dispersive Media// J. Phys. Soc. Jpn. 1972. V. 33, 260-264.

165. Kawahara T. Formation of saturated solitons in a nonlinear dispersive system with instability and dissipation// Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51, 381— 383.

166. Kawahara Т., Такаока M. Chaotic Motions in an Oscillatory Soliton Lattice//' J. Phys. Soc. Jpn. 1988. V. 57, 3714-3732.

167. Kerr A.D. Elastic and viscoelastic foundation models// J. Appl. Mech. 1964. V. 31, 491-498.

168. Kivshar Yu.S., Syrkin E.S. Shear- horizontal elastic solitons in crystal plates// Phys. Lett. A. 1991. V. 153, 125-128.

169. Kliakhandler I.L. http://www.math.mtu.edu/ igor

170. Kliakhandler I.L. , Porubov A.V. and Velarde M.G. Localized finite-amplitude disturbances and selection of solitary waves// Phys. Rev. E. 2000. V. 62, 4959-4962.

171. Kodarna J., Ablowitz M. Perturbation of solitons and solitary waves", Stud. Appl. Math. 1981. V. 64, 225.

172. Kozak J. and Sileny J. Seismic events with non-shear component. I. Shallow earthquakes with a possible tensile source component// PAGEOPH. 1985. V. 123, 1-15.

173. Kumar R. Wave propagation in micropolar viscoelastic generalized thermoelastic solid// Int. J. Eng. Sci. 2000. V. 38. 1377-1395.

174. Lou SHuang G. and Ruan H. Exact solitary waves in a convecting fluid// J. Phys. A. 1991. V. 24, L587-L59D.

175. Marchant T.R. The evolution and interaction of Marangoni-Benard solitary waves// Wave Motion. 1996. V. 23, 307

176. Marchant T.R. Solitary wave interaction for the extended BBM equation// Proc.Roy. Soc. A. 2000. V. 456, 433-453.

177. Maugin G.A. Internal Variables and Dissipative Structures// J. Non-Equilib. Thermodyn. 1990. V. 15, 173-192.

178. Maugin G.A. Material Inhomogeneities in Elasticity- Chapman & Hall, London, 1993.

179. Maugin G.A. Material forces: Concepts and applications// Appl. Mech. Rev. 1995. V. 48, 213-245.

180. Maugin G.A. The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors. An Introduction.- World Scientific, Singapore, 1999.

181. Maugin G.A. and Muschik W. Thermodynamics with internal variables// J.Non-Equil. Thermodyn. 1994. V. 19, 217-289.

182. Mayer A. Thermoelastic attenuation of surface acoustic waves in coated elastic media// J. Appl. Phys. 1990. V. 68, 5913-5915.

183. Mayer A. Surface Acoustic Waves in Nonlinear Elastic Media// Phys. Reports. 1995. V. 256, 237-366.

184. Miles J. W. Obliquely interacting solitary wave// J. Fluid Mech. 1977. V. 79, 157-169 .

185. Miles J. W. Resonantly interacting solitary waves// J. Fluid Mech. 1977. V. 79, 171-179.

186. Minzoni A.A., Smith N.F. Evolution of lump solutions for the KP equation// Wave Motion. 1996. V. 24, 291-305.

187. Morton K.W., Mayers D.F. Numerical Solution of Partial Differential Equations. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

188. Murnaghan F.D. Finite Deformations of an Elastic Solid. J. Wiley, New York, 1951.

189. Nekorkin V.I., Velarde M.G. Solitary waves, soliton bound states and chaos in a dissipative Korteweg-de Vries equation// Int. J. Bif. Chaos. 1994. V. 4, 1135-.

190. Nepomnyashchy A. A., Velarde M. G. A three-dimensional description of solitary waves and their interaction in Marangoni-Benard layers// Phys. Fluids A. 1994. V. 6, 187-198.

191. Newell A., Tabor M., Zeng Y.B. A Unified Approach to Painleve Expansions// Physica D. 1987. V. 29, 1-68.

192. Newille E.H. Jacobian Elliptic Functions.Clareclon Press, Oxford, 1951.

193. Nikolaev, A. V. Scattering and dissipation of seismic waves in presence of nonlinearity// PAGEOPH. 1989. V. 131, 687-702.

194. McNiven H.D., McCoy J.J. Vibrations and wave propagation in rods// R. Mindlin and Applied Mechanics/Ed. Herrmarm G. Pergamon, New York , 1974. 197-226.

195. Nonlinear Waves in Active media jEd. Engelbreeht, J. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

196. Nonlinear Waves in Solids/ Eds. Jeffrey A., Engelbreeht J. eds. Springer-Verlag, Wien, 1994.

197. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Pergamon, Oxford, 1986.

198. Painleve Transcendents: Their Asymptotics and Physical Applications./Eds. Levi D. and Winternitz P. Plenum Press, New York and London, 1992.

199. Parker D.F. Nonlinear Surface Acoustic Waves and Waves on Stratified Media// Nonlinear Waves in Solids/ Eds. Jeffrey A., Engelbrecht J., Springer, Berlin, 1994, 289-348.

200. Parker D.F. and Mayer A. Dissipation of Surface Acoustic Waves// Nonlinear Waves and Dissipative Effects /Eds. Fusco D. and Jeffrey A. , Longman, London. 1991, 42-51.

201. Parker D.F., Tsoy E.N. Explicit Solitary and Periodic Solutions for Optical Cascading// J. Eng. Math. 1999. Y. 36, 149-162.

202. Parkes E.J. and Duffy B.R. An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to nonlinear evolution equations// Computer Phys. Comm. 1996. Y. 98, 288-300.

203. Pastrone F., P. Cermelli P., Porubov A. V. Non-linear waves in 1-D solids with microstructure// Materials Physics and Mechanics J. 2004. Y. 7, Nol, 9-16.

204. Porubov A. V. Exact travelling wave solutions of nonlinear evolution equation of surface waves in a convecting fluid// J. Phys. A: Math. Gen. 1993. V. 26, L797- L800.

205. Porubov A.V. Periodical solution to the nonlinear dissipative equation for surface waves in a convective liquid layer// Phys. Lett. A. 1996. V. 221, 391— 394.

206. Porubov A. V. Strain solitary waves in an elastic rod with microstructure // Rendiconti del Seminario Matematico delPUniversita' e Politecnico di Torino. 2000. V. 58, 189-198.

207. Porubov A. V. Dissipative nonlinear strain waves in solids// In : Selected Topics in Nonlinear Wave Mechanics/ Eds. Christov C.I. and Guran A. Boston,Birkhauser, 2002, P.223-260.

208. Porubov A. V. Amplification of nonlinear strain waves in solids.- World Scientific, Singapore, 2003. 213 p.

209. Porubov A.V. Analytical solutions and unsteady processes governed by non-linear non-integrable equations// Rendiconti del Seminario Matematico delPUniversita' e Politecnico di Torino. 2006. in press.

210. Porubov A.V. On formation of the rogue waves and holes in ocean//Rendiconti del Seminario Matematico delPUniversita' e Politecnico di Torino. 2006. in press.

211. Porubov A.V., Cermelli P., and Pastrone F. Solitary waves in nonlinear elastic solids with microstructures// Proc. Fifth Intern. Seminar on Geometry, Continua and Microstructures, Bukharest, Romania, September 2001, pp. 179192.

212. Porubov A. V., Gursky V.V. and Maugin G.A. "Selection of localized nonlinear seismic waves// Proc. Estonian Acad. Sci., Phys. Math. (2003. V. 52, No 1. 85-93.

213. Porubov A. V, Lavrenov I. V. and Tsuji H. Formation of abnormally high localized waves due to nonlinear two-dimensional wraves interaction// Proceedings of the Intern. Conf. "Day on Diffraction'2004", Saint-Petersburg, Russia, 2004, pp. 154-162.

214. Porubov A. V., Maugin G.A. Longitudinal strain solitary waves in presence of cubic nonlinearity// Intern. J. Non-Linear Mech. 2005. У. 40, No 7, 10411048.

215. Porubov A. V., Maugin G.A.Propagation of localized longitudinal strain waves in a plate in presence of cubic nonlinearity // Physical Review E. V. 74, No 4, 046617-046624 (2006).

216. Porubov A.V., Maugin G.A., Gursky V.V., Krzhizhanovskaya V.V. On some localized waves described by the extended KdV equation// C. R. Mecanique.2005. V. 333. No7, 528-533.

217. Porubov A. V., Maugin G.A., Mareev V.V. Two-dimensional nonlinear strain waves in plates// Proceedings of the XXXII International Conference "Advanced Problems in Mechanics, St. Petersburg, Russia, 2004, 371-374.

218. Porubov A. V., Maugin G.A., Mareev V. V. Localization of two-dimensional nonlinear strain waves in a plate//Intern. J. Non-Linear Mech. 2004. V. 39, No 8, 1359-1370.

219. Porubov A. V., Maugin G.A., Mareev V.V. Amplification of two-dimensional strain solitary waves// Proceedings of the RIAM Symposium N0.I6ME-SI "Physics and Mathematical Structures of Nonlinear Waves", RIAM, Japan. 2005, 6-11.

220. Porubov, A. V., Parker D.F. Some General Periodic Solutions to Coupled Nonlinear Schrodinger Equations// Wave Motion. 1999. V. 29, 97-109.

221. Porubov, A. V., Parker D.F. Some General Periodic Solutions for Optical Cascading// Proc. Roy. Soc. A. 2002. V. 458, 2139-2151.

222. Porubov A. V. and Pastrone F. Nonlinear bell-shaped and kink-shaped strain waves in microstructured solids// Intern. J. Non-Linear Mech. 2004. V. 39, No 8, 1289-1299.

223. Porubov A. V., Pastrone F., and, Maugin G.A. Selection of two-dimensional nonlinear strain waves in micro-structured media// C. R. Mecanique. 2004. V. 332. No 7, 513-518.

224. Porubov A. V., Samsonov A.M. , Velarde M.G. and Bukhanovsky A.V. Strain solitary waves in an elastic rod embedded in another elastic external medium with sliding// Phys.Rev. E. 1998. V. 58, 3854 -3864.

225. Porubov A. V., Tsuji H., Lavrenov I.V., and Oikauia, M. Formation of therogue wave due to nonlinear two-dimensional waves interaction// Wave Motion. 2005. V. 42, No3, 202-210.

226. Porubov A. V., Velarde M.G. Exact Periodic Solutions of the Complex Ginzburg-Landau Equation// J. Math. Phys. 1999. V. 40, 884-896.

227. Porubov A. V., Velarde M.G. Dispersive-dissipative solitons in nonlinear solids// Wave Motion. 2000. V. 31, 197-207.

228. Porubov A. V., Velarde M.G. On nonlinear waves in an elastic solid. // Comptes Rendus Acad Sci. (Paris) lib. 2000. V. 328, no 2, 165-170.

229. Porubov A.V., Velarde M. G. Strain kinks in an elastic rod embedded in a viscoelastic medium// Wave Motion. 2002. V. 35, 189-204.

230. Potapov A.I., Pavlov I.S., Gorshkov K.A., and Maugm G.A. Nonlinear interactions of solitary waves in a 2D lattice// Wave Motion. 2001. V. 34. 83-95.

231. Poschel Т., Herrmann H.J. A simple geometrical model for solid friction// Physica A. 1993. V. 198, 441-448.

232. Qaisar M. Attenuation Properties of Viscoelastic Material// PAGEOPH. (1989. V. 131, 703

233. Sachdev P.L. Nonlinear diffusive waves. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.

234. Salupere A., Maugm G.A., Engelbrecht J. Korteweg-de Vries soliton detection from a harmonic input// Phys. Lett. A. 1994. V. 192, 5-8.

235. Salupere A. , Maugin G.A. and Engelbrecht J. Solitons in systems with a quartic potential and higher-order dispersion// Proc. Estonian Acad. Sci., Phys. Math. 1997. V. 46, 118-127.

236. Salupere A., Engelbrecht J., Maugin G.A. Solitonic structures in KdV-based higher-order systems// Wave Motion. 2001. V. 34, 51-61.

237. Samsonov A.M. Travelling wave solutions for nonlinear waves with dissipation// Appl.Anal. 1995. V. 57, 85-100.

238. Samsonov A.M. (2001) Strain soltons in solids and how to construct them, Chapman & Hall/CRC.

239. Samsonov A.M., Dreiden G.V., Semenova I.V. On existence of bulk solitary waves in plexiglas// Proc. Estonian Acad. Sci., Phys. Math. 2003. V. 52, No 1., 115-124.

240. Satsuma J. N-soliton solution of the two-dimensional Korteweg-de Vries equation// J.Phys. Soc. Jpn. 1976. V. 40, 286-290.

241. Sawada K., Kotera T. A method for finding N-soliton solutions of the KdV equation and KdV-like equation// Prog. Theor. Phys. 1974. V. 51, 1355-.

242. Sillat T. Wave propagation in dissipative microstructured materials. Thesis of Master of Science. Technical University, Tallinn. 1999.

243. Smith R. T. , Stern R., and Staphens R. W.B. Third-Order Elastic Moduli of Polycrystalline Metals from Ultrasonic Velocity Measurements// J.Acoust.Soc. Amer. 1966. V. 40, 1002-1008.

244. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S. Solitary waves in nonlinear elastic rods, I// J. Acoust. Soc. Amer. 1984. V. 76, 871-879.

245. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S., and Skovgaard 0. Solitary waves in nonlinear elastic rods, II// J. Acoust. Soc. Amer. 1987. V. 81, 1718-1722.

246. Stefarlski A., Wojewoda J. and Wiereigroch M. "Numerical analysis of duffing oscillator with dry friction damper// Mech. к Mech. Ing. 2000. V. 4, No2, 127-137.

247. Svendsen I., Buhr-Hansen J.B. On the deformation of periodic waves over a gently sloping bottom// J. Fluid Meeh. 1978. V. 87, 433-.

248. Tadeu A., Santos P., Antonio J. Amplification of elastic waves due to a point source in the presence of complex surface topography// Computers and Structures. 2001. V. 79. 1697-1712.

249. Thomas L.H. Elliptic problems in linear difference equations over a network. Watson Sci. Comput. Lab. Rept., Columbia University, New York. 1949.

250. Thurston R.N. and Brugger K. //Phys.Rev. 1964. Y. 133, 1604.

251. Tsuji H., Oikawa M. Two-dimensional interaction of internal solitary waves in a two-layer fluid// J. Phys. Soc. Jpn. 1993. V. 62, 3881-3892.

252. Velarde M.G., Nekorkin V.I. and Maksim,ov A. G. Further results on the evolution of solitary waves and their bound states of a dissipative Korteweg-de Vries equation// Int. J. Bif. Chaos. 1995. V. 5, 831-847.

253. Vlieg-Hultsman M., Haljord W. The Kotreweg-de Vries-Burgers equation: a reconstruction of exact solutions// Wave Motion. 1991. V. 14, 267-276.

254. Wang Z.-P., Sun C.T. Modeling micro-inertia in heterogeneous materials under dynamic loading// Wave Motion. 2002. V. 36. 473-485.

255. Weiss J. ; Tabor M. and Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations// J. Math. Phys. 1983. V. 24, 522-.

256. Whittaker E.T., Watson G.N. A Course of Modern Analysis. Cambridge, University Press. 1927.

257. Zwillenger D. Handbook of Differential Equations, Acad. Press, Boston. 1989.