Некоторые алгоритмы построения решений нелинейных дифференциальных уравнений с особенностями и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОД ™

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ЛОР ¡003 УРАЛЬСКОЕ ОТ ДЕЛЕНИЕ

институт МАТЕМАТИКи и МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ВЕРШИНИН СЕРГЕЯ ВАСИЛЬЕВИЧ

НЕХОТОРЬЕ АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ОСОБЕННОСТЯМИ и ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.

01.01.02 •• дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученое степени кананжпта физико-математических наук.

ЕХАТЕРШВУРГ 1«П

Работа вьлолнена в институте математики и механики УрО ран и в институте машиноведения УрО ран

^ Научнш руководитель«

академик А.Ф. Сидоров

Официальные оппоненты!

доктор физико-математических наук, профессор

С.П. Ваутин

кандидат фидико- математических наук И.О. ли но но в

Оедупее предприятие»

институт теоретической и прикладной механики СО РАН.

Автореферат разослан • ^ - ^'1993 г.

¡1

Запгга диссертации состоится " " 1993 г.

на заседании специализированного совета Д 002.07.0t института математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской,1&.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института математики и механики УрО РАН.

Ученый секретарь специализированного совета,кандидат физико-математических наук.старший I !

' 1 I,

научный сотрудник V.« М.И. Гусев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ В диссертационной работе рассмотрены алгоритмы построения решений нелинейных дифференциальных уравнений в виде функциональных рядов и приложения этих решения к задачам механики..

б512!55ьность_темы Нелинейные дифференциальные уравнения и системы играет веб Солее важную роль в прикладной математике и механике. Отсутствие свойства суперпозиции решений, присущего линейным уравнениям, существенно затрудняет поиск решений нелинейных уравнений. Кроме того нелинейным уравнениям присуще свойство неединственности решений. Для исследования нелинейных дифференциалы ных уравнений активно применяется помимо численных также и аналитические методы, в том числе функциональные ряды различных конструкций. Аналитические решения, обладании® константным или функциональным произволом позволяют исследовать нелинейные задачи оптимального управления и находить решения содержательных механических задач. Урав-

1)

нения двойных и тройных волн является естественным обобщением простых волн таких, например, как волна Римага и являются хорошим примером нелинейных уравнения, поддавшихся исследованию с помощью функциональных рядов. Оказалось, что многомерные течения газа можно конструировать из комбинаций простых, двойных и тройных волн. х,Сидоров А.Ф.,Шапеев В.П.,Яненко H.H.- Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динаюасе.-НОВОСИбирСК,1984 Г.

Данная работа в основной своей части посвящена построению решений уравнений кратных волн в виде функциональных рядов и их приложениям к задачам механики.

Ц?ль_Е®боты Целы) работы является построение решений нелинейных дифференциальных уравнений с особенностями и различными типами нелинейности в виде функциональных рядов, а также доказательство их локальной сходимости в некоторых случаях и иллюстрация применения полученных решения для конкретных задач механики.

^Т°4У£?_Цсследомния ПРИ построении решений в виде функциональных рядов систематически применялись асимптотические оценки порядков оставляемых и отбрасываемых в уравнениях членов с использованием символики порядковых соотношений. Такая процедура позволила установить искомые структуры разложений решений вблизи особенностей, а затем построить нелокальные составные разложения. При

аналитических выкладках частично использовалась система

2) 3)

аналитических вычислений reduce. 2)

Климов Д.М., Руденко В.И.- Методы компьютерной алгебры в задачах механики.- М..Наука,1989 г.

3)

Лэвенпорт Дд., Сира И., Турнье Э.- Компьютерная алгебра.- N..Мир,1991.

Ц§£чная_новизна Все решения, полученные в роботе, ранее известны не были. Построенные решения для уравнений кратных волн естественно дополняет точные ревения, и численные решения, полученные ранее для конкретных задач.

Практическую

ценность в вычислительном аспекте представляют отрезки функциональных рядов, которые можно использовать в конкретных механических задачах для отыскания газодинамических величин, особенно в многомерных задачах. Полученные в работе результаты представляют интерес для накопления аналитической информации о свойствах нелинейных дифференциальных уравнений.

Ап2обация_диссеЕтааии Результаты, полученные в диссертации, докладывались на 4 - он Всесоюзном съезд« по теоретической и прикладной механик« ( Киев - 1976 г.), ю - ом Всесоюзном совещании по аналитическим методам в газовой динамике ( Свердловск - 1982 г.), а также на семинарах в институте математики и механики УрО РАН.

Публикация Полученные в диссертации результаты опубликованы в работах [1-63.

Диссертация состоит из введения 3-х глав и заклтения, содержит 263 страниц машинописного текста. Результаты расчетов иллюстрируется 12 рисунками, расположенным« в тексте. Приложение занимает S7 страниц. Список литературы из названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дон краткий обзор методов исследования нелинейных дифференциальных уравнений и систем. Приведён исторический экскурс применения функциональных рядов и перечислены классы газодинамических задач, для которых построены решения в виде рядов.

В главе 1 описана асимптотическая процедура построения решения квадратичнонелинейного по старшей производной обыкновенного дифференциального уравнения с особенностью при старшей производной

хи (а(х,и,и )и +Ь(х,и,и ))+с(х,и,и ) > О (1)

с аналитическими по своим аргументам в некоторой ок»

рестности точки х-о, и«о, и=о коэффициентами

а, Ь, с. Получены разложения решения по системе функ-а р а>

ЦИЙ { * п1п *х > а с о, р « N . В квазилинейном

п,т=0 п ш

случае, когда а(х,и,и ) « о, это уравнение сведено к вырожденной системе уравнений типа Врио и Буке, имеющей локальносходядиеся решения. Сходимость решения в квазилинейном случае Оыла также доказана автором с помощью построения производящих-Функции в [3].

В главе 2 для уравнения кратных волн, полученных 1)

ранее и представляющих собой дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, построены разложения многомерных решения вблизи особенностей, с уч?том

структурных свойств симметричных решения. Для двойной

4) 5)

волны сходимость доказана в работах , для симметричной тройной волны сходимость доказана автором в С2Э.

В §3 исследуются уравнения неавтомодельных плос-* ких двойных волн

Г-1 Г , в .„ 1-0 0 в^

те1

2 2 (2) в , 2. в в. 1 у3 , 2 6 ...

, в.. 1 - е2 в о, в

•Л - $ * ^У'п*

* в* <3> •г) " 2 "V % » °

4)

Титов с.с. - Сходимость логарифмического ряда для осе-симметричной двойной волны в окрестности области покоя. //Методы реосмия краевых задач механики сплопной среды. Свердловск, УНЦ АН СССР,1978,в.23.

Э)

Баутин С.П. - Сходимость логарифмического ряда, реваю-

даго одну нелинейную задачу Кови с данными на линии па-

раболическго вырождения. // Аналитические методы механики сплошной среды. Свердловск, УНЦ АН СССР,1979,в.33

г-1

( 0(г,Ф) - —г- с(г,^)| с(г,ф) - скорости, звука» у -2

показатель адиабаты] 3(г,ф) - аналог потенциала скоростей в плоскости годографа, нижние индексы г и ф обозначает соответственно дифференцирование по г и Ф ).

Не полз у я специфику структуры системы (2)-(3), удалось построить класс решений в виде функциональных рядов Меллина, обладавший соответствующим произволом

пг , Р2п

г +___

I II 1 V I I

П»1

(4)

в(г,ф} - — А0 + ^ г ^ 1п

п»1

I

(О) * „ <р_ ) р_ (О)

^Пг 2л 2л ..

г 1с1п (*)1п г («) (3)

(О)

п-2

{ р_ - Е((п-1)/2) | Ал - скорость звука в покоящемся 2П и

газе| б1(Ф) - произвольные функции ).

посвящен изучению стационарных и пространственных нестационарных двойных волн. Для соответствующих уравнений и систем уравнения приведены модификации алгоритмов построения решения в виде функциональных рядов типа ряда Меллина.

В §5 рассмотрено уравнение автомодельной пространственной тройной волны

2

- и х Ц ♦ »1пх «-2 + +

(а»

4 Э + Зт1п х " Р " О -

{"»*»*>- координаты сферического годографа» Р -квадрат скорости звука; 1-2, - соответственно формы второй, первой и нулевой степени вторых производных функции Р).

Это уравнение имеет наиболее сложную структуру, поэтому часть формул в полученном решении из §5 перенесена в приложение, а само решение имеет следующий вид ш

пг (п-1), Л п-1

Епр 1п-1; . , п-1

В [Ьп Ш Я

п-1

со),

п-1 (7)

со) ,

( в0 - квадрат скорости звука в покоящемся газе, в1Сх»у) ~ произвольная функция двух аргументов).

Третья глава посвяаена приложениям построенных решения для задач механики и физики.

В §6 рассмотрена известная задача об одномерной детонации в политропном газе. Построено составное разложение в области между детонационной волной и слабым разрывом. Для задачи об одномерном истечении газа в вакуум также исследована возможность построения составного решения с по из шью разложений, найденных в главе 1.

В §7 в классе неа тополе ль них плоских двойных волн исследована в приближенной постановке задача о восстановлении формы фронта расходящейся нормальной детонационной волны по форме слабого разрыва.

В §в разложения, полученные в главе 2, применяется для построения локальных аналитических решений задачи об угловом поршне имевшего вид двух- или трехгранного угла.

В §9 с помопью процедуры, описанной в главе 1, построен приближенный закон движения поршня в цилиндрической или сферической волне сжатия.

В §10 разложения, полученные в главе 1, используются для построения приближенного решения кодифицированного уравнения Арчарда, определяющего интенсивность износа.

В §11 приведены некоторые типы дифференциальных уравнений, отличные от уравнения кратных волн и допускающие решения, рассмотренные в главе 1.

- ю -

Заключение В рассмотренной работе получены следующие основные результаты

1. Построены решения многомерных нелинейных дифференциальных уравнений в виде функциональных рядов различной структуры с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами.

2. В некоторых случаях обоснована локальная сходимость построенных решений.

Нелокальная сходимость подтверждена с помоиыо конструкции составных разложений с использованием вычислительного эксперимента.

3. На примерах конкретных задач показано, что в случае примыкания к - волны к покою или равномерному течению решение уравнения к - волны представимо функциональным рядом Меллина по радиальной переменной, тогда как о случае примыкания к вакууму структура разложения определяется показателем политропы у.

4. Приведены примеры задач, встречающихся в других разделах механики, где применимы разложения, построенные в данной работе.

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в следующих работах

1. Сидоров А.Ф., Вершинин C.B. - О поведении решения уравнений двойных волн в окрестности области покоя.-Прикладная матештика и механика, 1975,т.39,в.6, C.1O43-1O50.

2. Вершинин C.B.- О представлении решения симметричной тройкой волны в окрестности области покоя. // . Аналитические методы механики сплошной среды, Свердловск, УНЦ АН СССР,1979,с.17-29.

3. Вершинин C.B. - О представлении некоторых решений обыкновенного дифференциального уравнения вида ta(t,u,u* )u"+ b(t,u,u) « о в окрестности точки t - о. // Численные и аналитические методы ре-пения задач механики сплошной среды, Свердловск, УНЦ АН СССР,1981,С.26—40.

4. Вершинин C.B. - Некоторые представления решений уравнения газовой динамики типа двойной и тройной волн

в окрестности зоны вакуума. // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды,Свердловск,УНЦ АН CCCP,l983,c.29-3&.

5. Вершинин C.B. - Об одном решении уравнений газовой динамики типа автомодельной несимметричной тройной волны //Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды,Сверяло век, УНЦ АН СССР, 1903,С. 19—23.

6. Вершинин C.B. Математическое моделирование при исследовании трибологических свойств имплантированных токарных пластин./Препринт. Свердловск.ИМАШ УрО АН СССР. 1990,22 С.

ВЕРШИНИН СЕРГЕИ ВАСИЛЬЕВИЧ

НЕКОТОРЬЕ АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ОСОБЕННОСТЯМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Подписано к печати . .93 НС 33823 Формат 60x84/16 Бумага для множительных аппаратов. Печать плоская. Объем 1.0 уч.- изд.л. Тираж экз. Заказ N 733 Бесплатно Уральский ун-т. 6200ВЗ г. Екатеринбург пр. Ленина,31.