Волновые процессы в распределенных системах, взаимодействующих с сосредоточенными объектами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Кажаев Владимир Владимирович

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ОБЪЕКТАМИ

Специальность 01.02.06 -"Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук

А.И.Потапов

Нижний Новгород - 1998

Оглавление

стр.

Введение.....................................4

Глава 1. Фрикционные автоколебания одномерных распределенных

систем................................................. 13

1.1. Крутильные автоколебания вращающегося вала..............14

1.1.1 Релаксационные автоколебания........................ 17

1.1.2. "Двухпериодические" автоколебания.....................21

1.1.3. Квазигармонические автоколебания.....................24

1.1.4. Устойчивость........................................29

1.2. Сдвиговые автоколебания в круглой шайбе..................32

1.2.1. Постановка задачи....................................32

1.2.2. Статические напряжения в шайбе.......................36

1.2.3. Сдвиговые динамические напряжения...................37

1.2.4. Собственные функции и собственные значения динамической задачи.............................................38

1.2.5. Энергетические оценки ширины спектра автоколебаний.....40

1.2.6. Амплитуда стационарных автоколебаний.................43

1.3. Сдвиговые автоколебания в упругом слое, скользящем по жесткому

основанию..............................................47

Выводы..................................................59

Глава 2.Нелинейные динамические процессы в системах содержащих звено запаздывания............................................60

2.1.Сведение краевых задач в частных производных к решению задачи

Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом................................61

2.2. Метод моделирования переменного и постоянного запаздывания на аналого-цифровом комплексе.............................64

2.3. Нестационарные волны в стержне с нелинейно-упругим закреплением..........................................71

2.4. Исследование динамических характеристик объектов механики зондирующим импульсом..................................76

2.5. Исследование переходных процессов в периодовой автоподстройке частоты................................................84

Выводы...................................................92

Глава 3. Динамическое гашение колебаний в распределенных системах с

подвижными объектами....................................94

3.1. Волновой импульс и давление упругих волн..................95

3.2. Движение массы вдоль струны под действием сил давления

волн.................................101

3.3. Гашение колебаний струны движущимися сосредоточенными объектами.............................................109

3.3.1. Гаситель - движущаяся масса......-..........110

3.3.1. Гаситель - движущийся осциллятор.............118

3.4. Гашение вибраций балки свободно скользящей массой.........124

Выводы................................................130

Заключение................................................132

Список литературы......................................... 133

Введение

Диссертация посвящена исследованию волновых процессов в одномерных распределенных системах с нелинейными граничными контактами и закреплениями.

В последнее время большое внимание уделяется анализу волновых процессов в распределенных системах с учетом нелинейных эффектов. Нелинейность может быть как распределенной, так и дискретной, сосредоточенной в отдельных точках системы. Волновые процессы в дискретно-континуальных системах с нелинейными взаимодействиями на границах в настоящее время, изученны не достаточно. Однако спектр прикладных и технических задач о волновых процессах в распределенных системах с дискретными нелинейными элементами достаточно широк. Это колебательные системы с фрикционным взаимодействием на границах, системы с нелинейно-упругими граничными закреплениями, волноводные системы с дискретными элементами. Аналогичными математическими моделями описываются также системы управления, информационные сети и сети вычислительных машин.

Большинство математических моделей» описывающих динамику подобных систем, могут быть сведены к нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям с отклоняющимися аргументами, которые в последнее время интенсивно изучаются в различных разделах математики и физики.

Цель диссертации заключается в разработке методов математического моделирования волновых явлений в одномерных распределенных системах с

нелинейным взаимодействием на границах. Исследования динамических явлений во фрикционных автоколебательных системах и в системах с нелинейно-упругими граничными закреплениями. А так же изучение динамического взаимодействия дискретной и распределенной систем с учетом сил волнового давления.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

В первой главе рассмотрены фрикционные автоколебания во вращающимся стержне, в цилиндрической шайбе и слое конечной толщены скользящем по твердому основанию.

В разделе 1.1. исследована задача о крутильных автоколебаниях круглого стержня, один конец которого вращается с постоянной угловой скоростью, на другом конце стержня прикреплен диск, находящийся в непрерывном контакте с неподвижной шероховатой поверхностью. Момент силы трения в паре диск-поверхность зависит от относительной скорости проскальзывания, имеет "падающий участок" и вблизи точки перегиба аппроксимируется рядом Тейлора по степеням скорости вращения диска. В зависимости от величины инерции диска система стержень-диск имеет три качественно различных вида спектра собственных частот.

Для каждого случая построено приближенное аналитическое решение, описывающее установившейся процесс, подтвержденное расчетами на аналого-цифровом вычислительном комплексе.

Так при "малой" инерции диска ^«1), спектр собственных частот близок к эквидистантному, что приводит к эффективному энергообмену между

гармониками. В конечном итоге устанавливаются релаксационные автоколебания типа меандр.

При "большой" инерции диска ^>1), спектр эквидистантен начиная со второй собственной частоты. В этом случае система участвует в "быстрых и медленных" движениях, связанных с различными участками спектра. В зависимости от параметров фрикционного взаимодействия медленные движения могут быть трех типов: квазигармоническщго; релаксационного и переходного (Томсоновского) типа. Быстрые движения всегда имеют релаксационный характер.

В промежуточном случае (и=0,1 ;0,3) спектр неэквидистантен энергообмен между отдельными спектральными составляющими динамического процесса отсутствует, поэтому спектр установившихся автоколебаний определяется спектром начального возмущения.

В разделе 1.2 исследуются автоколебания в круглой шайбе взаимодействующей с вращающемся стержнем. Собственные частоты системы неэквидистантны, а в материале шайбы внутреннее трение в материале шайбы описывающееся моделью Фойхта, ограничивает спектр частот возбуждаемых колебаний. За счет фрикционного механизма в шайбе возбуждаются многочастотные квазигармонические автоколебания с ограниченным спектром.

В разделе 1.3 рассматриваются сдвиговые автоколебания в упругом слое движущемся по шероховатой поверхности. В этом случае спектр эквидистантен и приближенное аналитическое решение может быть получено методом описанным в 1.1 .

Отличительная черта этой модельной задачи состоит, в том, что осциллограмма автоколебаний слоя может быть легко построена методом точечного отображения. Поэтому ее можно использовать для изучения различных нелинейных эффектов, обусловленных лишь характеристикой трения: эффект умножения периода, стахастизация динамического поведения системы и п.т.

Рассмотренные в главе 1 задачи показывают, что автоколебания распределенных систем могут быть далеки от гармонических с большим числом высокочастотных составляющих, которые могут приводить к увеличению шумности работы механизмов, к усталостным и ударным разрушениям материала конструкций, и их ( автоколебания) необходимо детально изучать для нужд практики, при проектировании быстроходных механизмов.

Во второй главе излагается метод моделирования переменного и постоянного запаздывания на аналого-цифровом вычислительном комплексе. В этой главе приведено решение ряда конкретных задач из различных областей, демонстрирующих возможности применения описываемого метода для решения функциональных (п.п.2.3), интегральных (п.п. 2.4) и дифференциальных (п.п. 2.5) уравнений с отклоняющимися аргументами.

В разделе 2.1 с помощью метода бегущих волн начально-краевая задача в частных производных сводится к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами. Показано, что это возможно сделать практически для любых граничных условий,если распределенная система описывается линейным волновым уравнением без

дисперсии и потерь. Полученные дифференциальные уравнения не имеют достаточно общего подхода к отысканию аналитических решений, поэтому обычно они решаются с помощью вычислительной техники. Применение же вычислительной техники требует наличия методики моделирования переменного ( или постоянного ) запаздывания, которая и обсуждается в разделе 2.2. Идея метода состоит в запоминании входного сигнала в оперативном запоминающем устройстве ЭВМ и воспроизведении его в нужный момент, взависимости от величины управляющего сигнала, моделирующего время задержки.

С помощью описанного выше метода промоделированы нестационарные волновые явления в стержне с нелинейно-упругим закреплением (п. 2.3). Так при квадратичной нелинейности границы начальное возмущение распадалось на последовательность илпульсов, которые "взаимодействуют" между собой подобно солитонам уравнения КОУ. По истечению некоторого времяни " взаимодействия " наблюдалось явление возврата, т.е. последовательность импульсов вновь трансформировалась в синусоидальное возмущение. Подобное явление было обнаружено в 1955 году при численных эксперементах с системой нелинейных маятников и получило название эффекта Ферми-Пасте-Улама

В 2.4 излагается методика идентификации и прогнозирования динамического поведения сложных механических систем, по результатам эксперементальных исследований отклика обьекта на заданное (тестовое) нагружение. Изучаемая система нагружается зондирующим сигналом заданной формы и определяется передаточная функция между входным и выходным

сигналами снимаемыми с различных точек системы. Прогноз динамического поведения при реальном нагружении сводится к решению интегрального уравнения ольтера 1-ого рода, ядром которого является переходная функция полученная при решении задачи идентификации. Приведена и описана структурная схема автоматизированной системы прогнозирования. Приведен тестовый пример демонстрирующий ее функциональные возможности.

В разделе 2.5 изучается динамика переходных процессов в системе периодовой автоподстройки частоты. Показана возможность применения метода моделирования переменного запаздывания для исследования различных систем управления. Математическое описание таких систем приводит к уравнениям с запаздыванием, что является следствием наличия звена, работающего много медленней всех остальных звеньев системы. В системе периодовой автоподстройки частоты таким звеном является цифровой измеритель периода, в котором время задержки равно или кратно полупериоду подстраиваемого генератора. Получены осцилограммы процессов переключения частоты и на плоскости обобщенных параметров системы ( крутизна характеристики варикапа - коэффициент усиления ) построены области с качественно различным характером устойчивости.

Третья глава посвящена разработке теории динамического гашения колебаний распределенных систем, основанного на саморегулирующем действии сил волнового давления. Теоретически показана возможность создания регулятора вибраций волнового принципа действия. В (п.3.3) и (п.3.4) решен ряд задач, описывающих динамику одномерных систем, снабженных регулятором вибраций.

В разделе 3.1 обсуждаются вопросы, связанные с наличием волнового импульса и волнового давления при колебаниях распределенных механических систем. Приведен вывод выражения волнового импульса и силы волнового давления для поперечных колебаний одномерных систем, описываемых моделями струны и балки.

В 3.2 исследуется движение сосредоточенной массы вдоль колеблющейся струны под действием сил волнового давления, что приводит к уравнениям в частных производных с нелинейными условиями на подвижной границе, закон движения которой находится в процессе решения. Эта задача относится к новому классу задач математической физики, для которого еще нет достаточно общих методов аналитического решения. Методами, изложенными в (2.1), она сведена к сисиеме обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами и исследована с помощью вычислительной техники. Результаты численного моделирования показали, что в такой системе сосредоточенная масса совершает колебательные движения вдоль струны около точки, совпадающей с положением пучности смещения струны в начальный момент времени. Построено приближенное аналитическое решение, описывающее движение массы, если начальные условия близки к первой собственной форме колебаний струны. Аналитическое решение хорошо согласуется с численными расчетами.

В разделе 3.3 выявлен и теоретически обоснован эффект уменьшениявибраций упругой направляющей , вдоль которой под действием сил давления волн движется сосредоточенный объект. Силы волнового

давления заставляют обьект занять такое равновесное положением котором уровень вибраций минимален.

Для простейших моделей: струна со свободно скользящей по ней массой или осциллятором, найдены положения равновесия, исследована их устойчивость и для установившихся режимов, когда обьект находится в устойчивых положениях равновесия, определены максимальные амплитуды колебаний струны в зависимости от частоты возбуждения.

В 3.4 решена задача о гащении вибраций балки, свободно скользящей массой. Определены устойчивые положения равновесия массы. Построена амплитудно частотная характеристика рассматриваемой системы. Показано, что у этой системы даже при отсутствии диссипации все резонансные пики ограничены, за исключением резонанса на наинизшей частоте.

Научная новизна. В работе исследованы различные классы задач, решение которых сводится в общем случае к решению интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами.

1. Разработана методика моделирования переменного и постоянного запаздывания, применимая, как к цифровым так и к гибридным вычислительным средствам.

2. Исследованы фрикционные автоколебания во вращающемся стержне и в цилиндрической шайбе.

3. Обнаружен эффект трансформации начального синусоидального возмущения в последовательность солитоно-подобных импульсов, которые через некоторое время ретранслируются в синусоидальную волну, близкую к первоначальной (так называемое явление возврата или рекуренции ).

4. Впервые проведено численное моделирование самосогласованного движения струны и скользящей по ней сосредоточенной массы. Выявлено, что масса под действием сил давления волн совершает колебательные движения вдоль струны в окрестности ближайщей пучности начального профиля струны.

5. Аналитическими методами показана и численно подтверждена возможность использования сил волнового давления для создания автоматических регуляторов вибраций одномерных упругих обьектов.

Все результаты, составляющие основу диссертации, получены впервые, что и определяет их научную новизну. Исследования фрикционных автоколебаний распределенных систем представляют интерес для прогнозирования режимов работы и расчетов динамических напряжений бурильных колонн, сверл, червячных передач (суппоров) металлобрабатывающих станков и пар трения в тормозных механизмах. Методика моделирования запаздывания может быть использована для создания технических средств исследования динамических характеристик механических обьектов с помощью зондирующих импульсов, а так же для исследования процессов в системах управления. Теоретические исследования движения тел под действием сил давления волн могут быть положенны в основу разработки пассивных динамических гасителей колебаний распределенных систем в широком диапазоне частот.

4. Впервые проведено численное моделирование самосогласованного движения струны и скользящей по ней сосредоточенной массы. Выявлено, что масса под действием сил давления волн совершает колебательные движения вдоль струны в окрестности ближайщей пучности начального профиля струны.

5. Аналитическими методами показана и численно подтверждена возможность использования сил волнового давления для создания автоматических регуляторов вибраций одномерных урругих обьектов.

Все результаты, составляющие основу диссертации, получены впервые, что