Движения с плоскими волнами в предварительно деформированной упругой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.i

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ '

§ I. Математическое описание движения упругой среды.II

§ 2. Условия на сильных разрывах.

§ 3. Малость деформаций.

§ 4. Некоторый специальный вид функции. внутренней энергии.

ГЛАВА П. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ (ВОЛНЫ РИМАНА)

§ I. Уравнения простых волн.

§ 2. Квазипродольная волна.

§ 3. Квазипоперечные волны.

§ 4. Интегральные кривые квазипоперечных простых волн.

§ 5. Опрокидцвание квазипоперечных простых волн.

§ 6. Простые волны в средах, где G = 0.

ГЛАВА Ш. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

§ I. Условия на разрыве для слабых ударных волн.

§ 2. Волны бесконечно малой интенсивности.

§ 3. КвазипрЬдольные ударные волны.

§ 4. Квазипоперечные ударные волны. Ударная адиабата.

§ 5. Условие неубывания энтропии.

§ 6. Условия эволюционности скачка.

§ 7. Некоторые свойства ударной адиабаты в точках lyre.

§ 8. Скорость квазипоперечных ударных волн.

§ 9. Количество и типы эволюционных ударных.волн.

§ 10. Положение участков эволюционности на.ударной. адиабате .для сред с Ж >

§ II. Положение участков эволюционности на ударной адиабате для сред с дв<

§ 12. Ударные переходы в заданное состояние.

§ 13. Несжимаемые среды.

§ 14. Частные виды начальной деформации.

§ 15. Квазипоперечные ударные волны при предельных значениях параметра Q

ГЛАВА 1У. АВТОМОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА О ДЕЙСТВИИ ВНЕЗАПНОЙ

НАГРУЗКИ НА ГРАНИЦУ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

§ I. Последовательность двух скачков.

§ 2. Постановка задачи о действии нагрузки на границу полупространства.

§ 3. Построение решения задачи для сред с Эв >

§ 4. Построение решения задачи для сред с 26 <

Работа посвящена движениям с плоскими нелинейными волнами в изотропной упругой среде при наличии предварительных деформаций.

Уравнения нелинейной теории упругости представляют собой квазилинейную гиперболическую систему. Ее вид показывает, что она обладает классом одномерных нестационарных решений, называемых простыми волнами, или волнами Римана, и что наряду с непрерывными решениями необходимо рассматривать так же решения, содержащие сильные разрывы. В этом обнаруживается родство одномерных нелинейных задач теории упругости с аналогичными уже достаточно хорошо изученными задачами газовой динамики и магнитной гидродинамики £1,2,3"] .

Изучению плоских простых и ударных волн в изотропной упругой среде при отсутствии начальных деформаций или начальных деформациях специального вида, не нарушающих изотропии начального состояния, посвящено большое количество работ, например [4-12"] .

В монографии [4] в произвольной изотропной сжимаемой среде предполагается слабая нелинейность, что позволяет вести исследование разложением по мальм деформациям. Волны при этом разделяются на квазипродольные и квазипоперечные. Описаны простые волны и указаны условия их опрокидывания. Одна из квазипоперечных волн в процессе движения не меняет своей формы и обладает круговой поляризацией, другая - плоскополяризованная. Изучено множество состояний за ударной волной, распространяющейся по недеформированному состоянию, и скорости ударных волн. Изменение энтропии в квазипродольной ударной волне имеет третий порядок малости по интенсивности скачка, а в квазипоперечных - четвертый. В зависимости от знака некоторой комбинации Ж упругих констант среды квазипоперечные волны, распространяющиеся по недеформированному состоянию, могут быть либо только неопрокидывающимися простыми волнами ( Ж >0 ), либо только ударными волнами ( 7£<0 ). Множество состояний за квазипоперечной ударной волной ( Ж<0 ) в силу отсутствия начальной деформации оказывается двумерным.

В работах [9-12] изучаются нелинейные волны произвольной интенсивности в деформированных средах. В этом случае нет деления волн на квазипродольные и квазипоперечные, все волны одинакового смешанного типа. Деформированное состояние среды,начальное и текущее, задается двумя величинами - продольным сжатием в направлении нормали к волне и модулем деформаций сдвига в направлениях параллельных фронту. Показано, что одна из волн обладает круговой поляризацией, а две других - плоскополяризованные.

В работах [13-17] , которые выполнялись одновременно с работами, составляющими данную диссертацию, изучались нелинейные волны произвольной интенсивности в упругой среде некоторого специального вида. Ее упругий потенциал предполагается суммой двух членов, зависящих соответственно от первого и второго инвариантов линейного тензора деформаций. При рассмотрении плоских волн даже в случае произвольных начальных деформаций упругий потенциал такой среды не зависит от направления сдвиговых деформаций. Он является функцией только двух переменных - продольной деформации и модуля сдвиговых деформаций. В такой среде нелинейные волны обладают особенностями, аналогичными тем, которые наблюдаются в [9-12^ . В частности, одна из волн обладает круговой поляризацией.

Наличие круговой поляризации у одной из волн является следствием специального вида функции внутренней энергии. При рассмотрении одномерных волн поведение среды определяется зависимостью ее внутренней энергии от трех переменных, характеризующих ее растяжение-сжатие в направлении нормали к фронту волны и сдвиги в направлениях параллельных фронту. Во всех перечисленных выше случаях внутренняя энергия зависит только от двух переменных - деформации сжатия в направлении нормали к фронту и модуля упомянутых сдвигов и не зависит от направления сдвига.

Этим же ствойством обладает среда с вмороженным в нее магнитным полем в магнитной гидродинамике. Именно в магнитной гидродинамике впервые было обнаружено существование вращательной простой волны [18] и вращательного разрыва [19] . Нелинейные волны произвольной интенсивности в магнитной гидродинамике описаны в книге [з] . Их специфическими особенностями являются: разделение нелинейных волн на вращательные и плоскополяризованные, независимость взаимодействия разрьюов с плоскополяризованными и поперечно поляризованными возмущениями.

В настоящее время представляет большой научный интерес исследование нелинейных волн в предварительно напряженной упругой среде при произвольных начальных деформациях. Учет этих эффектов необходим при расчете ударных технологических процессов в упругих материалах, а также сейсмических волн в Земной коре, где анизотропия предварительной деформации играет весьма важную роль [20-22"] , а нелинейность выявляет ряд новых особенностей поведения этих волн [23-25] . Для решения многих динамических задач теории упругости с предварительными напряжениями необходимо исследование плоских простых и ударных волн в случае зависимости упругого потенциала от трех переменных, когда снимается вырождение задачи, вызванное указанным выше строением функции внутренней энергии и некоторой специальной симметрией постановки задачи. Наличие произвольной предварительной деформации приводит к анизотропии начального состояния. Среда по разному реагирует на сдвиги в различных направлениях, параллельных фронту волны, что не улавливается ни одной из описанных выше моделей. Общий случай этой задачи требует новых подходов к исследованию нелинейных волн в упругой среде.

Присутствие произвольной начальной деформации приводит к тому, что уже в линеаризованной постановке обнаруживается различие в скоростях поперечных волн. Это так называемый упруго-акустический эффект. Выражения для характеристических скоростей в зависимости от начальной деформации содержатся, например, в^ работах [20,26] .

Распространение плоских нелинейных волн по предварительно деформированному состоянию в изотропной упругой среде при тех или иных условиях рассматривалось в [27-32] . В работах [27,28] при слабой интенсивности ударных волн начальная деформация считается конечной. Нет деления волн на квазипродольные и квазипоперечные. Указывается возможность найти параметры состояния за скачком, скорость разрыва и изменение энтропии в виде ряда по степеням интенсивности скачка. Показано, что условия эволюционности для изучаемых слабых волн выполняются одновременно с условиями роста энтропии.

В работах [29-32] с использованием разложения внутренней энергии в ряд по степеням деформации, как в [4] , исследовались выражения для скорости скачков при определенных специальных видах начальной деформации. Получены условия существования чисто продольных и чисто поперечных ударных волн. Найдено, что изменение энтропии в квазипродольных волнах имеет третий порядок и выяснен его знак. Показано, что для квазипоперечных волн в третьем приближении изменения . .энтропии не происходит. Эволюционность ударных волн не исследовалась.

Таким образом, в работах [27-32] множество состояний за разрывами, распространяющимися по заданному состоянию, в целом не исследовалось, а условия неубывания энтропии и эволюционности проверялись только локально, вблизи начального состояния.

В предлагаемой диссертации изучаются нелинейные волны, распространяющиеся по произвольной изотропной упругой среде при наличии произвольной начальной деформации. В рассматриваемом общем случае отсутствует специфическое вырождение свойственное средам с внутренней энергией, использованной в [3-19] . Для того, чтобы исследование можно было вести аналитическими средствами, предполагалось, что начальные деформации и деформации, приобретаемые средой при прохождении волн, малы. При стремлении к нулю начальных деформаций в пределе получается случай, рассмотренный в [4] .

Как уже говорилось, волны с малыми деформациями в изотропной среде можно разделить на квазипродольные и квазипоперечные. Квазипродольные волны обнаруживают обычное поведение характерное для механики сплошной среды без каких-либо интересных особенностей. Они достаточно хорошо исследованы, например, в [29-32. Поэтому этим волнам уделяется в диссертации мало внимания.

Показано, что свойства среды и предварительная деформация могут быть заданы всего двумя константами, которые существенно влияют на качественную картину поведения нелинейных волн. Одна из них - некоторая упругая константа среды (та же, что в [4]), в зависимости от знака которой качественно меняется поведение простых и ударных волн, их типы, скорости и количество. И простые и ударные волны существуют во всех средах с любым знаком Ж . Второй параметр G служит мерой анизотропии, вносимой предварительной деформацией. Учет анизотропии начального состояния, определяемой величиной G , вносит существенные качественные особенности в поведение простых и ударных волн.

Подробно изучены одномерные нестационарные квазипоперечные простые волны (волны Римана). Исследована связь величин в простых волнах и найдены условия опрокидывания простых волн [33] .

Изучение ударных волн базируется на следующих основных идеях. Соотношения на разрывах задаются законами сохранения. Они позволяют найти множество состояний за скачком, в которые возможен ударный переход из заданного начального состояния с соблюдением законов сохранения. По аналогии с газовой динамикой это множество состояний за скачком можно назвать ударной адиабатой. Изменение энтропии в частице, проходящей через ударную волну, не может быть отрицательным. Условия на ударных волнах должны удовлетворять требованиям эволюционности, которые представляют собой необходимые условия корректности линеаризованной задачи о взаимодействии ударной волны с малыми возмущениями. Для газовой динамики эти условия были предложены в [2] , для произвольной гиперболической системы уравнений, выражающей законы сохранения, в|з4],для магнитной гидродинамики в [35,36] .

В диссертации исследована ударная адиабата квазипоперечных ударных волн. Предположение о малости начальных деформаций позволяет рассмотреть ударную адиабату всю целиком, так как нетривиальное поведение она обнаруживает в области тем меньшей, чем меньше начальная деформация.

Произведен отбор ударных волн, которые могут претендовать на реальность согласно принципам неубывания энтропии и эволюционности [37-40] .

В результате исследования обнаружены некоторые особенности ударных волн в упругих средах. Во-первых, обнаружены ударные волны, интенсивность которых конечна и не может быть сделана меньше

- ю некоторой величины. Эти волны удовлетворяют условиям возрастания энтропии, условиям эволюционности, их использование необходимо при решении задач. Поэтому им вполне можно приписать реальное существование. В газовой динамике при сложных уравнениях состояния подобные волны отмечались ранее [4l] .

Во-вторых, целые отрезки ударной адиабаты, соответствующие неэволюционным разрывам с возрастанием энтропии, состоят из точек, каждая из которых соответствует разрыву, представляющему последовательность двух эволюционных ударных волн, движущихся одна за другой с одинаковыми скоростями [42] .

Далее рассмотрена автомодельная задача о внезапно приложенной к границе полупространства нагрузке. Построено решение этой задачи для всех значений параметров Ж и G . Решение состоит из последовательности простых и ударных волн, следующих друг за другом в пордцке убывания скорости. В зависимости от соотношения между начальной и конечной деформациями последовательности волн, представляющие решение, различны. Они могут содержать от одной до четырех различных волн. Возможность решения этой задачи и необходимость использования для ее решения всех ранее отобранных ударных волн показывает, что отбор был щю изведен правильно [39, 43-45] .

- ИЗ -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нелинейные упругие волны в случае слабой нелинейности изуI чаются методом разложения в ряд по малым начальным и текущим деформациям до первого (главного) члена,выявляющего нелинейные эффекты. Волны разделяются на квазипродольные и квазипоперечные.

При изучении плоских волн в изотропных упругих средах изменение характеристических скоростей, скорости скачка, энтропии пропорциональны двум упругим константам среды: О. (для квазипродольных волн) и (для квазипоперечных). Знаки этих коэффициентов определяют направление опрокидывания простых волн (волн Римана) и роста энтропии в ударных.

Исследование квазипродольных упругих простых и ударных волн показывает, что их поведение похоже на поведение нелинейных волн в газовой динамике. Наличие предварительной деформации вносит только количественные изменения в характеристическую скорость и скорость скачка и создает малую поперечную составляющую.

Поведение квазипоперечных нелинейных волн приобретает новые свойства, вызванные присутствием начальной деформации. На основании проведенного в данной работе исследования можно сделать следующие выводы:

I. Изучение квазипоперечных волн удается свести к их рассмотрению на плоскости переменных UV » представляющих сдвиговые деформации. 2. Показано, что поведение плоских квазипоперечных простых и ударных волн определяется двумя постоянными: (упомянутая выше упругая константа среды) и 6 = ^ (2/U+ которая может служить мерой анизотропии, которую предварительная деформация вносит в начальное состояние среды.

- 114

3. Исследованы квазипоперечные простые волны. Найдены их интегральные кривые, задающие связь величин в простых волнах. Наличие делает их отличными от изучавшихся ранее при G-0 . Указаны критерии опрокидывания простых волн, разные в зависимости от знака ЭС . Коэффициент не влияет на вид интегральных кривых, но ее величина и знак определяют скорость и направление опрокидывания прбстых волн.

4. Установлено, что как простые так и ударные квазипоперечные волны могут существовать в упругих средах при любом знаке Ж .

5. Найдена и исследована ударная адиабата квазипоперечных г ударных волн. Она является одномерным множеством - пространственной кривой, а ее проекция на плоскость и/Ш , tr/Щ - универсальная для всех сред кривая. Коэффициент Ж не входит в уравнение ударной адиабаты.

6. Определена скорость скачка из начального состояния в любую точку ударной адиабаты как функция конечного состояния. Изменение скорости пропорционально величине ре . Уяснено количество точек экстремума скорости.

7. Вычислено изменение энтропии в ударной волне. На ударной адиабате выделены области, отвечающие требованию неубывания энтропии. Для сред с. Ж >0 возможны только такие ударные переходы, в которых модуль сдвиговых деформаций Vwz+D"2 убывает, для сред с Ж<0 - только с возрастанием этой величины,

8. Записаны и исследованы условия эволюционности скачка,

9.уДня упругих волн введено в употребление (по аналогии с газовой динамикой) понятие "ударных волн Жуге", ^-которых скорость скачка совпадает с одной из характеристических скоростей. В отличие от газовой ; динамики и магнитной гидродинамики, в упругих средах возможны скачки со скоростями равными характеристическим

- 115 скоростям перед волной. Выяснено количество точек Жуге в зависимости от начальной деформации и найдено их положение на ударной адиабате.

10. На ударной адиабате указано положение тех ее частей, которые удовлетворяют одновременно условиям неубывания энтропии и эволюционности. Ударные переходы только в "эти состояния могут претендовать на реальное существование. Установлено, что для упругих волн требования эволюционности сильнее (включают в себя) требования неубывания энтропии. Области эволюционности по количеству и положению на ударной адиабате различаются для сред с де>0 и эе<0 .

11. Показано, что дри различных предварительных деформациях для каждой конкретной среды ( Ж фиксировано) могут существовать разные по количеству и типам ударные волны. Пространство начальных деформаций разделено на области, соответствующие разным вариантам. Найдены эти области, т.е. получены критерии существования того или иного количества и типов ударных волн в зависимости от начальных деформаций.

12. Показано, что равенство 0 служит условием существования вращательного разрыва (вращательной простой волны) в упругой изотропной среде.

13. Сформулированы условия на начальную деформацию, при которой нелинейные. волны будут чисто продольными или чисто попереч-ны»1И. Имеется упругая константа среды £ , которая определяет изменение продольной компоненты в квазипоперечной волне и поперечных компонент.» квазипродольной волне. В средах с нелинейные волны будут чисто продольными и чисто поперечными., Отклонение волн от чисто продольных и чисто поперечных пропорционально £ .

- 116

14. Обнаружены отрезки ударной адиабаты, не примыкающие к начальной точке, соответствующие эволюционным волнам, интенсивность которых конечна и не может быть сделана как угодно малой (ударные волны второго типа).

15. Исследованы возможные случаи начальной, деформации специальных видов, когда какая-нибудь из компонент деформации очень мала или вовсе отсутствует и задача имеет некоторое вырождение.

16. Обнаружена возможность представления неэволюционных ударных волн, соответствующих точкам некоторых отрезков ударной адиабаты, последовательностью двух эволюционных ударных волн, движущихся с одинаковой скоростью. Показано, что эти ударные волны имеют право на реальное существование.

17. Изучены ударные переходы в заданное состояние. Найдено множество начальных состояний, из которых возможен ударный переход в заданное состояние с соблюдением требований эволюционности и неубывания энтропии.

18. Нелинейные волны в несжимаемой упругой среде получаются как частный случай исследования произвольной среды и обладают всеми перечисленными выше свойствами.

19. Построено решение автомодельной задачи о действии внезапной дополнительной нагрузки на границу упругого полупространства. Построенные решения принципиально различаются для сред с

Ж>0 и . с эе<?0 и в зависимости от начальной деформации (см. п.II).

26. Решение состоит из последовательности простых и ударных волн, следующих в порядке убывания скорости. Последовательность может содержать от одной до четырех различных волн. Особое значение в этих конструкциях имеют ударные волны Жуге (п.9).

21. Решение построено для всех значений параметров Ж и Q , любых начальных и конечных деформаций. Для каждого принципиально различного варианта начальных деформаций определены области (и их границы), где решение имеет ту или иную найденную структуру.

22. При малой величине параметра Q (малой анизотропии начальной деформации) имеются области значений конечных (граничных) деформаций, для которых решение неоднозначно. Этот факт имеет место и для Эе >О и для .

23. Возможность построения решения автомодельной задачи для любых начальных и конечных деформаций показывает, что отбор ударных волн, имеющих право на реальное существование, был произведен правильно.

- 118 -Л И Т Е Р А Т УРА

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. -М.: Наука, 1973.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М, Механика сплошных сред. -М.: Гос.изд. техн.-теор.лит.,.1954. -791 с.

3. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. -М.: Физматгиз, 1962. -246 с.

4. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. -М.: Мир, 1972. -132 с.

5. Covins Ж Ю. One- dim. е. ns to пав non-Pineaz wave pzopagatiori in in compressive elastic maiezCotPs.- йиатЬ. у. Mech. App-e. Math., 1966, v. 19.

6. Boa-Teh-Cku. Transverse скоск waives in Lncompzessiide. eeasicc so&'o/s. - g. Heck. Pkys. Soiic/s,

1967 9 No. 15, p. /-/4.

7. Анциферов В.P., Рахматулин X.A. Распространение сжимающе-сдви-говых возмущений в нелинейно-упругой среде. -ПММ, 1964, т.28, вып.З, с.572-578.

8. Галин Г.Я. О распространении возмущений в средах с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций и температуры. -ДАН СССР, 1958, т.120, № 4, с.730-733.

9. fiuvaui G, <5.iuofe de ceziains pwEBems d'ondes de deformation pPane en e'fostisite поп Etneaire.

• Jf. Mее, 5 1969, v. 8, Mo. p 565-603.

Ю. Baze? , £zicsori ЖВ, WonEineaz wai/e motion in. magneto elasticity. - Archive {or Rational? Mech. and Anaev. 55, No. 2.

11. Напева A. Shea? waves 1-Ш. - Pugfs, Insi, Geopk. Pot. Ac. Sci,, Щ5} Dfo. 87.

12. Hani^Q A. On ike solution io ike Riemonn рчо&бет. <fo? avgiizazy курегёоЕсс systems of. consQ-zvation Catvs, - Insi. Geopk. P0f, Ac. 1976 , No. 98, У23 p.

13. Ленский Э.В. Ударные волны при продольно крутильном ударе.

-В кн.: Газовая и волновая динамика. (Тр.каф.волновой и газовой динамики МГУ). -М., 1979, вып.З, с.147-149.

14. Ленский Э.В. Об ударной адиабате плоского ударно-сдвигового разрыва. -Вестник МГУ, сер.мат. и мех., 1981, вып.1, с.94-96.

15. Ленский Э.В. Распространение плоских волн двухкомпонентного деформированного состояния в нелинейно-упругой сжимаемой среде. -Вестник МГУ, сер.мат. и мех., 1982, № 6, с.101-106.

16. Ленский Э.В. Об одной системе квазилинейных уравнений. -Вестник МГУ, сер.мат. и мех., 1983, № I, с.78-81.

17. Ленский Э.В. Простые волны в нелинейно упругой среде. -Вестник МГУ, сер.мат. и мех., 1983, № 3, с.80-86.

18. Куликовский А.Г. О волнах РиМана в магнитной гидродинамике. - ДАН СССР, 1958, t.I2I, № 6.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц. Е.М. Электродинамика сплошных сред. -М.: Наука, 1982. -620 с. .

20. Костров Б.В., Никитин Л.В. Влияние предварительно напряженного состояния на распространение плоских сейсмических волн. -Изв^АН СССР, физика Земли, 1968, № 9, с.30-38.

21 „ Никитин Л.В., Чесноков Е.М. Влияние напряженного состояния на анизотропию упругих свойств среды. -Изв.АН СССР, физика Земли, 1981, # 3, с.20^33.

-12022. Чесноков Е.М. Сейсмическая анизотропия верхней мантии Земли. -М.: Наука, 1977. -144 с.

23. Gvoidev Л A, Gzinfed'd M,A.0Zvo&hsKi Л/. И f/on6tneaz effects, accompanying seismic waves pzopaqatLon. - Mon&'nea-z do.(oT.maiion waves, (IUTAM Symposium laWinn Y922)a

Sp-zLnQez-yezPag, ШЗэ. p. 391-396

24. Гринфельд M.A., Мовчан A.A. Волны слабого разрыва в упругом деформированном материале. -Изв.АН СССР, физика Земли, 1976, №6.

25. Гринфельд М.А. Усиление и затухание интенсивности фронтов сейсмических волн в изотропной нелинейно упругой среде.-Изв. АН СССР, физика Земли, 1979, № 7, с.23-33.

26. Г^зь А.Н., Махорт Ф.Г., Г'уща О.И. Введение в акустоупругость. -Киев: Наукова думка, 1977. -149 с.

27. Wesodovs xL 2. Sizonq disconiinuiig wave in iniiia€£y stzaino! eeasiCc medium. - Azch. Mech. Sfos., 194, v. 30, Ыо.Ъ.

28. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. -Киев: Наукова думка, 1981, -216 с.

29. Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругом пространстве при конечных деформациях. -ПММ, 1970, т.34, вып.5.

30. Буренин А*А., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве. -ПШ, 1978, т.42, вып.4, с.711-717.

31. Филатов Г.Ш. О распространении продольных и поперечных ударных волн в упругой среде. -ПМТФ, 1972, № 3. •

32. Буренин А.А., Нгуен Хыу Тхань, Чернышов А.Д, 0 распространении ударных волн в упругой среде при плоской конечной деформации. -ПШ, 1973, т.37, ёып.5.

33. Свешникова Е.И. Простые волны в нелинейно упругой среде. -ПММ, 1982, т.46, вып.4, с.642-646.

34. LaxRV. HypezSopLC Systems of Consezva-tion laws E.~ Communs Puze and Appl Maih.} J957> v.10^ /to 4, p 5Ы-566.

35. Ахиезер А.И., Любарский Г.Я., Половин Р.В. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике. -ЮН, 1958, т.35, вып.З. .

36. Сыроватский С.И. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике. -ЖЭ1Ф, 1958, т.35, вып.6. и

37. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейно-упругих средах. -ПММ, 1980, т.44, вып.З, с.523-534.

38. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде. -ПШ, 1982, т.46, вып.5, с.831-840.

39* Ku&Kovsxiy A.G., Swesknikova с5.Г. МопРспесх? defozmcdion waves in Ihe pzqviousty sizessed elastic media. -8 cS.; NonZCneaz defozmaiion wares, (IUTAM Symposium TaMinn Щ 2), BezEin Heiolefgezq New У oik :

SpYingez-VezEaq } i9S3} p. ,293-298.

40. Свешникова Е.И. Квазипоперечные ударные волны в упругой среде при специальных видах начальной деформации. -ПШ, 1983, т.47. вып.4, с.673-678.

41. Галин Г.Я. К'теории ударных волн. -ДАН СССР, 1959, т.127,$ I, с.55-58.

42. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. 0 некоторых свойствах ударной адиабаты квазипоперечных упругих волн, (сдано в ПИЛ).

- 122

43. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о действии внезапной ннагруэки на границу упругого полупространства. (сдано в ПММ).

44. Куликовский А.Г.t Свешникова Е.И. Автомодельные движения однородной предварительно напряжённой изотропной упругой среды.

- В кн.: У Всес.съезд по теорет. и прикл.механике. Аннотации докладов. -Алма-Ата, 1981.

45. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Распространение нелинейных волн в изотропных средах при наличии начальной деформации.

-В кн.: У Всес.конференция по механике полимерных и композитных материалов. Тезисы докладов. -Рига, 1983. 1

46. Бармин А.А., Куликовский А.Г. О разрывных решениях в механике сплошной среды. -В кн.: Некоторые вопросы механики сплошной среды. -М., 1978, с.70-88.

47 „ Куликовский А.Г. О свойствах ударных адиабат в окрестности точки Жуге. -Изв.АН СССР, мех.жидкости и газа, 1978, № 2, с.184-186.

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2, -М.: Наука, 1973.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М, Механика сплошных сред. -М.: Гос.изд. техи.-теор.лит.,.1954. -791 с.

3. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. -М.; Шизматгиз, 1962. -246 с.

4. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. -М.: Шр, 1972. -132 с.

6. Boa-TehCku. Tzcunsve^se скоск wdves in incompze^uUo. Q.2astic soEcois. - g. HQck. Pki^s. SuEids^

7. Анциферов В.P., Рахматулин X.A. Распространение сжимающе-сдви- говнх возмущений в нелинейно-упругой среде. -ПММ, 1964, т.28, вып.З, с.572-578,

8. Галин Г.Я, О распространении возмущений в средах с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций и температур, -ДАН СССР, 1958, T.I20, № 4, с.730-733.

9. Tduvawt G, diuofe de ceziains pwEEems d'ondes de de<f!ozmaiion pEane gn eEosEcsiie поп itneatre. -• } , Mec.^ i969^ uS^ Mo.^, p.S6S-603.

10. Свешникова Е.И, Простые волны в нелинейно упругой среде, -ПШ, 1982, т,4б, выпЛ, 0.642-646.

12. Ахиезер А.И., Любарский Г.Я., Половин Р.В. Об устойчивости ударных волн в магнитной гвдродинамике. -ЮТФ, 1958, т.35, ВШ1.3.

13. СырЬватский СИ, Об устойхшвости ударных волн в магнитной гидродинамике. -ЖЭТФ, 1958, т.35, вып.6. I i

14. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейно-упругих средах, -ПШ, 1980, т.44, вып.З, с.523-534.

15. Кулшсовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиа- баты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде. -ПШ, 1982, т.4б, вып.5, с.831-840.

16. Галин Г.Я. К'теории ударных волн. -ДАН СССР, 1959, т,127,?1^ I , с.55-58. 42, Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О некоторых свойствах ударной адиабаты квазипоперечных упругих волн, (сдано в ПИЛ). - 122 -

17. Куликовский А.Г., Свепиикова Е.И. Автомодельная задача о действии внезалной ннагрузки на границу упругого полупространства. (сдано в П Ш ) .

18. Куликовский А.Г,i Свешникова Е.И. Автомодельные движения однородной предварительно напряжённой изотропной упругой среды. - В кн.: У Всес.съезд по теорет. и прикл.механике. Аннотации докладов. -Алма-Ата, I98I,

19. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И, Распространение нелинейных волн в изотропных средах при наличии начальной деформации. -В кн.: У Всес.конференция по механике полимерных и композитных материалов. Тезисы докладов. -Рига, 1983.