Численно-аналитические исследования распространения возмущений в средах с усложненными свойствами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

»• • г

•Т.ч.! ^ •

МОСКОВСКИЙ ИНСШ1УТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ

На правах рукописи

ВЕСТЯК Владимир Анатольевич

• ЧИСЖШО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СРЕДАХ С УСЖШШНШИ СВОЙСТВАМИ (01.02.04. - Механика деформируемого твёрдого тела)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена на кафедре "Математическое моделирование физико-механических систем" Московского института электронного машиностроения.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ефимов А.Б.

Официальные оппоненты: Доктор технических наук,

профессор Корнеев А.И.

Кандидат физико-математических наук Богомолов В.Г.

Ведущая организация: Институт прикладной математики и механики АН Украины (г. Львов).

Защита состоится " /3 " (ре^ч-ЛЯ, 1992 г. в_час.

на заседания Специализированного совета Д 063.68.01 Московского института электронного машиностроения по адресу: 109028, Москва, Б.Вузовский пер. 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЫИЭЫ.

Автореферат разослан " " _ 1992- г.

Ученый секретарь Специализированного совета к.ф.м.н.

В.Ы.Яганов

'.ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ . '

••Актуальноегь проблемы: В современных исследованиях по ме-.ханике деформируемого твёрдого тела уделяется большое внимание •изучению распространения волн в средах, с такими усложнёнными свойствами, как неоднородность, анизотропия, нелинейность процесса деформирования, необратимость объёмных деформаций, дила-тансия, разупрочнение и другие. Подобные материалы широко применяются в судостроении, криогенном и ядерном машиностроении, ракето строении и других областях техники. К этим материалам прежде всего относятся- композиты, широко используемые в качестве элементов конструкций различного назначения. Помимо конструкционных материалов указанными свойствами обладают многие природные среда, в частности, нескальные грунты. Поэтому изучение деформирования и разрушения сред с усложнёнными свойствами при динамических нагружениях актуально и при расчётах различных конструкций, и в задачах сейсмологии.

Наиболее полно' в настоящее время исследованы статические процессы, происходящие в средах с усложнёнными свойствами. Шесте с тем многие практические задачи диктуют необходимость учения эффектов нестационарностп.

Экспериментальные подходы применяемые к'такого рода задачам не всегда эффективны и сопряжены с большими материально -трудовыми затратами. Теоретический анализ также затруднён боль- ■ шим многообразием свойств сред. Поэтому возникает нёобходимость математического моделирования распространения волн в средах с усложнёнными свойствами.

Конкретным объектом исследования в диссертации являются нестационарные задачи о распространении возмущений в упругих

средах с криволинейной анизотропна!!, а так же с упругоготсти-ческих изотропных средах с эффектами разупрочнения, необратимости объёмных деформаций и дилатансии:

Цели работы.:

1) Провести анализ поведения, упругопластических сред с усложненным свойством при различного рода динамических нагрузках.

Особое внимание уделить описанию разупрочнения и необратимой объемной деформации. Исследовать динамическое поведение однородных и слоистых преград.

2) Разработать численную методику и пакет прикладных программ, позволяющую дать полную информацию о напряженно-деформируемом состоянии слоистых сред с усложненными свойствами.

3) Разработать методику исследования нестационарных колебаний оред с криволинейной анизотропией. Выявить классы криволинейно анизотропных сред, для которых возможны двумерные постановки, а также применение метода неполного разделения переменных.

4) Произвести исследование процесса распространения возмущений в цилиндрически и сферически трансворсально-изотропных средах от расположенных в них полостей.

Метод исследования состоит в аналитическом и численном моделировании на ЭВМ процесса распространения волн в средах со сложными свойствами, и использовании дискретных аналогов уравнений двикения с учётом определяющих соотношений.

Научно-практическая значимость.

В работе получена наобходимая как в практическом, так и в теоретическом плана информация о некоторых физических закономерностях напряжённо-деформированного состояния сред с усложнёнными свойствами.

Полученные результаты могут быть использованы при расче-

гах конструкций, работающих в условиях нестационарного нагру-жения. Предложенные в работе алгоритмы могут быть обобщены на задачи более высокой размерности.

Предложенный в диссертации подход к описанию процессов деформирования сред' позволяет существенно сократить материальные затраты на дорогостоящие лабораторные и натурные экспериментальные исследования. . "

Разработанный программный комплекс использован при решении ряда практических задач, в частности по теме "Бастион-216" в ШО "Ритм", по теме "Математическое моделирование динамических и импульсных процессов в структурно-неоднородных и композиционных материалах и изделиях", J5 Гос. регистрации 01870018768. Научная новизна. ... •

Произведён широкий сравнительный анализ динамических эффектов, возникающих в твердых слоистых телах под действием продольного и продольно-сдвигового нагруженяя. Впервые получены численные решения и дал анализ задач о продольном и продольно-сдвиговом динамическом натружении слоя в рамках единой модели, позволяющей учесть и описать необратимые объёмные деформации, дилатансию, разупрочнение.

Выявлены классы анизотропии упругих сред, для которых возможна двумерная постановка задачи в криволинейном случае и допустимо применение метода разделения переменных. Решены новые задачи о распространении волн от полости в анизотропной.среде.

Достоверность результатов работы обоснована применением классических уравнений теории упругости а пластичности, использованием апробированных математических методов, а также сравнением результатов с решениями, полученными ранее другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на выездной сессии Межведомственного научного совета по трибологии при АН СССР "Проблемы контактного взаимодействия трения и износа" (Ростов-на-Дону 1990 г.), на Всероссийской научной конференции: "Математическое моделирование пластических процессов обработки материалов давлением". (Пермь 1990 г.), на 9 около-семинаре по механике сплошной среды (Пермь 1991), 12 Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Тверь, 1991), на научных семинарах кафедры Математического моделирования физико-механических систем Московского института электронного машиностроения (Москва,I989-I991), на семинарах кафедры теории упругости МГУ.

Публикации. По материалам выполненных исследований опубликовано 5 работ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 140 наименований, изложенных на I страницах ыашшописного текста, в том числе 4 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика проблем распространения воля в сплошных .средах с усложненными свойствами. Дан обзор публикаций, связанных с темой исследования. Указано место приведенных в работе исследований в теории распространения возмущений в средах с усложнёнными свойствами. Приведено краткое содержание работы по главам, показана актуальность те.'.tu.

В первой главе рассматриваются нестационарные задачи о распространении от полости возмущений в средах с упругими свой-

ствами, обладающими криволинейной анизотропией (цилиндрической или сферической).

Для постановки задач используются уравнения движения од' нородной сплошной среды и линейная связь тензора полных деформаций с перемещенными в сферической 1! цилиндрической системах координат. Закон Гука в 'безразмерном виде, например, в случае сферической анизотропии записывается в матричном виде:

Е=а-б , ¿ь = Сйу)6ле / а1у * а/£, ^ £ " (¿м, ¿е&} ¿я» ^'т/У _

где и - физические компоненты тензоров напряжений

и деформаций, О.у - упругие постоянные среды.

В работе показано, что указанные типы движения упругой среды возможны лишь в специальных случаях упругой симметрии.

В общем пространственном случае построить решение задачи как для1 сферической полосгл так и для цилиндрической полости достаточно сложно. В гоже время представляют интерес двумерные задачи: об осесимметричных колебаниях при наличии сферической полости и плоская задача в случав цилиндрической полости. А именно плоская задача для цилиндрически анизотропной упругой среды имеет место только в том случае, если на упругие постоянные наложены следующие условия:

в случае осесимметричной задачи в сферических координатах показано, что должны обращаться в нуль следующие упругие постоянные:

Этому условию удовлетворяет, например, сферически оргот-ропная среда.

Исследования возможности использования метода неполного разделения переменных для сферической анизотропии привели к следующему результату: отделение угла (разложение решения по полиномам Лекандра и Гегенбауэра) возможно только для сферически трансзерсально-изотропной среды. Для цилиндрической анизотропии доказано, что представление решения плоской задачи в в;;де рядов '1'урье по экспонентам возможно в случае произвольной анизотропной среды, для которой выполняются соотношения (2).

далее рассматриваются только анизотропные упругие среды, обладающие симметрией, достаточной для соответствющих двумерных задач л для использования метода неполного разделения пере-коннкх. Предполагается, что на границе сферической или круговое! цилиндрической полости единичного радиуса /? радиальные воз-куцекня распределены равномерно, а их касательные составляющие отсутствуют. Это соответствует следующим граничным условиям:

- заданы перемещения

- заданы напряжения

где х 51 ~ 1>ЗДпальнал и тангенциальная компоненты вектора перемещения, (Г~ - безразмерное гремя.

13 начальный момент времен;: Т = О упругая среда находится в невозмуценном состоянии:

где точкой обозначено дифференцирование по времени ТГ .

Показано, что для сферически трансверсально-пзотропной среды дополнение условия (4)-(6) соответствуют радиальным колебания»

% = И± = ги - <5^ (Д,т),

- - бее СМ , ил - бкв ^ (?)

Радиальные колебания среды в случае цилиндрической анизотропии возможны только при выполнении некоторых дополнительных к (2) условий, которым удовлетворяет, например, цилиндрически ортотропная среда. В этом варианте имеем:

-^¿ад, ^=^ ¿ад, ^ -б^^б^о

Постановка одномерных задач о распространении сферических или цилиндрических волн от полости имеет следующий вид: Ъи _ о 2у

за2- /? э/г ^ я* ' о)

или

= У-оСТ), (II)

Здесь - безразмерный параметр, обратный скорости распространения волн. Параметры <£ , и ^зависят от типа голос га:

- сферическая полость:

- цилиндрическая полость

4 -4 - (13)

Для решения начально-краевых задач (9), (10) или (9), (II) ^пользуется преобразование Лапласа по времени "2" ( 5 - пара-гатр преобразования, знаком £ указывает на трансформанту).'

Ограниченное на бесконечности решение уравнения (9) в про-¡транстве преобразований может быть записано так:

т^си.ъ) -/65;. к1 , (14)

Здесь - произвольная функция, ^В-) -функ-

ция Макдональда индекса у) . Для сферической полости И/Ш а для цилиндрической V- Ы . V ^ ^ . Долее приведем результаты для случая сферической полости, имея в виду, что для цилиндрической полости решение имеет аналогичны; вид.

Санкция ^ в (14) определяется с помощью граничных ус ловкй (10) или (II). Изображения перемещений соответственно име

юг следу;хи;; вяд: у

Ж, з) = «¿х ^ С5)

и*(Л=и,£С*) . ' (16)

ку. с

гдео^уЗ^- некоторые константы.

Так как функции Г.аздон&пьда полуцелого индекса являются оло.*.:енгаркь':.п:, то при ^ ~ ¿Г может быть получен

точное решение задач (9)-(П). Например, при ^ . радиальное напряжения определяются так:

- [№-1) е*/ Ст-Я*х) ■ -1Т- (1?)

- ^/ ] • Н Ст-М),

В первой глазе рассматривается решение задач (З)-(П) в случае произвольного индекса ^, С использованием известных теорем операционного исчисления соотеетствуюсие начально-краевые зада1 сб еде ни к интегральным уравнениям: - граничные условия (II) '

т

о 'Уг^Г 3 ¿г (18) / сс+г '

- граничные условия (10)

-- ЛС*), = С^а^х^-аУ

Уравнения (18), (19) решались численно с использованием специальных квадратурных формул, учитыващих интегрируемые я неинтегрируемые особенности ядер.

Во втотхзй главе рассмотрены задачи распространения возмущений в слоистой среде со свойством разупрочнения и однородной пластине конечной толщины, обладающей свойствами необратимости -объёмных деформаций и дялатансии.

Приводятся основные определяющие соотношения теории пластичности в пространстве деформаций, а также полная система уравнений, для одномерной задачи распространения волн в упругопласти-ческом упроснящемся пли разупрочнящемся слое.

В определяызие соотношения входят:

см)

г-t

дх.

д*-

AyB,D -»ммин, замоящю от

(Sx, , S'y , - компоненты тензора напряжений, - мо-

дуль объёмного расширения, G> - модуль сдвига, 1Î - составляющая вектора скорости частиц среды вдоль оси ûx , 1Г~ - составляющая вектора скорости частиц среды вдоль оси Оу. (см. рис. I), Ex. » ~ компоненты тензора пластических деформаций.

V

U.

-*-сс

' . Рис. I

Функция упрочнения имеет следующий вид:

Не -га + £*'+26*

С

С - задаёт характер упрочнения - разупрочнения в виде:

О =- Со — 12_ Положительным значениям оС соответствует разупрочнение,

отрицательным - упрочнение, при оС- О имеет место идеальная

пластичность.

Расчёты в данной задаче производились для модельного мате-

риала, прочностные характеристики которого соответствуют дюралюминию:

Со = 3,694-jó"3, E=Q,G9S, 0,3Z

Предполагалось, что пластина находится в ненапряжённом состоя- . нии, что соответствует нулевым начальным условиям. Граничные условия задаются в одном из следующих видов:

1. со,±)~<эх: б: v^

б^а,*)- teto),

2. u(o,t)=7¿°Ct)} vio, t) -2Г

На рисунках 2 и 3 приведены графики распространения продольной ступеньки напряжений в трёхслойной пластине для 1-го слоя которой 5 . или 15 для 2-го слоя </. я 10, для 3-го слоя = 15, или 5 соответственно. Полагалось = 0,015.

§ 4 второй главы посвящен изучению вопроса распространения возмущений в слое с необратимыми объёмными деформациями и дилатансией. Математическая постановка задачи в- этом случае имеет следующий вид:

L _ Г)

Эос ■ f ЭХ- >

д ТГ i Эбуси п

ЭХ- ~Т

дб

4 -6») j2-¿ ж

зз= J J ах-

Г ¡у ТГ -бу) 1 31г

Остальные уравнения (22) аналогичны третьему уравнению, где влияние параметров упрочнения учитывается функциям!

4 Си, Ъ") . Хо(и ,тг) . !У1 ~ МСй} 7Г)

Причём: Су _ У? е ?

3 л ¿«г ¿не

Константы и я ^ входят в условие предельного состояния Ыизеса-Шлейхера-Богкина:

Для рассматриваемого суглинистого грунт» оС ж ^ равны ш 0.73 Я » 0,12 ил», З.у (-ву ) , где

я бу' - коюоневтн девиаторов тензоров полных я пластических деформаций соответственно.

Т.о. поотроеняе моде ля пластическяе упжотнящейоя среди овехооь к опраделвкяю функций <2, , ¿Со я Ю- , которые ямевт вяд: п - &*'32 Н.62 V +Р. пп

466 1£гг*-+ ¿г +о4о УЗГ ' т = - €п£ /-6ц. (о, ? • А? 17,16 У- \

ТГ^Пг/^ (24)

Очевядно пря условяя отсутствия пластического уплотнения -^£^)уравявняя (22) переходят в уравненяя (20).

I Функция упрочненяя определяется яа соотноаеняя:

К, -ле г'Ае .

где - производная по переценной р » (¿(0-£>Р) •

О я - первые янмшяаяты тензоров полных я пластичных дефорыащй соответственно.

В качестве примера рассмотрам распоотраненяв волны надряхе н<1 (ряс.4) ■ объемной деформация пря чястоо сдмге грунтово-

о °о

го слоя ступенькой налряханий: = 0,00035, о*,, = -0,00035.

В данном случав, ввяду полохятельностя величины ыохно сделать вывод о разрыхлении материала пря чистом сдвиге (ряо.5). В заключения оформулярованы основные результаты диссертация: I. Дана методика исследования нестационарных задач для упругих сред о криволинейной анизотропией. Для сферически я цилиндрически анизотропных сред выявлены классы симметряя.допускаю-

щие двумерные (осесимметричную или плоскую) постанови!, а также применение метода неполного разделения переменных. Обнаружено существенное отличие сред с этими двумя типами симметрии.

2. Построено решение задач о радиальных колебаниях сферически или цилиндрически трансверсально-изотропных упругих пространств со сферической или цилиндрической полостью. В обоих случаях задача сведена к интегральному уравнению Волмерра. Предложен численный алгоритм его решения. Проведено параметрическое исследование задач. Показано, что для специального соотношения упругих констант решение может быть построено точно. /

3. Приведены определяющие соотношения упругопластического поведения сред в пространстве деформаций, позволяющие в рамках единой теории описывать ряд сложных свойств материалов: разупрочнение, необратимые объёмные деформации,- дилатансию и т.д. С учётом этого рассмотрена полная система уравнений, характеризующая

динамическое поведение сред с указанными вше особенностями де-

/

формационного поведения. ' —

4. Исследованы одномерные динамические задачи нагружения ■ платины с усложнёнными свойствами. Использовались модели упруто-плстической среды с разупроснением и необратимой объёмной деформацией. Рассмотрены однородные и слоистые преграды. Проведён численный анализ для различных динамических нагружений. Обнаружен ряд механических эффектов. Вчастности рост пластичных деформаций с увеличением интенсивности разупрочнения, наличие необратимых объёмных деформаций при сдвиговых нагружениях и т.д.

5. Указанная модель и разработанная с помощью неё программа нашла практическое применение при решении ряда важных задач, в частности по теме "Басгион-216", проводимой в НПО "Ритм".

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Распространение возмущений от сферической полости в трансверсально-изотропной среде., Мосе. инст-т электрон, машиностр. - M., 1991. - II с. -Деп. в ВИНШИ, 688-891.

2. Майборода В.П., Ефимов А.Б., Зуев В.В., Вестяк A.B. Разрушение при соударении деформируемых тел - проблемы моделирования. //Пробл. конт. взаиыод. трения и износа. Тез. докл. выезд, свс., Ростов-на-Дону, 19-21 ишя 1990 г. /ЪЛенвед. научн. совет по трибологии при АН СССР, ГКНТ СССР и союзе НИО СССР и др. - Ростов н/Д, 1990. - о. 72.

3. Майборода В.П., ВДимов А.Б., Зуев В.В., Вестяк В.А. Динамическое деформирование и разрушение в процессах обработки материалов. //Тез. Всерос. науч. конф.: "Математическое моделирование пластических процессов обработки материалов давлением". Перл, 1990 г.

4. Вестяк В.А., Гусов -A.B., Зуев В.В. Продольно-сдвиговое динамическое нагружение материалов с разупрочнением. // Тез. 9 школы по мех. сплош. среды. Пермь, 1991 г.

5. Щимов А.Б., Зуев В.В., Майборода В.П., Гусев A.B., Вестяк В.А Динамическое нагруаеняе упругопластических сред с усложненными свойствами. //Тез. 12 Всесоюзной конференции по численным методом решения задач теории упругости к пластичности

(г. ТЪерь, 29 мая - 2 июня 1991 г.)

Подписано х печати 27.13.91 Загс.483 Объёц 1п.л. Тир. 100

Î.GI3M, Москва, М. Пионерская ул.,13