Конечные упругопластические деформации несжимаемой среды при всестороннем сжатии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РСФСР ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

На правах рукописи

Ковтанюк Лариса Валентиновна

УДК 539.3

ОДНОМЕРНЫЕ КОНЕЧНЫЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ ПРИ ВСЕСТОРОННЕМ СЖАТИИ

01.02.04-механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор А.А.Буренин

Владивосток 1998

Содержание

Введение..............................................................................................................4

Глава 1. Моделирование конечных упругопластических деформаций

1.1 Исходные кинематические зависимости..................................................14

1.2 Обратимые и необратимые деформации. Разделение деформаций на обратимые инеобратимые................................................21

1.3 Определение тензоров упругих и пластических

деформаций в области разгрузки...................................................................23

1.4 Определение тензоров упругих и пластических

деформаций в области активного деформирования.....................................28

1.5 Тензоры упругих и пластических деформаций, используемые в дальнейшем. Разделение полных

деформаций на упругие и пластические.......................................................30

1.6 Определяющие соотношения между напряжениями

и деформациями в области разгрузки..........................................................32

1.7 Связь между напряжениями и деформациями

в области активного деформирования.........................................................36

1.8 Связь между напряжениями и деформациями

в области упругого деформирования...........................................................38

1.9 Простейший вариант теории конечных

упругопластических деформаций..................................................................39

1.10 Определяющие соотношения для несжимаемой

упругопластической среды.............................................................................47

Глава 2. Пластическое течение несжимаемой упругопластической среды в окрестностях цилиндрической и сферической каверн

2.1 Уравнения неразрывности при конечных деформациях

среды в случаях цилиндрической и сферической симметрии....................50

2.2 Кинематика несжимаемой среды при цилиндрически

симметричном и сферически симметричном деформировании..................53

2.3 Выбор условия пластичности...................................................................56

2.4 Постановка граничных условий...............................................................59

2.5 Равновесие при конечных обратимых деформациях............................60

2.6 Пластическое течение в окрестностях цилиндрической и сферической каверн при равномерном увеличении

всестороннего сжатия......................................................................................72

Глава 3. Задачи разгрузки. Определение остаточных деформаций и остаточных напряжений

3.1 Равновесие при присутствии в среде необратимых

деформаций.......................................................................................................96

3.2 Вычисление деформаций в пластической области...............................103

3.3 Задача разгрузки.......................................................................................110

3.4 Вычисление остаточных деформаций....................................................114

3.5 Вычисление остаточных напряжений в области,

где пластические деформации не равны нулю............................................116

Заключение......................................................................................................130

Список литературы.........................................................................................133

Введение

Накопление необратимых деформаций в твердых телах связано с двумя взаимозависимыми необратимыми термодинамическими процессами, происходящими при их деформировании. Первый из них определяется зависимостью функции диссипации энергии от скорости протекания процесса и связывается с проявлением вязкостных свойств материалов [64,23,2]. Следствием этого оказываются явления ползучести и релаксации напряжений. Основу второго существенно необратимого процесса предопределяют внутренние структурные изменения в материалах, которые и вызывают рост необратимых деформаций. Такое свойство деформирующихся материалов называют пластичностью [67,17,72,18,21]. На особенностях математического моделирования последнего явления остановимся несколько подробнее, поскольку именно оно является предметом настоящего исследования.

В моделировании процессов интенсивного накопления необратимых деформаций, связанных с проявлением пластических свойств материалов, можно выделить два подхода. Первый из них называют деформационной теорией пластичности или теорией упругопластических процессов, второй- теорией пластического течения.

Основополагающие постулаты и гипотезы теории упругопластических процессов были сформулированы A.A. Ильюшиным [19-22], среди которых следует выделить постулат изотропии А.А.Ильюшина и гипотезу локальной определенности B.C. Ленского [43,44]. Данная теория положительно зарекомендовала себя в применении к многим прикладным расчетным проблемам, потому, несмотря на непрекращающуюся критику, имеет достаточно много сторонников и последователей. Хотя иногда данный подход называют теорией малых упругопластических деформаций, имеются попытки обобщения его на случай конечных деформаций

[68,5,58,56,70,118,119]. Особо следует отметить монографию А.А.Поздеева, П.В.Трусова и Ю.И.Няшина [57], которая является итогом объемного цикла исследований, посвященных теории больших необратимых деформаций при малых обратимых. В своей теоретической части данная монография обобщает теорию упругопластических процессов A.A. Ильюшина на случай, когда пластические деформации нельзя считать малыми. В рамках такого подхода дается постановка краевых задач термоуп-ругопластичности, а также методы их решения, представлены результаты решения ряда технологических задач. В основу расчетной методики положен метод Галеркина и соответствующие разрешающие конечноэлемент-ные соотношения.

Различным подходам в построении теории пластического течения материалов посвящена обширная литература. Сошлемся здесь лишь на популярные монографии [67,17,72,18,27,25,46,47,63,71,69,73,75,76,55,15] и некоторые оригинальные публикации [3,4,6,24,26,10,16], решающие проблемные вопросы теории.

Обобщение классических подходов теории идеальной упругопла-стичности (тело Прандтля-Рейса) с целью учесть конечные деформации наталкивается на две принципиальные трудности. Первая из них заключается в самом определении обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций. Что следует принять в качестве критерия разделения экспериментально наблюдаемых полных деформаций на обратимую и необратимую части? Поскольку общепризнанных критериев здесь не выработано, то это породило множество различных подходов. Каждый из многочисленных авторов, предлагая собственный способ определения обратимых и необратимых деформаций, критикует предшественников, но при этом часто дает не меньше поводов для критики предлагаемого.

Впервые попытка разрешить данную проблему была предпринята Л.И.Седовым [66]. Принималось, что как и в классической теории, тензор полных деформаций можно принять в виде суммы тензоров упругих и пластических деформаций. Вектор перемещений при этом полагался также аддитивно разложимым на упругую и пластическую части. На критике такого подхода останавливаться не будем, поскольку она хорошо известна и по объему в научной механической литературе, пожалуй, даже чрезмерна.

Большое влияние на развитие теории оказало предложение Ли [103] представить градиент полной деформации в виде произведения

дг§ др дг§ е р Здесь Го, г -радиусы-векторы начального и текущего положений точки деформируемой среды, р - радиус-вектор этой, же точки в состоянии разгрузки. Таким образом постулируется существование такого состояния, называемого состоянием разгрузки, которое однозначно связано с начальным или текущим состоянием среды и не зависит от процесса разгрузки. Определяется такое состояние с точностью до жесткого вращения, однако [35], при таком повороте могут нарушаться и принцип материальной индифферентности и принцип термодинамической допустимости. В частности, попытку Ли перенести этот прием на случай малой упругой анизотропии [105] следует в этом смысле признать неудачной.

Развитие идеи Ли содержится в статьях Кондаурова В.И. и Кукуджа-нова В.Н. [34] и Кондаурова В.И. [30]. В рамках построенной на такой основе модели конечных упругопластических деформаций изучались закономерности распространения волн напряжений [32,33] и предлагались способы расчетов в нестационарных задачах необратимого деформирова-

ния твердых тел [31,34]. Заслугой авторов данных статей является не только исправление неточностей в подходе Ли, но, что особенно существенно, конкретизация модельных зависимостей с целью расчетов конкретных краевых задач.

Подход, предложенный Ли, использовался в большинстве последующих работ [104,42,116,117,110,14,91,100,88,107,120,109]. Таким способом предпринимались попытки распространить кинематику Ли на анизотропные упругопластические материалы, учитывающие кристаллическую внутреннюю структуру их строения [100,88,107]. Заметим еще раз, что [35] перенос представления Ли для обратимых и необратимых деформаций на анизотропные среды является некорректным. Таким образом, данная ошибка Ли присуща и перечисленным работам последователей.

В работе Клифтона [86] полные деформации разделяются на упругие

и пластические на основе разложения, отличающегося от представления

Ли порядком сомножителей, то есть принимается, что

дт ~ ~ д?й "

Такое разделение опять же основано на гипотезе соответствия каждому актуальному деформированному состоянию единственного разгрузочного состояния. При этом промежуточные состояния в процессах разгрузки определяются не только этими двумя состояниями, что само по себе вносит неудобства, но и характером процесса разгрузки. Более того, как было показано в работе [112], в подходе Клифтона не удается образовать тензор необратимых деформаций таким, чтобы он не менялся в процессах разгрузки.

На подобное же обстоятельство, присущее кинематике Ли, обратили ранее внимание Грин и Нахди [92]. Однако, попытку исправления, пред-

принятую ими, также следует признать неудачной, поскольку в модели, ими построенной, теперь уже закон связи напряжений с обратимыми деформациями существенно зависит от пластических деформаций. Это не позволяет использовать соотношения модели для практических нужд, так как конкретизировать такой закон с помощью экспериментов не представляется возможным. Еще раз сошлемся на работу [112], где также как ранее Л.И.Седовым предложено разделить вектор перемещений на упругую и пластическую составляющие. Данное разделение оказалось не лучшим, поскольку введенные тензоры деформаций получились не инвариантными при жестких вращениях. Но ссылка на данную работу вызвана тем, что в ней было показано, что кинематика Грина и Нахди [92] опирается на тензоры деформаций, не выражающиеся однозначно через метрический тензор, что делает такую теорию сомнительной.

В работах [108,74] получены обобщения кинематики Ли на термоуп-ругопластические среды. В [113] на такие среды обобщается кинематика Грина и Нахди. Очевидно, что имеющиеся в таких подходах недостатки не могут быть устранены добавлением еще и температурных градиентов деформаций [108,74] и температурных деформаций [113].

Результаты исследований Киевской школы механиков [36-39,49,52] суммированы в монографии В.И.Левитаса [35]. Построенная В.И. Левита-сом кинематика конечных упругопластических деформаций свободна от многих неточностей предшественников, но основополагающей гипотезой ее построения, по-существу, остается положение Ли о существовании разгрузочного состояния. Поэтому необходимыми оказались дополнительные ограничения, освобождающие теорию от зависимости обратимых деформаций от необратимых в процессах разгрузки. На сегодняшний день [106] это, пожалуй, наиболее продвинутая теория, сведенная до приложений [53,51] с численными расчетами конкретных краевых задач [50,41]. При

этом следует подчеркнуть, что развивается не только теория течения, но и также как и Пермской школой [57] теория упругопластических процессов А.А.Ильюшина [35].

Второй называемой проблемой теории конечных упругопластических деформаций оказывается определение тензора скоростей пластических деформаций. Очевидно, что в классических теориях пластичности, когда деформации считаются малыми (тело Прандтля-Рейса), такой проблемы не существует. Обычный прием, используемый для связи тензоров пластических деформаций и скоростей пластических деформаций, связан с тем, что в качестве последнего принимается некоторая популярная объективная (ковариантная) производная по времени (Яумана, Олдройда, Кот-тера-Ривлина, Трусделла и др.) от тензора необратимых деформаций. Выбор такой производной неоднозначен и диктуется, по-существу, вкусом автора создаваемой теории. В Прагер считает, что для теории пластичности наиболее предпочтительной является производная Яумана [59-61]. В ряде работ предпочтение отдается производной Коттера-Ривлина, поскольку такое дифференцирование связывает тензор конечных деформаций Альманси с Эйлеровым тензором скоростей деформаций. В [1] для этой цели предлагается использовать другие кинематические конвективные производные, но они определяются неоднозначно. Р.Хилл считал [95,96], что данный выбор может быть произвольным. В более поздних работах [78,90,87,88] предлагается осуществлять выбор на основе экспериментальных данных.

В монографии В.И.Левитаса [35] и в последующей его публикации [106] данной проблеме уделено значительное место. Один из параграфов [35] так и называется: "Постановка и решение задачи выбора объективной производной". Заметим, что наряду с "решением задачи" оставлено и слово "выбор". Действительно, постулированное, также как и у Ли, наличие

разгрузочного состояния, которое позволяет разделить деформации на обратимые и необратимые с необходимостью приводит к данной проблеме, к проблеме "выбора". Поскольку для формулирования теории пластичности определение тензора скоростей необратимых деформаций необходимо, без такого "выбора" данного тензора не обойтись. Но если только строить кинематику, следуя гипотезе существования единственного соответствующего данному текущему состоянию разгрузочного состояния, то проблема "выбора" объективной производной с необходимостью возникает. С целью отказаться от данной неоднозначности выбора В.И.Левитасом введена в рассмотрение новая объективная производная, названная Я-производной. С помощью данной производной решена задача об обобщении определяющих соотношений в случае деформирования без конечных поворотов, на общий случай. Поэтому предложение В.И. Левитаса заключается в построении теории с исключенными вращениями при деформировании с последующим их строгим обобщением. Таким образом, докупаемая проблема неоднозначного выбора переносится из общетеоретических проблем в задачу конкретизации модели на уровне простых нагруже-ний. Известно, что такие задачи являются неполными, таким способом можно лишь "спрятать" проблему, а не разрешить. Впрочем, это признается в итоге и В.И.Левитасом.

В работе Г.И.Быковцева и А.В.Шитикова [11] впервые был предложен иной подход к построению кинематики, не использующий понятие промежуточной конфигурации. В этом случае определения обратимых и необратимых деформаций задаются дифференциальными зависимостями. В процессах разгрузки в построенной таким способом модели выделяется лишь то состояние, начиная с которого данные процессы осуществляются. Таким способом удалось добиться, чтобы любое состояние в процессах разгрузки не зависело от характера самого процесса, а определялось толь-

ко параметрами его начала. В настоящей работе используется данная идея с конкретизацией определяющих соотношений. Отметим статью А.В.Шитикова [77], где этот же подход развивается с использованием термодинамики и на основе сформулированного вариационного принципа.

На основе положений неравновесной термодинамики, а процесс пластического деформирования является существенно неравновесным, в работе В.П.Мясникова [48] предложены определяющие соотношения класса деформируемых материалов, допускающих необратимые деформации. Понятия тензоров обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций вводятся также дифференциальными зависимостями посредством построенных соответствующим образом уравнений их изменения (переноса). Тензор полных деформаций принимается в виде суммы данных тензоров, характеризующих внутреннюю структуру среды и являющихся основными наряду с энтропией внутренними термодинамическими параметрами. Таким образом, еще раз подчеркнуто, что способ разбиения деформаций на обратимую и необратимую части не принципиален для построения модели, дальнейшая конкретизация связана только с удобствами математического описания. В данной работе отличие упругих деформаций от пластических связано то�