Задачи граничного управления в условиях первой краевой задачи для систем гиперболических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

¿ЦТ

005057544

Козлова Елена Александровна

ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 Я ДПР 2013

Белгород — 2013

005057544

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

кандидат физико-математических наук, доцент Андреев Александр Анатольевич

Боровских Алексей Владиславович, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», механико-математический факультет, профессор кафедры «Дифференциальные уравнения»

Половинкин Игорь Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», доцент кафедры «Математический и прикладной анализ»

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», факультет вычислительной математики и кибернетики

Защита состоится 23 апреля 2013 г. в _часов на заседании диссертационного

совета Д 212.015.08 при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, БелГУ, корпус 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет».

Автореферат разослал

«.№> » 03_2013 г.

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 ' Гриценко С.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Возникновение теории управления во многом связано с развитием техники. Появившаяся необходимость регулирования или поддержания в заданных пределах текущих значений некоторых кинематических характеристик машин или других объектов управления привела к созданию математического аппарата теории управления.

В 50-е г.г. ХХв. в связи с прикладными потребностями возникла необходимость решения задач управления и оптимизации. Наиболее известны работами в этой области Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, изучавшие вопросы управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений, а также Р. Беллман, разработавший методы динамического программирования.

Различным аспектам теории оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы Н. Н. Красовского, А. Б. Кур-жанского, Ф. П. Васильева, И.В. Гайшуна, Л. Янга и многих других.

Дальнейшее развитие прикладных исследований привело к необходимости управления более сложными объектами, поведение которых описывается с помощью уравнений с частными производными. Соответствующие задачи управления были рассмотрены в работах А. Г. Бутковского, А. И. Егорова, Ж.-Л. Лион-са, К. А. Лурье, Т. К. Сиразетдинова, В. А. Ильина и Е. И. Моисеева, С. А. Авдонина, С. А. Иванова, М. И. Белишева, Ю. С. Рожкова, Ю. Е. Аниконова, А. В. Боровских, Л.Н. Знаменской и других.

Исследованию задач граничного управления посвящена большая серия статей В. А. Ильина, Е. И. Моисеева. Для волнового и телеграфного уравнений авторы рассматривают задачи с начальными и финальными условиями, устанавливают возможность перевода описываемого уравнением объекта из начального состояния в финальное с помощью граничных функций и строят управления в явном виде. Построения производятся в классах W!(<3/,r), №,г)> ^[Qi.r)-Граничные функции, построенные В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым, позволили им перейти к решению задачи об оптимальном управлении, когда среди множества решений необходимо выделить то, которое доставляет минимум некоторому заданному функционалу.

Результаты В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, а также А. И. Егорова, Л. Н. Знаменской, А. А. Андреева и С. В. Лексиной являются основой для исследования задач управления для уравнений и систем гиперболического типа, представленного в настоящей работе.

Целью диссертационной работы является построение решений задач граничного управления для систем уравнений гиперболического типа второго порядка (системы-аналога телеграфного уравнения и системы, содержащей смешанную производную) в случае коммутативных матричных коэффициентов.

Методы исследования. В настоящей работе использованы аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными.

алгебраические и аналитические методы матричного исчисления, аппарат специальных функций, методы теории управления процессами, описываемыми гиперболическими уравнениями.

Научная новизна данной работы заключается в том, что:

- построено решение задачи граничного управления для системы гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными (аналог телеграфного уравнения) при различных формах входящих в нее коммутативных матричных коэффициентов;

- найдено решение задачи граничного управления для уравнения гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными, содержащего смешанную производную, для различных видов характеристических областей;

- найдено решение задачи граничного управления для системы гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, содержащей смешанную производную, при различных формах входящих в нее коммутативных матричных коэффициентов.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для дальнейших исследований задач граничного управления и некорректных задач для систем гиперболических уравнений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Условия существования и граничные управляющие функции, переводящие объект, описываемый системой уравнений гиперболического типа второго порядка (аналогом телеграфного уравнения) при различных формах входящих в нее коммутативных матричных коэффициентов, из заданного начального состояния в заданное финальное за определенное время.

2. Условия существования и явный вид граничных управляющих функций, переводящих объект, описываемый уравнением гиперболического типа второго порядка, содержащим смешанную производную, из заданного начального состояния в заданное финальное в случае малого времени управления.

3. Общий вид граничных функций, осуществляющих управление в условиях первой краевой задачи процессом, моделируемым гиперболическим уравнением второго порядка, содержащим смешанную производную, в случае достаточно большого времени управления.

4. Условия, при которых осуществимо управление процессом, моделируемым системой уравнений гиперболического типа второго порядка, содержащей смешанную производную, для различного времени управления.

5. Граничные функции, осуществляющие управление в условиях первой краевой задачи процессом, описываемым системой гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную, при различных соотношениях между входящими в нее коммутативными матричными коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах: второй, третьей международных

конференциях «Математическая физика и ее приложения» (2010г.,2012г.), г. Самара; восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» в СамГТУ (2011г.); шестнадцатой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2012г.) в СГУ; научном семинаре кафедры функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (руководитель семинара — академик РАН, д.ф.-м.н. Е. И. Моисеев) (2012г.); научном семинаре «Неклассические задачи математической физики» кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (руководитель семинара —д.ф.-м.н. Л. С. Пулькина) (2013г.); научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н. В. П. Радчен-ко) (2013г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 11 публикациях, из них 7— в журналах из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка, содержащего 133 наименования. Общий объем диссертации составляет 123 страницы.

Содержание работы

Во введении приведен краткий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, отображены ее содержание, постановка задач исследования, основные результаты и подход к исследованию, а также некоторая дополнительная информация о работе.

В первой главе рассмотрена задача граничного управления для системы-аналога телеграфного уравнения вида

и« - Аихх + Си = 0, (1)

где и(х, £) — п-мерная вектор-функция, А, С — постоянные коммутативные матрицы (пхп) с положительными собственными значениями (<21, ..., ,..., с^). Заданы начальные и финальные условия (соответственно):

г1(х,0) = 90(х)> = 0 <х < I, (2)

и(х,Т) = ср\х), щ{х,Т)^ф\х), 0 <х<1, (3)

необходимо найти граничные управления

ц{1) = ы(0, = и{1,4), 0 < I < Т. (4)

Задача рассмотрена в области <5 = [0, /] х [0, Г]. Вектор-функции </э°(г), ф°{х), ■~рх{х), ■фх{х), ц(€), и{{) имеют размерность «; ¡л1), ь%(<) € С[0,Т], к — 1,тг.

В разделах 1.1, 1.2 произведены необходимые предварительные построения: приведены решения задач Коши с начальными и финальными условиями, задач с данными на характеристиках, вычислены следы решений данных задач на граничных прямых х = 0, х = /. Результаты сформулированы в виде лемм. В координатах (х, t) рассмотрено уравнение

Un — я2«!, 4- с?и = 0, (5)

с начальными условиями вида (2) или финальными условиями вида (3) (значения функций в данном случае из К).

Лемма. Если функции ¿>(х) G C2[0,Z], G С1 [0,/] (<pl[x) £ C2[0,ij,

ъ,:(x) 6 С1 [0. l\), то классическое решение задачи Коши (5), (2) ((5), (3)) в области {at < х < I - ai, 0 < t < l/2a} ({а(Т - t) < х < l-a(T-t). Т — I/2а <t<T}) имеет, вид (соответственно):

и{х> t) = ¿Чг+п^г-а,) _ g 'у (iFi U £ ((х _ г)2 _ ^n(2)d2+

J—«f 4

(l; é ((г - г)2 - a2t2)) rlp(z)dz = fn(a,c:x,t):

s-al 4 '

i+a(T-t) , .

S о FA2,^{{x-zf-a\T-t?))^{z)dz-

z—a(T—t) 4

x+a{T-l)

-à î о F1{l;£((x-z)2-a2(T-t)2))^(z)dz = f(a,c:xA),

х-н(Г-г)

где o-Pi(Q;z) ~ вырожденная гипергеометрическая функция.

В разделе 1.2 рассмотрены начальные и характеристические задачи для системы уравнений с кратными характеристиками вида utt — ихх + Си = О, собственные значения матрицы С положительны.

В разделе 1.3 построено решение задачи граничного управления (1)-(3) для матриц А а С различной структуры. Для разделения исследуемой системы на отдельные уравнения в формулах (1)-(3) выполнена замена и = Sw (при det S ф 0) и совершен переход к задаче вида

wtt — AwTX + Cw = 0, (6)

ui{x, 0) = ф°(х), wt{x, 0) = rf>°(x), 0<х<1, (7)

w{x, T) = wt(x,T) = ф1{х), 0 <X<1, (8)

£(t) = w(0, t), û(i) = w(l, t), 0<t<T,

где A = S'1 AS, С = S-1CS. Выделены следующие возможности для структуры матрицы А: собственные значения кратности 1; собственные значения, у

которых алгебраическая кратность равна геометрической кратности (> 1); собственные значения, каждому из которых соответствует одна жорданова клетка (размерности > 1); собственные значения, каждому из которых соответствуют несколько жордановых клеток (хотя бы одна из которых размерности > 1).

В случае различных собственных значений матрицы А задача (6)-(8) допускает разделение на п отдельных задач граничного управления:

(т)и - а1(гик)хт + с\мк = 0, (9)

ич-(г.0)=^(т); («ч),(:гЛ)) - г?(.г); 0 <х<1, (10)

<■•';(•>. П НИ- Ы,(х,Т) = фЦхЪ ()<:/</. (11)

Для задачи (9)—(11) найдены условия управляемости вица:

/о (ак,ск:х,Т- = /' (ак,ск;х,Т - , < х < акТ. (12)

Ш*) = Л'(«ь'.>: г, 0). акТ < х < I — акТ, (13)

Ф) = -С.г. 0|«=о, акТ<т<1- акТ. (14)

Я(ак,ск;х,Т+^)=П(ак,ск-,х,Т+^-), I - акТ < х < (15)

и построены управляющие функции fii. it), ¿>|Д/) для различных величин Т. Результаты сформулированы в виде теорем.

Теорема 1.1. Если в прямоугольной области С} = [0, /) х [0. Т] поставлена задача граничного управления (9)—(11) с начальными и финальными функциями <р1 е С2[0,1], !/•'", € С1 [0,/], для которых при 0 < Т < ~ выполняются соотногиения (12) — (15), а при ~< Т < — соотношения (12), (15), граничные управления € С[0,Т] имеют вид:

Ш = г? + - ь*(о,«)г» +

к д \ /

(16)

МО = ^ + ^ - Ьк{1, (I) -

±{г + ак[т _ ^ _ г)(г _ Г)\ р„ ы ^

О

где

2XJ> oFi _ au){z _2x + ^{z)dz+

»Pi (i;éM -~2x + Q* O

bk(x,t) = 0Fi (í-~ ak(T - t)){x + ak(T - t) - ..

««• = /- akT, al0 = 0. af = akT, Q'1 = /, г, = ¿±í.

Теорема 1.2. Если в прямоугольной области Q = [0, /] х ¡0. Т] при Т > ^ поставлена задача граничного управления (9) —(11) с начальными и финальными функциями ф'1, ф\ G С-[0. ¿I 6 С1 [0,/], то граничные управления f'k(t),Vk{t) € С[0,Г] определяются формулами (16), (17) при Т — — <t <Т , а при 0 < t < Т — ~ имеют вид:

Mt)=- ê T (2; 4 (г2 -а^2))

-Oit 4 '

-att 4 '

ш = _ g YoFi (2; 4 ((i - ¿)2 - а^))

i-ait 4 '

l+atí , , л _

l-akt

Теорема 1.3. В условиях задачи (1)-(3) в прямоугольной области Q = = [0,г] х [0,Т] при <р°к, е С2[0,1] и Ф1, 6 С1 [О,/], fc = Гп, управление возможно, если для всех задач (9)-(11) выполнены необходимые условия из теорем 1.1, 1.2. При этом векторы управления n{t), v{t) могут быть получены с помощью формул ¡i(t) = S¡l(t), v{t) = Sû(t), где S — невырожденная матрица, использовавшаяся при переходе к задаче (6)-(8) и одновременно приводящая матрицы А и С к диагональной форме, a jxk(t),vk{t) G С[0,Т] есть решения задач управления (9)-(11).

Аналогичным образом решена задача граничного управления для случая А = а2Е. При этом использован метод Римана для систем гиперболических уравнений. Результат сформулирован в виде теоремы.

Если нормальная жорданова форма матрицы А представляет собой единственную жорданову клетку (порядка > 1), то система (6) содержит как однородные, так и неоднородные уравнения.

Теорема 1.5. Если в прямоугольной области С? = [0. /] х [0, Т] поставлена задаем граничного управления (6)-(8) с начальными и финальными вектор-функциями 9?°, ¡р1 с компонентами из С"+2~''[0, /], 1р°, ф1 с компонентами из С"+1~*[0, для которых для заданной величины Т выполняются соотношения, указанные в теоремах 1.1, 1.2, то компоненты граничных управлений Р-к(1)> йЛО £ С[0,Т'] имеют вид:

Г Д1=/.(0,<),

| Ь = Мо, 0 + 0 + Е Скч+15сш3{о, 0.

Г ¿>1 = Шл), I

] йк = М1Л) + 8аи1к-Х(1Л)+ щ(1Л).

где /* (сг, I) — решение соответствующей однородной задачи, <5„ = ~ ^ = Ск ~ компоненты матрицы 3~'СЯ.

Во второй главе рассмотрена задача граничного управления для системы гиперболических уравнений вида

«„ + 2Ви:г, + СиХ1 -= 0, (18)

где В, С — постоянные коммутативные матрицы размерности п х п, и(х, ¿) — п-мерная вектор-функция. Заданы начальные условия (2) и финальные условия (3), необходимо найти граничные управления (4). Задача рассматривается в прямоугольнике ф — [ОЛ] х [0, Г]. Раздел 2.1 содержит необходимые предварительные построения, включая решения задач Коши с начальными и финальными условиями и задач с данными на характеристиках для уравнения, соответствующего системе (18) (Ь2 > с):

ии + 2 Ьих( + сихх = 0, (19)

обозначим р = Ь — — с, = Ь + у/Ь2 — с, 7 = (д — р)~1 ■ Приведены следы решений данных задач на прямых х = 0, х = I. Результаты сформулированы в виде лемм.

Раздел 2.2 содержит решение задачи граничного управления для уравнения (19) для случаев 5 > —р >0ид>р>0. Получены следующие соотношения, при которых управление возможно:

—рТ ох

д<(Р{-рТ) - р<р°(х) + / ф°(г)гЬ = ^(0) - р^(ах) - / ф\г)йг (20)

х О

при 0 < х < —рТ,

x+qj

■■pi){x)^1{4^{x + pT)-p^{x + qT)- f v\z)dz), v i+pT '

ф°(х) = + pT) - (vl)'(x + <?T)) +

+і(рФ\х + рТ)-чФ\х + ЧТ)), при -pT<x<l-qT,

q^\x) - - qT) + J iP{z)dz = 1-qT

= w1 (i3r + (1 - 0)1) - ÍV1 (2z - /) - J Vі (í)í/2, при І — qT < x < l\

FL{1 - <?T) = -7- 7 J

»

+ J -PT<x<L

(22)

(23)

r+pT

где o = 1 - qjp, /3=1— p/g, F¿(s) (а также Gw(s), G¿(s)) — функции, полученные при продолжении начальных, условий.

Теорема 2.1. Если в прямоугольной области Q — [0,/] х [О, Т] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае q > —р > 0) с начальными и финальными функциями ч?1 € C^O.Z], ф°, ф1 6 С*1 [0, /], для ■которых при Т < "jl выполняются соотношения (20)-(22), а при -)l <Т < l/r¡ — соотношения (20), (22), то граничные управления p.(i), i/(t) € С[0, Т] имеют, вид:

p(t) = 7(^°(-pí) - Ч'Л~рТ) - J x¡>ü{z)dz+ 4 -р t

-qt+qT .

+qíp1(0)-p<pi(-qt + qT)- J y\z)dz)

o '

1-qT

v(t) = 1[p<p°{l-qT)-p4p(l-qt)+ J W°{z)dz+

^ l-qt

^(l-pt+pT)-^^ l)- 1 ip\z)dz).

1-pt+pT '

Теорема 2.2. Если в прямоугольной области <Э = [0, х [0, Т] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае q > —р > 0) с начальными и финальными функциями ір1 Є С2[0, /], ф°, ф1 Є Са[0, /], для которых при

l/q < T < —l/p выполняется соотношение (23), то граничные управления ix(t),v{t) £ С[0,Т] имеют вид:

МО =

7 (w°(-pí) + SV(z)dz) + FL(—qt). О < i < Т - i, 4 о '

7 (<1'A-Pt) ~ q'A-pT) - fp°(z)dz+ v -pt

+W>!(0) - W>\qT -qt) - "Y ФЧ^г). T - L < i < T,

II '

„(I) =

< í <

J V?(z)dz) + v '

+~Aq-p\l-pt+pT)-q^{l + pT) + J r!,l(z)dz J, 0;

4 I+J,T '

7 UAl) + Í<>0(z)dz)+Fril-qt)+ 4 o '

1-p+pT

+1(qVi(l-pt+pT)-qv1{l + pT)+ J l-'Ú)'^], Lq<t<T.

1+pT

Теорема 2.3. Если о прямоугольной области Q = [0, /] х [О, Т] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае q > — р > 0) с начальными и финальными функциями G C2[0,l], i¡>0, ф1 6 C'jO.Z), для которых при

Т > —1/р выполняется соотношение

FL(l - qT) + Gn(-pT) = 7(w1(0) -\i>1{z)dz -SyP{z)dz),

v o o '

то граничные управления fi(t), f (í) 6 C[0, T] имеют вид:

-pt J

O

/ t /ЛЧ

7

0 <t<T-t.

M(t) =

v o '

(V(0) -P<p\qT - qt) - ' f ipl{z)dz+ v O

W(-pO- J -Gfí(-pT), T-l<t<-¿

-pt

7(V (o) - pv1^ - V) -" jV(z)dz)+

+С?л(-рО-Сл(-рГ),

-Lp<t<T-,

7(-р<Л/ Ф°Шг) + Сп(1 - 0 < ? < Т +

-/(^'С-р' + РЛ-РРЧО- X у^Шг-

4 1-у(+рТ

- - '7 - - 9Т), г + £ < г <

4 1-р1+рТ '

- 9«) - .Р^С/ - дТ), при — //р < Т < 1/д — //р и

7(^°(-рг) + ¡4Р(г)йг) + ^'-(-90.

4 (I '

о

- Р^ЧчТ - д1) - 4 "+ +Ся(-рг)-С/г(-рТ),

7(-р<Д' - 9<) + 1 + - рО,

7 X+ - 94) + сд(г - рг);

«/(*) =

< г < т.

о <кт-'-. — —

Г - ^ < I <

Ч — Р

-1 <кт. р — '

0<t<T+L,

^(я'Р1^ + рТ) —р<р1(1) — X Ф\г)йг)~

р — я'

<КТ,

при Т > 1/д — 1/р.

Теорема 2.4. Если в прямоугольной области С} = [0,1} х [О, Т] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае д > р > 0) с начальными и финальными функциями <р°, € С2{0, /], ф°, ф1 £ С1[0,1], для которых при Т < ^ выполняются соотношения

¥>'(*) =7 (д^х-р^-^х-дТ)^ X

4 х-ЧТ '

ф\х) = 7(-р5(^0)'(х - рТ) + р5(<р°)'(1 - ЯТ) - рф°(х - РТ)+

+дф°(х-дТ)), дТ<х<1,

х ці

qipa(x)~pPn(0) + ^éü(z)dz = q^(x + pT)-p^(qT)- I vl(z)dz,

х+рТ

О < х < ^ — р)Т, то граничные управления ¡/(і) є С[О, Т] имеют вид:

>ЛТ-І)

] (24)

ріт-і)

PÍT-0

l-pt

Ht) = -r(q-Al-pt)-W°(l-4t)+ Ф°(г)йгУ

(25)

l-qt

Теорема 2.5. Если в прямоугольной области <5 — [0, /] х [0. 7'] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае q > р> {)) с начальными и финальными функциями \ Є С2[0,/], і-", і''1 е С"[0,для которых при £ < Т < выполняются соотношения

GL(x) + FL(l-qT) = 1(q:p1(x + pT)-p^(l)- S (26)

4 х+рТ '

для Щ1 -qT)<x <0 и

q^(x)+^0(z)dz + (q-p)Fl(l~qT) = q^(x + pT)-p^(l)~ J ^(z)dz

о т+рТ

для 0 < х < I —рТ, то граничные управления p,{t),v{t) Є C'[ü. 7'j имеют вид: (24) при Т — <t <Т, (25) при 0 < t <

I

МО = GL{-pt) + Fl{-qt), i-pt

1/(0 = 7 (qAl ~ pt) + І 1>°(z)dz) + FL(l — qt), -<t<T. (28)

o

0 < t < T - -, (27)

Q

1

Теорема 2.6. Если в прямоугольной области = [0, /] х [О, Т] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае д > р > 0) с начальными и финальными функциями уз1 6 С2[0,1], ф°, ф1 6 С1 [0, /], для которых при Т > £ выполняется соотношение (26), то граничные управления /¿(¿),^(0 6 С[0,Т] определяются соотношениями (24), (27), (25), (28) и

1/(0 = - р4) + - ¿<*-<Т.

В разделе 2.3 рассмотрена задача граничного управления для системы уравнений (18) с начальными и финальными условиями (2), (3). Как и в первой главе, с помощью невырожденной замены и = Зги совершен переход к задаче для системы _

«>„ + 2 + Си,хх = 0, (29)

где В = 5"' С = .9''С.?, с условиями (7), (8) Для структуры матрицы В выделены те же возможности, что и для матрицы ,4 в первой главе.

Раздел 2.3.1 содержит решение задачи управления для системы (18), содержащей простую матрицу В с различными собственными значениями. В этом случае преобразованная система (29) распадается на п отдельных уравнений вида

{ык)и + 2М^Ьг + ск(гик)хх - 0. (30)

(б£ > ск), каждому из которых соответствуют условия (10), (11). На основе полученных в разделе 2.2 результатов сформулированы обобщающие теоремы.

В разделе 2.3.2 выделен случай: матрица В имеет вид ЬЕ, матрица С содержит единственную жорданову клетку с собственным значением с. Это означает, что среди уравнений системы (29) есть неоднородные.

Теорема 2.9. Если в прямоугольнике = [0,/] х [0. Т] поставлена задача граничного управления (29), (7), (8) с начальными^ финальными вектор-функциями с компонентами ф\, ф\ е С11+2"*[0./], <£•£, е С"+1~*[0,/], для которых при различных соотношениях между коэффициентами р и д и заданной величины Т выполняются соотношения теорем 2.1-2.6, то компоненты граничных управлений //*(£), йк(1) 6 С[0,Т] представимы в виде:

}=1 3=1

где ¿1 = ~ — 5?/ = /, }к{х, £) — решение соответствующей однородной задачи.

В разделе 2.3.3 рассмотрена матрица В, содержащая единственную жорданову клетку (порядка >1), матрица С приведена к треугольному виду. Решение задачи управления построено аналогично решению задачи раздела 1.3.3 (теорема 1.5) с использованием операторов ¿1 и 6-2 = (р^ Результат сформулирован в виде теоремы.

Заключение

1. Для системы уравнений гиперболического типа второго порядка, не содержащей смешанную производную, получены решения задачи управления в условиях первой краевой задачи для произвольного времени управления.

2. Определены условия, при которых управление объектом, описываемым данной системой, возможно.

3. Для гиперболического уравнения второго порядка, содержащего смешанную производную (в случае отсутствия младших членов), сформулирована задача граничного управления, в зависимости от относительного расположения характеристик определены области построения решения данной задачи.

4. Получены условия существования и явный вид граничных управляющих функций, переводящих объект, описываемый гиперболическим уравнением второго порядка, содержащим смешанную производную, из заданного начального состояния в заданное финальное в случае малого времени управления.

5. В случае достаточно большого времени управления построен общий вид управляющих функций в условиях первой краевой задачи.

6. Для системы уравнений гиперболического типа второго порядка, содержащей смешанную производную, сформулирована задача граничного управления и определены условия, при которых управление осуществимо.

7. Построены граничные функции, осуществляющие управление в условиях первой краевой задачи процессом, описываемым системой гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную, при различных соотношениях между входящими в нее коммутативными матричнымн коэффициентами.

Основные публикации по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Козлова, Е. А. Задача управления для системы телеграфных уравнений / Е. А. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. — 2011. — № 3(24). - С. 162-166.

[2] Козлова, Е. А. Задача о полном успокоении для гиперболического уравнения, содержащего смешанную производную / Е. А. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. - 2011. - X' 4(25). - С. 37-42.

[3] Козлова, Е. А. Задача управления для гиперболического уравнения в случае характеристик с угловыми коэффициентами одного знака / Е. А. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. - 2012. — № 1(26). — С. 243-247.

[4] Козлова, Е. А. Задача граничного управления для телеграфного уравнения / Е. А. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. — 2012. - № 2(27). - С. 174-178.

¡5] Козлова, Е. А. Задача о полном успокоении для одного класса систем гиперболических уравнений второго порядка / Е. А. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. - 2012. - № 3(28). - С. 47-52.

[6] Козлова, Е. А. Задача Коши для системы гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную / Е. А. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. - 2012. - К» 4(29). - С. 218-221.

¡7] Козлова, Е. А. Задача граничного управления для системы уравнений гиперболического типа / Е. А. Козлова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2013. — № 1, 4.2. — С. 51-56.

Другие публикации:

[8] Козлова, Е. А. Задача граничного управления для системы телеграфных уравнений / Е. А. Козлова // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. восьмой Всероссийской научной конф. с международным участием. Ч. 3. Самара: СамГТУ. — 2011. - С. 95-98.

[9] Козлова, Е. А. Задача о полном успокоении для гиперболического уравнения, содержащего смешанную производную / Е. А. Козлова //В сб.: Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 16-й Саратовской зимней школы. Саратов: Научная книга. — 2012. — С. 86.

[10] Козлова, Е. А. Граничное управление процессами, описываемыми системами гиперболических уравнений / А. А. Андреев, Е. А. Козлова,

С. В. Лексина // В сб.: Материалы третьей международной конф. «Математическая физика и ее приложения». Самара: СамГТУ. — 2012 — С. 33-34.

[11] Козлова, Е. А. Задача Коши для системы гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную / Е. А. Козлова // В сб.: Материалы третьей международной конф. «Математическая физика и ее приложения». Самара: СамГТУ. - 2012. - С. 168.

Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.015.08 ФГАОУ ВПО НИУ «БелГУ» (протокол №2 от 05.03.2013г.) Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №233. ФГВОУ ВПО «СамГТУ» Отдел типографии и оперативной печати 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

«¿ИГ

04201355785

Козлова Елена Александровна

ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

кандидат физико-математических наук,

Андреев Александр Анатольевич

Самара - 2013

Содержание

Введение 4

л

1 Задача управления для системы телеграфных уравнений 34

1.1 Задачи Коши и Гурса для телеграфного уравнения .... 34

1.1.1 Обобщенный гипергеометрический ряд..............34

1.1.2 Решение задачи Коши для телеграфного уравнения 35

1.1.3 Решение задачи Гурса для телеграфного уравнения 44

1.2 Задачи Коши и Гурса для системы телеграфных уравнений с кратными характеристиками. Метод Римана..........45

1.2.1 Решение задачи Коши для системы телеграфных уравнений с кратными характеристиками............46

1.2.2 Решение задачи Гурса для системы телеграфных уравнений с кратными характеристиками............48

1.3 Задача управления для системы уравнений гиперболического типа, не содержащей смешанную производную .... 49

1.3.1 Случай различных собственных значений матрицы А 51

1.3.2 Матрица А вида а2Е..................................63

1.3.3 Жорданова клетка порядка п........................68

1.3.4 Матрица А, включающая несколько жордановых клеток (хотя бы одна порядка больше 1) для одного собственного значения..................................70

2 Задача управления для системы уравнений гиперболи-

ческого типа, содержащей смешанную производную 72

2.1 Задачи Коши и Гурса для уравнения, содержащего смешанную производную..................... 72

2.1.1 Случай характеристик с угловыми коэффициентами разных знаков.................... 76

2.1.2 Случай характеристик с угловыми коэффициентами одного знака..................... 79

2.1.3 Задача Гурса для уравнения, содержащего смешанную производную.................... 81

2.2 Задача управления для уравнения, содержащего смешанную производную........................ 83

2.2.1 Случай характеристик с угловыми коэффициентами разных знаков.................... 83

2.2.2 Случай характеристик с угловыми коэффициентами одного знака..................... 91

2.3 Решение задачи управления для системы уравнений, содержащей смешанную производную............. 95

2.3.1 Случай различных собственных значений матрицы В 97

2.3.2 Матрица В вида ЬЕ.................. 99

2.3.3 Жорданова клетка порядка п.............100

2.3.4 Матрица В, включающая несколько жордановых клеток (хотя бы одна порядка больше 1) для одного собственного значения..........'.......102

Заключение 104

Список литературы 106

Введение

Возникновение теории управления во многом связано с развитием техники и промышленности. Появившаяся необходимость регулирования или поддержания в заданных пределах текущих значений некоторых кинематических характеристик машин или других объектов управления привела к созданию математического аппарата теории управления.

В теории управления рассматриваются совокупности объектов (системы), поведение которых описывается некоторым законом. Задача управления — задача об отыскании способа изменения поведения процесса так, чтобы перевести систему из одного заданного состояния в другое, удовлетворяя дополнительным требованиям. В качестве этих требований можно рассматривать: заданную величину времени управления Т; минимизацию времени управления (задача быстродействия); минимизацию некоторого критерия (задача оптимального управления); удовлетворение некоторым качествам переходного процесса [91]. Существует также задача стабилизации, изучающая наличие асимптотически устойчивого решения на бесконечном промежутке времени. Одним из основоположников классической теории устойчивости является А. М. Ляпунов, фундаментальные работы которого в данной области заложили основу строгих математических методов анализа устойчивости движения (подробную библиографию см. в обзоре [78]).

Теория управления выделилась в самостоятельную дисциплину к середине XX века. Одной из первых больших работ, посвященных различ-

ным вопросам управления, является труд Н. Винера "Кибернетика" [31], вышедший в 1948 в США и Франции.

В 50-е г.г. ХХв. в связи с прикладными техническими и экономическими потребностями появилась необходимость решения задач управления и оптимизации. Наиболее известны работами в этой области JI. С. Понтря-гин и его ученики В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, изучавшие вопросы управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений [86,87], а также Р. Белл-ман, разработавший методы динамического программирования [17]. Монография [86] содержит изложение теории оптимальных процессов на основе принципа максимума, который позволяет рассматривать многие задачи, выходящие за рамки классического вариационного исчисления.

Различным аспектам теории оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы H.H. Красов-ского [64], A.B. Куржанского х[67], Ф. П. Васильева [28], И.В. Гайшу-на [32], JI. Янга [112], Р. Беллмана (с соавторами) [18] и многих других (см., например, [46,79,91]).

Дальнейшее развитие прикладных исследований привело к необходимости управления объектами, поведение которых описывается с помощью уравнений с частными производными. Соответствующие задачи управления были рассмотрены в работах А. Г. Бутковского и соавторов [4,25-27], А. И. Егорова [37-41], Ж.-Л. Лионса [75], К. А. Лурье [76], Т. К. Сиразетдинова [102], а также В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [48-59], [80,81], С. А. Авдонина, С. А. Иванова, М. И. Белишева, Ю. С. Рожко-ва [1-3], Л. Н. Знаменской [43-45], A.B. Боровских [21], В. И. Агошко-ва [5], и других авторов [16], [83], [94-96], [100], [101], [105], [111], [113, 114,116-121]. Авторы исследовали различные подходы к решению задач управления. Например, методы функционального анализа применялись H.H. Красовским [64], методы теории уравнений с частными производ-

ными — в работах В. А. Ильина, Е. И. Моисеева [48-59,80], приближенные методы решения оптимальных задач описаны в книге Ф. П. Васильева [28], методы квазиобращения (надлежащего изменения операторов исходной задачи и перехода к ее корректному аналогу) предложены Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом [71].

Постоянное развитие техники и экономики способствует появлению новых задач управления в различных отраслях. Например, задачи управления возникают при рассмотрении процесса направленной кристаллизации [92], исследовании процессов колебаний в антенных конструкциях различных типов (приводящих к задачам управления на графах) [84,88]. Задачи, возникающие при управлении интенсивностью электронного или лазерного луча в приборах, расчете температурных полей в твердых телах, изучении нетеплового воздействия лазерного излучения на процессы в твердом теле, относятся к задачам с подвижным управлением [65]. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами в условиях некорректных (по Адамару) в общем случае краевых задач (применяемая, например, при исследовании управления течением вязкой несжимаемой жидкости, описываемым с помощью системы уравнений Навье-Стокса) описана в [110]. Математические постановки некоторых нерешенных задач привел в [26] А. Г. Бутковский.

В качестве объектов управления рассматриваются системы, описываемые уравнениями эллиптического [93,101,122], параболического [39] и гиперболического [42,96] типов.

Известно, что гиперболические уравнения описывают колебания различных механических объектов: струн, стержней, пластин [30, 99, 108, 109]; колебания силы тока и других величин в электрических линиях [23, 63]; динамику изменения давления жидкости или газа в трубе [69]; свободные колебания геологической среды [24]; аналоги колебательных процессов в природных системах [79] и квантовомеханических системах [27].

Математическая постановка вопроса об управлении колебаниями сформулирована А. Г. Бутковским [25]. Задача управления колебаниями является очень важной как с теоретической, так и с практической точки зрения. Ее частными случаями являются задачи успокоения (задача об управляемом демпфировании, например, подавление колебаний типа флаттера [60]) и приведения в заданное состояние (задача о возбуждении колебаний).

Задачи управления в общем виде подразумевают присутствие управляющих функций в правой части рассматриваемого уравнения или системы уравнений [5], в коэффициентах уравнений [12,66] либо в граничных условиях [2,3]. Задачи граничного управления подразумевают поиск необходимых режимов на границе рассматриваемой области. При этом может быть использовано управление смещением, силами, приложенными на границе, управление типа упругого закрепления или смешанные варианты граничного управления [109].

Исследованию задач граничного управления посвящена большая серия статей В. А. Ильина, Е. И. Моисеева [48-59,80], работы их учеников и других ученых. В работах В. А. Ильина, Е. И. Моисеева рассмотрено волновое уравнение, управление осуществляется на одном или двух концах струны при помощи граничных условий первого, второго рода или смешанных условий (в работе Е. И. Моисеева, А. А. Холомеевой [81] изучено также нелокальное условие; граничное управление условием третьего рода описано A.A. Никитиным [83], П. А. Рево, В. В. Тихомировым [94], управление при заданном режиме на одном из концов струны исследовано в [82]).

Большое внимание в данных работах уделено решению соответствующих смешанных задач и вопросам их корректности. Исследованиям смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типа посвящены труды многих ученых. Важные факты относительно

корректности смешанной задачи для гиперболического уравнения установлены в работе O.A. Ладыженской [68]. Традиционным подходом к решению смешанных задач является метод Фурье [47], что позволяет использовать его и для решения задач граничного управления. Однако,

A. В. Боровских подчеркивает [21,22], что этот метод наиболее эффективен при решении задач для уравнений параболического типа, в то время как для гиперболических уравнений целесообразно использовать их волновую природу. Таким образом, для решения смешанных задач и задач управления применимы такие распространенные методы исследования гиперболических уравнений, как метод продолжений [109] и метод Ри-мана [20]. Такой подход к исследованию граничных задач для уравнения колебаний струны и уравнения четвертого порядка изложен в работах

B. И. Корзюка, И. С. Козловской, O.A. Конопелько, Е. С. Чеб [61,62].

В случае, когда для уравнения известно общее решение, оно может оказаться весьма полезным для исследования смешанной задачи и задачи граничного управления. Наличие общего решения волнового уравнения активно используется В. А. Ильиным, Е. И. Моисеевым в построении решения задач граничного управления.

Рассмотрена задача управления в следующей постановке: пусть в прямоугольной области Q^t = [0,1} х [0, Т] задано волновое уравнение

Utt ~ ихх = 0,

начальные условия

и(х, 0) = <р(х), ut(x, 0) = ф(х), 0 < х < I, и финальные условия

и(х,Т) = ipi(x), ut(x, Т) = ipi(x), 0 <х<1. Необходимо построить граничные управляющие функции ß{t) = u(0, t), u(t) = u(l, t), 0 < t < T,

переводящие объект, описываемый уравнением, из заданного начального состояния в заданное финальное и установить условия, при которых управление возможно.

Общая схема подхода, примененного авторами, такова: предварительно задачи управления представлены в виде суммы задач успокоения (задача управления с нулевыми финальными условиями) и приведения в наперед заданное состояние (в этом случае нулевыми являются начальные условия), затем построены решения соответствующих смешанных задач с данными начальными (финальными) условиями в предположении, что граничные функции известны. Далее с использованием оставшегося финального (начального) условия составлена система функциональных уравнений, позволяющая найти граничные функции. Все построения производятся в классах функций (<3г,т)> ^^{Яит) и в классе

В описанных работах рассматривались различные временные промежутки управления. Было установлено, что при малом времени управления необходимо выполнение некоторых условий, связывающих начальные и финальные данные. Если же время управления достаточно велико, то данных задачи недостаточно для построения единственного решения, поэтому должно быть описано все множество управлений, удовлетворяющих поставленным условиям. Таким образом, задачи граничного управления не всегда являются корректно поставленными (по Адамару) [71]. Некорректным краевым задачам для уравнений с частными производными, имеющим большую практическую и теоретическую важность, посвящена монография [90], где, в частности, рассматриваются задачи с начальными и финальными данными для волнового уравнения.

Граничные функции, построенные авторами, позволили им перейти к решению задачи об оптимальном управлении, когда среди множества решений необходимо выделить то, которое доставляет минимум неко-

торому заданному функционалу, например, интегралу граничной энергии [51]. Оптимальному управлению системами, описываемыми уравнениями с частными производными, посвящены работы [25,76,102] и другие.

Результаты В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, а также А. И. Егорова и JI.H. Знаменской [41,43-45] вызвали большой интерес и стали основой для дальнейших исследований в области теории управления. Последовал ряд обобщений описанных задач. Формулы управления неоднородной струной построил в работах [21,22] А. В. Боровских. Исследуемое им уравнение с частными производными, описывающее колебания неоднородной струны, имеет вид

( \ди~

Существенное внимание было уделено волновой природе процесса, моделируемого данным уравнением. Для гиперболических уравнений более общего вида в работе [89] были получены формулы, конечным образом выражающие решение уравнений через начальные данные, в виде, необходимом для решения задач граничного управления и наблюдения.

С помощью подхода В. А. Ильина и Е. И. Моисеева рассматривались задачи об управлении колебаниями сферического слоя [100], радиально-симметричными колебаниями круглой мембраны [50] и пластины [95], колебаниями, описываемыми волновым уравнением с разрывным коэффициентом [16]. В случае невозможности приведения системы в заданное финальное состояние задачу построения граничных управлений, переводящих систему в некоторое состояние, достаточно близкое к желаемому, исследовал Г. Д. Чабакаури [111].

Было рассмотрено обобщение задачи, предложенной В. А. Ильиным, Е. И. Моисеевым, на случай системы волновых уравнений. Формулировки и построения приведены А.А. Андреевым и C.B. Лексиной в ра-

, ч дги д

p(x)w = &

ботах [8-11], [72-74]. В качестве объекта, описывающего колебательные процессы, рассматривался аналог волнового уравнения с матричным коэффициентом

•ши ~ Агихх = О,

где А — постоянная квадратная матрица с положительными собственными значениями, ги(х, ¿) — вектор-функция соответствующей размерности. Данная система в случае п = 2 моделирует продольно-крутильные колебания длинной естественно закрученной нити [34]. Авторы построили в явном виде решения смешанных задач для любого времени управления Г, а также решения задач граничного управления и условия, при которых управление возможно для малого времени Г, существенно зависящие от вида жордановой нормальной формы рассматриваемой матрицы А.

Естественным образом возникает вопрос о переходе к исследованию задачи граничного управления для телеграфного уравнения. Телеграфное уравнение описывает свободные электрические колебания [63]. Оно эквивалентно системе двух уравнений первого порядка:

их + Ьц + Яг = О гх + Сщ + Си = О,

где г = г(х, — сила тока, и = и(х, Ь) — напряжение (изменяющиеся величины); С — емкость, Я — активное сопротивление, Ь — самоиндукция, С — утечка (параметры линии). В случае многопроводной линии коэффициенты С, Я, Ь, (7 являются квадратными матрицами размерности п х п (п — число линий), и — тг-мерными вектор-функциями [13,35].

Механическим аналогом такой системы является струна на упруго-инерционном основании, описываемая уравнением

2 7 1 ^

ии - сихх + ——и = .Г, Ьро Ьро

где и = и(х,Ь) — поперечное отклонение струны от положения равновесия, с — скорость распространения поперечной волны, 7 — жесткость основания, 5 — площадь поперечного сечения струны, ро — объемная плотность струны, Р = — внешняя сила, действующая на стру-

ну [30]. В более общем случае система сложной структуры (например, продольные волны в упругой среде с вкрапленными в нее осцилляторами [104]) описывается уравнениями

Ыи - (?{и{)хх + ^(ш - и2) =

где щ — щ(х, ¿) — поперечное отклонение струны от положения равновесия, 142 = — поперечное отклонение средней линии основания от положения равновесия, рд — погонная масса упругого основания, остальные параметры описаны выше