Модели решеточного газа в статистической теории локализованной адсорбции тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Введение

Глава I. Статистическая термодинамика решеточного газа и ее применение для описания адсорбированных монослоев

I.I, Термодинамические функции решеточного газа и упорядочение на подрешетках .•

1.2» Методы вычисления термодинамических функций решёточного газа

1.3. Решеточный газ и фазовые переходы в адсорбированных монослоях

Глава 2. Метод ветвящейся решетки.

2.1. Полный учет взаимодействий на ветвящейся решетке.

2.2. Упрощенное аналитическое рассмотрение- модели

2.3. Конечное взаимодействие ближайших соседей: модель Изинга на ветвящейся решетке

Глава 3. Вариация конечного кластера

3.1. Общая процедура метода.

3.2. Двухузельное и одноквадратное приближения

3.3. Процедура вариации расширенного кластера

3.4. Построение фазовой диаграммы монослоя Кг и Хе на поверхности графита методом вариации расширенного кластера

Глава 4. Разложения в ряды

4.1. Разложение на подрешетках и метод производящих функций.

4.2. Техника вычисления слагаемых частичных производящих функций.

4.3. Исследование низкотемпературных разложений

Интенсивное-развитие в настоящее время статистической теории систем многих взаимодействующих частиц обусловлено. принципиальной важностью создания.методов теоретического описания таких систем, что в первую очередь диктуется очевидными практическими соображениями. Не требуется пояснять, насколько существенным как с теоретической, так и с технологической точки зрения явилось бы полное понимание свойств конденсированных молекулярных.систем, таких, как жидкости, плотные газы.или твердые тела; еще более заманчивой представляется возможность описания, фазовых превращений. Создание.единой теории многочастичных систем представляется, однако, возможным разве что в отдаленном будущем;.на современном этапе развиваются отдельные направления этой общей проблемы, одним из которых является метод решеточного, газа. .

Решеточный газ представляет, собой модель системы молекул, центры которых могут занимать не-произвольные положения в пространстве, а только такие, которые, образуют .некоторую, правильную геометрическую решетку. Говорят,, что.молекула находится в некотором, узле решетки, имея в виду положение .ее центра, также и в тех случаях»-, когда размеры молекулы настолько .велики,- .что. .не .позволяют другим молекулам занимать. не только этот, но. и некоторые другие-расположенные, рядом узлы. Взаимодействие двух молекул.решеточного.газа не ограничивается, только исключением некоторых конфигураций.вследствие наличия твердах ядер; более, удаленные .молекулы.могут, взаимодействовать между собой посредством.некоторого.конечного потенциала, в общем случае зависящего от взаимного расположения /и ориентации/ молекул.

Вычисление термодинамических свойств такой системы, в сущности, аналогично вычислению их для обычного газа взаимодействующих частиц, и. отличается от последнего - лишь переходом от трудновыполнимого континуального интегрирования - по координатам молекул к суммированию по всевозможным расположениям молекул в узлах решетки. В зависимости от конкретных значений, приписываемых параметрам взаимодействия, .а«также от геометрической структуры решетки, модель решеточного газа может соответствовать различным физическим системам. В частности, -двумерный решеточный газ может использоваться для. статистико-термодинамичес.кого описания слоя молекул, адсорбированных на подложке,, имеющей выраженную. 1фисталлическую структуру,. ее ли. адсорбция является в достаточной мере локализованной. Кроме того, применяя метода, разработанные для. исследования континуальных систем, для описания моделей решеточного.газа, для.которых либо получены, строгие результаты., либо достаточно хорошо известны термодинамические . функции-/рассчитанные, например, каким-либо приближенным методом/, -можно оценивать.степень точности.и применимость исследуемых континуальных методов. Необходимость .исследования моделей решеточного газа заключается также И-в том, что термодинамическое, поведение, решеточных систем во многом, напоминает поведение континуальных систем, и. изучение первых позволяет глубже понять строение-И свойства континуальных молекулярных систем. .Целью настоящей .работы является исследование, раз личных методов расчета термодинамических характеристик моделей решеточного газа и применение этих методов для объяснения некоторых характерных особенностей адсорбции на регулярных сорбентах. . . .

Научная новизна работы заключается в .разработке и усовершенствовании ряда методов теории решеточного газа применительно к моделям .решеточного газа молекул с .твердым ядром. В частности, предложен метод ветвящихся решеток для двухузельных ячеек; разработан алгоритм и составлен комплекс вычислительных процедур метода вариации расширенного кластера.; на случай.молекул с твердым.ядром и конечным взаимодействием вторых.соседей обобщен метод производящих-функций, в рамках которого, также .предложен алгоритм и разработана система вычислительных программ для расчета коэффициентов разложений термодинамических функций в степенные ряды. Эти методы применяются, к модели ре- , щеточного газа.молекул с исключением-первых и конечным взаимодействием, вторых соседей, на. квадрат ной решетке с целью исследования их относительной точности и возможности, использования для.описания термодинамики решеточных моделей.Разработанные метода применяются для.интерпретации явлений: упорядочения , в . адсорбированных субмонослоях; . в частности, при помощи процедуры, вариации расширенного кластера описаны-термодинамические свойства субмонослоев Кг и Хе , адсорбированных на поверхности /0001/ графита,. .

Диссертационная .работа состоит из четырех глав. Первая глава является вводной.и содержит постановку задачи, а также обзор литературы по теоретическим методам описания решеточного. газа и по экспериментальным результатам, касающимся термодинамики ж упорядочения.адсорбированных субмонослоев. Приближения в замкнутом виде - метод ветвящихся решеток и вариация конечного кластера - изложены во второй и третьей главе соответственно. Эти относительно.простые методы используются для качественного описания решеточных систем с целью интерпретации фазовых диаграмм адсорбированных субмонослоев. Четвертая глава посвящена методу производящих, функций, используемому для вычисления коэффициентов степенных .разложений термодинамических функций решеточных моделей. Работа заканчивается общими выводами;-в приложения вынесены описания и тексты разработанных и использованных автором вычислительных программ. Автор . защищает.: . - метод ветвящихся решеток с двухузельной ячейкой, предназначенный для расчета термодинамических функций и построения фазовых диаграмм решеточных моделей;

- процедуру вариации расширенного, кластера, представляющую собой .усовершенствование метода вариации конечного кластера, и позволяющую - последовательно улучшать - термодинамическое описание решеточных моделей.путем, построения цепочки приближений все более высокого порядка, каждое из которых использует предыдущее.в качестве начальной аппроксимации; - решеточную модель, адсорбированного субмонослоя Кг и Хе на поверхности /0001/.графита /с. эффективной зависимостью конфигурационной .и „колебательной, энергий от степени заполне-. ция/, в рамках которой, удалось описать экспериментально наблюдаемую фазовую диаграмму.;

-.обобщение метода производящих функций на модели решеточного, газа молекул с твердам ядром .и конечным .взаимодействием, вторых соседей и построенный для этого метода вычислительный алгоритм, позволяющий эффективно вычислять коэффициенты точных разложений термодинамических функций решеточных моделей в степенные ряды.

Диссертация выполнялась в соответствии с.темой "Разработка теоретических основ сорбции и ионного обмена на цриродаых дисперсных силикатах и создание на.их основе эффективных материалов для разделения нефтепродуктов, и очистки воды" /постановление Президиума АН УССР от 19.12.1979 г./; разработанные методы применяются для расчета ионообменных равновесий в - природных и синтетических минеральных .ионообменниках. Предложен^ ные в работе методы могут быть ^использованы для расчета термодинамических характеристик адсорбированных монослоев благородных газов и других ~ веществ .на адсорбентах, широко используемых в практике адсорбционно-калориметрических исследований.

ВЫВОДЫ

I. Предложенный в работе метод ветвящихся решеток с двух-узельной ячейкой позволяет вычислять термодинамические функции и строить.фазовые диаграммы решеточных систем молекул с твердыми ядрами. В более.простой модификации этого метода можно получить аналитическое решение; более точное приближение.доступно лишь численному рассмотрению. Вычисленная в более точном приближении фазовая диаграмма решеточного газа с исключением ближайших и конечным взаимодействием вторых соседей на квад- . ратной решетке качественно .согласуется с результатами, полученными цри помощи.других методов решеточной статистики.

2. Для модели решеточного, газа с исключением ближайших ж конечным взаимодействием вторых соседей на квадратной решетке аналитически рассмотрены двухузельное и одноквадратное.приближения метода вариации конечного кластера. Показано, что фазовая диаграмма этой .модели содержит три фазы - неупорядоченную .1*1 , и две-упорядоченных - -/2х VI и 2 * 1 , а также . область перехода первого рода между.первыми двумя фазами; более, тонкого расслоения на фазы, не происходит. Эти приближе--ния, а. также, более сложное, двухквадратное, приводят, однако, . и некоторым.нефизическим следствиям для случая отталкивания вторых соседей. -. . .

3,. Для рассмотрения, приближений высокого порядка в методе вариации конечного кластера,, где необходимо выполнять условную минимизацию функции многих переменных,.разработан вычислительный алгоритм и .составлена программа, позволяющая производить такие вычисления автоматически. Показано, что исходное приближение в этом методе можно формировать по решениям в приближениях.более низкого порядка.При помощи метода вариации расширенного кластера рассмотрено девятиузельное приближение - вычислены термодинамические функции и построена фазовая диаграмма модели. .

4. Сделаны обоснованные выводы о точности исследованных в работе замкнутых приближений. Показано, что точность метода ветвящихся решеток является промежуточной-между двухузельным и одноквадратным приближениями и. несколько выше точности приближения Перкуса-Йевика. Достигнутая точность позволяет интерпретировать наблюдаемые экспериментально упорядоченные фазы субмонослоев адатомов, адсорбированных на поверхности /001/ металлов. - . 5. В работе предложена модель адсорбированного субмоно,-. слоя атомов Кг и Хе. на поверхности /0001/ графита, представляющая собой решеточный газ с исключением ближайших и конечным притяжением более, удаленных.соседей на треугольной решетке и зависящими от, заполнения монослоя .конфигурационной и колебательной энергиями, которая хорошо воспроизводит фазовую диаграмму такого, адсорбата. . - . 6. Разработанный .в .диссертации метод-частичных производящих функций, совместно с предложенным алгоритмом концентрического просмотра, позволяет эффективно.вычислять коэффициенты степенных разложений.термодинамических функций решеточных моделей. При помощи, программы, реализующей „этот, алгоритм, .вычислены, разложения по степеням активности, обратной активности и низкотемпературные разложения для решеточного газа с исключением первых и конечным притяжением .вторых.соседей на квадратной решетке. Путем анализа этих разложений оценено значение трикритической температуры. . Автор выражает искреннюю благодарность академику АН УССР И.Р.Юхновскому за постоянный интерес к работе и ценные замечания, сделанные во.время обсуждения отдельных вопросов, на семинарах и научных конференциях. Автор весьма признателен профессору Ю.И.Тарасевичу, цроявившему .понимание.научной, и практичен ской ценности выполненных исследований, что во многом способствовало, завершению этой работы.Особой,благодарности заслуживает руководитель работы, к.ф.-м.н., ст.н.с. Ю.В.Шулепов, прояви лявший большое внимание к работе на всех этапах ее выполнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные в работе результаты можно рассматривать в не-, скольких аспектах. Основным содержанием работы является разработка различных приближенных методов.исследования термодинамического поведения моделей решеточного газа. Поскольку вдали от областей фазовых переходов даже наиболее,грубые приближенные методы дают, как правило, достаточно хорошие численные результаты, то при разработке и оценке качества различных приближенных методов они.рассматривались с. точки зрения правильного воспроизведения особенностей термодинамического поведения системы тленно в области фазовых переходов и в критической,области. . .В работе рассматривались три приближенных.метода решеточной статистики.Первые два -.метод, ветвящихся решеток .и метод, вариации конечного кластера - тесно связаны между собой, и позволяют получать решения в замкнутом виде, т.е. приближенные выражения, для активности.- в методе ветвящихся решеток, или сво- . бодной.энергии - в методе вариации конечного кластера, как функции плотности.и температуры. Получение таких замкнутых приближений основано на пренебрежении дальними непрямыми корреляциями, в.системе.: для ветвящейся решетки это достигается заменой исходной .решетки структурой типа дерева, в которой.отсутствуют решеточные .циклы большой протяженности, а для. метода вариации конечного кластера.- исключением из вириального разложения неприводимых вкладов от майеровских диаграмм, вписанных в кластеры, большие, базисного. Упомянутые выше зависимости термодинамических функций от плотности и температуры можно получать в виде аналитических выражений лишь для наиболее простых приближений, описывающих систему с относительно низкой точностью. В общем случае эти зависимости являются параметрическими, выражаясь через решения систем сильно нелинейных уравнений для метода ветвящихся решеток, либо через решения систем линейных уравнений связи и стационарные значения функции многих переменных -для метода вариации конечного кластера. В последнем случае не только решение системы, но даже ее построение является весьма трудоемкой задачей, для решения которой был разработан алгоритм, получивший название метода вариации расширенного кластера, и составлена система программ, реализующая этот алгоритм.

Приближенные методы, описанные в гл. 2 и 3. позволяют получать-хорошее термодинамическое описание решеточных моделей, т.е. .довольно точно вычислять термодинамические функции решеточного газа, .строить фазовые диаграммы. В особенности это относится к методу вариации расширенного, кластера: используя в качестве исходных, приближений решения, полученные в меньших базисных кластерах, можно получать численные решэния систем, . описывающих .большие .базисные кластеры, последовательно повышая, таким образом, точность описания системы. . . . . .

В качестве."пробной" системы, применительно к которой исследовались разрабатываемые методы,, использовалась достаточно сложная модель - решеточный, раз с исключением первых.и конечным взаимодействием вторых соседей на квадратной решетке. Для этой модели координаты некоторых .характерных точек фазовой диаграммы .известны .либо, точно, либо, с весьма высокой степенью точности, .что позволяет проводить сравнительную оценку качества различных приближенных методов. Фазовые .диаграммы, полученные. при помощи различных приближенных методов, показаны на рис. 2.3, 2.4, а координаты характерных.точек этих .диаграмм в различных приближениях приведены в табл. 2.1. Видно, что.с ростом порядка приближения метода кластерной вариации.фазовая диаграмма все больше приближается к истинной; экстраполируя значения,, приведенные в табл. 2.1, к бесконечно большому кластеру, можно получить величины, достаточно близкие к тем, которые характеризуют наиболее точные из известных значений. Можно утверждать, что для систем с. конечным радиусом взаимодействия метод кластерной вариации. является наилучшим в смысле описания фазовых.диаграмм: .точность других методов существенно ниже, причем повышение точности метода . функций распределения и метода ветвящихся решеток наталкивается на существенные вычислительные .трудности. Необходимо отметить, что приближения, в .замкнутом виде, сколь бы хорошо они ни воспроизводили фазовую диаграмму, не позволяют получать правильное описание особенностей.термодинамических функций на линиях фазовых переходов-И в критической области. Этот недостаток не может, быть-преодолен в рамках замкнутых, приближений, в силу самой их сущности:, для замыкания систем уравнений пренебрегают дальними-корреляциями,, которые носят наиболее.существенный вклад в той области, где.радиус корреляции бесконечно возрастает. Существует несколько приближенных подходов, позволяющих учесть эти дальние корреляции; таковыми являются,.например, ренормализационно-групповое рассмотрение, метод.коллективных переменных.и др. В главе 4 рассмотрен метод производящих функций, позволяющий точно вычислять коэффициенты.степенных разложений термодинамических функций решеточных моделей до весьма высоких.степеней по активности и температуре. Путем анализа этих разложений можно с высокой степенью точности описывать систему в области особенностей ее термодинамического поведения: для рассматриваемой модели вычислено положение трикритической точки и оценен критический индекс сжимаемости.

Наибольшие технические трудности этого метода представляет именно вычисление коэффициентов степенных разложений. Описанный в главе 4 метод производящих функций в принципе позволяет вычислять эти коэффициенты до произвольной степени для любой модели с конечным радиусом взаимодействия, если исходное состояние системы, по степеням отклонения от которого ведется разложение, вырождено не бесконечное число раз. Разработанная для этой цели диаграммная техника в сочетании с принципом концентрического просмотра позволяет формализовать перечисление диаграмм и алгоритмизировать вычисление производящих функций. Предел точности этого метода полагается лишь возможностями вычислительной техники; значения тршсритических параметров, полученные при помощи анализа низкотемпературных разложений, гораздо более точны, чем вычисленные в наивысшем рассмотренном приближении вариации расширенного кластера.

Таким образом, с точки зрения применимости рассмотренных в работе методов, их можно охарактеризовать следующим образом. Метод ветвящейся решетки представляет собой, по-видимому, наиболее простую и наименее точную /однако лучшую, чем методы типа среднего поля/ процедуру для описания термодинамики решеточных систем, которую целесообразно применять для предварительного исследования модели. Более верную картину дает метод кластерной вариации, позволяющий получать последовательности приближений с возрастающей точностью. Наиболее точным, но и самым трудоемким является метод степенных разложений. другим аспектом полученных результатов является выполненное в работе систематическое исследование представляющей самостоятельный теоретический интерес модели решеточного газа с исключением, первых и конечным взаимодействием вторых соседей на квадратной решетке.Необходимо отметить,, что качественно описанный в § I.I вид фазовой диаграшяы такой модели, заведомо не очевиден: никакие интуитивные соображения не. могут служить основанием для утверждения, например, о термодинамической неустойчивости фазы. 1У /3.19/. Количественный анализ показываетоднако, что приближения в замкнутом виде /преувеличивающие возможность системы претерпевать фазовые превращения/, ограничивают число возможных фаз тремя,,.причем в случае притяжения вторых соседей возможны как переходы с областью сосуществования - ниже трикритической точки фаз 1x1 и V2*V2 , так и непрерывные - выше этой точки, а в случае отталкивания вторых соседей фазы .У2х-/2 и 2*1 . отделены.,от неупорядоченной фазы 1*1 линиями непрерывных фазовых переходов. Наиболее интересным явлением здесь представляется.существование.фазы . 2*1 . , возникающей в результате комбинированного„эффекта исключения ближайших и конечного отталкивания вторых соседей. . Наконец, третьим аспектом настоящей работы является демонстрация возможности.решеточного.газа для описания термодинамики адрорбированных монослоев, атомов большого, радиуса. Рассмотренный, в § 3.4 пример - субм оное дойная адсорбция Кг и Хе на поверхности графита - не сводится, однако, к.простой решеточной модели с исключением ближайших и конечным притяжением более удаленных соседей на треугольной решетке. Хотя в основу расчета и была положена такая решеточная модель, для получения количественного согласия с экспериментом.существенным оказался учет "частичной делокализации" адсорбции - во-первых, зависимости положения адсорбированных атомов, а следовательно, и, энергии их взаимодействия, от заполнения субмонослоя, и, во-втр' рых, колебаний адатомов с частотой, также зависящей от заполнения. Несмотря на модельный характер представления этих зависимостей конфигурационной.и колебательной.энергий от степени заполнения монослоя, удалось количественно описать фазовую диаграмму такого адсорбата в рамках приближения вариации конечного кластера. .

В заключение можно заметить, что хотя в работе рассматри-. вались исключительно двумерные модели, тем не менее все описанные методы можно применять к решеткам любой размерности; использование изложенных в гл. 2-4 методов не вызывает в этом случаев никаких принципиальных трудностей.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика,- М:Наука, 1976.-4.1.-584с.

2. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика.-М. .-Наука, I97I.-4I5c.

3. Хилл Т. Статистическая механика.- М.:ИЛ, I960.-485с.

4. Хуанг К. Статистическая механика.- М.:Мир, 1968.-520с.

5. Шулепов Ю.В., Аксененко Е.В. Решеточный газ.- Киев: Наукова думка, I98I.-268c.

6. Кауе R.D., Burley D.M. Phase transitions in lattice fluids. I. Short-range interactions.- J.Phys.A, 1974, 7, N 7,p.847-358.

7. Runnels L.K., Salvant J.P., Streiffer H.R. Exact finite method of lattice statistics. IV. Square well lattice gas.-J.Chem.Phys., 1970, 52, H 5, p.2352-2358.

8. Springgate M.V/*, Poland D. Phase-transition behaviour of a hard-core lattice gas with a tricritical point.- Phys.Rev.A, 1979, 20, H 3,5p.1267-1284.

9. Burley D.M. A lattice model of a classical hard-sphere gas.- Proc.Phys.Soc., 1960, 75., pt.2, IT 482, p.262-274.

10. Burley D.M. A lattice model of a classical hard-sphere gas. IX.- Proc.Phys.Soc., 1961, 77, pt.2, N 494, p.451-458.

11. Bellemans A., Higam R.K. Phase transitions in two-dimensional lattice gases of hard-square molecules.- J.Chem. Phys., 1967, 46, N 8, p.2922-2935.

12. Runnels L.K., Combs L.L. Exact finite method of lattice statistics. I. Square and triangular lattice gases of hard molecules.- J.Chem.Phys., 1966, 45, N 7, p.2482-2492.

13. Huse D.A. Tricriticality of interacting hard squares: some exact results»- Phys.Rev.Lett., 1982, 49, N 16, p.1121-1124.

14. Baxter R.J. Exactly Solved Models in Statistical Mechanics. London:Academic Press, 1982.- 486 p.

15. Baxter R.J., Pearce P.A. Hard squares with diagonal attractions.- J.Phys.A., 1983, 16., n 10, p.2239-2255.

16. Baxter R.J. Rogers-Ramanujan identities in the hard hexagon model.- J.Stat.Phys., 1981, 26, N 3, p.427-452.

17. Domb C« On the theory of cooperative phenomena in crystals.- Adv.Phys., 1960, 9, Ж 34,35, p.149-361.

18. Монтролл Э.В. Статистика решеток.- В кн.:Прикладная комбинаторная математика/Ред. Э.Беккенбах. М.:Мир,1968, с.9-60.

19. Монтролл Э.В. Лекции по модели Изинга.- В кн.:Устойчивость и фазовые переходы. М.:Мир, 1973, с.92-163.

20. Baxter R.J. Partition function of the eight-vertex model.-Ann. Phys., 1972, 70, N 1, p.193-228.26* Baxter R.J. Generalized ferroelectric models on a square lattice.- Stud.Appl.Math., 1971, 50, S 1, p.51-69.

21. Pisher M.E. Lattice statistics in a magnetic field. I. A two-dimensional superexchange antiferromagnetProc. Roy.Soc.A, 1960, 254, N 1276, p.66-85.

22. Pisher M.E. Lattice statistics: A review and an exact isotherm for a plane lattice gas.- J.Math.Phys., 1963, 4, Ж 2, p.278-286.

23. Фишер M. Природа критического состояния.-M.:Мир,1968.-221с.

24. Katsura S., Takizawa М. Bethe lattice and the Bethe approximation.- Progr.Theor.Phys., 1974, И 1, p.82-98.31;. Muller-Hartmann E., Zittartz J. New type of phasetransition.- Phys.Rev.Lett., 1974, 33^, H. 15, p.893-897.

25. Аксененко E.B., Шулепов Ю.В. Фазовые переходы в решеточном газе больших взаимодействующих молекул. Точно решаемая модель." Укр. физ. журн., 1978, 23, № 9, с.1510-1516.

26. Kikuchi R. A theory of cooperative phenomena.- Phys.Rev., 1951, 81, К б, p.988-1003.

27. Hijmans J., De Boer J. An approximation method for order-disorder problems. II.- Physica, 1955» 21, И 6, p.485-498.

28. Hijmans J., De Boer J. An approximation method for order-disorder problems. III.- Physica, 1955, 21, N 6, p.499-516»

29. Kikuchi R., Brush S.G. Improvement of the cluster-variation method.- J.Chem.Phys., 1967, £7, U 1, p.195-207.

30. Woodbury G.W.,Jr. Uoncombinatorial method for determining the entropy of lattices.- J.Chem.Phys., 1967, £T, N 1,p.270-278.

31. Kikuchi R. Superposition approximation and natural iteration calculation in cluster-variation method.- J.Chem.Phys., 1974, 60, N 3, p.1071-1080.

32. Rajabali G., Mazo R.M. Generalization of the KLkuchi-Hijmans-De Boer method for order-disorder problems to complex lattices.- Int.J.Quant.Chem.: Quant.Chem.Symposium, 1982, 1j6, p.117-123.

33. Orban J., Van Belle D. Phase transitions in a lattice gas with extended hard core.- J.Phys.A, 1982, N 9, p.L501-L505.49» Rushbrooke G.S., Scoins H.I. On the Ising problem and

34. Mayer's cluster sums.- Proc.Roy.Soc.A, 1955, 230, N 1180, p.74-90.

35. Domb C., Hiley B.J. On the method of Yvon in crystal statistics.- Proc.Roy.Soc.A, 1962, 268, N 1335, p.506-526.

36. Шулепов Ю.В. Мультифазное поведение больших взаимодействующих молекул на плоской квадратной решетке в приближении Пер-куса-Йевика.- Теор. и мат. физ., 1983, 56, № 3, с.405-417.

37. Jancovici В. Theory of freezing.- Physica, 1965, 31, N 7, p. 1017-1028.53* Robledo A., Farquhar I.E. Random-walk theory and Ornstein-Zemike systems with extended-core potentials.- J.Chem. Phys., 1974, 61, H 4, p.1594-1595.

38. Robledo A., Farquhar I.E. Random-walk theory and correlation functions in classical statistical mechanics.- Physica A, 1976, 84, U 3, p.435-448.

39. Аксененко Е.В., Шулепов Ю.В. Распределение димеров на плоской квадратной решетке в приближении Перкуса-Йевика.-Теор. и мат. физ., 1981, £7, № 3, с.387-394.

40. Зубарев Д.Н. Об одном методе в теории взаимодействующих Ферми-частиц.- ЖЭТФ, 1953, 25, № 5, с.548-559.

41. Зубарев Д.Н. Вычисление конфигурационных интегралов для системы частиц с кулоновским взаимодействием.- Доклады АН СССР, 1954, 95, № 4, с.757-760.

42. Бом Д. Общая теория коллективных переменных.- М.:Мир, 1964.-152с.

43. Юхновский И.Р., Головко М.Ф. Статистическая теория классических систем.- Киев: Наукова думка, 1980.-372с.

44. Юхновский И.Р. Выделение системы отсчета в методе коллективных переменных.-Киев,1974.-35с.-(Препринт/ИТФ-74-149Р).

45. Юхновский И.Р. Описание фазового перехода второго рода в методе коллективных переменных. I. Распределение фаз флуктуа-ционной плотности вблизи Тс.- Киев,1976.-46с.-(Препринт/ ИТФ-76-15Р).

46. Юхновский И.Р. Интегрирование статистической суммы трехмерной модели Изинга в методе коллективных переменных.- Киев, 1976.-29с.-(Препринт/ИТФ-76-24Р).

47. Юхновский И.Р., Рудавский Ю.К. Представление коллективных переменных для модели Изинга.- Укр. физ. журн., 1977, 22, № I, с.50-59.

48. Юхновский И.Р. Трехмерная модель Изинга.- Киев,1978.-30с.-(Препринт/ИТФ-78-81Р).

49. Юхновский И.Р. Статистическая сумма трехмерной модели Изинга.- Теор. и мат. физ., 1978, 36, № 3, с.373-399.

50. Юхновский И.Р. К статистической теории конденсированных систем с дальнодействующими и короткодействующими взаимодействиями.- Киев,1979.-34с.-(Препринт/ИТФ-79-133Р).

51. Юхновский И.Р., Козловский М.П., Коломиец В.А. Численное интегрирование статистической суммы трехмерной модели Изинга.- Киев, 1980.-55с.-(Препринт/ИТФ-80-ЗР).

52. Юхновский И.Р., Козловский М.П., Коломиец В.А. О выборе оптимального способа деления фазового пространства коллективных переменных в трехмерной модели Изинга,- Киев,1980.-36с.-(Препринт/ИТФ-80-14Р).

53. Юхновский И.Р., Козловский М.П., Коломиец В.А. Численное интегрирование стстистической суммы трехмерной модели Изинга методом коллективных переменных.- Укр. физ. журн., 1982, 27, № 6, с.925-930.

54. Nightingale Ы.Р. Phenomenological renormalization group theory.- Proc.K.Ned.Akad.V/et.Ser.B, 1979, 82, IT 3, p.235-293.79» nightingale M.P. Finite-size scaling ang phenomenological renormalization.- J.Appl.Phys., 1982, 53, H 11, p.7927-7932.

55. Runnels L.K., Combs L.L., Salvant J.P. Exact finite method of lattice statistics. II. Honeycomb-lattice gas of hard molecules.- J.Chem.Phys., 1967, £7, N 10, p.4015-4020.

56. Runnels L.K. Exact finite method of lattice statistics.III. Dimers on the square lattice.- J.Math.Phys., 1970, 1И,1. И 3, p.842-850.

57. Baxter R.J. Corner transfer matrices.- Physica A, 1981, 106, N 1-2, p.18-27.- га 86» Baxter R.J. Variational approximations for square lattice models in statistical mechanics.- J.Stat.Phys., 1978, 19, И 5, p.461-478.

58. Baxter R. J., Enting I.G. Series expansions from corner transfer matrices: the square lattice Ising model.-J.Stat.Phys., 1979, 21, IT 2, p. 103-123.

59. Hunter D.L., Baker J.A., Jr. Methods of series analysis. III. Integral approximant methods.- Phys.Rev.B, 1979, 22» ^p.3808-3821.

60. Sykes M.P., Essam J.W., Gaunt D.S. Derivation of low-temperature expansions for the Ising model of a ferromagnet and an antiferromagnetJ.Math.Phys., 1965, 6, IT 2, p.283-298.

61. Sykes M.F., Gaunt D.S., Essam J.\7., Hunter D.L. Derivation of low-temperature expansions for Ising model. II. General theory.- J.Math.Phys., 1973, 14, IT 8, p.1060-1065.

62. Sykes M.P., Gaunt D.S., Mattingly S.R., Essam J.W.,

63. Аксененко E.B., Шулепов Ю.В. Решеточный газ больших взаимодействующих молекул. I. Разложения по степеням активности.-Укр. физ. журн., 1979, 24, №8, с.1192-1201.

64. Аксененко Е.В., Шулепов Ю.В. Решеточный газ больших взаимодействующих молекул. П. Разложения по степеням обратной активности и низкотемпературные разложения.- Укр. физ. журн., 1981, 26, № 4, с.536-540.

65. Вильсон К., Когут Дк. Ренормализационная группа и 8-разложение.- М. : Мир, 1975.-256с.

66. Kadanoff L.P* Scaling, universality and operator algebras, in: Phase Transitions and Critical Phenomena, vol.5a /Ed. by C.Domb, M.S.Green, LondonjNew YorkiAcademic Press, 1975, p.1-34.

67. Wegner P.J. The critical state, general aspects, in: Phase Transitions and Critical Phenomena, vol.6/Ed. by C.Domb, M.S.Green, bondon;l\Tew York:Academic Press, 1976, p.7-124.

68. Ma S. The 1/n expansion, in: Phase Transitions and Critical Phenomena, vol.6/Ed. by C.Domb, M.S.Green, London; Hew York:Academic Press, 1976» p.250-292.

69. Ю4. Ma Ш. Современная теория критических явлений,- М.:Мир, 1980,-298с.

70. Вакарчук И.А., Рудавский Ю.К., Юхновский И.Р. Приближенное преобразование ренормализационной группы в теории фазовых переходов. I. Дифференциальное уравнение ренормгруппы.-Теор. и мат. физ., 1982, 50, № 2, с.313-320.

71. Юхновский И.Р., Козловский М.П., Коломиец В.А. Аналитическое решение уравнений ренормализационной группы.- Укр. физ. журн., 1982, 27, № 9, с.1399-1403.

72. Kadanoff L.P., Houghton A. numerical evaluations of the critical properties of the two-dimensional Ising model.-Phys.Rev.A, 1975, N 1, p.377-386.

73. Kadanoff b.P. Variational principles and approximate renormalization-group calculations.- Phys.Rev.Lett•, 1975, 34, И 16, p.1005-Ю08.

74. Uiemeijer Th., "Van Leeuwen J.M.J. Renoimalization theory for Ising-like spin systems, in: Phase Transitions and Critical Phenomena, vol.6/Ed. by C.Domb, M.S.Green,1.ndon; Hew York: Academic Press, 1976, p.424-506.

75. Юхновский И.P., Козловский М.П., Коломиец В.А. Исследование критических свойств трехмерной модели Изинга с помощью масштабных преобразований.-Киев,1980.-47с.-(Препринт/ИТФ-80-28Р).

76. Юхновский И.Р., Козловский М.П., Коломиец В.А. Исследование трехмерной модели Изинга с помощью масштабных преобразований.- Укр. физ. журн., 1982, 27, № б, с.930-935.

77. Hecht С.Е., Kikuchi R. New real-space renormalization-group calculation for the critical properties of lattice spin system.- Phys.Rev.B, 1982, 25, N 9, p.5836-5848.

78. Kinzel \7., Schick M. Honeycomb lattice gas: Application to adsorbed systems.- Ordering in two dimensions, 1980, p.381-383.

79. Kinzel W., Schick M. Phenomenological scaling approach to the triangular Ising antiferromagnet.- Phys.Rev.B, 1981, 23, U 7, p.3435-3441.

80. Phase Transitions and Critical Phenomena /Ed. by C.Domb, M.S.Green, London; Hew York: Academic Press.- Vol.1, 1972; Vol 2, 1972; Vol.3, 1974; Vol.4, 1974.

81. Большов Jl.А., Напартович А.П., Наумовец А.Г., Фёдорус А.Г. Субмонослойные пленки на поверхности металлов.- Успехи физических наук, 1977, 122, № I, с.125-158.

82. Покровский В.А., Талапов А.Л. Теория двумерных несоизмеримых кристаллов.- ЖЭТШ, 1980, 78, № I, с.269-295.

83. Pokrovsky V.L. Two-dimensional crystals: structure, physical properties, phase diagram, in: Modern problems of surface physics, 1981, p.584-609.

84. Bak P. Incommensurate, commensurate and chaotic phases.-Repts.Progr.Phys., 1982, 45, N 2, p.587-617.

85. Pokrovsky V.li., Talapov А.Ъ. Theory of incommensurate crystals.- Sov.Sci.Rev.Phys., 1982. 4, Suppl., p.1-76.

86. Sullivan D.E. Phases of adsorbed fluids.- Comments Solid State Physics, 1983, 11> IT 1 , p. 17-33.

87. Roelofs L.D., Estrup P.J. Two-dimensional phases in chemisorption systems.- Surf.Sci, 1983, 125, H, 1, p.51-73

88. Люксутов И.Ф. Фазовые переходы в адсорбированных пленках.-Укр. физ. журн., 1983, 28, № 9, с.1281-1303.

89. Luther A., Pokrovsky V., Timonen J. Domain walls and the commensurate phase, in: Phase Transitions in Surface films /Ed. by J.G.Dash, J. Ruvalds, IT. Y., 1980, p.506-516.

90. Domany Б., Schick M., Ytelker J.S. Classification of continuous order-disorder transitions in common adsorbed systems: realization of the four-state Potts model.-Phys.Rev.Lett., 1977, 38, U 20, p.1148-1151.

91. Domany E., Schick M., Walker J.S., Griffiths R.B. Classification of continuous order-disorder transitions in adsorbed monolayers. I.- Phys.Rev.B, 1978, 1j3, U 5,p.2209-2217.

92. Domany E., Schick M. Classification of continuous order-disorder transitions in adsorbed monolayers. II.-Phys.Rev.B, 1979, 20, IT 9, p.3828-3836.

93. Schick M. The classification of order-disorder transitions on surfaces.- Progr.Surf.Sci, 1981, N 4, p.245-292.

94. Роберте M., Макки Ч. Химия поверхности раздела металл -газ.- М.:Мир, 1981,-539с.

95. Sadio A., Binder К. Diffusion of adsorbed atoms in ordered and disordered monolayers on surfaces.-Surf.Sci, 1983, 128, IT 2-3, p.350-352.

96. Teiwani M. J., Ferreira 0., Vilches O.E. Possible Ising transition in a ^"He monolayer adsorbed on Kr-plated graphite.- Phys.Rev.Lett., 1980, 44, IT 3, p.152-155.

97. Taylor D.E., Park R.L. Phase diagram of oxygen on Hi (100).- Surf.Sci., 1983, 125, IT 2, p.L73-L79.

98. Salmeron M., Somorjai G.A., Chianelli R.R. A LEED-AES study of the structure of sulfur monolayers on the Mo(100) crystal face.- Surf.Sci., 1983, 127, K 3, p.526-540.

99. Gerlach R.L., Rhodin Т.Ы. Structure analysis of alcali metal adsorption on single crystal nickel surfaces.-Surf.Sci., 1969, 17, H 1, p.32-68.

100. Bartels E., Goldman A. Adsorption geometry from angle-resolved photoemission: the case of CI on Ag(001).-Solid State Communs., 1982, 44, IT 10, p.1419-1421.

101. Cardillo M.J., Becker G.E., Hamann D.R., Serri J.A., Whitman L., Mattheiss L.F. Geometry of the Ag{00l}-c(2x2)Cl structure as determined by He diffraction.-Phys.Rev.B, 1983, 28, N 2, p.494-503.

102. Bardi U., Rovida G. LEED, AES and theimal desorption study of iodine chemisorption on the silver (100), (111) and (110) faces.- Surf.Sci., 1983, 128, N 1, p.145-168.

103. Aksenenko E.V., Shulepov Yu.Y. Extended cluster variation calculations for the plane quadratic lattice gas.

104. J.Phys.A, 1984, П» N Ю, p.2109-2112.

105. Аксененко E.B. Решеточная модель субмонослойной адсорбции Кг и Хе на поверхности графита.- 4719-84 ДЕП ВИНИТИ, 21с.