Расчет напряженно-деформированного состояния эластомерных элементов виброизоляторов с учетом особенностей их вязкоупругого деформирования тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

005009439

На правах рукописи

Кожушко Анатолий Анатольевич

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛАСТОМЕРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВИБРОИЗОЛЯТОРОВ С УЧЕТОМ ОСОБЕННОСТЕЙ ИХ ВЯЗКОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Специальность 01.02.06 -динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

2 6 Ш1Ш

Омск-2012

005009439

Работа выполнена на кафедре «Авиа- и ракетостроение» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО ОмГТУ)

Научный руководитель:

доктор технических наук, доцент Аверьянов Геннадий Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Моргунов Анатолий Павлович

кандидат технических наук, доцент Громовик Анатолий Иванович

Ведущая организация:

ФГУП «НПП «Прогресс»

Защита состоится 17 февраля 2012 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.178.06 при Омском государственном техническом университете по адресу: 644050, Омск, пр. Мира, 11, корпус 6, ауд. 340.

Ваш отзыв на автореферат (в двух экземплярах с заверенными гербовой печатью подписями) просим высылать по адресу: 644050, Омск, пр. Мира, 11, ОмГТУ, учёному секретарю диссертационного совета Д 212.178.06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного технического университета.

Автореферат разослан « II » 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук,

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Состояние н актуальность темы.

В процессе эксплуатации машины, приборы и аппаратура подвергаются ударным, вибрационным и сейсмическим нагрузкам, которые вызывают необратимые ухудшении их эксплуатационно-технических характеристик и могут привести к выходу их из строя. С целью снижения вибрационных и сейсмических нагрузок применяют различные виброизолирующие конструкции на основе эластомерных материалов, так как по многим параметрам они превосходят традиционные системы того же назначения и позволяют находить принципиально новые конструктивные решения ответственных узлов современных технических систем. Возрастающее использование эластомерных материалов приводит к необходимости описания с высокой точностью кратковременных и длительных характеристик деформирования и разрушения эластомерных элементов конструкций и ставит широкий круг исследовательских задач. Первостепенное значение имеет формулировка математической модели, позволяющей описать напряженно-деформированное состояние эластомерных элементов с учетом процессов ползучести, релаксации напряжения или накопления остаточной деформации, накопления повреждений и разрушения, а также разработка экспериментальных методов определения материальных функций и функционалов, входящих в определяющие соотношения. Кроме того возникает необходимость в уточнении существующих алгоритмов численных расчетов для анализа поведения конструкций из эластомерных элементов при различных условиях нагружения и деформирования. Поэтому задача расчета напряженно-деформированного состояния эластомерных элементов виброизоляторов с учетом особенностей их вязкоупругого поведения является актуальной.

Цель диссертационной работы.

Целью настоящей работы является совершенствование методов и алгоритмов расчета напряженно-деформированного состояния эластомерных элементов виброизоляторов.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Обзор существующих методов расчета напряженно - деформированного состояния виброизоляторов на основе эластомерных элементов и определение направления дальнейшего совершенствования методов расчета.

2. Разработка трехмерной математической модели, описывающей процесс изотермического вязкоупругого деформирования эластомерных элементов виброизоляторов.

3. Вывод реологических соотношений, описывающих вязкоупругое поведение эластомерных элементов виброизоляторов.

4. Разработка алгоритма определения материальных параметров реологических соотношений по экспериментальным данным.

5. Разработка алгоритма численного расчета напряженно - деформированного состояния эластомерных элементов с учетом их вязкоупругого поведения.

6. Создание основанной на методе конечных элементов программы расчета напряженно-деформированного состояния эластомерных элементов виброизоляторов в процессе их изотермического вязкоупругого деформирования и проведение практических расчетов.

Научная новизна основных результатов работы.

Получены обобщенные на случай трехмерного напряженно-деформированного состояния реологические соотношения, описывающие вязкоупругое поведение эластомерных элементов виброизоляторов.

Отработан алгоритм определения материальных параметров реологических соотношений по экспериментальным данным на релаксацию в условиях одноосного растяжения или сжатия.

Построена математическая модель, позволяющая описывать трехмерное напряженно-деформированное состояние эластомерных элементов виброизоляторов в процессе их изотермического вязкоупругого деформирования.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается корректностью постановки задач исследования, использованием адекватных математических моделей изучаемых явлений, применением апробированных численных методов, сравнением полученных результатов с результатами расчетов других авторов, использующих другие методы и сопоставлением полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

1. Обеспечено эффективное проведение практических численных расчётов виброизолирующих конструкций за счет достаточно простой математической структуры выведенных изотермических вязкоупругих определяющих соотношений.

2. Предложен алгоритм численного расчёта напряженно-деформированного состояния виброизолирующих конструкций на основе эластомерных материалов, который, благодаря реализации разработанной методики описания процессов вязкоупругого деформирования эластомерных элементов, позволяет оценивать динамическую жесткость и диссипативные потери при циклических режимах работы, релаксацию напряжений и ползучесть эластомерных элементов конструкций, анализировать нестационарные режимы нагружения.

3. Создана основанная на методе конечных элементов программа расчёта (на алгоритмическом языке Lahey/Fujitsu Fortran 95) напряженно-деформированного состояния виброизолирующих конструкций на основе эластомерных элементов при различных условиях нагружения.

4. Результаты работы внедрены и используются в ООО «НПП «Сибрезинотехника» (г. Омск).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель, позволяющая описывать процессы изотермического вязкоупругого деформирования эластомерных элементов виброизолирующих конструкций.

2. Реологические соотношения, описывающие изотермическое вязкоупругое поведение эластомерных материалов.

3. Алгоритм определения материальных параметров реологических соотношений по экспериментальным данным на релаксацию в условиях одноосного растяжения или сжатия.

Апробация работы н публикации. Основные положения работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

XXVI Академические чтения по космонавтике (Москва, 2002 г.); П Международный технологический конгресс «Развитие оборонно - промышленного комплекса на современном этапе» (Омск, 2003 г.); V Международная научно - техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2004 г.); Всероссийская научно - техническая конференция «Роль механики в создании эффективных материалов, конструкций и машин XXI века» (Омск, 2006 г.); XXXI Академические чтения по космонавтике, посвященные 100-летию со дня рождения академика С. П. Королева (Москва, 2007); IV Международный технологический конгресс «Военная техника, вооружение и современные технологии при создании продукции военного и гражданского назначения» (Омск, 2007 г.); XII Международной научной конференции, посвященной Памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М. Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2008 г.); семинар кафедры «Прочность летательных аппаратов» Новосибирского, государственного технического университета под руководством д.т.н., профессора И. П. Олегина (Новосибирск, 2009 г.); IV Всероссийской научной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения Главного конструктора ПО «Полет» А. С. Клинышкова «Проблемы разработки, изготовления и эксплуатации ракетно-

космической и авиационной техники» (Омск, 2009 г.); VII Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2009 г.); межкафедральном научном семинаре имени заслуженного деятеля науки профессора Белого В. Д. в Омском государственном техническом университете (Омск, 2010 г.).

По теме диссертации опубликовано 10 печатных научных работ, из них 1 публикация в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых изданий, рекомендованных ВАК для опубликования материалов диссертационных работ.

Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 159 стр., включая 142 стр. основного текста, 39 рисунков, 12 таблиц и одно приложение на 17 страницах. Список литературы содержит 237 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована ее цель и перечисляются основные рассматриваемые в работе задачи, приведено описание содержания работы и выносимых на защиту основных положений, отражена научная новизна полученных результатов и их практическая значимость.

В первой главе, носящей обзорный характер, приведены краткие сведения об эластомер-ных материалах и их применение в виброизолирующих конструкциях, приводится анализ работ, посвященных деформации эластомерных элементов виброизолирующих конструкций и производится постановка задач исследования с определением пути их решения.

Механические свойства эластомеров обусловлены их высокоэластичностыо и релаксационными свойствами, т.е. зависимостью напряжения от времени действия нагрузки и скорости деформирования. Эти свойства эластомерных материалов проявляются при статическом и динамическом нагружении.

При расчетах эластомерных элементов широко используются упрощающие кинематические гипотезы и предположение о несжимаемости материала. В работах прикладного характера часто используется понятие фактора формы: отношение площади нагруженной поверхности к площади поверхности, свободной для выпучивания. Очень многие экспериментальные и теоретические работы посвящены исследованию зависимости кажущихся модулей от фактора формы и влияния сжимаемости материала на осадку слоя. Этим вопросам посвящены, в частности, работы В. Кейса, Е. Киммича, В. Рокарда, Р. Хаттори и К. Такеи, А. Джента и Д. Линии, В. Л. Бидермана, Э. Э. Лавендела, С. И. Дымникова, М. А. Лейканда, В. А. Хричико-вой, К. Ф. Черныха и Л. В. Миляковой, В. А. Тихонова, А. Г. Яковлева, В. А. Шеголева и других авторов. Следует заметить, что фактор формы не является универсальной характеристикой жесткостных свойств элементов различных очертаний и даже для прямоугольных элементов с плоскими слоями его применение не оправдано. В работах А. N. Gent и Е. A. Meinecke приведены данные специальных испытаний трех прямоугольных резиновых пластин с одинаковым фактором формы. Для них графики напряжение - относительное обжатие существенно отличаются.

Изучению плоского и осесимметричного напряженно - деформированного состояния многослойных резинометаллических элементов посвящены работы Л. В. Бидермана, Э. Э. Лавендела, М. А. Лейканда, Д. Линдли, Б. Головни, Ч. Роэдера и Дж. Стентона, В. М. Малькова, С. Е. Мансуровой и других авторов. В большинстве случаев свойства модели эластомерного материала определялись заданием упругого потенциала как функции инвариантов тензора деформаций. Обзоры таких моделей упругого поведения эластомерных материалов в рамках теории конечных деформаций приведены в работах Г. М. Бартенева, А. И. Лурье, К. Ф. Черныха, И. М. Дунаева, С. И. Дымникова, Л. Трелоара и других.

Динамическому расчету эластомерных конструкций посвящены работы В. Т. Ляпунова, Э. Э. Лавендела, С. А. Шляпочникова, М. А. Колтунова, В. П. Майбороды, В. Г. Зубчанинова В. Ю. Чижова и других. При рассмотрении динамических процессов в эластомерных конструкциях неизбежно возникает вопрос об учете диссипации энергии и диссипативном разогреве. Для этих целей обычно используют линейную теорию вязкоупругости Больцмана - Вольтера. Этим вопросам посвящены работы Д. Бленда, А. А. Ильюшина, Б. Е. Победри, Р. Кристенсена, Ю. Н. Работнова, М. А. Колтунова, В. П. Майбороды, В. Г. Зубчанинова.

В некоторых работах для поиска решения используют принцип соответствия упругой и вязкоупругой задач. Для того чтобы получить решение задачи наследственной теории упругости, нужно сначала построить решение обычной задачи и в окончательных результатах заменить упругие постоянные операторами, расшифровав полученные комбинации операторов по известным правилам. В общем случае такая расшифровка связана с определенными трудностями. В ряде случаев эти трудности преодолеваются. Для этого используется интегральное преобразование Лапласа - Карсона, метод аппроксимаций А. А. Ильюшина, операторы Ю. Н. Работнова.

Отметим, что построение оригиналов по изображениям в общем случае содержит определенные трудности. Для некоторых простейших функций имеются формулы для отыскания оригиналов. В более сложных случаях нужно применять разработанные специальные приближенные методы. Кроме того дополнительное ограничение на использование данного подхода накладывает требование сохранения неизменности вида граничных условий.

По результатам обзора делается вывод о том, что динамическому расчету эластомерных конструкций посвящено весьма ограниченное число работ и в большинстве случаев они имеют теоретический характер. Разнообразие эластомерных материалов вызвало проблемы адекватного описания их нелинейных свойств, особенно частотно- и амплитуднозависимого внутреннего трения. Причем оно существенно зависит не только от амплитуд циклического воздействия, но и от величины статической деформации.

Вторая глава посвящена разработке математической модели, позволяющей описывать процессы изотермического вязкоупругого деформирования эластомерных элементов виброизоляторов.

Процесс деформирования эластомерных элементов рассматривается для дискретных моментов времени ..., /„, /и+1, ... взятых с шагом по времени А1, в виде последовательности

во времени равновесных состояний ..., а.("+1\ где П^1) - состоя-

ния равновесия, соответствующие моментам времени /0, /„ и ?„+1 соответственно. Считается, что все переменные состояния, такие как напряжения, деформации и перемещения, известны на протяжении всей истории деформирования вплоть до момента времени 1„.

В качестве меры деформаций при переходе из состояния П^ в используется ли-

неаризованный модифицированный тензор конечных деформаций Грина:

„ > дАи, д&и :

2Лец=-'- +-(1)

где Ди - компоненты вектора приращений перемещений при переходе из состояния

в

состояние Здесь и далее в работе используется правило суммирования по векторным и тензорным индексам: по всем дважды повторяющимся в данном выражении («немым») индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3.

Принцип виртуальной работы для произвольного конечного материального объема

сплошной среды V в состоянии П в следующем виде:

соответствующему моменту времени !11+\, запишется

+ Ааи)У(А*ец)-(/} + Щ)5Ащ + р^-Ли, - Дг, + Щ)3{щ= 0,(2)

<Л

где с,у + Д*ст,у - модифицированный второй тензор напряжений Пиолы - Кирхгофа, Ди, - приращения перемещений, /■} + Д/-} - поверхностные силы, /, + Д/; - массовые силы, р - плотность рассматриваемой среды, а вариации берутся по отношению к Дщ в момент времени Г„+1. Отметим, что напряжения и внешние силы на поверхности отнесены к единичной площади состояния Таким образом, на (и + 1)-м шаге по времени за исходное состояние принимается состояние Расчет ведется в переменных Лагранжа XВерхний индекс (п)

в уравнении принципа виртуальной работы в состоянии указывает на то, что координа-

ты на (и + 1)-м шаге по времени связываются с равновесным состоянием, достигнутым к моменту времени ?„ на предыдущем шаге.

В случае если вес рассматриваемой конструкции мал и заданные массовые силы, поверхностные силы и приращения перемещений очень медленно меняются со временем, то в вариационном уравнении (2) можно пренебречь инерционными членами и массовыми силами вследствие их малости:

(3)

+ дЧ- >(д н У") - Цг,+щ )<5(ди/ >йМ = о,

Л¥Аг

Рис. 1. Четырехэлементная модель

Определяющие соотношения выводятся с использованием четырех элементной механической модели, представленной на рис. 1, которую можно рассматривать как последовательно соединенные модели Максвелла и Кельвина - Фойгта. Величины, относящиеся к блоку Максвелла, обозначены верхним индексом 1, к блоку Кельвина -Фойгта - индексом 2.

Приращения полных деформаций будут равны сумме деформаций в каждом из блоков, а полные приращения напряжений в такой материальной точке и напряжения каждого из блоков на очередном шаге по времени будут равны между собой:

Д Бц = Д г,-,- + А е у, Д сгу = Д а ^ = Д

(4)

Для вычисления приращений деформации на (и + 1)-м шаге по времени для модели Максвелла используется следующая приближенная формула:

К\+К2

где J *-н = ■/$*,+ X ,уи ■ ехр т=1

~((п+1 ~ &1+1)

к1+к2

.(",>•('„+1)= I

га=1

1-ехр

('/»+])= ехр

-Д'„

^ ¡ГГ,

\

^^ Ц

V" >

'ум 1 =

1п+1 +1п

Приращения напряжений на (;; + 1)-м шаге по времени для модели Кельвина - Фойгта можно описать следующим образом:

Д^У ('„+1) = • А4 ('«+-1)- Р,;/ ('„+1) (6)

« к\+кг где Rijk,=RJjk,+ X Л$/-ехр

и=1

<Pij('n+1)= I

m=l

<('«+! ) = ехр

-

V Gm j

-exp

V/H

\ ь J J

•д4Ы-

Разрешая совместно (4 - 6) относительно Лег(?п+1) получим следующие определяющие соотношения:

Дет,

(7)

( *

где + /

И Aw = Д.

-1

'kl ~ Kklmn

Vmni'n+lj-Vkli'n+t)

При создании трехмерной теории линейной вязкоупругости обычно принято рассматривать независимо эффекты искажения формы и изменения величины объема, а затем их описание комбинируется, чтобы построить общую теорию. Математически это обеспечивается разложением тензоров напряжений на их девиаторную и шаровую части, для каждой из которых затем пишутся определяющие соотношения. Исходя из этого тензор функции релаксации и тензор функции ползучести для изотропного тела можно представить в следующем виде:

М'ЦМ-С^ОН '¿И 'вц + (8)

■ГуыЬЬ^МУМ^Уи-8» Л'/ + *// -5]к\ (9)

где <5,у, Зк!, ¿¡к, 8ц, - символы Кронекера. Здесь используются следующие выражения для функций релаксации напряжений сдвига С{(/) (девиатора напряжений) и гидростатического напряжения С2(г), а также для функций ползучести при сдвиге J¡(t) (девиатора деформаций) и всестороннем сжатии J2{t):

<?„(')= 2 G^-exp

т-1

С

т=1

J"

а = 1,2 (10)

где 1 - время; G{", G™ - модули релаксации напряжений сдвига и гидростатического напряжения соответственно; - времена релаксации; J", J™ - модули ползучести при сдвиге и всестороннем сжатии соответственно; tjm - времена ползучести

Наблюдая в опыте на релаксацию напряжения при одноосном растяжении за изменением в испытуемом образце напряжения <т(г) и коэффициента Пуассона v(f) во времени, можно вычислить функции релаксации напряжений Gj(/), G2(t) и функции ползучести J,(/), J2(t). В опыте на релаксацию деформация s{t) задается в виде e(t) = £0h(t), где h(t) - единичная ступенчатая функция, а е0 - амплитуда деформации. Функция релаксации напряжений E(t) получается в следующем виде:

E{t) = a(t)/s0,t>0, (И)

где ff(í) - наблюдаемое экспериментально напряжение.

Функции релаксации напряжений G¡(t) и G2{t), соответствующие данному напряженно-деформированному состоянию, можно определить с помощью соотношений изотропной теории упругости путем простой замены упругих модулей преобразованием Лапласа соответствующих функций релаксации теории вязкоупругости: _ _

где G,(í) - преобразование Лапласа функции релаксации напряжений сдвига G¡ (г), G2(s) -преобразование Лапласа функции релаксации напряжений всестороннего сжатия G2(t), v(t)-

коэффициент Пуассона.

Рассматривая совместно (12) и воспользовавшись обратным преобразованием Лапласа найдем зависимости функций релаксации напряжений G[(í) и G2{t) от времени:

Функции ползучести при сдвиге J^t) и всестороннем сжатии J2(l) находятся из условия, связывающего между собой преобразование Лапласа функции ползучести Ja(s) и преобразование Лапласа функции релаксации напряжения Ga(s):

ja{s)=(S2Ga(s))\cc=\,2 (14)

где s - параметр преобразования Лапласа.

Система разрешающих уравнений предлагаемой автором математической модели состоит из следующих соотношений:

- линеаризованного модифицированного тензора приращений деформаций Грина (1);

- вариационного уравнения (3);

- реологических соотношений (7);

- граничных и начальных условий.

В качестве граничных условий задаются приращения перемещений и/или приращения напряжений на части или всей поверхности эластомерного элемента. В качестве начальных условий принимается, что в момент времени t = 0 приращения перемещений, деформаций и напряжений в любой точке эластомерного элемента равны нулю.

Сопоставим представленные в работе М. А. Колтунов, В. П. Майборода, В. Г. Зубчанинов. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М.: Машиностроение, 1983. - 239 с экспериментальные данные о релаксации напряжений в растянутых образцах капролита при Т=20° С и с0 = 1,6% с полученными автором результатами численного эксперимента. В таблице 1 представлены наблюдаемое экспериментально в процессе релаксации напряжение а (г) и полученные автором с использованием соотношений (11) и (13) значения функции релаксации напряжений £(f), G'[(/) и G2(t). Численное значение коэффициента Пуассона v = 0,31.

Путем обработки данных таблицы 1 с помощью соотношений (10) и (14) автором были получены представленные в таблице 2 значения модулей релаксации напряжений Ga, G, ползучести Уд, J„ и соответствующие им времена релаксации напряжений tQm и ползучести íjm (а = 1,2).

Таблица i

t, с ст(/), МПа £(/), МПа <3[(/), МПа G2(t), МПа

0 49,5 3093,75 2361,641 8141,447

2,6 43,5 2718,75 2078,164 7164,198

3,7 41,9 2618,75 2007,390 6920,213

5,5 40,3 2518,75 1907,591 6576,169

6,8 38,7 2418,75 1846,154 6364,372

9,4 36,8 2300,00 1745,141 6016,143

11,7 34,9 2181,25 1675,287 5775,333

15,7 33 2062,50 1585,657 5466,342

28,1 30,5 1906,25 1447,440 4989,861

49,2 28,6 1787,50 1367,651 4714,798

82 27,3 1706,25 1303,799 4494,676

98,5 26,8 1675,00 1277,446 4403,828

119,5 26,3 1643,75 1247,325 4299,988

150 25,4 1587,50 1209,426 4169,336

199,2 24,1 1506,25 1160,382 4000,265

300 22,9 1431,25 1093,587 3769,997

349,2 22,6 1412,50 1072,343 3696,761

382 22,2 1387,50 1061,095 3657,985

Характеристики капролита

т trm , t ,„ , С 0, о2 G", МПа G'", МПа ^ fm , ^ , С Jl J2 J? ,т J2

0 - 1005,064 3464,826 - 0,000995 0,000289

1 0,26-10" 80,200 276,480 0,26-10"" 0,000012 0,000008

2 9,29 804,593 2773,729 14,21 0,000226 0,000066

3 179,29 471,784 1626,413 265,96 0,000331 0,000096

•■"•Чи спей ней эксперимент ж Э«сперим витальные данные

\

V

ж ,

Ж

° SO 100 150 200 Z50 300 350 400 С

Рис.2. Процесс релаксации напряжений в растянутом образце из капролита при Т=20° С и £-0=1,6%

На рис. 2 сплошной линией представлены полученные автором результаты, а точками обозначены экспериментальные данные из работы М. А. Колтунов, В. П. Майборода, В. Г. Зубчанинов. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М.: Машиностроение, 1983. - 239 с. Совпадение экспериментальных данных и результатов численного эксперимента автора можно признать вполне удовлетворительным.

В третьей главе описаны основные алгоритмы численной реализации разработанной математической модели с помощью метода конечных элементов.

Исходя из сложности геометрической формы виброизолирующих конструкций в качестве конечного элемента в работе используется квадратичный 20 узловой изопараметрический элемент серендипова семейства, позволяющий с достаточной точностью аппроксимировать расчетную область практически любой геометрической формы.

Используемые в работе основные определяющие соотношения метода конечных элементов и вид используемых матриц и векторов получены на основе работ О. Зенкевича, К. Моргана, М. A. Crisfield, Л. Сегерлинда, Дж. Одена и K.-J. Bathe и полученных автором соотношений (1), (3), (7). Решение нелинейной задачи осуществляется с использованием алгоритма метода начальных напряжений. С целью уменьшения требуемых ресурсов ПЭВМ автором для хранения матриц используется приведенный в работах С. Писсанецки, А. Джорджа и Дж. Лю разреженный строчный неполный упорядоченный RR(U)0 и неупорядоченный RR(U)U форматы хранения. Решение системы линейных алгебраических уравнений осуществляется итерационным методом верхней релаксации.

Четвертая глава посвящена анализу результатов расчетов тестовых примеров, показывающих достоверность и работоспособность разработанных методов расчетов.

Таблица 3.

Данные о релаксации напряжений в образце из резины при Е\ х = -0,1679

t, С -&u(t), МПа -£(/), МПа -G](/), МПа ■G2(t), МПа

0 1,1325 6,121622 4,108471 306,0811

5 1,1010 5,951351 3,994196 297,5676

15 1,0371 5,605946 3,762380 280,2973

25 1,0175 5,500000 3,691275 275,0000

35 1,0070 5,443243 3,653183 272,1622

45 1,0018 5,415135 3,634319 270,7568

65 0,9887 5,344324 3,586795 267,2162

85 0,9770 5,281081 3,544350 264,0541

135 0,9626 5,203243 3,492110 260,1622

185 0,9548 5,161081 3,463813 258,0541

235 0,9496 5,132973 3,444948 256,6486

285 0,9444 5,104865 3,426084 255,2432

335 0,9378 5,069189 3,402140 253,4595

389 0,9365 5,062162 3,397424 253,1081

989 0,9156 4,949189 3,321603 247,4595

1589 0,9052 4,892973 3,283874 244,6486

2789 0,8986 4,857297 3,259931 242,8649

4589 0,8842 4,779459 3,207691 238,9730

5789 0,8829 4,772432 3,202975 238,6216

Сопоставим полученные автором результаты численного моделирования процесса релаксации напряжений с представленными в работе Е. В. Ломакин, Т. А. Белякова, Ю. П. Зезин. Нелинейное вязкоупругое поведение наполненных эластомерных материалов // Изв. Сарат.

ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2008. - т. 8:3. - с. 56 - 65 экспериментальными данными исследования процесса релаксации напряжений в цилиндрическом образце из резины плотностью 1200 кг/м3 с начальным диаметром 10 мм и начальной высотой 12 мм в условиях одноосного сжатия до уровня деформации =-0,1679 со скоростью деформирования на этапе нагружения 0,0082 - 0,01 с"' при нормальной температуре. В таблице 3 представлены наблюдаемое экспериментально в процессе релаксации напряжение сг(/) и полученные автором с использованием соотношений (11) и (13) значения функции релаксации напряжений £(/), О, (г) и 02(/). Численное значение коэффициента Пуассона для резины V = 0,49.

Путем обработки данных табл. 3 с помощью соотношений (10) и (14) автором были получены представленные в таблице 4 значения модулей релаксации напряжений б®, в" (а = 1,2), ползучести ,7®, (а = 1,2) и соответствующие им времена релаксации напряжений Г „ (а = 1,2) и ползучести г ,„ (а = 1,2).

"а а

Таблица 4.

т t „, t „ , с с, о2 G¡", МПа G2m, МПа t тШ i t ,m -> С ■Л" ,m J2

0 - 3,240 241,389 - 0,308631 0,004143

1 0,32-10"6 0,015 1,125 0,32-10'6 0,000891 0,000012

2 15,93 0,516 38,456 18,20 0,034401 0,000462

3 446,52 0,367 27,361 497.40 0,031720 0,000426

-ol/ЛЛ

МПа

"Численный эксперимент

: Экспериментальные язи»

1.05

Ж Ж

-—•-----1----I с

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Э5ГО 4000 4500 5000 5500 6000 '

Рис. 3. Процесс релаксации напряжений в сжатом цилиндрическом образце из резины при еп =-0,1679

В процессе численного моделирования автором нижний торец цилиндрического образца считался жестко закрепленным, а верхний его торец подвергался деформированию от значения £ц=0 со скоростью -0,01 с"1 до достижения уровня деформации £ц =-0,1679, после чего процесс деформирования прекращался, т. е. ец = const = -0,1679. В силу симметрии расчет производился для четверти исходного цилиндрического образца. Конечно-элементная модель содержит 192 элемента и 957 узлов.

На рис. 3 сплошной линией представлены полученные автором результаты численного эксперимента, а точками обозначены экспериментальные данные, полученные в работе Е. В. Ломакин, Т. А. Белякова, Ю. П. Зезин. Нелинейное вязкоупругое поведение наполненных эла-стомерных материалов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2008. - т. 8:3. - с. 56 - 65. Приведенные на рис. 3 данные демонстрируют хорошее соответствие, что может свидетельствовать о работоспособности и достоверности разработанных автором алгоритмов и программы и адекватности предлагаемой автором математической модели.

Рассмотрим задачу о кручении закрепленного на конце г = h прямого кругового цилиндра внутренним радиусом а = 0,005 м, наружным радиусом b = 0,015 м и длиной h = 0,040 м. Конец г = 0 испытывает закручивание с заданным углом Ф(0,/), определяемым зависимостью

( \ fo, t < о

Ф(0,/) = -j . . , где ¿ = 0,0021 рад - заданная амплитуда колебаний,

|fc-sin(2-я-•/•/), 0 </<оо

/ = 0,02 Гц - заданная частота колебаний.

Полученное автором решение основано на предлагаемой им математической модели. Конечно-элементная модель прямого кругового цилиндра содержит 3200 элементов и 15264 узла. Для описания механического поведения полиуретана автором использовались взятые из работы Р. Кристенсена. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. - 338 с и представленные в табл. 5 времена релаксации i „ и модули релаксации G"'. Представленные в табл. 5

численные значения модулей ползучести J®, J™ (а = 1,2) и соответствующие им времена

ползучести t „ (а = 1,2) получены автором с использованием (11) и (15), а численные значена

ния модулей релаксации G" и соответствующих им времен релаксации - с помощью (10) и условия постоянства коэффициента Пуассона v (для полиуретана v = 0,35):

^GiWrf-

Таблица 5.

Численные значения модулей релаксации напряжений G™, модулей ползучести J" и соответствующие им времена релаксации t ,„ и времена ползучести t т (а = 1,2)

m /G„,,c G{" -106, Па Gi -106, Па J\ j m J2

0 - 3,447379 15,51320 - 0,145038 0,032231

1 0,000015 6,874073 30,93333 0,000021 -249061,8145 -166401,9683

2 0,000150 3,709379 16,69221 0,000191 -0,442383 -0,069431

3 0,001500 3,406010 15,32704 0,001993 -0,011666 -0,002594

4 0,015000 2,702745 12,16236 0,020321 -0,016765 -0,003725

5 0,150000 2,109796 9,494080 0,208461 -0,025294 -0,005621

6 1,500000 1,061793 4,778067 1,869085 -0,022509 -0,005002

7 15,00000 0,820476 3,692142 18,524959 -0,027038 -0,005902

8 150,0000 0,137895 0,620528 156,178868 -0,006008 -0,001311

На рис. 4 представлено сопоставление результатов экспериментов на кручение полого цилиндрического образца из полиуретана. Крестиками отмечены экспериментальные данные из работы W. G. Gottenberg, R. М. Christensen. Prediction of the Transient Response of a Linear

Viscoelastic Solid. J. Appl. Mech., 33, 449 (1966); сплошная линия соответствует результатам, полученным с использованием аналитического решения приведенного в работе Р. Кристенсе-на. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. - 338 е.; прерывистой линией обозначены полученные автором результаты вычислительного эксперимента. Приведенные на рис. 4 данные демонстрируют вполне удовлетворительное соответствие полученных автором результатов и подтверждают адекватность и достоверность предлагаемых автором определяющих соотношений и математической модели.

-Аналитическое решение ---Вычислительный эксперимент X Экспериментальные данные

^ Q

Э24 -0.1 102 -0,С 016 -С.С 012 -0.С 008 -О.С 004 •Sk 0.0 N )08 0,0 >12 0.0 »6 0,( 02 0,0

N

м(ф , Н-м 1

Рис. 4. Крутящий момент М(ф) как функция угла закручивания Ф при стационарных крутильных колебаниях с частотой /=0,02 Гц для интервала времени 0 < I < 100 с

Приведем полученные автором результаты моделирования процесса деформирования однослойного резинометаллического виброизолятора под воздействием приложенного к его верхнему торцу равномерно распределенного по поверхности давления Закон изменения

, > [о, ? < 0

давления рц) = < . , . , где р0 = 0,6 МПа - заданная амплитуда измене-

но '3111(2-я: "</<со

ния давления, / = 0,5 Гц - заданная частота изменения нагрузки.

Общий вид виброизолятора представлен на рис. 5. Он имеет следующие характеристики: длина а=60 мм; ширина ¿>=60 мм; толщина армирующих металлических слоев Н=5,0 мм; толщина резинового слоя Ь=10,0 мм. Материалом жестких слоев является сталь с модулем упругости Е = 2,1 ■ 10й Па и коэффициентом Пуассона V = 0,3 . Для описания механических свойств резинового элемента используются представленные в табл. 4 численные значения модулей релаксации (/{", в™ и модулей ползучести J¡n, У™ и соответствующие им времена

релаксации / „,, г„„, и времена ползучести ? ,т , / „,. Связь

Сг| Сг2 .У | Ут

между резиной и металлом принимается идеальной.

резинометаллического виброизолятора

В силу симметрии расчет производился для четверти исходного амортизатора. Конечно-рлементная модель однослойного резинометаллического виброизолятора содержит 1200 элементов и 5885 узлов. Изменение высоты виброизолятора во времени в зависимости от приложенного к нему давления представлено на рис. 6. Сплошной линией представлены полученные ¡автором результаты численного моделирования вязкоупругого деформирования виброизолятора. Прерывистой линией представлены полученные с использованием основных положений опубликованных ранее автором работ результаты численного моделирования упругого деформирования того же виброизолятора с использованием модифицированного потенциала Муни -

Ривлина (значения констант С1 = С2 = МО6 Па) для описания механического поведения рези-

Я(/), м

о-' ]

-0.0)7 ¿ко.;

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0,2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 6. Изменение высоты однослойного резинометаллического виброизолятора в зависимости от приложенного к нему давления

Как видно из рис. 6 после прохождения некоторого переходного процесса деформирование виброизолятора принимает установившийся циклический характер. Кроме того рис. 6 показывает существенное качественное и количественное различие результатов моделирования Динамического поведения эластомерных элементов с использованием упругой и вязкоупругой моделей. Использование упругой модели в большинстве случаев не позволяет достаточно адекватно описать динамическое поведение эластомерных материалов, что приводит к возникновению значительной погрешности получаемых результатов.

Пространственное распределение полей напряжений, деформаций и перемещений в рассматриваемом однослойном резинометаллическом виброизоляторе для момента времени = 73 с. представлены на рис. 7 - 21. На этих рисунках слева представлена четверть деформированного амортизатора, а справа представлен тот же фрагмент, но повернутый вокруг вертикальной оси г на 180°.

Рис. 7-21 показывают, что даже при сравнительно простом режиме нагружения наблюда-Ьтся весьма сложный трехмерный характер распределения полей напряжений, деформаций и перемещений с наличием зон концентрации напряжений и выпучиванием эластомерного элемента на свободной боковой поверхности виброизолятора.

Рис. 7. Распределение напряжений стх

Рис. 11. Распределение напряжений т

Рис. 13. Распределение деформаций ех

Рис. 15. Распределение деформаций е2

Рис. 17. Распределение деформаций у

Рис. 8. Распределение напряжений с у

Рис. 10. Распределение напряжений т

Рис. 12. Распределение напряжений х

Рис. 14. Распределение деформаций Е

Рис. 16. Распределение деформаций у

Рис. 18. Распределение деформаций у

В заключении приведены основные результаты выполненной работы. В приложение вынесены листинги разработанной программы по расчету трехмерного напряженно-деформированного состояния.

Основные результаты и общие выводы

1. Получены обобщенные на случай трехмерного напряженно-деформированного состояния реологические соотношения, описывающие изотермическое вязкоупругое поведение эластомерных элементов виброизоляторов.

2. Произведена идентификация входящих в определяющие соотношения материальных параметров и разработан алгоритм их определения. В качестве материальных параметров используются модули ползучести при сдвиге и всестороннем сжатии, модули релаксации напряжений при сдвиге и всестороннем сжатии, а также времена ползучести и времена релаксации. Используемые для описания механического поведения эластомерных материалов материальные параметры находятся путем обработки экспериментальных данных о процессе релаксации напряжений в эластомерном образце в условиях одноосного сжатия или растяжения.

3. Построена математическая модель, описывающая процесс изотермического вязкоупру-гого деформирования эластомерных элементов виброзащитных конструкций.

4. На основе построенной математической модели созданы численный алгоритм и, основанная на методе конечных элементов, программа расчёта трехмерного напряженно-деформированного состояния (на алгоритмическом языке Lahey/Fujitsu Fortran 95). Для решения нелинейной задачи используется метод начальных напряжений (метод упругих решений). Существенным достоинством метода начальных напряжений является то, что он сходится для любой зависимости между напряжениями и деформациями. Расходимость означает, что данное тело исчерпало способность к деформированию. Кроме того метод начальных напряжений автоматически учитывает разгрузку, поэтому он весьма перспективен для применения при циклической нагрузке. Разработанная программа позволяет рассчитывать трехмерное напряженно-деформированное состояние эластомерных элементов виброизоляторов в процессе их вязкоупругого деформирования под воздействием произвольного сочетания внешних нагрузок, изменяющихся во времени по заранее заданным законам.

5. Работоспособность численного атгоритма и программы и достоверность получаемых с их помощью результатов проверены путем сопоставления результатов численного моделирования с известными расчетными и опытными данными.

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в следующих работах: Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Кожушко, А. А. Динамика управляемых пневматических виброзащитных систем амортизации крупногабаритных объектов / Г. С. Аверьянов, А. В. Зубарев, А. А. Кожушко, Р. Н. Хамитов // Вестник машиностроения. - 2008. - №7. - С. 17-19.

В других изданиях:

2. Кожушко, А. А. Проведение комплексных испытаний и моделирование процессов разрушения виброизоляторов на основе армированных высокоэластичных материалов при функционировании в составе пускового оборудования стартовых комплексов / Г. С. Аверьянов, А. А. Кожушко, В. Г. Цысс // XXVI Академические чтения по космонавтике : тез. докл. - М. : «Война и мир», 2002. - с. 245-246.

3. Кожушко, А. А. Динамика управляемых виброзащитных систем амортизируемых объектов / Г. С. Аверьянов, А. А. Кожушко // Динамика систем, механизмов и машин : материалы 5 Междунар. науч.-техн. конф. - Омск, 2004. - Кн. 1. - С. 3-6.

4. Кожушко, А. А. Определение напряженно-деформированного состояния резинометал-лических элементов / А. А. Кожушко // Роль механики в создании эффективных материалов, конструкций и машин XXI века : докл. Всерос. научн. - техн. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения доктора техн. наук, профессора В. Д. Белого / СибАДИ. - Омск.: СибАДИ, 2006. - С. 148-152. - ISBN 5-93204-327-Х.

5. Кожушко, А. А. Определение напряженно-деформированного состояния в резиноме-таллических элементах стартовых комплексов / А. А. Кожушко // Актуальные проблемы российской космонавтики : труды XXXI Академических чтений по космонавтике / Москва ; Под общей редакцией А. К. Медведевой. - М. : Комиссия РАН, 2007. - С. 294.

6. Кожушко, А. А. Трехмерное напряженно - деформированное состояние в резинометал-лических элементах с учетом краевых эффектов / А. А. Кожушко // Военная техника, вооружение и современные технологии при создании продукции военного и гражданского назначения. - Омск, 2007. - Ч. 2. - С. 96-101.

7. Кожушко, А. А. Неупругое квазистатическое деформирование резинометаллических элементов / А. А. Кожушко // Решетневские чтения : материалы XII Междунар. науч. конф., посвящ. памяти генерального конструктора ракетно-космических систем, академика М. Ф. Решетнева ; под общ. ред. И. В. Ковалева / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. - Красноярск : Изд-во Сиб. гос. аэрокосм, ун-та, 2008. - с. 128 - 129.

8. Кожушко, А. А. Неупругое квазистатическое деформирование резинометаллических элементов ракетно-космической техники / А. А. Кожушко // Проблемы разработки, изготовления и эксплуатации ракетно-космической и авиационной техники : материалы IV Всерос. науч. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения Гл. конструктора ПО "Полет" А. С. Клиныш-кова / ОмГТУ. - Омск, 2009. - С. 120-124.

9. Кожушко, А. А. Неупругое квазистатическое деформирование резинометаллических виброизоляторов / А. А. Кожушко // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий : материалы XXI Всерос. межвуз. науч.-техн. конф. / КВАКУ. - Казань, 2009. - Часть 1. - С. 388 - 390.

10. Кожушко, А. А. Квазистатическое неупругое деформирование резинометаллических виброизоляторов / А. А. Кожушко // Динамика систем, механизмов и машин : материалы VII Междунар. науч.-техн. конф. / ОмГТУ [и др.]. - Омск, 2009. - Кн. 2. - С. 177-181.

Подписано в печать 10.01.2012. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл.п.л. 0,9. Уч.-изд.л. 1,25. Тираж 100 экз. Тип.зак. 1 Заказное

Отпечатано на дупликаторе в полиграфической лаборатории кафедры «Дизайн и технологии медиаиндустрии» Омского государственного технического университета 644050,0мск-50, пр. Мира, 11

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛАСТОМЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1. Свойства эластомерных материалов и способы описания их механического поведения

1.2. Анализ деформации эластомерных элементов конструкций

1.3. Постановка задач исследования

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ПРОЦЕСС ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВЯЗКОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭЛАСТОМЕРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Кинематические соотношения

2.2. Приницп виртуальной работы

2.3. Определяющие соотношения механических моделей Максвелла и Кельвина - Фойгта

2.4. Вывод определяющих соотношений изотермического вязкоупругого поведения эластомерных материалов

2.5. Идентификация материальных параметров определяющих соотношений

2.6. Разработка алгоритма определения параметров определяющих соотношений

2.7. Математическая модель процесса изотермического вязкоупругого деформирования эластомерных элементов виброизоляторов

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

3.1. Дискретизация расчетной области и определение функций элемента

3.2. Основные определяющие соотношения метода конечных элементов

3.3. Алгоритм метода начальных напряжений

3.4. Разреженный формат хранения данных

3.5. Решение системы линейных алгебраических уравнений

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВЯЗКОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭЛАСТОМЕРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

4.1. Численное моделирование процесса релаксации напряжений в образце из капролита

4.2. Численное моделирование процесса релаксации напряжений в резиновом цилиндрическом образце

4.3. Численное моделирование процесса кручения цилиндрического образца из полиуретана

4.4. Численное моделирование длительных процессов релаксации напряжений в цилиндрических резиновых образцах

4.5. Численное моделирование процесса релаксации напряжений в резиновых образцах при различных уровнях деформации

4.6. Моделирование процесса изотермического вязкоупругого деформирования резинометаллического виброизолятора

4.7. Моделирование процесса изотермического вязкоупругого деформирования эластомерного элемента виброизолятора

Состояние и актуальность темы.

В процессе эксплуатации машины, приборы и аппаратура подвергаются ударным, вибрационным и сейсмическим нагрузкам, которые вызывают необратимые ухудшения их эксплуатационно-технических характеристик и могут привести к выходу их из строя. С целью снижения вибрационных и сейсмических нагрузок применяют различные виброизолирующие конструкции (упругие, упруго-демпферные и демпферные опоры, резиновые прокладки и амортизаторы, виброизолирующие покрытия и т.д.). Виброизолирующие конструкции на основе эластомерных материалов по многим параметрам превосходят традиционные системы того же назначения и позволяют находить принципиально новые конструктивные решения ответственных узлов современных технических систем.

Возрастающее использование эластомерных материалов во многих областях современной техники приводит к необходимости описания с высокой точностью кратковременных и длительных характеристик деформирования и разрушения эластомерных элементов конструкций. Повсеместное использование эластомеров в нефтегазовой промышленности, машиностроении, гражданском строительстве, кораблестроении, авиационной и аэрокосмической технике ставит широкий круг исследовательских задач. В него, прежде всего, входит проведение всестороннего комплекса экспериментальных исследований. Первостепенное значение имеет формулировка математической модели, позволяющей описать напряженно-деформированное состояние эластомерных элементов с учетом физической и геометрической нелинейности, процессов ползучести, релаксации напряжения или накопления остаточной деформации, накопления повреждений и разрушения, описания частотно- и ампли-туднозависимого внутреннего трения, а также разработка экспериментальных методов определения материальных функций и функционалов, входящих в определяющие соотношения. Проблемы учета вязкоупругих свойств эластомеров важны в практических задачах, связанных с оценкой динамической жесткости и диссипативных потерь при циклических режимах работы, с оценкой релаксации напряжений и ползучести эластомерных элементов конструкций, с анализом нестационарных режимов нагружения. Кроме того возникает необходимость в уточнении существующих алгоритмов численных расчетов для анализа поведения конструкций из эластомерных элементов при различных условиях нагружения и деформирования. Поэтому задача математического моделирования вязкоупругого деформирования эластомерных элементов виброизоляторов является актуальной.

Цель работы.

Целью настоящей работы является совершенствование методов и алгоритмов расчета напряженно-деформированного состояния эластомерных элементов виброизоляторов.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Разработка трехмерной математической модели, описывающей процесс изотермического вязкоупругого деформирования эластомерных элементов виброизоляторов.

2. Вывод реологических соотношений, описывающих вязкоупругое поведение эластомерных элементов виброизоляторов.

3. Разработка алгоритма определения материальных параметров реологических соотношений по экспериментальным данным.

4. Разработка алгоритма численного расчета напряженно - деформированного состояния эластомерных элементов с учетом их вязкоупругого поведения.

5. Создание основанной на методе конечных элементов программы расчета напряженно-деформированного состояния эластомерных элементов виброизоляторов в процессе их изотермического вязкоупругого деформирования и проведение практических расчетов.

Научная новизна.

Путем комбинации моделей механического поведения Максвелла и Кельвина - Фойгта и использованием основных положений линейной теории вяз-коупругости получены описывающие трехмерное напряженно-деформированное состояние реологические соотношения, учитывающие особенности вязкоупругого поведения эластомерных элементов виброизоляторов.

Разработан алгоритм определения материальных параметров реологических соотношений по экспериментальным данным на релаксацию эластомер-ного образца в условиях одноосного растяжения или сжатия.

Построена математическая модель, позволяющая описывать трехмерное напряженно-деформированное состояние эластомерных элементов виброизоляторов в процессе их изотермического вязкоупругого деформирования.

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью постановки задач исследования, использованием адекватных математических моделей изучаемых явлений, применением апробированных численных методов, сравнением полученных результатов с результатами расчетов других авторов, использующих другие методы и сопоставлением полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

1. Обеспечено эффективное проведение практических численных расчётов виброизолирующих конструкций за счет достаточно простой математической структуры полученных определяющих соотношений.

2. Предложен алгоритм численного расчёта напряженно-деформированного состояния виброизолирующих конструкций на основе эластомерных материалов, который благодаря реализации разработанной методики описания процессов вязкоупругого деформирования эластомерных элементов позволяет оценивать динамическую жесткость и диссипативные потери при циклических режимах работы, релаксацию напряжений и ползучесть эластомерных элементов конструкций, анализировать нестационарные режимы нагружения и описывать частотно- и амплитуднозависимое внутреннее трение в эластомерных элементах.

3. Создана основанная на методе конечных элементов программа расчёта (на алгоритмическом языке Lahey/Fujitsu Fortran 95) изотермического вязко-упругого деформирования виброизолирующих конструкций на основе эластомерных элементов.

4. Результаты работы внедрены и используются в ООО «НПП «Сибрези-нотехника» (г. Омск).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель, позволяющая описывать процессы изотермического вязкоупругого деформирования эластомерных элементов виброизолирующих конструкций.

2. Реологические соотношения, описывающие изотермическое вязкоуп-ругое поведение эластомерных материалов.

3. Алгоритм определения материальных параметров реологических соотношений по экспериментальным данным на релаксацию в условиях одноосного растяжения или сжатия.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

XXVI Академические чтения по космонавтике (Москва, 2002 г.); II Международный технологический конгресс «Развитие оборонно - промышленного комплекса на современном этапе» (Омск, 2003 г.); V Международная научно - техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2004 г.); Всероссийская научно - техническая конференция «Роль механики в создании эффективных материалов, конструкций и машин XXI века» (Омск, 2006 г.); XXXI Академические чтения по космонавтике, посвященные 100-летию со дня рождения академика С. П. Королева (Москва, 2007); IV Международный технологический конгресс «Военная техника, вооружение и современные технологии при создании продукции военного и гражданского назначения» (Омск, 2007 г.); XII Международной научной конференции, посвященной Памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М. Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2008 г.); семинар кафедры «Прочность летательных аппаратов» Новосибирского государственного технического университета под руководством д.т.н., профессора И. П. Олегина (Новосибирск, 2009 г.); IV Всероссийской научной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения Главного конструктора ПО «Полет» А. С. Клинышкова «Проблемы разработки, изготовления и эксплуатации ракетно-космической и авиационной техники» (Омск, 2009 г.); VII Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2009 г.); межкафедральном научном семинаре имени заслуженного деятеля науки профессора Белого В. Д. в Омском государственном техническом университете (Омск, 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных научных работ, из них 2 публикации в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых изданий, рекомендованных ВАК для опубликования материалов диссертационных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и 2 приложений. Общий объем диссертации составляет 151 стр., включая 34 рисунка, 14 таблиц и два приложения на 18 страницах. Список литературы содержит 179 наименований.

Выводы по главе

1. Путем решения тестовых задач проверена работоспособность разработанной автором программы, реализующей математическую модель процесса изотермического вязкоупругого деформирования эластомерных элементов.

2. Достоверность и адекватность получаемых с помощью разработанной автором программы результатов проверена путем сопоставления результатов численного моделирования с известными и экспериментальными данными отобранных представительных примеров.

3. На примере моделирования процесса изотермического вязкоупругого деформирования резинометаллического виброизолятора показаны возможности предлагаемой автором математической модели и программы по определению пространственного распределения во времени полей напряжений, деформаций и перемещений с учетом вязкоупругого поведения эластомерного материала.

4. На примере моделирования процесса изотермического вязкоупругого деформирования эластомерного элемента виброизолятора показана возможность предлагаемой автором математической модели и программы вполне адекватного описания частотно зависимого внутреннего трения в эластомерных материалах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Основываясь на вариационном принципе виртуальной работы построена математическая модель, описывающая процесс изотермического вяз-коупругого деформирования эластомерных элементов виброизоляторов. Математическая модель построена с использованием основных положений линейной теории вязкоупругости. Решение вязкоупругой задачи осуществляется в трехмерной постановке с использованием упрощающего предположения о независимости вязкоупругих свойств материала от температуры.

2. Путем комбинации моделей механического поведения Максвелла и Кельвина - Фойгта с использованием основных положений линейной теории вязкоупругости получены описывающие трехмерное напряженно-деформированное состояние реологические соотношения, учитывающие особенности вязкоупругого поведения эластомерных элементов виброизоляторов.

3. Путем раздельного рассмотрения эффектов искажения формы и изменения величины объема и дальнейшей комбинации полученных результатов идентифицированы материальные параметры определяющих соотношений изотермического вязкоупругого поведения эластомерных материалов. Математически это достигалось разложением тензоров напряжений на их девиа-торную и шаровую части, для каждой из которых записывались вязкоупругие реологические соотношения. В качестве материальных параметров используются модули ползучести при сдвиге J™ и всестороннем сжатии 3™ , модули релаксации напряжений сдвига О™ и релаксации напряжений при всестороннем сжатии , а также времена ползучести / т и времена релаксации ( т . а "а

4. Разработан алгоритм определения материальных параметров реологических соотношений по экспериментальным данным на релаксацию в условиях одноосного сжатия или растяжения.

5. На основе построенной математической модели созданы численный алгоритм и, основанная на методе конечных элементов, программа расчёта трехмерного напряженно-деформированного состояния (на алгоритмическом языке Lahey/Fujitsu Fortran 95). Разработанная программа позволяет рассчитывать трехмерное напряженно-деформированное состояние эластомерных элементов виброизоляторов в процессе их вязкоупругого деформирования под воздействием произвольного сочетания внешних нагрузок, изменяющихся во времени по заранее заданным законам. Для решения нелинейной задачи используется метод начальных напряжений (метод упругих решений). Существенным достоинством метода начальных напряжений является то, что он сходится для любой зависимости между напряжениями и деформациями. Расходимость означает, что данное тело исчерпало способность к деформированию. Кроме того метод начальных напряжений автоматически учитывает разгрузку, поэтому он весьма перспективен для применения при циклической нагрузке. Для повышения эффективности программы расчета в работе используется разреженный строчный вид представления матриц.

6. Работоспособность численного алгоритма и программы и достоверность получаемых с их помощью результатов проверены путем сопоставления результатов численного моделирования с известными расчетными и экспериментальными данными.

7. На примерах моделирования процессов деформирования однослойного резинометаллического виброизолятора и эластомерного элемента виброизолятора продемонстрированы основные возможности предлагаемой автором математической модели и разработанной им программы.

1. Лавендел, Э. Э. Расчет резинотехнических изделий / Э. Э. Лавендел. - М. : Машиностроение, 1976. - 231 с.

2. Лепетов, В. А. Резиновые технические изделия / В. А. Лепетов. Л. : Химия, 1976. - 440 с.

3. Лепетов, В. А. Расчеты и конструирование резиновых изделий / В. А. Лепетов, Л. Н. Юрцев. Л. : Химия, 1977. - 408 с.

4. Потураев, В. Н. Резиновые и резинометаллические детали машин / В. Н. Потураев. М. : Машиностроение, 1966. - 299 с.

5. Потураев, В. Н. Резиновые детали машин / В. Н. Потураев, В. И. Дырда. -М. : Машиностроение, 1977. 216 с.

6. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластичных материалов / С. И. Дымников, Э. Э. Лавендел, А-М. А. Павловские, М. И. Сниегс. Рига : Зи-натне, 1980. - 238 с.

7. Гусятинская, Н. С. Применение тонкослойных резинометаллических элементов (ТРМЭ) в станках и других машинах / Н. С. Гусятинская. М., 1975. -83 с.

8. Ривин, Е. И. Новые конструкции виброизолирующих опор и ковриков / Е. И. Ривин // Вестн. машиностроения. 1967. - № 2. - С. 47-54.

9. Дашевский, М. А. Виброзащита крупнопанельных зданий / М. А. Дашев-ский, В. В. Моторин, М. А. Мамажанов // Строительные материалы, оборудование, технологии XXI века. 2004. - № 10. - С. 44-45.

10. Ляпунов, В. Т. Резиновые виброизоляторы : Справочник / В. Т. Ляпунов, Э. Э. Лавендел, С. А. Шляпочников. Л. : Судостоение, 1988. - 216 с.

11. Тагер, А. А. Физико химия полимеров / А. А. Тагер : под ред. А. А. Ас-кадского. - Изд. 4-е, перераб. и доп. - М. : Научный мир, 2007. - 575 с.

12. Райт, П. Полиуретановые эластомеры / П. Райт, А. Камминг. JI. : Химия, 1973. - 304 с.

13. Переработка каучуков и резиновых смесей : (Реологические основы, технология, оборудование) / Е. Г. Вострокнутов, М. И. Новиков, В. И. Новиков, Н. В. Прозоровская. М. : Химия, 1980. - 280 с.

14. Бартенев, Г. М. Физика полимеров / Г. М. Бартенев, С. Я. Френкель; Под ред. А. М. Ельяшевича. JI. : Химия : Ленингр. отделение, 1990. - 429,1. с. -ISBN 5-7245-0554-1.

15. Аскадский, А. А. Компьютерное материаловедение полимеров / А. А. Ас-кадский, В. И. Кондращенко; Рос. Акад. Наук. Ин-т элементоорган. Соединений им. А. Н. Несмеянова. М. : Научный мир, 1999. Т.1 : Атомно - молекулярный уровень. - 1999. - 543 с.

16. Гольберг, И. И. Механическое поведение полимерных материалов / И. И. Гольберг. М. : Химия, 1970. - 192 с.

17. Липатов, Ю. С. Структура и свойства полиуретанов / Ю. С. Липатов, Ю. Ю. Керча, Л. М. Сергеева. Киев : Наукова думка, 1970. - 280 с.

18. Алфрей, Т. Механические свойства высокополимеров / Т. Алфрей : под ред. М. В. Волькенштейна. М. : Издатинлит, 1952. - 619с.

19. Бартенев, Г. М. Структура и релаксационные свойства эластомеров / Г. М. Бартенев. М. : Химия, 1979. - 288 с.

20. Бухина, М. Ф. Техническая физика эластомеров / М. Ф. Бухина. М. : Химия, 1984. - 224 с.

21. Марк, Дж. Каучук и резина. Наука и технологии. Монография. Пер. с англ.: Научное издание / Дж. Марк, Б. Эрман, Ф. Эйрич (ред.) Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2011. - 768 с.

22. Слонимский, Г. Л. О законе деформации высокоэластичных полимерных тел / Г. Л. Слонимский // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 140, № 2. - с. 343 - 346.

23. Аскадский, А. А. Деформация полимеров / А. А. Аскадский. М. : Химия, 1973.-448 с.

24. Федюкии, Д. JI. Технические и технологические свойства резин / Д. JI. Федюкин, Ф. А. Махлис. М. : Химия, 1985. - 236 с.

25. Gent, А. N. Load-deflection relations and surface strain distributions for flat rubber pads / A. N. Gent // Rubber Chem. Techn. 1958. - Vol. 31, №2. - P. 395414.

26. Gent, A. N. Form for the stored (strain) energy function for vulcanized rubber / A. N. Gent, A. C. Thomas // J. Polym. sci. 1958. - Vol. 28. №118. - P. 625-628.

27. Porter, L. S. Influence of compression upon the shear properties of bonded rubber blocks / L. S. Porter, E.A. Meinecke // Rubber Chem. Technol. 1980. - Vol. 53, №5. - P. 1133-1144.

28. Schapery, R. A. Elastic stability of laminated elastomeric columns / R. A. Schapery, D. P. Skala //Int. J. Solids Struct. 1976. - Vol. 12, №6. - P. 401-417.

29. Леиканд, М. А. Экспериментальное исследование изменения объема резины при сжатии и растяжении / М. А. Леиканд, Э. Э. Лавендел, С. В. Львов // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинат-не, 1982, -Вып.38. - С. 49-54.

30. Roeder, С. W. Elastomeric bearings : Slate-uf-the Art / С. W. Roeder, J. F. Stanton //J. Struct. Engn. 1983. - Vol. 109, №12.-P. 2813-2871.

31. Новацкий В. К. Волновые задачи теории пластичности / В. К. Новацкий. -М. : Мир, 1978.- 307 с.

32. Бартенев, Г. М. О законах сжатия и растяжения резины / Г. М. Бартенев // Докл. АН СССР. 1952. - Т. 84, № 4. - С. 689-692.

33. Бартенев, Г. М. О модулях резины при статическом сжатии / Г. М. Бартенев, В. И. Новиков // Докл. АН СССР. 1953. - Т. 91, №5. - С. 1027-1030.

34. Григорьев, Е. Т. Расчет и конструирование резиновых амортизаторов / Е. Т. Григорьев. М. : Машгиз, 1960. - 160 с.

35. Лурье, А. И. Нелинейная теория упругости / А. И. Лурье. М. : Наука, 1980. - 512 с.

36. Черных, К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах / К. Ф. Черных. Л. : Машиностроение, 1986. - 336 с.

37. Черных, К. Ф. Об учете сжимаемости резин / К. Ф. Черных, И. М. Шубина // Механика эластомеров : межвуз. сб. / Краснодар, политехи, ин-т. Краснодар : КПИ, 1978. - Вып. 268. - Т. 2. - С. 56-62.

38. Дунаев, И. М. Обобщенный упругий потенциал для расчета конструкций из эластичных полимеров / И. М. Дунаев // Изв. вузов. Строит, и арх. 1975. -№10.-С. 52-59.

39. Дымников, С. И. Упругие потенциалы для слабосжимаемых эластомерных материалов / С. И. Дымников, И. Р. Мейерс, А. Г. Эрдманис // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1982. - Вып. 40. - С. 98-108.

40. Трелоар, Л. Введение в науку о полимерах / Л. Трелоар. М. : Мир, 1973. -238 с.

41. Черных, К. Ф. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов (феноменологический подход) / К. Ф. Черных, И. М. Шубина // Механика эластомеров : межвуз. сб. / Краснодар, политехи, ин-т. Краснодар : КПИ, 1977. - Вып. 242, Т. 1. - С. 54-64.

42. Blats, P. J. Strain energy function for rubber-like materials based on generalized measure of strain / P. J. Blats, S. C. Sharda, N. W. Tschoegl //Trans. Soc. Rheology. 1974. - Vol. 18, №1. - P. 145-161.

43. Murnagan, F. Finite deformation of the elastic solids / F. Murnagan. New York, 1951.-205 p.

44. Дымников, С. И. Нелинейная постановка задач расчета тонкослойных ре-зинометаллических элементов / С. И. Дымников // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1982. - Вып. 40. - С. 3441.

45. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. М. : Мир, 1976. - 464 с.

46. Грин, А. Е. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Е. Грин, Дж. Е. Адкинс. М. : Мир, 1965. - 455 с.

47. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. М. : Наука, 1970. - 940 с.

48. Бленд, Д. Теория линейной вязкоупругости / Д. Бленд. М. : Изд-во Мир, 1965. - 198 с.

49. Работнов, Ю. Н. Ползучесть элементов конструкции / Ю. Н. Работнов. М. : Наука, 1966. - 752 с.

50. Ильюшин А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря. М. : Наука, 1970. - 280 с.

51. Механика в СССР за 50 лет. В 4 т. Т. 3. Механика деформируемого твердого тела / Под ред. Л. И. Седова. М. : Наука, 1972. - 480 с.

52. Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости / Р. Кристенсен. М. : Мир, 1974. - 338 с.

53. Мейз, Дж. Теория и задачи механики сплошных сред / Дж. Мейз. М. : Мир, 1974. - 318 с.

54. Работнов, Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю. Н. Работнов. М. : Наука, 1977. - 384 с.

55. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работ-нов. М. : Наука, 1979. - 744 с.

56. Ишлинекий, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлин-ский, Д. Д. Ивлев. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 701 с. - ISBN 5-9221-0141-2.

57. Горшков, А. Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций / А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 576 с. - ISBN 5-9221-0567-1.

58. Ржаницын, А. Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени / А. Р. Ржаницын. М.-Л. : Гостехиздат, 1949. - 252 с.

59. Ржаницын, А. Р. Теория ползучести / А. Р. Ржаницын. М. : Стройиздат, 1968. - 16 с.

60. Уржумцев, Ю. С. Прогностика деформативности полимерных материалов / Ю. С. Уржумцев, Р. Д. Максимов. Рига : Зинатне, 1975. - 416 с.

61. Колтунов, М. А. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов / М. А. Колтунов, В. П. Майборода, В. Г. Зубчанинов. М. : Машиностроение, 1983. - 239 с.

62. Проблемы механики : Сб. ст. к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлин-ского / Редкол. : Д. М. Климов (гл. ред.) и др.. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. -829 с. - ISBN 5-9221-0422-5 : 400.

63. Кабанов, В. А. К вопросу о кинетике релаксационных процессов в реальных полимерных телах / В. А. Кабанов // Докл. АН СССР. 1970. - Т. 195, №2. - С. 402 -405.

64. Слонимский, Г.Л. Статистическое описание релаксационных процессов в полимерах / Г. Л. Слонимский, В. О. Шестопал // Высокомолек. соединения. -1978. А20, №8. - С. 1712 - 1721.

65. Аскадский, А. А. Новые возможные типы ядер релаксации / А. А. Аскад-ский // Механ. композит, материалов. 1987. - №3. - С. 403 - 409.

66. Карнаухов, В. Г. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении / В. Г. Карнаухов, И. К. Сенченков, В. П. Гуме-нюк.- Киев : Наукова думка, 1985. 288 с.

67. Пальмов, В. А. Реологические модели в нелинейной механике деформируемых тел / В. А. Пальмов // Успехи механики (Advances in Mechanics). -1980.-T. 3, вып. З.-С. 75- 115.

68. Роговой, А. А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций / А. А. Роговой, Р. С. Новокшанов // Изв. РАН. МТТ. 2002. - №4. С. - 77 - 95.

69. Свистков, А. Л. Дифференциальная модель вязкоупругого пластически деформируемого материала / А. Л. Свистков // ПМТФ. 1996. - Т. 37, № 5. - С. 178 - 188.

70. Svistkov, A. L. Mechanical properties and mass transfer of viscoelastic deform-able media / A. L. Svistkov // Int. J. Engi. Sei. 2001. - Vol. 39. - P. 1509 - 1532.

71. Рейнер, M. Реология / M. Рейнер. M. : Наука, 1965. - 224 с.

72. Малинин, H. H. Прикладная теория пластичности и ползучести / H. Н. Ма-линин. М. : Машиностроение, 1975. - 400 с.

73. Колтунов, М. А. Прикладная механика деформируемого твердого тела / М. А. Колтунов, А. С. Кравчук, В. П. Майборода. М. : Высш. школа, 1983. - 349 с.

74. Бидерман, В. JI. Влияние малой сжимаемости резины на жесткость низких резинометаллических амортизаторов / В. JI. Бидерман, Г. В. Мартьянова // Изв. вузов. Машиностроение. 1980. - №9. - С. 128-134.

75. Бидерман, В. JI. Влияние сжимаемости на радиальную податливость рези-нометаллического шарнира / В. Л. Бидерман, Г. В. Мартьянова // Расчеты на прочность. Вып. 21. - М., 1980. - С. 5-14.

76. Бидерман, В. Л. Сжатие и изгиб тонкослойных резинометаллических элементов / В. Л. Бидерман, Г. В. Мартьянова // Расчеты на прочность. Вып 23. -М., 1983. - С. 32-47.

77. Gent, А. N. Inteifacial stresses for bonded rubber bloks in compression and shear / A. N. Gent, R. L. Henry, M. L. Roxbury //Trans. ASME, J. Appl. Mech. -1974. Vol. 41, №4. - P. 855-859.

78. Gent, A. N. Compression, bending and shear of bonded rubber blocks / A. N. Gent, E. A. Meinecke // J. Polym. Engn. Sci. 1970. - Vol. 10, №1. - P. 48-53.

79. Мальков, В. M. Механика многослойных эластомерных конструкций / В. М. Мальков. СПб. : Изд-во С. - Петербургского университета, 1998. - 320 с.

80. Gent, А. N. The compression of bonded lubber blocks / A. N. Gent, D. B. Lind-ley // Proc. Inst. Mech. Engn. A. 1959. - Vol. 173. - P. 111-122.

81. Лавендел, Э. Э. Расчет жесткости сжатия тонкослойных резинометаллических элементов / Э. Э. Лавендел, В. А. Хричикова, М. А. Леиканд // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1981. -Вып. 38. - С. 57-63.

82. Леиканд, М. А. Исследование жесткости сдвига тонкослойных резинометаллических элементов при действии сжимающих нагрузок / М. А. Леиканд,

83. Э. Э. Лавендел, С. В. Львов, Г. И. Тарновский // Механика эластомеров : меж-вуз. сб. / Краснодар, политехи, ин-т ; ред. И. М. Дунаев Краснодар : КПИ, 1981. - С. 83-86.

84. Лейканд, М. А. Тонкослойные сферические эластомерные подшипники / М. А. Лейканд, Э. Э. Лавендел, С. В. Львов, В. А. Хричикова // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1980. - Вып. 36. - С. 169-180.

85. Черных, К. Ф. Тонкие резинометаллические элементы / К. Ф. Черных, Л. В. Милякова // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Ленинград, 1981. - Вып. 4, № 19. - С. 88-96.

86. Черных, К. Ф. Вариационный подход к расчету тонких резинометалличе-ских элементов / К. Ф. Черных, Л. В. Милякова // Механика деформируемого твердого тела : Сб. научн. тр. / Под ред. Л. А. Толоконникова. Тула : ТПИ, 1983. - С. 151-156.

87. Горелик, Б. М. Влияние механических и геометрических параметров тонкослойных резинометаллических элементов на их жесткостные характеристики / Б. М. Горелик, В. И. Колосова, В. А. Тихонов, В. А. Щеголев // Каучук и резина. 1980. - №8. - С. 40-44.

88. Щеголев, В. А. Характеристика тонкослойных резинометаллических элементов при растяжении-сжатии / В. А. Щеголев, Н. Г. Яковлев // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1981. -Вып. 38. - С. 54-56.

89. Милякова, JI. В. Жесткость на сжатие плоского имитатора / JI. В. Миляко-ва // Механика эластомеров : межвуз. сб. / Краснодар, политехи, ин-т ; ред. И. М. Дунаев Краснодар : КПИ, 1981. - С. 76-79.

90. Бартенев, Г. М. О выборе уравнения деформации для высокоэластичных материалов / Г. М. Бартенев, В. П. Никифоров, Б. X. Аврущенко, А. Б. Кусов // Каучук и резина. 1969. - №6. - С. 33-35.

91. Бартенев, Г. М. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров / Г. М. Бартенев, Т. Н. Хазанович // Высокомолекулярные соединения. -1960. Т. 2, № 1. - С. 20-28.

92. Yeoah, О. Н. Some forms of the strain energy function for rubber / О. H. Yeoah // Rubber Chem. Technol. 1993. - Vol. 66. - P. 754-771.

93. Peng, S. Т. J. Stored energy function and compressibility of compressible rubber-like materials under large strain / S. T. J. Peng, R. F. Landel // J. Appl. Phys. -1975. Vol. 46. № 6. - P. 2599-2604.

94. Sharda, S. C. A strain energy density function for compressible rubber-like materials / S. C. Sharda, N. W. Tschoegl // Trans. Soc. Rheol. 1976. - Vol. 20. №3. -P.361-372.

95. Бидерман, В. JI. Сжатие низких резинометаллических амортизаторов и прокладок / В. JI. Бидерман // Изв. АН СССР. Мех. и маш. 1962. - № 3. - С. 154-158.

96. Лейканд, М. А. Эластомерные подшипники в современной технике / М. А. Лейканд // Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов : тез. докл. Всесоюз. научно-техн. конф. Рига, 1989. - С. 111-112.

97. Лейканд, М. А. Демпфирующие свойства тонкослойных эластомерных элементов / М. А. Лейканд, С. В. Львов // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1981. - Вып. 37. - С. 84-90.

98. Lindley, Р. В. Plane-stress analysis of rubber at high strains using finite-elements / P. B. Lindley // J. Strain Anal. 1971. - Vol. 6, №1. - P. 45-52.

99. Мансурова, С. E. Некоторые осесимметричные задачи нелинейной теории упругости : диссертация . кандидата физико-математических наук : 01.02.04. Санкт-Петербург, 1998. - 163 с.

100. Киричевский, В. В. Нелинейный расчет виброизоляторов из эластомеров для вибрационно-загрузочных устройств на основе МСКЭ / В. В. Киричевский, Н. Н. Шилан // Проблемы прочности. 1988. - №7. - С. 85-91.

101. Акчурин, Т. Р. Нелинейный подход к расчету осесимметрично деформируемого резинометаллического шарнира / Т. Р. Акчурин // Нелинейн. проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. 2000. - Вып. 3. - С. 146-158.

102. Lindley, Р. В. Compression moduli for blocks of soft elastic material bonded to rigid end plates / P. B. Lindley // J. Strain Anal. 1979. - Vol. 14, №1. - P. 11-16.

103. Lindley, P. B. Plane strain rotation moduli for soft elastic blocks / P. B. Lindley // J. Strain Anal. 1979. - Vol. 14, №1. - P. 17-21.

104. Lau Ming, G. Three-dimentional solid finite element models for computing compressive stiffnesses of bonded rubber blocks / G. Lau Ming // Can. J. Civ. Engn. 1985. -Vol. 12, №4. - P. 767-773.

105. Горелик, Б. М. Деформационные характеристики плоскопараллельных тонкослойных резинометаллических цилиндров / Б. М. Горелик, В. И. Колосова, В. А. Щеголев // Каучук и резина. 1980. - №2. - С. 15-46.

106. Ривин, Е. И. Экспериментальное исследование статической жесткости сжатия и сдвига ТРМЭ / Е. И. Ривин, JI. И. Аронштам // Каучук и резина. -1972. №7. - С. 37-40.

107. Тихонов, В. А. Применение тонкослойных резиноме-таллических элементов для виброзащитных систем / В. А. Тихонов, Н. Г. Яковлев // Колебания и виброакустическая активность машин и конструкций. М., 1986. - С. 3342.

108. Новожилов, В. В. Теория упругости / В. В. Новожилов. JI. : СУДПРОМ-ГИЗ, 1958.- 370с.

109. Ананьин, М. С. Упрощенная модель для расчета нелинейных характеристик ТРМЭ / М. С. Ананьин, С. И. Дымников, М. А. Лейканд и др. // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1984. -Вып.44. - С. 8-15.

110. Дымников, С. И. Вариант модели физически нелинейной среды для статических расчетов тонкослойных резинометаллических элементов / С. И. Дымников // Каучук и резина. 1981. - №4. - С. 46-50.

111. Слепян, Л. И. Об одном приближенном методе решения задач теории упругости / Л. И. Слепян, Е. В. Витязева // Докл. АН СССР. 1984. - Т. 277, №3. - С. 556-559.

112. Дымников, С. И. Расчет теплообразования в тонкослойных резинометал-лических элементах / С. И. Дымников, И. А. Дамбе // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1982. - Вып. 52. - С. 34-41.

113. Дырда, В. И. Расчет теплообразования в цилиндрическом амортизаторе при циклическом нагружении / В. И. Дырда, В. Г. Карнаухов, А. В. Мазнецо-ва, И. К. Сенченков // Каучук и резина. 1976. - № 10. - С. 40-42.

114. Лавендел, Э. Э. Расчет температурного поля в резинометаллическом амортизаторе растяжения сжатия / Э. Э. Лавендел, А.-М. А. Павловские // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. - Рига : Зинатне, 1974. - Вып. 28. - С 134-140.

115. Лавендел, Э. Э. Расчет температурного поля при кинематическом возбуждении амортизатора / Э. Э. Лавендел, В. А. Санкин // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1977. - Вып. 19. - С. 145-148.

116. Павловские, А.-М. А. Расчет температурного поля цилиндрического амортизатора в режиме сканирования частотного интервала / А.-М. А. Павловские // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1984. - Вып. 44. - С. 63-69.

117. Санкин, В. А. Определение температурного поля при кинематическом возбуждении цилиндрического амортизатора / В. А. Санкин // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1970. - Вып. 20. - С. 161-172.

118. Санкин, В. А. Расчет интенсивности температурных полей в резиновых амортизаторах / В. А. Санкин // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1971. - Вып. 21. - С. 145-152.

119. Coleman, В. D. Foundations of linear viscoelasticity / В. D. Coleman, W. Noll // Reviews of Modern Phys. 1961. - Vol. 33, № 2. - P. 239 - 249.

120. Green, A. E. The mechanics of non-linear material with memory, Part 1 / A. E. Green, R. S. Rivlin // Arch. Rat. Mech. Anal. 1957. - Vol. 1. - P. 1 - 21.

121. Green, A. E. The mechanics of non-linear material with memory, Part 2 / A. E. Green, R. S. Rivlin, A. J. M. Spenser // Arch. Rat. Mech. Anal. 1960. - Vol. 3, №1. - P. 82-90.

122. Green, A. E. The mechanics of non-linear material with memory, Part 3 / A. E. Green, R. S. Rivlin // Arch. Rat. Mech. Anal. 1960. - Vol. 4, №5. - P. 387 - 404.

123. Yadagiri, S. Viscoelastic analysis of nearly incompressible solids / S. Yadagiri, C. Papi. Reddy // Comput. & Struct. 1985. - Vol. 20, №5. - P. 817 - 825.

124. Дымников, С. И. Поведение вязкоупргой среды при наложении малой деформации на конечные / С. И. Дымников, В. А. Дружинин // Вопросы динамики и прочности : сб. ст. / Риж. политехи, ин-т. Рига : Зинатне, 1977. - Вып. 34. - С. 130 - 136.

125. Kim, В.-К. A viscoelastic constitutive model of rubber under small oscillatory load superimposed on large static deformation / B.-K. Kim, S.-K. Youn // Archive of Appl. Mech. 2001. - V. 71. - P. 748 - 763.

126. Reese, S. A theory of finite voscoelasticity and numerical aspects / S. Reese, S. Govindjee // International Journal of Solids and Structures. 1998. - Vol. 35. - P. 3455 - 3482.

127. Аверьянов, Г. С. Динамика управляемых виброзащитных систем амортизируемых объектов / Г. С. Аверьянов, А. А. Кожушко // Динамика систем, механизмов и машин : материалы 5 Междунар. науч.-техн. конф. Омск, 2004. -Кн. 1. - С. 3-6.

128. Динамика управляемых пневматических виброзащитных систем амортизации крупногабаритных объектов / Г. С. Аверьянов, А. В. Зубарев, А. А. Кожушко, Р. Н. Хамитов // Вестник машиностроения. 2008. - №7. - С. 17-19.

129. Вострокнутов, Е. Г. Структура, реологические особенности и технологические свойства наполненных эластомеров / Е. Г. Вострокнутов, JI. Н. Прохорова // Каучук и резина. 1986. - № 6. - С. 41 - 47.

130. Holowia, В. P. Determination of dynamic bulk modulus of elastomers using pressure measurement / B. P. Holowia, E. H. James // Rubber Chem. Technol. -1993. Vol.66. - P. 749 - 753.

131. Ulmer, J. C. Strain dependence of dynamic mechanical propeties of carbon black-filled rubber compounds / J. C. Ulmer // Rubber Chem. Technol. 1995. -Vol. 69. - P. 15-47.

132. Трибельский, И. А. Расчетно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций узлов агрегатов и машин : дис. . д-ра техн. наук : 05.02.13 / И. А. Трибельский ; ОмГТУ. Омск, 2009. - 380 с.

133. Трибельский, И. А. Расчетно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций : монография / И. А. Трибельский и др.. Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. - 240 с.

134. Трибельский, И. А. Бортовые соединения резинокордных конструкций: расчетно-экспериментальные методы проектирования : монография / И. А. Трибельский. Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. - 132 с.

135. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу ; Перевод с англ. В. В. Кобелева, А. П. Сейраняна ; Под ред. Н. В. Баничука. М. : Мир, 1987. - 542 с.

136. Коларов, Д. Механика пластических сред / Д. Коларов, А. Балтов, Н. Бончева. М. : Мир, 1979. - 302 с.

137. Прагер, В. Введение в механику сплошной среды / В. Прагер. М. : изд-во иностр. лит., 1963. - 312 с.

138. Кожушко, А. А. Вариант реологических соотношений изотермического вязкоупругого деформирования эластомеров / А. А. Кожушко // Омск, научн. вестн. 2012. №2(110). С. 107- 111.

139. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. М. : Наука, 1970. - 940 с.

140. Термомеханика полимерных материалов в условиях релаксационного перехода / В. П. Матвеенко, О. Ю. Сметанников, Н. А. Труфанов, И. Н. Шарда-ков. М. : Физматлит, 2009. - 176 с. - ISBN 978-5-9221-1163-8.

141. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел / Г. В. Иванов, Ю. М. Волчков, И. О. Вогульский и др. -Новосибирск : Сиб. универ. изд-во, 2002. 352 с.

142. Морозов, Е. М. ANS YS в руках инженера : Механика разрушения / Е. М. Морозов, А. Ю. Муйземнек, А. С. Шадский. M. : URSS, 2008. - 456 с. - ISBN 978-5-9710-0180-5.

143. Образцов, И. Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И. Ф. Образцов, JI. М. Савельев, X. С. Хаза-нов. М. : Высшая школа, 1985. 392 с.

144. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган; Перевод с англ. Б. И. Квасова ; под ред. Н. С. Бахвалова. М. : Мир, 1986.-318 с.

145. Сегерлинд, JI. Применение метода конечных элементов / JI. Сегерлинд ; пер. с англ. А. А. Шестакова ; под ред. Б. Е. Победри. М. : Мир, 1979. - 394 с.

146. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич ; пер. с англ. ; под ред. Б. Е. Победри. М. : Мир, 1975. - 541 с.

147. Морозов, Е. М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е. М. Морозов, Г. П. Никишков. Изд. 2-е, испр. - M. : URSS, 2008. - 256 с. -ISBN 978-5-382-00391-7.

148. Zienkiewicz, О. С. Elasto-plastic solution of engineering problem. Initial-stress finite element approach / О. C. Zienkiewicz, S. Valliappan, I. King. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1969. - Vol. 1, № 1, - P. 75-100.

149. Nayak, G. C. Elasto-plastic stress analysis. A generalization for various constitutive relations including strain softening / G. C. Nayak, О. C. Zienkiewicz // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1973. - Vol. 5, № 1, - P. 113-135.

150. Берген. Критерии сходимости итеративных процессов / Берген, Клаф // Ракетн. техн. и косм. 1972. - т. 10, № 8. - С. 173-174.

151. Писсанецки, С. Технология разреженных матриц / С. Писсанецки ; перевод с англ. X. Д. Икрамова, И Е. Капорина ; под ред. X. Д. Икрамова. М. : Мир, 1988. - 411с. - ISBN 5-03-000960-4.

152. Джордж, А. Численное решение больших разреженных систем уравнений / А. Джордж, Дж. Лю ; пер. с англ. X. Д. Икрамова. М. : Мир, 1984. - 333 с.

153. Ильин, В. П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем / В. П. Ильин. М. : Физматлит, 1995. - 286 с. - ISBN 5-02-0149799.

154. Баландин, М. Е. Методы решения СЛАУ большой размерности / М. Е. Баландин, Э. П. Шурина. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2000. - 70 с.

155. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий. М. : Высшая школа, 2002. - 840 с. - ISBN 5-06-004020-8.

156. Gottenberg, W. G. Prediction of the Transient Response of a Linear Viscoelas-tic Solid / W. G. Gottenberg, R. M. Christensen R. M. // Int. J. Appl. Mech. 1966. - Vol. 33, - P. 449-456.

157. Кожушко, А. А. Квазистатическое неупругое деформирование резинометаллических виброизоляторов / А. А. Кожушко // Динамика систем, механизмов и машин : материалы VII Междунар. науч.-техн. конф. / ОмГТУ и др.. -Омск, 2009. Кн. 2. - С. 177-181.

158. Ломакин, Е. В. Нелинейное вязкоупургое поведение наполненных эла-стомерных материалов / Е. В. Ломакин, Т. А. Белякова, Ю. П. Зезин //

159. Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. -2008.-т. 8:3.-С. 56 65.

160. Терехов, А. А. Вычисление параметров модели для применения метода конечных элементов к расчету резин / A.A. Терехов // Шинная промышленность. 1993. - №8. - С. 15-23.