Группы преобразования Ляпунова и устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ *)«

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи ЯКУБОВ Зуфар Ясавеавич

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛЯПУНОВА И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01 .02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

НИЖНИЙ НОВГОРОД - 1994

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Мор; сного государственного университета имени Н.П.Огарёва

Научный руководитель - доктор физико-математических нау!

профессор Е.В.Воскресенский

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И.В.Долов ■

кадодцат физико-математических наук, доцэнт В.3.Гвинее

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государствен!

университет

щита диссертации состоится ' 1994

часов на заседании Специализированного Совета К 063. в Нижегородском государственном университете имени Н.И.Лоба* ского по адресу: 603600, г. Н.Новгород, ГСП-20, проспект Гагг на, 23.

О диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ншего{ ского университета имени Н.И.Лобачевского

Автореферат разослан

1994г.

Учёный секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математических наук доцэнт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Одной из плодотворных идей, применяемых в эории обыкновенных дифференциальных уравнений, является идея яассификации. В работе рассматриваются асимптотическая эквивэ-энтность по Ляпунову нелинейных дифференциальных уравнения и :проси, связанные с поведением их решений. При помощи группы реобразования Ляпунова задается некоторое отношение эквивалент-эсти, устанавливающее разбиение определенного множества диффе-энциальных уравнения на классы эквивалентности, в которых пове-эние решений в определенном смысле одинаково.В результате такой акторизации исследуемое уравнение будет эквивалентно онкретному уравнению, взятому в качестве простейшего рвдставителя данного класса эквивалентности и называемому равнением сравнения. Нахождение этого простейшего уравнения -сновная задача при изучении свойств решений исходного равнения. Решение указанной проблемы сводится к поиску реобразования определенного вида, приводящего исследуемое равнение к конкретной хорйшо изученной стандартной форме, для оторой известны метода интегрирования или требуемые свойства ешениз.

Развивая зтот подход, можно выписать все канонические формы (азрешимых (например, в квадратурах) уравнения и, применив к ним невозможные (обратимые) преобразования, найти бесчисленное шожество других разрешимых уравнений. Го же самое можно грименить и к уравнениям, для которых, например, известны шойства их решения. Вполне естественно, что в этом случае юзникают вопросы описания как можно более полной системы инва-мантов рассматриваемых преобразований.

Описанная выше классификация основывается на известных идете, изложенных в работах А.И.Ляпунова, Н.П.Еругина, В.И.Зубова, 3.В.Немыцкого,Б. П. Дэмидовича,Б.Ф. Былова, Р.Э.Винограда,Д. М.Гроб-кана, В.А.Якубовича, Е.В.Воскресенского и других авторов.

Цель работы. Классификация дифференциальных уравнений по асимптотическим свойствам решения - спектру и устойчивости. Раз-

биение заданного множества дифференциальных уравнений на классы эквивалентности осушэствляется при помощи групп преобразовании Ляпунова. Решаются следующие основные задачи.

1. Выделить достаточно общий класс преобразований множества нелинейных дифференциальных уравнений, а именно: класс ляпунов-ских преобразований, оставляющих инвариантными спектр и устойчивость тривиального решения.

2. С помощью введённых и изученных групп преобразований выделить достаточно простые уравнения сравнения, с помощью которых удаётся получить новые условия асимптотической эквивалентности (по Ляпунову) нелинейных и линейных дифференциальных уравнений, а также критерий устойчивости решений важных классов нелинейных уравнений.

3. Применить полученные результаты к изучению свойств решений дифференциальных уравнений, описывающих конкретные физические явления, в частности, к стационарному уравнению Шрёдингера, используемому в квантовой механике (теория рассеяния).

Решение перечисленных задач основывается на использовании теорем-классификаторов, доказанных в работе.

Методика исследований. В работе используются следующие метода: 1) метод.сравнения; 2) первый метод Ляпунова, касающийся теории характеристических показателей; 3) метод, основанный на теоремах о неподвижной точке; 4) групповые методы.

Научная новизна. 1 .Понятие ляпуновского преобразования рас пространено на нелинейные дифференциальные уравнения. 2. Предложен новый по сравнению с классическим подход к выделению в правой части нелинейного уравнения линейного члена, вообще говоря, с переменными коэффициентами, который затем используется е качестве правой части линейного уравнения сравнения. Выделена система ограничений на оставшееся возмущение, при которых исходное уравнение и линейное уравнение сравнения связаны ляпуновским преобразованием, з. Исходя из того, что свойства решений выделяемого линейного уравнения сравнения легко поддается изучению, как следствие приводимости получены новые достаточные условия асимптотической эквивалентности по Ляпунову нелинейных и линей-

- б -

ных уравнений. 4. Доказан критерия устойчивости достаточно широких классов нелинейных уравнений, основанный на выделении подходящего уравнения сравнения. 5. Показана возможность применения преобразования Ляпунова дифференциальных уравнений при решении задач квантовой механики, а именно: в теории рассеяния для исследования свойств решений стационарного уравнения Шре-дингера при различных значениях параметра х. Выделена система ограничения на потенциалы, позволяющих решать вопрос об устойчивости волновой функции и судить о плотности вероятностей нахождения движущейся частицу в различных точках потенциального поля.

Практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при исследовании математических моделей реальных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, в частности, при решении задач квантовой механики, теории управления движением и теории устойчивости.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на заседаниях семинара по дифференциальным уравнениям Мордовского госуниверситета (1989-1994 г.г.), на Огарёвских чтениях Мордовского госуниверситета (19911993 г.г), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в г. Самаре (май, 1992 г.), на международной конференции "Алгебра и анализ" в г. Казани (июнь, 1994 г.), на семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнения Нижегородского госуниверситета (июнь, 1994 г.), на семинаре пи дифференциальным уравнениям Санкт-Петербургского госуниверситета (сентябрь, 1994 г.).

Публикации. По результатам исследований опубликована 6 работ. Все результаты авторам диссертационной работы получены самостоятельно. Е.В.Воскресенскому принадлежит постановка задач, также им предложены метода решения поставленных проблем.

Объём и структура работы. Диссертация изложена на 132 страницах и состоит из списка обозначений, введения, трех разделов и списка литературы, включающего 94 наименования.

- в -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор результатов по теме исследования, дано обоснование актуальности решаемых проблем. Сформулирована постановка задачи.. Излагается краткое содержание диссертации.

Введём следующие обозначения: С'р*ч>,Бг) - класс функция двух переменных, 'непрерывно дифференцируемых р раз по первой и q раз по второй переменным на множестве Б , принимающих значения во множестве Ю2; С<Р>(Е ) - класс функций одной переменной, непрерывно дифференцируемых р раз по независимой переменной на множестве и принимающих значения во множестве Вг;

С^.Б,) - класс функция одной переменной, непрерывно дифференцируемых по независимой переменной на множестве В1 и принимающих значения во множестве Е2;

С(Б1,Б2) - класс функция одной переменной, непрерывных на множестве В4.принимающих значения во множестве Ва.

Рассмотрим множество £ дифференциальных уравнений

^ = ' со. О.О

где ГеС*р;<,,(Л**Кп11Г), • рйО, qi2, ИМО.-к») и

|Ги,х)е * *<*Н*11 (0.0.2)

при любых то>0,- ХбИп; здесь *еС(К',1? ), 1>0.

Для каждого уравнения из г функция ♦ задаётся индивидуально, т.е. зависит от функции Г.

На множестве х рассматривается действие групп преобразований, называемых в дальнейшем ляпуновскими, если их инвариантами являются спектр и устойчивость тривиального решения уравнений из 2.

В первом разделе рассматриваются две группы преобразований множества г дифференциальных уравнения и доказывается, что эти группы являются ляцуновскими в указанном выше смысле.

В первом подразделе приведены определения, а также формулировки и доказательства ряда утверждений, необходимых для введэ-

ния и изучения понятия группы ляпуновских преобразований.

Определение 1.1.6. Лялуновская группа преобразований - это груша преобразований некоторого заданного множества дифференциальных уравнений, инвариантами которой являются спектр и устойчивость тривиального решения.

Элемент этой группы будем называть преобразованием Ляпунова.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.1.2. При выполнении условий (0.0.2) и

♦ си

| *(э)аа < К, (0.0.3)

г

о

где К>0, все решения уравнения (0.0.1) неограниченно продолжаемы вправо для любого ^0.

В первом подразделе первого раздела доказываются некоторые оценки норм решений уравнения (0.0.1) и разности решений этого же уравнения.

Пусть для уравнения (0.0.1) выполняются условия (0.0.2)-(0.0.3). Тогда все решения уравнения (0.0.1) при любых ^ О удовлетворяют неравенству

¡¡ХШИ =5 м-|х(^)||,

где М=ек - положительная константа.

Пусть для уравнения (0.0.1) справедливо условие Липшица

1!Ш,Х > - г < г, Х2) п < *<1;)-|хй-х,| (0.0.4)

Для каждого уравнения из г функция * задаётся индивидуально, т.е. зависит от функции Г.

Если выполняется условие (0.0.3) для функции * из (0.0.4), то для любых решений х^) и х2(-(;) уравнения (0.0.1) справедливо неравенство

¡х.Ш-х^)! <; М-1х,(10)-х2(^)||

у^^О, где М - положительная константа.

Во втором подразделе первого раздела рассматриваются предложенные Е.В.Воскресенским две совокупности преобразований (С^е) и (С2,£) уравнений

(0.0.5)

и

= (0.0.6)

из множества г, где первая из этих совокупностей (С^г) описывается рядом условий 1)-6) из определения 1.2.1, а вторая -(С2,2) - лишь одним из этих условий (0.0.8) при дополнительных ограничениях (0.0.7) и (0.0.9) на рассматриваемые преобразования (определение 1.2.2).

Определение 1.2.1. Будем говорить, что Ф - С1-преобразование уравнения вида (0.0.5) из £ в уравнение вида (0.0.6)

из е, если у=^(г,х), ^С<ро-Чо' (Н'хГТ.Ю при ,

и существует обратное преобразование </Г1еС1ро,чо' (И'хТГ.К") при

Ро~1, такое> 4X0 х^"1 (1;,у); при этом преобразования Ф

и ф'1 обладают следующими свойствами:

1) Ж1;,х)1 £

2) н'Чь.уЦ * к2<г)-1уц, 3> £

^ к^<ъ>-ВУВ.

4) |££^11 5) ИИ^Ьмч.

8) *

при всех и х,у«К"; 1^0(11*,И*), К. (г)£С. , С.>0; 1=Т7Б.

В дальнейшем совокупность -преобразований, действующих на

множестве уравнений z, обозначается символом (Gt,£).

Условия определения 1.2.1 выполняются также для классических преобразований Ляпунова, задаваемых матрицей Ляпунова, в случае приводимости лкнейной однородной дифференциальной системы с ограниченной непрерывной действительной матрицей к системе с постоянной матрицей.

Определение 1.2.2. Будем говорить, что Ф - G2-преобразование уравнения (0.0.5) из z в уравнение (0.0.6) из множества если при всех tato<:0 и x,y<sRn

1) y-*<t.x>, где ^'•V4«' (R>R",Rn), ро*1, (^2; Ф{t,0)e0 и

E*(t,x,)-^(t,x2)ü ио |хгх,! (0.0.7)

vx ,х «Rn, где Lo>0. А также справедливо неравенство

* K-Jxli. (0.0.8)

где К>0;

2) существует 4>~' - обратное преобразование для Ф - такое, что

x=^~*(t(y), '«=с'ро'чо' (R'vR",Rn) при poai, Ф~'(t,0)s0

и

(t,yi )~Ф~' (t.ya )1 * bt-jyt~yj (0.D.9)

vy^y^R", где L>0.

Далее для совокупности C2-преобразований, действующих на заданном множестве уравнений z, используется обозначение (G2,£).

Доказывается, что совокупности преобразований (Gi,r) и (G2,5:) являются группами и что условия определения 1.2.1 выполняются, как только выполняются требования определения 1.2.2.

Теорема 1.2.2. Если ^(G2,£), то «MG^e).

Также во втором подразделе первого раздела доказано, что эсли в определении 1.2.1 положить X.(t)-Kj <j»T7S), где К. -положительные константы, то в зтом случае из выполнения условий эпределения 1.2.1 следует справедзивость требований определения

1.2.2, т.е. в данной ситуации группы преобразований (С1,г) (Сг,г) просто совпадают.

Значение и роль совокупностей (С^.г) и (С2,£) проявляютс при доказательствах определенных утверждений, когда в каждс конкретной ситуации удобнее рассматривать одну из этих rpyi преобразований.

В третьем подразделе доказывается, что спектр и ycTos чивость тривиального решения являются инвариантами групп прс образований и <С2 ,х), т.е. указанные группы являкгг<

лядуновскими группами преобразований в смысле определения 1.1. ( Во втором разделе обсуждается вопрос о приводимости нел: нейных дифференциальных систем к линейным однородным системам переменной или постоянной матрицами, в том числе и с нулеве матрицей. Также получены результаты об устойчивости по Ляпуно] решений дифференциальных уравнений из множества

В первом подразделе второго раздела доказано достаточн( условие приводимости нелинейного дифференциального уравнения уравнению с нулевой правой частью. Указан явный вид ляп: новского преобразования, осущзствлдашего эту приводимость.

Теорема 2.1.1. Пусть дая уравнения (0.0.1) из £ справе, ливо условие Липшица (0.0.4), и выполняется условие (0.0.3) д функции * из соотношения (0.0.4). Предположим также, что п любых и xeR* выполняется неравенство

¿f(t,x)|

Sx-\ - *'(t)-

где

-roo

J 4^(3)03 < Kg, t

О

Kg>0. Тогда уравнение (0.0.1) приводимо к уравнению

^ = О (0.0.1

ляпуновским преобразованием

•roo

y(t)=*(t,x(t))=x(t) + jf(s,x(s>)äs

при любом t£toä0. Здесь х(э)—x(s:t,x(t)), х(з) - решение уравнения (0.0.1).

Указанная теорэма является обобщением на нелинейный случай известного результата Н.П.Еругша о приводимости линейной однородной системы

g - A(t)x (0.0.11)

к системе (0.0.10) при условии абсолютной интегрируемости матрицы A(t).

Как в линейном, так и в нелинейном случаях в ситуации приводимости уравнения (0.0.1) из £ к уравнению (0.0.10) обратное преобразование выражается через общее решение x=x(t:to,y) исходного уравнения (0.0.1).

Во втором подразделе второго раздела доказывается достаточное условие приводимости уравнения вида (0.0.1) из s к уравнению (0.0.11). А именно: в уравнении (0.0.1) определённым образом выделяется линейная часть и рассматривается эквивалентное исходному уравнение

g§ - A<t)-x + f,<t,x), (0.0.12)

в котором функция ft удовлетворяет условию Липшица вида (0.0.4) с функцией

Рассмотрим уравнение

gf=A(t)-y. (0.0.13)

Теорема 2.2.1. Пусть наряду с условием Липшица (0.0.4) на

функцию ft,K3 уравнения (0.0.12) выполняются следующие условия: 1-00

1 ) J *t <s)üs < -H»; 2) при любых UT>tôâO и x«rff

I

I ° <»i <t,x)l| . . - -

K(I,t)- <?x s *e(t), где ,R* ), J «S<s}ds £ K, K>0;

1 о

3) существует <=>0 такое, что при каждом tet^äO

•«О

P(t)= JlK<t,s)î-e<A^>3-*(s)ds < Lt, I,>0;

4) 0<0<г)<1, где С2(1,)=П£е~<Лт,сиР(1;);

5) для всех решений уравнения (0.0.13) при некотором ¿>0 и пр! каждом 1;Ы,о>0

где уио)=уо; М^з^УШ-Г1^) - матрица Кош, УЦ) -фундаментальная матрица, л - старший характеристически; показатель уравнения (0.0.13); Вс - положительные константы, зависящие только от с.

Тогда уравнение (0.0.12) ляпунавским преобразованием

тСО

уШ=4(г,хт)=ос(1;) + | К(1,з)11(з,х(з))йз,

^

где х(з)—х(з: 1;,х(1;)) - решение урзвнения (0.0.12), приводимо я ¿-равнению (0.0.13).

Б третьем подраздела второго разделз подучен ряд теорем оС устойчивости па Ляпунову решений уравнения (0.0.1) из мномэ-ствэ г.

Теорема 2.3.1. Если для любого го>;0 выполнено условие (0.0.3), то тривиальное решение уравнения (0.0.1) устойчиво по .Ляпунову при

Теорема 2.32. Если для любого 1;о>0 выполнено условие (0.0.3), то все решения уравнения (0.0.1) устойчивы по Ляпунову при >+«.

Теорсмл 2.3.3. Пусть выполняются условия теоремы 2.2.1. В этом случае всо решения уравнения (0.0.1) устойчивы по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение уравнения (0.0.13).

В этом же подраздедв обсуждаются вопросы использования как уже известных теорем о приводимости, так и полученных в диссертационной работе.

В третьем раздела рассматриваются приложения полученных в предыдущих разделах основных результатов о приводимости уравнений к исслэдованюо стационарного урзвнения Шредангерз, применяю-

- 13 -

одэгося в квантовой механике, например, в теории рассеяния.

В первом подраздела исследуется уравнение Шрёдангера для стационарных состояний

v"+ U + g(r)]-v = О (0.0.14)

и обсуждается вопрос о его приводимости к некоторому линейному однородному уравнению при различных значениях параметра х (х>0, Х<0, Х=0).

Во втором подразделе третьего раздела рассматривается стационарное уравнение Шредингврэ

v"+ íx + g(r)]y = h(r,v) (0.0.15)

с возмущающим потенциалом íi(t,»*), роль которого, например, может играть потенциальная энергия внешнего воздействия (поля). Для уравнения (0.0.15) обсуждается вопрос о aro приводимости к система дифференциальных уравнений с постоянной матрицей при положительном значении параметрз х. Приводимость стационарного-уравнения Шрёдангера с возмущающим потенциалом к системе дифференциальных уравнения с постоянной матрицей при других значениях параметра х рассматривается аналогично.

РАБОТЫ. ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Якутов З.Я. Ляпуновская группа преобразований нелинейных дифференциальных уравнений// Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции/ Международная нзучная конференция (24-31 мая 1992 г., г. Самара): Тезисы докладов. - С. 281-282.

2. Якутов З.Я. Ляпуновские преобразования// Управляемые динамические системы: Межвуз. сб. науч. тр./ Саранск: Изд-во Ыордов. ун-та, 1991. - С. 175-178.

3. Якуплв З.Я. Некоторые асимптотические инварианты группы преобразования дифференциальных уравнений// 1р. свмин. по дифферэнц. уравнениям Мордов. гос. ун-та. - Саранск, январь-июнь, 1991/ Мордов. гос. ун-т. - Саранск, 1991. - С. 3338. - Дэп. в ВИНИ1И 01.08.91, Ю324-В91.

4. Якупов З.Я. О приводимости системы нелинейных .дифференциальных уравнений к системе с нулевой матрицей// Тр. семин. ш диффэренц. уравнениям Мордов. гос. ун-та. - Саранск, январь-июнь, 1933/ Мордов. гос. ун-т. - Саранск, 1993. - С. 7083. - Дэп. в ВШИТИ 22.07.93, К2076-В93.

5. Якупов З.Я. О соотношении понятий Б-асинптотической эквивалентности и преобразования Ляпунова// XXI Огаревскиа чтения: Материалы научной конференции/ Саранск: Изд-во Мордрв. ун-та, 1993. - С. 33-34.

6. Якупов З.Я. Об одной группа преобразований дифференциальных уравнений// Алгебра и анализ/ Международная научная конференция (5-11 июня 1994 г., г. Казань): Тезисы докладов. Часть 2. - С. 153-154.