Обратная задача для дифференциальных разностных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г I и

1995

<нистерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан

У*

Ташкентский Государственный Университет

На правах рукописи,

ХАСАНОВ Акназар Бекдурдиевич

Обратная задача для дифференциалЬнЫх разностнЫх операторов

Специальность 01. 01. 02-Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент-1994

Работа выполнена на кафедрах „Высшая математи Самаркандского архитектурно-строительного института „Математика, Ургенчского Университета

Научный консультант - доктор физико-математических на

профессор Б. В. ЛЕВИТАН

Офицальные оппоненты - член-корреспондент АН Узбекист;

доктор физико-математических на профессор Ш. А. АЛИМОВ

- член-корреспондент АН Таджикист; доктор физико-математических на; профессор К. X. БОЙМАТОВ

доктор физико-математических на} профессор Ш. Я. ЯРМУХАМЕДОЕ

Ведущая организация: Институт математики СО РАН

Защита состоится „ 199^Гг. в /г,

на заседании Специализированного Совета Д. 067.02.21 п

Ташкентском Государственном Университете по адресу: 7000!

Ташкент-095, ВУЗгородок, ТашГУ, Мехапико-математическ

факультет, аудитория 205-А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиоте Ташкентского Государственного Университета Автореферат разослан

V

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор физико-математических наук'ЭД^'У С. Р.

к^^/с'р. УМАРС

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теки. Обратная задача (03) спектрального анализа заключает .я в восстановлении линейного оператора по тем или иных его спектральный характеристикам. Таяшги харак -термстиками шгут быть ¿центры, спектральная функция, данные рассеяния и другие. Подобные задачи возникает в квантовой ме -ханике, например, при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, т.е. по спектру, который может быть най -ден экспериментально. В последнее время интерес к обратным задачам значительно возрос в связи с'открытием метода обратной задачи в теории интегрирования нелинейных уравнений математи -ческой физики.

Наиболее полные результаты в теории 03 известны для дифференциального оператора Штурма-! иу вилля

03 для оператора Штурма-Лиувилля исследовалась в работах-В.А. ' Амба^огмяна, Г.Борга, Ю.М.Березанского, А.Ш.Блоха.М.Г.Гасьшова, И.М.Гельфанда, М.Г.Крейна, Й.Кея, Б.М.Левитана, Н.Левинсона, В.Э.Лянце, В.А.Марченко, X. Мозеса, В.В.Жикова, Ф.С.Рофе-Беке-това, В.А.Садовничего, А.Н.Тихонова, Л.Д.Фаддеева, Л.А.Чудова и других. Первый результат в этом направлении принадлежит Э.А. Амбарцумяну . Он показал, что если собственные значения крае -вой задачи - у,'+ С[СоЬ , у'<Го) = О, у'(Я)> = О

суть ' £ > к* О , то О . Однако резуль-

тат В.А.Амбарцумяка является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения диф -ференциалъного оператора. Впоследствии Г.Борг доказал, что два спектра.оператора Етурма-Лиувилля с одним облри: краевым уело -

виеы однозначно определяет функцию Д.Н.Тихоновым

получена теорема единственности реяения 03 Ютурма-Лиувилля на полуоси ло -функции .Вейлв-Тнтчмарва. Асимптотическое

разложение -функции Вейля-Титчма^ша изучалось в рабо-

тах яЛЖплгоп, £ & ук^и,

А.А.Даниелнна, Ь.К-ЛевиТанв н в первой главе настоящей диссертации в случае оператора Дирака.

В 1984 г. Хвррксом получено асюсптоткческое разложение для функции Вейля-Титчыарща задачи Вягума-Диувшш на полуоси . с по?ещг;алом ' ё б*[о, /) .

* .

Г К=1

где €>■<■£ * {£ -фиксированное число), постоян-

ные^! Д суть многочлены <бег свободного члена) относит ель/ а) но • - * * $ СоУ В частности, если все эти

прс из водные равны нулю, то разложение (I) содержит только един точный член . Впоследствии при тех же условиях,что

у Аарриса, А.А.Даниёляном И Б.МЛевитаном был неделек еще один точный член асимптотического разложения (I).

. . До Харртса рад авторов ( Р. з(. :оп ) получали дга-тр» первых чкена ьсинптоти -

ческого разложения (I).

Пусть потенциал с[сю . оператора У£ имеет мЯ

а функция при »—*■ оо удовлетворяет оценхам

с ^ > о и /«/,/, 3 ,

Оказывается, что у оператора Штурма-Лиубилля на подуоои с таким потенциалом возникает собственные значения на непрерывном спектре. Впервые это обнаружили Дж.$он Нейман и Е. Вигнер. Они подобрали функцию I^a?) так, что при некоторой J соотнес -ству-^ео уравнение Штурма-Лиувилля. - J/V c^ds^y ? t точно решается, а решение пригтдлегшт L. . Их пример

был впоследствии обобщен в работах jT.fca.to, Simon, M-S. //¿W, А JldetJ, А. &иМА>,. Л.А.МалозекоЕа, МЛЗ. СкриганоЕа, В.Б.Матвеева и ряда других авторов.

Такие примеры мошо строить, решая соответствующую обратную спектральную задачу методом Гель^аеда-ЛеБитана. Однако, исследование поведения получающегося потенциала на бесконечности является в об'цем случае весьма нетривиальной задачей. В глаге II насгсяцеК работы, в случае оператора Дирака найдены достаточные условия принадлежности получавшегося потенциала пространству

В последнее время резко возрос гчтерес к оператору Штурма-Лиу вилля с почти-периодическим потенциалом. Ото было вызвано открытием связи между спектральной- теорией оператора Штурма-Ьиув. лля и теорией уравнения НдЗ: ^ - ^ с1ххх

а также открытием для оператг 7а Штурма-Лиувилля с почти-периоди -чесхим потенциалом многочисленных Физических приложений.

Оператор Штурма-Лиувилля с почти-периодическим потенциалом изучен в работах Г.Иар?а, И.Динабурга, Я.Г.Синаг, П.Лакса, В.А. Чулаессксго, Юр.Мозера, Д.Аврона, Б.Сайгона, Б. И.Левитана, A.B. Савина, Г.П.Пак-кит, Е.Трубовкца, С.П.Нопикопа, М.А.Шубина, A.A. Пастура, Ткаченко, Б.Л.Дубромша, В.Б.Матвеева, А.Р.Игса, Дойт-Танака и др.

Впервые оператор Штурма-Диувилля с "очти-периодическим потенциалом был рассмотрен б работе Г,Шарфа. В ней доказана почти-иериодичность на диагонали функции Грина уравнения Шгурка-. -Лиуг.клля — у" -¿^¿фу с почти-периодическим

потенциалом Ч^хУ . Следующие работы были вызваны развитием аппарата конечноэонного интегрирования уравнения Кдф . Замечательным достижением в этой области явилось, открытие С. И.Новиковым кваэи-периодичности по Л и по г конечнозон-ных реиенм'' уравнения Кдф. Г.П.Мак-кин и Е. Трубовиц доказали почти-ле^лодичноеть во времени решений уравнения КдФ с прокз -вольными периодическими начальными значениями, а Б.Ы.Левитан доказал квази-г.ериодичность конечнозонных, почти-периодичность по времени решений уравнения КаФ с бесконечяозонныыи начальными значениями.

Конечнозонные потенциалы оператора Штурма-Лиувилля впервые -'или рассмотрены Н.И.Ахиезером, он ограничился случаем четных потенциалов. Замечательная часть работы Н.И.Ахиезера заключается в том, что решение обратной задачи в случае конечкозон" -ных потенциалов было сведено км к проблеме обращения Якоби а5елевых интегралов. Как выяснилось позже, для метода Ахкезера четность пот нцкала несущественна. На это обстоятельство впервые обратили внимание А.Р.И^с и В.Б.Матвеев, которы». ксполь -зуя теорему Ахиезера, к*вели для конечнозонных потенциалов явнув формулу. В работе Б.А.Дубровина, С.П.Новикова Л -зон -ные потенциалы определены как функции С[(ХУ , для которых ревения Блохь. урашения £лурма-2куышш Ч^^У ~

есть мероиорфная функция на гиперэллиптическ^й римановой поверхности Л^ рода X . Из этого определения с-.вдует, что элементы спектральной матрицы-функций

Аа> =

уравнение -у' - суть алгебраические функции

на Пу . Последнее обстоятельство позволило Б.Ц.Левитану применить к исследованию вначале конечнозонных, а затем и бес -конечнозонных потенциалов традицион' че методы решения обратной задачи Штурма-Яиувилля.

Обратная задача Штурма-Яиувилля на всей прямой по спек -тральной матрице-функции изучалась А.Ш.Блоком, Ф.С.Рофе-Бекето-вым. В случае конечнозонных и бесконечнозонных потенциалов уравнения Штурка-Лиубилля теореуа Рофе-Бекетова оказалось весьма эффективной.

В работе В.А.Марченко, И-В.Островского предложен другой подход к обратной периодической задаче Штурма-Лиувилля, а впоследствии Т.В.Мисюрой решена периодическая обратная задача для оператора Дирака:

о. М ±_

""{-Г О) ¿X ^ с[Сх) -АЛу -

Уравнение Дирака - одно из основных уравнений квантовой механики. Оно получено факторизацией уравнения Иредингера и описьшает некоторые явления, не поддающиеся объяснению с помощью уравнения Шредингера. Оператор Дирака, : эобч;э говоря, неполуог-рзничен, и многие методы, разработанные для изучения полуогра -ничешпх операторов, к нему неприменимы.

Изучегие оператора Дирака с почти-периодическим потенциалом представляет не только чис^о теоретический интерес в спек-

тральной теории но к кыеет приложения в решении задачи Коши для нелинейного уравнения йредингера ( ОТ ): г/ф -

-X Ы И- С, ¡¿(¿егс>у)=Ц.(>с) и Модифициро ванного уравнения КдФ: - С /«/V , . Подробному изложе-

нию связей 03 с нелинейными уравнениями математической Физики посвящены книги В.Е.Захарова, С.В.Манакова, С.П.Новикова, 1.П. иитаевского (1980), Л.Д.Феддеева, Л.А.Тахтаджяна (1986), Ц. АОлогица, X. Сигура (1987).

Важным этапом в теории обратных задач и их приложений явилось г^реньсение методов, разработанных для уравнения Штурма-Лгу: .ллй, на системы двух дифференциальных урашк: ;ий, типа системы Дирака.

Обратная задача для системы Дирака была изучена в работах М.Г.Гасымова, с.Ы.Левитана, И.С.Фролова, Л.П.Ннжника, Фам Лой Ву,Максу, оьа, С.Велкева, В.Е.Захарова, А.Б.Шабата, Л,А. Тахтаджяна, Л.Д.Фаддеева, М.Абловица, X.Сигура, Д.Каупа, А. Ниюела, А.В.Савина, А.А-.Даниеляна, М.З.Замонова и. в третьей главе настоящей работы.

Важную роль в построении и исследовании так называемых релений Поста в теории рассеяния для возмущенного уравнения Хилла

- / * ['ю + У = '2)

где ЛйО -периодическая Функция, ЦГЯ) -достаточно быстро убыващая .функция, сыграла ¿СЛ) -функция Коши не возмущенного уравнения Хилла. В этом случае Ф.С.Рофе-Бекетов и Н. Е-Фирсеза получили рашоыернуъ оценку для функщй Коши невозмущенного оператора Хилла. Это оценка позволила упомянутым выше

авторам развить прямую, а впоследствии Н.Е.Фирсовой и обратную задачу для уравнения <2). Прямая задача для уравнения (2) изучалась также В.А.Желудевым.

Обратная задача теории рассеяния для возмущенного ураа-ненк • Хилла исследовалась в работах Н.Е.Фкрсова, А ,

Г. уС и В.Д.Ермакова.

Прямая и обратная задача теории рассеяния для уравнения

Еида

где ^ Саг) -есть вещественная конечнозонная (не обязательно периодическая) функция, ¿[(Я} -достаточно быстро убывающая Функция, изучалась в работах Р.Ф.Бикбаева, Р.А.Шарипова и в 1У главе настоящей диссертации.

Обширная библиография посвящена обратной задаче для обыкновенно' дифференциальных операторов высших порядков и уравнений с частными производными. Это направление в теории 03 достаточно полно отражено в работах Е.А.Барановой, Р.Билса, М.Г.ГасымоЕа, З.Л.лейбензона, В.И.Рыкова, Л.А.Сахновича, З.В.Суханова, Б.А. Страхова, И.Г.Хачатряня, В.А Зрко, В.Е.Аниконова, А.Л.Бухгейма, М.М.Лаврентьева, Л.П.Нижника, В.Г.Романова и др.

Этим определяется актуальность диссертационной работы.

Цель работы. Целью диссертационной работы являются:

1). Изучение

асимптотического поведения —функции

Вейля-Титчмарша в случае оператора Дирака.

2). Доказательство существования собственных значений, лежащих на непрерывном спектре оператора Дирака.

3).Исследование обратно" задачи на всей оси по спектраль-

ной матрице-функши и почти-периодичность конечноэокшх и бескокечнозонньк потенциалов оператора Дирака.

4). реыение прямой и обратной задач теории рассеяния для возмущенного конечнозонного оператора ¡¡л'урыа-Лиувилля.

5). Рекенне задачи Коши для нелинейного уравнения Кд1> с самосогласованным ксточнигом в классе начальных данных типа ступеньки.

6). Получено также решение 03 теории рассеяния на полуоси для системы двух разностных уравнений первого порядка.

Обдая меггцика исследования. В работе используются методы спектральной теории операторов, Функционального анализа, теории обыкнс еснных дифференциальных уравнений и уравнений с частными прокгьсдньшк.

Научная новизна. Все результаты диссертации яеляются новыми и опу.'^дико ваш в работах автора. Огчовньми -результата'® диссер -тацки являются следуюцие.

1). Получено асимптотическое разложение -функции Ье.лэ-Тигчмарша оператора Дирака.

2). Построен пример оператора Дирака, имеющего счетное мнокество собственных значений, лежацих на непрерывном спектре; исследовано поведение коэффициентов оператора :а бесконечности, т.е. найдены достаточные условия принадлежности коэффициентов оператора пространству (О, 00У .

3). Доказана разрешимость обратной задачи на всей ос»: г« ■ спектральной матряце-функцки к квазипериодичность решений нелинейного уравнения Шредингера с произвольными конечнозонными началь -

ными значениям::. -

4). Получена равномерная оценка функции Коши в случае непериодических конечнозонных потенциалов оператора Штурма-Лиубилля.

- II -

5). Решена задачи Кол., для уравнения Кортевега-де 5риза (Кдй) с самосогласован^ м источником в классе, начальных данных типа ступень:<и.

6). Получено также репение 03 теории рассе.лия на полуоси для систеш двух разностных уравнений первого порядка.

Приложения. Работа ¿осит тес ретический характер. Полученные з диссертации результаты и методы исследования могут оыть использованы з спектральной теории операторов, в математической Физике при интегрировании нелинейных уравнений, а такзе в квантовой механике и других областях естествознания.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теории функций и %нкциональногс "анализа МГУ под руководством профессоров Б.М.Левитана, А.Г. Костюченко, А.А.Шкаликсва на семинарах кафедры математического • анализа МГУ под руководством про*. З.А.Садовкичего; на семинарах ИМ АН РУз под руководством академиков ¡¿.С.Салахитди :ова, Т.Дж. Джураева; на семшарах каФедры математической. «Физик» ТэгеГУ под. руководством чл.-корр. АН РУз Ш.А.Алимова; на се^каре кафедры

шаг-опального анализа под. руководством академика T.A.CawMca-кова и чл.-корр .АН РУз ДиА.Аюпова; на объединенном семинаре математического Факультета иамГУ, на Интернациональном симпозиуме по компьг.эризации томографии (Новосибирсх 1993 г.); на советско-иа.льянском симпозиуме (Самарканд 1990 г.); на СНГ УП1 конференции "Качественная теория дифференциальных равнений (Самарканд IS92 г.); на всесоюзной сколе ..олодаос учены "функциональные методы в прикладной математике и математической -Физике" СТае^ент 1983 г.},; на Международной научной конференция "Зырсждазадаеся уравнения я уравнения смешанного типа" (г.Ташкент. 1993 г.); за яаучнс-яссяедовательсас« сзмпнаре Ж СО PAR nci —уксвсдспс.* -тзофесгз-оэ Д.Л.БухгэЯяа л З.Г.ЛП0.

- Ii. -

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения^шести глав и списка литературы. Кавдая глава разбита на параграфы. Объем диссертации 270 страниц машинописного текста. Библиография-160 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ. I. В главе I рассматриваете;! уравнение вида

с граничным условием

СЗ')

где

» fр 1 \ Г) / Рсяъ № \

=4 pj> л1= (. уаь / (4)

Предположим, что элементы матрицы •f^-СЛ0 принадлежа1: классу C*r<i\J) для некоторого (Г > О . Пусть число из интервала

rf+b

Пусть множество К : определяется так:

кв^я+iyeC: fal>i, fc/tff^ */*/ ,с к>о |.

Пусть фугасции определяются рекурентными равенствами

4 (*>=4 Í- ~i¿ ]

¿i

iñH ~ 4 <*> ~ & Cxi) -

л n-i .

J-f . J*f

Основным результатом этой главы ягляется следупгая Теорема I (Теорема 1.1.1). Для V J é fC справедлив

асимптотическое разложение Функции Бейля-Титчмароа .-задачи(З-о): у

* °(1x1 ib) Если fr >/ tcjxj , то остаток в форцуле (5) есть

0(Ш '). (5')

II. В главе II построен прммер оператора Дирака, ммекд**-• го счетное множество собственных значений, яежалсос на непре -рыЕнсь. спектре.

Основными результатами главь' II является сдедутаие теоремы.

Теорема 2(Теорема 2.2.Пусть Д, л Яж последовательности положительных чисел, удовлетворяющих уело -зиям

) ал ■<- оо , ) ¿■¿я*'!, (б)

\ £ Г^ -

Тогда существует единственная непрерывная: матрица-функ -

цил

вида (4), такая, что функция

где есть функция Хевисайда, является спектральной

фукщйей оператора $ , порождаемого задачей

У,

= + С***«?),

'М

:щягчем

/>(ГО) * { Яа, -

в'котором /¿'¿Г - совокупность собственных значений,

лвжалрк на непрерывном спектре оператора , т.е. вложен-'

кые собственные значения.

Если условия теоремы выполнены, то

= ¿ л- - 4, ♦

где , удовлетворяют системе уравнений

-■>*>* г

У. Ся)= }

1,п 1

X .

и неравенство

IM. ± (¿г*) (hn +О ,

о,

с некоторой константой -

Теорема 3 (Теорема 2.2.2). Пусть Ял я <2*.

последовательности положительных чисел, удовлетворяющих услсви-виям Сб) теоремы 2,и пусть для некоторого Ii) .ылотаяжтся условия

2 Уъ 4 - 2 fäz < - . Г

Krrf /1*1 :

Тогда для любого Р7 Луккции ,

определенные равенствами (7>", принадлежа* классу

Рассмотрим, самосопряженный оператор в -л, С

порожденный диФ+ерекциальным выражением

. „ /о f \ b //Г*) ajT) \

к граничным условием

£ ¿О) е+и - ¡/хСР)&а - О, Л £ Ю>

где и определены равенствами (7).

Теорема 4 (Теорема 2.2.3). При Уи £ оператор

не имеет влокенны.: собственных значений, т.е.

/ее

В частности, если

где а, >о, $7> О , то коэффициенты оператора = имею» вив

а, ¿ллл,х а,

и а,х

г

б сэбственная функция оператора % . соответствующая собственному значению Л, имеет вид

1 /■ Яя2,я\

5 этом частном случае функция Еейлг-Ъггчмарша СЗУ операторе Я>[ имеет простой невещественный шш». - точке

¿О :

^ <? (С; .

циклах поверхности . Обозначим через С] Сх) - 1/^Ся)

У! -зонный потенциал с лакунами ГЛ С^,fy.fr) и

спектральными параметрами X {о) = . ЛО, ), ^ ],

Пусть О и с/{з, ¿) удовлетворяют нелинейному уравнение Шредингера вида

и н£ "альными условиями

Тогда функция (потенциал) = ^("х, - //¿а» ¿5 удовле_воряет

нелинейному уравнени" Шредингера, т.е.

-¿¡и)хи ио) с*), я?е£'.

Известно, что при фиксированных 3 и / функция /3 = I)- (как функци». от ДГ ) являет-

ся конечнозонной с тем- же лисунамн СЯ„ ¡и,}, - - •, причем ее спектральные параметр ¿У ^ С/); ЙГ""^?,

а ^» ^)' . при изменении

£ и / движутся по -циклам римановой поверхности .

Известно, что спектральные параыетвы £) у,

1еляися решениями следующей проблемы обращения Якоби:

(У)

Г ( 4 аьк

\ \ . ..— - ик $ + Ц. ¿, /с* 4 ..,,

4 /чТУ

л

V г' Рк <гЫг ,.ос „¿г.

где ^

ьоелевн дифференциалы третьего рода на римановой поверхности П^ с полюсами в бесконечных точках , оо_ , нормиро-

ванные у. лобиями

где к -символ Кронекера.

Осноеньч результатом §3 главыШ является следующая Теоре:-а 7 (Теорема 3.3.1). Функции ^(ГХ^ и квази-периодичны как по пер^енноЯ. , так и попеременной

Отсюда и из, «л называемых формул следоБ легко следует , что решение М(х, О - 0 ~ ^г-> ^ нелинейного уравнения Шредин-гера •

является КБвзи-периодкчееким.

Отметим, что квази-периодичность решения уравнения КдФ, е случае конечнозонной начальной функции, впервые была устало».-

лена С.П.Новиковым. Б.М.Левитаном предложено другое доказательство этого результата.

4). В §4 главы III изучается свойство Еьг-ожденти конечно-зонных потенциалов оператора Дирака.

Рассмотрим' /У -зонный потенциал = с^(х)-ifyCx)

оператора Дирака вида (3) с ликунами (Л,, , . С^. Ду) и спектральными параметра!« JjCo'>~C\-C0>;6j')t f. ¿[ij,

fjro)-Or f ),

Пусть некоторые из разрешенных зон (спектр) стягиваются к гоч ам • /С, С 4 * * • • • * ¿П , л -Предположим, что ,®се оставп^еоя разрешенные зоны, кроме лежат правее точки . В этом случае, интерзалы (!i,t^ли^)t

>Д«V-• • «УЗ*;ß,) будем называть лакунами, и* оЗъэдинетк обозначим через £ . Объединение остальных интервалов вещественной оск, т.е.

£ и и-- -О

назовем спектром. Полином А С?) в это ' случае, имеет еид

= 9'а) Фт. to - П а-*.>,

. у

уЧ»/ ' ' ' Далее, пусть заданы действительные многочлены.

Рсъ^л**...

и / •• • степени Л' и степени ¿ jY-t .

На непрерывном спектре ^ определим элементы спектральной матрицы следущим образом:

-L

dt

Qa)

ü ' x» ±Д?Б

dl-JL Sm

3 точках , л -дискретного спектра

скачки элементов спектральной матрицы зададим по формулам

fa/'Ф - лг —

(12)

Б §4 г-лавк III показано, что тоадество"(10),которое является б невырожденном случае условием разрешивстк обратно* задачи на" всей прямой, играет ту хе роль а в Еырожденнси случае.

Предположим, что в начальный момент спектральные параметра

fttä, i Со), - . . , fy , расположены по одному в кал;ом

и.а интерв&ло L

ГЛ , ¿7) , СЪ, - • -, <Чи, ,<£>,..С*,. /и,) .

При этом е силу тоядестЕа(Ю) существует- чис..а q. , j^ /Г-7, лежащие по одному в каждом из интервалов

...... . CAs.fs*),

такие, что многочлены /fj), fy}), QС?У и

имеют ввд

j/ Jf ' (13)

бе». А» 5 f'fff ■

где знаки & ±f можно задать произвольно. Решив по спектральной матрице

/ im }г» \

где

(?■)> определены по «Формулам (11),(12), (13) и (10), обратную задачу, определим функции и tfO) .

Тогда, функция ¡¿(^У = ctfXj - i ßfz') будет вырожденным по-

тенциалом, свойства, которого изучается ниже. 3 §4 глаш III доказывается следующая

Теорема в(Теорема 3.4.1). Вырожденней конечнезонккй потенциал Ufr) ~ rffx) - i J>CXb при Z-» ±oo представляется

в ведь

* i i U(x') ■= Ut >aO у ^ ?-*), U, Csc) = £.7.*) -/ / ГДЕ), j*1,X ,

4 J 4

i *

где if, (x) и /f -квази-периодические функции с одинака -

EöiK периодами,^чиело которых не прегосхоцит Л*-а , функции ^ . и -э.-сспоненциально убывает.

5). §5 глэ^ы III посвящен изучению бесконечнозонных потенциалов оператора Дирака в 'чучае, когда лакуны могут сгуцать -ся к конечным точкам.

Пусть для открытого множесгво

ОО

А = U (Лк, до С СО;

сузестг.-уэт кеперееекагчеся ограниченные интервалы с

с. (О; со_, го следующими свойствами:

1). Luffa j (V,^/j - M*-*»- •

2), , ' /»У,л. 3----

DO

3i. 2 <2* 4 00 > ГД-О < *>,

где

« I

«o

K:4

Дог.-со заметить, что из I) - 35 следует

- -

1 Ъ-V ~ фиг*1/'! < -/-1 * -

В каждом из интервалов [^ г вь:берем по произволь-

ной точке ^ , , / Л, ... и зададим произвольно з::аки <5^ у = ... . Пусть уУ-произвольное натуральное число и

М

К ■

Тогда, существует кЕази-периодический -зонный потенциал ¿^¿х) оператора Дирака

й Л СШ

со спектром = ^ \ Ду и спектральными параметрами

В §5 главы III показано, если открытое множество

«ю

О оо)

удовлетворяют условиям 1)-5) , то последовательность конечнозон-кых потенциалов С«) = ¿а-) _ / ^ ¿■х) по ^

усеченны/, спектральным данным, сходится (равномерно на каждом конечном интервале действительной оси) к некоторому потенциалу ИСх) = - , который

определяется однозначно и является почти-периодической функцией по Бору, причем у оператора Дирака с предельные потенциалом спе;ггр . совпадает с множеством

м ,

СЦ >¡и}))

1У. В г лаге 1У изучается прямая я обратная задача теории рассеяния для Есзкузенного кснечнозонного оператора Елурыа-¿иуишия:

-1'+ I +*<*>]? Ш)

где -есть вещественная кокечнозонная (не обязательно пери-

одическая) функция а х) -достаточно быстро убываяща* функция.

Обозначим, через /?>, I, ЛУ -пункцию Коей кевозмущенного оператора (¿4). Нетрудно получить, что для Я . лежащего строго внутри спе.-стра, имеет -лесто оценка £ , причеч

не гаЕисит ст £ иг , но существенно зависит от растояния ст точка А до конца блюгай^ей из разрешенных зон.

& ** I приедены необходимые сведений для изложения резуль -хата главы ГУ.

С-сноеиьы результатом 52 главы и является следуадая Теорема 9 (Теорема 4.2.1). Дяа любых и Лбё,

место оценка

4 а, I*-*/ * ^,

»

где , -постоянные, ¿у -спектр не возмущенного конечно- .

зонного оператора 114).

У. В главе У методом обратной задачи теории рассеяния по. учены некоторые решения нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником:

-V

со -во

где .Здесь Л ЛО -

произвольная непрерывная функция от / , а Ко(х) ре-дественная функция, обладавшая следующими свойствами:

а) сузесгвует три непрерывнее'' производные ¿ф, такие, что

<7-*) € С- Р*> » 4 ^ <*. *V.

^ е «о;

б) уравнение йтурма-Лиувилля

¿¿г*

<

имеет ровно //' дискретных собственных значений .

Отметим,что задача (15) -119) в случае й^О впервые рассматривалась в работах Б.К.Мельникова . Рассмотрим уравнения Штурма-Лиувилля

I' + =гО. (20)

Полога»! Л = ц обозначим через <<# -. вь'йирзя ветвь кор: 1 в плоскости с разрезала! i ¿1 такую, что %*£,>(> при Утк>0 . Пусть

т^ (&',£,{) к ^ - > -решения задачи рассеяния

(20), имею'дие следущие асимптотики

-¿МГ

Гс С= ^ Ж-*-*

е. О * ^ ^м>й\ х-г+со

. -¡*х

I с*,о = е + 5и с*,ы + 0*1 >0, «?.

Матрица

называется £ -матрицей уравнения (20). Свойства элементов

$ -матриц, изучены в работах 1.Д.Фяддееьа, В.С.Ьусл&эва, 3. Я.Фомина, Е.Я.Хруслова, В.А.Марченко, Б.М.Лртатана, Зеф Р., £. Рш^Шл. Коэффициент допускает аналитическое про -

дол..;ение по К в верх к®?0 полуплоскость, за исключением конеч -наго числа точек на мнимой оси , - , м* • где

она имеет простые полюса, которые соответствуй! "")чкам дискрет - ' кого спектра уравнения (20), т.е. при ¿гИ^,, /У

справедливо равенство

IV*, ъ, о г & № I Гее, Ь., О.

где в-личины не зависят от X , = 0 и

величины кщ на зависят от 4 .

Основном результатом главы У является следующая

' Теорема 10 (Теорема 5.2.1). Если функции /¡7*0,

яь.лются решениями задачч Коши (15) - (19), то функции

5 (е,и % /я =•зависят от времени 4 следующим

V * образом:

£ о - £ <г>, о)- еяр ("Ьпк^о^ ,

- 4 * ...

- I

о

при д-/ 4 е

= 5, ехр {-(?** - ^ }

при •> С

г*,^ = & {глА - } >

-7

ГД'2

6«", с> и Д, Л?) есть данные рассеяния уразнен-ч (20) при ^ = О .

3 эгсм сл.'чае интегральное уравнение Гельранда-Леьктана--¡¿¿рчег:;«; имеет еид

«о

I»

* Ыт в о • (21)

■ 1 Г л 1 у г

* ц' ] I + \ д; го/ * — \ 4 А о £ ^

— \ * } ¿'с .

** А * '

будем называть нормировочными многочленами задачи (23)-(24).

Определение. Функцию рассеяния , неЕецестгснние

сингулярные числа Я*, , . ■•, Ял+ ; Л,, , ■ • ■, и нормировочные многочлены $^бт), ^. (&) будим называть данными рас-веяния задачи (23) - (24).

В § 5 главы У1 доказана основная теорема об описании дан -ных рассеяния.

Теорема II (Теорема 6.5.1). Пусть даны: а) функция /V/5) б) числа р* , ¿=1,1,..., Л

Р-1,1, I, ..., ^ в) многочлены относительно ¡п ]

и ОрС^У, и>°Х

Для того, чтобы совокупность величин а)-б)-в) была д-лными рас -сеяния задачи (23)-(24), при условии (25), необходимо и достаточно, чтобы г шолнялись следующие условия:

I) Функция Ц" '(р допускают аналитическое продолже-

ние в полосу 4 и в этой ■ полосе являются функци -

ям., типа (

2) Функция Т^ допускает факторизацию . -Ьпр

1+ 1

гдо «о.

3) Справедливы соотношения

Яго + 2 £ =°,

мн

-хотя.

м*1

4) Однородная система уравнений > а)\ 00 О- \ ,

' 1(Л\ , а- \ /Л

Л* \ ^Г I 0 Ъм+ХЛ \ (А*

' /__ 14 .. о

*

и.«эет только уривиальное решение в ^ ¿'У, «О , пе

-"I ^ «ЗГ"! '

¿г/

о! последовательности и удовлетворяю-*'

еравзнсгзам

и -постоянное число.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ЖЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Д&чиелян A.A., Левитан Б.М., Хасанов А.Б. Асимптотика - Функции Вейля - Титчмарша в случае системы Дирака.

Матем. заметки. 1991 Г.,т.50,вып.2,стр.67-75

2. Хасанов А.Б. Асимптотика -функций Вейля-Титчмарша для оператора Дирака. Тезисы докладов.СНГ УШ Конференция "Качественная теория дифференциальных уравнений". 1992 г. г.Самарканд, стр.118.

3. Заманов М.З.,Хасанов А.Б. О разрешимости обратной задачи для системы Дирака на всей оси. Вестник МГУ, cep.I, I96£,;'f.,с.J-7.

4. Хасанов А.Б. Вырождение конечно-зонных потенциалов е ' -случае систем Дирака. ДАН УзССР, 1986,№1,с.Ю-12.

5. Хасанов А.Б. О вложенных собственных значениях оператора ■ Щтурма-Лиу».илля. Изв. АН УзССР, 1990,№3,ст41-47.

6. Хасанов А.Б. О вложенных собственных значения оператора

Шредингера. ДАН Г'зССР, 1990,03,с.9-12. f

7. Хасанов А«Б. О вложенных собственных значения оператора Дирака. ДАН УзССР*, I989,Ji5,c.8-II.

8. Хасанов А.Б. О собственных значениях оператора Дирака расположенных кi непрерывном спектре. ЛВД , 199^ ,т.9Ъ

9. Л е ей тан Ь.М., Хасанов А.Б. Оценка функции лоа?.. Узб.М.Ж. 1992, № 3, с. 24-34.

10. Левитан Б.М.,Хасанов А.Б. Оценка Функции Неги в случае конечнозонннх непериодических потенциалов. Функц.анализ и прил., 1992, т.26, шп.2,стр. 18-28.

II. Хасанов А.Б. Обратная задача рассеяния для возмущенного конечнозовдого оператора 1турма-Лиубилля. Тезисы докл.Советско-итальянского симпозиума. Самарканд, 1990 г. стр. 45-4о.

12. Хасанов А.Б. Обратная задача рассеяния для возмущенного конечнозонного оператора Штурма-Лиу билля. ДАН УзССР, 1991, №1, стр.9-12.

13. Хасанов a.b. Обратная задача рассеяниг для возмущенного конечносокного оператора Штурма-Лиубилля. ДАН СССР, 1991 ,т.318, i? 5, cap. 1095-1098.

14. Хасанов А.Б. ОБ одном способе вычисления ?ормулы следов самосопряженного оператора Шредингера. В кн.: Качественные и аналитические методы в динамике систем. Сб. науч.трудое.Самарканд 1967 г.,ст?.82-6б.

1Ь. Хасанов А.Б. Обратная задача теории рассеяния для систе-

ди^.нкх уравнений первого порядка. ДАН СССР, 1984,т.277,¡.-3, стр.¿1-94:62.

16. Хасо-'ов А.Б. Обратная задача рассеяния на полуоси для CKCT2MK разностних уравнений. ДАН СССР, 1984,т.278, F6,стр.1316-19.

17. Хаег-нов А.Б. Обратная задача рассеяния на полуоси для системы разность:?.« уравнений. В кн.: Краевые задачи для неклас-слчзсгих уравнений математической Физики. Ташкент. <£ai .,1986 г., стр.20е - 295.

¡(kubo-Mf A.B. Eiiün&ie i ОCxbucjli' fiU7C,iiOni IM Hu. CA iL. finlii - lo>iz and üifinüe. - го«е КОИ - pc-riiMie. poi&ntiAts. Xniernxiiom l Symposium

V:a ■kcvxo^raphy.. f/oibilßlriK t

?j. Хасанов А.Б. Об интегрирован-и уравнения Кортевега-Де Гсиза с самосогласованным источником. Тезисы докладов. Мохцунлрод-ко?, научной KOH'f-.cpeiir.vui "Бь-ралдпждиеся уравнения и уравнения cv/.i:::i>üuoro типа". Патент, 1992 г., стр. 169.

20. Хасанов a.b.,Уаматсв А.э. разложение по ccöctfch.Ihm *унк -циям д,:я розненного кочечкозокиогс оператора Дирака. ДАНРУа.,

21. Хгсанов А »Б., *!ама?св АЛ Вирсхденпз конэчксзонш* потзнг.::а-лов к задача рассеяния для системы Лирака. УзМ'Л. 159<ч Г I. С. 65-73.

А.Б.ХАСАНОВ

r.!íí53P3H[I!:AJI В А ЧЗШ-АкйРШЯ ОПЗРАТОРЙР У ЧУБ TSC КАРИ МАО Л.ЛАЛАР

Уабу дгссгртапия )'ирак, Ктурм-Лиувкя ва чекли-айярмали опера-

торла? епектралъ кааариясияянг тескари мае глас ига б огии ланган бу-гл'З, укда пуйидагх мссалалар куря яга н:

I. J'üpaK cnspaïop"!«îHr no(2.) — Взйл-Титчмаря"функциясининг {¡сгштстккесл урганияган.

2- Узлукскз спэктр::да ссноцли .:ос т;ий!!атларга вга булган Дирак сператс-рг ^угилган.

3. Ч;кл':; ва чоксяз зсналя потенциалля Лирак оператора уч-'Я теокерл иес-ле ечплган.

Н. Сп.тт:;;!!ЛГпн ч°клп зона ля Штурн-Ллувпл оператора учун ссчвлин i з^г;;;яс*:н:;чг тугая ва тескари иасасалари цапалгяя.

5. '1сслгзтир'!лгрн ??акбаля чизиь;сиз Кортевег-де Фриз тзнглрчася учулг 'Соси насалзсикл'.г с олитсискмон' ечш.п: тепклган.

6. Лрпи уг;да чзклп-аЕируали теигламалар систомаои учун сочялиш :'азг.р::яс;-;г. >г гтри во теейарп насалалари очилга...