Распространение пространственных ударных волн в нелинейной упругой среде с микроструктурой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Математическая модель динамического деформирования упругой среды с микроструктурой.

1.1. Свойства упругой среды с микроструктурой.

1.2. Динамическое деформирование последовательности дискретных материальных частиц с нелинейными упругими связями.

1.3. Реологическая модель одномерного деформирования нелинейно-упругой среды с микроструктурой.

1.4. Математическая модель распространения нелинейно-упругих волн в однородной сплошной среде.

1.5. Математическая модель нестационарного деформирования нелинейно-упругой среды с микроструктурой.

Изучение распространения волн в нелинейных средах, а так же аналитические методы в теории дифференциальных уравнений в частных производных - два научных направления, которые параллельно и при взаимном влиянии переживают за последние десятилетия значительный подъем.

Этот подъем был стимулирован нуждами физической науки, в разных областях: физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков, механике сплошных сред. Изучается поведение уединенных волн в кристаллах, живых организмах, в океанах и коре Земли и других планет. Во всех перечисленных областях большие трудности возникают при изучении проблемы взаимодействия волн большой амплитуды.

Распространение волн напряжений в твердых телах описывает нелинейная динамическая теория упругости [14]. В теории упругости перемещение ut непрерывно как в пространстве, так и во времени, в силу чего сильные разрывы могут появляться только в первых производных. Если при переходе через движущуюся поверхность одна или несколько компонент градиентов перемещений или скорости перемещений претерпевают разрыв, то такая поверхность называется ударной волной. Как правило, в линейных теориях основные уравнения упрощаются, в частности линеаризуются зависимости между деформациями и градиентами перемещений. Нелинейная динамическая теория упругости пытается оперировать с полными уравнениями, поэтому, исследование ограничивается материалом с простейшими свойствами, а именно упругим телом.

Нелинейная динамическая теория упругости ставит задачу отыскания набора решений для упругих тел, исследования новых явлений, которые при этом возникают, с целью получения подходов к исследованию аналогичных явлений в более сложных телах, например, в упруговязкопластических.

Простейший класс задач, которые удается решить в нелинейной динамической теории упругости, сводится к задачам о распространении ударных волн. В простейшей задаче распространения ударной волны волна считается плоской, а область перед ее фронтом предполагается недеформированной. Ударная волна является частным случаем плоской волны и определяется условием: компоненты перемещения ut представляют собой функции времени и расстояния в направлении распространения волны, если оси ориентированы таким образом, что х является направлением распространения, то ui = u^xj). Знак л; обычно выбирают таким образом, чтобы волна перемещалась в положительном направлении.

В [74] описано образование ударной волны в газе. Фронт ударной волны представляет поверхность разрыва параметров состояния газа, перемещающуюся по газу и вызывающую скачкообразное изменение этих параметров, причем невозмущенный газ перед фронтом ударной волны имеет меньшие давления, плотность и температуру, чем после прохождения фронта. Повышение средней квадратичной скорости пробега молекул вызывает возрастание давления и плотности невозмущенного газа при прохождении его сквозь фронт ударной волны. Явление одномерного распространения плоской ударной волны допускает элементарный количественный расчет.

Бубнов В.А. и Ханин А.Д. в [13] рассмотрели задачу о распространении импульса давления в гидравлической линии. Исходная система уравнений была принята в форме уравнений Жуковского для гидравлического удара

39]. Сравнение теории произведено с экспериментами Холмбоу - Руло [102, 105].

В [26] рассмотрена задача о распространении стационарных периодических волн малой амплитуды в вязкой сжимаемой жидкости в бесконечно длинной трубе с упругими стенками. Получено решение этой задачи, определяющее комплексные постоянные распространения для двух низких форм движения: акустические волны в жидкости и акустические волны в трубе. Исследован характер этих двух форм в зависимости от частоты, вязкости жидкости и жесткости стенок трубы. Исследована так же и третья форма движения, соответствующая краевым нагрузкам на трубу; эта форма, в отличие от двух первых, имеет частоту среза, такую, что при высоких частотах интервал распространения волн бесконечен, а при меньших частотах конечен.

Опыт показал, что многие физические задачи о нелинейных волнах описываются сравнительно небольшим числом универсальных математических моделей. Одна из них - уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ), которое было известно еще в прошлом веке. Было установлено, что это уравнение имеет замечательное локализованное точное решение -солитон.

В 1965 г. Забужский и Краскал [125] обнаружили, что решение уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ), представляющее собой уединенную волну, обладает свойством: такое решение «упруго» взаимодействует с другим таким же решением. Они назвали эти решения солитонами.

В 1967 г. Гарднер, Грин, Краскал и Миура обнаружили связь уравнения КдФ с нелинейным уравнением Шредингера на прямой:

Щ=ЧХ +Х'Ч2 -У*, Х>0 где i - мнимая единица; % - оператор частоты; q-q(x,t) - некоторая функция.

Они открыли метод точного решения некоторых нелинейных уравнений с частными производными, получивший название «метод обратной задачи рассеяния». Гарднер (1967г.) [119,120] стал первооткрывателем метода математической физики (метода решения уравнения КдФ, использующего идеи прямой и обратной задачи рассеяния). Лаке (1968) [71] обобщил его идеи, а Захаров и Шабат (1971) [12, 42] показали, что этот метод приложим к уравнению, важному для физических приложений,- нелинейному уравнению Шредингера. Используя эти идеи, Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур (1973-1974) [1, 110, 111] разработали метод, позволяющий найти существенно более широкий класс нелинейных эволюционных уравнений, которые можно решать, воспользовавшись прямой и обратной задачей рассеяния. Множество исследователей занимались усовершенствованием метода обратной задачи и применением его к новым нелинейным уравнениям, имеющим применение в физике и, прежде всего - в физике нелинейных волн. Суть этого метода состоит в разложении решения исходного уравнения вблизи сингулярного многообразия. Ценность МОЗР состоит в том, что он позволяет исследовать нелинейную задачу методами линейной теории. Одну из ведущих ролей в исследованиях сыграли отечественные ученые: Агранович 3. С., Марченко В. А., В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков и Л.П. Питкаевский [3, 41].

Упругому динамическому деформированию посвящено большое число фундаментальных исследований [9, 22, 24, 38, 39, 46, 51, 55, 59, 67, 68, 82, 129], так как это явление имеет большое практическое значение. Исследована экспериментальная связь скорости ударной волны со скоростью частиц, законов сохранения и количества движения [127]. Измерения в ударной волне, ультразвуковые и статические измерения показали, что определенное таким образом уравнение состояния сильно сжатого материала практически совпадает с теорией конечных деформаций третьего порядка Эйлера. Также показано, что эта теория описывает поведение материала и при малых деформациях. Существование ударных волн разряжения в веществе вблизи критической точки фазового перехода I рода предсказано В. Б. Зельдовичем [43] и обнаруженного экспериментально [65].

Для решения одно и двухмерных динамических задач используется метод характеристик [39, 59, 85]. К решению трехмерных нестационарных задач, упруговязкопластичности успешно применяется лучевой метод [96], который позволяет точно представить решение на фронте и приближенно - за фронтом волны.

Уравнения, описывающие динамическое нестационарное движение реальной жидкости в трубах представляют собой квазилинейные системы уравнений, в частных производных первого порядка гиперболического типа.

Общая теория решения таких задач хорошо развита [60, 97, 98]. При решении одномерных и многомерных задач широко используют численные методы [19, 81, 88], метод распада произвольного разрыва [20] , конечно-разностные методы [19, 88]. Одним из наиболее экономичных численным и в тоже время приближенным методом является лучевой метод [18, 89] -приближенный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью ряда Тейлора для построения систем гиперболических уравнений в частных производных в окрестности фронтов. В более общем случае решение представляется в виде ряда по множеству обобщенных функций с носителями на подвижной поверхности, которая отделяет невозмущенную область пространства от возмущенной. Эта поверхность называется волновым фронтом (рис.1).

Такие поверхности совпадают с характеристическими поверхностями системы местных гиперболических уравнений. Нормальные линии к характеристическим поверхностям называются лучами [60, 96]. Лучи являются ортогональными траекториями волновых фронтов. В качестве обобщенных функций обычно используют 8 - функцию Дирака, единичную rj - функцию Хевисайда или их обобщенные производные.

Изучение уединенных волн началось с наблюдений Дж. Скотта Рассела [137, 138], сделанных более века назад. Рассел впервые наблюдал уединенную волну во время верховой прогулки вдоль узкого судоходного канала. Когда баржа, за которой он следил, остановилась, Рассел отметил, что «вперед побежало большое одиночное возвышение - округлый, гладкий и ясно выраженный водяной холм, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Его высота постепенно уменьшалась, и через одну или две мили погони я потерял его из виду в изгибах канала. Так, в августе 1834г., мне впервые посчастливилось наблюдать это необычное и красивое явление». .[137].

Это наблюдение вдохновило Рассела начать систематическое экспериментальное исследование поверхностных волн на воде. Он разделил

Рис. 1. Волновой фронт, отделяющий невозмущенную область пространства от возмущенной. все поверхностные волны на два типа: «большие простые волны трансляции (которые в дальнейшем стали называть уединенными волнами) и все остальные волны, которые «принадлежат ко второму, или колебательному типу волн». Последние не являются волнами «первого типа». Он рассматривал уединенные волны как имеющие первостепенную важность. Среди множества его результатов важно отметить следующие:

На мелкой воде могут распространяться длинные уединенные волны неизменной формы. Это наиболее важный результат Рассела.

Скорость распространения уединенной волны по каналу постоянной глубины дается формулой где г/- высота гребня волны над поверхностью спокойной жидкости; h -глубина спокойной жидкости; g- ускорение свободного падения.

Долгое время не существовало математической теории, объясняющей уединенную волну. Но предпринимались попытки привести этот факт в соответствие с существующей теорией, показать, что ее следовало ожидать исходя их известных уравнений движения жидкости.

Окончательно Кортевег и де Фриз вывели уравнение (ныне известное, как уравнение Кортевега — де Фриза, или уравнение КдФ), которое описывает поведение волн умеренной амплитуды на поверхности неглубокой жидкости. Это уравнение имеет решение в виде стационарно распространяющихся волн, в том числе солитонов.

Буссинеск [114, 115] так же получил нелинейное эволюционное уравнение, описывающее подобные волны и нашел для него солитонное решение. Такое решение получил так же Релей (1876) [132]. После этих ранних работ уравнение Кортевега - де Фриза [85] не находило новых приложений, вплоть до 1960г., когда Гарднер и Морикава [121], изучая магнитогидродинамические волны в бесстолкновительной плазме, снова не вывели это уравнение. Солитоны в бесстолкновительной плазме были ранее открыты и систематически изучены Р.З.Сагдеевым в 1956, 1958 г г.

В [63] предлагаются преобразования Бэклунда для обобщенного эволюционного уравнения волновой динамики, при помощи которых получены точные солитонные решения этого уравнения.

Для описания ряда волновых процессов используется обобщение нелинейного уравнения четвертого порядка, которое в общем случае имеет вид: ди ди д3и д2и д4и .,ч + + j3—j = a— + Г—г- О) dt дх дх3 дх2 дх4 Здесь постоянные коэффициенты; u(x,t)~ функция, характеризующая физический процесс: смещение, толщину пленки, концентрацию и т.д.; х-координата; t - время.

При аФ0,/3 = у = 0, уравнение (1) является уравнением Бюргерса, которое в простейшем случае моделирует образование ударных волн в газовой динамике.

В случае а = у = О, О уравнение (1) совпадает с уравнением КдФ, описывающим тип волн, называемых солитонами.

В [62] получены формулы преобразования решений типа Бэклунда для уравнений Бюргерса и КдФ, которые дают точное решение уравнения (1), являющееся уединенной волной, имеющей единственный максимум.

Аналитические решения в виде уединенных и кноидальных волн нелинейных уравнений Бюргерса - Кортевега - де Фриза, Курамото -Сивашинского и уравнения Кавахары, встречающихся при описании волновых процессов в механике, были получены Кудряшовым [64]. Вейсом, Табором и Корневейлом был предложен эффективный метод [64], позволяющий находить преобразования Беклунда и пары Лакса для нелинейных уравнений в частных производных, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния.

Г.В. Дрейден и A.M. Самсонов обсуждали теорию, численные и физические эксперименты по генерации, наблюдению и распространению длинных упругих нелинейных периодических и уединенных волн деформации [29]. Упругие нелинейные волны не вызывают появления зон локальной пластичности при распространении, практически не взаимодействуют с другими волнами и не обладают заметным затуханием. В [7, 112] представлены методы построения асимптотических разложений в окрестности волнового фронта для нелинейных волн в сплошной среде, описываемых системой квазилинейных гиперболических дифференциальных уравнений.

В последние годы в связи с внедрением в современную технику новых конструкционных материалов начали интенсивно развиваться физические и математические модели сплошных сред. К ним относится и модель среды с микроструктурой, которую можно рассматривать как обобщение классической (симметричной) теории упругости. В частности на ее основе строятся модели слоистых стержней, пластин и оболочек [16].

Проведено множество исследований в средах, имеющих микроструктуру [4, 8, 10, 11, 32, 33, 34, 35, 36, 56, 57, 69, 100, 101, 142]. Экспериментально изучены явления распространения нагружения в зернистых средах [52, 130, 140]. Определена усредненная скорость распространения волн по месторасположению волнового фронта во времени. В качестве результата получено, что скорость распространения зависит от упаковки и направления распространения. В случае наличия обжимающего давления скорость возрастает.

В [100] экспериментально исследованы затухания ударного импульса в столбе частиц сыпучей среды в условиях плоской деформации. Проанализировано влияние размеров частиц сыпучей среды и пористости на затухание распространения высокочастотных (в частности взрывных) волн. В поликристаллических структурах, зернистых композиционных материалах и полимерах наблюдается эффекты, не описываемые уравнениями классической теории упругости. В связи с этим возникает проблема разработки и исследования новых математических моделей деформируемых сред, способных отражать внутренние степени свободы. К числу таких моделей могут относиться модели сред с моментными напряжениями, которые анализируются в [36].

Костюков Н.А. исследовал двухмерные течения, имеющие место на границе раздела порошкового материала с деформируемой преградой в условиях плоского и асимметричного взрывного нагружения [56]. Изучены структурные особенности компактов, возникающие при различных соотношениях между скоростью распространения нагрузки по поверхности преграды и скоростью пластической ударной волны в преграде.

В [101] показано, что увеличение пористости ударно-сжимаемых твердых материалов приводит к появлению во фронте ударной волны вещества в газообразном или плазменном состоянии. Исследование сжатия высокопористого вещества двумя следующими друг за другом ударными волнами подтвердило изменение фазового состояния во фронте первой волны.

Максименко JI.A. и Максименко A.J1. предложили подход в [78], позволяющий сформировать условия возникновения ударной волны уплотнения в пористом теле или порошке с идеально пластическим материалом основы.

Большой интерес представляет изучение солитонов продольной деформации в упругих волноводах [29, 90]. Разнообразие требований, предъявляемых к волноводам, порождает соответствующее разнообразие конструкций, поиск которых непрерывно продолжается. В постоянном процессе совершенствования волноведущих структур широко используются новейшие достижения в области создания современной элементной базы. В последние десятилетия достигнут значительный прогресс в создании регулярно - слоистых материалов в качестве элементов конструкций обуславливает качественно новый характер распространения волн различной физической природы [44, 106, 107, 129, 136, 139], что позволяет удовлетворить многие требования, предъявляемые к волноводам и выполнение которых невозможно при использовании классических материалов [139].

В [73, 108] исследуется волновое распространение волн сдвига в слое с обкладками из периодически - слоистого материала и однородного, которые моделируются полупространствами.

Солитоны переносят без изменений значительную упругую энергию вдоль волновода. Поведение нелинейной волны деформации зависит от многих факторов. В частности следует учитывать влияние микроструктуры материала волновода. Ранее волны в упругих средах с микроструктурой исследовались в основном в упругих средах без учета влияния границ.

В [90] предложена процедура вывода нелинейных модельных уравнений для предельных волн деформации в цилиндрических стержнях с микроструктурой, при использовании модели псевдоконтинуума Коссера и континуума Леру. Влияние микроструктуры сводится к изменению интервала допустимых скоростей солитона продольной деформации. Континуум Леру способствует сужению солитона по сравнению с чисто упругим случаем, в то время как псевдоконтинуум Коссера - расширению волны. В случае модели Коссера оказывается возможной оценка параметров микроструктуры по измерениям амплитуды и скорости солитона деформации.

В рамках теории длинных нелинейных волн деформации найдены точные решения уравнений и проведены физические эксперименты по генерации солитонов в твердотельных волноводах [29]. Показано, что контакт волновода и среды может привести к возбуждению солитонов деформации, которые не могли бы распространяться в свободном волноводе из того же материала. Сдвиг фазы волны, изменение амплитуды и числа солитонов могут служить характеристиками для контроля внутренней структуры волновода.

В [75] в одномерной постановке решена задача о распространении сильного разрыва в среде с произвольным соотношением между напряжением и деформацией. М. Д. Мартыненко в [79] получил условия появления уединенных волн напряжений в упругопластических предварительно напряженных средах и показал, что предварительные напряжения влияют на скорость распространения волны. Рычков В. А. в [92] рассматривает распространение слабых волн в сжимаемой упругопластической среде. Им получены явные выражения для скоростей распространения волн ускорений и соотношения, характеризующие величины скачков при различных напряженных состояниях среды. Хусейн Рамхех [103] разработал методику расчета удара упругих волн.

В механике и волновой динамике часто исследуются экспериментально и теоретически задачи о проникании твердых тел в грунт: [2, 13, 27, 61, 86, 94, 117, 118, 123, 126, 127, 147, 151]. Предлагаются аналитические модели ударного вбивания свай в грунт [61, 117]. А также методика прогнозирования дальностей проникания ударников в грунт, которая предполагает разделение силы на лобовую и боковую составляющие [86]. При исследовании волн напряжений в дискретной среде экспериментально установлено [21], что с течением времени эта среда формирует волну определенной частоты. Рассматриваются результаты исследования динамических свойств грунтов [87]; коэффициентов затухания механических колебаний, динамических модулей упругости при сдвиге, влияние импульсного напряжения на деформируемость грунтов, реакции грунтов на кратковременную нагрузку [109].

Бабичев А. И., Саримсаков У. С. [5, 6] определили закон распространения фронта плоской ударной волны в грунтовом полупространстве при воздействии на его границу интенсивного спадающего давления. В [149] получены формулы для определения скоростей волн, распространяющихся в насыщенных грунтах.

Гвоздовская Н. И. и Куликовский А. Г. [23] изучили структуру квазипоперечных ударных волн малой амплитуды в слабо анизотропной упругой среде, обладающей внутренним строением, которое порождает дисперсию волн. Наличие дисперсии моделируется введением в уравнения теории упругости членов с высшими производными, а диссипация представлена вязкими членами. Эти дополнительные члены играют важную роль при описании структуры разрывов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В настоящей диссертационной работе исследуется распространение нелинейных волн в упругом микронеоднородном трехмерном пространстве. По аналогии с нелинейно-упругой сплошной средой рассмотрена сплошная среда с микроструктурой. Исследовано распространение двух типов волн: продольных и поперечных. Изучено поведение плоских, цилиндрических и сферических нелинейно-упругих волн.

Актуальность темы. Распространение волн в нелинейных средах и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений в частных производных - два научных направления, которые развиваются параллельно и при взаимном влиянии, что обусловлено нуждами естественных наук в разных областях: физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков, механике сплошных сред. Изучается поведение уединенных волн в кристаллах, живых организмах, в океанах и коре Земли и других планет. Во всех перечисленных областях большие трудности возникают при изучении проблемы взаимодействия волн большой амплитуды.

В связи с внедрением в современную технику новых конструкционных материалов и использованием в технологических задачах высокоскоростных динамических процессов в последние годы интенсивно развиваются физические и математические модели сплошных сред. К ним относится и модель среды с микроструктурой. Важность упруго динамического деформирования потребовала многочисленных исследований и решения многих практических задач. В частности, в нелинейной динамической теории упругости решены задачи распространения плоской ударной волны.

Значительный вклад в развитие теории распространения волн в упругих, упруговязкопластических средах и жидкостях внесли отечественные ученые: Баскаков В. А., Белов Н. Н., Бугримов A. JL, Быковцев Г.И., Вервейко Н. Д., Ерофеев В. И., Захаров В. Е., Зельдович Я. Б., Исаков A.JI., Кадомцев Б.Б.Дудряшов В.Н.,Кукуджанов В.Н.,Никитин JI. В., Николаевский В. Н., Рязанцева М. Ю., Сагомонян А. Я., Самарский А. А., Самсонов А. М., Филатов Г. Ф., Чернышов А. Д., Шабат А.Б., Яворович JT. В. и др.

Многие важные результаты в исследованиях по распространению волн внесли зарубежные ученые: Ablowits М. J., Bolger J. F. [134], Boussinesq J., Bullough R. K. [113] , Florea V., Gardner C. S. , Kawahara Т., Keller J. B.,Kruskal M. D., Kuramoto Y., Miura R. M., Montross C. S., Morikawa G. K., Naufeh A.H. [83,135], Russel J.S., Sivashinsky G.I., Taylor Т., Tabor M.,Toda M., Weiss J. и др. Известный метод точного решения некоторых нелинейных уравнений с частными производными - метод обратной задачи рассеяния -не позволяет решить весь спектр нелинейных задач. Множество исследователей занимались усовершенствованием метода обратной задачи и применением его к нелинейным уравнениям. Тем не менее, несмотря на проведенные исследования, остается необходимость в изучении нелинейных задач о распространении ударных волн в упругих неограниченных трехмерных средах и разработке новых более эффективных аналитических и численных методов их решения.

В зависимости от назначения технологического процесса первостепенную роль играют различные стороны процесса динамического деформирования, обусловленные упругими свойствами материала, его прочностью и вязкостью, скоростью приложения динамической нагрузки, ее величиной и т. д.

В связи с практической важностью упругого динамического деформирования, в этой области проведены многочисленные исследования, решены многие практические задачи.

Распространению волн в твердых телах посвящено большое количество научной литературы [17, 18, 28, 30, 31, 37, 40, 45, 47, 49, 50, 54, 58, 66, 70, 76, 79, 92, 93, 95, 124, 125, 128, 138, 144, 154, 148]. При этом либо упрощаются основные уравнения, описывающие распространение волн, либо исследования ограничиваются рассмотрением упругого тела.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета, в рамках темы: «Разработка математических моделей и эффективных аналитических и численных методов решения статических и динамических задач механики деформируемых сред сложной структуры» (код по ГАСНТИ 30.19.23, 30.19.29).

Цель и задачи работы. Исследование распространения пространственных нелинейных ударных волн в нелинейно-упругой неограниченной среде с микроструктурой.

Поставленная цель достигается посредством решения следующих задач: уточнение математической модели распространения пространственных нелинейно-упругих волн в среде с микроструктурой;

разделение дифференциальных уравнений распространения нелинейных волн на уравнения для продольных и сдвиговых волн;

- исследование полей перемещений и напряжений в переходной зоне вблизи фронта ударной волны;

- приближенный аналитический расчет поля деформаций плоской, цилиндрической и сферической волн.

Методы исследования. Методами исследования поставленной задачи являются аналитические точные и приближенные лучевой метод, метод малого параметра, а также численные методы характеристик и конечных разностей. Выполненные аналитические и численные расчеты обоснованы правильной формулировкой математической модели распространения нелинейно-упругих волн в среде с микроструктурой, корректной математической постановкой задачи, правильностью применения математического аппарата, вычислительной математики, теории уравнений в частных производных и программного обеспечения.

Научная новизна состоит в том, что

- Уточнена математическая модель упругой нелинейной среды с микроструктурой. Предложенная модель учитывает в явной форме масштабный параметр, имеющий физический смысл расстояния между частицами.

- сформулирована система уравнений в частных производных распространения пространственных нелинейно-упругих волн в трехмерной среде с микроструктурой;

- построены уравнения для полей перемещений и деформаций в окрестности переднего фронта уединенных нелинейно-упругих волн;

- получены точные решения для перемещений и деформаций в окрестности плоских продольных и сдвиговых нелинейно-упругих волн;

- построены аналитические приближенные и численные решения для перемещений и деформаций вблизи цилиндрических и сферических ударных волн.

Достоверность исследований проведенных в диссертационной работе, основывается на физически правильно сформулированной математической модели, правильности применения математического аппарата теории уравнений в частных производных. Достоверность проведенных исследований подтверждается тем, что из решений пространственной задачи как частные случаи получаются уже известные решения одно- и двумерной задач, которые не противоречат общим положениям механики сплошных сред.

Практическая ценность. Знание особенностей распространения продольных и сдвиговых волн в среде с микроструктурой может быть положено в основу разработки акустического метода диагностики повреждений материалов с микроструктурой; может найти применение при разработке технологии ударного сжатия алмазного порошка для получения поликристаллических алмазов; может быть использовано при анализе полей перемещений и деформаций уединенных сейсмических волн в земной коре.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского Госуниверситета 20002002 г.г; на научных сессиях факультета прикладной математики и механики Воронежского госуниверситета 2000-2002 г.г.; Воронежской школе-семинаре, посвященной 70-летию профессора Д. Д. Ивлева «Современные проблемы механики и прикладной математики» 2000; второй Всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении», Воронеж, 2001г.; конференции

Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике», Минск 2001; Seventh Int. Conf. On Structures under shock and impact, SUSI VII, 2002; второй Всероссийской научно-технической конференции «Теория конфликта и ее приложения», Воронеж, 2002; третьей международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии», Воронеж, 2002.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 151 наименований. Работа изложена на 102 страницах машинописного текста, содержит 13 рисунков.

Основные выводы по третьей главе.

Аналитическое исследование распространения плоской продольной волны показало, что решение для объемной деформации в переходной зоне плоской нелинейно-упругой волны представляет собой уединенную волну постоянной амплитуды, скорость которой пропорциональна амплитуде.

При анализе структуры плоской сдвиговой волны можно сказать, что решение для нее не зависит от геометрической координаты п. Таким образом, главная часть структуры сдвиговой ударной волны отсутствует.

Аналитическое исследование распространения цилиндрических волн показало, что в нулевом приближении уравнение движения для продольной волны переходит в уравнение КДФ, а для сдвиговой волны цилиндрической поверхности совпадает с уравнением для деформации плоской сдвиговой волны. Анализ распространения нелинейно-упругих сферических волн показал, что решение для продольной сферической волны представляет собой уединенную волну. Структура сдвиговой сферической волны отсутствует.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационного исследования получены следующие основные результаты:

1. Уточнена и исследована математическая модель упругой нелинейной среды с микроструктурой. Предложенная модель учитывает в явной форме масштабный параметр, имеющий физический смысл расстояния между частицами. В отличие от рассмотренного пространства, однородная сплошная среда не учитывает масштабных параметров.

2. Для нелинейно-упругой среды с микроструктурой построены внешнее и внутреннее разложения рассматриваемой задачи, анализируя которые можно сделать вывод, что в упругой нелинейной среде с микроструктурой распространяются два типа пространственных ударных волн: продольные и поперечные. Поперечные волны не связаны с изменением объема отдельных участков среды, а продольные волны сопровождаются сжатиями и расширениями.

3. При решении линейных задач без учета микроструктуры были получены разрывные решения, что не позволяло изучить структуру волны. Учет микроструктуры и нелинейности среды позволил выявить структуру продольной и сдвиговой волн.

4. Аналитическое исследование распространения плоской продольной ударной волны показало, что решение для объемной деформации в переходной зоне плоской нелинейно-упругой волны представляет собой уединенную волну постоянной амплитуды, скорость которой относительно продольной волны пропорциональна амплитуде.

5. Анализ структуры плоской сдвиговой волны показал, что решение для нее не зависит от геометрической координаты п. Таким образом, главная часть структуры плоской сдвиговой ударной волны отсутствует.

85

6. Аналитическое исследование распространения цилиндрических волн показало, что в нулевом приближении уравнение движения для продольной волны переходит в уравнение КДФ, а для сдвиговой волны цилиндрической поверхности совпадает с уравнением для деформации плоской сдвиговой волны. Анализ распространения нелинейно-упругих сферических волн показал, что решение для продольной сферической волны представляет собой уединенную волну. Структура сдвиговой сферической волны отсутствует.

1. Абловиц М. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, X.

2. Сигур М.: Изд- во Мир, 1987. 478 с.

3. Абдулаев Б. М. Исследование напряженно деформированногосостояния грунта вокруг проникающего тела / Б. М. Абдулаев // Сейсмодинамические сооружения, взаимодействующие с грунтом. -Ташкент, 1991. -С. 3 4; 145.

4. Агранович 3. С. Обратная задача теории рассеяния / 3. С. Агранович, В. А. Марченко.- Изд- во Харьковского ун-та, 1960. 286 с.

5. Аттеков А. В. Термодинамика ударного сжатия пористых сред / А. В.

6. Аттеков, В. В. Селиванов, В. С. Соловьев // Всес. науч. семинар по термомех., Москва, 19 мая 1989 г. Москва, 1989. - С. 19-26.

7. Бабичев А. И. Распространение интенсивной плоской волны в массивенеоднородного мягкого грунта, плотность которого изменяется с глубиной / А. И. Бабичев, У. С. Саримсаков, Р. С. Кадыров // Космонавтика и ракетостроение, № 17, 1999. С. 174- 176.

8. Баскаков В. А. Сильные разрывы и ударные волны в нелинейной термоупругой среде / В. А. Баскаков, Н. А. Кончакова // Теплоэнергетика, Воронеж. -1997. С. 22 - 30.

9. Баскаков В.А. О свойствах упругих волн в микроструктурныханизотропных средах / В.А. Баскаков, Н.П. Бестужева, Н.А. Кончакова // Теплоэнергетика. Воронеж. - 1997. - С.27 - 31.

10. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов М.: Изд — во Наука, 1973. - 631с.

11. Белов Н.Н. Распространение ударных волн по пористому материалу / Н. Н. Белов, В. А. Гриднева, В. Т. Симоненко, В. И. Корнеева // Механика деформируемого твердого тела, НИИ прикладной математики и механики. Томск, 1990.- С. 81-88.

12. Белошапко А. Г. Ударные волны в высокопористых средах / А. Г. Белошапко, А. А. Букаемский, С. Т. Попов // Тезисный доклад, Всесоюзный симпозиум, Алма- Ата, 21- 25 окт. 1991. — Новосибирск, 1991.-С. 28.

13. Белинская В. А. Интегрирование уравнений Энтштейна методом обратной задачи и вычисление точных солитонных решений / В. А. Белинская, В. Е. Захаров // ЖЭТФ, 75, №6, 1978. С. 1953 - 1971.

14. Бивин Ю. К. Оценка глубин проникания жестких тел в грунтовые среды при сверхзвуковых скоростях входа / Ю. К. Бивин, И. В. Симонов // Докл. АН (Россия).- 326, №4, 1993,- С. 447 450.

15. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости / Д. Бленд.- М.: Изд во Мир, 1972. - с. 180.

16. Бубнов В. А. О влиянии инерциальных свойств стенки на распространение импульса давления в гидравлической линии / В. А. Бубнов, А. Д. Ханин // Всесоюз. межвуз. науч. сб. Гидроаэромеханика и теория упругости. 1982 - С.40 - 49.

17. Бугримов A. JI. Особенности эволюции плоских и сферических ударных волн в плотных средах / A. JI. Бугримов // Физ. горения и взрыва. 3, т. 34, 1998. С. 101 - 104.

18. Быкова М. И. Распространение пространственных волн в нелинейно-упругой среде / М. И. Быкова, Н. В. Вервейко // Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. -Минск, 2001.-С. 84-89.

19. Вервейко Н. Д. Лучевая теория упругопластических волн и волн гидроудара / Н. Д. Вервейко. Воронеж, 1997. - 204 с.

20. Вервейко Н. Д. Распространение волн в тонких упруговязкопластических слоях / Н. Д. Вервейко // Прикладная механика, т. 21, №12, 1985. с. 63 - 67.

21. Вервейко Н. Д. О распространении одномерных волн в упруговязкопластической среде при конечных деформациях / Н. Д. Вервейко, И. Ю.Маринина // Прикладная механика, т. 23, №7, 1987. -С. 72 77.

22. Вильчинская Н. А. О распространении сдвиговых волн в слоисто -периодических средах / Н. А. Вильчинская, В. Н. Николаевский // Изв. АН СССР Физика Земли, № 5, 1984. С. 91- 100.

23. Воеводин А. Ф. Численные методы расчета одномерных систем / А. Ф. Воеводин, С. М. Шугрин. Новосибирск: Изд-во Наука, 1981.- 205 с.

24. Гвоздовская Н. И. Квазипоперечные ударные волны в упругих средах с внутренней структурой / Н. И. Гвоздовская, А. Г. Куликовский // Прикладная механика и тех. Физика, т.40, №2, 1999. С. 174 - 180.

25. Годунов С. К. Разностные схемы. Введение в теорию / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. М.: Изд - во Наука, 1973. - 400 с.

26. Горшков К. А. Взаимодействия и связанные состояния солитонов как классических частиц / К. А. Горшков, Л. А. Островский, В. В. Папко И ЖЭТФ, т. 71, №2, 1976. С. 585 - 593.

27. Дармон Р. П. Распространение волн в вязкой сжимаемой жидкости в трубе с упругими стенками / Р. П. Дармон, В. Т. Руло // Конф. ASMEпо газовым турбинам и технической гидромеханике, 26-30марта, Сан-Франциско, Шт. Калифорния, 1972. С. 116 - 122.

28. Деменынин Д. А. Численное моделирование процессов нормального проникания жестких тел в пористые грунты / Д. А. Деменынин, С. В. Крылов // Прикладные проблемы прочности и пластичности, №49, 1991.- С. 103-116.

29. Динареев О. Ю. Кратное увеличение периода при распространении волн в упругих телах с диссипативной микроструктурой / О. Ю. Динареев, В. Н. Николаевский // Изв. РАН мех. тверд, тела 6, 1997. С. 78-85.

30. Дрейден Г. В. Нелинейные упругие волны деформации новый инструмент для неразрушающего контроля и обработки материалов / Г. В. Дрейден, А. М. Самсонов, И. В. Семенова. - VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, 1987. - 496 с.

31. Дыдик Р. П. Приближенная оценка величины давления при динамическом синтезе алмаза / Р. П. Дыдик // Konf. Nauk. Okaz. 10 -lec. Rospolpr. "Aktual. Stan I perspect. Rozn. Gor. Aspectic ochr. Srod", Днепропетровск, 1996. С. 97 - 101.

32. Дрюма В. С. Об аналитическом решении двухмерного уравнения КдФ / В. С. Дрюма // Письма в ЖЭТФ, т. 19, 1974. С. 753 - 757.

33. Ерофеев В. И. Волновые процессы в нелинейно упругих средах с микроструктурой / В. И. Ерофеев // М. : Волновые динамические машины, АН СССР Институт машиноведения. Горьковский филиал, 1991.-С. 140- 152.

34. Ерофеев В. И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой / В. И. Ерофеев // Прикл. механика, Киев, 29, №4, 1993.-С. 18-22.

35. Ерофеев В. И. Нелинейные взаимодействия продольных и спиральных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой / В. И. Ерофеев // Акусг. Ж. 2, т. 43, 1997. с. 182 - 186.

36. Ерофеев В. И. Упругие волны в поврежденной среде с микроструктурой / В. И. Ерофеев // Тез. докл. 2 Междунар. симп. «Динам, и технол. пробл. мех. конструкций и сплош. сред», Москва, 1996.-С. 54-55.

37. Ерофеев В. И. Продольные стационарные волны в нелинейной среде с моментными напряжениями / В. И. Ерофеев, А. И. Потапов, Н. П. Семерикова // Обраб. материал, импульс, нагрузками. Новосибирск, 1990,-С. И - 18.

38. Есенина Н. А. О некоторых особенностях распространения волн сжатия в анизотропном массиве / Н. А. Есенина, Л. Д. Распорская, К. Н. Шхинек // Сейсмостойк. строительство 6, 1998. С. 10 - 12.

39. Жарий О. Ю. Распространение и торможение упругих импульсов в конических стержнях / О. Ю. Жарий, А. Ф. Уметко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, №2, 1985. С. 171 - 175.

40. Жуковский Н. Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах / Н. Е. Жуковский. М.: Изд - во Гостехиздат, 1949. - 89 с.

41. Захаров В. Е. Кинетическое уравнение для солитонов / В. Е. Захаров. -ЖЭТФ, 60, вып.З , 1971. С. 993 - 1000.

42. Захаров В. Е. Теория солитонов / В. Е. Захаров, С. В. Мамонов, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский.- М.: Изд во Наука, 1980. - 156 с.

43. Захаров В. Е. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде / В. Е. Захаров, А. Б. Шабат // ЖЭТФ, 61,1971. С. 118 - 134.

44. Зельдович Я. Б. О возможности ударных волн разряжения / Я. Б. Зельдович // ЖЭТФ, т. 16, вып. 4,1946. С. 86 - 95.

45. Зинчук JI. П. О построении дисперсионных уравнений для электро -упругих сдвиговых волн в слоисто- периодических средах / Л. П. Зинчук, А. Н. Подлипенец, Н. А. Шульга // Прикл. механика.- 26, №11, 1990. С. 84-93.

46. Ибрагимов Н. X. Уравнение КдФ с групповой точки зрения / Н. X. Ибрагимов, А. Б. Шабат // ДАН СССР, 244, №1, 1979. С. 56 - 61.

47. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям / И. Е. Идельчик. М.: Изд во Машиностроение, 1975. - 559 с.

48. Исаков А. Л. Об эффективности передачи ударного импульса при забивании металлических труб в грунт / А. Л. Исаков, В.В. Шмелев // Физ. техн. пробл. разраб. Полез. Ископаемых 1, 1998. - С. 89 - 97.

49. Кадомцев Б. Б. Нелинейные волны / Б. Б. Кадомцев, В. И. Карпман // Успехи физ. наук, т. 103, №2, 1971. С. 193 - 232.

50. Кадомцев Б. Б. Об устойчивости уединенных волн в среде со слабой дисперсией / Б. Б. Кадомцев, В. И. Петвиашвили // ДАН СССР, 192, 1970. С. 753 - 756.

51. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах / В. И. Карпман. М.: Изд - во Наука, 1973. — 195 с.

52. Картвешвили Н. А. Неустановившиеся режимы в силовых узлах гидроэлектрических станций / Н. А. Картвешвили. М., Л.: Изд - во Госэнергоиздат, 1951.-136с.

53. Киселев С. П. Ударно волновые процессы в пористой упругопластической среде / С. П. Киселев // 7 Всес. съезд по теор. и прикл. мех., Москва, 15 - 21 авг., 1991: Аннот. докл. - Москва, 1991. -С. 189.

54. Киселев С. П. Математическое моделирование ударно- волновых процессов в пористых упругопластических материалах / С. П. Киселев, В. М. Фомин. // Моделирование в механике, 5, №3, 1991. С. 65 - 72.

55. Ковригин Д. А. Нелинейная волновая динамика одномерных упругих систем / Д. А. Ковригин, А. И. Потапов // Изв. вузов. Прикл. нелин. динам. 2, т. 4, 1996. -С.12- 102.

56. Кондауров В. И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями / В. И. Кондауров // Прикл. механика и техн. физика.-№4, 1982. С. 133 - 139.

57. Костюков Н. А. Двумерные ударные волновые течения и структура порошковых компактов вблизи границы раздела и деформируемой преградой / Н. А. Костюков // Моделирование в механике. 4, №6, 1990.-С. 76- 102.

58. Костюков Н. А. Ударно- волновые течения и структура порошковых материалов вблизи деформируемых преград / Н. А. Костюков // Обраб. матер, импульс. Нагрузками. Новосибирск, 1990. - С. 23 - 29.

59. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике / Дж. Коул. -М. : Изд во Мир, 1972. - 274 с.

60. Кохманюк С. С. Колебания деформируемых систем при импульсивных и подвижных нагрузках / С. С. Кохманюк, Б. Г. Янютин , JI. Г. Романенко. Киев: Изд - во Наука, Думка, 1980 .- 230 с.

61. Кривченко Г. И. Автоматическое регулирование гидротурбин / Кривченко Г. И. М., Л.: Изд - во Энергетика, 1964. - 288 с.

62. Кудряшов Н. А. Преобразование Бэклунда для уравнения в частных производных четвертого порядка с нелинейностью Бюргерса

63. Кортевега- де Фриза / Н. А. Кудряшов // Докл. АН СССР т. 300. № 2, 1988. С. 342 - 345.

64. Кудряшов Н. А. Точные солитонные решения обобщенного эволюционного уравнения волновой динамики / Н. А. Кудряшов // Прикл. матем. и механика. т. 52, вып. 3, 1988. - С. 465 - 470.

65. Кудряшов Н. А. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающиеся в механике / Н. А. Кудряшов // Прикл. матем. и механика. Т. 54, вып.З, 1990. - С. 450 - 453.

66. Кукателадзе С. С. Экспериментальное обнаружение ударной волны разряжения вблизи критической точки жидкость- пар / С. С. Кукателадзе, Ал. А. Борисов, А. А. Борисов, В. Е. Накоряков // ДАН СССР. т. 252, № 3, 1980. - С. 126 - 135.

67. Кукуджанов В. Н. Нелинейные волны в упругопластических средах / В. Н. Кукуджанов // Волновые динамические машины, АН СССР. Институт машиноведения. Горьковский филиал. Москва, 1991. - С. 126 - 140.

68. Кукуджанов В. А. Распространение волн в стержнях из неоднородного упруговязкопластического материала / В. А. Кукуджанов, JI. В. Никитин // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. №4, 1960. - С. 53 - 59.

69. Кукуджанов В. А., Никитин JL В. Удар о жесткую преграду стержня с кусочно-постоянным пределом текучести / В. А. Кукуджанов, JI. В. Никитин // Инж. Механика твердого тела.-№1, 1961. С. 177 - 183.

70. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой / И. А. Кунин. -М. : Главная редакция физ. мат. литературы изд - ва Наука, 1975. -416 с.

71. Купершмидт Б. Б. Уравнение длинных волн на свободной поверхности I, II. Функциональный анализ и его приложения / Б. Б. Купершмидт,

72. Ю. И. Манин // 11, вып.З, 1977. С. 31 - 42; 12, вып. 1, 1978. - С. 25 -27.

73. Лаке П. Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны / П. Д. Лаке // М.: Изд во Мир, Математика, 13:5, 1969.-С. 128- 150.

74. Ландау Л. Д. Механика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Государственное изд - во технико- теоретической литературы. -Москва, 1954.-795 с.

75. Левченко В. В. О волнах сдвига в слое, контактирующим с регулярно-слоистым и однородным полупространством / В. В. Левченко // Прикл. Механика, т. 32, № 1, 1995. С. 18 - 24.

76. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. М.: Изд - во Наука, 1970. - 904 с.

77. Лэм. Дж. Л. Введение в теорию солитонов / Дж. Л. Лэм. М.: Изд - во Мир, 1983.-294 с.

78. Мак Коннел. А. Дж. Введение в тензорный анализ / А. Дж. Мак -Коннел. - М.: Гос. Изд-во физ. мат. Литературы, 1963. - 406 с.

79. Мартыненко М. Д. Уединенные волны в упругопластической среде с предварительным нагружением / М. Д. Мартыненко, Нгуен Данг Бин, Фам Ши Винь. // Докл. АНБССР. 35, №4, 1991С. 329 - 333.

80. Марченко А. В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом / А. В. Марченко // ПММ, т. 52, вып. 2, 1988. С. 230 - 234.

81. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Марчук Г. И.- М.: Наука, 1980.-456 с.

82. Миклашевич И. А. Микроскопические условия существования ударных волн разряжения в твердых телах / И. А. Миклашевич, В. В. Селявко // Прикладная мех. и тех. физ. -№6, 1989. С. 59 - 62.

83. Найфэ А. введение в методы возмущений / А. Найфэ. М. : Изд - во Мир, 1984. - 535 с.

84. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматулин. М. : Изд во Наука, 1987. - 359 с.

85. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. М.: Изд - во Мир, 1975.-872 с.

86. Ожиганов И. А. Критериальное масштабирование уравнения для прогнозирования дальности проникания тел большого диаметра в грунт / И. А. Ожиганов П Тезисный доклад 27 науч. техн. конф. Пермского политехнического института .- Пермь, 1991.- Ч. 2. - С. 127.

87. Орлова О. А. К вопросу о поведении грунтов при кратковременной динамической нагрузке / О. А. Орлова // Гидротехническое строительство. -№11,1989. С. 20 - 26.

88. Паркин В. Р. Ударные волны в воде с пузырьками газа. Подводные и подземные взрывы / В. Р. Паркин, Ф. Р. Гилмор, Г. JI. Броуд // Москва, 1979.-С. 152-258.

89. Подильчук Ю. Н. Применение лучевых методов в задачах распространения и рассеяния волн (обзор) / Ю. Н. Подильчук, Ю. К. Рубцов//Прикл. мех. 12, т. 32, 1996. С. 3 - 27.

90. Порубов А. В. Солитоны продольной деформации в стержне с микроструктурой / А. В. Порубов // VIII Всеросс. съезд по теоретической и прикладной механике, 1997. С. 496.

91. Рахматулин X. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках / X. А. Рахматулин, Ю. А. Демьянов. М.: Изд - во Физматгиз, 1961. - 439 с.

92. Рычков В. А. Распространение слабых волн в пластически сжимаемых средах / В. А. Рычков. Владивосток: Ин- т автомат, и процессов упр. СВЦДВО АН СССР, 1990. - 35 с.

93. Рязанцева М. Ю. О дисперсии волн в бесконечной упругой трехслойной пластине / М. Ю. Рязанцева. Изв. РАН. Мех. тверд, тела 1, 1998.-С. 166- 172.

94. Рябченков Л. Н. Закономерности деформирования песчаного грунта при низкочастотных воздействиях. Основания и фундаменты в геологических условиях Урала / J1. Н. Рябченков, А. В. Кузнецов // Пермь, 1989.-С. 147- 156.

95. Савин Е. С. Солитоны в деформированной атомной цепочке / Е. С. Савин // Физ. тверд, тела. С. Петербург. - 36, №3,1994. - С. 631- 637.

96. Сагомонян А. Я. Волны напряжений в сплошных средах / А. Я. Сагомонян. М: Изд-во МГУ, 1985. - 415с.

97. Сагомонян А. Я. Удар и проникание тел в жидкость / А. Я. Сагомонян. М.: Изд-во МГУ, 1956. - 169 с.

98. Самарский А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. А. Самарский , Ю. П. Попов. М.: Изд - во Наука, 1980. - 360 с.

99. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах / Т. Томас. М.: Изд - во Мир, 1964. - 308 с.

100. Тритенко А. Н. Затухание ударного импульса в слое сыпучей среды при плоской деформации / А. Н. Тритенко, Я. И. Кун // Изв. Вузов. Стр-во и архитект.- №2, 1990. С. 135 - 137.

101. Хвостов Ю. Б. Механизм диссипации энергии ударных волн в пористых материалах / Ю. Б. Хвостов, Л. Г. Болховитинов // Взрывное дело.- №47, 1990. С. 196 - 208.

102. Холмбоу Е. Л. Влияние вязкого трения на распространение сигналов в гидравлических линиях / Е. Л. Холмбоу, В. Т. Руло // Теоретические основы инженерных расчетов. №1, 1967. - С. 202 -209.

103. Хусейн Хамзех. Основы волновой теории удара / Хамзех Хусейн. Криворожский горнорудный институт. — Кривой рог, 1991. - 30 с.

104. Шер Е. Н. Учет динамики образца при испытаниях на составном стержне Гопкинсона / Е. Н. Шер, Н. И. Александрова // Физ.- техн. пробл. разраб. полез. Ископаемых. 4, 1998. - С. 107 - 116, 124.

105. Штивельман Б. Я. Задача Холмбоу Руло и теория гидравлического удара / Б. Я.Штивельман // Сб. Теплофизика и физическая гидродинамика. - Новосибирск, ИТФ СО АН СССР , 1978. -С. 108-118.

106. Шульга Н. А. Основы механики слоистых сред периодической структуры / Н. А. Шульга. Киев: Изд - во Наука Думка, 1981. - 200 с.

107. Шульга Н. А. Объемные волны в слоистых композитах / Н. А. Шульга, А. Н. Подлипенец II Механика композитов. Киев: Изд - во Наука, Думка, т. 2, 1993. - С. 35 - 83.

108. Элаши Ш. Волны в активных и пассивных периодических структурах: (Обзор) / Ш. Элаши // Тр. Ин та инженеров по электронике и радиотехнике. -64, №12 1976. - С. 22 - 59.

109. Яворович J1. В. Исследование амплитуды электромагнитного сигнала при ударном воздействии на образцы горных пород с различной пористостью / Л. В. Яворович, Р. М. Гольд, В.В. Ласуков // Физ.- техн. пробл. разраб. полез, ископаемых 6, 1999. С. 33 - 39.

110. Ablowits М. J. Nonlinear evolution equations of physical significance / M. J. Ablowits, D. J. Каир, A. C. Newell, H. Segur // Phys. Rev. Lett., 31,1973.-P. 125- 127.

111. Ablowits M. J. The inverse scattering transform Fouries analysis for nonlinear problems / M. J. Ablowits // Stud. Apple. Math. , 53, 1974. - P. 249-315.

112. Barklay D. W. PADE extended wave front expansions and nonlinear dissipative waves / D. W. Barklay, Т. B. Moody // Int. J. Non-linear Mech.-26,№1, 1991.- c. 25 - 39.

113. Bullough R. К. Перевод: Солитоны / R. К. Bullough Под ред. С. П. Новикова. М.: Мир, 1983.- 198 с/

114. Boussinesq J. Theorie de l'itumescence liquid appellee onde solitaire on de translation, se propagente dans un canal rectangulaire / J. Boussinesq //, Comte Rendus Acad. Sci. Paris, 72, 1871. P. 755-759.

115. Boussinesq J. Theorie des ondes et de ramous qui si propagent / J. Boussinesq // J. Math. Pures Apple. Ser. 2, 17, 1872. P. 55 - 108.

116. Cohen B. J. Nonlinear saturation of the dissipative trappedion mode-by-mode coupling / B. J. Cohen, J. A. Krowes, W. M. Tang, M.N. Rosenbluth // Nuclear Fusion, V. 16, №6, 1976. P. 971 - 992.

117. Deeks A. J. Analytical modeling of hammer impact for pile driving / A. J. Deeks, M. F. Randolph // Int. J. Number . and Meth. Geomech. -17, №5, 1993.-P. 279-302.

118. Fragaszy R. J. SUW. Centrifuge modeling of project: le penetration in granular soils / R. J. Fragaszy, T. Taubor // Centifuge'88. Rotterdam, Brookfield, 1988. - P. 451 - 456.

119. Gardner C. S. Method for solving the Korteveg de Vries equation // C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Phys. Rev. Lett., 19, 1967.-P. 1095 - 1097.

120. Gardner C. S. The Korteveg de Vries equation and generalizations. VI. Methods for exact solution / C. S. Gardner // Comm. Pur Appl. Math, 27,1974.-P. 97-133.

121. Gardner C. S. Similarity in the asymptotic behavior of collision free hydromagnetic waves and water waves / C. S. Gardner, G. K. Morikawa // Courant Inst, Math. Sic. Rec. Rep., NYO-9082, New York, 1960.

122. Ghazireh N. Elasto- plastic unsaturated soil subject to impact / N. Ghazireh, J. Billam // Geotechnique. -39, №3, 1989. P. 525 - 526.

123. Hata Shojiro, Tayeyama Kazuyoshi. Theoretical approach to impact soil compaction through plastic wave propagation / Shojiro Hata, Kazuyoshi Tayeyama // J. Terramech. -28, №4, 1991. P. 49 - 358.

124. Heitz J. F. Non- linear response of a soil with a harmonic loading / J. F. Heitz, G. Bonnet, T. Avril // Numer. Meth. Geomech. :Proc. 6- th Int. Conf., Innsbruck, 11- 15 Apr. 1988, Vol. 3. Rotterdam; Brookfield, 1988. -P. 1663 -1670.

125. Hokamoto K. High-temperature shock consolidation of diamond powders using converging underwater shock waves / K. Hokamoto, M. Fujita, S. Tanaka, T. Kodama, Y. Ujimoto // Scr. Mater. 10, t.39, 1998.- P. 1383 1388.

126. Huang Chengxian Study on elastic waves velocity of rock under confining pressure / Chengxian Huang, Dawey Song // Chin. J. Geotechn. Eng., 13, №2, 1994. -P. 11-32.

127. Jeanlos Raymond. Shock wave equation of state and finite strain theory / Raymond Jeanlos // J. Geophys. Res. B. -94, № 5, 1989. P. 5873- 5886.

128. Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media / T. Kawahara // J. Phys. Soc. Japan, V.33, №1,1972. P. 260 - 264.

129. Kapania R. K. Recent advances in analysis of laminated beams and plates, part II: vibrations and wave propagation / R. K. Kapania, C. Paciti // AIAA J. -27, №7,1989. P. 935 - 946.

130. Keller J.B. Wave and asymptotics / J.B. Keller, Rays // Bus. Am. Math. Soc. 84, 1978. P. 727.

131. Kuramoto Y. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media for from thermal equilibrium / Y. Kuramoto, T. Tsuzuki.- Prog. Theor. Phys.,, №2, 1976. P. 356 - 369.

132. Lord (J. W. Strutt) Raylaigh. On waves Philos. Mag / Lord (J. W. Strutt) Raylaigh Ser. 5, 1, 1876. P. 257 - 279.

133. Miura R. M. The Korteweg- de Yries equation: a survey of results / R. M. Miura SI AM Rev. 18, 1976. P. 412 - 459.

134. Montross C. S. Laser- induced shock waves generation and shock wave enhancement in basalt / C. S. Montross, V. Florea, J. A. Bolger // Int. J. Rock Mech. And Mining Sci. 6, t. 36, 1999. P. 849 - 855.

135. Naufeh A. H. Perturbation methods / A. H. Naufeh. Y. Wiley: New York, 1973.

136. Nougautand A. Dynamics of infinite piezoelectric super lattices: shear horizontal waves and effective medium approximation surface science / A. Nougautand, B. Djafart, Rouhani // 185, 1987. - P. 157 - 184.

137. Russell J. S. Report of the committee on waves / J. S. Russell // Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, 1838. P. 417 - 496.

138. Russell J. S. Report on waves / J. S. Russell // Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, 1844. P. 311 - 390.

139. Sapriel J. Vibrations in super lattices / J. Sapriel, B. Djafari Rouhani // Surf. Sci. Repts. -10, №4/5, 1989. - P. 189 - 275.

140. Sivashinsky G. I. Instabilities, pattern formation and turbulence in flames I G. I. Sivashinsky // Annual Review Fluid Mechanics. Paco Alto, Calif.: Ann. Rev. Inc., V. 15, 1983. P. 179 - 199.

141. Taratsubo J. A stochastic theory of propagation of elastic waves in porous solids for nondestructive pore characterization / J. Taratsubo, S. Yamamoto // Trans. Ja. Sos. Mech. Ign. A. P. 796 - 803.

142. Toda M. Wave in nonlinear lattice / M. Toda // Supplement of the Progress of Theoretical Physics, №45, 1970. P. 174 - 200.

143. Toda M. Wave propagation in enharmonic lattices / M. Toda // J. Phys. Soc. Japan, 23, 1967. P. 501 - 506.

144. Topper J. Approximate equations for long nonlinear waves on a viscous fluid / J. Topper, T. Kawahara // J. Phys. Soc. Japan, 1978, V. 44, №2, P. 663 666.

145. Tracy Y. Plastic flow and Fracture in Solids / Y. Tracy. New York, Academic press: London, 1961.102

146. Watts A. J. Dimensional scaling for impact cratering and perforation / A. J. Watts, D. Atkinson // Int. J. Impact End. -17, № 4-6, 1995. P. 925 -935.

147. Weiss J. The Painleve property for partial differential equation / J. Weiss, M. Tabor, G. Carnevale // J. Math. Phys., V. 24. №3, 1983. P. 522 -526.

148. Wu Shiming. Propagation velocities of elastic waves in saturated soils / Wu Shiming, Chen Long Shu // Appl. Math and Mach, 10, №7, 1989. P. 631-638.

149. Zabuscy N. J. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states / N. J. Zabuscy, M. D. Kruscal // Phys. Rev. Lett., 15, 1965.-P. 240-243.

150. Zhang JunfendExperimental study on permeability and settlement of saturated sand under impact loading / Zhang Junfend, Mend Xianqyue, Yu Shanbing, Tan Qingming, Zheng Zhemin. // Lixue xuebao 2, m. 31, 1999. -P. 230 237.