Ляпуновские величины и предельные циклы двумерных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

004613^=

КУЗНЕЦОВА Ольга Александровна

ЛЯПУНОВСКИЕ-ВЕЛИЧИНЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ ДВУМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

1 8 НОЯ 7010

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

004613438

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЧУРИН Юрий Васильевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор технических наук, ведущий научный сотрудник АНДРИЕВСКИЙ Борис Ростиславич (Учреждение Российской академии наук Институт проблем машиноведения РАН)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

Защита состоится "24" ноября 2010 г. в 12 часов 30 минут на заседании совета Д 212.232.49 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199048, Санкт-Петербург, В.О., 14 линия, д. 29, математико-механический факультет, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "_"_2010 г.

Ученый секретарь

Р />

____—

диссертационного совета ' > A.A. Архипова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию периодических решении и вычислению ляпуновских величин двумерных динамических систем.

Актуальность темы. Исследование предельных циклов двумерных динамических систем стимулировалось как чисто математическими проблемами, такими как шестнадцатая проблема Гильберта и проблема центра - фокуса, так и многими прикладными задачами. Так, к исследованию двумерных квадратичных систем приводит рассмотрение различных химических реакций и популяционных моделей в биологии. В таких моделях важную роль играют предельные циклы.

Задача локализации и моделирования предельных циклов, даже для случая двумерных квадратичных систем, является нетривиальной. Так, в книге "Экспериментальная математика" В.И. Арнольд пишет: "Чтобы оценить число предельных циклов квадратичных векторных полей на плоскости, А.Н. Колмогоров раздал несколько сотен таких полей (со случайно выбранными коэффициентами многочленов второй степени) нескольким сотням студентов механико - математического факультета МГУ в качестве математического практикума. Каждый студент должен был найти число предельных циклов своего поля. Результат этого эксперимента был совершенно неожиданным: ни у одного поля не оказалось ни одного предельного цикла!". Из чего В.И. Арнольдом был сделан вывод о том, что область в пространстве параметров, соответствующая существованию предельных циклов в двумерных квадратичных системах, мала.

Задача исследования предельных циклов двумерных квадратичных систем может быть условно разделена на исследование "малых" предельных циклов (локальная шестнадцатая проблема Гильберта) и изучение "больших" предельных циклов.

Важный вклад в изучение локальной шестнадцатой проблемы Гильберта внесли H.H. Баутин, H.H. Серебрякова, С.Д. Щуко, Р. Yu, N.G. Lloyd, S. Lynch, A. Gasull, J. Gine, А.Ф. Андреев, В.Г. Романовский. Одним из наиболее эффективных методов исследования "малых" предельных циклов является метод ляпуновских величин (или констант Пуанкаре - Ляпунова), предложенный в классических работах Н. Poincare и A.M. Ляпунова.

Ляпуновские величины характеризуют локальную устойчивость и неустойчивость слабого фокуса.

Если первая и вторая ляпуновские величины в общем виде были вычислены для двумерных систем в сороковые - пятидесятые годы прошлого столетия H.H. Баутиным и H.H. Серебряковой соответственно, то вычисление третьей ляпуновской величины было долгое время возможно лишь для некоторых специальных случаев (см., например, работы N.G. Lloyd, S. Lynch). Вычисление третьей ляпуновской величины в общем виде стало возможно благодаря современным мощным техническим средствам и специальным математическим пакетам символьных вычислений, а также благодаря разработке эффективных алгоритмов, это выражение было получено в 2008 году Г.А. Леоновым, Н.В. Кузнецовым и Е.В. Кудряшовой.

Вычисление символьных выражений ляпуновских величин и метод малого возмущения параметров системы позволяют, следуя работе H.H. Ба-утина (1949), получать малые предельные циклы вокруг состояний равновесия. Так, в случае двумерной квадратичной системы использование этих методов позволяет получить по одному "малому" предельному циклу вокруг двух состояний равновесия или три "малых" предельных цикла вокруг одного состояния равновесия. В общем случае для систем более высоких степеней упомянутые выше методы позволяют получить оценку снизу возможного числа "малых" предельных циклов. Также вычисление ляпуновских величин тесно связано с важным в инженерной механике вопросом о поведении динамической системы при значениях параметра близких к границе области устойчивости.

Позднее в работах S.L. Shi (1980) и Chen L.S. к Wang M.S. (1979) были получены квадратичные системы с "большим" предельным циклом вокруг одного состояния равновесия и с тремя "малыми" предельными циклами вокруг другого состояния равновесия.

Задача нахождения аналитических условий существования "больших" предельных циклов, а также задача их визуализации, по-прежнему актуальны и остаются до конца нерешенными как для полиномиальных двумерных систем общего вида, так и для простейшего случая двумерных квадратичных систем.

Некоторые аналитические и численные методы исследования "больших" предельных циклов были предложены в работах T.R. Blows, L.M. Рег-ko, R. Roussarie, JI.A. Черкаса. Также для исследования "больших" предельных циклов квадратичных систем оказался эффективным предложенный в 2008 году Г.А. Леоновым метод асимптотического интегрирования траекторий.

Цель работы. Целью работы является исследование периодических решений и вычисление ляпуновских величин двумерных динамических систем. Работа направлена на развитие аналитических и численных методов исследования предельных циклов и вычисления ляпуновских величин, изучение и визуализацию областей параметров, соответствующих существованию предельных циклов, и применение полученного численно-аналитического аппарата к исследованию двумерных квадратичных систем.

Методы исследования. Для исследования предельных циклов двумерных квадратичных систем в работе используются:

- методы вычисления ляпуновских величин (во временной области и евклидовой системе координат, классический метод Пуанкаре - Ляпунова) и их реализации в пакете Matlab - для вычисления символьных выражений ляпуновских величин и исследования "малых" предельных циклов,

- сведение к системе Льенара специального вида и метод асимптотического интегрирования траекторий - для локализации "больших" предельных циклов.

Результаты, выносимые на защиту.

• Разработаны и реализованы эффективные символьные алгоритмы вычисления ляпуновских величин для систем Льенара, основанные на методе вычисления ляпуновских величин во временной области и евклидовой системе координат и на классическом методе Пуанкаре

- Ляпунова. Использование данных алгоритмов и пакета вычисления Matlab позволило впервые получить выражения пятой, шестой и седьмой ляпуновских величин для системы Льенара в общем виде в терминах коэффициентов исходной системы.

• Использование описанных выше алгоритмов и пакета вычисления Matlab позволило впервые получить выражение четвертой ляпунов-екой величины в общем виде в терминах коэффициентов исходной системы (выражение занимает более 45 страниц).

• Получена теорема о существовании четырех предельных циклов двумерных квадратичных систем (двух "больших" - в случае слабого фокуса второго порядка и одного "большого" - в случае слабого фокуса третьего порядка). Полученная теорема обобщает известные результаты S.L. Shi о существовании четырех предельных циклов в двумерной квадратичной системе.

• Численно получена область параметров квадратичной системы, соответствующих существованию трех "больших" предельных циклов: одного - вокруг одного состояния равновесия (фокуса) и двух - вокруг второго состояния равновесия (слабого фокуса первого порядка).

• Построены двумерные квадратичные системы, для которых проведена визуализация четырех "больших" предельных циклов. Проведена серия численных экспериментов по исследованию области параметров квадратичной системы, соответствующих существованию четырех "больших" предельных циклов.

Достоверность результатов. Основные результаты диссертационной работы были получены с помощью строгих математических доказательств.

Символьные выражения ляпуновских величин, полученные независимыми реализациями двух разных методов, совпадают, что подтверждает их правильность. Применение разработанных алгоритмов для исследования двумерных полиномиальных систем малых степеней дает выражения, совпадающие с ранее известными результатами, полученными в работах H.H. Баутина, H.H. Серебряковой, S. Lynch, E.B. Кудряшовой.

Существование полученных в работе "больших" предельных циклов подтверждается теоретическими результатами S.L. Shi, J. Llibre и Г.А. Леонова, а также многочисленными численными экспериментами.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для исследования предельных циклов динамических систем, а также при решении задачи о поведении динамической системы при значениях параметра близких к границе области устойчивости и исследовании прикладных динамических моделей, возникающих в химии, биологии и электронике.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях «23-rd IAR workshop on advanced control and diagnosis» (Ковентри - 2008), «Workshop on numerics in dynamical systems» (Хельсинки - 2009), «MATHMOD 09» (Вена - 2009).

В том числе были представлены на мини-симпозиумах международных конференций «The Third International Conference on Dynamics, Vibration and Control (ICDVC-2010)» (Ханчжоу - 2010), XI международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Москва - 2010), «PSYC02010» (Анталия -2010).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 9 печатных работах, в том числе в 3 статьях [1, 2, 3], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах [1, 2, 7, 9] соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, все результаты получены диссертанткой самостоятельно.

В работах [4, 5, 6] диссертантке принадлежат разработка алгоритмов, реализация символьных вычислений и компьютерное моделирование.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, шести приложений, списка литературы, включающего 114 наименований, изложена на 125 страницах машинописного текста и содержит 30 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается история исследования периодических решений двумерных динамических систем, представлен обзор основной литературы по теме работы, а также краткое описание наиболее эффективных подходов и методов решения данной задачи, включая использованные в работе метод ляпуновских величин и метод асимптотического интегрирования траекторий, приведены статистические данные, подтверждающие актуальность тематики, которой посвящена диссертация, приведены некоторые примеры прикладных задач, связанных с изучением предельных циклов и ляпуновских величин. Кроме того, обосновываются научная новизна и практическая и теоретическая ценность результатов работы.

В первой главе исследуются "малые" предельные циклы (так называемая локальная шестнадцатая проблема Гильберта). Для этого используется метод ляпуновских величин (или констант Пуанкаре - Ляпунова), характеризующих устойчивость и неустойчивость в малой окрестности слабого фокуса, предложенный в классических работах Н. Poincare и A.M. Ляпунова.

В начале главы описываются основные фундаментальные и прикладные задачи, связанные с проблемой вычисления ляпуновских величин, дается краткий исторический обзор исследования проблемы, вводится понятие ляпуновской величины.

На основе метода вычисления ляпуновских величин во временной области и в евклидовой системе координат разработан алгоритм символьного вычисления ляпуновских величин, полностью приведенный в Приложении 3 вместе с программным кодом.

Для проверки полученных выражений разработаны и реализованы две модификации алгоритма символьного вычисления ляпуновских величин (в евклидовом и комплексном пространствах) на основе представленного в работе классического метода Пуанкаре - Ляпунова. Алгоритмы и программный код обеих модификаций представлены в Приложениях 1 и 2.

С помощью разработанных алгоритмов впервые получено полное выражение четвертой ляпуновской величины в общем виде, для вычисления которого требуется обработка миллионов символов, само полученное вы-

ражение четвертой ляпуновской величины занимает более 45 страниц.

На основе рассмотренных методов реализованы алгоритмы символьного вычисления ляпуновских величин для системы Льенара с линейной частью общего вида

х = -у,

У = 9х\{х)у + дм(х), где дх х(х) = дпх + д^х2 + ..., дх0(х) = дтх + д20х2 + д30х3 + ... и 5ю > 0.

Этот алгоритм позволил впервые получить символьные выражения пятой, шестой и седьмой ляпуновских величин в общем виде. Пятая ляпу-новская величина имеет вид:

Ь5 = зшшоопо)"/2 (-41580005З035203ЗЮ2511 - 5613300 5205ЗЗ025Ю 511 + +200475 д30 дсо дз1 5шб ~ 935550 д30 д50 д20 д31 дюъ - 561330 д30 д50 дп д40 д105 -

- 486486 5402530 5ю45п 520 + 280665 дь0 д40 д315ю6 - 2402400 д205д515ю3 + + 467775^50 520 5515ю6 - 160 1 600 52о75зо5п + 579150 д2о2дт 531 5ю5 +

+ 155925 5зо дп 580 5ю6 - 200475 д302дп дт д105 - 252 2520 д204дю 5315ю3 + + 5613300 52о55зо 5315ю2 + 467775 д303д20 д31 д104 - 1351350 52035ш4570 5и + + 486486 520 5402531 5ю5 + 1621620 д202д40 д51 д105 + 280665 д30 д10 д51 д106 -

- 1621620 52о2540 550 5ю45и - 3118500 52025з0 540 5315ю4 + + 1403325 д302д50 5ю45и 520 + 2522520 52045зо 5ю2540 5и + + 3118500 5з025ш35202540 5и - 3014550 д2035зо 5515ю4 -

- 467775 5зо2520 5515ю5 + 280665 5зо35и 540 5ю4 + 467775 д70 д20 5315ю6 + + 2402400 52055ю2550 5и - 467775 5зо45ю35п 520 + 127575 5ю 15ю8 -

- 935550 д30 д105д70 дп 520 + 467775 д30 520 5п 5ю6 - 280665 5зо2540 5315ю5 -

- 2113650 5203550 5315ю4 + 280665 д70 ди 540 5ю6 + 4158000 5го35зо25з15ю3 + + 5128200 52035зо 550 5ю35и - 579150 д30 5ю45го25бо 5п +1601600 52075з15ю + + 200475 550 511 дт 5ю6 - 467775 55о25ю55п 520 + 467775 д9а дт6дп 520 -

- 200475 5б0 5ю7551 - 280665 д40 д71 дт7 + 1351350д2<?9п9тъ ~

- 127575 <7п 5ю75юо - 4677753205915ю7 - 15592558о5ю75з1),

а выражения для шестой и седьмой ляпуновских величин Ь7 приведены в Приложении 4.

Вычисление ляпуновских величин независимыми реализациями двух разных аналитических методов с привлечением современных программных

средств символьных вычислений позволяет убедиться в правильности полученных выражений.

Кроме того, для квадратичной системы вычисляется первая ляпунов-ская величина вокруг второго состояния равновесия.

Полученные символьные выражения ляпуновских величин позволяют применить метод H.H. Баутина для исследования "малых" предельных циклов.

Вторая глава посвящена задаче Колмогорова о локализации "больших" предельных циклов двумерных квадратичных систем общего вида. В главе разобраны различные возможные конфигурации "больших", а также одновременно "больших" и "малых" предельных циклов квадратичных систем. Описаны аналитические методы и численные процедуры исследования "больших" предельных циклов, которые применяются для исследования двумерных квадратичных систем. В начале главы дается краткий обзор истории задачи.

В главе рассматривается квадратичная система общего вида

х = агх2 + hxy + с\у2 + счх + ßiy, у = а2х2 + b2xy + с2у2 + а2х + ß2y, (где ai,bi,Ci,ai,ßi - вещественные числа (г = 1,2)), которая сводится к следующему виду

х = х2 + ху + у, ^

у = а2х2 + b2xy + с2у2 + а2х + ß2y. Для полученной системы, следуя работам JI.A. Черкаса и Г.А. Леонова, проводится сведение к специальному виду системы Льенара

х = У, У = ~f(x)y - д{х) (3)

с функциями

f(x) = (A1x2 + A2x + A3)\x + l\«~2,

д(х) = (В1Х4 + В2х3 + В3х2 +

где А2, A3, В\, В2, В3, В4, q - параметры, зависящие от коэффициентов соответствующей квадратичной системы, а прямая {х = —1} является трансверсальной в квадратичной системе (2).

Приведение квадратичной системы к виду системы Льенара и применение метода асимптотического интегрирования траекторий позволяют сформулировать теоремы о существовании одного и двух "больших" предельных циклов системы (3) (а значит, и эквивалентной ей системы (2)).

Применение кроме того описанного в первой главе метода ляпунов-ских величин позволяет также аналитически получить области коэффициентов системы (2), соответствующих существованию четырех предельных циклов: одного "большого" предельного цикла в случае слабого фокуса третьего порядка или двух "больших" предельных циклов в случае слабого фокуса второго порядка.

Теорема. Система (2) имеет 4 предельных цикла, если выполнены условия

В работе проведено сравнение области параметров, описанной последней теоремой, с известными результатами S.L. Shi, а также J. Llibre, показано, что область, полученная с помощью метода асимптотического интегрирования совпадает с аналогичной областью J. Llibre и расширяет область, полученную в работе S.L. Shi, что говорит об эффективности использованного метода. На Рис. 1 заштрихованным изображена область Ши, а серым

/32е(0,е), «2 € (

с2е (1/3,1), Ьг е (1,3),

4а2(с2 - 1) > (62 - I)2, &2С2 > 1, 03(2 + 62) а2(2 + Ъ2) „

b2c2 - 1 ' Ъ2с2 - 1 +

-И), 1>6»е>0.

Рис. 1. Область Ши и ее расширение.

- расширяющая ее область, полученная в диссертации (сечение описанной в теореме трехмерной области при Ъ2 —> 3).

На Рис. 2 приведены различные сечения трехмерной области, соответствующей существованию четырех предельных циклов двумерных квадратичных систем.

Рис. 2. Сечения для Ъ2 - 2.6, 2.2, 1.8, 1.4.

Применение метода асимптотического интегрирования траекторий и разработанных численных процедур позволяют построить область коэффициентов системы, соответствующих новой конфигурации предельных циклов двумерных квадратичных систем: трех "больших" предельных циклов в случае фокуса первого порядка:

Система (2) имеет четыре предельных цикла (три "больших" и один "малый"), если выполнены условия ¡32 = 0, С2 £ (1/3,1), Ь2 < 3, 4а2(с2 - 1) > (62 - I)2, 2с2 < Ь2 + 1

и, если 62с2 < 1, то а2 = — е , 1 > е > 0, а2(2 + 62)

а если о2с2 > 1, то —-< а2 < 0.

Ь2с2 - 1

Причем проекция этой области на плоскость (Ь2, с2) имеет вид, изображенный на Рис. 3.

Согласно численным экспериментам, дополнительное возмущение коэффициента р2 позволяет получить конфигурацию четырех "больших" предельных циклов. В диссертации проведены моделирование и визуализация

Рис. 3. Проекция области, соответствующей 3 "большим" и 1 "малому" предельным циклам, на плоскость (&2, сг).

одного "большого" цикла вокруг состояния равновесия, находящегося слева от — 1, и трех "больших" циклов - вокруг нулевого состояния равновесия (Рис. 4).

Рис. 4. Локализация одного "большого" предельного цикла вокрух- одного состояния равновесия и трех "больших" предельных циклов вокруг другого.

Кроме того, в процессе проведения серии экспериментов исследовался так называемый "танец циклов", то есть преобразования конфигурации циклов в процессе постепенного изменения одного или нескольких коэффициентов системы.

Таким образом, в рамках исследования задачи Колмогорова (о визуализации предельных циклов двумерных квадратичных систем) для квадратичных систем получены новые аналитические результаты и проведены компьютерные эксперименты построения "больших" предельных циклов. Глава является продолжением работы Е.В. Кудряшовой (в которой была получена визуализация 1 и 2 "больших" предельных циклов квадратичных систем). Здесь развитие аналитико-численных методов позволило впервые получить визуализацию 3 и 4 "больших" предельных циклов, а также областей коэффициентов, соответствующих существованию этих циклов.

Приложения.

В Приложении 1 представлены алгоритм и компьютерный код для вычисления ляпуновских величин классическим методом Пуанкаре - Ляпунова в евклидовом пространстве.

В Приложении 2 представлены алгоритм и компьютерный код для вычисления ляпуновских величин классическим методом Пуанкаре - Ляпунова в комплексном пространстве.

В Приложении 3 представлены алгоритм и компьютерный код для вычисления ляпуновских величин в евклидовой системе координат и во временной области.

В Приложении 4 представлены выражения 4-ой, 5-ой, 6-ой и 7-ой ляпуновских величин для системы Льенара.

В Приложении 5 представлена серия численных экспериментов, соответствующих существованию трех "больших" предельных циклов в случае слабого фокуса первого порядка, полученная для коэффициентов квадратичной системы из численно полученной области.

В Приложении 6 представлена серия численных экспериментов, полученная в ходе последовательных изменений коэффициентов квадратичной системы, соответствующих существованию четырех "больших" предельных циклов.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Леонов Г.А., Кузнецова O.A., Вычисление первых пяти Ляпунов-

ских величин для системы Льснара. // Доклады академии наук, том 425. N 1, 2009, с. 45-47.

2. Leonov G.A., Kuznctsova О.A., Lyapunov Quantities and Limit Cycles of Two-dimensional Dynamical Systems. Analytical Methods and Symbolic Computation. // Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 15, N 2-3, 2010, pp. 356 379.

3. Кузнецова О.А., Шестая и седьмая ляпуновскис величины для системы Льенара. // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер. 10. вып. 4, 2010, с. 25-29.

Другие публикации:

4. Leonov G., Seledzhi S., Fyodorov A., Kudrvasliova E., Kuznctsova 0., Analytical-Numerical analysis methods of control systems. // Proceedings of the 23rd IAR workshop on advanced control and diagnosis (Coventry, UK),

2008, pp. 287-291.

5. Leonov G.A., Kuznctsova O.A., Seledzhi S.M., Hidden oscillations. // Abstracts of Workshop on numerics in dynamical systems (Helsinki, Finland).

2009, p. 18.

6. Leonov G., Seledzhi S., Kuznetsova O., Fyodorov A., Kudrvasliova E., Periodical oscillations of control systems. Analytical and numerical approach. /'/' Proceedings of Vienna confcrence of Mathematical modelling (Vienna, Austria),

2009, pp. 416-427.

7. Kuznctsova O.A., Leonov G.A., Localization of limit cycles in two-dimensional dynamical systems. // Proceedings of the Third International Conference on Dynamics, Vibration and Control (Hangzhou, China), 2010, pp. 249 -250.

8. Кузнецова О.А.. Вычисление ляпуновекпх величин и существование предельных циклов. // Труды XI международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва. Россия).

2010, с. 229.

9. Kuznctsova О.A., Leonov G.A.. Computation of Lyapunov quantities and limit cycles. // Proceedings of IFAC Workshop «Periodic Control Systems» (Antalya, Turkey), 2010, p. 8.

Подписано в печать «12» октября 2010 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ №_

Типография «Восстания -1» 191036, Санкт-Петербург, Восстания, 1.

61 11-1/252

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

Кузнецова Ольга Александровна

ЛЯПУНОВСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ ДВУМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Леонов Г.А.

Санкт-Петербург 2010

дЗЗбЗ-11

Оглавление

Введение 6

1 Символьные вычисления ляпуновских величин и малые предельные циклы 11

1.1 Введение ............................. 11

1.2 Ляпуновские величины..................... 14

1.3 Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова....................... 18

1.3.1 Вычисление ляпуновских величин в евклидовом пространстве .......................... 19

1.3.2 Вычисление ляпуновских величин в комплексном пространстве .......................... 20

1.4 Метод вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области ............... 23

1.5 Символьные выражения ляпуновских величин ....... 25

1.5.1 Ляпуновские величины для общего вида полиномиальных систем...................... 25

1.5.2 Метод сведения квадратичных систем к системам Льенара.......................... 26

1.5.3 Ляпуновские величины для систем Льенара..... 29

1.5.4 Ляпуновские величины для квадратичных систем . 31

1.6 Ляпуновские величины и малые предельные циклы..........35

2 Исследование больших предельных циклов 38

2.1 Введение ..........................................................38

2.2 Один и два больших предельных цикла квадратичных систем 40

2.2.1 Метод асимптотического интегрирования траекторий 40

2.2.2 Критерии существования предельных циклов .... 52

2.2.3 Визуализация области параметров, соответствующих

существованию одного и двух больших предельных

циклов........................... 60

2.3 Три и четыре больших предельных цикла квадратичных

систем............................... 64

2.3.1 Численное построение области коэффициентов, соответствующих существованию трех больших предельных циклов квадратичных систем........ 65

2.3.2 Визуализация четырех больших предельных циклов квадратичных систем и исследование танца циклов . 68

Приложение 1 70

Приложение 2 80

Приложение 3 85

Приложение 4 93

Приложение 5 100

Приложение 6 Литература

Введение

Исследование предельных циклов двумерных динамических систем стимулировалось как чисто математическими задачами (16-я проблема Гильберта, задача центра и фокуса /Davies & James, 1966/, /Петровский, 1970, Амелькин и др., 1982, Амелькин к, Садовский, 1982, Arnold, 1983, Christopher, Lloyd &; Pearson, 1995, Anosov et al.,1997/, /Садовский, 1997, Andrianova, 1998, Chavarriga & Grau, 2003/, /Андреев, 2003, Yu, 2005, Gine, 2007/), так и многими прикладными задачами /Андронов & Леонтович, 1956, Андронов и др., 1959/, /Андронов и др., 1966, Strogatz, 1994, Chicone, 1999, Mark Kot, 2001/, /Shilnikov et al, 2001, Anishchenko et al, 2002, Murray, 2003/, /Rockwood, 2006, Kuznetsov, 2008, Leonov et al, 2009, Jones et al, 2010/.

Так, к исследованию двумерных квадратичных систем приводит рассмотрение различных популяционных моделей в биологии /Колмогоров, 1972, May, 1976, Murray, 2003/ (например, модели "хищник - жертва" Лотка-Вольтерра), а уравнение Льенара описывает динамику различных механических и электронных систем /Леонов, 2006/. В таких моделях важную роль играют предельные циклы /Strogatz, 1994/.

Заметим также, что с вычислением ляпуновских величин (используемых в работе для изучения "малых" предельных циклов) тесно связан важный в инженерной механике вопрос о поведении динамической системы при значениях параметра близких к границе области устойчивости

/Баутин, 1939, Баутин, 1952, Marsden & McCracken, 1976/. Так, в случае двух комплексно-сопряженных характеристических корней двумерной системы в окрестности стационарной точки (критический случай) при пересечении границы устойчивости от отрицательных значений действительной части корней к положительным, если первая неравная нулю ля-пуновская величина отрицательна, граница является "безопасной". Напротив, если первая неравная нулю ляпуновская величина положительна, граница является "опасной", то есть при малых изменениях траектория может отойти бесконечно далеко от состояния равновесия.

В 1901 году Гильберт в своей знаменитой 16-й проблеме сформулировал задачу анализа взаимного расположения и числа предельных циклов двумерных полиномиальных систем. В настоящее время, по прошествии более ста лет, в рамках исследования этой задачи было получено большое количество теоретических и численных результатов (см. список литературы в обзорах /Ye, 1986, Lloyd, 1988, Reyn, 1994/). Но задача все еще далека от решения даже для класса квадратичных систем /Арнольд, 2005/.

Задача исследования предельных циклов двумерных квадратичных систем может быть условно разделена на исследование "малых" предельных циклов (локальная шестнадцатая проблема Гильберта) и изучение "больших" предельных циклов, то есть циклов, которые могут быть получены при помощи численных процедур /Регко, 1990/.

В работах Баутина /Баутин, 1949, Баутин, 1952/ с помощью метода ляпуновских величин и малых возмущений показано, что в квадратичных системах вокруг одного состояния равновесия может быть построено

3 "малых" предельных цикла.

Затем в работах /Chen к Wang, 1979, Shi, 1980/ был найден класс квадратичных систем с 3 "малыми" предельными циклами в окрестности одного состояния равновесия и одним "большим" предельным циклом вокруг другого состояния равновесия. А в работах /Artes et al, 2006, Леонов, 2009/ приведены квадратичные системы с двумя "большими" предельными циклами.

Многочисленные публикации также посвящены развитию методов глобального анализа, вычислению ляпуновских величин и поиску максимального числа предельных циклов для различных классов двумерных полиномиальных систем (см., например, /Петровский к Ландис, 1957/, /Петровский к Ландис, 1959, Cesari, 1959, Черкас, 1973/, /Баутин & Леонтович, 1976, Shi, 1981, Ильяшенко, 1985/, /Виноградов к Осипов, 1987, Lloyd к Pearson, 1990, Perko, 1991/, /Zhang et al, 1992, Blows к Rousseau, 1993, Arnold et al, 1994/, /Blows к Perko, 1994, Gaiko, 1997, Lloyd к Pearson, 1997, Alwash, 1998/, /Roussarie, 1998, Lynch, 2001, Chavarriga к Grau, 2003, Li, 2003/, /Cherkas et al, 2003, Yu к Han, 2005, Artes et al, 2006, Gine, 2007/ и многие другие).

Изучаемая в работе проблема исследования предельных циклов остается актуальной и по сей день, что подтверждается тем фактом, что каждый год выходят в свет сотни научных работ (книг и статей), посвященных данной проблеме. Ниже приведено число публикаций по данной тематике за последние пять лет, иллюстрирующее растущий интерес к проблеме исследования предельных циклов (информация взята с сайта

www.scien.cedirect.com):

2005 год - 634 публ.

2006 год - 693 публ.

2007 год - 848 публ.

2008 год - 789 публ.

2009 год - 1067 публ.

Таким образом, рассмотренные в работе проблемы вычисления ля-пуновских величин и исследования предельных циклов являются актуальными проблемами, имеющими большое значение как в математике, так и во многих других областях.

В данной работе рассматриваются различные методы вычисления ляпуновских величин, получены символьные выражения первых семи ляпуновских величин для общего вида системы Льенара, используемые для исследования "малых" предельных циклов. Следуя работе /Леонов, 2009/, для системы Льенара с разрывной правой частью описан метод асимптотического интегрирования, позволяющий локализовывать "большие" предельные циклы. С помощью процедуры сведения к виду системы Льенара /Черкас, 1976, Ьеопоу, 1998/ и метода асимптотического интегрирования в работе приведены простые условия существования одного и двух "больших" предельных циклов квадратичных систем.

Метод возмущения ляпуновских величин вместе с методом асимптотического интегрирования позволяют получить условия существования четырех предельных циклов квадратичных систем: двух "больших" предельных циклов в случае слабого фокуса второго порядка и одного "большого" предельного цикла в случае слабого фокуса третьего порядка.

Полученные здесь условия имеют очень простой вид и обобщают широко известную теорему Ши /Shi, 1980/.

Развитие метода асимптотического интегрирования траекторий позволило впервые получить новые конфигурации "больших" предельных циклов для квадратичных систем: двух - вокруг одного состояния равновесия (слабого фокуса первого порядка) и одного - вокруг другого состояния равновесия, а также трех - вокруг одного состояния равновесия и одного - вокруг другого состояния равновесия. Кроме того, в работе проведено исследование так называемого "танца циклов" (то есть преобразования конфигурации циклов в процессе постепенного изменения одного или нескольких коэффициентов системы).

1. Символьные вычисления ляпуновских величин и

малые предельные циклы

1.1. Введение

Первая часть работы посвящена символьным вычислениям ляпуновских величин. Метод вычисления ляпуновских величин (называемых также иногда фокусными величинами и константами Пуанкаре-Ляпунова) был предложен в конце 19-го века в классических работах А. Пуанкаре /Poincare, 1885/ и A.M. Ляпунова /Ляпунов, 1892/. Заметим, что знак ляпуновской величины характеризует закрутку/раскрутку решений системы в малой окрестности состояния равновесия и устойчивость/неустойчивость критического состояния равновесия.

Как было замечено выше, развитие методов вычисления и анализа ляпуновских величин стимулировалось как чисто математическими проблемами (такими, как задача различения центра и фокуса, задача определения цикличности фокуса, анализ устойчивости динамических систем, а также знаменитая 16-ая проблема Гильберта), так и прикладными инженерными задачами (такими, как исследование границ области устойчивости и возбуждения колебаний).

Заметим, что задачей символьного вычисления ляпуновских величин, то есть поиском символьных выражений ляпуновских величин в терминах

коэффициентов правых частей рассматриваемой динамической системы, ученые начали заниматься еще в первой половине прошлого века. Однако, существенное продвижение в изучении ляпуновских величин стало возможным только в последнее десятилетие благодаря применению современной компьютерной техники и пакетов символьных вычислений. Так, символьные выражения для первой и второй ляпуновских величин были получены в 40-50 - е годы прошлого века /Баутин, 1949/, /Серебрякова, 1959/, в то время, как выражение для третьей ляпуновской величины в общем виде было впервые вычислено только в 2008 году /Леонов и др., 2008/, а выражение для четвертой ляпуновской величины - в 2009 году автором данной работы. Получение выражений для третьей и четвертой величин стало возможным благодаря развитию аналитических методов вычисления ляпуновских величин, реализации эффективных алгоритмов на их основе и применению современных методов компьютерных вычислений.

В настоящее время существует несколько методов нахождения ляпуновских величин и их компьютерных реализаций, которые позволяют определять ляпуновские величины в виде символьных выражений, зависящих от коэффициентов разложения правых частей уравнений системы. Эти методы различаются по сложности реализации алгоритмов, пространству, в котором проводятся вычисления, и компактности получаемых символьных выражений /Малкин, 1966, Chow к, Hale, 1982/, /Gasuli & Prohens, 1997, Li, 2003, Chavarriga к Grau, 2003/, /Lynch, 2005, Dumortier et al, 2006, Christopher & Li, 2007, Gine, 2007/, /Yu & Chen, 2008/.

Первый метод нахождения ляпуновских величин был предложен в работах /Ротсаге, 1885/ и /Ляпунов, 1892/. Этот метод основывается на последовательном построении функции Ляпунова на основе интеграла линейной части системы. Он изложен ниже (см. "Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова").

В дальнейшем были разработаны различные методы вычисления ляпуновских величин, использующие приведение системы к нормальным формам /Уи, 1998,1л, 2003/. Однако при реализации этих методов возникают сложности, связанные с неоднозначностью процесса построения нормальной формы системы.

Другой подход к вычислению ляпуновских величин связан с нахождением приближений решения системы. Так, в работе /Ляпунов, 1892/ используется переход к полярным координатам и процедура последовательного построения приближений решения.

В работах /Kuznetsov & Ьеопоу, 20081, Кигпе180У & Ьеопоу, 20082, Ьеопоу а1, 2008/ был предложен новый метод вычисления ляпуновских величин, основанный на построении приближений решения (в виде конечной суммы по степеням начального данного) в исходной евклидовой системе координат и во временной области. Преимуществом данного метода является идеологическая простота и наглядность. Этот подход также может применяться для решения задачи определения изохронного центра /БаБаМт & СЬауап^а, 1999/, так как позволяет найти приближение времени "оборота" траектории в зависимости от начальных данных. Этот метод изложен ниже (см. "Метод вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области").

Часто для упрощения алгоритма вычисления и конечных выражений ляпуновских величин используются различные модификации рассмотренных выше методов, связанные с преобразованием системы к комплексным переменным /Щуко, 1968, Gasull et ah, 1997, Li, 2003/, /Yu & Chen, 2008/. Так, на основе модификации для комплексной области метода построения функции Ляпунова в 1968 году была разработана, по-видимому, первая компьютерная программа вычисления ляпуновских величин /Щуко, 1968/.

Отметим, что вычисление символьных выражений ляпуновских величин может быть также сведено к применению рекуррентных формул /Lynch, 2005/, использованию алгебраических методов построения и исследования специальных полиномов /Romanovskii, 1996/.

1.2. Ляпуновские величины

Рассмотрим достаточно гладкую двумерную систему

^ = ^ = (1.1)

где ^(0, 0) = бг(0, 0) = 0 (т.е. точка (0, 0) является стационарной точкой системы). Запишем систему (1.1) в виде

% №

— = д10х + д01у + д{х, у),

где разложение функций / и д начинается с членов не ниже второго порядка.

Будем предполагать, что в открытой окрестности и радиуса Яц точки (х,у) = (0,0) правая часть системы имеет непрерывные частные производные п-го порядка

/(•,•),<?(•,•): К х Ж Ж еСп(и) (1.3)

и выполнено представление

п

Нх,у)= £ 1к^кУ3 + о((\х\ + \у\Т)=и(х,у) + о((\х\ + \у\Г),

кТ (1.4)

д(х,у) = ^ 9к^У* + о{(\х\ + \у\)п)=дп(х,у) + о((\х\ + \у\)п).

к+з=2

Рассмотрим матрицу первого приближения системы в нулевой стационарной точке

^(0,0)

^ fio foi ^ дю goi )

(1.5)

и, введя обозначения

о = ТгЛ(0)0) = fio + 0оъ д = det A{0fl) = f1Qg01 - /01^10, запишем ее собственные числа

а . а2

Ai'2 = _2±VT~A'

Пусть матрица А(0,о) первого приближения системы имеет два чисто мнимых собственных числа (т.е. <т = 0иД>0).В этом случае, не умаляя общности (т.е. существует неособая линейная замена переменных), можно считать, что

fio = 0, /oí = -1, дю = 1, 001 = 0

Ь,2к+1 . /I 2к+К

кИ +о(И )

Рис. 1.1. а) Центр Ь) Фокус: определение ляпуновской величины.

и рассматривать систему

И/г

= х + д(х,у). Здесь в системе первого приближения

й-у

(Iх <И

(1.6)

с1х

-У,

(й

х

(1.7)

системы (1.6) собственные числа матрицы правой части равны ±г и все траектории системы первого приближения являются замкнутыми, а стационарная точка (0, 0) называется центром (Рис. 1.1, а). Для исследования влияния нелинейных членов /(гг, у) и д(х,у) на поведение траекторий системы (1.6) в малой окрестности стационарной точки рассмотрим, следуя методу Пуанкаре, пересечение траектории системы (1.6) с прямой х = 0.

Выпустим в момент времени £ = 0 из точки (0, К) (к - достаточно

малое) траекторию К), у(Ь, К))

(х(0,к),у(0,к)) = (0, /г) (1.8)

и обозначим через Т(К) время оборота траектории — время до следующего пересечения траектории с прямой х = 0 (для достаточно малых /г такое время существует и конечно, так как правые части систем (1.6) и (1.7) отличаются на о(|ж| + \у\) в окрестности нуля). Тогда

х{Т{Н),Ь) = О,

а у(Т(Ь),К) можно последовательно приближать отрезком ряда по степеням К

у(Т(Ь),Ь) = к + Ь2к2 + Ь3к3 + ... (1.9)

Здесь первый ненулевой коэффициент Ьт называется ляпуновской величиной, определяет устойчивость или неустойчивость стационарной точки и характеризует закрутку/раскрутку траектории (Рис. 1.1, Ь). Можно показать /Ляпунов, 1892/, что первый ненулевой коэффициент будет обязательно иметь нечетный номер т = (2&+1). Значение Ь2к+\ называют к-ой ляпуновской величиной

= 1>2к+11

а состояние равновесия — слабым фокусом к-то порядка.

Аналогично вводится понятие ляпуновской величины и для комплексных собственных чисел матрицы первого приближения (1.5) в случае а т^ 0. В этом случае вводится понятие нулевой ляпуновской величины Ьо = Ь\

у{Т(Ь),Ь) = {1 + Ъ1)Ь, + о{Ь),

которая характеризует экспоненциальный рост решений системы (аналогично ляпуновским экспонентам или характеристическим показателям, см. /Демидович, 1967, Демидович, 1969, Leonov & Kuznetsov, 2007/), обусловленный вещественными частями собственных чисел.

Отметим, что, следуя работе A.M. Ляпунова /Ляпунов, 1892/, аналогичную процедуру исследования устойчивости можно проводить и для систем большей размерности (в случае, когда у линейной системы два чисто мнимых корня и остальные отрицательные). Некоторые результаты по вычислению ляпуновских величин для систем большей размерности, содержатся, например, в /Баутин, 1949/.

1.3. Классический