Индуцированные гомоморфизмы колец Витта квадратичных расширений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ).

Глава I. ЯДРО ИНДУЦИРОВАННОГО ГОМОМОРФИЗМА КОЛЕЦ ВИТТА. КВАДРАТИЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ.РАЦИОНАЛЬНЫХ. . . . .ЧИСЕЛ. II

1.1. Предварительные реаультаты. II

1.2. Ядро гомоморфизма.

1.3. Ядро гомоморфизма, когда d-типа I.

1.4. Ядро гомоморфизма, когда d-типа П

Глава 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ВИТА ЭРМИТОВЫХ ФОРМ НАД

АЛГЕБРОЙ КВАТЕРНИОНОВ СО СТАНДАРТНОЙ.ИНВОг-. . . ЛЮЦИЕЙ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ.ЧИСЕЛ.

2.1. Предварительные реаультаты.

2.2. Вычисление групп. Витта. эрмитовых. форм. над. . телом кватернионов.

2.3. Вычисление групп Вйтта эрмитовых, форм.над. . матричной алгеброй,кватернионов.

2.4. Предложения.

Глава 3. О-НЕКОТОРЫХ ИЗОМОРФИЗМАХ ГРУПП ВИТТА.

3.1. Изоморфизм групп Витта: эрмитовы форма над . кольцом матриц с инволюцией транспонирования

3.2. Инволюция в алгебре кватернионов.

3.3. Изоморфизм группы Витта: эрмитовы формы над матричной алгеброй. кватернионов. нестандартной инволюцией

Глава 4. ОПИСАНИЕ ЯДРА ГОМОМОРФИЗМА ГРУПП ВИТТА

НАД АЛГЕБРОЙ КВАТЕРНИОНОВ, ИНДУЦИРОВАННОГО. . КВАДРАТИЧНЬМ РАСШИРЕНИЕМ ПОЛЯ.

4.1. Случай тела.кватернионов.со,стандартной.,. . инволюцией

4.2. Слунай матричной алгебры кватернионов. а нестандартной инволюцией

4 3. Случай тела кватернионов с матричным

Диссертация посвящена двум задачам: первая из них относится к теории билинейных симметрических форм над лолем, вторая - к теории эрмитовых форм над кольцом с инволюцией. В обеих задачах определяется ядро индуцированного гомоморфизма колец (соответственно групп) Витта, а именно: а) вычисляется ядро индуцированного гомоморфизма колец Витта квадратичных расширений поля рациональных чисел: г* iл/й - vaci/dT) ,. б) описывается ядро индуцированного гомоморфизма групп Витта над алгеброй кватернионов над квадратичным расширением поля К ,

Кроме того, рассматриваются примыкающие вопросы о вычислении групп Витта эрмитовых форм над алгеброй кватернионов над полем рациональных чисел и изоморфизм групп Витта эрмитовых и билинейных симметрических форм. .

Известно, что ядро i* состоит из четномерных анизотропных форм над й и совпадает с главным идеалом (<i> -<d>)W(R, 12.].

Имеется аддитивный групповой изоморфизм (см. tl] ) W€l & © ^EZ W IFр . который осуществляется посредством , Эр) » где £ - сигнатура (кольцевой гомоморфизм), др - аддитивный гомоморфизм, являющийся композицией отображения локали-. зации WQ.-*' Wt£Lp и аддитивного гомоморфизма класса, вычетов, ассоциированного с р-адическими нормами: W(&p->W[Fp» Этот изоморфизм известен как слабый принцип Хассе-%нковского.

С использованием этих фактов описывается ядро как аддитивная подгруппа в WQc точно указанными образующими. В зависимости от cL , соответстауялцие образующие порождают две группы, обозначаемые ИCLX и Min .

В главе I для каждого из этих случаев приведено отдельное доказательство (теорема 1.3,4, теорема 1,4.4). Заметим, что при подборе образующих дришлось использовать некоторые факты из теории чисел, в том числе теорему Дирихле ( L4] , £5 3 , £6] .Ээа задача решалась испанскими математиками Франциском Мартином и Аюзо [3] , но. описания-ядра i* с помощью образующих и соотношений не получено. Отметим, что I и П части теоремы 3 этой.работы неверны, что следует из результатов главы I (следствие 1.4.7).

С помощью результата работы Элмана и Лэма теорема с ,[123 установившего точность последовательности tf-^iZ (<i>-<a>)WFWK —Vf1 WL *=1 £Kaj=2 для глобального поля, т.е., в частности, для. & , получено уточнение описания ядра индуцированного гомоморфизма мультиквадратив-ного расширения (Следствие 1.4.8):

Мя-Х +22 Min, I=-[d Id-типа l}9 J= (of jd-типан} X J

Из точнооти последовательности iZ 3J, til

О WH ( *) W<£L WQ.(VcT) вытекает, что ядро i в точности совпадает с группой Витта эрмитовых форм WHC*) с инволюцией (а + Ь}/с>Г)а - ЬУсГ, то есть

WHCft/y, *)= Кеъь*С* Мах или Ml*.

Следвтвие 1.4.9).

Во второй главе диссертации вычисляется группа Витта эрмитовых форм (со стандартной инволюцией) над алгеброй кватернионов над полем рациональных чисел. Полученные результаты утверждают, что в зависимости от того, является ли алгебра кватернионов а) телом или б) кольцом матриц, группа Витта оказывается изоморфной (теорема 2.2.5 и теорема 2.3.4):

Ь f Z/2Z> OL>0 ИЛИ Ь>0 9 CL<0 И b <0, или б) WHCIH-Мг(&)9 ot соответственно.

Для поля вещественных чисел изоморфизм WH(1Н = ( а был получен Фрелихом 116] для полей IR , (£Lp изоморфизмы тривиальны, а изоморфизм = А) = полУчен Дукамото [29]. В работах Левиса [30] отмечены трудности вычисления группы WHUH-(^j^), S) для числового поля /С , в частности для (С = & .

Если инволюция S нестандартна, задача представляется сложной, так как пока не существует полной системы инвариантов для косоэрмитовых форм над телом [28], [14], [21].

В работе [26] был доказан принцип Хассе [27] для эрмитовых форм над любым телом кватернионов со стандартной инволюцией.

В условиях приведенного выше утверждения любой эрмитов модуль над алгеброй кватернионов (Следствие 2.1.4) разлагается в ортогональную сумму одномерных ([20], C22J), т.е.

М,6)=1СМ{,В£) , = Ме* Ш , i*/.

Тогда отображение J"*: \J<& -+> WHCIH-i2^), - сопоставляющее каждому симметрическому билинейному модулю N над Ф, эрмитов модуль M=W®IH над IH » являетмя эпиморфизмом (предложение 2.1.6). В случае, когда IH - тело, I - вложение (как аддитивной группы), где

I: whcih,-) — w&, некоммутативный аналог теоремы Джекобсона CI, Арр,2 ] , С17 J ) и следовательно, имеем коммутативную диаграмму (Следствие 2.1.9): whcih, -i—- wa

-<а>)(<1> -<b>)

WGL

Отсюда V/HCIH, ") о: (<1>-<Ь>)(<1> -<o>)Wft.

В случае, когда IH - кольцо матриц над ©., ядро отображения J : W(& —*WH(IH,~) совпадает о идеалом JtyQ.cz WQ. форм четной размерности и поэтому

WHCмг (&),-) *weL/JW& «

Глава 2 завершается вычислением гдуппы Витта эрмитовых форм над кольцом матриц порядка 2 (над полем К характеристики, не равной 2), с симплектической инволюцией [71. Показано, что она изоморфна -^у^^ЕГ (теорема 2.4.1).

В третьей главе .устанавливаются следующие изоморфизмы (теорема 3.1.^- , теорема 3.3*6, гл. 3): .

WH(Mn(tC), t) а , где t - транспонирование и \*/Н(Мг(К), .

Эти изоморфизмы связаны с эквивалентностью в смысле Морита категорий эрмитовых модулей над £ и над МпОс). Отметим, что исследование эквивалентностей в смысле Морита эрмитовых форм проводилось З.И.Боревичем CIO,113 , А.В.Яковлевым

CI5] , ©релихом [16J , ЛешсомИЭЗ , а также применялись АЛОоза-павичусом [13] , [18 J дри рассмотрении действия .унитарных гр.упп. Дополнительно к Морита-эквивалентности необходимо доказать, что расщепляющиеся модули над полем 1С переходят в расщепляющиеся модули над соответстаующим кольцом МП(К),

Второй из .указанных изоморфизмов. существенным образом используется в четвертой главе в теоремах 4.2,1 и 4.3.4.

В четвертой главе 1С - поле характеристики * 2 . Пусть IH алгебра кватернионов над К » L - квадратичное расширение поля К., L = К-/сР, deKy S - инволюция на IH (на IH^^ IH ® L ). Гомоморфизм J: IH IHL алгебр с инволюцией индуцирует гомоморфизм групп Витта над алгеброй кватернионов с инволюцией S • : WHCIH,S)-WH(IHU, S) .

В четвертой главе научается ядро этого гомоморфизма. В ней получены следующие результаты: а) Если инволюция 5 - стандартная, /Н - тело кватернионов, IHL - алгебра кватернионов, то найден общий вид образующих ядра

В частности, при К = ф. если а. < О f b <0 я ol <0 , в остальных случаях ядро равно Еулевое (теорема 4.1.5). (Замечание, Если кольцо матриц над © , то ядро может быть либо О или ^^ (Следствие из 3.3.6); б) Если инволюция 3 - нестандартна, 1Н~ (^^т) и являются кольцами матриц, то ядро изоморфно ядру i рассмотренному в первой главе. Б частности, при группа

ICe^J* изоморфна группе Мах или (террема 4.2.1); в) Если инволюция S - нестандартна, 1И-(b) - тело, кольцо матриц (здесь приходится налагать дополнительные ограничения: L - KCj>") , а) , то последовательность WtС модулей точна (теорема 4.4.4 ).

0 — WHC IH,-)— WH СU WHCIH, Л) — Л).

Заметим, что в этих условиях *|L = jL . В связи с данной последовательностью отметим, что в 1973 году Милнор обобщая результаты Д&екобсона [17] , получил точную последовательность

О —WH(P9 S)—** Wq, (Fo) — Wc\,(F), где F - любое поле, 5 - нетривиальная инволюция на г Для некоммутативного случая, когда |Н - тело, им был получен аналог теоремы Джекобсона [I , стр. 119], а именно, точная последовательность

О-*- U/HCIH,S) Wcf,(IHc).

В 1979г. [8J , £.9 J Левис .удлинил эти точные последовательности: ^ —. т Р*

WH( L, WK-+ WL^ WK , где отображения ir* индуцированы отображениями . f V е # а для некоммутативного случая, когда Щ - тело, им была получена точная последовательность: о -*whcih, -) & уна, "J -+wh(ih, л) WL где отображение f^* индуцировано отображенишяи : /Н L , + А

В частности, при K-Q имеем (Следствие 4.3.5): а-типа I и Ь<0

Ke/vj*- есж типа л >0 или Ь > О

Kvts^^WbYx/g? если а-типа П, а<0 и Ь<0

1£ел>J- /z'Z есж <Х~ ТИПЭ иж Ь>0.

Основные ре&ультаты докладывались на алгебраических семинарах и сданы в печать в виде даух статей:

О ядре индуцированного гомоморфизма колец Витта квадратичных расширений поля рациональных чисел";

О группах Витта эрмитовых форм над алгеброй кватернионов над полем рациональных чисел".

Автор глубоко благодарен доценту А.В.Михалёау за руководство работой, внимание и поддержку.

1. Milnor J., Husomoller D. Symmetric bilinear forms. - Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, New-York, 1973.

2. Lam T.Y. The algebraic theory of quadratic forms. Benjamin, New York, 1973.

3. Francisca ГЛ., Martin В., and Ayuso T. El Nucleo del Homomor-phism Rev.Math.Hisp.Amer., v.38 (1978), No.2-3, p.94-99.

4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

5. Серр Ж.П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

6. Боревич В.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972.

7. Beidar K.I., Mikhalev A.Y., Salavova К. Generalized Identities and Semiprime Rings with Involution. Mat. Z., v.178, No. 1, 1981 , p.37-61.

8. Lewis D.W. Quaternionic skew hermitian forms over a number field. J. Algebra, 74, 1982, p.232-240.

9. Lewis D.W. A note on hermitian quadratic forms. Bull. Lond. Math. Soc., 11, 1979, p.265-267.

10. Боревич В.И. Симллектические пространства с р группами операторов над полем характеристика р , мат. заметки, 6, вып.2, 1969, с.181-186.

11. Боревич В.И. О симплектических пространствах с группами операторов, мат. зап. Уральского ун-та, т.7, вып.З, 1970, с.36-50.

12. Elman R. Quadratic forms under multiquadratic extensions. -Proceeding A 83(2), 1980, p.131-145.

13. Юозапавичюс А.Э. Эрмитовы формы над кольцами с инволюцией. Диссертация, 1980.

14. Lewis D.W. Hermitian forms over division algebra. Linear Algebra and Its Applications, 43, 1982, p.245-272.

15. Яковлев А.В. Симллектические пространства с операторами надкоммутативными кольцами. Вестник ЛГУ, № 19, 1970, с.59-64.

16. Frohlich and McEveit A.M. Forms over rings with involution.- J. Algebra, 12, 19б9, p.79-104.

17. Jacobson N. A note on hermitian forms. Bull.Amer.Math.Soc., 46, 1940, p.264-268.

18. Иозапавичюс. Строение инвариантных подмодулей Л-эрмитова модуля относительно действия на нем унитарной группы, 07 фев. 1977. Депонир. в Лит. НИИНТИ, В 120-77.

19. Lewis D.W. Forms over real algebras and the multisignature of a manifold. Adv. in Math. 23 (1977), p.272-284.

20. McEveit A.M. Forms over semisimple algebras with involution.- J. Algebra, 12, 1969, p.105-113.

21. Bartels H.J. Invarianten Hermitescher Formen in Korpen der characteristik 2. J. Reine Angew. Math.,183 (1975),p.148-167.

22. Pollak B. The equation (tat=b) in a quaternion algebra. -Duke Math. J. 27, 1960, p.261-271.

23. Elman R. and Lam T.Y. Quadratic forms under algebraic extensions. Math. Ann. 219, 1976, p.21-42.

24. Вейль А. Основы теории чисел. M.: Мир, 1972.

25. Albert A. Structure of Algebras, AMS Colloquium, 1961.

26. Ramanathan K.G. Quadratic forms over involutorial division algebras. J- Indian Math. Soc. 20, 1956, p.227-257.

27. O'Meara O.T. Introduction to quadratic forms. Springer-Ver-lag, 1963.

28. Lewis D.W. Some canonical pairings of Witt Group of forms.- J. Algebra, 81, 1983, p.508-520.

29. Tsukamoto T. On the local theory of quaternionic anti-hermi-tian forms. J. Math. Soc. Japan 13 (1961), p.387-400.

30. Lewis D.W. A Product of Hermitian Forms over Quaternion Division Algebras. J. London Math. Soc. (2),22, 1980, p.219-220.