Третье краевое условие в задачах граничного управления для уравнения колебаний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ Кафедра общей математики

На правах рукописи

Никитин Алексей Антонович

ТРЕТЬЕ КРАЕВОЕ УСЛОВИЕ В ЗАДАЧАХ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: академик РАН. доктор физико-математи-

ческих наук, профессор Ильин Владимир Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Васильев Фёдор Павлович

доктор физико-математических наук, профессор Ишмухаметов Альберт Зайнутди-нович

Ведущая организация: Институт програмных систем РАН,

г. Переславль-Залесский

Защита диссертации состоится »23» алрШ^ 2008 г. в Ъ о на заседании Диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат диссертации разослан " марта 2008 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, /

профессор ^^Ж^р^/ е. В, Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Главным предметом изучения в настоящей диссертационной работе является задача граничного управления для волнового уравнения с одной пространственной переменной

utt{x, t) - ихх{х, t) = 0 (1)

Уравнение (1) является математической моделью большого числа волновых процессов, встречающихся в самых разных физических явлениях, таких как механические колебания в упругих струнах и кристаллах кварца, колебания в радиотехнических устройствах, перемещение сечений каната в судовых спускоподъемных операциях и др В приложениях возникают задачи, когда желательно генерировать колебания заданных частот, или же наоборот, переводить изучаемую систему в состояние полного покоя В связи с ними большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, которое описывается волновым уравнением

Исследованию решений задач граничного управления и их оптимизации посвящены работы многих математиков Основной целью является изучение условий, при которых процесс колебаний струны под воздействием некоторого граничного управления может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным смещением и начальной скоростью точек струны, в наперед заданное финальное состояние В математическом плане такие задачи граничного управления формулируются в терминах краевых задач для волнового уравнения (1) и более общих гиперболических уравнений

Во многих работах доказывается существование определенного промежутка времени, который, следуя литературе, мы будем называть критическим (Ткрит) Было показано, что если промежуток времени, за который производится управление, не превосходит Ткрит. т0 задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий При промежутках времени строго больших Ткрит, существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных функциях Для волнового уравнения (1) было установлено, что Ткрит = 21,ъ случае граничного управления на одном конце струны и Ткрит = I > в случае управления на двух концах

Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в своей известной работе 1988 года Ж Л Лионе1 В этой работе данная задача изучалась в цилиндре Я х (О ,Т)

'J L Lions, "Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems" SI AM Review, (Mar, 1988)

с начальными условиями

и(х, 0) = у{х), щ(х, 0) = ip(x), в П

(2)

и граничными условиями

и{х, t) = fi(t), в Г х (0, Т)

(3)

Начальные и граничные условия были взяты из следующих классов ¡р(х) 6 1р(х) € Н"1^), € Ь2[0,Т], а и{х,£) являлось слабо обобщенным решением Задача заключалась в нахождении такой функции £ ¿^[О, Т], для которой в классах Ь% и Н~1 выполнялись бы равенства

где и(х,t) - решение задачи (1) - (3) с граничным условием pi(t) Лион-сом была доказана неединственность решения сформулированной задачи при промежутках времени Т > 2R(£l)2 Разработанный Лионсом метод (Hilbert uniqueness method) позволил изучить проблему существования граничного управления исследуемой задачи не только в одномерном, но и в многомерном случае

В дальнейшем HUM-метод Лионса был обобщен его учениками и последователями на случай квазилинейного волнового уравнения, однородного транспортного уравнения, неавтономных гиперболических систем и др

В статье Ф П Васильева3 была предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения Его совместные с учениками работы посвящены конструктивному решению задач о граничном управлении процессом колебаний4 В этих статьях были построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления

А 3 Ишмухаметовым5 была изучена задача приведения однородного стержня в состояние как можно более близкое к заданному за промежуток времени Т При условии, что левый его конец закреплен, правый свободен, а управление производится внешней поперечной нагрузкой и начальным состоянием

Отметим также, что близкими вопросами теории граничного управления с использованием формулы Даламбера и разложения в тригонометрический

2Под Д(О) понимается диаметр области О

3Ф П Васильев, "О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения " Дифференциальные .уравнения, 1995

4Ф П Васильев, М А Куржанский, М М Потапов "Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны" 11 Вестник МГУ, сер 15,вычисл матем и набери 1993 №3 Ф П Васильев, М А Куржанский, А В Разгулин "О методе Фурье для решения одной задачи управления колебаниями струны "Ц Вестник МГУ, сер 15, вычисл матем и киберн 1993 №2

5 А 3 Ишмухаметов "Оптимальное управление поперечными колебаниями стержня"// Вестник МГУ, сер 15, вычисл матем и кибери 1981 №4, с 46-50

u(x, Т) = 0, Ut(x, Т) = 0, в П,

ряд Фурье еще ранее занимались А Г Бутковский, А И Егоров и JI Д Аку-ленко

Большой цикл работ, выполненный В А Ильиным и продолженный его учениками, опубликованный в 1999 - 2008 годы, связан с решением задач управления процессом колебаний в терминах обобщенного решения смешанных задач сначала из класса W.f( QT), а потом и из класса И^1 (QT), здесь через QT обозначен прямоугольник [0 ^ х ^ i] х [0 < t ^ Т] Эти классы были впервые введены В А Ильиным в его работах 1999, 2000 годов Так класс W^iQr) определяется как® множество функций u(x,t), непрерывных в прямоугольнике Qt и имеющих в нем обе обобщенные производные ux(x,t), ut(x, t), каждая из которых не только принадлежит классу Lz{Qt), но и принадлежит классу Ь2[0, /] для всех t € [0, Т] и классу L2[0, Т] для всех х 6 [О, I] Принадлежность решения этому классу позволяет точно сформулировать требования гладкости, накладываемые на начальные, финальные и граничные условия В работах В А Ильина решалась задача управления процессом, описываемым волновым уравнением (1) и различными граничными условиями Дирихле и Неймана, переводящими струну из произвольного начального состояния

и(х, 0) = <р(х), ut(x, 0) = "ф{х), при 0 < х ^ I (4)

в произвольное финальное состояние

и(х,Т)=ф(х) щ(х,Т) = ф(х), O^x^l, (5)

где <р(х) 6 W}[0, Z], гр(х) е I^fO, (] При этом отдельно исследовались случаи управления на двух концах и управление на одном конце

В первых работах был подробно изучен случай малых промежутков времени Т 0 < Т < Ткрит Сначала для управления смещением на двух концах и для управления смещением на одном конце при закрепленном втором были установлены конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия для существования единственного решения из класса W\ (QT) задачи граничного управления, при выполнении которых это решение выписывалось в явном виде, а также была конструктивно доказана неединственность континуальность) решения данных задач при промежутках времени Т строго больших, чем Ткрит Затем эти результаты были перенесены на случай задач с другими граничными условиями В свете этих результатов особую актуальность приобретают задачи оптимизации, которые позволили бы выделить из бесконечного числа решений то, которое минимизирует граничную энергию струны Поэтому, в дальнейших работах В А Ильина и Е И Моисеева

6Класс W^iQx) определяется аналогично

был сформулирован критерий оптимальности, основанный на минимизации соответствующего интеграла граничной энергии при наличии условий связи, вытекающих из выполнения начальных и финальных условий и условия согласования начальных и финальных смещений Была доказана единственность оптимального решения, удовлетворяющего этому критерию Это решение предъявлялось в явном виде для промежутков времени Т кратных 21 или 41

Для решения аналогичных задач при произвольных (больших ТКрИт) про-межутов времени, техники развитой в более ранних работах оказалось недостаточно Поэтому, потребовалась ее существенная модификация В А Ильиным и Е И Моисеевым был разработан новый метод, основанный на сведении рассматриваемой задачи оптимизации к другой задаче, содержащей произвольную постоянную в минимизируемом интеграле и не содержащей условия согласования начальных и финальных условий

В задачах оптимизации с одним закрепленным концом было доказано, что если вместо функции, доставляющей минимум интегралу граничной энергии

т т

Уи*)]2А или /Ы1)?^

о о

искать функцию, минимизирующую интеграл с подынтегральным выражением, возведенным в произвольную степень р

т т

J \ц'(г)\р<а или у И«)|рсй, о о

то при всех р ^ 1 оптимальные граничные управления будут иметь тот же аналитический вид, что и при р = 2

ГД Чебакаури7 при 0 < Т < Ткрит рассмотрел случай, когда начальные и финальные функции не удовлетворяют необходимым условиям существования граничного управления, полученным в его совместной с П А Рево работе8 Он нашел в явном виде финальные функции ¡р*(х),ф*(х), наименее отклоняющиеся в метрике 1} х [О, I] от желаемого, но недостижимого финального состояния ф{х),ф(х)

7Г Д Чебакаури, "Оптимальное граничное управления процессом колебаний на одном конце при свободном вторам конце в случае ограниченной энергии" Дифференциальные уравнения 2007

8П А Рево, Г Д Чебакаури, "Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией" Дифференциальные уравнения 2001

Отметим, что во всех вышеуказанных работах решались задачи граничного управления, основанные на смешанных задачах с краевыми условиями первого и второго родов Процессы с условиями третьего рода изучались в работах В В Тихомирова9, Л Н Знаменской10, А С Дудкина Но в перечисленных работах исследование проводилось лишь для промежутков времени Т не превосходящих ТКрИТ, когда решение задачи граничного управления не более, чем единственно11 Назовем также работу Ф О Найдюка и В Л Прядиева,12 в которой изучалась смешанная задача для волнового уравнения (1) с однородными граничными условиями

и(о,*) = о, их{1, г) + ы(1, г) = о, г > о

и следующими начальными условиями

и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = 0, 0 ^ х < I

М М Потаповым была предложена устойчивая вычислительная процедура построения приближенных решений задач управления и наблюдения для широкого класса линейных динамических систем13 В его дальнейших работах была показана применимость этого метода для волнового уравнения с переменными коэффициентами и краевыми условиями третьего рода для случаев односторонних и двусторонних граничных управлений Построенные в этих работах разностные приближения, при измельчении разностной сетки сходятся сильно в метрике пространства Ь2 к граничым управлениям с минимальной - нормой

Трудности в изучении управляемых процессов с граничными условиями третьего рода были вызваны отсутствием на достаточно больших временных промежутках аналитических представлений для обобщенных решений смешанных задач при фиксированных управлениях Существенным прорывом в исследовании задач управления с граничными условиями третьего рода стала работа Е И Моисеева и В В Тихомирова14 В ней была решена в аналитиче-

9В В Тихомиров, "Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении 1,11" Дифференциальные уравнения, 2002

10Л Н Знаменская, "Управление упругими колебаниями", 2004 Ы ФИЗМАТЛИТ

иВ упомянутой выше работе В В Тихомирова кроме того была доказала неединственность решения задачи граничного управления смещением на левом конце струны при упруго закрепленном правом конце для промежутков времени Т > Ткрит

12Ф О Найдюк, В Л Прядиев, "Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода", Вестник ВГУ, Серия физика, математика, 2004

13М М Потапов, "Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором", Доклады академии наук 1999

14В И Моисеев, В В Тихомиров, "О волновом процессе с конечной энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом закреплении на другом конце Нелинейная динамика и управление,

2005

ской форме следующая смешанная задача с однородным краевым условием третьего рода

иа(х, Ь) - ихх(х, Ь) = О, и(х, 0) = 0, щ(х,0) = О,

и(о, г) = ф), их(1, ь) + ы(1, г) = о,

для произвольных промежутков времени Т Именно в этой работе было установлено, что для представления этого решения в явном виде приходится использовать полиномы Лагерра Попутно в этой статье была доказана единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с первым и третьим краевыми условиями Решение, сформулированной смешанной задачи, полученное в работе Е И Моисеева и В В Тихомирова имеет вид15

00 оо

¿=0 к=1

г

00 г

+ /е~ктЪ\{2Нт) [¿¿(«-аг— 21(к + 1)-т)-^+х-21 (к + 1)-т)] ¿т,

ы о {

где - полиномы Лагерра

Цель работы. В свете перечисленных выше работ, приобретают актуальность следующие задачи Во-первых, важным представляется рассмотрение смешанных задач с неоднородным условием третьего рода Во-вторых, представляет интерес исследование малоизученных задач граничного управления с условием третьего рода В частности получение критерия оптимальности при промежутках времени больших Гкрит > основанного на минимизации некоторого интеграла граничной энергии

Основные результаты работы.

1) Решена в явном аналитическом виде смешанная задача для волнового уравнения с нулевыми начальными данными и с неоднородными третьим и первым краевыми условиями

2) Доказана единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с нулевыми начальными данными и со вторым и третьим граничными условиями Выведена формула, описывающая через краевые условия решение этой смешанной задачи

1бЧерез обозначена функция равная функции ¡х{Ь) и продолженная нулем при I < О

3) Сформулирован критерий оптимальности для решения задачи граничного управления, основанной на смешанной задаче с управлением третьим краевым условием на левом конце струны при закрепленном правом Данный критерий основан на минимизации интеграла от линейной комбинации самого управления и его первообразной, возведенного в произвольную степень р > 1 Функция, удовлетворяющая данному критерию, выписана в явном виде

4) Изучена задача граничного управления, основанная на смешанной задаче с неоднородным условием второго рода на левом конце струны и с упруго закрепленным правым концом Разработан новый метод оптимизации, основанный на продолжении финальных функций на отрезок [—Т, Т] Это позволило провести минимизацию интеграла от квадрата граничного управления Функция минимизирующая этот интеграл энергии, выписана в явном виде

Методы исследования. В работе используется теория дифференциальных и интегральных уравнений, выпуклый анализ, метод множителей Лагран-жа, методы работы со специальными функциями

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность работы Разработан подход к новому классу задач оптимизации граничного управления для уравнения колебаний Построены методы, основанные на выборе подходящего минимизируемого интеграла, выборе удобного условия связи начальных и финальных данных и условия согласования начальных и финальных смещений Построены аналитические решения пяти ранее не решенных начально-краевых задач для уравнения колебаний

Апробация работы. Результаты работы были представлены в виде докладов на российском симпозиуме с международным участием "Управление упругими колебаниями", г Переславль-Залесский, 31 января - 2 февраля 2006 г, XIII Международной молодежной конференции "Ломоносов - 2006", 12 -15 апреля 2006г, научной конференции "Понтрягинские чтения 2006", 3-6 мая 2006г, научной конференции "Тихоновские чтения 2006", 24 - 27 октября 2006г, Международной молодежной конференции "Ломоносов - 2007" 11-14 апреля 2007 г, научном семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ (рук профессор Ф П Васильев)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [6] Все результаты вошедшие в диссертацию и в перечень опубликованных работ получены автором самостоятельно

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и библиографии Общий объем диссертации 61 страница Библиография содержит 52 наименования

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрываются цели и задачи работы, ее актуальность, а также кратко описываются основные результаты, полученные в работе

В первой главе исследуется смешанная начально-краевая задача для волнового уравнения (с неоднородным третьим краевым условием на левом конце струны х = 0 я неоднородным первым краевым условием на правом конце х = I), то есть задача

Щг{х, - ихх(х, Ь) = 0, в Ят, (6)

и(х, 0) = р(х), щ{х, 0) = ^(ж), при 0 ^ х ^ I, (7)

= г»(М) = К*)> при0<4<Т, (8)

Замечание Необходимыми условиями принадлежности решения и(х, классу ^(фг) являются следующие

Требования принадлежности

и(х, 0) =<р(х) 6 ШЦО, г], щ(х, 0) = ф(х) € Ь2[0, /],

Удовлетворение условию согласования при х = I

КО) = (9)

Определение 1. Обобщенным решением из класса И^21(0г) указанной смешанной задачи назовем функцию и(х^) € ^(Ог); удовлетворяющую интегральному тождеству

I т т т

УIи(х,г)\Фи(х,ь) - Фхх(х,фхсИ+ !м(г)Ф(о,г)(М + у и(г)Фх(1,ь)<и+

о

I I

J (р(х)Фь(х, 0)<*е - ! ф(х)Ф{х, 0)йх = 0

0 0 о

I

+

о

для произвольной функции Ф{х,из класса С2(ЦТ), удовлетворяющей условиям

Фж(0,- М(0,= 0, ==ОпрщО«£* и

Ф(х,Т) = О, Фг(х,Т) = 0при0^хК1

Далее эта смешанная задача изучается при нулевых начальных условиях

Определение 2. Будем говорить, что функция у_{£) принадлежит классу И^—оо, Т], если эта функция определена при всех Ь ^ Т, принадлежит классу (О, Т] и. кроме того, удовлетворяет тождеству и(Ь) = О при £ < О

Замечание. В силу условия согласования (9), в задаче возбуждения у(0) = <р(1) = 0 Это позволяет продолжить функцию и(£) тождественным нулем на значения £ < О, превратив ее в функцию ¡¿{I) € УУоо, Т] Функцию € ¿2[О, Т] также продолжим нулем на значения £ < 0, превратив ее в функцию € ¿2(—оо, Т]

Основной результат первой главы сформулирован в следующей теореме

Теорема 1 Смешанная задача (6) — (8) с нулевыми начальными данными, где ц({) и - произвольные функции из классов ¿/г[0, Т] и И^[О, Т] соответственно, удовлетворяющие условиям согласования (9), имеет единственное обобщенное решение и(х,Ь) из класса И^фг)* которое определяется равенством

2п+1

2тй-2

+ 2 (-!)*£(*-2Ы - г + ж) - - 2Ы + 1-х) +

к=0

1 1

« Ь—х—2к1—т 1+х-21(к+1)-т г-х-Щк+1)-т г+х-Щк+2)-т

О 0 0 0 0

О

йт,

В заключении показывается как решение данной задачи может быть использовано для изучения задачи граничного управления при промежутках времени Т меньших ТКрит = I Устанавливается единственность решения задачи граничного управления при данных значениях промежутка времени Т Отметим, что подобные результаты были получены Л Н Знаменской для решения из класса Ьг(Ог)

Вторая глава посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения с неоднородным условием Неймана на левом конце струны и неоднородным третьим краевым условием на правом конце струны То есть задачи

иа{%, £) - ихх(х, = 0, в <3т, (10)

и(х, 0) = <р(х), щ{х, 0) = Ф(х), при 0 < х < I, (11)

М0, ¿) =иг(/,*) + Ли(М) = !/(<), при 0 < £ < Т, (12)

где

ф) € жНо, I], ф{х) е ь2[о, I], м(*), *(*) е 1*[0, Т]

Определение 3. Обобщенным решением из класса И7^ (<3у) указанной смешанной задачи назовем функцию и{х,£) € (<Эт), удовлетворяющую интегральному тождеству

I т т т

У J и(х,г)[Фы(х,Ь) - Фхх(х,фх<и+ I ¿¿(¿)Ф(0,г)сй- У 1/(4)Ф(

оо о

I

■ J уэ(х)Фг(х, 0)йх - j ф(х)Ф(х, 0)с1х = I

+

о о

для произвольной функции Ф(х, I) из класса С2(С}Т), удовлетворяющей условиям

Фя(0,*) = 0, ФХ(М) + йФ(/, ¿) = 0 при 0 < * ^ Г и Ф(х,Т) = 0, Фг(х,Т)=0при0^х^1

Доказывается следующее

Утверждение 1 Для всех Т > 0 смешанная задача (10) - (12) может иметь только одно обобщенное решение из класса И/21(<5Т)

Предположим далее, что начальные условия в рассматриваемой смешанной задаче являются нулевыми

Замечание. Продолжим функции и нулем при £ ^ 0, превратив их в функции и г/(£) из класса 1/2 (—оо, Т) Доказывается следующая

Теорема 2. Смешанная задача (10) — (12) с нулевыми начальными данными, где ц(Ь) и г/(£) - произвольные функции из класса ¿2 [0, Г], имеет единственное обобщенное решение и(х, I) из класса (<Эу), которое определяется равенством

Ь-х~2Ы п+1 Ь+х-2 Ы п Ь+х-2Ы-1 п+1 г-х-2 Ы+1

!!> А «П л 7Ь Л /¿-+-1 -

»(*,«) = -£ - Е +Е /ио^ + Е

*=0 о ¿=1 о 4=0 О <С=1 д п 4 г+х~2Ы-Ы-т г-х-2Ы-21-т

+2к ]Г I е-^(2Лт) [ У £(£) ¿е + у 2(0 ¿г -

£=0 о 0 0

п 4 1+х-1-2Ы-т г~х-1-2Ы-т Ь+х-31-2Ы-т г-х-31-2Ы-т

-Н±1е-^1(2НГ)[1 ит+у к(е)«ге]йг,

где - полиномы Лагерра, а п=

Аналогично первой главе, показывается как эта смешанная задача используется для решения задачи граничного управления при промежутках времени

г о<т<г

Третья глава посвящена установлению критерия оптимальности для решения задачи граничного управления, основанной на смешанной задаче с управлением третьим краевым условием на левом конце струны при закрепленном правом

Для формулировки результатов этой главы рассмотрим следующую смешанную задачу для волнового уравнения (1) с начальными условиями (4) и граничными условиями

«*(<), о= /*(*). «(*»*) = о, (13)

Функции 1р(х),1р(х), в данной смешанной задаче принадлежат классам

и(х,0) = ф) е И£[0,1], щ(х,0) = ф(х) € ¿,[0,1], и(х,Т) = <р{х) е и£[0,1], щ(х,Т) = ф(х) е Ьр[0,/], иУ)€Ьр[0,Т\

и удовлетворяют условиям закрепления

<Р(0 = 0, ф(1) = О

Определение 4. Класс <5г - прямоугольник [0 ^ х < I]х[0 <

t ^Т], определяется как множество функций и(х, £), непрерывных в прямоугольнике С]т и имеющих в нем обе обобщенные производные их(х, £), щ{х, Ь), каждая из которых не только принадлежит классу Ьр{С^т), но и принадлежит классу Ьр[О, I} для всех Ь € [О, Т] и классу Ьр[О, Т] для всех х € [0,1} Заметим, что этот класс был впервые введен В А Ильиныл}6

Определение 5. Обобщенным решением из класса И/р1 ((¿Т) смешанной задачи для волнового уравнения (1), начальных условий (4) и граничных условий (13) назовем функцию и(х,Ь) € , удовлетворяющую инте-

гральному тождеству

I т т

0 0 о

I

+ J [ф)Ф1(х, 0) - ф(х)Ф{х, 0)] йх = О, о

выполненного для произвольной функции Ф(х,Ь) из класса С2(Ог)> удовлетворяющей условиям

Фж(0, <) - ЛФ(0, г) = О, Ф(/, г) = О при 0 ^ £ < Г и Ф(а:,Т) = О, Фь(х,Т) = О при 0 ^ х < I

В третьей главе решается задача нахождения функции ц(£)€.Ьр[0, Т], такой чтобы для решения и(х, ¿) е рассматриваемой смешанной задачи с

заданными начальными условиями (4) в момент времени Ь = Т выполнялись заданные финальные условия (5) Причем равенства понимаются в смысле соответствующих пространств

Далее мы будем рассматривать эту задачу для промежутка времени Т, удовлетворяющего условию

Т = 41(п+1), где п = 0,1,2,

16 В А Ильин, "Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией" // Дифференциальные уравнения 2000

Продолжим функции <р(х) и 'ф(х) из начальных условий (4) и функции (р(х) и ф{х) из финальных условий (5) нечетно относительно точки х — I с сегмента [0, ¿] на сегмент [/, 21] Условия закрепления гарантируют принадлежность так продолженных функций на сегменте [0,21] классам

ф), $(х) 6 И£[0,2/], ф{х), ф{х) € Ьр{0,2/],

При Т > 21 данная задача имеет бесконечно много решений Поэтому может быть поставлена задача об определении среди них оптимального В этой главе мы устанавливаем критерий оптимальности для решения рассматриваемой задачи граничного управления Данный критерий основан на минимизации интеграла от линейной комбинации самого управления и его первообразной, возведенного в произвольную степень р > 1 Для постановки задачи оптимизации введем в рассмотрение следующую функцию Н(£, т), определенную равенством

Н(*,т) = {е~кт [Цп_т+1(2кт) + Ь\п_п{2 Нт)],

при 21т < г < 21(тп + 1), т = 0,2п + 1|,

Поставим задачу, заключающуюся в отыскании среди всех функций /л(Ь) € ЬР[0,Т], являющихся граничными управлениями, той, которая доставляет минимум обобщенному интегралу граничной энергии

г t

J n(t) - h У H(t,i-0

dt

о

при наличии условий связи, извлекаемых из выполнения произвольно заданных начальных и финальных условий Доказывается следующая

Теорема 3. Решение рассматриваемой задачи граничного управления, удовлетворяющее данному критерию оптимальности, существует

На каждом отрезке [2lm, 21 (m + 1)] (m = 0,2n + 1 ) оно представляется формулой

(_l)m+i D(y - 2 lm) , }„ , (-l)m+1 D(t - 2 lm) Л

2n + 2-l + hJ 2n;2-U

о

где D(y) - определяемая в явном виде функция, зависящая только от начальных и финальных условий задачи,

2п-то+2 / „ n \

Rm(y-t) = J2 Л-Ч»-*)*"1 (Zn~™ + 2\ 1F1(2n-m+1, г, Afo-i)),

г=0 ^ '

iFi(a,c,z) - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера.

При р > 1 вышеуказанное оптимальное решение является единственным

Замечание. Используя технику из работы В А Ильина и Е И Моисеева17, возможно рассмотреть изученную задачу для случая произвольных промежутков времени Т, не обязательно кратных 41

В Приложении А мы продолжаем изучение задач оптимизации граничного управления, основанных на смешанных задачах для волнового уравнения с третьим краевым условием Как и ранее, нами рассматривается задача граничного управления колебаниями струны, описываемыми волновым уравнением (1) Но в данном случае управление производится вторым краевым условием их{0, t) = p,{t) на левом конце при упруго закрепленном правом ux(l, t) + hu(l, t) = О Трудность этой задачи заключается в отсутствии условия закрепления, поэтому кроме условия связи, связывающего начальные, финальные и граничные условия, нам необходимо установить дополнительное условие согласования

Наше рассмотрение ведется в терминах обобщенного решения волнового уравнения из класса W2 (Q?)

Далее нам будет удобно, выписать необходимые условия, накладываемые на начальные, финальные и граничные функции в рассматриваемой задаче для принадлежности решения u(x,t) классу W^Qt)

Требования принадлежности

и(х, 0) = ¡р(х) € W%[0, l], Ut{x, 0) = tp(x) € L2[О, /], u(x, T) = ${х) € Wi[0,1], ut(x,T) = ф(х) e L2[0, l], (14) /i(i) e L2[0,t]

Для формулировки изучаемой задачи граничного управления рассмотрим следующую смешанную задачу для волнового уравнения (1) с начальными условиями (4) и граничными условиями

Wx(0,i)=jtt(i), Ux(i, t) + hu(l,t) = 0, (15)

где функции ip(x),i>(x),fi(t) принадлежат классам (14), а на начальные функции наложено дополнительное условие i

J e~hT(jvp(T) + ф(т)^(1т — 0 (16)

о

17В А Ильин, Е И Моисеев, "Минимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени Т интеграла от модуля производной производимого смещением граничного управления, возведенного в произвольную степень р > 1 " // Дифференциальные уравнения, 2006

Можно заметить, что условию (16) удовлетворяют, например, начальные функции тождественно равные нулю Следовательно, под наше рассмотрение попадает важная задача "возбуждения начальных данных"

Определение 6. Обобщенным решением из класса И^1 ((}т) этой смешанной задачи назовем функцию и(ж, £) € (От), удовлетворяющую интегральному тождеству I Т т

I!и(х,Ь)[Фи(х,$ - Фхх(х,1)] йх<И + у /¿(¿)Ф(0,£)сЙ •

; +

0 0 о

I

■ J <р(х)Ф{(х, 0)с1х - J 1р(хЩх, 0)с1х = 0,

+

о о

выполненному для произвольной функции Ф(х,£) € С2{С}Т), удовлетворяющей условиям

Фж(0, г) = 0, Фх(1, Ь) + НФ(1, £) = 0 при 0 < £ < Т и Ф(ж, Т) = 0, Фг(х, Т) = 0 при 0 < х < I

Определение 7 Под решением соответствующей задачи граничного управления мы будем понимать такую функцию ¡х(£) € .¿г [0, Т], для которой обобщенное решение и(х,£) € И7^1 (С}Т) смешанной задачи для волнового уравнения (1) с начальными условиями (4) и граничными условиями (15) удовлетворяет финальным условиям (5)

При Т > 21 данная задача граничного управления имеет бесконечно много решений Поэтому может быть поставлена задача об определении среди них оптимального При этом среди всех функций , являющихся граничными управлениями, отыскивается функция, которая доставляет минимум интегралу граничной энергии

т

о

Далее мы будем решать эту задачу для промежутка времени Т, удовлетворяющего условию

Т = 21{п + \), где п = 0,1,2,

Заметим, что не ограничивая общности рассмотрений можно предполагать, что ¡¿>(0) = 0, <р(0) = 0 В противном случае, с помощью линейной замены следует перейти к функции, для которой данное условие выполнено

Нам будет удобно продолжить функции (р(х) и ф(х) из начальных условий (4) и функции <р{х), ф{х) из финальных условий (5) следующим образом

<р(х) = <

О

{д{х)

, -Т < х ^ О,

¿1-Х

ф(21 -х)+2к J ф{т)ек{21~х-тЧт , I

-2Н

I

J $(т)е

ё~нЧт

, 21 ^ ж < Т

Функцию <р(х) продолжим аналогично на сегмент [0,21]

ф(х) =

О

ф(х)

21-х

,-Т<х< О, ,0 < х < I,

ф{21-х) + 2Н J ф(т) е^-^йг ,1

< х < 21,

0 ,21 < х < Т

Функцию ф(х) продолжим аналогично на сегмент [0,21]

Продолженные таким образом функции будут принадлежать следующим классам

Ф)£ЦГ$%21], ф(х) е 12[о,21], '¡[-Т,Т], ф(х) е ь2[-т,т]

Для х е [0, /] введем в рассмотрение следующие функции

X

<р(21 - а?) = <р{х) + 2Л J <р(т)ек{х-т](1т = Ф(х)18, I

X

ф{21 -х)= ф{х) +2 И J ф(т) еЛ(г-г)<*г = Ф(ж)

I

Оптимальная граничная сила является на сегменте [0, Т] 2/-периодической

8Данная функция ие отождествляется с функцией Ф(ж, 4) из определения обобщенного решения

функцией, и выражается формулой Д(21т + х) = <

' Л(х)

-- + С(п - 2т), т = О, , п, при 0 < ж < ¿,

ТЬ + 1

Щх)

п +

- + С(п — 2т),т = 0, ,п, при1<х^21, , I 2 г ч

3 (Б - / Л(®)«Ьс + /5(®}(£г)

С =

2/га(те + 1)(п + 2) где функции Л(х) и В(х) определяются равенствами

1|

Л{х) = -

)~1&(а0+£'(*)-?'(«)].

В(х) = - \ - Ф(®) - Ф'(®) - *'(*)]>

а постоянная Б - тождеством

I I 21

В = -<р№пЪ. 1<р(т)е-»Чт+^ I 1

О О /

Замечание. В этом приложении был рассмотрен случай промежутка времени, кратного 21 Перейти к случаю производных промежутков времени, можно используя технику, разработанную в статьях В А Ильина и Е И Моисеева19

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю В А Ильину за постановку задачи и постоянное внимание к работе Автор благодарит также Е И Моисеева, А А Кулешова, М М Потапова и В В Тихомирова за полезные обсуждения

19В А Ильин, Е И Моисеев, "Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце за произвольный достаточно большой промежуток времени" Ц Дифференциальные уравнения, 2007

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] А А Никитин, О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим краевым условием // Сборник тезисов XIII Международной молодежной конференции "Ломоносов-2006" 2006г

[2] А А Никитин, Граничное управление, производимое третьим краевым условием // Труды научной конференции "Тихоновские чтения 2006" 2006г

[3] А А Никитин, Граничное управление третьим краевым условием, // Автоматика и телемеханика 2007, №2, с 120-126.

[4] А А Никитин, Минимизация интеграла от линейной комбинации граничного управления и его первообразной, производимыми третьим краевым условием // Сборник тезисов XIV Международной молодежной конференции "Ломоносов-2007" 2007г

[5] А А Никитин, Минимизация интеграла от линейной комбинации граничного управления и его первообразной, производимыми третьим краевым условием, // Доклады академии наук 2007, Т417, №6, с 743745

[6] А А Никитин, О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим и первым краевыми условиями // Дифференциальные уравнения, 2007, Т43, №12, с 1692-1700

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИДК00510от01 12 99г Подписано к печати 14 03 2008 г Формат 60x90 1/16 Уел печ л 1,5 Тираж 80 экз Заказ 105 Тел 939-3890 Тел/Факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им М В Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к

Введение

1 Смешанная задача с третьим и первым краевыми условиями

1.1 Постановка смешанной задачи.

1.2 Решение задачи возбуждения.

Главным предметом изучения в настоящей диссертационной работе является задача граничного управления для волнового уравнения с одной пространственной переменной ии(х,£)-ихх(х,г) = 0. (1)

Уравнение (1) представляет интерес, так как оно является математической моделью большого числа волновых процессов, встречающихся в самых разных физических явлениях: механические колебания в упругих струнах и кристаллах кварца, колебания в радиотехнических устройствах, перемещение сечений каната в судовых спускоподъемных операциях и др. В приложениях возникают задачи, когда желательно генерировать колебания заданных частот, или же наоборот, переводить изучаемую систему в состояние полного покоя. В связи с этим большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, которые описываются волновым уравнением.

Исследованию решений задач граничного управления и их оптимизации посвящены работы многих математиков (см.например, [1] - [34]). Основной целью является изучение условий, при которых процесс колебаний струны под воздействием некоторого граничного управления может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным ¡смещением и» начальной скоростью точек струны, в наперед заданное финальное состояние. В математическом плане такие задачи граничного управления формулируются в терминах краевых задач для волнового уравнения (1) и более общих гиперболических уравнений.

Во многих работах доказывается существование определенного промежутка времени, который, следуя общепринятой теримнологии, мы будем называть критическим (Ткрит)- Было показано (см., например, [18],[19],[21]), что если промежуток времени, за который производится управление, не превосходит Ткрит, то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках времени строго больших Ткрит. существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных функциях. Для уравнения (1) было установлено, что Ткрит = в случае граничного управления на одном конце струны и Ткрит = I в случае управления на двух концах.

Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж.Л. Лионе ([1], [2]). В работе [ 1 ] данная задача изучалась в цилиндре Г2 х (0,Т) с начальными условиями и(х, 0) = <р(х), 0) = чр(х), в Г2 (2) и граничными условиями u(x,t) = n(t), в Г х (О,Т). (3)

Начальные и граничные условия были взяты из следующих классов: <р(х) е £2^), G ¡x{t) € L2[0,T], a u(x,t) являлось слабо обобщенным решением. Задача заключалась в нахождении такой функции ß{t) е L2[0,T], для которой в классах Ь2 и Я-1 выполнялись бы равенства и(ж,Т) = 0; щ{х,Т) = 0, в Ü, (4) где u(x,t) - решение задачи (1) - (3) с граничным условием ¡u,(t). Лионсом была доказана неединственность решения сформулированной задачи при промежутках времениТ > 2R(Q) 1 Разработанный Лионсом метод (Hilbert uniqueness method) позволил изучить проблему существования граничного управления исследуемой задачи не только в одномерном, но и в многомерном случае.

В дальнейшем HUM-метод Лионса был обобщен его учениками и последователями (см., например, [3] - [6]) на случай квазилинейного волнового уравнения, однородного транспортного уравнения, неавтономных гиперболических систем и др.

В статье Ф.П. Васильева [7] была'предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Его совместные с учениками работы ([8], [9]) посвящены конструктивному решению задач о граничном управлении процессом колебаний. В этих статьях были построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Работа [8] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [9] использует метод Фурье.

А.З. Ишмухаметовым в работе [10] была изучена задача приведения однородного стержня в состояние как можно более близкое к заданному за промежуток времени Т. Рассматриваются условия, когда левый конец стержня закреплен, правый свободен, а управление производится внешней поперечной нагрузкой и начальным состоянием.

Отметим также, что близкими вопросами теории граничного управления с использованием формулы Даламбера и разложения в тригонометрический ряд Фурье еще ранее занимались А.Г.Бутковский, А.И.Егоров и Л.Д. Акуленко (см.,например, работы [ 11 ] - [ 14]).

Большой цикл работ, выполненный В.А. Ильиным и продолженный его учениками, опубликованный в 1999 - 2008 годы, связан с решением задач управления процессом колебаний в терминах обобщенного решения смешанных задач сначала из класса W%(QT), а потом и из класса здесь через QT обозначен прямоугольник [0 < х < /] х [0 < t < Г]. Эти

Под Л(П) понимается диаметр области П классы были впервые введены В.А. Ильиным в работах [15], [18]. Так класс И^фг) определяется как2 множество функций и(х, ¿), непрерывных в прямоугольнике От и имеющих в нём обе обобщенные производные их(х,Ь), щ(х,1), каждая из которых не только принадлежит классу Ь2{Ят), но и принадлежит классу Ь2[0, /] для всех £ е [О, Г] и классу Ь2[0, Г] для всех х е [0,1}. Принадлежность решения этому классу позволяет точно сформулировать требования гладкости, накладываемые на начальные, финальные и граничные условия. В работах В.А. Ильина решалась задача управления процессом, описываемым волновым уравнением (1) и различными граничными условиями Дирихле и Неймана, переводящими струну из произвольного начального состояния (2) в произвольное финальное состояние и(х,Т) = <р(х) щ{х,Т) = :ф(х), (5) Л где <р(х) е Ш2[0,/], ф(х) € Ь2[0,1\. При этом отдельно исследовались случаи управления на двух концах и управление на одном конце.

В работах [15]- [22] был подробно изучен случай малых промежутков времени Т : 0 < Т ^ Ткрит- Сначала в работах В.А. Ильина [15] и [16] для управления смещением на двух концах и для управления смещением на одном конце при закрепленном втором были установлены конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия для существования единственного решения из класса ^(ф^) задачи граничного управления, при выполнении которых это решение выписывалось в явном виде, а также была конструктивно доказана неединственность (континуальность) решения данных задач при промежутках времени Т строго больших, чем Ткрит- Затем в работах [17], [20] - [22] эти результаты были перенесены на случай задач с другими граничными условиями. В свете этих результатов особую актуальность приобретают задачи оптимизации, которые позволили бы выделить из бесконечного числа решений то, которое минимизирует граничную энергию струны. Поэтому, в дальнейших работах В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (см., например, [23] - [29]) был сформулирован критерий оптимальности, основанный на минимизации соответствующего интеграла граничной энергии при наличии условий связи, вытекающих из выполнения начальных и финальных условий и условия согласования начальных и финальных смещений. Была доказана единственность оптимального решения, удовлетворяющего этому критерию. Это решение предъявлялось в явном виде для промежутков времени Т кратных 21 или 41.

Для решения аналогичных задач при произвольных (больших Ткрит) промежутках времени техники развитой в работах [23] - [29] оказалось недостаточно, поэтому потребовалась ее существенная модификация. В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым был разработан новый метод

2Класс И'гСФг) определяется аналогично см. [15] см., например, [30] - [35]), основанный на сведении рассматриваемой задачи оптимизации к другой задаче, содержащей произвольную постоянную в минимизируемом интеграле и не содержащей условия согласования начальных и финальных условий.

В задачах оптимизации с одним закрепленным концом ([30], [31]) было доказано, что если вместо функции, доставляющей минимум интегралу граничной энергии т т

J \fj!(t)fdt или J[n{t)fdt, о о искать функцию, минимизирующую интеграл с подынтегральным выражением, возведенным в произвольную степень р т т

J \ß'(t)\pdt или J Ht)\pdt, о о то при всех р ^ 1 оптимальные граничные управления будут иметь тот же аналитический вид, что и при р = 2.

Г.Д. Чебакаури (см. [36]) при 0 < Т < Ткрит рассмотрел случай, когда начальные и финальные функции не удовлетворяют необходимым условиям существования граничного управления, полученным в работе [21 ]. Он нашел в явном виде финальные функции (p*(x),ip*(x), наименее отклоняющиеся в метрике W^fO, /] х Ь2[0,1] от желаемого, но недостижимого финального состояния (р(х),-ф{х).

Отметим, что во всех вышеуказанных работах решались задачи граничного управления, основанные на смешанных задачах с краевыми условиями первого и второго родов. Процессы с условиями третьего рода также изучались некоторыми авторами. Назовем работы В.В. Тихомирова [37],[38], J1.H. Знаменской [39], A.C. Дудкина (в печати). В перечисленных работах исследование проводилось лишь для промежутков времени Т, не превосходящих Ткрит, когда решение задачи граничного управления не более, чем единственно3. Отметим также работу Ф.О. Найдюка и В.Л.Прядиева [40], в которой изучалась смешанная задача для волнового уравнения (1) с однородными граничными условиями

0,0 = 0, ux(l,t) + hu(l,t) = 0, ¿>0 и следующими начальными условиями и(х, 0) = </?(ж), щ(х, 0) — 0, 0 ^ х ^ I.

3В работе В.В. Тихомирова [38] кроме того была доказана неединственность решения задачи граничного управления смещением на левом конце струны при упруго закрепленном правом конце для промежутков времени Т > Ткрит

В работе М.М. Потапова [41] была предложена устойчивая вычислительная процедура построения приближенных решений задач управления и наблюдения для широкого класса линейных динамических систем. В дальнейших работах ([42],[43]) была показана применимость этого метода для волнового уравнения с переменными коэффициентами и краевыми условиями третьего рода для случаев односторонних и двусторонних граничных управлений. Построенные в этих работах разностные приближения, при измельчении разностной сетки сходятся сильно в метрике пространства Ь2 к граничным управлениям с минимальной -нормой.

Трудности в изучении управляемых процессов с граничными условиями третьего рода по сравнению с их аналогами с краевыми условиями Дирихле и Неймана были вызваны отсутствием на достаточно больших временных промежутках аналитических представлений для обобщенных решений смешанных задач при фиксированных управлениях. Существенным прорывом в исследовании задач управления с граничными условиями третьего рода стала работа Е.И. Моисеева и В.В. Тихомирова [44]. В ней была решена в аналитической форме следующая смешанная задача с однородным краевым условием третьего рода для произвольных промежутков времени Т. Именно в этой работе было установлено, что для представления этого решения в явном виде приходится использовать полиномы Лагерра4. Попутно в этой статье была доказана единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с первым и третьим краевыми условиями. Решение сформулированной смешанной задачи, полученное в работе Е.И. Моисеева и В.В. Тихомирова [44], имеет вид5 где L\(z) - полиномы Лагерра.

В свете перечисленных выше работ, приобретают актуальность следующие задачи. Во-первых, важным представляется рассмотрение смешанных задач с неоднородным условием

4Определение ортогональных полиномов Лагерра см. [45, с. 188].

5Через /£(t) обозначена функция, равная функции /i{t) и продолженная нулем при t ^ 0. utt{x,t) - uxx(x,t) = 0, и{х,0) = 0, щ(х, 0) = 0, u(Q,t) = fi{t), ux(l,t) + hu(l,t) = 0 оо u(x,t) = iJ,{t-x-2kl) - p(t + x-2kl) + и

6) третьего рода. Во-вторых, представляет интерес исследование малоизученных задач граничного управления с условием третьего рода. В частности выделение оптимального (единственного) решения задачи граничного управления - установление критерия оптимальности при промежутках времени больших Ткрит, основанного на минимизации некоторого интеграла граничной энергии.

Эти задачи и рассматриваются в настоящей диссертационной работе.

Первая глава посвящена исследованию смешанной начально-краевой задачи для волнового уравнения (с нулевыми начальными условиями, неоднородным третьим краевым условием на левом конце струны ж = 0и неоднородным первым краевым условием на правом конце х = 1).

О - ихх(х, 0 = 0, в (Зг, и(ж,0)=0, ^(т, 0) = 0, при 0 ^ х ^ /, их{0,0 - М0,0 =/ДО- и(М) = 1/(0. приодет, где и(х, £) - обобщенное решение из класса Ж^фт), fj.it) е Ь2[0,Т], и(1) е И-^О,Т]. Показывается как решение данной задачи может быть использовано для изучения задачи граничного управления при промежутках времени Т меньших Ткрит = I- Уставливается единственность решения задачи граничного управления при данных значениях промежутка времени Т.

Вторая глава посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения с неоднородным условием Неймана на левом конце струны и неоднородным третьим краевым условием на правом конце. То есть задачи ии(х, 0 - ихх(х, 0 = 0, в (Зт, и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, при 0 < х < I, их{о,о =/ДО. их(1,г) + /ш(м) = КО- прио^г^т, где и(х, 0 - обобщенное решение из класса /х(0 € Ь2[0,Т], и{0 6 Ь2[0,Т].

Доказывается единственность поставленной задачи в классе обобщенных решений при произвольных Т > 0. Аналогично первой главе, показывается как эта смешанная задача используется для решения задачи граничного управления при докритических промежутках времени Т : 0 < Т < I.

Третья глава посвящена установлению критерия оптимальности для решения задачи граничного управления, основанной на смешанной задаче с управлением третьим краевым условием на левом конце струны при закрепленном правом.

Для постановки задачи оптимизации введём в рассмотрение следующую функцию Н(£,г), определенную равенством

Н(*,т) = {е~Нт ■ [Цпт+1(2Лт) + Ь1пт(2Нг)] , при 21т < £ < Щт + 1), т = 0,2та + 1},

Поставим задачу, заключающуюся в отыскании среди всех функций р^) е Ьр[О, Т], являющихся граничными управлениями, той, которая доставляет минимум обобщенному интегралу граничной энергии г г о о при наличии условий связи, извлекаемых из выполнения произвольно заданных начальных и финальных условий. Доказывается следующая

ТЕОРЕМА Решение рассматриваемой задачи граничного управления, удовлетворяющее данному критерию оптимальности, существует.

На каждом отрезке [21т, 21 (т + 1)] (т = 0,2п + 1) оно представляется формулой

-1)т+1 щу 21т) , . .{-\)тЛ1Щ1-21т)^± ас, р

2п + 2 о где Т>(у) - определяемая в явном виде функция, зависящая только от начальных и финальных условий задачи,

2П-тп+2 / 2п т + 2 \

0/-*) = \ 1Р1(2п-тп + 1; г; %-*)), г=0 V 2 /

1Р1(а; с; г) - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера см. [46, с. 183]. При р > 1 вышеуказанное оптимальное решение является единственным.

Приложение А посвящено изучению задачи граничного управления, основанной на смешанной задаче с неоднородным условием второго рода на левом конце струны и с упруго закрепленным правым концом. Трудность решения этой задачи состоит в отсутствии условия закрепления. Поэтому, кроме условия связи, являющегося равенством функций из ¿2, потребовалось выписать еще одно условие, названное В.А.Ильиным условием согласования начальных и финальных смещений. Для решения данной задачи потребовалось разработать новый метод оптимизации, основанный на продолжении финальных функций на отрезок [—Т, Т], а также использовать технику из работ [32] - [35]. Это позволило провести минимизацию интеграла от квадрата граничного управления. Функция минимизирующая этот интеграл энергии, выписывается в явном виде.

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю В. А. Ильину за постановку задачи и постоянное внимание к работе. А также Е.И. Моисееву, А.А. Кулешову, М.М. Потапову и В.В. Тихомирову за полезные обсуждения.

1. J. L. Lions, "Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems" // S1.M Review, Vol. 30, No. 1. (Mar., 1988), pp. 1-68.

2. J. L. Lions, "On the controllability of distributed systems" // Proc. Natl. Acad. Sci. USA Vol. 94, pp. 4828-4835, May 1997, Applied Mathematics

3. E. Zuazua, "Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation" // J.Math, pures et appl., 69, 1990, pp. 1-31.

4. Michael V. Klibanov and Masahiro Yamamoto, "Exact Controllability for the Non Stationary Transport Equation" // SIAM Journal on Control and Optimization, Volume 46, Issue 6 Pages 2071-2195.

5. Li Tatsien, Wang Zhiqiang, "A Note On The Exact Controllability For Nonautonomous Hyperbolic Systems" // Communications on Pure and Applied Analysis, Volume 6, Number 1, 2007pp. 229-235

6. Komornik V. "Exact controllability and stabilization. The multiplier method", // Chichester: John Wiley and Sons; Paris: Masson, 1994.

7. Ф. П. Васильев, "О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения" // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31, номер 11. с. 1893 1900.

8. Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, М. М. Потапов "Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны"/'/ Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993. №3, с. 8- 15.

9. Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, А. В. Разгулин "О методе Фурье для решения одной задачи управления колебаниями струны" // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993. №2, с. 3 8.

10. А. 3. Ишмухаметов "Оптимальное управление поперечными колебаниями стержня"// Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1981. №4, с. 46 50.

11. А. Г. Бутковский " Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами" // М.: Наука, 1965.

12. А. И. Егоров,"Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах" // Прикладная матиматика и механика. 1963. Т.27, N 4. с. 688-696.

13. А. И. Егоров, "Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности " // Изв. АН СССР. Серия Математика 1965. - Т.29, N6. с. 1205-1256.

14. JI. Д. Акуленко "Приведение упругой системы в заданное состояние посредством силового граничного воздействия" // Прикладная математика и механика, 1981, Т.45, Вып. 6, с. 1095-1103.

15. В. А. Ильин, "Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени" // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, N 11. с. 1517- 1534.

16. В. А. Ильин, "Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце" // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, N 12. с. 1640-1659.

17. В.А. Ильин, В.В.Тихомиров "Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса "// Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, N5. с. 692 704.

18. В. А. Ильин, "Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией" // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, N11. с. 1513 1528.

19. В. А. Ильин, "Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией" // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, N12. с. 1670 1686.

20. П. А. Рево, Г. Д. Чебакаури, "Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса" // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, N 6. с. 806 815.

21. П. А. Рево, Г. Д. Чебакаури,"Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией" // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, N8. с. 1082-1095.

22. A.A. Никитин, "Граничное управление упругой силой на одном конце струны", // Доклады академия наук. 2006. Т.406, №4. с. 458-461

23. В.А. Ильин, Е.И. Моисеев, "Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце" // Дифференциальные уравнения. 2005. TAI, N 1. с. 105 115.

24. В.А. Ильин, Е.И. Моисеев, "Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2005. Т.400, N1. с. 16 20.

25. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2005. Т.400, N 5. с. 587 591.

26. В. А. Ильин, "Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2005. Т.400, N 6. с. 731 735.

27. Ильин В.А., Моисеев Е.И. "Оптимизация граничных управлений колебаниями струны" Ц УМН, 2005, Т. 60, №6 с. 89-114.

28. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны", // Доклады академии наук, 2004. Т.399, N 6. с. 727 731.

29. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимальное граничное управление упругой силой на двух концах", // Доклады академии наук, 2005. Т.402, N2. с. 163 169.

30. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой" // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42, N12. с. 1699-1711.

31. В.А. Ильин, Е.И. Моисеев, "Оптимальное граничное управление смещением на одном конце струны при свободном втором ее конце за любой достаточно большой промежуток времени" // Дифференциальные уравнения, 2007. ТАЗ, N10. с. 13691381.

32. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничных управлений смещениями на двух концах струны" // Дифференциальные уравнения, 2007. ТАЗ, N11. с. 1528-1544.

33. В. А. Ильин, Е.И. Моисеев," Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце за произвольный достаточно большой промежуток времени" II Дифференциальные уравнения, 2007. ТАЗ, N12. с. 1655-1663.

34. В.А. Ильин, Е.И. Моисеев, Оптимизация управления на двух концах струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промеэюуток времени Ц Дифференциальные уравнения, 2008. Т.44, N1. с. 89-110.

35. Г. Д. Чебакаури, "Оптимальное граничное управления процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в случае ограниченной энергии" // Дифференциальные уравнения. 2007. ТАЗ, N4. с. 553-561.

36. В. В. Тихомиров, "Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. Г // Дифференциальные уравнения, 2002. Т.38, N 3. с. 393-403.

37. В. В. Тихомиров, "Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. И" II Дифференциальные уравнения, 2002. Т.38, N 4. с. 529-537.

38. Л. Н. Знаменская, "Управление упругими колебаниями", // 2004. М. ФИЗМАТЛИТ.

39. Ф. О. Найдюк, В. Л. Прядиев,"Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода" Л Вестник В ГУ, Серия физика, математика, 2004, N1. с. 115-122.

40. М. М. Потапов, "Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором" // Доклады академии наук. 1999. Т. 365. № 5. С. 596-598.

41. М. М. Потапов, "Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами", // Доклады академии наук, 2007, том 414, № 6, С. 738-742.

42. М. М. Потапов, "Разностная аппроксимация задач Дирихле наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода" // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, том 47, № 8, с. 1323-1339

43. Е. И. Моисеев, В. В. Тихомиров, "О волновом процессе с конечной энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом закреплении на другом конце // Нелинейная динамика и управление. 2005. Вып. 5. с. 42-52.

44. Г. Бейтмен, А. Эрдейи,"Высшие трансцендентные функции. Т. 1" // М. Наука, 1973.

45. Г. Бейтмен, А. Эрдейи," Высшие трансцендентные функции. Т. 2" // М. Наука, 1974.

46. Ильин В.А., "О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений" // УМН. 1960. Т.15, номер 2. с. 97 154.

47. А. С. Калашников, "Классы единственности для интегро-дифференциальных уравнений с операторами Вольтерра типа свертки", // "Функциональный анализ и его приложения", // 1979. Т. 13, N2. с. 83 84.Публикации автора по теме диссертации

48. А. А. Никитин, Граничное управление третьим краевым условием, // Автоматика и телемеханика. 2007, №2, с 120-126.

49. A.A. Никитин, Минимизация интеграла от линейной комбинации граничного управления и его первообразной, производимыми третьим краевым условием, // Доклады академии наук. 2007, Т.417, №6, с 743-745.

50. А. А. Никитин, О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим и первым краевыми условиями // Дифференциальные уравнения, 2007, ТАЗ, №12, с 1692-1700.

51. A.A. Никитин, A.A. Кулешов, Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференциальные уравнения, 2008, Т.44, №5, с 681-690.