О некоторых классах точных решений нелинейных дифференциальных уравнений инвариантных относительно групп Евклида и Галилея тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО

ГРУППЫ ЕВКЛИДА.

§ I. Об одном классе уравнений, инвариантных относил/ тельно группы Е (^TW).

§ 2. Точные решения нелинейных уравнений типа

UVb + F(U,a)U=0.

1°. Инварианты группы Е (^,3).

2°. Точные решения уравнения Q'ti+AUU^O.

3°. Нелинейное уравнение Дарбу

4°. О точных решениях уравнения Dtt+yl OXpUUo=0.

5°. Точные решения уравнения П16+Л I

§ 3. Линейное уравнение Дарбу.

§ 4. Уравнение Буссинеска.

ГЛАВА П. Галилеевски-инвариантные нелинейные уравнения

§ I. Уравнения, инвариантные относительно групп Галилея и Шредингера.

§ 2. Инварианты группы & С d.,3)

§ 3. Точные решения уравнения Гамильтона-Якоби.

Размножение" решений.

ГЛАВА Ш. Уравнения газовой динамики.

§ I. Одномерное изэнтропическое движение газа. . 1°. Симметрия одномерных уравнений газовой динамики. 2°. Общее решение в случае ^

§ 2. Точные решения многомерных уравнений газовой динамики.

§ 3. Симметрия уравнений, описывающих специальные движения газа.

§ 4. Точные решения уравнений газовой динамики в случае изохорического движения

В В Е Д Е Н И Е Большинство реальных физических процессов описывается с помощью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для нелинейных дифференциальных уравнений, при всем изобилии интересных фактов и многообразии остроумных способов их решения, не существует общих методов исследования. Это связано в первую очередь с тем, что к нелинейным дифференциальным уравнениям неприменим принцип суперпозиций, поскольку многообразие решений не является линейным. В последнее время, в связи с открытием нового метода математической физики метода обратной задачи теории рассеяния, удалось проклассифицировать большое количество нелинейных эволюционных уравнений, допускающих полное и точное аналитическое описание. Это сделано, в основном, только для нелинейных двумерных дифференциальных уравнений. Для нелинейных многомерных дифференциальных уравнений данный метод трудно эффективно реализовать. В связи с этим особенно важно исследовать нелинейные многомерные дифференциальные уравнения. Для нелинейных уравнений даже правильная постановка классических задач связана с принципиальными трудностями, поэтому большое значение приобретает построение классов точных решений. Задача отыскания решений как линейных так и нелинейных дифференциальных уравнений тесно связана с их групповыми свойствами. Еще более ста лет тому назад норвежский математик Софус Ли заложил основы группового анализа дифференциальных уравнений С [.64], [65]. Он же первый применил свою теорию для построения решений конкретных дифференциальных уравнений.Впоследствии многие исследователи использовали и разивали теорию Ли. Особенно эффективно использовал симметрию линейных волновых уравнений для нахождения точных решений Г.Бейтман. Он впервые использовал конформную инвариантность линейного уравнения Д"Аламбера для построения новых решений по известным. Важные идеи по отысканию инвариантных решений предложил Г.Биркгоф [IJ. Современному изложению теории Ли и ее дальнейшему развитию за последнее время посвящена фундаментальная монография Л.В.Овсянникова [22]. Им, в частности, построена теория частичноинвариантных решений дифференциальных уравнений в частных производешх. В настоящее время эта теория получила широкое применение. Новый нелиевский подход к исследованию симметрии дифференциальных уравнений предложен в [4,5]. Этот метод существенно отличается от классического метода Ли. Основное отличие состоит в том, что базисные элементы алгебры инвариантности соответствующих уравнений являются интегродифференциальными операторами. По этой причине эти алгебры порождают нелокальные преобразования. В инфинитезимальном методе Ли базисные элементы алгебры инвариантности того или иного дифференциального уравнения принадлежат классу линейных дифференциальных операторов первого порядка. С помощью нелиевского метода обнаружены новые, ранее не известные, симметрии для уравнений Максвелла, Дирака [43], Ламе [42] и др. В работах [45] и [48], используя групповые свойства сформулирован и в явном виде реализован один из возможных алгоритмов для отыскания классов точных решений для нелинейных многомерных дифференциальных уравнений. Настоящая диссертация посвящена теоретико-групповому исследованию и построению целых классов точных решений нелинейных Многомерных дифференциальных уравнений, инвариантных относительно групп Евклида и Галилея. Так как многие законы сохранения (энергии, импульса, количества двиления и др.) являются следствием той или иной симметрии, то как правило дифференциальные уравнения, для которых выполнены такие законы, инвариантны относительно групп Евклида, Лоренца, Пуанкаре, Галилея и др. В связи с этим важной является задача описания классов дифференциальных уравнений, инвариантных относительно той или иной группы. В диссертации это сделано для групп Евклида и Галилея. В первой главе описаны все нелинейные уравнения вида П11 ±F(U,tC)ti=0 инвариантные относительно расширенной группы Евклида. Для некоторых из найденных уравнений построены целые классы точных решений. Здесь же построены многопараметрические семейства решений для известных уравнений Дарбу и Буссинеска. Вторая

1. Биркгоф Г. Гидродинамика. - М.: ИЛ, 1963.

2. Бицадзе А.В. К теории одного класса нелинейных уравнений в частных производных. Диф.ур-ния, 1977, 13, № II, с.1994.

3. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

4. Вейль Классические группы,их инварианты и представления. -М.: ИЛ, 1947. 408 с.

5. Гельфонд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. М.: Физматгиз, 1958. - 368 с.

6. Гладышев М.Т. Групповая классификация дифференциальных уравнений, описывающих одномерное неустановившееся движение жидкости. Дифф.ур-ния, 2, № 5, 1966, с.695-700.

7. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. Гостехиздат, 1934. - 360 с.

8. Джарджадзе Г.П., Погребков А.К., Поливанов М.К. Сингулщ>ныерешения уравнения □ ^-еярИ^О и динамика особенностей. -ТМФ, 1979, 40, № 3, с.221-234.

9. Желудев И.С. Симметрия и ее приложения. М.: Атомиздат, 1976. - 288 с.

10. Зельдович Я.Б. Теория ударных волн и введение в газодинамику. Изд. АН СССР, М., 1946.

11. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. Новосибирский гос.ун-т, 1972. ** 159 с.

12. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли-Беклунда и законы сохранения. -ДАН СССР, 1976, 240, № I.

13. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965.

14. Каргополов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. Изд. Наука, М., 1972. <- 239 с.

15. Кошляков Н.С., Глинер Э.В., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: "Высшая школа", 1970.

16. Курант Р., Фридрих К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: ИЛ, 1950. - 426 с.

17. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. ~ 830 с.

18. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, ч.З. Механика сплошных сред. Гостехиздат, М.*Л., 1944.

19. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. - 344 с.

20. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск, НГУ, 1966.

21. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 400 с.

22. Овсянников Л.В. Частичная инвариантность. ДАН СССР, 1969, 186, № I, с.22-25.

23. Овсянников Л.В. Аналитические группы. Новосибирск, НГУ, 1972.

24. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. - 367 с.

25. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Гостехиздат, 1954.

26. Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнения Навье-Стокса, описывающих движение со свободной частицей. ДАН СССР, 1972, 202, № 2, с.302-305.

27. Риман Б. О распространении воздушных волн с конечной амплитудой (см. Риман Б. Сочинения. Гостехиздат, М.-Л., 1848).

28. Рождественский Б.А., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. - 592 с.

29. Седов Л.И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостехиздат, М.-Л., 1950.

30. Серова М.М. Точные решения одного нелинейного уравнения второго порядка. В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981,-0.29-34.

31. Серова М.М. О точных решениях уравнения Дарбу. В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с.42-44.

32. Серова М.М. О нелинейных волновых уравнениях, инвариантных относительно алгебры . В кн.: Математические вопросы механики сплошных сред и теплофизики. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с.104-107.

33. Соколов Ю.Д. О некоторых частных решениях уравнения Буссинеска. Украинский математический журнал, т.УШ, № I, с. 5458.

34. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Гостехиздат, 1955. 804 с.

35. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1953. - 468 с.

36. Суровихин К.П. Групповая классификация уравнений, описывающих одномерное нестационарное течение газа. ДАН СССР, 156, № 3 (1964), с.553-536.

37. Суровихин К.П. Инвариантный смысл инвариантов Римана. -ДАН СССР, 1965, 163, № 2, с.319-322.

38. Теоретико-групповые методы в математической физике. Киев: Институт математики АН УССР, 1978. - 188 с.

39. Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981. - 135.

40. Тихонов А.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

41. Уизем Д. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

42. Фущич В.И., Наконечный В.В. Теоретико-алгебраический анализ уравнений Ламе. Укр.мат.журн., 1980, 32, № 2, с.267-272.

43. Фущич В.И., Никитин А.Г. Групповые свойства уравнений Максвелла. В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике, Ин-т математики АН УССР, 1978. - с.45-80.

44. Фущич В.И. О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической физики. ДАН СССР, 1979, 246, № 4, с.846-850.

45. Фущич В.И. Симметрия в задачах математической физики. В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. - Ин-т математики АН УССР, 1981, с.6-27.

46. Фущич В.И , Серов Н.И., Москалюк С.С. 0 точных решениях нелинейных волновых уравнений. В кн.: IX Международная конференция по нелинейным колебаниям (Киев, 30 августа - 6 сентября 1981 г.): Тез .докл. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с.338-339.

47. Фущич В.И., Серова М.М. О максимальной группе инвариантности и общем решении одномерных уравнений газовой динамики. -ДАН СССР, 1983, 268, № 5, с.1102-1104.

48. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966. - 588 с.

49. Христианович С.А. й др. Прикладная газовая динамика, М., 1948.

50. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М., Гостехиздат, 1948.

51. Чиркунов Ю.А. О групповых свойствах уравнения Дарбу. Динамика сплошной среды, 1976, вып.97, с.101-115.

52. Эйзенхарт Л. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947.

53. Яненко Н.Н. Бегущие волны системы уравнений. ДАН СССР, 1956, 109, № I, с.44-47.6» Birkhoff G. Analitical groups, Trans. Amer. Math. Soc., 1938, 41, N1, p. 6I-IOI.

54. Boyer CJP., Penafil M. Conformal symmetry of the Hamiltonian-Yakobi equations. Nuovo Cim. B, 1976, N 2, p. 195-202.

55. Challis J., On the velocity of sound. Phil. Mag. 3., 1848, Д2, p. 494-499.

56. Hugoniot H., Sur la propogation du mouvement dans les gaz par-faits., Journal de l'ecole polytechnique, 1889, 58, p. I-I25.

57. Earnshaw S., On the mathematical theory of sound. Transactions of the Society of London, I860, I£0, p. 133-148.

58. Fushchich W.I., Moskaliuck S.S. On some exact solutions of the nonlinear Schrodinger equation in three spatial dimension.1.tt. Nuovo Cim., 1981, II, N 16, p. 571-576.

59. Fushchich W.I., Shtelen W.M. The symmetry and some exact solutions of the relativistic eikonal equation. Lett. Nuovo Cim., 1982, 41, N 3, p. 372-374.

60. Koiv M., Rosenhaus V. The symmetric solutions of the minimal surface equation: preprint N 815, Leningrad nuclear physics institute, 1982.

61. Lie S. Allgemeine Untersuchungen uber Differentialgleichungen, die eine continuirliche, endliche Gruppe gestatten. Math. An-nalen, 1885, N. I, s. 71-151.

62. Lie S. Vorlesungen uber Differentialgleichungen mit Bekarmten Infinitesimalen Transformationen. Leipzig, 1891, 568 s.

63. Lie S., Engel F. Theorie Transformstionsgruppen. Bd. 1-3, Leipzig, Teubner, 1888, 1890, 1893.

64. Nishitani Т., Tajiri M. On. similarity solutions of the Boussi-nesq equation, 1982, 89A, N 4, p. 379-380.

65. Poisson S.D., Memoire sur la theorie du son. Journal de lecole polytechnique, 14 Cahier, 1808, 7, p. 319-392.

66. Quispel G.R.W., Nijhoff F.W., Capel H.W. Linearization of the Boussinesq equation and the modified- Boussinesq equation. Physics Letters, 1982, £IA, N. 4, p. 143-148.

67. Rosen G. Solutions of certain nonlinear wave equations. Journ. of Math, and Phys. 1966, 4£, N 3-4.fill

68. Rosen G., Ullrich G.VV. Invariance group of the equation OX~ (UVjlX • Siam Journal on applied mathematics, 1973, 24, N 3,p. 286-288.

69. Stokes E.E., On a difficulty in the theory of sound. Phil. Mag., 1848, 31, 33, p. 349-356.