Методы волновой динамики в задачах гашения колебаний упругих элементов машин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

РГб од

2 7 ОКТ 1998

На правах рукописи

Милосердова Ирина Валентиновна

МЕТОДЫ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ В ЗАДАЧАХ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН

Специальность 01.02.06 -Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород 1998

Работа выполнена в Нижегородском государственном техническом университете и Нижегородском филиале института машиноведения РАН им. А.А.Благонравова.

Научные консультанты:

доктор физико-математических наук, профессор А.И.Весницкий доктор физико-математических наук А.И.Потапов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Р.Ф.Нагаев

доктор физико-математических наук, профессор М.И.Киселев

доктор технических наук, профессор Л.В. Смирнов

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН

Защита состоится ас. на

,оо

заседании диссертационного совета Д.063.77.05 при Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского по адресу: 603600, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета

Автореферат разослан " I " ОКГПЛ^Я 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.т.н., доцент. /1 Б.В.Трухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке и теоретическому обоснованию методов гашения колебаний упругих элементов машин, базирующихся на использовании эффекта согласования потоков волновой энергии.

Актуальность проблемы продиктована необходимостью поиска эффективных средств и методов понижения уровня колебаний и динамических нагрузок в элементах машин и конструкций. Задача борьбы с вибрациями возникает в различных областях техники и ее решение является одной из сторон повышения надежности и долговечности машин, уменьшения их вредного влияния на окружающую среду и человека.

Любую машинную конструкцию можно рассматривать как колебательную систему, состоящую из стержней, балок и оболочек, в которой всегда имеются источники колебаний (двигатель, неточно выполненные детали и т. п.). От источников колебаний возмущения распространяются по конструкции машины, отражаясь на стыках, неоднородностях, и, таким образом, создавая вибрации, спектр которых расширяется из-за наличия в системе нелинейных элементов.

По мере возрастания скоростей работы машин при анализе и прогнозировании их динамического поведения все чаще оказывается необходимым учитывать, что отдельные элементы машин ведут себя как распределенные системы, в которых колебания носят волновой характер. По этой причине приходится прибегать к методам теории волн, адекватно описывающим происходящие в таких системах динамические процессы. Эти методы позволяют увидеть, что распространенной причиной повышения динамических нагрузок в упругих элементах является многократное переотражение волн на неоднородностях, приводящее к возникновению локальных резонансов и концентрации энергии колебаний на отдельных участках системы. Задачу о снижении уровня колебаний во многом удается решить, используя идею согласованного (безотражательного) прохождения потоков волновой энергии по конструкции от источников колебаний к абсолютно поглощающим демпферам.

Состояние вопроса. Проблеме борьбы с вибрациями машин и конструкций посвящены многочисленные исследования, отраженные в большом количестве публикаций. Наиболее универсальные подходы и общие принципы виброзащиты достаточно полно отражены в известном справочнике "Вибрации в технике", т.6. Защита от вибрации и ударов. Под ред. К.В. Фролова, М.: Машиностроение, 1981.

Как известно, эффективность методов и успех решения проблемы существенно опирается на специфику объекта виброзащиты и происходящих в нем динамических процессов. Для систем, которые необходимо рассматривать как распределенные или многочастотные, задача понижения уровня колебаний при подходе к ее решению традиционными методами сталкивается с особыми трудностями. Так, например, если спектр возмущающего воздействия охватывает большое количество резонансных частот защищаемой системы, то конструирование и расчет динамических гасителей весьма затруднителен и фактически требует создания многомассовой конструкции, не менее сложной, чем объект виброзащиты. При этом возникает далеко не простая задача отыскания параметров гасителей, их числа и мест установки в системе. Как правило, такие гасители используются для достижения локального эффекта, то есть подавления колебаний лишь в местах установки гасителей, в то время как в других точках системы вибрационное состояние может даже ухудшиться.

До последнего времени при расчетах динамических гасителей, а также теоретическом обосновании, способов виброзащиты распределенных упругих систем применялся математический аппарат теорий колебаний сосредоточенных систем, основные идеи которого были сформулированы . еще в классических работах Л.И.Мандельштама, А.А.Андронова, А.А.Витта, Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова и еще ранее в математических трудах А.Пуанкаре и

A.М.Ляпунова. Для этого исходная континуальная система сводилась к конечномерной дискретной системе, которая затем анализировалась с помощью асимптотических методов теории колебаний или численно. Благодаря своим довольно универсальным возможностям такой "колебательный" подход удовлетворяет многие практические потребности и наиболее эффективным является при изучении одно-или двухчастотных колебаний. Значительный вклад в это направление внесли работы Алексеева A.M., Бабицкого В.И., Брока (J.E. Brock), Вейца В.Л., Вибы Я.А., Вульфсона И.И., Ден-Гартога (J.P. Den Hartog), Диментберга Ф.М., Коловского М.З., Нагаева Р.Ф., Пальмова В.А., Пановко Я.Г., Писаренко Г.С., Рагульскиса K.M.. Сборовского А.К., Синева A.B., Сноудона (J.C. Snowdon), Терских

B.П., Тимошенко С.П., Фролова К.В., Фурмана Ф.А. и др.

Однако, и протяженных упругих системах динамические процессы носят волновой характер, поэтому проблема создания •>ффекти1шых методов гашения колебаний упругих элементов машин требует для своего решения углубленной разработки физических и математических основ теории колебаний распределенных систем, а именно, выявления достаточно полного набора качественных особенностей их поведения и определения математических подходов, учитывающих эти особенности.

Применительно к конструкциям машин исследования отражения волн развивались, главным образом, в связи с проблемой виброизоляции, осуществляющей условия "нераспространения" волны на некотором участке системы. Здесь следует отметить работы Артоболевского И.И., Бобровницкого К).И., Бреховскнх Ü.M., Генкина М.Д., Исаковича М.А., Клюкина И.И., Маслова В.П., Никифорова A.C.. Римского-Корсакова. A.B. Тартаковского Б.Д. и др. Результаты этих исследований хорошо зарекомендовали себя и активно применяются, например, для борьбы с вибрациями и шумами на судах. Теоретические основы волновых методов виброизоляции машин изложены в монографии И.И.Артоболевского, Ю.И.Бобровницкого, М.Д.Генкина "Введение в акустическую динамику маши и". М.. Наука, 1979. Основное внимание в ней уделяется исследованию дисперсионных свойств элементов машин и конструкций и анализу потоков колебательной энергии в различных структурах.

Понижение уровня колебаний в системе может быть, обеспечено путем согласования импедансов всех элементов конструкции и устранения отраженных волн. Этого можно достичь, например, путем присоединения к системе концевых безотражательных гасителей и введения в местах соединения участков с отличающимися параметрами безотражательных соединительных элементов. Принцип согласования импедансов хорошо изучен в электродинамике и акустике в основном применительно к простейшим системам, описываемым волновым уравнением. Результаты этих исследований получены, главным образом, для безграничных сред и, вообще говоря, неприменимы для анализа динамики упругих систем, так как для последних принципиально важен учет конечности их размеров. Кроме того, упругие элементы машин обладают своеобразными дисперсионными и нелинейными свойствами и описываются уравнениями в частных производных четвертого, шестого порядков и выше. Волновые эффекты в таких системах имеют специфические особенности и требуют углубленного изучения с целью их правильною учета.

Интерес автора к теоретическому исследованию согласования как способа виброгашения был стимулирован экспериментальными

работами, проводимыми в Московском государственном техническом университете имени Н.Э.Баумана (В.М.Зябликов, В.Ф.Смирнов) и в лаборатории вездеходных машин Нижегородского государственного технического университета (В.А.Антонец). В этих работах на практике показана эффективность согласования импедансов с целью понижения колебаний крутильных систем трансмиссий и гусеничных цепей. Как правило, эксперименты не имели соответствующего теоретического обоснования, однако, что для проектирования машин и механизмов с минимальным уровнем колебаний такое обоснование необходимо.

Цель и задачи диссертации :

— обоснование эффективности методов теории волн для решения задач динамики дискретно-континуальных линейных и нелинейных упругих систем;

— разработка методов виброгашения, основанных на использовании эффекта согласования потоков волновой энергии;

— разработка рекомендаций по расчету параметров безотражательных концевых демпфирующих устройств и безотражательных соединительных элементов.

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит с одной стороны, в разработке ряда вопросов теории волновых процессов в дискретно-континуальных упругих системах, а с другой, в теоретическом обосновании идеи согласования потоков волновой энергии в приложениях к проблеме гашения колебаний упругих элементов машин. Построенная теория открывает возможности для создания новых методов и средств снижения уровня колебаний и динамических нагрузок в упругих элементах машин и механизмов.

Научная и практическая ценность работы.

Разработка волновой концепции позволяет по-новому взглянуть на решение не только проблемы виброгашения, но и ряда других актуальных задач, что продемонстрировано в диссертации на конкретных примерах. Полученные в диссертации результаты могут быть .использованы для оценки и расчета крутильных колебаний высокоскоростных валов. Они позволяют также рассчитывать колебания стержневых элементов мощных ультразвуковых и виброударных установок с учетом нелинейных эффектов в зоне контакта. Полученные теоретические результаты могут найти

применение 11 акустодиагностике твердых тел для разработки новых методов определения нелинейных констант материала.

Результаты исследований, выполненных по теме диссертации, вошли в курсы лекций, читаемых в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского и Нижегородском государственном техническом университете по дисциплинам "Теория колебаний", "Волновые процессы в механических системах", "Волновая динамика машин", "Теория конструирования автомобиля", а также нашли отражение в трех методических пособиях автора.

Работа выполнялась в соответствии с научно-техническими программами Отделения проблем машиностроения, механики и процессов управления РАН по темам: "Разработка теории согласования потоков вибраций в конструкциях машин с целыо минимизации виброактивности" (1992-1993г.г.), "Изучение волновых эффектов в упругих системах в приложении к проблемам скоростного транспорта" (1997-по н.в.), а также по планам Нижегородского учебно-научного центра "Физические технологии в машиностроении" в рамках Федеральной целевой программы "Интеграция" (1997-2000г.г.). Кроме того, работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований 94-01-01416 и 96-01-00680.

Достоверность результатов теоретических исследований обеспечивается точными решениями соответствующих краевых задач, описывающих динамические процессы упругих систем. Все приближенные решения получены асимптотическими методами, хорошо зарекомендовавшими себя в нелинейной механике и теории волн. Используемые в диссертации модели и расчетные схемы технических конструкций апробированы в многочисленных прикладных исследованиях и в настоящее время являются общепринятыми в научной литературе по динамике машин. Выполненные теоретические расчеты безотражательных концевых демпфирующих устройств и соединительных элементов для крутильных систем трансмиссий согласуются с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся следующие положения :

обоснование способа понижения уровня колебаний в упругих распределенных и многочастотных (дискретных) системах путем установки безотражательных концевых демпфирующих устройств и безотражательпы.ч соединительных элементов;

— обоснование способа согласования потоков волновой энергии в стержнях с помощью вносимых в систему дополнительных подстроенных элементов;

— использование с целью согласования в широкой полосе частот распределенных (протяженных) торцевых гасителей;

— аналитические методы исследования колебаний импульсной формы в упругих нелинейных системах и линейных системах с нестационарными граничными закреплениями.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались

• на симпозиумах "Динамика виброударных систем" (Москва, 1981, 1998),

• на научно-технической конференции "Повышение эффективности проектирования, эксплуатации автомобилей и строительно-дорожных машин" (Горький, 1988);

• на Всесоюзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, 1989);

• на Всесоюзном совещании - семинаре "Инженерно - физические проблемы новой техники" (Москва, 1990. 1992, 1994, 1996, 1998);

• на XI Всесоюзной акустической конференции (Москва, 1991);

• на научно-технической конференции "Эксплуатационная и конструктивная прочность судовых конструкций" (Нижний Новгород, 1991);

• на Международном научном коллоквиуме по волновым процессам в машинах и конструкциях "Е1ЖОМЕСН - 295" (Нижний Новгород, 1992);

• на Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1993. 1996):

• на Международном симпозиуме по колебаниям в физических системах (Познань, Польша, 1994);

• на Международной конференции "Механика твердого тела" (Генуя, Италия, 1994);

• на Международном семинаре "Волны в механических системах" (Каунас. 1994);

• на Всероссийским научном семинаре "Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин" (Санкт-Петербург, 1993);

• на.Международной научно-технической конференции "Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники" (Москва-Егорьевск, 1995, 1997);

• на научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии" (Курск, 1995. 1997);

х

• на XXIII и XXIV школах-семинарах "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт-Петербург, 1996, 1997);

• на IV Международной конференции по проблемам железнодорожного транспорта (Югославия, 1997);

• на II Международной конференции по методам управления в машиностроении (Лион, Франция, 1997);

а также семинарах Института проблем механики РАН, Института машиноведения РАН, Института проблем машиноведения РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 53 работы. Основные результаты изложены в работах [1-32].

И.В. Милосердовой на основе сформулированных ею краевых задач получены все основные теоретические результаты, выносимые на защиту. В совместных работах А.И.Весницкий выступал как научный консультант, участвующий в обсуждении результатов, А.И.Потапову принадлежат постановки нелинейных задач, соавторами Н.Д.Романовым, В.М.Зябликовым и В.Ф.Смирновым выполнены сопоставления проведенных ими экспериментальных исследований с теоретическими расчетами.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав и заключения. Общий объем составляет 300 страниц; включая 240 стр. основного текста, 55 рисунков, 5 таблиц, и 16 стр. библиографии, содержащей 179 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель исследований, обосновывается их актуальность, дается общая характеристика работы.

В первой главе излагается постановка задач для распределенных систем с дискретными элементами на границах на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для случаев, когда лагранжиан распределенной системы зависит от частных производных обобщенных координат до второго порядка включительно. Ее целью является вывод уточненных уравнений колебаний стержней и соответствующих им краевых условий, систематическое изложение которых в литературе отсутствует. В остальном же глава носит в значительной степени обзорный характер.

В п:1.1 выведены уравнения движения и краевые условия в общем виде, которые затем (п. 1.3) применяются для получения конкретных уравнений, описывающих волновые процессы н тонком стержне конечного диаметра, а также краевых условий, возникающих при использовании концевых гасителей. Для записи потенциальной энергии деформации используется представление вну тренней энергии в виде ряда по степеням алгебраических инвариантов тензора деформации. Таким образом учитываются нелинейные упругие свойства тел, определяемые зависимостью энергии деформации ог частных производных смещений по координате в третьей и четвертой степени (физическая нелинейность), а также нелинейной связью компонент тензора деформации с производными смещений по координатам (геометрическая нелинейность). Рассмотрен ряд моделей различной степени точности, описывающих продольные, крутильные и изгибные колебания стержня. Получены часто встречающиеся в прикладных задачах краевые условия, учитывающие нелинейные слагаемые. Они естественным образом вытекают из вариации функционала действия, поэтому не возникает вопроса о несоответствии граничных условий уравнениям движения. В п. 1.2 из общих вариационных уравнений выведено уравнение изменения энергии, позволяющее рассматривать явление согласования на основе анализа потоков колебательной энергии.

Во второй главе излагаются основы волновой динамики применительно к одномерным линейным, а также нелинейным упругим системам, являющимся распространенными элементами машин и механизмов.

В п. 2.1 обсуждаются некоторые общие свойства волновых процессов в распределенных линейных системах. Рассматриваются особенности применения волнового описания динамических процессов для анализа поведения линейных дискретных систем регулярной структуры.

В п. 2.2-2.4 исследуются волновые процессы в нелинейных и параметрических упругих системах. Показано, что в таких системах могут распространяться волны существенно несинусондальной (импульсной) формы. С одной стороны, эффекты формирования импульсных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку приводят к преждевременному износу и повреждениям -элементов машин, значительно сокращая срок их службы, а с другой стороны, они являются полезными и могут найти применение в мощных виброударных и ультразвуковых установках для поддержания необходимых технологических режимов при виброиспытаниях, ультразвуковой обработке материалов, дефектоскопии и т. п.

В п. 2.2 исследуются волновые процессы в распределенных системах с изменяющимся во времени параметром граничного закрепления, описываемых линейным волновым уравнением. Рассмотрение проводится на примере крутильных колебаний во вращающемся вале, который на одном конце соединен с двигателем, задающим чакон вращения, а на другом скреплен с диском, связанным через шатун с поршнем. Основное внимание здесь уделяется изучению многочастотных, свободных и вынужденных колебаний вала. Получено (п.2.2.1) точное решение о колебаниях системы в областях устойчивости. В п.2.2.2 на примере продольных колебаний стержня с переменной жесткостью закрепления обсуждаются особенности параметрической неустойчивости в системе, связанной с наличием эквидистантного спектра частот системы. Рассчитаны области параметрической неустойчивости и граничные режимы колебаний, имеющих импульсную форму. В п.2.2.3 на основе точного решения исследуются вынужденные колебания вала и резонанс в областях устойчивости. Исследованные многочастотные процессы в вале имеют, как правило, высокую частоту, например, в двухметровом стальном вале они могут наблюдаться при частотах изменения параметра ~10? гц и скоростях вращения вала —50-103 об/мин. Такие вибрации могут служить источниками интенсивного шума, изучение возбуждения, распространения и трансформации которого в упругих элементах машин и механизмов актуально для динамики машин.

В п.2.3 рассматриваются несинусоидальные волновые процессы в стержне из нелинейно-упругого материала, обладающем слабой дисперсией, обусловленной конечностью его диаметра. Подробно исследованы нелинейные стоячие волны, представляющие собой наложение бегущих навстречу друг другу периодических стационарных волн, удовлетворяющих краевым условиям. Показано, что в такой системе в результате нелинейного самовоздействия возбуждается большое число гармоник, и форма бегущих волн может изменяться от синусоидальной при малых амплитудах до импульсной (хвазисолитоны) при больших амплитудах. Исследовано влияние квадратичной и кубической нелинейности на стоячие волны в стержне из стали марки 60 С2Н2А и стержня из феррита МК-16 с параметрами, характерными для излучателей, используемых в ультразвуковых установках. Показано, что в стержне с отношением длины к диаметру '/<^-20, работающем на частотах ~25кГц, при характерных деформациях ¿'„~1[И возникают несинусоидальные волны, содержащие в своем спектре 5-7 гармонических составляющих. Исследованы квазистационарные процессы в стержне конечной длины, которые представляются как результат взаимодействия стационарных волн с медленно меняющимися амплитудами и фазами. С помощью метода усреднения по стационарным волнам показано.

п

что при квадратичной нелинейности встречные волны в первом приближении не взаимодействуют, а в системе с кубической нелинейностью взаимодействие приводит к малому изменению их скоростей и периодов.

В п. 2.4 на основе волнового представления решения изучаются колебания импульсной формы в линейных системах с нелинейными граничными закреплениями. Известно, что во многих случаях устройства (например, виброударные или ультразвуковые) работают в пределах линейно упругого поведения материала стержня, а нелинейные эффекты имеют место лишь на его границах из-за конструктивных особенностей закрепления (наличие зазоров, ограничителей в соединениях деталей и т.п.). В таких системах при наличии внутренних резонансов, также, как и в системах с распределенной нелинейностью, могут существовать стационарные периодические волны с широким спектром частот. Они обладают свойствами, сходными со свойствами стационарных волн, рассмотренных в п.2.3. однако имеют свою специфику и требуют разработки соответствующих методов исследования. Предложен метод, позволяющий исследовать несинусоидальные периодические процессы в системах с двумя нелинейными границами. Показано, что задача определения стационарных волн сводится к решению уравнения консервативного осциллятора. Выявлены характерные свойства импульсных стационарных волн при кубической нелинейносги пружин: найдены параметры волн и зависимость их периода от амплитуды.

В третьей главе излагается теория безотражательных торцевых гасителей продольных, крутильных и изгибных колебаний стержней.

Гасители колебаний занимают особое место среди средств виброзащиты. Их использование может быть предусмотрено не только на стадии проектирования и создания конструкций, но и в случае, когда неудовлетворительные динамические качества конструкции выявлены уже в процессе ее эксплуатации. Достоинством гасителей является также то, что при сравнительно малых затратах дополнительного материала они позволяют относительно просто получить желаемый эффект уменьшения уровня колебаний. Динамические гасители могут быть особенно эффективны при малых амплитудах колебаний защищаемой системы, что весьма важно для виброзащиты точных приборов, прецизионных станков и т.п. При малых амплитудах колебаний собственное демпфирование системы вследствие внутреннего трения мало, поэтому использование гасителей колебаний оказывается наиболее результативным.

В м.3.1 рассматривается задача об отыскании безотражательного гаси теля продольных колебаний стержня в случае простейшей модели (п.3.1.1). а также для уточненной модели, учитывающей движение среды в поперечном направлении (п.3.1.2). Показано, что при продольных колебаниях стержня в приближении элементарной модели существует согласованный гаситель колебаний, не дающий отраженных волн при любых возмущениях системы. В случае гармонической падающей волны гаситель будет согласованным при любой частоте волны м, если его коэффициент демпфирования а

равен импедансу стержня где Е,р — модуль Юнга и

плотность материала стержня. /• площадь его поперечного сечения. При этом в гасителе отсутствует инерционный и упругий элемент

(ш = к = 0), либо инерционно-упругие параметры удовлетворяют

резонансному соотношению - к/т.

Естественно, что учет поперечного движения стержня и связанной с ним дисперсии продольных волн приводит к зависимости параметров гасителя от частоты падающей волны. На рис. 1 показана зависимость коэффициента отражения по энергии У от частоты

волны со для "чистого" демпфера {т~ к - 0) и резонансного

гасителя {т,к * 0) .

Ч 1

1

II

Рис. I

Чависимость коэффициента отражения по энергии от частоты волны

На низких частотах (в области слабой дисперсии) параметры концевого демпфера можно выбрать постоянными и рассчитанными по элементарной модели. Отраженные волны в лом случае полностью не устраняются, однако такой гаси гель будет близок к согласованному при частоте, лежащей в некотором достаточно широком (в силу малой дисперсии) диапазоне. Очевидно, предлагаемый широкополосный гаситель эффективен не только при синусоидальном, но также при существенно негармоническом, например, импульсном воздействии, поскольку он устраняет отражение одновременно нескольких спектральных составляющих возмущения. Показано, что при работе на высоких частотах необходимо предусмотреть возможность перемещения гасителя не только в продольном, но также и в поперечном направлении, рассчитаны диссипативные и инерционно-упругие параметры такого гасителя. В п.3.2 определены параметры безотражательного концевого гасителя крутильных колебаний стержня для элементарной и уточненной модели.

В п.3.3 рассматривается гашение изгибных колебаний балки с помощью торцевого согласованного гасителя, содержащего диссипативные, а также упругие и инерционные элементы, учитывающие поперечное смещение и поворот концевого сечения балки. Модель полубесконечной балки с упруго-инерционным гасителем на конце показана на рис.2.

Рис. 2 Полубесконечная балка с упруго-инерционным гасителем на конце

Изгибные колебания балки рассматриваются как суперпозиция двух бегущих навстречу друг другу волн и двух экспоненциально спадающих по мере удаления от закреплений осцилляции. На примере модели Бернулли в п.3.3.1 найдены условия, которым должны

о

удовлетворять параметры согласованного концевого демпфера, устраняющего отраженную волну и приграничную осцилляцию

Определены также параметры гасителей, обладающих инерционными и упругими элементами и осуществляющих гашение колебаний, близкое к оптимальному, то есть устраняющих отраженную волну, но не осцилляцию. Экспоненциально спадающая осцилляция, входящая в решение, описывает динамический краевой эффект в пограничной зоне вблизи гасителя, ее вклад в решение незначителен по сравнению со смещением, создаваемым бегущими волнами вне этой области. Ширина области краевого эффекта L определяется расстоянием, на котором амплитуда осцилляции уменьшается в е раз и не прывышает длины волны <Я. Поэтому гаситель будет близок к согласованному, если он обеспечивает отсутствие отраженной волны, хотя и не ликвидирует спадающей осцилляции. В п.3.3.2 проводится обобщение результатов на случай уточненной модели изгибных колебаний (балка Тимошенко).

В п.3.4 рассматриваются динамические процессы в стержне конечной длины, снабженном согласованными концевыми гасителями. В п.3.4.1 рассматриваются свободные колебания стержня, на одном конце жестко защемленного, а на другом закрепленного с помощью согласованного демпфера. Разложение решения на бегущие

волны u{x,t) = f(t + х/с)+ К! ~ xic) позволяет перейти от исходной краевой задачи в частных производных к функциональному уравнению, описывающему изменение формы волны /(t)=-h(i) при ее взаимодействии с границей

где <p{t) = f'{t), 7 = (a-EFfc)/(a + EF с), т=С/с время

пробега волны вдоль стержня. Найдено точное решение задачи, котрое показывает, что при г > 2т продольное смещение стержня в каждом сечении убывает по экспоненциальному , закону

На рис.3 показана зависимость логарифмического декремента колебаний

О = 1п|(1 + - ,

характеризующего быстроту затухания колебаний от величины, равной отношению импеданса стержня к импедансу гасителя

Рис. 3 Зависимость логарифмического декремента колебаний от величины отношения импедансов

При совпадении импедансов гасителя и стержня логарифмический декремент стремится к бесконечности, то есть абсолютное затухание колебаний при любых начальных возмущениях, начиная с момента I = 2т, осуществляется практически мгновенно. Такой гаситель дает наибыстрейшее затухание колебаний в системе и в этом смысле является оптимальным. Следует отметить, что задача об отыскании оптимального демпфера, осуществляющего абсолютное затухание за конечное время, может быть поставлена и решена в рамках распределенных систем при использовании волнового представления решения. Как известно, для систем с конечным числом степеней свободы абсолютное затухание колебаний за конечное время невозможно. В п.3.4.2 рассмотрены продольные колебания стержня, на границах соединенного с демпферами и находящегося под действием периодической внешней силы. Показано, что если демпферы согласованные, то отраженные волны в системе

отсутствуют. В п.3.4.3 исследуются вынужденные изгибные колебания балки с согласованными демпферами на концах. Проводится оценка влияния на эффективность гашения малых изменений параметров концезых демпферов.

В четвертой главе идея согласованного гасителя колебаний применяется к распространенным в технике конструкциям, особенностью которых, является дискретный характер (таким, как гусеничные цепи, зубчатые передачи и т.д.).

В п.4.1 рассматриваются крутильные колебания однородной цепочки, состоящей из дисков, соединенных упругими безынерционными валами.

км.Ь.сси

3

1

Рис. 4 Дискретная модель трансмиссии

Такая модель часто используется при изучении крутильных колебаний трансмиссий. На концах цепочки установлены гасители колебаний, каждый из которых включает в себя диск, упругий элемент и демпфер. Колебания дисков возбуждаются посредством изменения угла поворота /-го диска цепочки по гармоническому закону. Динамические процессы, происходящие в цепочке дисков, представляются в виде бегущих навстречу друг другу волн, фаза которых (в отличие от распределенной системы) изменяется не непрерывно, а скачком при переходе от одного диска к другому. Найдены упруго-инерционные и диссипативные параметры согласованных гасителей, полностью поглощающих энергию волн, распространяющихся от источника

=(1с- 12л»74)1/3. 1,2 = 1/2. V,., = 0.

Поскольку рассматриваемая система обладает дисперсией, которая является следствием ее дискретности, то при фиксированных параметрах гасителя и системы согласование обеспечивается лишь па определенной частоте возмущения. Однако, для длинноволновых возмущений коэффициент демпфирования гасителя можно считать

постоянным и не зависящим от частоты возмущения а 13 = >/!с. в длинноволновом приближении дискретная цепочка эквивалентна распределенному валу, и найденное условие совпадает с условием согласования для сплошного вала. Показано, что согласованный гаситель колебаний дискретной цепочки дисков также, как и торцевой гаситель колебаний стержня, не критичен к малому изменению его параметров.

В п.4.2 рассматривается задача об уменьшении продольных колебаний гусеничной ветви путем установки концевого демпфирующего устройства. В качестве модели гусеничной ветви при продольных колебаниях используется цепочка однородных масс и невесомых упругих элементов. Исследовано влияние на параметры демпфирующего устройства потерь в шарнирных соединениях гусеницы. Показано, что при малых потерях величина коэффициента демпфирования закрепления близка к значению, вычисленному в отсутствие потерь упругих связей звеньев гусеницы. Расчитаны параметры гусеничной цепи с резинометаллическим шарниром, применяемой в транспортных машинах.

В п.4.3 для решения задачи согласования гусеницы по поперечным колебаниям рассматривается модель гусеничной ветви в виде набора однородных шарнирно соединенных между собой жестких звеньев. Концевые звенья ветви выполняют функцию демпфирующих устройств и включают в себя диссипативные и упругие элементы, учитывающие поперечное смещение и поворот звена. К одному из концевых звеньев приложена периодическая внешняя сила и вращающий момент. Малые поперечные колебания гусеничной ветви в вертикальной плоскости описываются двумя обобщенными координатами, следовательно, предлагаемая модель является примером более сложных упорядоченных структур, ячейка периодичности которых имеет две степени свободы. Исследованы дисперсионные свойства системы в зависимости от соотношения между упругими и инерционными параметрами гусеничной ветви. Показано, что при работе на низких частотах в случае длинноволновых возмущений гусеничная ветвь аналогична по своим свойствам балке, совершающей изгибные колебания. Найдены параметры концевых согласованных демпфирующих устройств, показано, что в длинноволновом приближении их значения

совпадают с параметрами согласованного демпфера изгибнмх колебаний балки.

Пятая глава посвящена решению задачи о согласовании упругих систем с помощью безотражательных соединительных ■элементов.

Реальная конструкция является сложной колебательной системой, состоящей из участков с отличающимися друг от друга параметрами. Это различие в свойствах системы приводит к отражению энергии упругих колебаний в местах соединения звеньев. Равномерное распределение энергии вибропотоков может быть достигнуто посредством устранения отраженных волн путем введения в местах соединения звеньев безотражательных согласующих устройств. Такие согласователи обеспечивают условия полной передачи энергии потока вибраций в режиме бегущей волны и исключают возникновение резонансов в системе.

Известно, что отражение на границе двух сред можно целиком ликвидировать, если между этими средами поместить четвертьволновой слой с импедансом, равным среднему геометрическому импедансов этих сред. Этот принцип применяется для повышения качества оптических систем. Совершенно также при соединении двух длинных электрических линий вводят переходный элемент с соответствующим импедансом, создающим добавочный четвертьволновой набег фазы. В твердых телах, например, в пластинах, стержнях и вообще в средах, где может существовать несколько типов волн, исследование поведения волн на границе раздела сред является затруднительным.

В настоящей главе рассматривается согласование упругих систем на примере стержней и дискретных цепочек трансмиссий.

В п. 5.1 рассмотрена задача о согласовании стержней по продольным, крутильным и изгибным колебаниям. Рассмотрено поведение волн в месте соединения участков стержня с отличающимися параметрами. Показано, что предположение об отсутствии отраженной волны и потерь энергии в месте соединения приводит к соотношению, выражающему равенство импедансов этих участков. Если импедансы участков стержня различны, то согласование обеспечивается посредством введения элемента связи в виде четвертьволнового участка стержня, импеданс которого равен среднему геометрическому импедансов согласуемых участков.

В п. 5.2 исследуется согласование дискретных систем трансмиссий по крутильным колебаниям. В п.5.2.1 рассмотрена система, состоящая из двух однородных, но несогласованных друг с другом цепочек с различными параметрами. Цепочки связаны между собой с помощью диска и примыкающих к ним участков валов. В

частности, задавая жесткости соединительных валов равными жесткостям цепочек аг, = с, , получаем, что сог ласование может быть достигнуто с помощью одного только инерционного элемента, при этом момент инерции диска связи должен быть равен

1 = (Jf + J2)¡2, а параметры цепочек должны удовлетворять равенству их импедансов

- J\ÜT¡A = J2c2 - J\to~¡4.

Аналогичное соотношение, справедливое в приближении длинных волн, получено при экспериментальном исследовании динамических нагрузок в трансмиссиях В.М.Зябликовым и В.Ф.Смирновым. В п.5.2.2 изучается система трех однородных цепочек с ответвлениями, соединенных так, как показано на рис. 5.

N-l N

Ji

1 ■■' 1 »VI

1 2 m

Рис. 5 Система трех однородных цепочек с ответвлениями

2

1

Найдены параметры цепочек и диска сочленения, при которых отраженные волны в системе отсутствуют. Моменты инерции диска сочленения 1, дисков основной цепочки J и ответвлений -Л,-Л

удовлетворяют равенству I = - ~ а значения

импедансов ветвей

подчиняются соотношению csin Л = c,wf sm Л, + с2Щ sin А,, которое . в частности, для длинных волн имеет вид 41с - ti^yfjfa + ?/2Л/Лс7,

где »i,: — передаточные отношения.

В п.5,3 проводится постановка задачи о связанных продольно-поперечных колебаниях криволинейного стержня. Обсуждается вопрос о возможности использования криволинейного стержня в качестве безотражательного соединительного элемента, а также преобразователя продольных колебаний в поперечные и наоборот.

В шестой главе рассматриваются некоторые виды концевых распределенных гасителей колебаний стержней, обеспечивающих отсутствие в системе отраженных волн.

В п.6.1 рассматривается распределенный гаситель, выполненный в виде вязкоупругого стержня с переменной площадью поперечного сечения, служащий для согласования колебаний однородного полубесконечного стержня постоянного сечения, совершающего продольные колебания (рис. 6).

pi,Ei,Fi

ргДЪ

х

-.-1-►

О 1

Рис. 6 Поглотитель продольных колебаний стержня.

Найдены параметры стержня и гасителя, при которых отраженные от гасителя волны отсутствуют, а энергия возмущений, распространяющихся внутри гасителя, по существу полностью поглощается его материалом. Показано, что гаситель в виде присоединенного стержня с экспоненциально убывающей площадью поперечного сечения практически выполняет роль "абсолютно черного тела", то есть объекта, от которого волны не отражаются ни при каких частотах.

Во многих случаях концевые сосредоточенные гасители колебаний, рассмотренные в главе III, выступают как самостоятельное средство борьбы с вибрациями. Однако, возможны

ситуации, когда по каким-либо причинам согласовать параметры гасителя не удается. В этом случае сосредоточенные концевые гасители могут применяться в сочетании с другими средствами. И здесь новые возможности открывает использование заранее предусмотренных в конструкции машины подстроенных элементов, которые позволили бы согласовывать потоки волновой энергии путем подстройки (ручного регулирования) и тем самым обеспечивали бы наименьший уровень колебаний в системе. Для элементов машин, выполненных в виде стержней, пластин, оболочек, такими элементами могут служить сосредоточенные массы, свободно перемещающиеся вдоль стержня. Изменяя расположение масс в системе, можно проводить непрерывную подстройку параметров динамической системы в зависимости от частоты возмущений. Регулирование положения масс с точки зрения практической реализации может оказаться предпочтительнее, чем изменение других параметров системы. Следует отметить, что в технике высоких частот для согласования нагрузки с подводимой мощностью также используются подстроенные элементы в виде ответвлений от длинной линии с подвижными плунжерами.

В п.6,2. 6.3 предложен способ согласования продольных и крутильных колебаний стержня путем установки концевого гасителя и дополнительных подстроенных масс, которые могут свободно перемещаться вдоль стержня. На рис. 7 показан стержень с двумя подстроенными массами, которые можно перемещать вдоль него и фиксировать в любом положении.

х

-—:---—---—-

.0 I I

Рис. 7 Стержень с двумя нодстроечиыми элементами.

Определены условия согласования, при которых отраженная волна па участке стержня х> С + I. отсутствует. Показано (п.6.3), что достаточно только двух подстроечных элементов, чтобы обеспечить согласование потоков волновой энергии в стержне при любых параметрах концевого закрепления. Единственным необходимым условием согласования является наличие диссипации концевого

закрепления * 0). при этом подстроечные массы необходимо поместить на расстоянии, близком к четверти длины волны друг от друга и от закрепления Б п.6.2 показано, что

непрерывную подстройку можно осуществлять также с помощью одного подстроечного элемента. При этом при изменении частоты возмущения необходимо регулировать не только расстояние С, но и величину массы Щ.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. На основе точных решений модельных задач упругих систем показано, что существуют согласованные концевые гасители колебаний, не дающие отраженных волн в системе. Такие гасители исключают появление резонансов. возникающих в результате многократных переотражений волн, и тем самым позволяют понизить общий уровень колебаний в системе. В частности,

— найдены параметры безотражательных концевых гасителей продольных и крутильных колебаний стержня;

— для свободных продольных колебаний стержня показано, что безотражательный концевой демпфер обеспечивает абсолютное затухание любых возмущений за наименьшее время, равное удвоенному времени пробега волны вдоль стержня;

— определены параметры согласованного демпфера изгибных колебаний балки, устраняющего отраженную волну и приграничную осцилляцию при заданной частоте гармонической волны.

2. Идея безотражательного концевого гасителя обобщена на случай кинематических цепей, представляющих собой периодические структуры из дискретных упругих систем:

2.3

— найдены параметры концевого согласованного гасителя крутильных колебаний однородной системы трансмиссии;

— для продольных колебаний гусеничной ветви исследовано влияние потерь в шарнирных соединениях гусеницы на параметры согласованного гасителя;

— для поперечных колебаний гусеничной ветви предложена дискретная модель в виде набора шарнирно-соединенных жестких звеньев; рассчитаны параметры гусеничной ветви и согласованных концевых демпфирующих устройств.

3. Показана принципиальная возможность создания нерезонансных крутильных систем трансмиссий машин, которые могут быть сконструированы в виде набора однородных кинематических цепей, соединенных безотражательными согласующими устройствами. Рассчитаны параметры кинематических цепей и показано их соответствие экспериментальным данным.

4. Теоретически обосновано применение распределенных безотражательных концевых гасителей, эффективных в широкой полосе частот. Показано, что при продольных колебаниях стержня гаситель в виде присоединенного стержня с экспоненциально убывающей площадью поперечного сечения выполняет роль "абсолютно черного тела", от которого волны не отражаются ни при каких частотах.

5. Предложен способ согласования потоков волновой энергии с помощью вносимых в конструкцию дополнительных подстроечных элементов. Для продольных и крутильных колебаний стержня показано, что достаточно двух подстроечных элементов, чтобы обеспечить согласование при любых диссипативных и упруго-инерционных параметрах концевого закрепления.

6. Исследованы импульсные волны, обладающие большими градиентами напряжений и деформаций, которые не могли быть изучены методами теории линейных волн. Полученные результаты могут быть использованы для проектирования приборов импульсной дефектоскопии, а также могут найти применение в акустодиагностике твердых тел.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Милосердова И.В., Потапов А.И. Продольные колебания в стержне с нелинейно-упругим закреплением II Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1980. №6. С. 178-183.

2. Милосердова И.В., Новиков A.A., Потапов А.И. Импульсные волны в одномерной системе с нелинейными границами // Волны и дифракция. Т.2. М.: ИРЭ АН СССР. 1981. С.118-121.

3. Милосердова И.В., Потапов А.И. О параметрической неустойчивости систем, описываемых дифференциально-разностными уравнениями первого порядка // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: Изд-е Горьк. университета, 1981. Вып.5. С. 116-120.

4. Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержне конечной длины // Акустический журнал. 1983. Т.29. №4. С.515-520.

5.Милосердова И.В., Потапов А.И. Вибрации в нелинейных стержнях при наличии внутренних резонансов // Машиноведение. 1983. №4. С. 18-24.

6. Весницкий А.И., Милосердова И.В., Потапов А.И. Вынужденные колебания и резонанс в вале с нестационарной нагрузкой // Прикладная механика. 1984. Т.20. №9. С. 103-110.

7. Милосердова И.В., Потапов А.И. Релаксационные колебания в консервативных линейных системах с нелинейными граничными закреплениями // Динамика систем. Горький: Изд-е Горьк. университета. 1987. С.172-182.

8. Весницкий А.И., Зябликов В.М., Милосердова И.В., Смирнов В.Ф. Оптимальное гашение крутильных колебаний в трансмиссии II Известия вузов. Машиностроение. 1989. №5. С.72-76.

9. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Волновые принципы динамического гашения крутильных колебаний в трансмиссиях // Труды XI Всесоюзной акустической конференции. Секция Л. М.: АКИН, 1991. С.70-72.

10. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Распределенный гаситель продольных колебаний стержня // Волновые задачи механики. Нижний Новгород: Изд-е Нижегород. филиала института машиноведения РАН. 1991. С. 108-112.

11.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Согласование трансмиссий по крутильным колебаниям // Изв. вузов. Машиностроение. 1991. №4-6. С.86-90.

12. Vesnitsky А.1., Miloserdova I.V. A distributed resonant damper of torsional vibrations of a shaft II Machine vibration. 1992.№8. P.201-202.

13. Miloserdova I.V. Matching of transmissions in terms of torsional oscillations/ Wave processes in machinery and structures II Proc. EUROMECH-295. Nizhny Novgorod. 1992. P.55.

14. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Волновые принципы гашения колебаний в упругих элементах машин // Волновые задачи механики. Нижний Новгород: Изд-е Нижегород. филиала института машиноведения РАН. 1992. С. 115-131.

15. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Нерезонансные трансмиссии //Акустический журнал. 1993. Т.39.№3. С.550-554.

16. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Гашение продольных колебаний стержней с помощью подстроечных элементов // Акустический журнал. 1994. Т.40. №3. С.337-339.

17. Vesnitsky A.I., Miloserdova I.V. A distributed damper of torsional vibrations of a shaft // Vibrations and waves. Proc. 16th Symposium on vibrations in phisical systems.Tech. Univ. of Poznan. Poland. 1994.P.325-326.

18. Vesnitsky A.I., Miloserdova I.V. Reduction of rod vibration intensity using ajusting elements // Proc. Euromech 2nd Eropeuan Solid Mechanics Conference. Genoa. 1994. P.24.

19. Vesnitsky A.I., Miloserdova I.V. Maching of vibration flows in elastic systems // Wave Mechanical Systems.Proc. of International seminar. Kaunas University of Technology. Kaunas, 1994. P.142-145.

20. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Гашение продольных колебаний стержня с помощью вязко-упругого стержня с переменной площадью поперечного сечения II Волновые задачи механики. Нижний Новгород: Изд-е Нижегород. филиала института машиноведения РАН. 1994. С.75-81.

21. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Согласованный торцевой гаситель изгибных колебаний балки // Акустический журнал. 1995. Т.41. №4. С.572-575.

22. Милосердова И.В. Теоретические основы волновых методов борьбы с вибрациями машин // Труды XXIV школы-семинара

"Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". Санкт-Петербург: Изд-во института проблем машиноведения РАМ. 1997. С.411-430.

23. Весницкий А.И.. Милосердова И.В. Оптимальный гаситель продольных колебаний стержня // Прикладная математика и механика. 1997. №3. С.537-540.

24. Милосердова И.В. Расчет параметров согласованного концевого гасителя колебаний упругой гусеницы И Тез. докл. Международной науч.-техн. конф. "Вибрационные машины и технологии". Курск: Изд-во КГТУ, 1997. С. 52.

25. Vesnitsky A.I., Miloserdova l.V. Damping of longitudinal oscillations in rods by tuning elements// Active control in mechanical engineering. Proc. of 2nd International conference. Lion, 1997. P. 68-74.

26. Vesnitsky А.1., Miloserdova l.V. Matching of vibrations flows as a method of vibration attenuation // Proc. of 4th International scientific conference of railway experts. Yugoslavia. 1997. P. 320-324.

27. Милосердова И.В. Расчет параметров согласованного концевого гасителя продольных колебаний стержня // Сб. науч. трудов. Прикладная механика и технологии машиностроения. Нижний Новгород: Изд-е "Интелсервис", 1997. Ч.З. С.148-153.

28. Милосердова И.В. Волновой метод снижения продольных колебаний упругих гусениц // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. №1. С.16-18.

29. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Волновые методы борьбы с вибрациями II Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. №3. С. 16-25.

30. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Крутильные колебания в трансмиссиях. Методическое пособие для студентов. Горький: Изд-е Горьк. политехнического института. 1988. 29 с.

31. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Методы гашения колебаний упругих систем. Методическое пособие для студентов. Нижний Новгород: Изд-е Нижегород. гос. технического университета, 1995. 31с.

32. Весницкий А.И., Милосердова И.В., Романов Н.Д. Согласование потоков волновой энергии в одномерных упругих системах. Методическое пособие для студентов. Нижний Новгород: Изд-е Нижегород. гос. университета им.Н.И.Лобачевского. 1996. 40с.

Подп. кпеч.4.06.98- Формат 60x84 1 /16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд.л. 1,0 . Тираж 100 экз. Заказ 275.

Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул.Минина, 24.

Нижегородский государственный технический университет, Нижегородский филиал Института машиноведения РАН

. " " Г На правах рукописи

сЬш

¡/и ^__ х&р*

Милосердова Ирина Валентиновна

МЕТОДЫ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ В ЗАДАЧАХ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научные консультанты:

доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук А.И.Потапов

А.И.Весницкий

Нижний Новгород, 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

Введение ■ 5

Глава I ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

ОДНОМЕРНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ ^

п. 1.1 Вариационный способ вывода уравнений

движения и краевых условий 26

п. 1.2 Уравнения изменения энергии 31 п. 1.3 Некоторые модели колебаний упругих

континуальных и регулярных систем 35

Выводы. 60

Глава II. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ

ОДНОМЕРНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ 61

п.2.1 Волны в линейных упругих системах 64

п.2.2 Волны в линейных системах с нестационарным

закреплением на границе 76

2.2.1. Крутильные колебания в вале с нестационарной нагрузкой.

Точное решение в областях устойчивости 76

2.2.2. Расчет областей параметрической неустойчивости и граничных режимов 85

2.2.3. Взаимодействие вынужденных и параметрических колебаний 99

п.2.3 Нелинейные волны в стержнях 107

2.3.1. Нелинейные периодические волны в стержне с квадратичной нелинейностью среды

109

2.3.2. Продольные колебания в стержне с

кубической нелинейностью 121

п.2.4 Импульсные волны в стержне с нелинейными

граничными закреплениями 130

Выводы. 139

142

Глава III. ТОРЦЕВОЙ ГАСИТЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ, КРУТИЛЬНЫХ И ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ

п.3.1 Гаситель продольных колебаний стержня 147

3.1.1. Теория простейшего согласованного гасителя 147

3.1.2. Исследование влияния поперечного движения среды на параметры гасителя 155

п.3.-2 Гаситель крутильных колебаний 160

п.3.3 Торцевой гаситель изгибных колебаний балки 165

3.3.1. Упруго-инерционные гасители, рассчитанные в рамках элементарной теории 165

3.3.2. Согласованный демпфер изгибных колебаний балки (модель Тимошенко) 174

п.3.4 Гашение колебаний стержня конечной длины 179

3.4.1. Оптимальный гаситель свободных продольных колебаний стержня 180

3.4.2. Гашение вынужденных продольных колебаний стержня, нагруженного оптимальными демпферами 188

3.4.3. Вынужденные колебания балки с согласованными демпферами на концах 191

Выводы. 196

Глава IV. ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ДИСКРЕТНЫХ 198 СТРУКТУРАХ

п.4.1 Гашение крутильных колебаний трансмиссии 200

п.4.2 Расчет параметров согласованного гасителя

продольных колебаний упругой гусеницы 207

п.4.3 Уменьшение поперечных колебаний

гусеничной ветви путем согласования 214

Выводы. 224

Глава V. СОГЛАСОВАНИЕ УПРУГИХ СИСТЕМ С

ПОМОЩЬЮ БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫХ 226

СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ п.5.1 Согласование стержней по продольным,

крутильным и изгибным колебаниям 228

5.1.1. Отражение и прохождение волн на границе

двух участков стержня 228

5.1.2. Согласование импедансов 236 п.5.2 Согласование трансмиссий по крутильным

колебаниям 240

п.5.3 Соединительный элемент в виде

криволинейного стержня 248

Выводы. 256

Глава VI. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ГАСИТЕЛИ КОЛЕБАНИЙ 257

п.6.1 Поглотитель продольных колебаний стержня в виде вязкоупругого стержня с переменной площадью Поперечного стержня 259

п.6.2 Распределенный резонансный гаситель

крутильных и продольных колебаний стержня 265

п.6.3 Гашение продольных колебаний с помощью

двух подстроенных элементов 270

Выводы. 278

Заключение 279

Литература 284

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена разработке теоретических основ методов гашения колебаний упругих элементов машин, базирующихся на использовании эффекта согласования потоков волновой энергии.

Актуальность проблемы. Тенденции развития техники, идущие в направлении увеличения мощности и быстродействия машин, повышения их надежности и долговечности, усложнения технологических процессов и усиления роли экологического фактора, сопровождаются ужесточением требований к допустимым уровням вибраций и шумов. Высокие требования по уровням вибраций, предъявляемые к конструкциям, ставят перед необходимостью разработки эффективных методов уменьшения вибраций и шумов, а также динамических нагрузок в элементах машин.

Для борьбы с недопустимыми вибрациями конструкций используются различные средства и методы [5, 18, 55, 59, 82, 85, 86, 94, 157, 170, 171]: применяются динамические гасители самых разнообразных конструкций; используется виброизоляция; вносятся изменения в конструкцию машины с целью отстройки от резонансных частот и повышения демпфирующих свойств системы; пытаются устранить или снизить виброактивность самого источника колебаний, например, с помощью балансировки и уравновешивания машин и др. Наиболее универсальные подходы и общие принципы виброзащиты, а также достигнутые в этой области итоги на соответствующий момент подведены в [ 55 ]. Естественно, что каждый из способов имеет свои достоинства и недостатки, свою рациональную область применения. В частности, эффективность методов и успех решения проблемы существенно опирается на специфику объекта виброзащиты и происходящих в нем динамических процессов.

По мере возрастания скоростей работы машин при анализе и прогнозировании их динамического поведения все чаще оказывается необходимым учитывать пространственную структуру колебаний, поскольку она становится сравнимой с размерами элементов машин . Для таких систем, которые необходимо рассматривать как распределенные или многочастотные, задача понижения колебаний сталкивается с особыми трудностями [5, 55, 59, 82, 84, 85, 147]. Так, например, если спектр возмущающего воздействия охватывает большое количество резонансных частот защищаемой системы, то кон-струирование и расчет традиционных динамических гасителей весьма затруднителен и фактически" требует создания многомассовой кон-струкции, не менее сложной, чем объект виброзащиты. При этом возникает далеко не простая задача отыскания параметров гасителей, числа и мест их установки в системе.Причем, как правило, такие гасители используются для достижения локального эффекта, то есть подавления колебаний в местах установки гасителей, в то время как в других местах системы вибрационное состояние может даже ухудшиться

При расчете динамических гасителей распределенных систем, а также теоретическом обосновании других способов виброзащиты применяются традиционно развиваемые методы решения соответствующих задач динамики упругих систем [54, 84, 115]. Как правило, они основаны на сведении исходной континуальной системы к конечномерной дискретной системе, которая затем анализируется с помощью асимптотических методов теории колебаний или численно. Благодаря своим довольно универсальным возможностям такой "колебательный" подход, казалось бы, удовлетворяет многие практические потребности и наиболее эффективным является при изучении одно- или двухчастотных колебаний. Поскольку распределенная система по существу заменяется системой с конечным числом степеней свободы, то естественно, что в ней не следует ожидать эффектов,

отличных от тех, которые могут иметь место в хорошо изученных сосредоточенных системах [54, 13, 116].

Проблема создания эффективных методов гашения колебаний упругих элементов машин требует для своего решения углубленной разработки физических и математических основ теории колебаний распределенных систем, а именно, выявления достаточно полного набора качественных особенностей их поведения и определения математических подходов, учитывающих эти особенности.Для многочастотных и распределенных систем принципиально новые подходы к проблеме виброгашения могут быть предложены на основе рассмотрения динамических процессов с точки зрения теории волн. В основе этих подходов лежит идея согласования потоков волновой энергии.

С позиций знания физической природы динамических процессов любую машинную конструкцию можно рассматривать как сложную колебательную систему, состоящую из стержней, балок, оболочек, в которой всегда имеются источники колебаний (двигатель, неточно выполненные детали и т. п.). От источников колебаний возмущения распространяются по конструкции машины, отражаясь на стыках, неоднородностях, и, таким образом, создавая шумы, спектр которых расширяется при перекачке энергии на нелинейных элементах в область высоких частот. Наличие многократных переотражений создает условия для возникновения локальных резонансов и концентрации энергии колебаний на отдельных участках системы, что является распространенной причиной повышения динамических нагрузок в элементах машин.Исключить возникновение резонансов и тем самым понизить уровень колебаний в системе можно, обеспечив согласование всех элементов конструкции посредством устранения отраженных волн. Этого можно достичь путем присоединения к системе концевых безотражательных гасителей и введения в местах соединения участков с отличающимися параметрами безотражательных соединительных

элементов. В этом случае достигается более равномерное распределение кинематических и динамических характеристик по длине системы в режиме бегущей волны и в этом смысле обеспечивается наименьший уровень колебаний.

Эффект отражения волн от препятствий и неоднородностей и принцип согласования хорошо изучен в электродинамике, оптике, акустике в основном применительно к простейшим системам, описываемым волновым уравнением [20, 95, 123, 129]. Систематическое изложение теории отражения электромагнитных и акустических волн от границ раздела сред и слоев дано в [ 19 ]. Результаты этих исследований получены, главным образом, для безграничных сред и, вообще говоря, неприменимы для анализа динамики упругих систем, так как для последних принципиально важен учет конечности их размеров. Кроме того, упругие элементы машин обладают сложными и своеобразными дисперсионными и нелинейными свойствами и описываются уравнениями в частных производных четвертого, шестого порядка и выше [ 64 ]. Волновые эффекты в таких системах имеют специфические особенности проявления и требуют дальнейшего изучения с целью их правильного учета.

В последние годы исследования, связанные с изучением волн в машинах, оформились в новое научное направление - волновая динамика машин, которое получило признание после выхода в свет монографии И.И.Артоболевского, Ю.И. Бобровницкого, М.Д.Генкина " Введение в акустическую динамику машин ". М. Наука, 1979 , коллективной монографии " Волновая динамика машин "( ред. К.В.Фролов, Г.К.Сорокин) М. Наука, 1991, а также монографии В.Е.Накорякова, Б.Г.Покусаева, И.Р.Шрейбера " Волновая динамика газо- и парожидкостных сред". М. Энергоатомиздат, 1990.

При анализе волновых процессов можно использовать как аналитические, так и численные методы. Выбор того или иного

конкретного метода анализа зависит от характера задачи, опыта исследователя и традиций научной школы, к которой данный исследователь относится. В традиции нижегородской школы, представителями которой являютя Ю.И.Неймарк,

М.И.Фейгин,А.И.Весницкий, Г.Г.Денисов, Р.Г.Мусарский, входит исследование динамических процессов аналитическими методами теории колебаний и волн, позволяющими получить решение в замкнутой форме. При изучении динамики конструкций при кратковременных ( ударных) нагрузках эффективными являются численные методы (см., например, Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. " Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости JI. Судостроение, 1984; Баженов В.Г., Кочетков A.B., Михайлов Г.С., Угодчиков А.Г. Взаимодействие упругопластических тонкостенных элементов конструкций в ударными волнами в идеальных сжимаемых средах // Изв.АН СССР. МТТ.1979.№2.С.141-149.). Численные методы также широко применяются при изучении упруго-пластических волн в конструкциях ( Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн в твердых телах // Сообщения по прикладной математике.М. ВЦ АН СССР, 1976), при расчете вынужденных колебаний и излучения элементами машин и конструкций со сложной геометрией (Бобровницкий Ю.И., Томилина Т.М. Расчет импедансных характеристик элементов машин при вынужденных колебаниях в акустической среде // Волновая динамика машин.М. Наука, 1991. С. 75-82). Использование численных методов для исследования задач оптимизации динамических систем изложено в монографии Малкова В.П., Угодчикова А.Г. "Оптимизация упругих систем". М.Наука, 1981.

Однако, центральная идея диссертации о согласовании потоков волновой энергии в элементах машин может быть сформулирована,а доказательство основных положений может быть получено только при аналитическом описании динамических процессов. Это, конечно, не

исключает применения различных численных методов ( метод конечных элементов, метод сеток, метод быстрого преобразования Фурье и др. )для расчета конкретных систем, которые , в силу своей сложности не поддаются аналитическому исследованию.

Применительно к конструкциям машин исследования отражения волн развивались, главным образом в связи с проблемой виброизоляции [5, 85], осуществляющей условия "нераспространения" волны на некотором участке системы. Результаты этих исследований особенно хорошо зарекомендовали себя и активно применяются, например, для борьбы с вибрациями и шумами на судах [85, 94, 144]. Теоретические основы некоторых волновых методов виброизоляции машин изложены в [ 5 ], где основное внимание уделяется исследованию дисперсионных свойств элементов машин и конструкций и анализу потоков колебательной энергии в различных структурах.

Интерес к теоретическому исследованию согласования как способа виброгашения был стимулирован, в частности, результатами предшествующих им экспериментальных работ, которые показали эффективность применения условий согласования для понижения колебаний крутильных систем трансмиссий и гусеничных цепей [4,75]. Достаточного теоретического обоснования исследования согласования потоков волновой энергии с целью виброгашения в динамике машин не получили. Такие исследования необходимы для разработки общих принципов проектирования машин и механизмов с минимальным уровнем колебаний, которые еще окончательно не сформулированы.

Цель настоящей работы состоит в:

— обосновании эффективности методов теории волн для решения задач динамики линейных, нелинейных и нестационарных упругих систем;

— разработке методов виброгашения, основанных на использовании эффекта согласования потоков волновой энергии;

— разработке практических рекомендаций по расчету параметров безотражательных концевых демпфирующих устройств и безотражательных соединительных элементов.

Диссертация содержит шесть глав.

В первой главе излагается постановка задач для распределенных систем с дискретными элементами на границах на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для случаев, когда Лагранжиан распределенной системы зависит от частных производных обобщенных координат до второго порядка включительно, то есть практически для всех наиболее часто используемых как линейных, так и уточненных теорий продольных, крутильных и изгибных колебаний одномерных систем.Глава носит в значительной степени обзорный характер, основной ее целью является вывод уточненных уравнений колебаний стержней и соответствующих им краевых условий, систематическое изложение которых в литературе отсутствует.

В п. 1.1 выведены уравнения движения и краевые условия в общем виде, которые затем (п. 1.3) применяются для получения конкретных уравнений, описывающих волновые процессы в тонком стержне конечного диаметра, а также краевых условий, возникающих при использовании концевых гасителей. Для записи потенциальной энергии деформации используется представление внутренней энергии в виде ряда по степеням алгебраических инвариантов тензора деформации. Таким образом учитываются нелинейные упругие свойства тел, определяемые зависимостью энергии деформации от частных производных смещений по координате в третьей и четвертой степени (физическая нелинейность), а также нелинейной связью компонент тензора деформации с производными смещений по координатам (геометрическая нелинейность). Построен ряд моделей различной степени точности, описывающих продольные, крутильные и изгибные колебания стержня. При их построении делаются предположения о квазистатической

зависимости смещений от поперечных координат в текущем сечении стержня. Получены часто встречающиеся в прикладных задачах краевые условия, учитывающие нелинейные слагаемые. Они естественным образом вытекают из вариации функционала действия, поэтому не возникает вопроса о несоответствии граничных условий уравнениям движения. В п. 1.2 из общих вариационных уравнений в