Структуры и локализация энергии в нелинейных решеточных системах

Канаков, Олег Игоревич

Структуры и локализация энергии в нелинейных решеточных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Канаков, Олег Игоревич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Структуры и локализация энергии в нелинейных решеточных системах»

Автореферат диссертации на тему "Структуры и локализация энергии в нелинейных решеточных системах"

я>

СТРУКТУРЫ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭНЕРГИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ РЕШЕТОЧНЫХ СИСТЕМАХ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

I V

КАНАКОВ Олег Игоревич

Нижний Новгород - 2007

003056865

Работа выполнена на кафедре теории колебаний и автоматического регулирования Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Научный руководитель:

Шалфеев В.Д. - д.ф.-м.н., проф.

Официальные оппоненты:

Потапов А.И. - д.ф.-м.н., проф. Пономаренко В.П. - д.ф.-м.н., проф.

Ведущая организация:

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники

на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского (603950, Н. Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп.^., ауд. Ч 2д>)

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им.

Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан « » 2007 г.

РАН

Защита состоится «\С>» м^оЦ

2007 г. в 44 часов

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доц.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Объектом исследования в данной работе являются решетки связанных элементов, каждый из которых описывается нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением. Известен широкий круг динамических режимов и эффектов, которые могут проявляться в решеточных системах: структурообразование, автоволны, синхронизация колебаний, хаос. Данная работа посвящена исследованию различных режимов динамики, которые характеризуются пространственной локализацией, то есть, отсутствием распространения возмущения по решетке в виде волны. А именно, рассматриваются локализованные периодические колебательные решения в решетках нелинейных консервативных осцилляторов; периодические решения, локализованные в пространстве мод решеточных систем; стационарные структуры в решетках диссипативных бистабильных элементов.

Интерес к нелинейным решеточным моделям обусловлен большим разнообразием реальных систем, описываемых этими моделями. В качестве примера таких систем можно привести кристаллические решетки, антиферромагнитные материалы, биологические ткани, а также многие искусственные системы, имеющие решеточную структуру: решетки связанных волноводов, микромеханических осцилляторов, джозефсоновских контактов, специальные электронные схемы, энергосети.

Кроме того, такие модели представляют интерес с точки зрения фундаментальных проблем статистической физики — проблем описания процессов переноса энергии и установления теплового равновесия в системах из большого числа частиц на микроскопическом уровне исходя непосредственно из уравнений движения.

В рамках проблемы переноса энергии в решеточных системах представляют интерес долгоживущие колебательные возбуждения, локализованные в пространстве — дискретные бризеры, впервые обнаруженные в численных экспериментах (A.A. Овчинников, A.J. Sievers, S. Takeno, К. Kisoda). Позже было получено строгое доказательство существования периодических (а значит, имеющих бесконечное время жизни) локализованных решений (R.S. МасКау, S. Aubry). Дискретные бризеры характеризуются экспоненциальным

спаданием амплитуды колебаний с удалением от центральной частицы, совершающей колебания с максимальной амплитудой.

В отличие от известных ранее бризеров в системах с непрерывной пространственной координатой (в частности, в уравнении синус-Гордона), которые теряют локализацию при малом изменении уравнений движения, дискретные бризеры существуют в гамильтоно-вых решеточных системах весьма общего вида. В этом смысле дискретные бризеры не являются «редкими» математическими объектами.

Однако, множество дискретных бризеров как точных периодических решений в фазовом пространстве решеточной системы имеет меру нуль, что означает нулевую вероятность реализации такого точного периодического решения в физической системе. Поэтому говорят также о дискретных бризерах в «физическом смысле» как о решениях, характеризующихся пространственной локализацией энергии, имеющей, в отличие от точных периодических решений, большое, но конечное время жизни.

Одним из возможных физических механизмов генерации таких локализованных возбуждений является модуляционная неустойчивость бегущей волны (М. Peyrard и др.). Действие этого механизма было подтверждено в эксперименте с одномерными антиферромагнетиками (М. Sato, AJ. Sievers).

В то же время, в литературе отсутствует систематическое исследование данного механизма. В частности, остаются открытыми вопросы о влиянии энергии исходной волны на npoi¡ecc генерации дискретных бризеров, об эволюции систем на больших временах после формирования дискретных бризеров, о действии модуляционной неустойчивости в решетках размерности выше единицы. В диссертации эти вопросы исследуются на примере одномерных и двумерных решеток линейно-связанных нелинейных осцилляторов (дискретный аналог модели Клейна-Гордона).

В системах с периодическим потенциалом, где каждая координата определена по модулю 2/ги имеет смысл фазы, помимо колебательных дискретных бризеров, возможны также локализованные вращательные решения — ротобризеры. Системы такого типа исследуются, например, при моделировании динамики ансамблей связанных джозефсоновских контактов, круговых маятников, электрогенераторов включенных в общую энергосеть.

В ротобризерном решении одна из фаз неограниченно нарастает со временем (элемент совершает вращение), а остальные колеблются с амплитудами, спадающими при удалении от вращающегося элемента. Такие решения были впервые численно получены заданием специальных начальных условий (на одном из элементов задается начальная скорость достаточно большой величины), а также при моделировании системы в равновесии с термостатом (S. Takeno, M. Peyrard). Известно строгое доказательство существования таких решений (J.L. Marin, S. Aubry).

Вопрос о генерации ротобризеров из бегущей волны вследствие модуляционной неустойчивости остается открытым. Кроме того, предоставляет значительный интерес (в том числе, с точки зрения приложений) вопрос о возможности управления этим процессом с помощью внешнего воздействия. Эти вопросы исследуются в диссертации на примере одномерных консервативных и диссипативных цепочек с косинусоидальными потенциалами парциального осциллятора и взаимодействия (модель Такено-Пейрара).

Проблеме моделирования процесса установления режима равнораспределения энергии по степеням свободы системы непосредственно на основе уравнений движения был посвящен первый в истории численный эксперимент на решеточной модели — работа Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улама (ФПУ). В работе ФПУ был продемонстрирован эффект локализации энергии в пространстве мод нелинейной системы, а, также квазирегулярный характер динамики системы (возвращав-моешь траектории в окрестность начальных условий на временах, существенно меньших ожидаемого масштаба времени возвращения Пуанкаре). Эти результаты составляют основу классической проблемы ФПУ.

Со времени опубликования работы ФПУ были получены теоретические результаты, которые позволили качественно и количественно объяснить многие аспекты проблемы ФПУ.

В работе N.J. Zabusky и M.D. Kruskal в рамках непрерывного приближения (уравнение Кортевега - де Фриса) было получено решение в виде набора солитонов, что дало оценку времени возвращений, хорошо согласующуюся с результатом численного расчета ФПУ. Однако, факт локализации энергии в низших модах принимается как постулат при переходе к непрерывному пределу, а значит, в рамках данного приближения не объясняется.

Ф.М. Израилев и Б.В. Чириков указали на связь равнораспределения энергии с явлением динамического хаоса и обнаружили характерное значение энергии системы, от соотношения с которым зависит скорость процесса равнораспределения энергии {«порог равнораспределения»), а также получили первую аналитическую оценку этого порога. Позже были предложены другие аналитические и численные оценки характерных значений энергии, в том числе, порог «слабого хаоса» - хаотического режима, в котором, однако, сохраняется локализация энергии в пространстве мод на больших временах (J. De Luca, A.J. Lichtenberg, M.A. Lieberman).

Вышеперечисленные работы по проблеме ФПУ посвящены исследованию сложных непериодических и хаотических решений. В силу сложности этих режимов, в частности, наличия экспоненциально больших временных масштабов1 (А. Giorgilli, L. Galgani L. Berchialla, S. Paleari), проблема локализации энергии в пространстве мод решеточных систем до настоящего времени полностью не решена (см., например, специальный выпуск "The Fermi-Pasta-Ulam problem - The first ftfty years" журнала CHAOS, 2005, vol. 15, No. 1).

В то же время, как показывает практика исследования дискретных бризеров и локализации энергии в нелинейных решетках, свойства сложных режимов, характеризующихся локализацией энергии на больших временах, могут в значительной степени быть поняты и описаны с помощью исследования имеющихся в фазовом пространстве периодических орбит, которые характеризуются локализацией энергии на бесконечных временах. При этом периодические решения допускают практически исчерпывающее исследование с помощью существующих методов нелинейной динамики (в частности, метода секущей Пуанкаре, асимптотических методов).

Оказывается, аналогичный подход может быть применен к исследованию проблемы локализации энергии в пространстве нормальных мод. Как следует из теоремы, доказанной А М. Ляпуновым, в окрестности состояния равновесия системы ФПУ из N частиц для достаточно малых энергий существуют N периодических орбит, в линейном пределе переходящих в одномодовые решения. В силу аналогии с дискретными бризерами (периодичность во времени, экспоненциальная локализация), такие орбиты были названы q-бризерами

1 например, порядка ~ехр(с,;/е), где с - средняя плотность энергии, г,;, - порог равнораспределения

(Иванченко М.В., Канаков О.И., ФлахС.). Следует ожидать, что свойства этих орбит позволяют охарактеризовать также и поведение других (в том числе, сложных) решений в их окрестности. Однако, свойства таких орбит в модели ФПУ в литературе не исследовались. В то же время, свойства ляпуновских орбит в нелинейных решеточных системах представляют и самостоятельный интерес как важные характеристики нелинейной динамики этих систем, вне непосредственного контекста проблемы ФПУ.

С точки зрения возможных приложений (синхронизация и аварии в энергосетях, задачи параллельной обработки изображений), представляет интерес проблема управления образованием структур в решеточных системах. Один из частных случаев этой проблемы (задача управления образованием ротобризеров) упоминался выше.

Проблема управления структурообразованием может также быть рассмотрена на упрощенной модели в виде решетки связанных бистабильных элементов с двухъямным потенциалом и диссипацией. Исследование таких систем в литературе в основном ограничивалось рассмотрением случая кусочно-заданной нелинейности определенного вида (Ь.О. СЬиа, 1.А. Ловзек и др.). В частности, известен метод, позволяющий найти все устойчивые состояния равновесия такой системы, а также спроектировать систему, имеющую заданные состояния равновесия. Результаты же для систем с нелинейностью общего вида ограничиваются рассмотрением случая линейной диффузионной связи (В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев и др.).

Таким образом, актуальна проблема исследования возможностей управления структурообразованием в обобщенной модели решетки бистабильных элементов с двухъямным потенциалом.

Исходя из приведенного обзора актуальных проблем теории структурообразования и локализации энергии в решеточных системах, были сформулированы цели настоящей работы.

Цели диссертационной работы:

• Исследование механизма локализации энергии и генерации дискретных бризеров и ротобризеров из бегущей волны вследствие модуляционной неустойчивости в решетках осцилляторов с точки зрения проблемы реализуемости дискретных бризеров в физических процессах

• Отыскание ^-бризеров и исследование их свойств с точки зрения проблемы локализации энергии в пространстве нормальных мод нелинейных решеточных систем

• Исследование возможности управления процессом образования структур в моделях решеток бистабильных элементов, интерпретация результатов с точки зрения задач обработки изображений

Научная новизна

Проведено систематическое исследование явления генерации локализованных возбуждений (дискретных бризеров) в дискретных нелинейных системах из слабозашумленной бегущей волны вследствие модуляционной неустойчивости на примере дискретного аналога уравнения Клейна-Гордона в одномерном и двумерном случаях. Двумерный случай рассмотрен впервые. В одномерном случае исследован характер зависимости процесса генерации дискретных бризеров от величины средней энергии в системе. Исследована эволюция системы на временах, существенно (на 2 порядка) превышающих имеющиеся в литературе результаты.

Исследован процесс генерации ротобризеров вследствие модуляционной неустойчивости в одномерной модели Такено-Пейрара без диссипации, а также с диссипацией и с внешним моментом. Продемонстрирована возможность управления этим процессом за счет неоднородного распределения величины внешнего момента.

Построена конструктивная математическая схема построения ^-бризеров - периодических локализованных решений в пространстве нормальных мод - методом непрерывного продолжения одномодового решения линейной системы на ненулевые значения параметра нелинейности. На основе этой схемы разработан численный метод отыскания <7-бризеров в нелинейных решеточных системах. Этот метод применен к исследованию свойств ^-бризеров на примере модели /?-ФПУ.

Проведен асимптотический анализ свойств локализации д-бризеров в пространстве нормальных мод и их устойчивости на примере модели Д-ФПУ. Исследованы свойства симметрии д-бризеров, в частности, показана инвариантность локализационных свойств ц-бризеров по отношению к масштабированию размера системы.

Рассмотрена задача управления образованием стационарных структур в решетках бистабильных элементов с недиффузионными

связями. Для систем без инерционности получена аналитическая оценка расположения аттракторов и их областей притяжения для двух способов задания нелинейности: (¡) неидентичные нелинейности общего вида с ограничением на максимальное отклонение от заданной кусочно-линейной функции; (и) нелинейность со спадающими ветвями -типичная характеристика частотного дискриминатора.

Для двух частных типов нелинейности (кусочно-линейная функция и функция со спадающими ветвями) в системе, ориентированной на задачу выделения контуров, численно исследован эффект формирования шахматного паттерна как мешающего фактора. Рассмотрены случаи систем без инерционности и с инерционностью.

Положения, выносимые на защиту

1. Модуляционная неустойчивость бегущей волны представляет собой универсальный механизм генерации локализованных возбуждений в нелинейных решеточных системах, что подтверждается проведенными исследованиями процессов генерации дискретных бризеров в одномерных и двумерных дис-

' кретных моделях Клейна-Гордона, а также ротобризеров в консервативных и диссипативных моделях Такено-Пейрара.

2. Ляпуновские периодические орбиты нелинейных решеточных систем - д-бризеры, в отличие от сложных непериодических и хаотических решений, допускают практически исчерпывающее исследование, которое проведено в данной работе на примере модели /2-ФПУ. Свойства этих орбит позволяют охарактеризовать также и поведение других (в том числе, сложных) решений в их окрестности. А именно, в работе воспроизведены с единых позиций основные качественные и количественные результаты, связанные с проблемой ФПУ (явление локализации в пространстве мод, пороги слабого хаоса и равнораспределения).

3. Установлено, что в решетках нелинейно связанных биста-бильных элементов с различными типами нелинейности возможно целенаправленное формирование структур, в частности применительно к задачам обработки изображений. Теоретической основой для такого управления служит проведенный анализ поглощающих областей в фазовом пространстве системы. Неточность воспроизведения заданной структуры зави-

сит от параметров системы. Проведенные численные исследования позволяют сформулировать рекомендации по минимизации этой неточности на примере решеточной системы, ориентированной на задачу выделения контуров.

Методы исследования и достоверность научных результатов.

При исследовании использовались качественные и асимптотические методы теории колебаний, а также численное моделирование. Достоверность результатов подтверждается согласием результатов аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными в литературе результатами.

Научная и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты представляют интерес с точки зрения фундаментальных проблем переноса и локализации энергии, а также структурообразования в нелинейных решеточных системах. Кроме того, развитая в работе теория может иметь практическое значение для задач, связанных с динамикой решеточных систем: синхронизации и предотвращения аварий в энергосетях, параллельной обработки изображений с помощью специальных решеточных схем, создания микро- и наномеханических систем.

Личный вклад автора. В совместных работах автор принимал непосредственное участие в выборе направлений исследований и постановке основных задач и обсуждении результатов. Все представленные результаты получены лично автором.

Апробация работы и публикации.

ные волны - 2002, 2004, 2006» (г. Н.Новгород), 12-й Европейской конференции по обработке сигналов "EUSIPCO-2004" (г. Вена), международных симпозиумах "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (r. H. Новгород, 2003, 2005 гг.), международной конференции "Progress in nonlinear science" (г. H. Новгород, 2001 г.), 2-м и 3-м Международных научно-практических семинарах «Вы-сокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах» (г. Н.Новгород, 2002, 2003 гг.), 5-й, 6-й, 7-й и 8-й Научных конференциях по радиофизике (г.Н. Новгород, 2001, 2002, 2003, 2004, гг.), научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2000, 2002, 2003» (г. Саратов).

Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теории колебаний и автоматического регулирования ННГУ, а также Института физики сложных систем Общества Макса Планка (г. Дрезден, Германия).

По теме диссертации опубликовано 18 научных работ, в том числе 5 статей в рецензируемых физических журналах, рекомендованных ВАК, 1 статья в международном физическом журнале, 11 публикаций в сборниках трудов конференций, 1 тезисы доклада.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 129 страниц текста (включая оглавление и 23 рисунка) и список литературы из 93 наименований на 11 страницах. Общий объем работы 140 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приводятся сведения об апробации результатов.

В первой главе рассматривается проблема генерации локализованных возбуждений в решетках связанных нелинейных осцилляторов из гармонической волны вследствие модуляционной неустойчивости.

Во вводной части (раздел 1.1) дается определение дискретного бризера и излагаются основные сведения о дискретных бризерах как

точных решениях в дискретных нелинейных системах. Приводятся условия существования дискретных бризеров. Указывается на принципиальные отличия дискретных бризеров от бризеров в непрерывных моделях, в частности, в уравнении синус-Гордона. Вводится в рассмотрение дискретное уравнение Клейна-Гордона

= -*"(*„) + Фп-1 ~ 2хп + *я + |) .

где х„ - координата п-й частицы, V (х)=х2/2+ах3/3+^х4/4 - потенциальная функция, к - параметр связи. С помощью простейшего одночас-тичного приближения оцениваются основные характеристики (частотно-энергетическая зависимость, показатель пространственной локализации) дискретных бризеров в такой модели.

В разделе 1.2 описываются проведенные численные эксперименты по генерации дискретных бризеров и ротобризеров вследствие модуляционной неустойчивости гармонической волны. Численные эксперименты проводятся в одномерной и двумерной решетках Клейна-Гордона с периодическими граничными условиями. Начальные условия задаются в виде слабозашумленной бегущей гармонической волны, волновое число которой А-Зтс/4 выбирается в соответствии с условием модуляционной неустойчивости, а частота - в соответствии с линейным дисперсионным соотношением и с учетом первой поправки к частоте волны по амплитуде. Аддитивная случайная добавка задается в виде равномерно распределенных некоррелированных возмущений по всем координатам и скоростям.

В одномерном случае воспроизводится известный сценарий генерации дискретных бризеров. Затем проводится исследование зависимости этого процесса от средней плотности энергии в системе, а также моделирование эволюции системы после формирования дискретных бризеров на больших временах для большого количества реализаций случайной добавки в начальных условиях. Показано, что с уменьшением средней плотности энергии сценарий формирования дискретных бризеров сохраняет силу, однако время. формирования дискретного бризера быстро нарастает. Максимальное время жизни дискретного бризера, сформировавшегося вследствие модуляционной неустойчивости бегущей волны, оценить не удалось, поскольку оно превышает вычислительно достижимые времена.

По аналогии с дискретными бризерами, исследуется процесс генерации ротобризеров в модели Такено-Пейрара

хп+Лхп= -втС*,,) + /фтСд^, -хя)~вт(л:„ -хп_,)) + /„■

Рассматриваются случаи: консервативный (Л=0, у„=0), диссипативный пространственно-однородный (А^О, у„=уф0), а также диссипативный пространственно-неоднородный (на выбранных элементах задается значение уп, большее чем в остальных элементах). Продемонстрировано возникновение ротобризеров со случайным (в консервативной модели) и определенным (в диссипативной модели) направлением вращения. Показана возможность целенаправленного формирования ротобризеров в диссипативной модели с неоднородным внешним воздействием.

Во второй главе исследуются свойства ¿¡г-бризеров - ляпунов-ских периодических орбит, локализованных в пространстве нормальных мод нелинейных решеточных систем - на примере модели Р-ФПУ. Результаты интерпретируются с точки зрения проблемы ФПУ о перераспределении энергии между модами.

Во вводной части (раздел 2.1) приводятся уравнения движения для модели /?-ФПУ в прямом пространстве

= (*я+1 - 2х„ + *«-!) + Д(*и+1 - X„У - (х„ - х„_, )3 ] и в пространстве нормальных мод

"2 /3 "

¿<7 ^ ^дОд ~ + 1) 2 йб / О-т »

излагается суть проблемы ФПУ и вводится понятие д-бризера. Приводится конструктивная схема построения д-бризера методом непрерывного продолжения одномодового решения линейной системы, указываются условия применимости этой схемы.

В разделе 2.2 обсуждаются свойства симметрии д-бризеров, вытекающие из свойств симметрии уравнений движения. Показано, что <7-бризерные решения обратимы во времени при соответствующем выборе начала отсчета времени, а также при определенных условиях сохраняют симметрию пространственной четности или нечетности, имеющуюся у продолжаемой линейной моды. Приведены условия инвариантности решений относительно масштабирования числа частиц в системе для различных типов граничных условий.

В разделе 2.3 приводится структура семейства численных методов отыскания д-бризеров на основе метода непрерывного продолжения, описанного в разделе 2.1. Выбирается продолжаемое одномо-довое решение линейной системы. Задается секущая Пуанкаре, пересекающая траекторию продолжаемого решения без касания. Параметр нелинейности увеличивается шагами выбранной величины. На каждом шаге периодическая орбита отыскивается как неподвижная точка отображения Пуанкаре, при этом в качестве начального приближения задается результат, полученный на предыдущем шаге по нелинейности. Поиск неподвижной точки внутри секущей Пуанкаре ограничивается подмногообразием, заданным условием постоянства энергии и условиями симметрии, полученными в разделе 2.2. Такое ограничение обеспечивает единственность решения и сокращает число неизвестных при поиске.

В разделе 2.4 исследуются свойства локализации д-бризеров в пространстве мод системы Ферми-Паста-Улама с помощью асимптотического разложения по малому параметру нелинейности. Для д-бризеров в окрестности высокочастотного и низкочастотного краев линейного спектра показан экспоненциальный характер спадания энергии нормальных мод в ¿¡г-бризере при удалении от главной (продолжаемой) моды:

где <70 - номер главной моды.

Показано согласие асимптотических результатов с численными, полученными с помощью метода, описанного в разделе 2.3 (см. Рис. 1). Получена оценка характерной энергии делокализации д-бризера, которая согласуется с точностью до постоянного множителя с имеющейся в литературе оценкой порога равнораспределения в модели /0-ФПУ (Д.Л. Шепелянский).

В разделе 2.5 д-бризеры исследуются на устойчивость в линейном приближении в пределе малой нелинейности и большого числа частиц. Линеаризация уравнений движения в окрестности орбиты приводит к многомерному уравнению Матье-Хилла для малых отклонений от решения. Оценивается значение параметра нелинейности, соответствующее точке входа в ближайшую зону первичного параметриче-

ского резонанса. Получено приближенное выражение для мультипликаторов Флоке, отвечающих за потерю усточивости, вблизи края зоны резонанса

>-1 + 0(1/А"),

, 1=1±

4(ДГ + 1)2

Значение точки бифуркации R=l+0(l/N2) согласуется с известной в литературе оценкой порога слабого хаоса if=l в модели /?-ФПУ (J. De Luca, A.J. Lichtenberg, M.A. Lieberman). Кроме того, найденное выражение хорошо согласуется (см. Рис. 2) с результатом численного расчета мультипликаторов орбиты (Иванченко М.В.).

Рис. I Профили д-бртеров в пространстве мод /?-ФПУ модели: символы и сплошные линии -численный расчет, пунктирные линии - асимптотическая оценка Линейный (сверху) и логарифмический (снизу) масштабы

Рис. 2 Модули мультипликаторов ц-бризеров для разных размеров системы в зависимости от параметра нелинейности: символы - численный расчет (Иванченко М В ), линии - асимптотическая оценка

В разделе 2.6, исходя из обсуждавшегося в разделе 2.2 свойства инвариантности д-бризерных решений относительно масштабирования числа частиц, вводятся масштабно-инвариантные интенсивные величины: волновые числа и средние плотности энергии, а также масштабно-инвариантная характеристика локализации д-бризера, выражаемая через интенсивные величины - показатель экспоненты локализации средней плотности энергии в пространстве волновых чисел.

Численно (с помощью метода, описанного в разделе 2.3), а также аналитически (с использованием результата асимптотического расчета, раздел 2.4) исследована зависимость этого параметра от волнового числа главной моды #-бризера для различных значений средней

плотности энергии и различных размеров системы. Показано, что при заданной средней плотности энергии численно найденные значения параметра локализации ложатся на единую кривую независимо от размера системы, что подтверждает масштабную инвариантность (см. Рис. 3).

Рис. 3 Показатель локализации ^-бризера как функция волнового числа главной моды в /2-ФПУ модели для двух размеров системы и трех значений средней плотности энергии 6,08-КГ4,9,60 10"4,1,57 Ю-1 (снизу вверх) Символы и соединительные прямые линии -численный расчет, штриховые линии - асимптотическая ценка Слева - низкочастотный край спектра, справа - высокочастотный.

Эта кривая имеет минимум, соответствующий наиболее сильной локализации ¿/-бризера в пространстве волновых чисел. Абсцисса минимума (оптимальное с точки зрения локализации значение волнового числа главной моды ^-бризера) с увеличением средней плотности энергии удаляется от края линейного спектра, а локализация соответствующего д-бризера ухудшается.

В третьей главе рассматривается проблема управления струк-турообразованием в решетках связанных осцилляторов с двухъямным потенциалом.

Во вводной части (раздел 3.1) приводятся уравнения движения решетки бистабильных элементов

+ хц = -хи. + у. + 5ХФ)+*,7+/(х(+*,,+/) ,

к,I

излагаются известные результаты об устойчивых состояниях равновесия в таких системах для случая кусочно-заданной нелинейности

описываются принципы применения таких систем к решению задач обработки изображений.

В разделе 3.2 качественными методами (путем построения поглощающих областей в фазовом пространстве) исследуется образование структур в системе без инерционности (//=0) для двух способов задания нелинейности:

(а) неидентичные нелинейности общего вида с ограничением на максимальное отклонение от заданной кусочно-линейной функции

Ф и(х)=Г(х)+<ру(х), \(рц(х)\<с при 1<|х|</?

(б) нелинейность со спадающими ветвями - типичная характеристика частотного дискриминатора

Фц(х)=С(х)=2х/(\+х2)

В разделе 3.3 численно исследуются процессы структурообра-зования для двух частных типов нелинейности (кусочно-линейная функция Р(х) и функция со спадающими ветвями (?(*)) в решеточной системе, ориентированной на задачу выделения контуров. Введен в рассмотрение параметр точности воспроизведения заданной структуры - отношение числа неправильно воспроизведенных элементов изображения к полному количеству элементов - и исследована зависимость этой величины от параметров системы. Рассмотрен случай системы без инерционности (/;=()), а также проанализировано влияние инерционности (/#0).

В заключении Сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты диссертационной работы

1. Численно изучен процесс формирования дискретных бризеров в решетках связанных нелинейных осцилляторов в зависимости от энергии начальной волны. Впервые рассмотрен двумерный случай. В одномерном случае изучена эволюция системы на временах, существенно превышающих масштабы, рассмотренные в литературе.

ность целенаправленного формирования ротобризеров в дис-сипативной модели с неоднородным внешним воздействием.

3. Построена конструктивная математическая схема построения 9-бризеров - периодических локализованных решений в пространстве нормальных мод - методом непрерывного продолжения одномодового решения. На основе этой схемы разработан численный метод отыскания д-бризеров в нелинейных решеточных системах.

4. Исследованы свойства симметрии д-бризеров, в частности, инвариантность свойств д-бризеров по отношению к масштабированию размера системы.

5. Проведен асимптотический анализ локализации и устойчивости «¡г-бризеров в модели /?-ФПУ. Получены оценки порога устойчивости и характерной энергии дело кал изации д-бризера, которые хорошо согласуются с имеющимися в литературе оценками порогов слабого хаоса и равнораспределения, соответственно.

6. Проведено численное отыскание д-бризеров в модели /7-ФПУ, продемонстрировано согласие с аналитическими результатами. Проведено численное исследование свойств локализации д-бризеров в терминах масштабно-инвариантных интенсивных параметров: волновых чисел и средних плотностей энергии.

7. Получена аналитическая оценка расположения аттракторов и их областей притяжения в решетках бистабильных элементов первого порядка с недиффузионными связями для двух способов задания нелинейности: неидентичные нелинейности общего вида с ограничением на максимальное отклонение от заданной кусочно-линейной функции; (и) нелинейность со спадающими ветвями - типичная характеристика частотного дискриминатора.

8. Для двух частных типов нелинейности (кусочно-линейная функция и функция со спадающими ветвями) в системе, ориентированной на задачу выделения контуров, численно исследован эффект формирования шахматного паттерна как мешающего фактора. Результат обобщен на систему с инерционностью (парциальный элемент второго порядка).

Список публикаций по теме диссертации

]. M.V. Ivanchenko, O.I. Kanakov, V.D. Shalfeev, S. Flach, Discrete Breathers in Transient Processes and Thermal Equilibrium //Physica D, 2004, vol. 198, pp. 120-135.

2. S. Flach, M.V. Ivanchenko, O.I. Kanakov, q-Breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem //Phys. Rev. Lett., 2005, vol. 95, pp.064102-1 -064102-4.

3. Канаков О.И., Шалфеев В.Д. Формирование стационарных структур в решетках бистабильных элементов с двумя типами нелинейности. //Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2005, т. 13, №3, с. 77-89.

4. Flach S., Ivanchenko M.V., Kanakov O.I. q-Breathers in Fermi-Pasta-Ulam chains: Existence, localization, and stability //Phys. Rev. E, 2006, vol. 73, p. 036618.

5. Ivanchenko M.V., Kanakov O.I., Mishagin K.G., and Flach S. q-Breathers in Finite Two- and Three-Dimensional Nonlinear Acoustic Lattices //Phys. Rev. Lett., 2006, vol. 97, p. 025505.

6. Kanakov O.I., Shalfeev V.D., Forti G.L. Stationary Patterns in CNN-like Ensembles with Modified Cell Output Functions //Int. J. Bifurcation and Chaos, 2006, vol.16, No.7, pp.2207 - 2220.

7. Иванченко M.B., Канаков О.И., Мишагин К.Г. Анализ стационарных режимов в цепочке однонаправленно связанных генераторов с управлением по частоте. Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2000. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2000.

8. Канаков О.И., Шалфеев В.Д. Структурообразование в цепочке потоково связанных бистабильных элементов. Материалы международной межвузовской конференции Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ, 20-24 марта, Саратов, Россия, Изд-во ГосУНЦ "Колледж", Саратов, 2001.

9. Канаков О.И., Шалфеев В.Д. О стационарных структурах в цепочках взаимосвязанных частотно-управляемых генераторов. Труды (пятой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения А.А. Андронова. 7 мая 2001 г. /Ред. А.В.Якимов. - Н.Новгород, 2001.

10. O.I. Kanakov and V.D. Shalfeev. Example of image processing in a chain of bistable elements. Proceedings of the International Con-

ference dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov, Nizhny Novgorod, Russia, July 2-6, 2001. Nizhny Novgorod, Institute of Applied Physics RAS, 2002. vol. 3, p.182

11. Канаков О.И., Шалфеев В.Д. Применение решетки бистабиль-ных элементов с неидентичными характеристиками к задачам обработки изображений. Труды (шестой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения М.Т. Греховой 7 мая 2002 г. /Ред. А.ВЛкимов. - Н.Новгород, ТАЛАМ, 2002.

12. Канаков О.И., Шалфеев В.Д. Устойчивые режимы в решетке бистабильных элементов первого порядка со случайно-неидентичными нелинейностями. Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2002. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002.

13. Иванченко М.В., Канаков О.И., Мишагин К.Г. Моделирование динамики решеточных ансамблей. Труды (седьмой) научной конференции по радиофизике, посвященной 90-летию со дня рождения B.C. Троицкого 7 мая 2003 г. /Ред. А.В.Якимов. -Н.Новгород, ТАЛАМ, 2003.

14. O.I. Kanakov, V.D. Shalfeev. The Influence of the Type of Nonlinearity of the Basic Element on Pattern Formation in a Homogeneous CNN. Proceedings of the International Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics (NWP-2003). Nizhny Novgorod, Institute of Applied Physics RAS, 2003.

15. O.I. Kanakov, V.D. Shalfeev, Persistence of Edge-Detecting Properties of a CNN to Variations of the Cell Output Function, Proc. XII. European Signal Processing Conference (EUSIPCO-2004), September 6-10, 2004, Vienna, Austria. Vienna University of Technology, Vienna, 2004.

16. Иванченко M.B., Канаков О.И., Шалфеев В.Д. Модуляционная неустойчивость в решетках нелинейных консервативных осцилляторов. Труды (восьмой) научной конференции по радиофизике, посвященной 80-летию со дня рождения Б.Н. Гершмана 7 мая 2004 г. /Ред. А.В.Якимов. - Н.Новгород, ТАЛАМ, 2004.

17. S. Flach, М. Ivanchenko, and O.I. Kanakov. Periodic solutions to the Fermi-Pasta-Ulam system: continuation of single-mode orbits of a linear chain. Proc. Int. Symposium Topical Problems of

Nonlinear Wave Physics (NWP-2005). NWP-1 Nonlinear dynamics: theory and applications. Nizhny Novgorod, Institute of Applied Physics RAS, 2005. 18. Канаков О.И., Иванченко M.B., Флах С. Q-бризеры в двумерных и трехмерных системах Ферми-Паста-Улама. Нелинейные волновые процессы, конференция молодых ученых, Нижний Новгород, 1 - 7 марта 2006 г., тез. докл. - Нижний Новгород, ИПФ РАН, 2006. С.77-78.

Оглавление диссертации Введение

1. Колебательные структуры в ансамблях осцилляторов с одно-ямным потенциалом. Дискретные бризеры

1.1. Дискретные бризеры как точные решения

1.2. Модуляционная неустойчивость как физический механизм формирования дискретных бризеров

2. Колебательные структуры в пространстве нормальных мод. q-бризеры

2.1. Модель Ферми-Паста-Улама и д-бризеры

2.2. Свойства симметрии д-бризеров

2.3. Численные методы построения д-бризеров

2.4. Локализация ^-бризеров в пространстве мод

2.5. Устойчивость ^-бризеров

2.6. Масштабно-инвариантные свойства д-бризеров

3. Стационарные структуры в ансамблях диссипативных осцилляторов с двухъямным потенциалом

3.1. Сети бистабильных элементов с кусочной нелинейностью

3.2. Структурообразование в обобщенных моделях сетей бистабильных элементов

3.3. Сравнение процессов установления структур в решетках с кусочно-линейной и спадающей нелинейностями

Основные результаты и выводы Список литературы

Подписано в печать 29.03.2007 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл. п. л. 1. Заказ № 364. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Н. Новгород, ул "Б. Покровская, 37

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Канаков, Олег Игоревич

Введение

1 Колебательные структуры в ансамблях осцилляторов с одноямным потенциалом. Дискретные бризеры

1.1 Дискретные бризеры как точные решения.

1.1.1 Понятие дискретных бризеров. Существование дискретных бризеров.

1.1.2 Количественные характеристики дискретных бризеров

1.2 Модуляционная неустойчивость как физический механизм формирования дискретных бризеров.

1.2.1 Дискретные бризеры в модели Клейна-Гордона

1.2.2 Дискретные бризеры и ротобризеры в модели Такено-Пейрара.

Выводы.

Рисунки к главе 1.

2 Колебательные структуры в пространстве нормальных мод. ^-бризеры

2.1 Модель Ферми-Паста-Улама и д-бризеры.

2.1.1 Модель Ферми-Паста-Улама

2.1.2 Проблема Ферми-Паста-Улама.

2.1.3 Понятие д-бризера.

2.1.4 Непрерывное продолжение одномодовых орбит. Существование д-бризеров.

2.2 Свойства симметрии д-бризеров

2.2.1 Обратимость во времени.

2.2.2 Пространственная четность.

2.2.3 Масштабная инвариантность.

2.3 Численные методы построения д-бризеров.

2.3.1 Структура метода.

2.3.2 Выбор секущей и подмногообразия поиска.

2.3.3 Методы с секущей по импульсу в прямом и модовом пространстве

2.4 Локализация д-бризеров в пространстве мод.

2.4.1 д-бризеры в низкочастотной области спектра

2.4.2 д-бризеры в высокочастотной области спектра

2.5 Устойчивость д-бризеров.

2.6 Масштабно-инвариантные свойства д-бризеров.

Выводы.

Рисунки к главе 2.

3 Стационарные структуры в ансамблях диссипативных осцилляторов с двухъямным потенциалом

3.1 Сети бистабильных элементов с кусочной нелинейностью

3.1.1 Структурообразование и обработка изображений

3.1.2 Состояния равновесия.

3.2 Структурообразование в обобщенных моделях сетей бистабильных элементов.

3.2.1 Решетки со слабонеидентичными нелинейностями

3.2.2 Решетки со спадающей нелинейностью

3.3 Сравнение процессов установления структур в решетках с кусочно-линейной и спадающей нелинейностями.

3.3.1 Системы без инерционности.

3.3.2 Системы с инерционностью.

Выводы.

Рисунки к главе 3.

Основные результаты

Введение диссертация по физике, на тему "Структуры и локализация энергии в нелинейных решеточных системах"

Актуальность темы работы

Интерес к нелинейным решеточным моделям обусловлен большим разнообразием реальных систем, описываемых этими моделями. В качестве примера таких систем можно привести кристаллические решетки [1, 2, 3], антиферромагнитные материалы [7], биологические ткани, а также многие искусственные системы, имеющие решеточную структуру: решетки связанных волноводов [4], микромеханических осцилляторов [5], джозефсоновских контактов [6], специальные электронные схемы [8, 9], энергосети.

В рамках проблемы переноса энергии в решеточных системах представляют интерес долгоживущие колебательные возбуждения, локализованные в пространстве — дискретные бризеры, впервые обнаруженные численно в работах [14, 15, 16]. Строгое доказательство существования периодических (а значит, имеющих бесконечное время жизни) локализованных решений было получено в работе [17]. Дискретные бризеры характеризуются экспоненциальным спаданием амплитуды колебаний с удалением от центральной частицы, совершающей колебания с максимальной амплитудой.

В отличие от известных ранее бризеров в системах с непрерывной пространственной координатой (в частности, в уравнении синус-Гордона [18, 19]), которые теряют локализацию при малом изменении уравнений движения [20, 21, 22], дискретные бризеры существуют в гамиль-тоновых решеточных системах весьма общего вида [17]. В этом смысле дискретные бризеры не являются «редкими» математическими объектами. Кроме того, была показана устойчивость таких решений в линейном приближении 1 для некоторых систем в широком диапазоне параметров [23].

Однако, множество дискретных бризеров как точных периодических решений в фазовом пространстве решеточной системы имеет меру нуль,

1что означает лишь отсутствие экспоненциального нарастания малых отклонений от решения и не означает, вообще говоря, орбитальной устойчивости или устойчивости по Ляпунову что означает нулевую вероятность реализации такого точного периодического решения в физической системе. Поэтому говорят также о дискретных бризерах в «физическом смысле» как о решениях, характеризующихся пространственной локализацией энергии, имеющей, в отличие от точных периодических решений, конечное время жизни.

Одним из возможных физических механизмов генерации таких локализованных возбуждений является модуляционная неустойчивость бегущей волны [24, 25, 26]. Действие этого механизма было подтверждено в эксперименте с одномерными антиферромагнетиками [7].

В то же время, в литературе отсутствует систематическое исследование данного механизма. В частности, открыты вопросы о влиянии энергии исходной волны на процесс генерации дискретных бри-зеров, об эволюции систем на больших временах после формирования дискретных бризеров, о действии модуляционной неустойчивости в решетках размерности выше единицы. В диссертации (см. mote. [27]) эти вопросы исследуются на примере одномерных и двумерных решеток линейно-связанных нелинейных осцилляторов (дискретный аналог модели Клейна-Гордона).

В системах с периодическим потенциалом, где каждая координата определена по модулю 2тг и имеет смысл фазы, помимо колебательных дискретных бризеров, возможны также локализованные вращательные решения — ротобризеры [28]. Системы такого типа исследуются, например, при моделировании динамики ансамблей связанных джозефсонов-ских контактов, круговых маятников, электрогенераторов включенных в общую энергосеть.

В ротобризерном решении одна из фаз неограниченно нарастает со временем (элемент совершает вращение), а остальные колеблются с амплитудами, спадающими при удалении от вращающегося элемента. Такие решения были впервые численно получены заданием специальных начальных условий (на одном из элементов задается начальная скорость достаточно большой величины), а также при моделировании системы в равновесии с термостатом [28]. Существование таких решений было строго доказано в работе [29].

Вопрос о генерации ротобризеров из бегущей волны вследствие модуляционной неустойчивости остается открытым. Кроме того, представляет значительный интерес (в том числе, с точки зрения при-лоэюений) вопрос о возможности управления этим процессом с помощью внешнего воздействия. Эти вопросы исследуются в диссертации на примере одномерных консервативных и диссипативных цепочек с косинусоидальными потенциалами парциального осциллятора и взаимодействия (модель Такено-Пейрара [28]).

Проблеме моделирования процесса установления теплового равновесия непосредственно на основе уравнений движения был посвящен первый в истории численный эксперимент на решеточной модели — работа Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улама (ФПУ) [30]. В работе ФПУ был продемонстрирован эффект локализации энергии в пространстве мод нелинейной системы, а также квазирегулярный характер динамики системы (возвращаемостъ траектории в окрестность начальных условий на временах, существенно меньших ожидаемого масштаба времени возвращения Пуанкаре). Эти результаты составляют основу классической проблемы ФПУ.

Со времени опубликования работы [30] были получены теоретические результаты, которые позволили качественно и количественно объяснить многие аспекты проблемы ФПУ

Так, КАМ-теорема [31, 32, 33, 34] (А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, J. Moser) утверждает о сохранении инвариантных торов (квазипериодических движений) в системах, близких к интегрируемым, в некотором интервале значений параметра возмущения при определенных условиях. Заметим, однако, что эта теорема неприменима напрямую к системе ФПУ (не выполняется требование анизохронизма в невозмущенной системе).

В работе [35] в рамках непрерывного приближения (уравнение Корте-вега - де Фриса) было получено решение в виде набора солитонов, что дало оценку времени возвращений, хорошо согласующуюся с результатом численного расчета ФПУ. Однако, факт локализации энергии в низших модах принимается как постулат при переходе к непрерывному пределу, а значит, в рамках данного приближения не объясняется.

В работе [36] было указано на связь равнораспределения энергии с явлением динамического хаоса и обнаружено характерное значение энергии системы, от соотношения с которым зависит скорость процесса равнораспределения энергии («порог равнораспределения»). Была также получена первая аналитическая оценка этого порога на основе критерия перекрытия нелинейных резонансов [38]. Позже были получены другие аналитические [40, 41] и численные [42, 45, 47] оценки характерных пороговых значений энергии, в том числе, порог «слабого хаоса» - хаотического режима, в котором, однако, сохраняется локализация энергии в пространстве мод на больших временах [40].

Вышеперечисленные работы по проблеме ФПУ посвящены исследованию сложных непериодических и хаотических решений. В силу сложности этих режимов, в частности, наличия экспоненциально больших временных масштабов [49], проблема локализации энергии в пространстве мод решеточных систем до настоящего времени полностью не решена (см., например, обзоры [50, 51], специальный выпуск журнала CHAOS [52]).

Оказывается, аналогичный подход может быть применен к исследованию проблемы локализации энергии в пространстве нормальных мод. Как следует из теоремы, доказанной A.M. Ляпуновым [53], в окрестности состояния равновесия системы ФПУ из N частиц для достаточно малых энергий существует N периодических орбит, в линейном пределе переходящих в одномодовые решения. В силу аналогии с дискретными бризерами (периодичность во времени, экспоненциальная локализация), такие орбиты были названы q-бризерами (Иванченко М.В., Канаков О.И., Флах С.) [56, 57J. Следует оэ/сидать, что свойства этих орбит позволяют охарактеризовать такэюе и поведение других (в том числе, сложных) решений в их окрестности. Однако, свойства таких орбит в модели ФПУ в литературе не исследовались. В то же время, свойства ляпуновских орбит в нелинейных решеточных системах представляют и самостоятельный интерес как важные характеристики нелинейной динамики этих систем, вне непосредственного контекста проблемы ФПУ.

С точки зрения возможных приложений (синхронизация и аварии в энергосетях, задачи параллельной обработки изображений [8, 9, 10, 11,

12,13]), представляет интерес проблема управления образованием структур в решеточных системах. Один из частных случаев этой проблемы (задача управления образованием ротобризеров) упоминался выше.

Проблема управления структурообразованием может также быть рассмотрена на упрощенной модели в виде решетки связанных бистабиль-ных элементов с двухъямным потенциалом и диссипацией. Исследование таких систем в литературе в основном ограничивалось рассмотрением случая кусочно-заданной нелинейности определенного вида (Ь.О. СЬиа, Л.А. Моввек и др.). В частности, известен метод, позволяющий найти все устойчивые состояния равновесия такой системы, а также спроектировать систему, имеющую заданные состояния равновесия. Результаты же для систем с нелинейностью общего вида ограничиваются рассмотрением случая линейной диффузионной связи (см., например, [58]).

Таким образом, актуальна проблема исследования возможностей управления структурообразованием в обобщенной модели решетки биста-билъных элементов с двухъямным потенциалом.

Исходя из приведенного обзора актуальных проблем теории струк-турообразования и локализации энергии в решеточных системах, были сформулированы цели настоящей работы.

Цели работы

1. Исследование механизма локализации энергии и генерации дискретных бризеров и ротобризеров из бегущей волны вследствие модуляционной неустойчивости в решетках осцилляторов с точки зрения проблемы реализуемости дискретных бризеров в физических процессах

2. Отыскание (/-бризеров и исследование их свойств с точки зрения проблемы локализации энергии в пространстве нормальных мод нелинейных решеточных систем

3. Исследование возможности управления процессом образования структур в моделях решеток бистабильных элементов, интерпретация результатов с точки зрения задач обработки изображений

Научная новизна

Проведено систематическое исследование явления генерации локализованных возбуждений (дискретных бризеров) в дискретных нелинейных системах из слабозашумленной бегущей волны вследствие модуляционной неустойчивости на примере дискретного аналога уравнения Клейна-Гордона в одномерном и двумерном случаях. Двумерный случай рассмотрен впервые. В одномерном случае исследован характер зависимости процесса генерации дискретных бризеров от величины средней энергии в системе. Исследована эволюция системы на временах, существенно превышающих имеющиеся в литературе результаты.

Исследован процесс генерации ротобризеров вследствие модуляционной неустойчивости в одномерной модели Такено-Пейрара без диссипации, а также с диссипацией и внешним моментом. Продемонстрирована возможность управления этим процессом за счет неоднородного распределения величины внешнего момента.

Построена конструктивная математическая схема построения д-бризеров - периодических локализованных решений в пространстве нормальных мод - методом непрерывного продолжения одномодового решения линейной системы на ненулевые значения параметра нелинейности. На основе этой схемы разработан численный метод отыскания д-бризеров в нелинейных решеточных системах. Этот метод применен к исследованию свойств д-бризеров на примере модели /?-ФПУ.

Проведен асимптотический анализ свойств локализации д-бризеров в пространстве нормальных мод и их устойчивости на примере модели (3-ФПУ. Исследованы свойства симметрии д-бризеров, в частности, показана инвариантность локализационных свойств д-бризеров по отношению к масштабированию размера системы.

Рассмотрена задача управления образованием стационарных структур в решетках бистабильных элементов с недиффузионными связями. Для систем без инерционности получена аналитическая оценка расположения аттракторов и их областей притяжения для двух способов задания нелинейности: (1) неидентичные нелинейности общего вида с ограничением на максимальное отклонение от заданной кусочно-линейной функции; (и) нелинейность со спадающими ветвями - типичная характеристика частотного дискриминатора.

Положения, выносимые на защиту

2. Ляпуновские периодические орбиты нелинейных решеточных систем - д-бризеры, в отличие от сложных непериодических и хаотических решений, допускают практически исчерпывающее исследование, которое проведено в данной работе на примере модели /3-ФПУ. Свойства этих орбит позволяют охарактеризовать также и поведение других (в том числе, сложных) решений в их окрестности. А именно, в работе воспроизведены с единых позиций основные качественные и количественные результаты, связанные с проблемой ФПУ (явление локализации в пространстве мод, пороги слабого хаоса и равнораспределения).

3. Установлено, что в решетках нелинейно связанных бистабильных элементов с различными типами нелинейности возможно целенаправленное формирование структур, в частности применительно к задачам обработки изображений. Теоретической основой для такого управления служит проведенный анализ поглощающих областей в фазовом пространстве системы. Неточность воспроизведения заданной структуры зависит от параметров системы. Проведенные численные исследования позволяют сформулировать рекомендации по минимизации этой неточности на примере решеточной системы, ориентированной на задачу выделения контуров.

Методы исследования и достоверность научных результатов

Научная и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты представляют интерес с точки зрения фундаментальных проблем переноса и локализации энергии, а также структурообразования в нелинейных решеточных системах. Кроме того, представленные результаты могут иметь практическое применение в задачах, связанных с динамикой решеточных систем: синхронизации и предотвращения аварий в энергосетях, параллельной обработки изображений с помощью специальных решеточных схем, создания микро- и наномеханических систем.

Личный вклад автора

В совместных работах автор принимал непосредственное участие в выборе направлений исследований и постановке основных задач. Все представленные результаты получены лично автором.

Апробация работы и публикации.

Результаты исследований были представлены на международном семинаре NDMLET06 "Nonlinear Dynamics of Acoustic Modes in Finite Lattices: Localization, Equipartition, Transport" («Нелинейная динамика акустических мод в конечных решетках: локализация, равнораспределение, транспорт») 6-8 декабря 2006 г., Max Planck Institut fur Physik Komplexer Systeme, Дрезден, Германия, 13-й Международной конферен-ции IEEE по нелинейной динамике электронных систем "NDES-2005" (г. Потсдам, Германия), конференциях молодых ученых «Нелинейные волновые процессы» в рамках научных школ «Нелинейные волны - 2002, 2004, 2006» (г. Н.Новгород), 12-й Европейской конференции по обработке сигналов "EUSIPCO-2004" (г. Вена), международных симпозиумах "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (г. Н.Новгород, 2003, 2005 гг.), международной конференции "Progress in nonlinear science" (г. Н.Новгород, 2001 г.), 2-м и 3-м Международных научно-практических семинарах "Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах" (г. Н.Новгород, 2002, 2003 гг.), 5-й, б-й, 7-й и 8-й Научных конференциях по радиофизике (г.Н.Новгород, 2001, 2002, 2003, 2004, гг.), научных школах-конференциях "Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2000, 2002, 2003" (г. Саратов).

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты

Проведено исследование механизма локализации энергии и генерации дискретных бризеров и ротобризеров из бегущей волны вследствие модуляционной неустойчивости в решетках осцилляторов с точки зрения проблемы реализуемости дискретных бризеров в физических процессах. В том числе:

1. Численно изучен процесс формирования дискретных бризеров в дискретной модели Клейна-Гордона в зависимости от энергии начальной волны. Впервые рассмотрен двумерный случай. В одномерном случае изучена эволюция системы на временах, существенно превышающих масштабы, рассмотренные в литературе.

2. Продемонстрировано возникновение ротобризеров вследствие модуляционной неустойчивости со случайным (в консервативной модели Такено-Пейрара) и определенным (в диссипативной модели с внешним моментом) направлением вращения. Показана возможность целенаправленного формирования ротобризеров в диссипативной модели с неоднородным внешним воздействием.

Таким образом установлено, что модуляционная неустойчивость бегущей волны представляет собой универсальный механизм генерации локализованных возбуждений в нелинейных решеточных системах.

Исследованы свойства д-бризеров с точки зрения проблемы локализации энергии в пространстве нормальных мод нелинейных решеточных систем. В том числе:

1. Построена конструктивная математическая схема построения д-бризеров методом непрерывного продолжения одномодового решения. На основе этой схемы разработан численный метод отыскания д-бризеров в нелинейных решеточных системах.

2. Исследованы свойства симметрии д-бризеров, в частности, инвариантность по отношению к масштабированию размера системы.

3. Проведен асимптотический анализ локализации и устойчивости д-бризеров в модели /3-ФПУ. Получены оценки порога устойчивости и характерной энергии делокализации д-бризера, которые хорошо согласуются с имеющимися в литературе оценками порогов слабого хаоса и равнораспределения, соответственно.

4. Проведено численное исследование д-бризеров в модели /3-ФПУ, продемонстрировано согласие с аналитическими результатами. Проведено численное исследование свойств локализации д-бризеров в терминах масштабно-инвариантных интенсивных параметров: волновых чисел и средних плотностей энергии.

Таким образом показано, что д-бризеры, в отличие от сложных непериодических и хаотических решений, допускают практически исчерпывающее исследование. Свойства этих орбит позволяют охарактеризовать также и поведение других (в том числе, сложных) решений в их окрестности. А именно, в работе воспроизведены с единых позиций основные качественные и количественные результаты, связанные с проблемой ФПУ (явление локализации в пространстве мод, пороги слабого хаоса и равнораспределения энергии).

Исследована возможность управления процессом образования структур в моделях решеток бистабильных элементов с точки зрения задач обработки изображений. В том числе:

1. Получена аналитическая оценка расположения аттракторов и их областей притяжения в решетках бистабильных элементов первого порядка с недиффузионными связями для двух способов задания нелинейности: (1) неидентичные нелинейности общего вида с ограничением на максимальное отклонение от заданной кусочно-линейной функции; (11) нелинейность со спадающими ветвями - типичная характеристика частотного дискриминатора.

2. Для двух частных типов нелинейности (кусочно-линейная функция и функция со спадающими ветвями) в системе, ориентированной на задачу выделения контуров, численно исследован эффект формирования шахматного паттерна как мешающего фактора. Результат обобщен на систему с инерционностью (парциальный элемент второго порядка).

Таким образом установлено, что в решетках нелинейно связанных бистабильных элементов с различными типами нелинейности возможно целенаправленное формирование структур. С точки зрения прикладного применения решеточных систем к задачам обработки изображений, показано, что замена нелинейности парциальных элементов с кусочно-линейной функции на другие типы нелинейности при определенных условиях не приводит к нарушению функционирования системы и позволяет реализовать новые возможности.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Канаков, Олег Игоревич, Нижний Новгород

1. Драгунов Т.Н., Павлов И.С., Потапов А.И. Ангармонические взаимодействия упругих и ротационных волн в одномерных кристаллах //Физика твердого тела, 1997, т.39, №1, с. 137.

2. A.I. Potapov, I.S. Pavlov, G.A. Maugin, Nonlinear wave interactions in ID crystals with complex lattice //Wave Motion, 1999, vol.29, p.297.

3. A.I. Potapov, I.S. Pavlov, K.A. Gorshkov, G.A. Maugin, Nonlinear interactions of solitary waves in a 2D lattice //Wave Motion, 2001, vol.34, p.83.

4. J.W. Fleischer, T. Carmon, M. Segev, N.K. Efremidis, D.N. Christodoulides, Observation of Discrete Solitons in Optically Induced Real TimeWaveguide Arrays //Phys. Rev. Lett., 2003, vol. 90, No. 2, p. 023902.

5. M. Sato, В. E. Hubbard, A. J. Sievers, B. Ilic, D. A. Czaplewski, H.G. Craighead, Observation of Locked Intrinsic Localized Vibrational Modes in a Micromechanical Oscillator Array //Phys. Rev. Lett, 2003, vol. 90, No. 4, p. 044102.

6. P. Binder, D. Abraimov, A. V. Ustinov. Diversity of discrete breathers observed in a Josephson ladder //Phys. Rev. E, 2000, vol. 62, No. 2, p. 2858.

7. M. Sato, A.J. Sievers, Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an antiferromagnet //Nature, 2004, vol. 432, pp. 486-488.

8. Chua L.O., Yang L. Cellular neural networks: Theory //IEEE Trans. Cirquits. Syst., 1988, vol. 35, p.1257

9. Chua L.O., Yang L. Cellular neural networks: Applications //IEEE Trans. Cirquits. Syst., 1988, vol. 35, p.1273

10. Яхно В.Г. Процессы самоорганизации в распределенных нейроподоб-ных системах. Примеры возможных применений //Нейроинформати-ка 2001. Лекции по нейроинформатике, М.: МИФИ, 2001, стр. 103

11. Radu Dogaru, "Emergent Computation in Cellular Neural Networks", World Scientific Series on Nonlinear Science, Imperial College Press, ISBN 981-238-102-3, 2003 http://www.wspc.com/books/chaos/5053.html

12. L. Chua and T. Roska, "Cellular neural networks and visual computing Foundations and applications", Cambridge University Press, ISBN 052165-247-2, 2002

13. M.A. Vorontsov, Parallel image processing based on an evolution equation with anisotropic gain: integrated optoelectronic architectures, J. Opt. Soc. Am., Vol. 16, No. 7, p. 1623 (1999).

14. Овчинников A.A. //ЖЭТФ, т. 57, с. 263, 1969.

15. Takeno S., Kisoda K., Sievers A.J. Intrinsic localized vibrational modes in anharmonic crystals //Prog. Theor. Phys. Suppl., 1988, vol. 94, pp.242269.

16. Campbell D.K., Peyrard M. Chaos and order in nonintagrable model field theories //CHAOS Soviet-American Perspectives on Nonlinear Science (ed. D.K. Campbell), American Institute of Physics, New York, 1990, pp.305-334.

17. R. S. MacKay, S. Aubry, Proof of existence of breathers for time-reversible or hamiltonian networks of weakly coupled oscillators, Nonlinearity 7 (1994) 1623.

18. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.C., Segur H. //Stud. Appl. Math., 1974, vol.53, p.249.

19. Островский Jl.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.:Физматлит, 2003, сс.359-362.

20. Segur Н., Kruskal M.D. //Phys. Rev. Lett., 1987, vol.58 pp.747-50.

21. Kitchenassamy S. Breather solutions of nonlinear wave equations //Commun. Pure Appl. Math., 1991, vol.44, pp.789-818.

22. Denzler J. Nonpersistence of breather families for the perturbed sine Gordon equation //Commun. Math. Phys., 1993, vol.158, pp.397-430.

23. S. Aubry, Breathers in nonlinear lattices: existence, linear stability and quantization, //Physica D, 1997, vol.103, p.201.

24. Yu. S. Kivshar and M. Peyrard, Modulational Instabilities in Discrete Lattices, Phys. Rev. A 46 (1992) 3198.

25. I. Daumont, T. Dauxois, M. Peyrard, Modulational instability: first step towards energy localization in nonlinear lattices, Nonlinearity 10, (1997) 617 .

26. M. Peyrard, The pathway to energy localization in nonlinear lattices, PhysicaD, 119, (1998) 184.

27. M.V. Ivanchenko, O.I. Kanakov, V.D. Shalfeev, S. Flach. Discrete Breathers in Transient Processes and Thermal Equilibrium //Physica D, 2004, vol.198, p.120.

28. Takeno S., Peyrard M. Nonlinear modes in coupled rotator models //Physica D, 1996, vol.92, pp. 140-63.

29. J. L. Marin, S. Aubry, Breathers in nonlinear lattices: Numerical calculation from the anticontinuous limit, Nonlinearity 9 (1996) 1501.

30. E. Fermi, J. Pasta, and S. Ulam, Los Alamos Report LA-1940, (1955); also in: Collected Papers of Enrico Fermi, ed. E. Segre, Vol. II (University of Chicago Press, 1965) p.978; Many-Body Problems, ed. D. C. Mattis (World Scientific, Singapore, 1993).

31. Колмогоров A.H. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона //ДАН СССР, 1954, т.98, т, сс.527-530.

32. Арнольд В.И. Малые знаменатели II: Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона //УМЫ, 1963, т.18, вып.5, сс.13-40.

33. Мозер Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды //УМЫ, 1969, т.24, вып.2, сс. 165-211.

34. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.:Едиториал УРСС, 2003, сс.320-335.

35. N. J. Zabusky and M. D. Kruskal, Phys. Rev. Lett. 15, 240-243 (1965).

36. Израилев Ф.М., Чириков Б.В. препринт Института ядерной физики, Новосибирск, 1965.

37. Израилев Ф.М., Чириков Б.В. //ДАН СССР 166, 57 (1966) Soviet. Phys. Dokl. 11, 30 (1966)].

38. В. V. Chirikov, Atomnaya Energia 6, 630 (1959)

39. J.Nucl. Energy Part C: Plasma Phys. 1, 253 (1960).

40. J. De Luca, A. J. Lichtenberg, and M. A. Lieberman, CHAOS, 5, 283 (1995).

41. D.L. Shepelyansky, Low-energy chaos in the Fermi-Pasta-Ulam problem, Nonlinearity 10, 1331 (1997).

42. P. Bocchierri, A. Scotti, B. Bearzi, and A. Loigner, Phys. Rev. A 2, 2013 (1970)

43. L. Galgani and A. Scotti, Phys. Rev. Lett. 28, 1173 (1972);

44. A. Patrascioiu, Phys. Rev. Lett. 50, 1879 (1983).

45. H. Kantz, Physica D 39, 322 (1989)

46. H. Kantz, R. Livi and S. Ruffo, J. Stat. Phys. 76, 627 (1994).

47. L. Casetti, M. Cerruti-Sola, M. Pettini and E. G. D. Cohen, Phys. Rev. E 55, 6566 (1997).

48. Berchialla L., Galgani L. and Giorgilli A., Localization of energy in FPU chains, Discrete Contin. Dyn. Syst., 11 (2004), p.855.

49. L. Berchialla, A. Giorgilli and S. Paleari, Exponentially long times to equipartition in the thermodynamic limit //Phys. Lett. A 321, 167 (2004).

50. J. Ford, Phys. Rep. 213, 271 (1992).

51. G. P. Berman and F. M. Izrailev, CHAOS 15, 015104 (2005).

52. CHAOS 15 Nr.l (2005), Focus Issue The Fermi-Pasta-Ulam problem -The first fifty years, Eds. D. K. Campbell, P. Rosenau and G. M. Zaslavsky.

53. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения (докторская диссертация), 1892.

54. A.M. Lyapunov. The General Problem of the Stability of Motion, Taylor & Francis, London, 1992, pp.166-180.

55. Conway J.H. and Jones A.J. Trigonometric diophantine equations (On vanishing sums of roots of unity) //Acta Arithmetica, vol. XXX (1976), p. 229.

56. S. Flach, M.V. Ivanchenko, O.I. Kanakov, g-Breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem, Phys. Rev. Lett. 2005, vol.95, p.064102.

57. Flach S., Ivanchenko M.V., Kanakov O.I. g-Breathers in Fermi-Pasta-Ulam chains: Existence, localization, and stability //Phys. Rev. E, 2006, vol.73, p.036618.

58. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Spatial disorder and pattern formation in lattices of coupled bistable elements //Physica D, 1997, vol. 100, p. 330

59. S.Flach, C.R.Willis, Discrete breathers, Phys. Reports, 295 (1998) 181264.

60. S. Flach, С. R. Willis and E. Olbrich, Integrability and localized excitations in nonlinear discrete systems, Phys. Rev. E 49 (1994) 836.

61. S. Flach, K. Kladko and C. R. Willis, Localized excitations in two-dimensional lattices, Phys. Rev. E 50 (1994) 2293.

62. S. Flach, K. Kladko, R. S. MacKay, Energy thesholds of discrete breathers in one-, two- and three-dimensional lattices, Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 1207.

63. A.M. Косевич, А.С.Ковалев. Самолокализация колебаний в одномерной ангармонической цепочке //ЖЭТФ 1974 Т.67 Вып. 5(11). С.1793.

64. Т. Cretegny, Т. Dauxois, S. Ruffo and A. Torcini, Localization and equipartition of energy in the beta-FPU chain: Chaotic breathers, Physica D 121 (1998) 109.

65. M. Johansson, A. M. Morgante, S. Aubry and G. Kopidakis, Standing wave instabilities, breather formation and thermalization in a Hamiltonian anharmonic lattice, Eur. Phys. J. В 29 (2002) 279.

66. P. C. Hemmer, L. C. Maximon, H. Wergerland, Phys. Rev. Ill, 689 (1958).

67. F. Fucito, F. Marchesoni, E. Marinari, G. Parisi, L. Peliti, S. Ruffo, and A. Vulpiani //J. Phys. Paris, vol.43, p.707, 1982.

68. R. Livi, M. Pettini, S. Ruffo, M. Sparpaglione, and A. Vulpiani //Phys. Rev. A, vol.28, p.3544, 1983.

69. J. H. Hubbard, В. H. West. Differential Equations: A Dynamical Systems Approach, Springer Verlag, 224-229 (1995).

70. M.V. Ivanchenko, O.I. Kanakov, K.G. Mishagin, S. Flach, (/-Breathers in Finite Two- and Three-Dimensional Nonlinear Acoustic Lattices //Phys. Rev. Lett., 2006, vol.97, p.025505.

71. R. L. Bivins, N. Metropolis, and J. R. Pasta, J. Comput. Phys. 12, 65 (1973); B. Rink, Physica D 175, 31 (2003).

72. G. M. Chechin, N. V. Novikova, A. A. Abramenko, Physica D 166, 208 (2002)

73. J.R. Dormand, P. J. Prince. A family of embedded Runge-Kutta formulae. J. Comp. Appl. Math., Vol. 6, 1980, pp. 19-26.

74. J.E. Dennis Jr. Nonlinear Least-Squares //State of the Art in Numerical Analysis, ed. D. Jacobs, Academic Press, pp. 269-312.

75. J. DeLuca, A. J. Lichtenberg and S. Ruffo, Phys. Rev. E 51, 2877 (1995).

76. Raglin A., Vorontsov M., Chouikha M., Winner take all in a large array of opto-electronic feedback circuits for image processing, 2002 International Conference on Image Processing, 22-25 Sept. 2002, Vol. 2, pp. 11-349 II-352.

77. Zou F., Nossek J.A. Bifurcation and Chaos in Cellular Neural Networks //IEEE Trans. Cirquits. Syst., 1993, vol. 40, No. 3, p. 166

78. Zou F., Schwarz S., Nossek J.A. Cellular neural networks design using a learning algorithm //Proc. Int. Workshop on Cellular Neural Networks and their Applications CNNA-90, Budapest, 1990, p. 73

79. Kanakov O.I., Shalfeev V.D., Forti G.L. Stationary Patterns in CNNlike Ensembles with Modified Cell Output Functions //Int. J. Bifurcation and Chaos, 2006, vol.16, No.7, pp.2207 2220.

80. Канаков О.И., Шалфеев В.Д. Формирование стационарных структур в решетках бистабильных элементов с двумя типами нелинейности. //Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2005, т.13, №3, с. 77-89.