Исследование некоторых нелинейных параболических и гиперболо-параболических систем дифференциальных уравнений с особенностями типа памяти тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ Ой

1 О ■

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

ИНСТИ ГУТ.МАТЕМАТИКИ

На правах рукоппси

ОРЛОВ Владимир Петрович

УДК 517.958:517.988.63

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ ТИПА ПАМЯТИ

01.Q1.02 — дифференциальные уравнений

Автореферат диссертации на соискание учен<ш степени доктора физико-математических наук

Киев — 1996

.Диссертация есть рукопись

Работа выполнена в Воронежском государствеяногд унаверситэта.

Официальные оппоненты: доктор техн. наук, профессор

КЕЕГО Селам Григорьевич

доктор фаз.-мат. неук, профессор ПРИЛЕПКО .Алексей Иванович

доктор физ.-нат. наук, профессор ЛИТВИНОВ Вильям Григорьевич

Ведущая организация: Оа^эропольсяшй государственный университет

Защита, диссертации состоится " С'ф 1ЭЗЗ г.

в ¿^ часов на заседании специализированного совэтя Д 016.60.02 "при Институте математики НАН Украины по адресу: 252601, Н$ев-4, ГШ, ул. Терзщзнковская, 3.

О диссертацией моено ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат рвзослац " ^ " ■^Ч'/^^бэе г,

Учений секретарь

специализированного совета, Ц____ЛУЧКА А.Ю.

доктор физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Современные методы решения краевых и начально-краевых задач для уравнений гидродинамики вязкой жидкости характеризуются широким использованием методов функционального анализа и теории вложения функциональных- пространств. Их становление связано с работами С. Г. Крейна, - 0. А. Ладыженской, Я. Лсрэк С. Л. Соболев, Э. Хопфа, Г. Вейля.

Более сложные модели жидкости, учитывающие предысторию течения, были предлолвны Да. таксосллсм, В. Кельвином, В. Фснгтом и развиты в работах Да. Олдройда.

Эти модели приводят к интегродифференциальным уравнениям, коэффициенты которых не зависят от значений неизвестных Функций, вычисляемых вдоль траекторий движения частиц. Изучение таких уравнений было начато в работах А. П. Осколкова и его учеников и продолжено в работах Ю. Я. Аграновича и П. Е. Соболевского, Е. Fernandes - Сага, F. Gui 1ien. R. -Orteßa, рассмотревших случаи физически нелинейной среды. Однако на практике такие модели не всегда дают хорошие результаты. В. Г. Литвинов предложил модель вязкоупругости, помнящую историю деформирования, которая в эйлеровых координатах вычисляется вдоль траекторий движения частиц, а не в точках неподвижного пространства. Так что при этом деформация в каждой точке траектории вычисляется в лагранмевых координатах. Исследование таких моделей вязкоупругости находится на начальном этапе.

Значительный интерес представляют гиперболо-параболические системы уравнений термоупругости и, в частности, одномерные модели. В работах R.Racke, У.Stiibata, S.Jiang, W.Day, W.Hrusa, M.Tarabek, J.U.Kin, Ф.Г.Максудова, К.А.Леонова были установлены локальные теоремы при достаточно гладких данных и нелстсальные теоремы при гладких малых данных.

Значительный интерес вызывает параболические системы уравнений термовязкоупругости. Такие системы рассматривались в работах К. Cholminskl, S.Jiang, I.Luca, C.Navaro, R. Bercia, в которых установлены локальные теоремы при достаточно хороших данных и нелокальные теоремы для линеаризованных или модифицированных систем. Отметим, что в одномерном случае сходные с системами уравнений термовязкоупругости, но отличающиеся от миг функциями состояния , системы уравнений движения вягиогс га.п изучались в работах А. А. Амосова, A.A. Злотника, А. С! K-wn'n,

B. Б. Николаева, В.П.Маслова, П. П. Мосолова, H.H. Шелухина Н. Fui ita-Yashima, R. Benabi dal Iah, M._Padula, A. Novotny и др.

В этих работах изучены разрешимость d различных функциональных пространствах и поседение решений на бесконечности (наиболее полные результаты получены в L^ ), рассмотрены вопросы повышения гладкости различных обобщенных решений при повышении гладкости данных.

Большую роль в этих исследованиях играет интерпретация этих уравнений как уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторами и изучение свойств соответствующих линейных уравнений и их спектральных характеристик. Этому направлению посвящены работы П. Е Соболевского, С. Г. Крейна, Н. Д. ;<опачевского, А. И. Прилегаю, Н. Л.

. Горбачука, Л. М. Герштейна. А. Я. Шкляра, G. Da Prato, J.Prucss, Р. Clement, А. А. Шпаликова, А. Г. Костюченко, V/. Hrusa, М. Renardy, J.Nohcl, А. А. . Панкова, А. Н. Боценюка, К. Chelminski, H.Fattorini, И. В. Федак, R.Fabiano, К. Jto, В. А. Солонкикова, В. И. Юдовича,

C. Я. Якубова, Д. Г. Орловского, Ю. Т. Сильченко, С. Г. Мнхлина и др.

• ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Установить разрешимость начально-граничных задач для систем уравнений вязкоупругости, термоупругости и тер.мо-вязкоупругости в классах суммируемых функций. Установить коэрцитивную разрешимость абстрактных дифференциально-интегральных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами.

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследование разрешимости рассматриваемых задач проводится путем их сведения к соответствующим операторным уравнениям в банаховых пространствах с последующим применением подходящих принципов неподвижных точек.

Для изучения линеаризации рассматриваемых задач используются методы теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, теории аналитических полугрупп операторов, теории дробных степеней операторов. В работе используются такяо методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА-. Все результаты, полученное в диссертации, новые.. Рассмотрены задачи, учитывающие предысторию деформирования вдоль траекторий - движения частиц. Для многомерных вязкоупругих сред установлены локальные теоремы существогзачия и единственности г. классах суммируемых функций при необходимых условиях на дачные. Исследована разрешимость на полуоси при малых данных. Для

одномерных моделей термоупругости установлены локальная теорема существования и единственности в классах суммируемых функций и изучена разрешимость на полуоси при малых данных. Тс не задачи реиены для одномерной модели термовязкоупругости.

Задачи рассмотрены как в эйлеровых, так и в лагранкевых координатах.

Установлена коэрцитивная разрешимость задачи Ноши для дифференциальнст-нитегрального уравнения в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами в классах суммируемых функций.

Установлена разрешимость смешанной задачи для волнового уравнения в классах суммируемых функций при условии лишь дифференцируемое™ правой части по пространственной переменной.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты работы носят как теоретический, так и практический характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследований по математическим моделям термовязкоупругих сред, дифференциально-интегральных уравнений. Методика исследования, сводящая исходные задачи к уравнениям в банаховом пространстве, позволяет получать те яе результаты не только в классах суммируемых функций, но и с классах Гельдера, или в функциональных классах, имеющих различные свойства по пространственным и временной переменным.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского госуниверситета (рук. Соболевский П. Е.), на семинаре С.Г. Крейна (Воронежская государственная лесотехническая г академия), на заседаниях Воронежского математического общества, на семинаре под руководством М.Л. Горбачука (Институт математики НАН Украины), на семинаре Я.С. Подстригача (ИППМ НАН Украины, Львов), на семинаре кафедры математического анализа МГУ (рук. А. И. Прилегаю, В.А. Садовничий).

Результаты работы 'докладывались на международных конференциях:

"Нелинейные параболические задачи", (Левико (Трента), Италия, 1995г.-); '

"Интегральные уравнения Вольтерра и их приложения", (Пасеки, Чехия, 1994г.);

Международный конгресс математиков 1СМ-94, Цсрих, Швейцария;

"Нелинейные дифференциальные уравнения", Киев, 1995;

"функционально-дифференциальные уравнения и приложения",

Москва,1994;

"Дифференциальные и интегральные уравнения", Самара, 1992г.;

Международная научная школа "Метод функций Ляпунова и его приложения", Иркутск, 1989г.;

"Математические модели и численные методы механики сплошной среды", Новосибирск, 1991г.;

3- й коллоквиум "Качественная теория дифференциальных уравнений", Сегед, Венгрия, 1988г.;

на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества, МГУ, 1989г. 1995г.; а также;

на Воронежских зимних математических вдсолах;

на 1У-У Крымских осенних математических школах, Ласпи, 19935 994г.;

на XIV школе по теории операторов, Новгород, 1989г.;

на XV шкале по теории операторов, Ульяновск, 1990г.; • на VII Республиканской конференции "Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей", Донецк, 1991г.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-17]. В диссертационную работу включены только тс результаты, которые принадлежат лично автору.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Она изложена на 271 страницах машинописного текста. Список литературы включает 139 названий.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ представляет собой краткий исторический обзор и перечень основных результатов работы.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ приводится вывод в удобной для нас форме изучаемых систем уравнений, описывающих движение вязкоупругих, термоупругих и термовязкоупругих сред в эйлеровых и лагранке-вых координатах.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ изучаются абстрактные дифференциально-интегральные и дифференциальные уравнения в банаховом пространстве £ . Пусть А - сильно позитивный в Ь линейный

неограниченный оператор. В частности, это означает, что его спектр лежит внутри множества S(G>„ -{A: f?a> ><30 , ЦП

а вне Ъ {&„>%*) справедлива оценка h с XI-AY'U М С1X1)" . Вначале рассматривается задача

u"ct)+y, /Wet) t-^Aud) s ?0, fa,U>o >

то)*ц0 . . (i)

Решением задачи (1) называется определенная на полуоси и принимающая значение в Ei функция uit) такая ито

00" t ) , и выполняются

(п.в.} уравнение и условие (3).

Рассмотрим вспомогательную задачу

v'(fc) + Avt+^ = {ct) , Vi0) = Vo . (2)

Обозначим через Е^/^ банахово пространство всех элементов из Е , для которых конечна норма (\jpl41Idivll^ofi)^.

Здесь = e-*p(-tA) г - аналитическая полугруппа,

порожденная оператором А . Отметим, что

II Т0(ПИ * М ехрС- 0оЬ ) , -Ь > О.

Предположим, что задача (2) коэрцитЬно разрешима (к. р.) в L^o(o,<o\E) при некотором) . Это означает, что при любых vc, 6-и f 6 / задача (2) имеет единственное

решение, и справедлива оценка

■W'ct)». , lCX + llAvi(j||, , _ „ ^И Otlll +

' »о

Отметим, что позитивность А не гарантирует, вообще говоря, к.р. , (2) в

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть задача (2) к. р. при некоторой яи,€>^>сЮ'. Пусть выполняется условие a : > . а ¿-К/ч .

Тогда при любых Е) ,u0s%(4)> Vi. ,

задача (I) имеет единственное реш'ение, и справедлива оценка

+ li Au0!| + )

Доказательство основано на явной формуле для решения задачи

t ' t 1 ud) -г (- AS4 j,Т< a-s)|cb)db + (fcs>d5 +

♦((^АЛСО + С^-АЛЧСНК* (A^-AJT^V

Здесь

+ ) ) А ,

АУгМ^ОД-^А-Т4)"''

-неограниченный и ограниченный операторы, порождающие аналитическую полугруппу TJdO = exp(-t АО и группу Tjit)-e/pC-t-Aj.), экспоненциально убывающие на +оо .

Предположим дополнительно, что спектр оператора А имеет

вид BiAbSJJßi ) бчИб^/гС .где б^ ={е-:0<б1<Бг<--<б((/}

причем &>N<% = Öj2.g (eeEO

ТЕОРЕМА 2.3.5. Пусть выполняются условия теоремы 2. I, за исключением условия а . Пусть "е достаточно велико. Тогда справедливо утверядение теоремы 2.1.

В случае гильбертова пространства' задача (1) с различными коммутирующими самосопряженными операторными коэффициентами с точки зрения устойчивости решений однородных уравнений изучалась М.Л. Горбачуком, А. Я. Шкляром. И. В. Федаком. Соответствующие уравнению (1) операторные пучки исследовались Н.Д. Копачевским, А.Г.Костюченко, A.A. Шпаликовым. В случае банаховых пространств уравнение (1) рассматривали Л.М. Гсрштейн, Ю.Т. Сильченко, П. Е. Соболевский, J.Pruess, Р. Clement, G. Da Prato, установившие разрешимость при достаточно гладких данных при различных ограничениях на операторные коэффициенты.

Рассмотрим интегро-дифференциальную задачу

Utol Uc .

Здось y^O О ,olirß . Рассмотрим функции

переменной

/^СбЬ , (5)

Введем в рассмотрение весовые пространства х (О;о0- £) функций, для которых конечна норма ИНц = (0а0.£).

Решением зад.ли (4) назовем функцию' ис±) «-Ц ^ ?такую, что и (1) абсолютно непрерывна при -Ь О , все слагаемые левой части уравнения (4) принадлежат ^ и выполняется (п.в.)

уравнение и условие(4).

ТЕОРЕМА 2.3.2. Пусть оператор Д удовлетворяет условиям теоремы 2.3.1. Пусть выполняются неравенства

за < (С^/^ ) + ) , (7)

Тогда при любых £ с ж > у„ с ^ задача (4)

имеет единственное реаение, и справедливо неравенство

ни'сьзп + п Аис1:)|| -1- зд I А^раа^)).

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ изучаются модели многомерных вязкоупругих

сред. и

Пусть С2 с , и >, % , - . ограниченная область с границей с С1 ■ Вначале рассматривается задача

V Ц-Я^СУ) - Д V - С* Вс- а^тоЛр -

= ; у^,*^«), ¿¿С0Лс]( у сЛ)0. . о)

Здесь V,СУ) = О^,....,^ ) - заданные

вектор-функции, V = и ~ искомые

вектор-функции и скалярная Функция, - ^ •"^/"Э** ,

■> О (2) - достаточно гладкая - матричная

функция, аргументами которой являются коэффициенты

матрицы 2 означает взятие дивергенции от матричной

функции, т. е. вектор, коэффициентами которого являютс^ дивергенции векторов, являющихся строками матричной функции; Ьб0'= 2 (ОД: У.) где ■ъ<.т,±,у.) является решением задачи Коши (в интегральной форме)

Решением задачи (8)-(9) называется пара ( \1} р ), имеющая все входящие в уравнение (8) производные из L^Qo) , со ,

и удовлетворяющие уравнению (8) и краевым и начальным условиям (9). ъ.г/с.

ТЕОРЕМА 3.1.1. Пусть (с , V06 W%t0 (Q) ,

<k-vv0«1 = O . Тогда найдется такое достаточно малое

-t„>0, что задача (8)-(9) имеет единственное решение. Для доказательства строится итерационный процесс

V- ^AV^Wp^f-^CV^) +

и показывается, что все приближения принадлежат некоторому шару SCR^cW^CQoV ' Для доказательства сходимости, SCR.) рассматривается как метрическое пространство с CQ0) метрикой. Отметим, что использование здесь

невозможно, поскольку потребовало бы оценок разностей от производных второго порядка от vc-fc,*) • Доказательство существенно использует свойства решений задачи (10), в частности, оценки

г т

III,11ССЛ) *

ц^ (л) * ц^ с j 1

Г V1 г ■ г

Здесь }

т + ?

* ; %и)

а - решение (10) при

Отмстим, что аналогичные оценки решения задачи (10) для гельдсрсвских норм впервые были использованы В. А. Солонниковым прй исследовании задач со свободной границей в случае вязкой несжимаемой жидкости. Отметим также многочисленные работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям с разрывной правой частью (см. монография А.Ф. Филиппова). В §2 рассматривается модель баротропной вязкоупругой среДы

речКУь+'Йб/)) -р ^-Я^^вм)- ^ус.рм)-

Здесь £ ■=■ = 1 (лу+^шД V), рс^)^^! ,

а - достаточно гладкая скалярная функция. Решение задачи

(12) определяется как СО») , удовлетворяющая

уравнению и условиям (12). г.-1/г-

ТЕОРЕМА 3.2. 1. Пусть ,^(Ш , <{.<гО<,оо) ■

Тогда при достаточно малом -Ь„>о задача (12)-(13) имеет единственное решение.

Для доказательства строится итерационный процесс

& ) '-V ) + )) V у'¿V- ) -

- <) Й Ч;*1*-4 -V з-ггл« сАу среч/"*-* ^у р'У*") ;

^ - ^йУ

и используется схема доказательства теоремы 3.1.1.

В §3 рассматривается задача с памятью вдоль всей траектории движения частиц

\ t-fyv) ¿v - ^¿G (Ъ ß^ Cv)/öx ) c^ecV) -

-jrad p = f(t,x) jdwviVi^o , = (14)

ovUtö; v^njiv^], y^Qjvc-bjX^o , o*Ute , x&SQ ,

Здесь ß>^(v) = x.) , a "ä - решение задачи (6).

Предполагается, что st-t^r) ^oittt ä -Ь0 , - мера

Стильтьеса по т при каждом фиксированном -fc t Lo/fc„3 • Для простоты считаем 6Cfc/t) непрерывной по -t при любом f и функцией ограниченной вариации по /С при каждом фиксированном t (эти ограничения можно ослабить).

Решение задачи (14), (9) определяется так же, как для (8)-

(9).

ТЕОРЕМА 3.3.1. Пусть выполняются условия теоремы 3.1.1. Тогда при достаточно малом -fco>0 задача (14), (9) имеет единственное решение, [для модели баротропной среды с памятью вдоль траектории

fl л (15)

справедлива

ТЕОРЕМА 3.3.2. В условиях теоремы 3.2.1 для задачи (15), (9) справедливо утверждение теоремы 3.3.1.

Соответствующие (15), (9) стационарные задачи были впервые изучены В. Г. Литвиновым, установившим для физически нелинейно-вязкой среды вопросы существования и единственности обобщенных решений. ...

В §4 рассматривается модель баротропной среды в лагранжевых координатах с неоднородными граничными условиями

± -Ь - -I

((]>{ Vs,Mcb \-{ Gl (I + i^cs,*)^) (Ц- (16)

) - (I + ^гас( I Г^Сь.^Г),

соответствующими случаю подвижной границы и действию внешних сил на частицу среды. Обозначим через V/ банахово пространство У^" ^(5 ) ' функций, определенных на 5 Норму в V обозначим й'«,^, г.г,

ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть { е Ь^о), (Ц^бЧ/,

ад^^у^хЛ^ • Тогда при достаточно малом -Ь0>о задача (16) имеет единственное решение ,

Отмстим, что подобный переход к лагранжевым координатам был впервые использован В.А. Солонниковым для уравнений движения вязкой жидкости в задачах со свободной границей.

§5 посвящен доказательству разрешимости на полуоси задачи

Задача (17) описывает движение баротропной вязкоупругой среды при некоторых упрощающих реологических соотношениях.

ТЕОРЕМА 3.5.1. Пусть ), V,

. Пусть р<>0 , Х + ' ' Т0ГДЗ

найдется такое <Г>о , что при условии, что

«РПр , '- ^ (10)

задача (17) имеет единственное решение, и справедливо неравенство

ПУН,,, 4 МГН^Ч!,.^). (19)

Здесь и далее нормы в Ц^СО.), ) , ), ^(Й )

обозначаются через ц. 11 , ь ь , > Ч„ , / ■ • & соответственно.

Из теоремы 3.5.1. вытекает

СЛЕДСТВИЕ 3.5.1. Для любого ?>0 найдется такое ^о , что при условии (18) задача (17) имеет единственное решение, и справедливо неравенство

(21)

Отсюда с помощью теорем вложения можно получить оценки й^Ь,*)!!

и ^Ч^А^ал') норм Рсшения- . 1

Доказательство теоремы 3.5.1 основано на переходе к лагран-жевой системе координат ^ ~ и нахождении функции

vcЬ)^J.') = V<.'Ь,í(t.,0|•p) ■ в лагранжевой системе координат задача (17) принимает вид

Здесь

• Запишем задачу (21) в виде Г ¿■Ь^^су)).

Линеаризованная задача ¿V) = Р имеет вид

(22)

ТЕОРЕМА 3.5.2. Пусть ^>0 .

Тогда для любой чд-ь 1^(0.), у^е^'^ (С1 )■ задача (22)

имеет единственное решение, и справедлива сценка Л

(23)

Для доказательства теоремы 3.5.2 задача (22) рассматривается как абстрактная задача (4) и применяется теорема 3.4.1.

С помощью теоремы 3.5.2 для задачи (V) = РсЬ^Л устанавливается результат теоремы 3.5.1. Обозначая через

\l-¿C^(.f) ■ решение задачи з^, (V) - Р а, ^ ) вопрос о разрешимости задачи (21) сводится к разрешимости операторного уравнения Г , лля разрешимости

которого применяется принцип йаудера. Затем решение \/сЬ,х)

исходной задачи восстанавливается из функции • Един-

ственность решения задачи (17) вытекает из локальной теоремы единственности. (

Параграф 6 посвящен задаче г

^ + ^(Л/) - ^ ду -

+ О - £с(:.>0 , <к\1 X ) е О = Ь оо) *0. 1

¿11? (24)

я.' ' '

V С-Ь, к ) = О , -Ьз-ОрХ

Здесь Хь/ДеО,, . Вначале рассматривается

линеиная задача

(25)

еГЪ О. .

ГГ Ф А ¿Р

Здесь Д - -1 а , а I - оператор ортогонального

проектирования в (векторном) на подпространство 5^(0.)

соленоидальных вектор-функций. Пусть <з, > О - первое

собственное значение оператора % , рассматриваемого в

5 ■ V ^ + 00 у на области определения =

подпространство соленоидальных функций1! Ц,С£1Л ПУСТЬ Ч-^^&^ео^вСЛ))-"ножство

соленоидальных функций с нормой и

ТЕОРЕМА 3.6.1. Пусть выполняются неравенства (6)-(7). Тогда для любых ^ & {^^(О ) П = 0 , < >

задача (25) имеет единственное решение, и справедлива оценка

,

Н^/а,, -V М е*рСсиэ--Ь>) ^УЛсЬ |\

1,113» Г

(26)

+ ^13 \ ) Vх-^ 1г_

' ' V-

* м ( Ч +

Здесь »• т - норса в Бесовом пространство у Си) ■

С помощью теоремы 3.6.1. доказывается

ТЕОРЕМА 3.6.2. Пусть С> °° ) • Пусть выполняются условия (6)-(7) и х->о . Тогда найдется такое , что

при чсех ^, V. & , ■ Удовлетворяющих

условию '

4 «г? ,

задача (24) имеет единственное решение, и справедлива оценка

-t- V>.|) j

t?-o

•г.

СЛЕДСТВИЕ 3.6.1. По любому í>о можно указать такое 5> о , что при условии (27) задача (24) однозначно разрешима, и справедливо неравенство W(.v,p) í .

СЛЕДСТВИЕ 3.6.2. Для рекения задачи (24) справед-

ливы оценки

^ «e^Jtfc) »"^И^^ - М VCC > W t HllíítU), г>*+2..

-t>o С (Я.) ' ' ^

Задача (24) на полуоси при более общих ядрах изучалась в работах Осколкова и его учеников при дополнительной дифференцируемое™ по ± .В работах П.Е. Соболевского и Ю.Я. Аграновича задача (24) рассматривалась при положительных jv и d и = 2- . П. Е. Соболевский изучал вопросы стабилизации решений задачи (24) при условии Гельдеровости правой части ^.интегральной норме по X и дополнительной гладкости vD <*У при положительных значениях j¡*. н о(. . При малых данных сущоствова-ние и единственность решения задачи (24) в некоторых пространствах суммируемых функций на конечном интервале, зависаем от малости данных , установлено в работах Е, Fernandez-Cara, F. Guillen, R, Ortega.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена связанной гиперболо-параболической системе уравнений термоупругости.

В §3 изучается локальная разрешимость задачи

= ■ (28)

ШО^Цо^^0^«,«.*^»0**-*/ = = (30)

9Ю,Л=Эо(Я; О} вС^О) = ©с^7П = 0 , о^^ (31)

Под решением задачи (28)-(31) понимается пара функций

таких, .что «ч^б. , и*,«* >ц ^ >

и выполняются уравнения и условия (28)-(31). Здесь Цр(<20}, р^-е-^-со - пространство измеримых

функций на О о с нормой „,

/ г**/*"" ?,

" = С ^о С У ^ ) >

а ^У^рСО,,^ - пространство Соболева функций, имеющих

обобщенные производные первого порядка по Ь и второго порядка по X , 1^,(0о) суммируемые. Пусть £<}, <-•»/(> - пространство функций чкх^оьхьТ , имеющих конечную норму

Здесь' оператор -и* О-) с областью определения

^(Д-) - \л/р^(од-) действует в 1-р(оДП и порождает экспоненциально убывающую полугруппу А ), \

Дополнительно предполагается, что ^ч^^ч) > о , т.е. уравнение не выровдается на решении.

ТЕОРЕМА 4.1.1. Пусть ^ < и0и)бУ/р 0(од)> ц, 6

) , ^ ^ ^ > О, (С^) ) ч> с- I %?Ш0 ),

Тогда при достаточно малом 4:о>0 задача (28)-(31) имеет единственное решение.

Одним из основных моментов доказательства теоремы 4.1.1 является исследование свойств решений смешанной задачи для волнового уравнения

ТЕОРЕМА 4.1.2. Для решения ис^х") задачи (32) при гладких

Ц. и . = =0 справедлива формула о * -ь-х

V Л О '

О

X ъ

х т (33)

и ^ *-t сГ-ХИг

Здесь ^а^-^С^с^. С помо!цъю формулы (33) устанавливается ТЕОРЕМА 4.1.3. Пусть \к/°' (0.0), л лр*.^ .

Тогда для решения задачи (32) при = справедлива

сценка ( )

^Ч*^1* 6 Н^'^ Йэд ^ (34)

Далее рассматривается задача (32) при ? =о. ТЕОРЕМА 4.1.4 При ив1*> с-С'Ч°ЛП , е С'ЮДЗ и =0 решение ис-4,ч> задачи (32) имеет вид ч = ц^ц1 где , .

МС(Ч-»Л } - >. О £г * £.4: ,

г

о.1 Л ■

г-**, у*, г,

, * 4 * * . (36)

Здесь $5' и<(г| с(г.

Из теорем 4.1.3 и 4.1.4 вытекает

ТЕОРЕМА 4Л.4. При ^ 6 ); ) ^(о,и ),

к и^с*^ \л/р (,0/|Г) для решения Ц задачи

(32) справедлива оценка

фКМ,) * М % + I и>>^4«0.(37)

Для доказательства ртремы 4.1.1 каждой ставится в 'соответствие решение и задами (28), (30), а затем найденной м ставится в соответствие решение 0 задачи (29), (31). С помощью теоремы 4.5.4 и коэрцитивных оценок решений параболической задачи (29), (31) показывается, что при достаточно малом "¡^>0 оператор 01- ё=ОС{&) имеет единственную неподвижную точку на 5(К) (при достаточно большом Я ). Сжимаемость оператора (УС обеспечивается множителем -Ь^13 ~ в (37).

8 §2 рассматривается эйлеров вариант задачи (28)-(31), а именно, система уравнений

(38)

с начальными и граничными условиями (30), (31).

ТЕОРЕМА 4.2.1. В уодзвиях теоремы 4.1.1 для задачи (38)-(39), (30), Су) справедливо утверждений, теоремы 4.1.1.

При доказательстве используются следующие факты. Пусть В = ) В^Йо) - множество решений задачи

(38), (29) при ■ Ключевую роль при доказательство

теоремы 4.2.1 играют следующие результаты.

ТЕОРЕМА 4.2.4. Для решений и^ц1" задачи (38), (30) при справедливо неравенство

ТЕОРЕМА 4.2.6. Для решений в* задачи (39), (31) при

ц^ц1, ц2" 6 справедливо неравенство

Отметин, что и теореме 4.2.6 не предполагается гладкость по х , и при доказательстве используется переход к эйлеровым координата!.!.

Доказательство теоремы 4.2.3 проводится по схеме доказательства теоремы 4.1.1, однако операторное уравнение рассматривается на шаре пространства (Ос) с метрикой

1.8

с использованном теорем 4.2.4 и 4.2.6.

В третьем параграфе исследуется задача (28)-(31) на области

Под решением данной задачи будем понимать пору функций

таких, что и^ц^и^ч*,^,^ &Ц,„[(3)!:

= (о,7Г)) и выполняются (п. в.) уравнения и усло-

вия (28)-(31).

ТЕОРЕМА 4.3.1. Пусть -Ь ^ б (О, ^ ■ Пусть ,

-1 + «оМ>0 ■ Тогда для любого найдется

такое ' ¿">о , что при условии

задача (28)-(31) имеет единственное решение, и справедлива оценка + 1и**<Л*>10 ) + 11 И е.,у ^ £

чв-По.у 6

При доказательстве теоремы 4.3.1 существенно используется явная формула для решения ис-Цх"! смешанной задачи (32) при больших "Ь . При Уо = ич = о решение имеет вид

у* ^Ъ-Ш-т.т^г *

. к 2КТГ-Нг-Х+С^-чХ-(«--•)'')+

$ усг-¿к-уч-е^г -

Здесь (а)+=гсс при а>о,(а^=Сь

при а < О , а г [>+"Ь)/2п-] , к2.^П+тг>/"лтг Д

«4 = [а-^м-Ю/гтг] , Кч = [0--х)/27гЗ • •

Функция Ц^ определяется так же, как в формуле (33) ■ ь При -?=0 решение задачи (32) имеет вид к=и +и (

где

*<<- С-О*1") исСУ^ + ^С^м))--И-С-О*: ] «еСс^ЛТ- * --Ь - ^ С-О^сС^-х-^тг)^-

uVfcjtf = £( 04-<)Kl v^-t-x-^тг) + (i-c-i?1 ■ V,( y--t + «"(«¡+0) - n _ (--(f1) v,, ((*:,,-M)TT-*-t) -- OM-0*" ) V^x+t-^TT) ).

ii

Здесь к<= tU+^/тг] > ^ = , =

С помощью этих формул вычисляются производные решения задачи (32) и устанавливаются их оценки

sM( iif -1- \u0|r+

Полученные оценки решений смешанной задачи позволяют свести задачу (28)-(31) к операторному уравнению со сжимающим оператором, причем условия принципа снимающих отображений обеспечиваются малостью данных задачи.

г» О

Разрешимость на полуоси, устойчивость нулевого решения уравнений термоупругости и поведение решения при исс-

ледовались в работах Hrusa V/., Tarabek М., Slemrod Н., Kim J.U., Racke R., Shibata Y. и др. при больших требованиях на гладкость данных и их малости.

Отметим, что методика исследования уравнений термоупругости,

ф

использованная выше, может быть использована ¡^других функциональных пространствах, например, в пространствах Гельдера с весом. При этой функции из этих пространств должны обладать лучшими свойствами по времени, чем по пространственной переменной (не вошедшая в диссертацию часть работы [9]).

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ в §1 изымается параболическая система термо-вязкоупругости в Q0= LOj-te] -xLOj-l]

ytVKVW) -кХ, -к, (С )г , (40)

' Здесь Мс^х>=2<оЛ*Ъ , «с,,*; >о.

Решение задачи Ус^у.), ищется в классе

о). '

ТЕОРЕМА^. 1.1. Пусть Г^ё Ц^Фо),

0 (о,-О . Тогда при достаточно малом задача

(4(5)-(41) имеет единственное решение.

Для доказательства задача (40)-(43) сводится путем последовательного решения задач (40), (42) и (41), (43) к операторному уравнению В-0Ц9) На шаре = { НЩ^бЯ] ■

При этом используются принцип ошмамци^сотображений для метрического пространства с метрикой Ч/^д/ (Ос), %'■ и следующие леммы. ( ^

ЛЕММА 5.1.2. Для решений V У задачи (40), (42) при

справедливо неравенство

XV г.* п

ЛЕММА 5.1.4.^ Для решений У, У задачи (41), (43) при

V д V ° V справедливо неравенство

В §2 задача (40)-(41) изучается в ^ - С с,°о)ч£о,-1]. ТЕОРЕМА 5.2.1. Пусть Ь/^бЦССО % е 1*А , Ч Ху^ (°А' Т°гда найдется такое ъ?о . , что при условия

^ V 1|РЦ6( ц<р|\0 ^сГ (44)

задача (40)-(41) имеет единственное решение, и справедливо неравенство " *

где

Для доказательства задача (40)-(43) перешивается в лаг-рал&евых координатах

- ^ - 0 V г ^ $ ■ <«>

, М ; = = >0 ; (47)

= )^ = -Ь^О . (48)

Здесь ^С^) определяется так же, как в § 5 главы 3, а . Назовем задачей А задачу (45)-(48) при

Vй

ТЕОРЕМА 5.2.2. Пусть выполняются условия теоремы 5.1.1. Тогда для задачи Д справедливо утверждение теоремы 5.1.1 (с заменой на V,© ).

Доказательство проводится по схеме доказательства теоремы 5.1.1, однако условия принципа сжимающих отображений здесь обеспечиваются не малостью временного промежутка [о,-Ь01 а малостью данных задачи. При этом для получения нужных оценок при существенно используются негативные нормы.

Записывая задачу А в виде Э^ ^ = . где

Ч"=<У,е'), СРс^ъ^еЦ^Л! , введем

оператор формулой V = ^ ^ и определяющий решение

у задачи А оператор. "йГ1-; у - с^ ■ р

С помощью операторной формы записи задачи (40)-(43), полагая = (^^¿(^¿(.Р^)) , сведем

задачу (40) -(43) к операторному уравнению С^С- ы = (X. (и;) в пространстве \д/ — ) у ) • Для его однозначнои

разрешимости используется схема доказательства из §5 главы 3.

Доказательство теоремы 5.2.1 вытекает из доказательства теоремы 5.2.2 по той же схеме из §5 главы 3.

Третий параграф посвящен системе уравнений термовязкоупругос-ти в лаграчжевых координатах в терминах функций смещения и поля темгЛзратуры. Рассматривается задача

-М^-к^М+чЛ" = х + «с4=» , (49)

= , (50)

9(о;/.Ь-9с(,Л; 0<*,<П = = 0 , Ыс^^ . (52)

Под решшом задачи (4Э)-(52) понимается пара фунюдпй чс^ч)}

ве^-О . таких, что ^^ , ц^ в ЦДОД с0о),

и выполняются уравнение и условие (49)-(52). ТЕОРЕМА 5.3.1. Пусть

^ 6 Ц,(0о } , % с- IЭД ) , Ц^©0 6 V ^\о><) >

г '

Сои) ,

причем и^-М >0 . Тогда задача (49)-(52) однозначно разрешима при достаточно малом -Ъ0>о.

Рассмотрим задачу (49)-(52) на неограниченном временном промежутке О ^ -Ь ^ со

ТЕОРЕМА 5.3.2. Пусть выполняются условия теоремы 5.3.1. (с заменой = на 0 = [о,оо)>< ). Тогда найдет-

ся такое достаточно малое §>0 , что при выполнении условия (44) задача (49)-(52) имеет единственное решение, и справедлива сценка

±¿0 > кз-с 'т-

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Орлов В.П. Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели тормоупругости // Укр. Мат. курд.-1993. 45, Н9. -С. 1247-1260.

2. Орлов В.П. Устойчивость некоторых моделей терювязкоуПру-госта // Моделирование в механике. -1ЭЭ2.- 6,N4. -и. 41-46.

3. Орлов В.П. Исследование математической модели термовязко-упругости. // ДОКЛ. РАН. -ТЭК.-343, НЗ.'-О. 320-323.

4. Орлов В.П. Устойчивость нулевого решения математической модели многомерной вязкоуцругей среды. // Догп^НАН Украины. -19Э5.-К1 -С. 15-17.

5. Орлсз В.П. Об одной задача теркоупругсстк. // Докл. РЛН. -19Эв. - 346, N1. -О. 19-20.

6. Орлов В.П. Устойчивость нулевого рошэнкя математической кодаля вязкоепругой кэдкости.// Изв. вузов. Математика. -19S5. -КЗ. -0. 82-84.

7. Орлов В.П. Исслэдованиэ математических модэлей тер.гавязко-упругосга. // Успеха кат. наук. -13Э5.-50,-енл. 4. -0. 114.

8.Орлов В . П. О 1гагулярвд-внр0кдз«?19ся Д/^^ЗреЕЦЯЗЛЬШЭ операторы вые о ко г о порядка с неограниченна,! операторным коф57ш,ыйй1игл. /7 Дждазрзнц. уравнэнта. - 1976.-НИ. -С.272-2е0.

9. Орлоз В.П., Сойодзвсзсй П.Е. Разреши:,тасть одномерной задачи термоупругостп. //Дот. АН СССР.-19S9.-304, К5. -G.IID5-II09.

10. Орлов В.П.,СоСолоЕсх-сй: П.Е. Исследование математических моделей вязкоупругостя. // Докл. УССР. Сер. A. -NIO. -С. 31-35.

Il.Orlov 7.P., SobolevsKil P.S. On mathematical model of yls-coslaatlclty with a memory // Differential and Integral Equations. -199!. -111. - p.103-115.

IE.Orlov 7.P. On the stability oi the aero solution oi a ons-fllmenalonal mathematical model oi viscoalastlcity //Differential and Integral Equations. -1991.' -4, H1. -P.39-101.

13. Orlov V.P. local solvability oi one-dimensional problem thermoviscoelaaticlty // Israel Journal of Mathematics. -1932. -78, -P.51-54.

14. Orlov V.P. local solvability of one problem of thermovis-coelastlclty //International Congress of Mathematicians. Zurich, 3-11 August, 1994: Abstracts of Short Communications. -P. 178.

15'. Orlov 7.P. Investigation of a mathematical model of thermoela3tlclty //International Conference " Functional Differential Equations and Applications". Moscow,14-21 August, . !994. -Abstracts. -P.65.

16. Orlov V.P. Properties o£- solutions mathematical model of vlscoelastlclty//Internatlonal Conference "Mcnlinesr Differential Equations." -Kiev. August 21-2T, 1995. -p.121.

17. Орлов В.П. Локальная разрешимость связанной задачи тер.'от-ВЯЗКОупр7ГООТИ.//Д&Йф9ренц. ур8ВШН2Я. -1SS5.-IJ10. -С.1743-1749.

Основные результаты и положения

1. Рассмотрены задачи, учитыЕащкв предыстории деформирования ьдоль траектории движения честиц. Для многомерных вягкоупругих срод установлены локальные теорэкы существования и единственности в классах суммируемых функций при необходимых условиях на данные. Исслэдована разрешимость на полуоси при. малых данных.

2. Длл одномерных модедэй тершупругости установлош локальная теорема сутдэстваванип и единственности в классах суммируемых функций и изучена разрешимость на полуоси при малых данных.' Те еэ задачи решены для одномерных моделей термовязкоупрутости.

3. Задачи рассмотрены пек в лвгранзкэвых, так и в зйлэрошх координатах.

4. Установлена коэрцитивная. разрешимость задачи Коги для дифререшдально-штвгралъного уравнения в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентиа.

ОРЛОВ Э.П. "ДаслЗдгення двяннх иэлшВ5них гЬгарболэ-псрабо-л!чних та парабол1чних систем дпфэрэнц1альних р!внянь з особ-ЛЯВОСТЯМИ типу ПЕ!Л"ЯТ1".

■ Дисертац1я на здобуття вчеяого отупепя доктора ®1зкко-па-текатичшп; наук за сяец1адьн1стю 01.01.02 - дифэретЦапьн! р1вкпння. 1нститут математики НАН Украйш, Ки1в, 1996.

Дисертац1л присвячена дрсл1дпо1шв деяшх задач теорП пад1нШга1 терж)в"язкопругноат1.Разглядаються модэл!, niti пем'ятавть стан серэдрища ездовн траекторН вхдпов1дного поля иЕидкоствй. Для г1пэр5оло-парабол1чпих та ппрабол1чп;:х спстсгд встаковлен! локальн! таоремн 1снуваняя та единост! в просторах сумовних фупкц!й при необх1дних умоввх на дан!. Досл1дгена стШ-KtcTb розв"язх1а. Результата отрнши! з вшсорястанням теорИ дефвревд1алышх р1внянь в банаховом у простор!, теорН енал!тичних швгруп та дробовпх ствпен!в необмагганих опэрато-pin.

Orlov Y.P. "Investigation on some nonlinear parabolic and hyperbolic-parabolic syatena of differential equations with singularities of memory type".

Thesis for a doctor of Physical and Mathematical Sciences degree on speciality 01.01.02 -• differential' equations. Institute of Kathematlcs of the national Acadeay of Sciences of UKraine, Kiev, 19S5.

The thesis Is devoted to the Investigation of sons problems of nonlinear theory of thersnovlscoelastlclty.Ths maths matlcal models with the memory along trajectories of the corresponding velocity field are under consideration. For hyperbolic-parabolic and parabolic systems local existence and uniqueness theorems in the spaces of ешшЫй functions by necessary conditions on data are established. The stability of solutions агз investigated. The results are obtained by means of the theory of differentlonal equations In Banach spaces, ana litlc semigroups and fractional powers of unbounded operators.

Клотоз! слова: аналогична п1вгруппа,г1перболо-пара0ол1чиз

Подо, в поч. 09.04.96. Фордат 60x84/16. Бумага тип. Офс. печать Усл. печ. л. 1,63. Усл. кр.-отт. 1,63* Уч.-изд. л. .1,3. Тирак 100 экз. Зак. 3ó" Бесплатно.

Отпечатано в Институте математики ШН Украины 252601 Киев 4, ГСП, ул. Терещешовская, 3

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОРЛОВ

V Росс 'й

президиум В

| (решение отЖ № ^ присудил ученую степень Г 11

¡1 Ьач^льник управдения

уг

-наук |1 России

УДК 517.958:517.988.63

г'............................ I %

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ ТИПА ПАМЯТИ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Воронеж - 1996

- 2 -

СОДЕРЖАНИЕ

ВЕДЕНИЕ...................................................4

ГЛАВА I

Математические модели термовязкоупругости

М Уравнения движения вязкоупругой сплошной среды в

эйлеровой системе координат............................30

§2 Уравнения движения в лагранжевой системе координат..... 36

^3 Математические модели термоупругости и

термовязкоупругости....................................41

^4 Уравнения движения вязкоупругой среды с интегральной памятью................................................43

ГЛАВА II

Абстрактные дифференциальные и иинтегро-дифференциальные

уравнения

§1 Позитивные операторы...................................46

§2 Абстрактные дифференциальные уравнения второго порядка.....................................................49

§3 Абстрактные дифференциальные уравнения второго порядка (специальный случай)................................62

§4 Абстрактная интегро-дифференциальные задача............69

ГЛАВА III

Системы уравнений движения вязкоупругих сред

§1 Несжимаемая среда. Локальная разрешимость.............88

^2 Баротропная вязкоупругая среда. Локальная разрешимость................................................109

Многомерные модели вязкоупругих сред с памятью.......118

§4 Многомерная баротропная вязкоупругая среда с подвижной границей ..................................... 124

§5 Баротропная вязкоупругая среда. Разрешимость в

целом на полуоси.....................................136

§6 Модель Олдрайда вязкоупругой жидкости................148

ГЛАВА IV Термоупругая среда

Локальные теоремы (лагранжевы координаты)............155

§2 Локальные теоремы (эйлеровы координаты)..............188

Устойчивость нулевого решения........................211

ГЛАВА V

Системы уравнений термовязкоупругости

Локальная разрешимость............................:... 233

§2 Разрешимость на полуоси..........'.....................247

§3 Система термовязкоупругости в перемещениях............258

Зписок литературы.........................................261

ВВЕДЕНИЕ

Современные методы решения краевых и начально-краевых задач для уравнений гидродинамики вязкой жидкости характеризуются широким использованием методов функционального анализа и теории вложения функциональных пространств. Их становление связано с работами С.Г. Крейна, O.A. Ладыженской, Ж. Лерэ, С. Л. Соболева, 3. Хопфа, Г. Вейля.

Более сложные модели жидкости, учитывающие предысторию течения, были предложены Дж. Максвеллом, В. Кельвином, В. Фойгтом и развиты в работах Дж. Олдройда.

Эти модели приводят к интегродифференциальным уравнениям, коэффициенты которых не зависят от значений неизвестных функций, вычисляемых вдоль траекторий движения частиц. Изучение таких уравнений было начато в работах А.П. Осколкова и его учеников и продолжено в работах Ю.Я. Аграновича и П. Е. Соболевского, Е. Fernandes-Cara, F. Gull ien, R. Ortega, рассмотревших случаи физически нелинейной среды. Однако на практике такие модели не всегда дают хорошие результаты. В. Г. Литвинов "предложил модель вязкоупругости, помнящую историю деформирования, которая в эйлеровых координатах вычисляется вдоль траекторий движения частиц, а не в точках неподвижного пространства. Так что при этом деформация в каждой точке траектории вычисляется в лагранжевых координатах. Исследования таких моделей вязкоупругости находится на начальном этапе.

Значительный интерес представляют гиперболо-параболические системы уравнений термоупругости и, в частности,

одномерные модели. В работах R. Racke, Y.Shibata, S.Jiang, W.Day, W. Hrusa, M. Tarabek, J.U.Kim, Ф.Г.Максудова,

К.А.Леонова были установлены локальные теоремы при достаточно гладких данных и нелокальные теоремы при гладких малых данных.

Значительный интерес вызывают параболические системы уравнений термовязкоупругости. Такие системы рассматривались в работах К. Chelminski, S.Jiang, I.Luca, С. Navaro, R.Bercia, в которых установлены локальные теоремы при достаточно хороших данных и нелокальные теореим дл# линеаризованных или модифицированных систем. Отметим, что в одномерном случае сходные с системами уравнений термовязкоупругости, но отличающиеся от них функциями стстояния, системы уравнений движения вязкого газа изучались в работах A.A. Амосова, А.А. Злотника, А. В. Кажихова, В.Б.Николаева, В. П. Маслова, П. П. Мосолова, H.H. Шелухина, Н. Fujita-Yashima, R. Benabi dal Iah, M.Padula, A. Novotny и др.

В этих работах изучены разрешимость в различных функциональных пространствах и поведение решений на бесконечности (наиболее полные результаты получены в L^ ), рассмотрены вопросы повышения гладкости различных обобщенных решений при повышении гладкости данных.

Большую роль в этих исследованиях играет интерпретация этих уравнений как уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторами и изучение свойств соответствующих линейных уравнений и их спектральных характеристик. Этому напрвлению посвящены работы П.Е Соболевского, С. Г. Крейна, Н. Д. Копачевского, А. И. Прилепко, М. Л. Горбачука, Л. М, Герштейна, А. Я. Шкляра, G. Da Prato,

J.Pruess, P.Clement, А. А.Шпаликова, А.Г.Костюченко, W.Hrusa, М.Renardy, J.Nohel, A.A. Панкова, А.Н.Боценюка, К. Chelminski, Н.Fattorini, И. В.Федака, R.Fabiano, К. Jto, В. А.Солонникова, В.И.Юдовича, С.Я.Якубова, Ю.Т. Сильченко, С.Г. Михлина.

Диссертация состоит из пяти глав. В первой главе приводятся в удобной для нас форме в эйлеровой и лагранжевой системах координат уравнения движения сплошной среды. Мы считаем, что сплошная среда занимает ограниченный об'ем Q с R , n ^ 1 с границей ^Q С С . Эйлеровы

координаты х связываются с лагранжевыми координатами с помощью формулы ^ = -гсоД/х) , где ^C^t,*) - решение задачи Коши (в интегральной форме).

ZCT^.V) =. ^ vC^^t,*)) Js, (0.1)

i: 1

а V С~Ь.> к ) - вектор-функция на Q , являющаяся полем скоростей среды.

Вторая глава посвящена изучению абстрактных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. В первых трех параграфах изучается задача Коши

u*ct)^Au'ct) foro,i0.2)

1/(0^1X0 , <п/(0 )^/и< (0.3)

в банаховом пространстве Ь с неограниченным сильно позитивным оператором А ■ В частности, это означает, что спектр

оператора А лежит внутри сектора ) = ■] X ',

Я^Х^.бо > X 1 * а вне Эс^о, Ц> ) справед-

лива оценка резольвенты II СХ- А4) 11 М С^-НМ^ % Решением задачи (0.2)-(0.3) называется функция -ис-О 6

) , {^<^<+00 , такая, что Д-иС-ЬОб ]_^^ Со^оо Е ^ и выполняются п. в. уравнение (0.2) и условия (0.3). Относительно оператора А предполагается, что

задача

VlC-Ь)■^-Avc•t)' = fcЬ) ,-Ь^О , \Ко^У0 (0.4)

коэрцитивно разрешима в ) Ь ) при некотором

(.4, с*?) . Это означает, что при всех |_-<^Со;с>оЕ)

и е Ь задача (0.4) имеет единственное

решение. Здесь -банахово пространство

элементов из £ , для которых конечна норма

IV 1< V =( ГиАТ^и'ЫУ^

^ о / ? (0.5)

а -еу:^ А ~ аналитическая полугруппа,

порожденная оператором А • Отметим, что сильная позитивность А не гарантирует к. р. задачи (0.4) при каком-либо

При условии, что ^о > ^ и ^

устанавливается (теорема 2. 2.1) однозначная разрешимость задачи (0.2)-(0.3) в оь) Е } при любых ^к^Со)

ОЪ'/В) , и0еЯ)Ш , ' при любом

с^ е С Л , °о• ^сли спектР € оператора А состоит из

двух частей 6^, = (оуу $ и £>2- ' где содержит лишь положительные собственные значения, а йг. X > при Ое ' разрешимость задачи (0.2)-(0.3) уста-

навливается (теорема 2.3.1) лишь при

Основным моментом при доказательстве здесь являются явные формулы для решения задачи. При этом во втором случае задача расщепляется на две аналогичных задачи, первая из которых является системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а вторая удовлетворяет условиям первого случая. При построении явных формул используются дробные степени операторов и аналитические полугруппы, построенные по корням соответствующего характеристического (операторного) уравнения. Отметим, что условия на данные являются необходимыми при данном определении решения.

В случае гильбертова пространства задача (0.2)-(0.3) с различными коммутирующими самосопряженными операторными коэффициентами с точки зрения устойчивости изучалась М.Л. Горбачуком, А. Я. Шкляром, И. В. Федаком. Соответствующие уравнению (0.2) операторные етучки исследовались Н. Д.Копа-чевским, А.Г.Костюченко, A.A. Шкаликовым и др. В случае банаховых пространств уравнение (0.2) рассматривали В.Н. Герштейн, С.Г.Крейн, Ю. Т. Сильченко, П.Е.Соболевский, J. Pruess, P.Clement, G. Da Prato, установившие разрешимость при достаточно гладких данных при различных ограничениях на операторные коэффициенты, в том числе и некоммутирующие..

В четвертом параграфе рассматривается задача

V'cfc)*^ A.V/C-t) И" ¡fa- 5 «^f WCS-^b)) Av<S') c(5 -

(0.6)

; vco^vo ,

Здесь

А - позитивен, a Ji: . Задача (0.6) изу-

чается в весовых пространствах С О, оо* Ь ) функций

, суммируемых со степенью £ С А, ") е>с |р> С эе-Ь ") . пусть

с весом

- ¿i , к =

a ß Сб ) -В предположении, что

ц-ol > 0 ^ ¡(«oí -V ,

<1 ^ - умХц 4- oí , (0-8)

Устанавливается (теорема 2. 3.2) однозначная разрешимость задачи (0.6) при L^ ^,(0,00) E")^v0 е оценка

Hv'chll ч- К AV(4r)|(. ^ ^и vc^l f

Ч* -bio

i

4- Vio |¡ А [ V(S) oxpCcUs-Ъ) eis II -f° (0.9)

-+ II A^ e^bWCS't))V(5)o(s|( 4 M (kill -Hv.l )

Для доказательства задача (0.6) сводится к задаче (0.2)-(0.3), выписывается явная формула для решения, и осуществляется обратный переход. Оценки (0.9) устанавливаются с использованием явной формулы.

Третья глава посвящена изучению многомерных моделей вяз-коупругости. В первом параграфе рассматривается случай несжи-

маемой среды

\/4 + Ъсл/ ) ~ ' А V -^¿у б СЪ &С\0/?>У ) -

- уъА р = ^с-Цх) р (Им ус^х)

^ У) Ду = О

V С) - V0 С X ) . у е V с-Ь, к ) О ^ о \ у в

Здесь ^^Сх) заданные

вектор-функции, и у ) ? л ^ ^ ^ и р¿"Ц >0 искомые вектор-функция и скалярная функция, Я&О/) -

VI V

, '/ (2- ) - матричная

функция, аргументами которой являются коэффициенты |л у VI -матрицы Н ; • сЕ)сч/ означает взятие дивергенции от матричной функции, т. е. вектор, коэффициентами которого являются дивергенции векторов, являющихся строками матричной функции;

а является

решением задачи Коши (0.1).

Решением задачи (0.10) называется пара ( V^ р ), имеющая все входящие в уравнение (0.10) производные из > ^ > V* , и удовлетворяющая уравнениям

и условиям (0.10).

Устанавливается (теорема 3.1.1), что если 4-)_а СО")

о (ьт1 ) о ^ = о, то при дастаточно

малом задача (0<Ю ) имеет единственное решение.

Для доказательства строится итерационный процесс

^IvGC^&Cv*-4)/?)* ) ; (ii'v v%o;

(0.11)

VW(0,)C) = VCCXN) ; vet, O , J

$ р"Ч-Ц>0 Дх - О ^ л.

и показывается, что все приближения принадлежат некоторому шару SCfO^V^J СО)- Д°казательства сходимости

scfO рассматривается как метрическое пространство с (ай) метрикой. Отметим, что использование ^у^здёсъ невозможно, поскольку потребовало бы оценок разностей от производных второго порядка от vetj,*) • Доказательство существенно использует равномерные и оценки норм решения и

производных до второго порядка включительно решений задачи Коши (0.1).

Отметим, что аналогичные оценки в гельдеровских нормах были впервые использованы В. А. Солонниковым при исследовании задач со свободной границей (см. [С013). Отметим также многочисленные работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям с разрывной правой частью (см. [ФАШ.

В § 2 рассматривается модель баротропной вязкоупругой

среды

РМС^Нг^СлО) - ¡<4 А. (.V ) - (0.12)

; усо^У ) - суЗ, Х^О.; МС^)^

-ь 6Но, -Ь0 ч , X <ь

Здесь & V = V* ) - | ¿¿Л/ с^уУ

РОО = <Ае"У (.оуЬ,* ) \;а у £)<Л - достаточно гладкая скалярная функция. Решение задачи (0.12) определяется как УС^чО(£1е ) .^удовлетворяющая уравнению и условиям

(0.12).

Устанавливается (теорема 3.2.1), что при ) 1

V &\áÁ (SL ] задача (0.12) имеет единственное реше-° о ^

ние при достаточно малом > О . При доказательстве используется схема, примененная для задачи (0.11).

В ^ 3 рассматривается задача с памятью вдоль всей траектории движения частиц

_ Л

v - - ^¡а, ^ £ Сс> В Cv)/9x>

(0.13)

dU.Nl J

JX.

Здесь В (V)= ^ Cr x ) , a - решение задачи (0.1).

Предполагается, что СС^чО (о£гС4г-1£-"Ьс)

мера Стильтьеса по при каждом фиксированном

±.<£=10^(31 . Для простоты считаем непрерывной

по 1 при любим и функцией ограниченной вариации по

^ при каждом фиксированном (эти ограничения можно

ослабить).

Решение задачи (0.13) определяется так же, как для (0.12).

Доказывается (теорема 3.3.1) однозначная разрешимость при достаточно малом Ь0 о при тех же условиях, что и

в задаче (0.12).

Для модели баротропной среды с памятью вдоль траектории

1

(0.14)

х/с^х ) ~ О )

справедлив аналогичный результат. При условии

vc 6 , Ли \/с - О

устанавливается (теорема 3.3.2) существование и единственность решения при достаточно малом Л->0.

Соответствующие (0.14) стационарные задачи были впервые изучены В. Г. Литвиновым (см. [ЛВ11), установившим для физически нелинейно-вязкой среды вопросы существования и единственности обобщенных решений.

В §4 рассматривается модель баротропной среды в лагран-жевых координатах с неоднородными граничными условиями

\ - ^^л/ (11+

А ^ - 4 \

(I '^СБ/Х^У (1+ $о у^с^сЮ ) -

-Ь

УоСХ") , у СгО. ■

соответствующие случаю подвижной границы и действию внешних сил на частицу среды. Обозначим через V/ банахово пространство W^ ^(S) Функций, определенных на S . Норму в W обозначим u vиw При условии, что [е vo е ^(Q )

V^é \дУ устанавливается (теорема 3. 4.1)

однозначная разрешимость задачи (0.15) при достаточно малом ±„>0.

Отметим, что подобный переход к лагранжевым координатам был впервые использован В.А. Солонниковым (см. [С01]) для уравнений движения вязкой жидкости в задачах со свободной границей.

§5 посвящен доказательству разрешимости на полуоси

задачи

p(V)04 +D(V))- jh^V- (и*ихГ-

I J ; (0. 16)

Q ; W = l3CV) ■

Q • Va,

Задача (0.16) описывает движение баротропной вязкоупругой среды при,, некоторых упрощающих реологических соотношениях.

Доказано (теорема 3. 5.1), что если ■> +

> ó ? то найдется такое £> о , что для любых

F^L^(Q) , Vc<rW, vi-cc^ + oo таких,что

U F'll0 > г. £ (0.17)

задача (0.16) имеет единственное решение, ^справедлива оценка

II V|| + socio | Vdjx)| , ¿M(lFlle + (vi N (0.18)

Здесь и далее U • ы ' , И - 1\0 9 |. \о - нормы в

) , \Лу£ (Q.) , Ц(О), Ц/Q ) соответственно. Как следствие, получаем отсюда, что для любого £ > О найдется такое <£>0 , что при условии (0.17) задача (0.16) имеет единственное решение, и справедливо неравенство

Отсюда с помощью теорем, вложения можно получить оценки (i Vcl, х) IIс и II Vc-t, х) II Н°РМ решения.

Доказательство теоремы 3.5.1 основано на переходе к лагранжевой системе координат — ^СО/Ь, х) и

нахождении функции — . В лагранжевой

системе координат задача (0.16) принимает вид

V, ■- ^ (I с^) I (V) + <£<У) V* ) <£<>/>) -

(0.20)

= , (^)е О. ;

Здесь

Запишем задачу (21) в виде .> .

Линеаризованная задача

О) - Рс-Цц.')

имеет

вид С ,**=■/<*+ ¿/<5 )

(0.21)

Для задачи (0.21) доказывается (теорема 3.5.2), что при

, У2. > О для любых о ^ЗД

^ Ц/СО, ° решёние существует, един'-

ственно, и справедлива оценка

~Ьло о % '> / •

+

(0. 22)

Для доказательства задача (0.21) рассматривается как абстрактная задача (0.6) и применяется теорема 3.4.1.

С помощью теоремы 3. 5.2 для задачи (V) - Ь с-Ц ^ ) устанавливается результат теоремы 3.5.1. Обозначая через

решение задачи

вопрос о разрешимости задачи (0.20) сводится к разрешимости операторного уравнения \л/-ГсЬ а С£ (и/'Л) для разрешимости

у У О Л ? , .

которого применяется принцип Шаудера. Затем решение х/сЬ,*; исходной задачи восстанавливается из функции vct^^j./) . Единственность решения задачи (0.16) вытекает из локальной теоремы единственности.

Параграф 6 посвящен задаче

-Ъ

Аъ р^Л) - £ с*, * ) , ^

си ж-ц-о = о 7 0 « ;

(0.23)

$ .р<л,у)<А>с - о '

Здесь ^>0 ) 6 К ^ ¡^>0 • Вначале рассматривается

о

линейная задача

СЛ ^ (0.24)

Здесь 2Г - # а ^Р - оператор ортогонального

проектирования в (векторном) на подпространство

соленоидальных вектор-функций. Пусть - первое собственное значение оператора 2 рассматриваемого в $<|, • > 4 ^ % ^ на области

определения Я) СХ ) = V/ ^ С ) П Б ^ ( ^ "

подпространство соленоидальных функций в ). Пусть

I. ^ ~ Ц^Ср/эО) множество соленоидальных функций с

нормой »441

Для задачи (0.24) установлено (теорема 3.6.1), что при выполнении неравенств (0.8) для любых е ^(О. )

) ^£ ^ 0 задача (0.24) имеет единственное

решение, и справедлива оценка

Здесь и« и^ - норма в весовом пространстве

С О } С помощью этого результата доказывается (теорема 3.6.2), что при выполнении условий (0. 8) и Ре > о найдется такое <?><Э , что при всех 'ч/0£г\д/^ ^(О.)

П5л 4 £ . удовлетворяющих неравен-

ству

задача (0.23) имеет единственное решение, и справедлива оценка

£

Эе.

* К ("К^+к^^^мш^)

В качестве следствия отметим, что по любому £ > о можно указать такое о , что при у0 и ^ "меньших", чем & , задача (0.23) однозначно разрешима, и справедливо неравенство К/ (.ч, р } ^ .

В качестве другого следствия отметим, что для решения задачи (0.23) справедливы оценки

¿МШс{

i^o С (Я.)

Задача (0.23) на полуоси при более общих ядрах изучалась в работах Осколкова и его учеников при дополнительной дифференцируемости

4 ^

по "t . В работах П. Е. Соболевского и Ю.Я. Аграновича задача (0.23) рассматривалась при положительных уг и о( и . U.E. Соболевский

изучал вопросы стабилизации решений задачи (0.23) при условии Гельдеровости правой части в интегральной норме по X и дополнительной гладкости V0O) при положительных значениях Jjî. и ol . При малых данных существование и единственность решения задачи (0!23) в некоторых пространствах суммируемых функций н