Распространение деформаций по упругим средам с дополнительными ограничениями в их механических свойствах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛАПТЕВА Анастасия Александровна

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПО УПРУГИМ СРЕДАМ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ В ИХ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

. 5 012314

005549647

Чебоксары — 2014

005549647

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент РАН Буренин Анатолий Александрович

Официальные оппоненты: Филатов Геннадий Федорович,

доктор физико-математических наук, профессор, Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, профессор кафедры математики

Гаврилов Сергей Николаевич, кандидат физико-математических наук, Институт проблем машиноведения РАН, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

им. А. Ю. Ишлинского, г. Москва

Защита состоится «19» июня 2014 г. в 10 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» по адресу: 428000, Чувашская Республика, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева», http://www.chgpu.edu.ru/zaschita-dissertaciy. Электронная версия автореферата размещена на сайте ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации http://vak2.ed.gov.ru и на официальном сайте ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» http://www.chgpu.edu.ru.

Автореферат разослан « Й » МОЛ 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.В. Тихонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Соотношения классической теории упругости, основанные на постулате о нормально-изотропном поведении упругих сред и линейной зависимости между напряжениями и деформациями, являются результатом идеализации реальных свойств деформируемых материалов. Такие допущения позволяют упростить не только построение определяющих соотношений теории, но и методы решения соответствующих краевых задач. Но для большинства природных и конструкционных материалов такие условия принципиально неприемлемы. Примером здесь могут служить образцы, изготовленные из различных грунтовых фракций, которые могут выдерживать значительные сжимающие нагрузки и практически не сопротивляться растягивающим усилиям. Учет подобных специфических механических свойств (нелинейной связи между напряжениями и деформациями, разномодулышсти) приводит к неклассическим моделям упругих сред. В настоящее время построен ряд таких моделей при разных вводных предположениях. Нелинейность, наличие сингулярности в реакции на направление воздействия, отраженные в этих моделях, вносят новые качественные особенности в свойства модельных уравнений и выводят нх за рамки классической математической физики. Диссертация посвящена изучению особенностей постановок краевых задач ударного нагру-жения несжимаемых нелинейно-упругих сред, материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию, сред с различной сопротивляемостью сдвигу вдоль выбранной оси. Сведения о свойствах ударных волн при нестационарных условиях нагружения перечисленных нелинейных и разномодульных сред, зависимостях положения и скоростей движения волновых фронтов в каждый момент времени от характера воздействия помогают осуществить постановки соответствующих краевых задач. Поэтому вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности выбранного направления исследований.

Целью работы является изучение условий существования и закономерностей распространения различных типов поверхностей разрывов деформаций в нелинейных упругих средах с неклассическими свойствами (нелинейная несжимаемость, неодинаковое сопротивление растяжению-сжатию и разнонаправленному сдвигу), необходимыми для постановки и получения обобщенных решений краевых задач динамики их деформирования.

К основным научным результатам диссертации относятся:

- сведения о типах и количестве сильных и слабых одномерных плоских и сферических волновых фронтов, распространяющихся при ударных воздействиях па несжимаемые нелинейно-упругие среды и материалы с объемной и сдвиговой разномодульноетью;

аналитические обобщенные решения нестационарных краевых задач ударного деформирования о движении одномерных плоских и сферических волн в несжимаемых нелинейно-упругих и сжимаемых кусочно-линейных средах.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, определяется новыми постановками краевых задач нелинейной динамической теории упругости несжимаемых и разномодульных сред за счет указания возможности возникновения в них нелинейных эффектов: плоских одномерных поверхностей сильных разрывов (ударных волн нагрузки и волн круговой поляризации), простых волн Римана, сферических одномерных ударных волн и сферических слоев постоянной плотности.

Достоверность полученных результатов обоснована применением общепринятых подходов механики деформирования, условий совместности разрывов теории особых движущихся поверхностей, сходимостью полученных результатов в предельном случае к известным соотношениям классической теории упругости.

Применение и практическая ценность работы. Изучение свойств поверхностей разрывов деформаций в нелинейных упругих средах с некласси-ческимп свойствами (нелинейной несжимаемостью, неодинаковым сопротивлением растяжению н сжатию, разнонаправленным сдвигам) являются неотъемлемой частью решения нестационарных краевых задач ударного деформирования упругих сред, позволяет провести корректную постановку и разработать методику их решения. Кроме самостоятельного значения, полученные аналитические решения задач динамики материалов со сложными механическими свойствами могут служить в качестве тестовых при создании специальных численных методов решений обобщенных динамических задач и при отлаживании численных расчетных схем.

Апробация результатов диссертации.

Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Региональная научно-техническая конференция «Вологдинскпе чтения» (Владивосток, 2006);

- Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2010, 2012);

- Региональная научно-техническая конференция «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, 2011, 2012);

- Международная школа-семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2004);

- Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные вопросы

механики и процессов управления», посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 2011).

Диссертация в целом докладывалась на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела ПАПУ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН. д.ф.-м.н., профессора A.A. Буренина.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (152 наименования). Общий объем работы — 146 страннц, в том числе 45 рисунков, включенных в текст.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение в работу содержит краткий обзор литературы, посвященной проблемам моделирования нелинейных нестационарных процессов деформирования упругих сред. Нелинейные эффекты при ударных нагружешшх упругих тел изучались A.A. Бурениным, Г.И. Быковцевым, С.Н. Гаврнловым, Д.Д. Ивлевым, А.Г. Куликовским, В.В. Лапыгиным, Э.В. Ленским, A.II. Лурье. В.А. Ляховским, В.П. Масловым, П.П. Мосоловым, В.В. Новожиловым, Л.А. Пеку-ровской, В. Прагером, В.Е. Рагозиной, Е.И. Свешниковой, Е.М. Черных, А.Д. Чернышовым, A.B. Чигаревым, А.П. Чугайновой, D. Bland и др. Большое внимание в обзоре уделено моделированию материалов, свойства которых не одинаковы при растяжении и сжатии. Существенный нклад и развитие данного подхода внесли отечественные ученые С.А. Амбарцумян, В.В. Болотин. A.A. Буренин, В.В. Дудукаленко, A.A. Золочевский, А.Г. Куликовский, Е.В. Ломакин, В.А. Ляховский, В.П. Маслов, Н.М. Матченко, В.А. Минаев, В.Н. Москаленко, П.П. Мосолов, В.П. Мясников, А.И. Олейников, В.М. Панферов, A.A. Пекуровская, Ю.Н. Работнов, Л.А. Толокошшков, Г.Ф. Филатов, A.B. Чигарев, И.Ю. Цвелодуб, Т.Д. Шермергор, В.М. Ярушина и др. Решения автомодельных задач динамики нелинейно упругой среды исследовались такими отечественными учеными, как Е.И. Агапов, A.A. Буренин, О.В. Дудко, А.Г. Куликовский, В.В. Лапыгин, A.B. Резунов, Е.И. Свешникова, Е.М. Черных, A.B. Чернышов, А.П. Чугайнова.

На основе проведенного литературного обзора сформулированы цели и задачи диссертации. Здесь же приводится структура диссертации по главам.

В первой главе диссертации содержатся теоретические сведения, необходимые для моделирования процессов динамического деформирования в упругих телах. Система модельных соотношений, описывающая динамическое де-

формирование изотропной упругой среды, допускающей изменение объема, записана в § 1.1 в адиабатическом приближении:

v; = м; + Шг = + = р (¿; + У^У^) ,

Ч Р дШ . г „ -

аи = о ("ч + Чм _ ик,гик.]) , Су = — ^-(о<у ~ ^у),

^ РоС«гк , ,

/ 4 Я \

1\ = ац, /2 = аца^, /3 = а{ка^а3

В соотношениях (1) V; - компоненты векторов перемещений и скорости перемещении точек среды: ггу. г>,7 - компоненты тензора напряжений Эйлера-Коши и тензора деформаций Альманси; IV - функция состояния, определяющая механические свойства материала (упругий потенциал, в адиабатическом приближении для изотропной среды зависящий только от инвариантов тензора деформаций Д. /2, /ц); р, ри - плотность среды в текущем и недеформированном состоянии; <5,3- - символ Кронекера; частная производная по независимой пространственной переменной х^ обозначена латинским индексом после запятой частная производная по времени - точкой В § 1.2 приведены основные модельные соотношения нелинейно-упругих изотропных сред с различными механическими свойствами. Упругий потенциал для несжимаемой нелинейно-упругой среды IV = И^/ь/г) можно представить в виде разложения в ряд Маклорена относительно двух инвариантов Д, /2:

\У(11,12)=(а-/1)11+а12+Ы}- пЬЬ ~ В1\+с/4+й^+х^Ь+■■■ (2)

Третий инвариант /3 может быть вычислен через 11 ,/2 из условия несжимаемости р/ро=1. Постоянную /I здесь следует отождествлять с модулем сдвига упругой среды, другие постоянные а, Ь,(,9,... являются упругими модулями более высокого порядка. В формулу Мурнагаиа для несжимаемой упругой среды следует внести функцию добавочного гидростатического давления Р:

д\У

ац = -Р5ц + -—(<5у - 2а/у)- (3)

о<*Ис

С целью моделирования эффекта разного сопротивления материалов растяжению и сжатию упругий потенциал изотропной среды выбирается в виде

И/ = + + (4)

предложенном В.П. Мясниковым и уточненном в дальнейшем А.И. Олейниковым. В (4) А, ц - параметры Ламэ, и - упругий модуль, который отражает наличие микродефектов в материале. В случае одноосного деформирования

(«1(2:1, <)=и(а;, £), и2=щ=0) разномодулыюй упругой среды с учетом принятого допущения о малости деформации упругий потенциал (4) позволяет получить кусочно-линейную зависимость между напряжениями а и деформациями е:

ст = {Х + 2ц-2ки}е, А = аип(е) = { 1 При е > (5)

[ -1 при е < 0,

которая приводит к одномерному уравнению движения

д2и 1 д2и

дх2 с'2 дР ~~ ^

Фазовая скорость с в уравнении (6) может принимать различные значения а=у/р~1(\ + 2/1 + 2и) или Ь=у/р~1(А + 2р - 21/) в зависимости от характера деформирования.

В случае сферической симметрии упругий потенциал (4) существенно усложняет определяющие соотношения, т.к. учитывает взаимное влияние объемных и сдвиговых деформаций. С целью исключения такого явления дилата-ции используется другой вид упругого потенциала

2 Х (7)

J\ = е*ь -Н = = -(«^ +

Одномерное уравнение движения в случае сферической симметрии может быть записано с учетом (7) в форме

2 (сРи _ и 2ди\ _ д2и

с удг2 1г2 + гдг) - д12' (8)

сохранившей волновой сферический оператор в левой части равенства, что не может быть достигнуто в рамках модели (4). Фазовая скорость с = ^/р_1(А + 2ц- 2г/Sign(Jl)) уравнения движения может принимать различные значения в зависимости от характера протекающего процесса деформирования, однако знак перед коэффициентом и определяется знаком первого инварианта «л = ^ + в целом. Отсюда следует, что переход от состояния ./, > 0 к состоянию Л < 0 (или наоборот) и возникновение сопровождающих такой переход специфических эффектов, присущих разномодулыюй среде, может достигаться при всевозможных соотношениях между значениями градиента Оп/Ог. перемещения и и радиуса г.

Разномодульные механические свойства несжимаемой изотропной упругой среды, по-разному реагирующей на разнонаправленные сдвиги, определены упругим потенциалом \У(Ьх,Ь2) (аналог потенциала Муни)

IV = -рф, + (9)

Первый упругий модуль остается постоянным, второй упругий модуль /З} меняет скачком свое значение при изменении направления сдвиговой нагрузки вдоль выбранной оси. Инварианты Ь1, Ь2 определяются главными значениями тензора деформаций ог н имеют одинаковую степень малости гю деформациям: ¿1 = 1/3(с*1+а2+а3), ¿2=УЗ/2((а1-а)2+(а2-а)2+(а3-а)2).

В случае одномерного движение точек среды(и2(^'ь Ь)=и(х, £), щ=щ=0), упругий потенциал (9) позволяет зависать уравнения движения

ЭР 2д2иди_ 2д2и_д2и .

~дх + С1дх*~дх ~ ' [Щ

где из первого равенства можно вычислить функцию добавочного гидростатического давления Р = рР при известном поле перемещений, а второе уравнение служит для определения поля перемещений и является первостепенным при решении краевых задач. Константы ^ и с2 в этом случае принимают значения с, = ч/р-1(Д1/3+^), различные при противоположных

направлениях сдвига.

На основе известных динамических, кинематических и геометрических условий совместности разрывов первого и второго порядка для ударных и слабых волн, приведенных в § 1.3, в следующих двух параграфах первой главы указаны условия возникновения и закономерности распространения поверхностей разрывов деформаций в частных случаях движения точек среды. В § 1.4 для случая одномерного деформирования показано, что в несжимаемой нелинейно-упругой среде возможно возникновение двух типов плоских одномерных ударных воли: сдвиговая ударная волна, которая может изменит]) только интенсивность предварительного сдвига без изменения его направленности, и ударная волна круговой поляризации, на которой скачкообразно меняется только се направленность, а интенсивность предварительного сдвига остается неизменной. Скорость сдвиговой ударной волны всегда больше скорости ударной волны круговой поляризации. Разрыв добавочного гидростатического давления Р возможен только на плоскополяризованной волне. На плоскости разрывов круговой поляризации скачок функции Р невозможен.

В § 1.5 приведена классификация сильных и слабых плоских поверхностей разрывов в случае одноосного деформирования разномодулыюй среды Мясникова-Олейникова. Анализ обобщенных решений одномерного уравнения движения (6), подобный проведенному В.П. Масловым и П.П. Мосоловым, позволил выделить в разномодульной упругой среде в зависимости от значения первой производной перемещений ди/дх следующие типы плоских одномерных волновых фронтов: ударная волна, распространяющаяся со скоростью Ь<Са<а и скачком меняющая знак ди/дх с положительного на отрицательный (обрат-

иый случай невозможен согласно термодинамическому условию совместности, запрещающему возникновение ударных волн расширения); сигпотоп со скоростью йу, на котором происходит скачок ди/дх, но при этом производная сохраняет свой знак; палусигнотон со скоростью распространения Ср, с одной стороны от которого ди/дх=0, а с другой ди/дх<0 или ди/дх>0\ простой разрыв, движущийся со скоростью и на котором первые производные перемещений непрерывны, а скачком изменяются вторые производные (полна ускорений). В зависимости от предварительного деформированного состояния и заданного граничного воздействия сигнотоны, полусигнотоны и простые разрывы могут быть медленными со скоростью 6 или быстрыми со скоростью а.

Обобщенные решения уравнений (10), записанных для одномерного движения точек несжимаемой кусочно-линейной среды (9), имеют аналогичный вид. Подобная классификация применима и к одномерным сферическим волнам в разпомодулыюй упругой среде с потенциалом (7), с тем лишь отличием, что тип разрыва зависит не от значений первой производной перемещений, а от знака первого инварианта тензора деформаций Л = 4- в целом.

Вторая глава посвящена постановкам и решению ряда автомодельных краевых задач динамики деформирования несжимаемой упругой среды. В § 2.1 рассмотрена автомодельная задача об ударе по деформированному упругому несжимаемому полупространству при наличии в нем предварительных деформаций в случае одномерного движения точек среды. Показано, что постоянная сжимающе-сдпигающая нагрузка ^(щ^^з^^опвЬ, приложенная в момент времени ¿=0 на границе полупространства, приводит к возникновению в нем двух плоских одномерных волновых фронтов. Первой из них может оказаться либо плоскополяризованная полна Римана (центрированная полна разгрузки, на которой происходит уменьшение предварительного сдвига), либо ударная волна (поперечная полна нагрузки, увеличивающая предварительный сдвиг). Вторым фронтом всегда является ударная волна круговой поляризации, изменяющая скачком направление предварительного сдвига. Функция добавочного гидростатического давления Р в области центрированной волны меняется непрерывно от Р0 до Р. На ударной волне круговой поляризации функция Р непрерывна.

В § 2.2 рассматривается задача одномерного взаимодействия двух идущих навстречу друг другу п несжимаемом упругом слое толщины к плоских сдвиговых ударных волн, поляризованных в различных плоскостях. До начала воздействия слой находился в недеформированном состоянии, в начальный момент времени па границы слоя прикладывается постоянная сдвигающе-сжимающая ударная нагрузка а1, а" (рис. 1). В результате такого воздействия в слое навстречу друг другу начинают двигаться два плоских сдвиговых ударных фрон-

та Е; и Е2 (рис. 1, а) со скоростями 61 и С2.

1 \ \ \ \ ч

- I

/ц < о - ^ №

п

г / / / / / С

(а)

III

V

х.

7

IV

II

1-3-3-Т

^_£

О] *>

-14

-V

(с)

х2

-

.Ч . . . „

-Ч-Т—?-У (У "

Л__1_1-л— 1 • • '.'.» . < гг V

ш

V 0 7

х2

IV + = ¿-6 06 _

II

/ / * ? > , / / / / / / / а"

(Ь)

I 1с>

Ш Су ,с4

V 0

Хз^

IV с;

II

■ / / • /

№

3 £

->х2

<-5 <й

Рис. 1

Для определения характера волновой картины, возникающей после взаимодействия ударных волн нагрузки Е1, Е2, введено понятие вектора сдвига 5={м2л,м.чл}- Деформированное состояние среды за Е1 характеризуется вектором 5/, за Е2 - вектором Иц. После столкновения ударных волн Ех и Е2 в противоположные стороны отражаются два пакета плоских одномерных волновых фронтов, каждый из которых содержит две волны (ударные или простые). Результирующее деформированное состояние между последними отраженными волнами 5=5/+«//. Тип отраженных волновых фронтов (ударная волна или простая волна Римагта) зависит от соотношения модулей и |?л|-

Если |я/|^|я//|<|.5|. то после взаимодействия Е1 и Е2 в противоположные, стороны отражаются по две ударные волны (рис. 1, Ь). Передние отраженные фронты Е3 и Е5 являются ударными сдвиговыми волнами, увеличивающими предварительные сдвиги и до значения а на ударных волнах Е4 и Е0 происходит поворот увеличенных сдвигов так, чтобы их направленность совпала.

В случае |5/|<|§|<|8//| один отраженный пакет состоит из простой волны Римана с фронтами ^ и £з" и Ударной волны Е4, а второй - из двух ударных

фронтов Е5 и £е. Простая полна уменьшает предварительный сдвиг, ударная волна нагрузки £3 увеличивает предварительный сдвиг, а волны поворота £4 и £в разворачивают поляризацию сдвиговых деформаций в одном направлении (рие. 1, с).

Соотношение |s/|<|s//|<|s| возможно, если угол a между плоскостями поляризации волн нагрузки E¡ и Е2 и отношение длин заданных векторов |s/| и удовлетворяют неравенству |s//|/|s7| < -2 cosa, a 6 [2-тг/З, тг]. Тогда решение состоит из двух волновых пакетов, в каждом из которых передним фронтом является простая волна Римана (£з 6 € [£5+,£5~])> а задним

- ударная волна поворота (Е4, £6) (рис. 1, Л).

В третьей главе получены аналитические решения ряда нестационарных краевых задач одноосного ударного деформирования упругой среды, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию (модель (5)).

Задача об одноосном деформировании упругого полупространства решена в двух постановках. В первой из них на границе задана функция движения точек граничной плоскости по закону u{0,t)=ip{t), где tp{t) - гладкая, дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям: <¿(£)<0 при О, <¿>(0)=0, ip'(t)<0 при OsSícíj, y/(íi)=0, ¥/(í)>0 при t>tx (рис. 2, а). Такое воздействие в режиме «растяжение-сжатие» приводит к возникновению в момент времени £=0 медленного полусигнотона Ер - волны разрежения со скоростью Ь, а в момент смены направления нагрузки (t = ti) от границы полупространства отделяется ударная волна Еа со скоростью Ga (рис. 2, Ь). Перед фронтом полусигнотона среда недеформирована, за фронтом до момента tx среда подвергается растяжению, а за ударной волной среда переходит в сжатое состояние. В частном случае, когда ip(t) задана в виде квадратичной функции, скорость ударной волны постоянна и не зависит от времени.

Рис. 2

Вторая постановка данной задачи рассматривает случай, когда полупространство сначала подвергается сжатию, а затем растяжению. Перемещения

точек граничной плоскости заданы функцией при <р(0)—0,

/(£)>0 при 0<£<£1 ср'(Ь)=0, </>'(£) < 0 ПРИ í > ^ (рис- 3> а)-

ф(0. ф'(0

о

/ Н '

(а)

и(х,() ди/дх

0

£¿2 £й"| (Ь)

Рис. 3

При таком воздействии в момент времени £ = 0 от границы полупространства отделяется быстрый полусигнотон Цв(£) - волна сжатия, которая со скоростью а несет в недеформированное полупространство сжимающие граничные возмущения (рис. 3, Ь). В момент времени при смене направления нагрузки от границы отделяются два простых разрыва: быстрый £¿,(¡0 со скоростью а и медленный £<;г(£) со скоростью 6 (рис. 3, Ь). Между простыми волнами образуется слой постоянных перемещений, движущийся как жесткое целое. Ширина слоя увеличивается с течением времени за счет разницы скоростей его фронтов.

В задаче об отражении плоских одномерных волн от жестко закрепленной границы разномодульного упругого слоя получено, что выбор направления воздействия на нагружаемую границу (сжатие или растяжение) не влияет на качественный характер решения данной задачи: в момент времени t = 0 граничные возмущения начинают распространяться в слой посредством полусигното-на £,»(£)> а достигнув жестко закрепленной границы слоя, всегда отражаются сигнотоном £-,(£)■

и(х,1)

I и(хл)

Н

(а)

(Ь)

Рис. 4

(С)

Вид функции нагружения влияет только на скорости волновых фронтов (а при положительной монотонно возрастающей <р{Ь) (</>(£)>()), Ь при отрицательной монотонно убывающей ((¿>(£)<0)).

Отказ от условия жесткого закрепления границы разномодульного слоя, на которую выходит плоская одномерная волна сжатия или разрежения, приводит к совершенно другому решению задачи. Оказалось, что вид отраженной волновой картины зависит от знака второй производной функции ср{Ь) (т.е. ее выпуклости или вогнутости). Показано, что граничные возмущения могут приводить к возникновению движущегося слоя недеформированной среды, если </>(£) положительная монотонно возрастающая выпуклая функция О, рис. 5, Ь). В случае отрицательной монотонно убывающей вогнутой функции ¥>(*) (р"(1)>0) от свободной границы отражается ударная волна (рис. 5, с). Два других варианта функции движения точек границы слоя при ¥>"(£)<0 здесь не представлены, т.к. решения качественно совпадают с решениями задачи с жестко закрепленной границей.

Ф"(0>0

и(х,{) ди/дх

(а)

II III

Ь

%/Н Ър2 Н (Ь)

Рис. 5

»(*■ О

ди/дх

см

В этой же главе в § 3.6 рассмотрены аналогичные краевые задачи ударного деформирования несжимаемой среды с разномодульным сопротивлением сдвигу вдоль выбранной оси в рамках модели (9).

Четвертая глава посвящена изучению особенностей построения решений краевых задач ударного деформирования разномодульного упругого материала в случае сферической симметрии. В задаче о нагружении поверхности сферы радиуса Я функция перемещений и(Я, £)=<р(£) на границе задана отрицательной: (р(£)^0 при <р(0)=0, <р'^)<0 при 1р'{Ь)=0, р'(4)>0 при ¿>¿1 (рис. 6, а). Распространение граничных возмущений в среде происходит посредством сферической сходящейся волны - быстрого полусигнотона £/?(£) со скоростью а (рис. 6, Ь). Перед полусигнотоном среда недеформирована, за ним происходит сжатие материала. В момент времени t=tl на сферической

границе происходит смена характера воздействия со сжимающего на растягивающее. При этом знак первого инварианта тензора деформаций ^ все еще остается отрицательным, т.е. продолжается дальнейшее сжатие среды. Выход ,]1 на нулевое значение происходит в момент времени ¿«>¿1, когда от внешней границы сферы отделяются две слабых волны (¿) и (¿). Между ними образуется сферический слой постоянной плотности {р/ро=\), где ^=0. Такая реакция разномодульной упругой среды в случае сферических волн названа эффектом запаздывания.

Рис. 6

Нагружение сферического отверстия радиусом г0 в разномодульной среде по закону и(го^) = ¥>(£) (рис. 7, а) приводит к возникновению расходящихся одномерных сферических волн. В момент ¿=0 в материал уходит сферическая волна - быстрый полусигнотон £/?(£) со скоростью а (рис. 7, Ь), за которым происходит сжатие среды. Согласно заданной функции перемещений точек границы Го, смена знака инварианта .Д происходит раньше чем меняется вид нагрузки на границе. Как и в задаче о возникновении сходящихся волн, в момент времени I, от границы сферического отверстия отделяются два слабых

фронта: быстрый и медленный Е;г(£), между которыми образуется сфе-

рический слой постоянной плотности.

В заключении приведены основные результаты диссертации:

- исходя нз законов сохранения, описывающих динамическое деформирование изотропной упругой среды в адиабатическом приближении, получены зависимости напряжений и деформаций для упругих сред с усложненными механическими свойствами (несжимаемая нелинейно-упругая среда, разно-модульная среда Мясникова-Олейникова, разномодульная среда без эффекта дилатацни, разномодульная среда с различным сопротивлением сдвигу вдоль выбранной оси);

- в рамках модели несжимаемой нелинейно-упругой среды получено аналитическое решение автомодельной задачи о взаимодействии двух идущих навстречу друг другу плоских сдвиговых ударных волн, поляризованных в различных плоскостях; показано, что при их отражении формируется две группы волновых фронтов - ударных и простых волн Римана; указаны критерии для определения на этапе постановки задачи типа возникающих волновых фронтов (ударный или слабый) исходя из начальных параметров задачи (интенсивности и направленности сдвигов на взаимодействующих волнах);

- в рамках математической модели разномодульной упругой среды Мясникова-Олейникова на основе введенной классификации обобщенных решений одномерного уравнения движения получены аналитические решения нестационарных краевых задач динамического одноосного деформирования разно-модульной упругой среды: о возникновении ударной волны и области постоянных перемещений со слабыми волнами в качестве переднего и заднего фронтов при ударном нагружешш границы упругого полупространства, об отражении плоской одномерной волны от жестко закрепленной границы разномодульпого упругого слоя, об отражении плоских одномерных волн сжатия и разрежения от свободной границы разномодульпого упругого слоя; указаны принципиальные отличия полученных решении от известных результатов аналогичных задач классической теории упругости;

- получено решение нестационарной краевой задачи об ударном сдвиге на границе полупространства в несжимаемой разномодульной среде, показана возможность возникновения в обобщенном решении уравнения движения ударных волн, областей недеформированного материала;

- в рамках математической модели разномодульной среды, свободной от эффекта дилатацни (взаимного влияния объемных и сдвиговых деформаций при распространении граничных возмущений) получено решение нестационарных краевых задач о сходящихся и расходящихся одномерных сферических волнах; показана возможность возникновения сферического слоя постоянной плот-

иости при нагружешш сферической границы по типу «растяжение-сжатие» и «сжатие-растяжение», при этом момент возникновения слоя в первом случае отстает от момента смены знака граничный нагрузки (эффект «запаздывания») п наоборот, опережает во втором случае.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Дудко О.В., Лаптева A.A., Семенов К.Т. О распространении плоских одномерных воли и их взаимодействии с преградами в среде, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2005. Т. 6. № 1-2. С. 94-105.

2. Буреннн A.A., Дудко О.В., Лаптева A.A. К закономерностям распространения деформаций изменения формы // Сибирский журнал индустриальной математики. Новосибирск: изд-во Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. 2011. Т. 14. № 4(48). С. 14-23.

3. Дудко О.В.. Лаптева A.A., Рагозина В.Е. О возникновении плоских и сферических волн в упругой среде, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2012. № 4(14). С. 147-155.

4. Дудко О.В., Лаптева A.A. К распространению возмущений по несжимаемой упругой среде с разномодульным сопротивлением сдвигу // Сибирский журнал индустриальной математики. Новосибирск: изд-во Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. 2013. Т. 1С. № 1(53). С. 21-28.

5. Дудко О.В., Лаптева A.A., Чигарев A.B. К построению математической модели разномодульной изотропно-упругой среды // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2013. 2(16). С. 41-47.

Статьи и материалы конференций:

6. Дудко О.В., Лаптева A.A., Чигарев A.B. О моделировании разномодуль-ных свойств упругой среды // Сборник статей по материалам международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий», 12-15 августа 2013 г., Чебоксары. Чебоксары: Чуваш, гос. пед. ун-т, 2013. 4.1. С. 88-93.

7. Дудко О.В., Лаптева A.A., Семенов К.Т. Возникновение ударной волны в линейной упругой среде, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию // Сборник трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики», 24-28 мая, 2004 г., Воронеж. Воронеж: ВГУ, 2004. Ч. 1, Т. 1 С. 200-202.

8. Дудко О.В., Лаптева A.A., Семенов К.Т. Задачи одномерного отражения ударных возмущений от свободной границы разномодулыюго упругого слоя // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы-семинара. Часть I. 12-17 сентября, 2005, Воронеж. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005. С. 136-139.

9- Дудко О.В., Лаптева A.A. Особенности решения автомодельной задачи о распространении ударных возмущений в несжимаемой упругой среде // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Сборник трудов международной конференции Воронеж: Изд.-полнграф. центр ВГУ, 2010. С. 141-143.

Ю- Дудко О.В., Лаптева A.A. Математическое моделирование разномо-дульных деформационных свойств твердого тела в рамках кусочно-линейной теории упругости // XXXVI Дальневосточная математическая школа-семинар им. ак. Е.В. Золотова: сборник материалов [электронный ресурс], 4-10 сентября 2012 г., Владивосток. Владивосток: ИАГГУ ДВО РАН, 2012. С. 115-118.

11. Лаптева A.A., Негодина Л.С. О способах построения математической модели упругой среды, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию // Материалы региональной научно-практической конференции «Молодежь и научно-технический прогресс», апрель-июль 2011 г., Владивосток. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2011. 4.1. С. 3G0-3G1.

12. Лаптева A.A., Дудко О.В. Взаимодействие плоских одномерных волн нагрузки в несжимаемой упругой среде // Сборник докладов Всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова «Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления», 11-17 сентября 2011 г., Владивосток, [электронный ресурс]. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2011. С. 97-100.

13. Буренин A.A., Дудко О.В., Лаптева A.A. Взаимодействие плоской одномерной волны со свободной границей разномодулыюго упругого слоя / Теоретическая и прикладная механика: международный научно-технический журнал. Минск, 2013. Вып. 28. С. 16-21.

14. Дудко О.В., Лаптева A.A. Особенности одномерного взаимодействия двух плоских разнополяризованных ударных волн в несжимаемой упругой среде // Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2011. С. 101-104.

15. Дудко О.В., Лаптева A.A. Отражение ударных возмущений от свободной границы несжимаемого упругого слоя с разномодулыгыми сдвиговыми свойствами // Третья международная конференция «Математическая физика и се приложения»: материалы конференции, 27 августа-1сснтября 2012, Самара.

Самара: СамГТУ, 2012. С. 123-124.

16. Дудко О.В., Лаптева A.A. Об отражении плоской одномерной волны нагрузки от свободной границы несжимаемого упругого слоя с разномодульным сопротивлением сдвигу // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, 22-31 мая 2013 г., Алушта. М.: Изд-во МАИ, 2013. С. 339-341.

17. Дудко О.В., Лаптева A.A. О распространении одномерных сферических волн в разномодульной упругой среде // Труды девятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 21-23 мая 2013 г., Самара. Самара: СамГТУ, 2013. 4.1. С. 100-103.

Личный вклад автора. В работе [11] автор выступала руководителем научных исследований, соавтор участвовала в проверке определяющих соотношений модели. В работах [1-10, 12-17] автор участвовала в получении определяющих соотношений, постановке краевых задач, выполнила все необходимые вычисления. Соавторы этих работ участвовали в постановке задач и интерпретации полученных результатов.

Автореферат разрешен к печати диссертационным советом Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО "Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева" 15.04.14 г.

Подписано в печать 15.04.14. Формат 60X84/16.

Бумага писчая. Печать оперативная.

Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ. №./-?<?£

Отпечатано в отделе полиграфии ФГБОУ ВПО "Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева" 428000, г. Чебоксары, ул. К.

Маркса, 38.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Лаптева Анастасия Александровна

Распространение деформаций по упругим средам с дополнительными ограничениями в их механических свойствах

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель чл.-корр. РАН Буренин A.A.

Владивосток — 2014

Содержание

Введение 5

1. Основные уравнения моделей динамически деформируемой изотропной нелинейно-упругой среды 18

1.1 Система определяющих соотношений динамически деформируемой упругой среды .................. 18

1.2 Модели изотропных упругих сред............. 22

1.2.1 Несжимаемая упругая среда ............ 22

1.2.2 Изотропная упругая среда с различным сопротивлением растяжению и сжатию ........... 24

1.2.3 Модель разномодульной упругой среды для случая сферической симметрии............... 28

1.2.4 Изотропная несжимаемая упругая среда со сдвиговой разномодульностью............... 31

1.3 Соотношения на поверхностях разрывов.......... 33

1.4 Ударные волны при одномерном деформировании несжимаемой упругой среды.................... 40

1.5 Классификация возможных разрывов при одноосном деформировании разномодульной упругой среды...... 44

2. Автомодельная задача о взаимодействии ударных волн

в несжимаемой упругой среде 51

2.1 Одномерные автомодельные движения точек несжимаемой среды. Удар по деформированному упругому полупространству ......................... 51

2.2 Одномерное столкновение плоских ударных волн .... 55

2.2.1 Отражение четырех ударных фронтов..............57

2.2.2 Возникновение в отраженном пакете простой волны Римана ............................................66

2.2.3 Отражение простых волн Римана ..................70

3. Задачи одноосного ударного деформирования разномо-дульной упругой среды 76

3.1 Возникновение ударной волны при одноосном ударном деформировании разномодульного упругого полупространства .............................. 76

3.2 Возникновение области постоянных перемещений при одноосном ударном деформировании разномодульного упругого полупространства.................... 84

3.3 Отражение плоской одномерной волны от жестко закрепленной границы разномодульного упругого слоя..... 88

3.4 Отражение плоской одномерной волны сжатия от свободной границы разномодульного упругого слоя....... 94

3.5 Отражение плоской одномерной волны разрежения от свободной границы разномодульного упругого слоя..... 100

3.6 Одномерные задачи об ударном сдвиге на границе полупространства в несжимаемой разномодульной среде ... 105

3.6.1 Одномерное сдвиговое ударное деформирование разномодульного упругого полупространства. Возникновение недеформированной области........ 106

3.6.2 Возникновение ударной волны при одномерном сдвиговом ударном деформировании разномодульного упругого полупространства............. 108

4. Возникновение сферических волн в упругой среде, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию 112

4.1 Возникновение сферического слоя постоянной плотности 112

4.2 Возникновение расходящихся волн............. 120

Заключение 124

Литература 126

Введение

Одной из основных целей современной механики деформирования является создание математических моделей, описывающих механические свойства реальных материалов. Экспериментальные исследования показывают [31, 59, 77,109], что зависимость между напряжениями и деформациями у многих природных и конструкционных материалов, подвергаемых динамическому воздействию, существенно отличается от линейной.

Монография Ф.Д. Мурнагана [151] является одной из первых работ, полностью посвященных нелинейной теории упругости. Более детальное изучение основ нелинейной теории упругости принадлежит Л.И. Седову [116-118], В.В. Новожилову [100], В. Прагеру [108], Д. Бленду [8,143-145], А.И. Лурье [84], P.C. Ривлину [152], С.К. Годунову [30], Д.Д. Ивлеву [54-56], Л.А. Толоконникову [121], М.А. Био [142], Г. Ка-удереру [58], И.И. Гольденбланту [32] и др.

В 60-70-х годах прошлого века появились работы Д. Бленда [8], Е.М. Черных [130-132], А.Д. Чернышева [135], Чжу-Бо-Те [146,147], Г.Ф. Филатова [51,124-126], посвященные изучению распространения ударных волн (поверхностей сильных разрывов) с учетом нелинейных эффектов. Д. Бленд рассмотрел на примере плоских волн в адиабатическом приближении условия существования ударных волн в упругой среде при линеаризации определяющей системы уравнений. Им проводилось изучение ударных волн в переменных Лагранжа, предполагая отсутствие предварительных деформаций. Также были рассмотрены продольные ударные волны со сферической симметрией. Д. Блендом исследовались цилиндрические продольные волны в случае изэнтропи-

ческого приближения в недеформированной среде [8]. Им была показана невозможность существования чисто поперечных ударных волн в случае плоских ударных волн в недеформированной упругой среде; указана возможность существования ударных волн круговой поляризации (на этой волне не меняется модуль сдвиговых деформаций). Чжу-Бо-Те исследовал особенности распространения ударных волн в несжимаемых упругих средах [146,147]. Он впервые получил замкнутую систему уравнений в разрывах, вычислил скорости распространения ударных волн в зависимости от предварительных деформаций, разрывов касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой резины им было получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Е.М. Черных [130-132] рассмотрел условия существования ударных волн в среде, подчиняющейся закону Гука, но допускающей большие деформации. Такая геометрически нелинейная модель получалась при замене в законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси, учитывая нелинейность в кинематических соотношениях. Позже для такой же модели Г.Ф. Филатовым [51,124-126] и А.Д. Чернышевым [135] были получены условия существования ударных волн с учетом предварительных деформаций, а также скорости распространения возможных типов ударных волн.

С начала 70-х годов XX века вследствие отказа от многих ограничений, в рамках которых проводились исследования новые значительные результаты были получены A.A. Бурениным и А.Д. Чернышевым [17,20]. Определяющие соотношения выбираются в более общей форме. Изучены условия существования продольных, квазипродольных

ударных волн, вычислены скорости их распространения, проведен термодинамический анализ необратимого процесса производства энтропии на ударной волне, вследствие которого для нелинейной упругой среды был получен аналог теоремы Цемплена (о существовании ударных волн сжатия в идеальном газе).

В 80-е годы значительные результаты в исследовании распространения плоских волн в деформированной упругой среде удалось получить А.Г. Куликовскому и Е.И. Свешниковой [63,67-70,114]. Ими было проведено замкнутое исследование условий существования и закономерностей распространения плоских ударных волн, изучены условия эволюционности разрывов на плоскости. Исследования проводились на основе девяти константной теории упругости в переменных Лагранжа. Э.В. Ленский [80-82] в своих исследованиях проделал подобную работу для упругой среды с упругим потенциалом, состоящим из двух слагаемых, каждое из которых зависело только от одного (первого или второго) инварианта тензора деформаций. Работы перечисленных авторов сделали изучение плоских ударных волн в нелинейно-упругих средах завершенной областью математической физики.

Следует отметить ряд работ других ученых [12,78,79], посвященные исследованию проблем распространения ударных волн в несжимаемых упругих средах.

Изучение процессов ударного деформирования в более сложных средах принадлежит А.Г. Куликовскому [64], Е.И. Свешниковой [115], X. Хану [128].

Среди нелинейных механических свойств особо следует отметить неодинаковый по модулю деформационный отклик материалов на при-

ложение различной по знаку нагрузки. Таким свойством, называемым разномодульностью, обладает множество микронеоднородных и микро-разрушенных сред [7, 85, 99, 112]. Различие в модуле Юнга при сжатии и растяжении стержня достигает для конструкционных сталей 5%, алюминия - 10%, чугуна - 20% и выше [31,59,77]. Особенно значительно это различие проявляется у природных и композитных материалов [24,33]. Эта особенность механических свойств, присущая материалам с микронеоднородностями и микронарушениями сплошности, приводит к возникновению специфических эффектов в процессах деформирования упругих сред, которые не отмечаются классическими теориями.

При деформировании микродефекты сплошности нарушают изотропию прочностных и деформационных свойств среды, что особенно характерно в окрестности свободного состояния (открытие и закрытие каверн и трещин, сингулярная нелинейность контактных свойств между фракциями гетерогенных и композитных материалов).

Влияние микронеоднородностей можно учесть на основе вычисления эффективных характеристик (эффективных упругих модулей, параметров повреждаемости и т.п.) прочностных свойств материалов, чему и посвящены работы отечественных ученых Т.Д. Шермергора [141], В.В. Дудукаленко и В.А. Минаева [50], A.B. Чигарева [136], В.В. Болотина и В.М. Москаленко [11], Г.Ф. Филатова [127]. Влияние микроразрушенности материалов пытались учесть путем вычисления эффективных прочностных параметров на основе предположений о геометрии разрушенности (ширины раскрытия трещин, контактных особенностей по берегам трещин, ориентации и распределения трещин в материале и др.) Капустянский С.М. [57], Руппенейт К.В. [110] и др.

В первых работах, посвященных непосредственно моделированию сред с сингулярным поведением в окрестностях свободного состояния [3-5,140,148], авторы в качестве основы использовали модель линейного упругого тела. Однако закон Гука изменяли таким образом, что упругим постоянным присваивались разные значения в зависимости от знака напряжений. Поскольку напряжение является тензорной характеристикой, то возникала неоднозначность выбора инвариантов напряжений, по знакам которых определяются значения упругих постоянных. Это привело к разнообразию обобщения классической теории на разно-модульный случай.

В моделях разносопротивляющейся упругой среды [28, 83,92-95, 106,120,123,129] полагалось наличие некоторой произвольной зависимости упругих постоянных от характера деформированного или напряженного состояний. В.М. Панферов [106] предложил считать модуль сдвига некоторой функцией отношения объемной деформации к интенсивности деформаций, а модуль всестороннего сжатия также некоторой произвольной функцией знака объемной деформации. Введенные в определяющие модельные соотношения функции предлагалось определять с помощью экспериментов. Ю.Н. Работнов и Е.В. Ломакин [83] рассматривали упругий потенциал зависящим от таких же произвольных функций. Наличие произвола в моделях, связанного с неопределенностью в выборе подобных функций, делали их свободными от неточностей предыдущих моделей. Однако для всех моделей необходима конкретизация постулируемых зависимостей по данным экспериментов.

A.A. Золочевский [52,53] предложил потенциал деформаций для разномодульной упругой среды, зависящий не от вида напряженного

состояния, реализуемого в теле при деформировании, а от некоторого эквивалентного. Модель включает в себя три постоянных материала и удовлетворяет требованию изотропии. К недостаткам модели следует отнести то обстоятельство, что она в одноосном случае при уменьшении разницы между упругими модулями при растяжении и сжатии не переходит в классическую модель изотропной упругой среды.

В работе [ИЗ] предложены конкретные модели для изотропных упругих сред с разными упругими постоянными при растяжении и сжатии. Механические свойства среды задаются выбранным видом упругого потенциала, в котором постоянные определяются знаком следа тензора напряжений и еще некоторого дополнительного параметра, связанного с видом напряженного состояния. Таким образом, модельными соотношениями можно воспользоваться при решении конкретных задач только в том случае, если имеется возможность определить необходимые дополнительные параметры вида напряженного состояния еще до решения задачи по каким-либо внешним признакам. Часто это сделать невозможно.

Существует еще целый ряд подходов к определению разномодуль-ных свойств материалов, например, с помощью реологических схем [112], путем особого разложения в ряд упругого потенциала среды [99] или использованием кусочно-линейных инвариантов напряжений [23].

В.П. Мясниковым в работе [96] для моделирования явления разного сопротивления материалов растяжению и сжатию было предложено выбрать в качестве упругого потенциала функцию, неаналитическую в окрестности свободного состояния, в которой первые два слагаемых в правой части выписанного соотношения определяют классическую

упругую среду, а последнее слагаемое является добавкой, связанной с микроразрушенностью материалов и определяющей их сопротивление при сжатии и растяжении. Особенности данной модели изучались позднее в работах [29,35,86-88,97,101]. В.П. Мясниковым и А.И. Олейниковым [98,102,103] было показано, что слагаемые типа последнего в такой зависимости получаются при разложении функции упругого потенциала в ряд относительно свободного состояния по сферическим функциям. Данная зависимость определяет изотропную упругую среду, обладающую разной реакцией на растяжение и сжатие. Построенную на основе этого соотношения систему уравнений в дальнейшем стали называть моделью Мясникова-Олейникова. А.И. Олейниковым проведена значительная работа [103] по разработке методик определения значений постоянных материала в такой зависимости по данным экспериментов. Получены значения таких постоянных для достаточно широкого класса природных материалов, экспериментальные данные по которым оказались доступными. Необходимо отметить, что предложенные методики доведены до пользовательских компьютерных программ, позволяющих вычислить постоянные материала по данным эталонных экспериментов.

Особое положение в обзоре работ по свойствам ударных волн в кусочно-линейных упругих средах занимают работы А.Г. Куликовского и Л.А. Пекуровской [65,66]. В данной работе впервые рассмотрены плоские ударные и простые волны в разномодульной упругой среде, изучены ограничения на возможные разрывы, следующие из условия их эволюционности и термодинамики.

Свойства системы уравнений, которые имеют особенность при нулевых значениях искомых функций, в разномодульной упругой среде

изучались В.П. Масловыим и П.П. Мосоловым в [90]. Построена общая теория решений данной системы уравнений, описывающих движение изотропной среды, имеющей различные упругие постоянные при одноосных напряженных состояниях. Изучались условия существования и закономерности распространения возможных одномерных разрывов производной градиента перемещений. В данном простейшем случае рассмотрены задачи о распаде разрыва, об отражении волны сжатия от свободной границы, о разрывах, приводящих к нарушению сплошности, о падении разреженной системы в поле силы тяжести на жесткое основание. Отметим, что в силу одномерности рассмотренных задач в [90,91] рассматриваются только продольные составляющие разрывов (продольные ударные волны). Наличие сингулярности поведения раз-номодульного материала в окрестности свободного состояния затрудняет исследование таких сред. Даже в случае, когда система модельных уравнений сводится к одному соотношению и искомая функция зависит только от одной пространственной переменной [90], решение задачи не сводится к задачам классической математической физики.

Высокоскоростные процессы изготовления и упрочнения изделий такие, как штамповка, ковка, пробивание точных отверстий в конструкционных элементах, сварка взрывом и другие проводится с ударным воздействием на материал. Решение краевых задач ударного деформирования связано, в первую очередь, с необходимостью определения волновых картин, распространяющихся по деформируемому материалу, особенностей взаимодействия волновых фронтов с преградами и между собой. В этом случае процессы распространения деформаций изменения формы и объема оказываются взаимозависимыми, а разрывы деформа-

ций комбинированными [8,22,51,67,71].

Когда основным интересом являются закономерности распространения по среде деформаций изменения формы, а изменение объема любого элемента деформируемого тела невозможно, то деформируемую среду полагают несжимаемой, что существенно упрощает анализ [12]. Идеализированная модель несжимаемой нелинейно-упругой среды достаточно хорошо описывает поведение ряда реальных материалов, например, каучукоподобные материалы. Проблема постановки и методы ре�