Использование симметрий для построения новых решений уравнений плоской идеальной пластичности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

на правах рукописи

Яхно Лилия Владимировна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ НОВЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Специальность 01 02 04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□03476461

Красноярск - 2009

003476461

Работа выполнена в Сибирском государственном аэрокосмическом университете имени академика М Ф Решетнева.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Сенатов Сергей Иванович

Официальные оппоненты

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Аннин Борис Дмитриевич

кандидат физико-математических наук, доцент Родионов Александр Алексеевич

Ведущая организация

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН г Владивосток

Защита состоится «48» сднлгиЯ&ъА 2009 г в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212 249 04 при Сибирском государственном аэрокосмическом университете имени академика М Ф. Решетнева по адресу 660014, г Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский рабочий», 31

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М Ф Решетнева

Автореферат разослан «А 8» схёхл^спул, 2009 г

Ученый секретарь ^ y^CV" С С Аплеснин

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений двумерных уравнений идеальной пластичности (плоской пластичности) методами группового анализа

Актуальность темы В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Треска, Сен-Венана, Леви

Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой как для механиков так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов

Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позвочяют построить решения многих практических задач Работы в этом направлении были начаты Генки, Мизесом, Прандтлем и продолжены Надаи, Хиллом, С А Христиановичем, В В Соколовским и др

Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений как в двумерном так и в пространственном случаях Что касается получения точных решений в замкнутом виде, то здесь стоит отметить работы Б Д Аннина, Д Д Ивлева, С И Сенашова, 10 Н Бадаева и др

За всю историю изучения системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных решений для реальных механических задач Кроме того, точные решения используются для тестирования численных методов, позволяют оценивать надежность несущих конструкций и тп Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес

Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т п В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые С И Сенашовым для двумерных уравнений идеальной пластичности

Цель работы. Построение новых'точных решений двумерных уравнений идеальной пластичности с применением методов группового анализа

Использование законов сохранения для нахождения аналитического решения краевой задачи теории двумерной пластичности о вдавливании штампа

Методика исследования В основу исследования положены методы группового анализа, а также методы уравнений в частных производных

Научная новизна Все результаты, полученные в диссертации являются новыми и снабжены стро1 ими доказательствами Основные алементы новизны в диссертации

1 Построены новые точные решения системы уравнений двумерной идеальной пластичности методом действия допускаемой группы точечных симметрий на известные ранее решения

2 Найдены семейства новых решений системы уравнений двумерной идеальной пластичности, как результат гомотопии известных ранее решений

3 Показано, что система идеальной пластичности распадается относительно допускаемой группы на автоморфную и разрешающую системы

4 Законы сохранения использованы для построения точных решений краевой задачи о вдавливании плоского штампа

Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений идеальной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые

Апробация Результаты, полученные в работе на разных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на

1 Международной конференции по прикчадной математике «10th WSEAS International conference on Applied Mathematics» (США, Даллас, 2006 г),

2 Международном конгрессе «World Congress of Nonlinear Analysts - 2008» (США, Орландо, 2008 г),

3 Всероссийской конференции «Новые математические модели механики сплошных сред построение и изучение» (Новосибирск, 2009 г),

4 Международной конференции «Symmetry m Nonlinear Mathematical Physics» (Украина, Киев, 2009 г),

5 Международной конференции «Symmetry Methods m Physics» (Россия, Дубна, 2009 г)

Полученные результаты докладывались на научных семинарах СибГАУ Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ Из них две статьи в изданиях из перечня ВАК

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы из 30 наименований, 2 приложений и занимает 86 страниц машинописного текста

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, изложены основные сведения из группового анализа, необходимые для понимания работы, приведен обзор основных результатов по данной тематике, дана краткая аннотация разделов диссертации

В главе 1 строятся новые решения системы уравнений идеальной пластичности действием допускаемой группы точечных симметрии

Рассматривается квазилинейная система двумерной идеальной пластичности, описывающая напряженное состояние пластически деформируемого материала

да (дО дО Л

—-2fc —COS20 + — sin 20) =0

дх \дх ду J ^

^ - 2А: (^ sin 29-^- cos 20\ = 0, ду \дх ду J

в которой а - гидростатическое давление, 9 + 7г/4 - угол между первым главным направлением тензора напряжений и осыо ох, к - постоянная пластичности

Система (1) является гиперболической, ее характеристики задаются уравнениями

ctg*

ах ах

Вдоль соответствующих характеристик выполняются следующие соотношения

В математической теории пластичности характеристики системы известны как линии скольжения

Известно, что базис алгебры Ли L системы (1) имеет следующий вид д д v д д д v д Xl = Xdi + %> Х2 = ~УТх + Хду + W Хз = to'

X, = Ь(х, у, а, 9)^ + &(*, у, - (2)

Х5 = zo(<7,9)-^ + уо(ст, 0)

где

а о

fi = хcos 29 + г/sin 20 + y—, Í2 — xsm26 — y eos 20 — x—,

к к

и (x — xo(a,9), y = yo(a, 9)) - произвольное решение линейной системы получаемой из (1) применением преобразований годографах = х(а,9), у =

уМ)

Группы точечных преобразований, соответствующие операторам (2), переводят систему (1) в себя Однопараметрическая группа преобразований, задаваемая оператором Х4 (здесь и далее а - действительный групповой параметр), имеет следующий вид

х — иеа eos Ó — ve~a ып в, у = иеа ып в + ve~a cos в,

а = 2к ch 2а - в sh 2а) , (4)

0 = - sh 2а — # ch 2aj , где новые переменные и ч v выражаются так

и = х cos 9 + у sin О, V = —х sin в + у cos О

В § 1 главы 1 новое решение строится из решения Прандтля с помощью симметрии (4), соответствующей оператору Решение Прандгля описывает напряжения в прямоугольном слое жестко-пластического материала, сжимаемою жесткими шероховатыми плитами, и может быть записано в виде

х /

о- = -pi - к- + к у 1 - jp, у = h cos 29, (5)

где 2h = const - толщина слоя, прямые линии у = ±h являются границами плит, pi = const

Решение (5) подвергается действию преобразований (4), соответствующих, оператору В результате получается семейство новых решений системы пластичности, зависящее от параметра а

х = -h(ea sin 9 cos в + е~а cos 9 sin 9)-

~ т(ё + Pi)(еа sin 0 sin 9 + е~а cos 0 cos в), (6)

К

у = h(ea cos в cos 9 - e "sin в sin в)+

+ + pi)(eacos9sm9 - e""asin0cos0), к

где 9 = sh 2а + в ch.2a, a S R ЛК

Уравнения двух семейств линий скольжения для решения (6) при фиксированном значении а имеют вид

х — —j-[2k(K, ±9) + pi][ch acos — 0) — sh о cos (0 + 0)1-k

-/i[sh a sin (0-0) +cha sin (0 + 0)], (7)

у = - £ [2k(Kt ± 0) + px] [ch a sm (0 - 0) - sh a sin (в + в)]

— /г[—sha cos {в — в) — chacos (9 + 9)},

где в = Kt sh 2a + ве±2а, К, = const, г = 1,2

В диссертации показано, что огибающие семейств характеристик (7) являются спиралями (рис 1) Таким образом, решение (6) можно использовать для описания сжатия пластического слоя плитами, имеющими форму, указанную на рис 1 (при а = 0 05, h = 1, pi — 0, k = 2)

Рисунок 1 Поле линий скольжения для решения, полученного в результате действия квазирастяжения на решение Прандтля

В § 2 главы 1 строится новое решение из решения Надаи с помощью симметрии, соответствующей оператору X4 Решение Надаи описывает пластическое состояние среды вокруг круглого отверстия радиуса К, нагруженного равномерно распределенным нормальным давлением Р2 и нулевым касательным напряжением на контуре отверстия Это решение можно записать

в виде

у 7Г 7Г

0 = агс^- +- = </>+-,

х2 + у2 г2 ^

О" = Р2 + к + к 1п д2 = -р2 + & + к 1п ,

где (г, </?) - полярные координаты

Решение (8) подвергается действию преобразований (4) В результате получается новое решение системы двумерной идеальной пластичности

в = V? + аг^е2а,

—»9 + к кг2 (9)

*= ++агс^ е2й) ш 2а + 1п

где а - групповой параметр

Отметим, что при а = 0 новое решение (9) совпадает с решением Надаи (8) Граничная кривая для нового решения (9) это окружность г2 = Е2 сЬ 2а Это решение удовлетворяет следующим граничным условиям

= ^Г^ + Щч> + аг^е2*) &2а,

и гидростатическое давление а теперь зависит от полярного угла <р

В главе 2 строятся новые решения в результате действия группы оператора на решения Прандтля и Надаи

Однопараметрическая группа преобразований, соответствующая оператору Х5, имеет следующий вид

х = х + ахо(ст, 0), у = у + ау0(а, 0), (10)

где а - групповой параметр, (х = Хо(а,0), у = 2/о(с, #)) ~ произвольное решение системы (3)

Если в (10) положить х = х2, у = г/2 и взять

Х0(<7, в) = XI ~ Х2, Уо(<7, в)=У!~- У2, (11)

где (х1, ух), (х2, У2) любые два решения линеаризованной системы (3), то группа преобразований (10), соответствующая оператору с коэффициентами вида (11) будет иметь следующий вид

х = ах 1 + (1 - а)х2, у ~ аух + (1 - а)у2, (12)

т е из любого неособого решения системы (1) действием оператора с коэффициентами вида (10) можно получить любое другое неособое решение

этой же системы Неособыми назовем решения системы (1), которые могут быть записаны в виде решения для системы (3) Таким образом показано, что в результате действия оператора Х5 квазилинейная система (1) распадается на автоморфную (3) и разрешающую системы (для которой якобиан преобразования годографа равен нулю)

Соотношение (12) можно назвать гочотопией решений (xi, 7/1) и (х2, уг), так как при а = 0 формулы (12) задают решение, совпадающее с решением (Х2, У2), а при а = 1 решение, совпадающее с решением (Х\ yi) При значениях группового параметра а 6 (0,1) формулы (12) задают семейство новых решении, зависящее от параметра а

В § 1 главы 2 строится новое решение из решения Надаи для сходящегося канала и решения Прандтля с помощью симметрии, соответствующей оператору Х5 Решение Надаи для сходящегося канала (с углом раствора 2а) может быть записано в виде

<т = -fee [in (х2 + у2) + 1п(с — соь 20)] + А, ^

в — (р + гb — 7г/4

где 0 - угол между главным направлением тензора напряжений и полярным радиусом, постоянная А - произвольная Для угла ф выполняются соотношения

cos 2 ф , с —cos 2 0

J о с — соч 2 ф cos 2 ф

Постоянная с связана с углом канала 2а так

с > 1

7Г С /С+1 / 7Г\

а+4=ТИаГС^\/—' а€10' 2)

Решение (13) записывается в терминах функций х(а,0), у{<т,0) и берется в уравнениях (12) в качестве решения (2:1,2/1) В качестве решения (2:2,2/2) в уравнениях (12) берется решение Прандтля (5), так же записанное в терминах функций х(а, в), у(а, в) Таким образом, новое решение (в неявном виде) системы уравнений двумерной идеальной пластичности получается как го-мотопия известных решений Прандтля и Надаи и задается формулами

х = ±аехр

у = ±аехр (^Ц^) Б-^вЩО) + (1 - a)/icos20, V АгСС J

где

= tg I 0 + — — arctg

с-1 v/c5"17! c+T S с

S(6) = x/c + cT2^) + (1 - ТЩ) sin 20 - 2T(0) cos 20

При a = 2k(C\ + 0) уравнения (14) задают первое семейство линий скольжения, а при а = 2к(С2~в) - второе (Cj, постоянные) Огибающая первого семейства характеристик задается уравнениями

Г1 . х = —(1 — a)h

sin 20 — 2с In

( л i 1-0

-2 hc-

S{6) \

\ a 1 — Т(в) ctgOj

2(1-«)Лс (1 -a)h(A + pi)i

1 — T(9) ctg 0

(15)

у = (1 - a)h cos 26 - л f}kCаТ{в), в € (0, а)

1 -T(0)ctg0

Уравнения огибающей второго семейства характеристик имеет вид

1 - a S(0) V

Г2 х = -(1 - a)h

sm20-2cln ( -2hc „ m//1.

V a 1 + tgöy

2(1 - a)hc (1 - a)h

-(A + Pi),

1 + T(0)tg0 к

(«i

Таким образом, новое решение (14) для любых значений а € (0,1) является новым точным решением уравнений (3), а значит задает в неявной форме точное решение системы (1), описывает напряженное состояние канала с границами (15), (16) и имеет следующие граничные условия, заданные параметрически

a|Fi -А-2кс\а.

<т)р = А - 2кс\п

( 1 — a 5(0) \ V a 1 + T(0)tg0

."(-!-.-Э

Рисунок 2 Поте линий скольжения для решения, полученного в результате гомотопии решений Прандтта и Надаи для сходящегося канала

На рис 2 изображены линии скольжения и огибающие для следующих значений параметров решения (14)

а = 0 4, с = 14, Л = О, h = pi = k = \

При а = О решение (14) совпадает с решением Прандтля, при а = 1-е решением Надаи

Это решение можно использовать для описания напряженного состояния пластического материала, продавливаемого через канал, имеющий форму, указанную на рис 2

В § 2 главы 2 строится новое решение из решений Надаи для отверстия и Прандтля с помощью симметрии, соответствующей оператору^ Решение Надаи для пластической зоны вокруг отверстия, ограниченного круговым контуром радиуса R, вдоль которого заданы равномерно распределенная радиальная и касательная компоненты напряжения ау = — р = const, тГ1р = —к можно записать в виде

<т= -fclntg(/? + 7r/4) -р, 9 = у - тг/2 + /?,

Далее решение (17) записывается в терминах функций х(сг,9), у{<т,в) и берется в уравнениях (12) в качестве решения (£2,2/2) С качестве решения {xiiVi) в уравнениях (12) берется решение Прандтля (5), 1ак же записанное в терминах функций х(сг, в), у{сг,9) Таким образом, новое решение системы уравнений пластичности получается как гомотопия известных решений

Прандтля и Надаи и задается формулами

х = а ~ ^яш 20^ - (1 - а)В, ^бш^сЬ + соб^бЬ —>

у = аИ сов 29 - (1 - а) Я (ап 0 бЬ - соз 0 сЬ Щ^] (18)

\ 2/с ¿к у

При а = 2к[С\ + 0) уравнения (18) задают первое семейство линий скольжения, а при а = 2к(С2 — 9) - второе Огибающая первого семейства характеристик задается уравнениями

_ аЫр — р\) „ , . , 2а/гБ1П Г х = , У ' - 2а/гАгБЬ

к ..........Д(а- 1)

- 81п 9^АаЧ2&т29 + В?{1-а)\ у =а!г + соэ 0^/ 4а2/г2 бш2 9 + — а)2,

второе семейство линий скольжения не имеет огибающей Вдоль линии Г граничное условие для а имеет вид

а = -р + 2А;АгэЬ

2ак вт О Ща - 1)

(19)

Рисунок 3 Поте линий скольжепия для решения, полученного в результате гомотопии решений Прандтля и Надаи для кругового отверстия с ненулевым касательным напряжением

Таким образом, решение (18) описывает напряженное состояние пластического материала вокруг отверстия вида (19) при а < Д/(2/г + Д) (рис 3), т е когда Г не является самопересекающейся

В § 3 главы 2 строится новое решение из решений Надаи и Прандтля с помощью симметрии, соответствующей оператору Л'5 Решения Надаи (8), описывает пластическое состояние среды вокруг кругового отверстия радиуса Д, нагруженного равномерно распределенным нормальным давлением рг и нулевым касательным напряжением Решения Надаи и Прандтля записываются в терминах функций х(а,в), у(<т, 9) В комбинации (12) в качестве (11,2/1) берется решение Прандтля (5), а в качестве (12,2/2) решение Надаи (8) Тогда новое решение имеет вид

ак (-^ - | - пп2в) + (1 - с03 (д _ ^А»),

у = аксоэ 19 + (1 - а)Ке(р'-к)/(2к) яп (в -

,<7/(2*)

(20)

При а — 2к{С\ + 9) уравнения (20) задают первое семейство линий скольжения, а при а = 2к(С2 — 9) - второе Налагая граничные условия вида

7Г

сг = -р1 + к, 9 = (р +

получим уравнение граничной линии

-2 а/г соэ <р + (1 — а) II ехр

4'

Р2~Р1 2 к

которая является улиткой Паскаля (рис 4 при /г = 1, р\— рг)

Рисунок 4 Поле линий скочьжения для улитки Паскаля

Заметим, что для того, чтобы решение имело механическую интерпри-тацию, значение параметра а должно быть таким, чтобы улитка Паскаля оставалась выпуклой Таким образом, новое решение (20) может быть использовано для описания напряженного состояния пластического материала вокруг отверстия, имеющего форму улитки Паскаля

В § 1 главы 3 описаны законы "сохранения для уравнений идеальной пластичности (1)

В § 2 главы 3, используя законы сохранения § 1 главы 3, найдено аналитическое решение задачи о вдавливании плоского штампа Решение совпало с известным ранее решением Прандтля

Заключение содержит выводы и результаты работы

Основные результаты и выводы

1 Реализован метод группового анализа для нахождения решений системы двумерной идеальной пластичности, позволяющий определить поля напряжений в пластической зоне, а именно

• построены новые точные решения, как результат действия допускаемой группы точечных симметрии на известные точные решения,

• построены семейства новых точных решений как результат гомото-пии известных решений

2 Описаны поля линий скольжения для полученных решений и найдены соответствующие граничные условия

3 Изучены свойства системы уравнений двумерной идеальной пластичности, и показано как исходная система распадается относительно допускаемой группы преобразований на автоморфную и разрешающую системы

4 Законы сохранения системы двумерной пластичности использованы для построения точного решения задачи о вдавливании плоского штампа

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах

1 Яхно, Л В Принцип суперпозиции решений для задачи плоской пластичности [Текст] / JT В Яхно// Вестник СамГУ - 2009 - № 2(68) - С 140-145

2 Яхно JI В Суперпозиция решений Надаи и Прандтля для системы двумерной идеальной пластичности [Текст] / Л В Яхно// СибЖИМ - 2009

3

3 Яхно, JI В Преобразование решения Надаи в решение Прандтля для системы двумерной идеальной пластичности [Текст] / JI В Яхно// Вестник СибГАУ - 2008 - № 4(21) - С 65-67

4 Senashov, SI Lie - Backlund Symmetries of Homogeneous System of Bi-Dimensional Equations / Sergey I Senashov, Alexander Yakhno, Lilia Yakhno // WSEAS Transactions on Mathematics - 2007 - V 1 (6) - P 16-22

5 Senashov, S I (2009) Deformation of Characteristic Curves of the Plane Ideal Plasticity Equations by Point Symmetries [Электронный ресурс]/ Sergey I Senashov, Alexander Yakhno, Libya Yakhno// Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications - 2009 doi 10 1016/j na 2009 01 161

6 Сенатов, С И Расслоение двумерной пластичности /СИ Сенатов, JIB Яхно// Материал всероссийской конференции "Новые математические модели механики сплошных сред построение и изучение" - Новосибирск изд-во института гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН, 2009 - С 130

Публикации 1, 2 - публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

Яхно Лилия Владимировна

Использование симметрий для построения новых решений уравнений плоской идеальной пластичности

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 2009 Заказ № т

Формат 60 х 84/16 Уел печ л Тираж 100 экз Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ 660014, г Красноярск, просп им газеты «Красноярский рабочий», 31

Введение

Глава 1 Построение новых решений идеальной пластичности с помощью симметрий

§ 1 Преобразование решения Прандтля о сжатии пластического слоя

§2 «Деформирование» решения для отверстия в виде окружности

Глава 2 Построение новых решений системы пластичности действием гомотопии решений Надаи и Прандтля

§ 1 Гомотопия решений Прандтля и Надаи для канала

§ 2 Гомотопия решений Прандтля и Надаи для круглого отверстия с ненулевым касательным напряжением

§ 3 Гомотопия решений Прандтля и Надаи для круглого отверстия с нулевым касательным напряжением

Глава 3 Использование законов сохранения системы двумерной пластичности для решения задачи о штампе

§ 1 Описание законов сохранения

§ 2 Построение решения задачи о вдавливании плоского штампа

Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений нелинейных дифференциальных уравнений плоской (двумерной) идеальной пластичности методами группового анализа, а также использованию законов сохранения для нахождения аналитического решения краевой задачи о вдавливании плоского штампа.

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, приведен обзор основных работ и основные сведения о системе пластичности, дана краткая аннотация разделов диссертации.

Хорошо известно, что твердые тела являются упругими лишь при малых нагрузках. При воздействии более или менее значительных сил тела испытывают неупругие, пластические деформации. Сейчас, говоря о теории пластичности, обычно имеют в виду теорию пластических деформаций, не зависящих от времени. Именно такие пластические деформации рассматриваются в настоящей работе. Теория пластичности ставит своей целью математическое изучение напряжений и смещений в пластически деформируемых телах.

Теория пластичности имеет важные приложения в технике и физике. Решение многих вопросов прочности разнообразных машин и сооружений опирается на выводы теории пластичности, так как разрушению, как правило, предшествует пластическая деформация.

Общеизвестно народнохозяйственное значение использования процессов пластического деформирования металлов в горячем и холодном состояниях (прокатка, волочение, ковка, штамповка, резание металлов и т.д.); анализ необходимых усилий для осуществления этих процессов и соответствующего распределения деформаций составляет другую очень важную область применения теории пластичности.

Также известно применение теории пластичности в горнорудной промышленности, в задачах геофизики и геологии.

В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Треска, Сен-Венана, Леви [1].

Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой как для механиков так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов.

Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Работы в этом направлении были начаты Генки, Мизесом, Прандтлем [1] и продолжены Надаи [2], [3], Хил-лом [4], С.А. Христиановичем [5], С.Г. Михлиным [6], В.В. Соколовским [7], Гейрингер [8], Д.Д. Ивлевым [9], А.Ю. Ишлинским [10], Ю.Н. Радае-вым [11] и др.

Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений как в двумерном так и в пространственном случаях. Что касается получения точных решений в замкнутом виде, то здесь стоит отметить работы Прандтля [12], Надаи [13], Д.Д. Ивлева [9], В.В. Соколовского [7], Б.Д. Аннина [14], С.И. Сенашова [14] и др.

За всю историю изучения системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных решений для реальных механических задач. Кроме того, точные решения используются для тестирования численных методов; позволяют оценивать надежность несущих конструкций и т.п. Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес.

Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями. Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т.п. В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые Б.Д. Анниным, С.И. Сенашовым [14], [15], [16] для двумерных уравнений идеальной пластичности.

Целью работы является построение новых точных решений двумерных уравнений идеальной пластичности с применением методов группового анализа, а также использование законов сохранения для нахождения аналитического решения краевой задачи теории двумерной пластичности о вдавливании штампа.

В основу исследования положены: методы группового анализа, а также методы уравнений в частных производных. Все результаты, полученные в диссертации являются новыми и снабжены строгими доказательствами. Основные элементы новизны в диссертации:

1. Построены новые точные решения системы уравнений двумерной идеальной пластичности методом действия допускаемой группы точечных симметрий на известные ранее решения.

2. Найдены семейства новых решений системы уравнений двумерной идеальной пластичности, как результат гомотопии известных ранее решений.

3. Показано, что система идеальной пластичности распадается относительно допускаемой группы на автоморфную и разрешающую системы.

4. Законы сохранения использованы для построения точных решений краевой задачи о вдавливании плоского штампа.

Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений идеальной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые.

Результаты, полученные в работе tía разных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на:

1. Международной конференции по прикладной математике «10th WSEAS International conference on Applied Mathematics» (США, Даллас, 2006 г.);

2. Международном конгрессе «World Congress of Nonlinear Analysts -2008» (США, Орландо, 2008 г.);

3. Всероссийской конференции «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009 г.);

4. Международной конференции «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» (Украина, Киев, 2009 г.);

5. Международной конференции «Symmetry Methods in Physics» (Россия, Дубна, 2009 г.)

Полученные результаты докладывались на научных семинарах СибГАУ. По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ [17] - [22]. Из них две статьи [21], [22] в изданиях из перечня ВАК.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы из 30 наименований, 2 приложений и занимает 86 страницы машинописного текста.

Заключение

Приведем основные выводы по результатам работы:

1. Реализован метод группового анализа для нахождения решений системы двумерной идеальной пластичности, позволяющий определить поля напряжений в пластической зоне, а именно:

• построены новые точные решения, как результат действия допускаемой группы точечных симметрий на известные точные решения;

• построены семейства новых точных решений как результат гомо-топии известных решений.

2. Описаны поля линий скольжения для полученных решений и найдены соответствующие граничные условия.

3. Изучены свойства системы уравнений двумерной идеальной пластичности, и показано как исходная система распадается относительно допускаемой группы преобразований на автоморфную и разрешающую системы.

4. Законы сохранения системы двумерной пластичности использованы для построения точного решения задачи о вдавливании плоского штампа.

1. Теория пластичности / Сб. статей ред. Ю.Н. Работнов]. М.: Гос. изд-во иностр. литературы, 1948. 452 с.

2. Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел / А. Надаи. М.: ИЛ, 1954.

3. Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. / А. Надаи. М.: Мир, 1969.

4. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. М.: ГИТЛ, 1956.

5. Христианович, С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре / С.А. Христианович // Матем. сб. Новая серия. 1936. 1 (4). С. 511-534

6. Михлин, С.Г. Основные уравнения математической теории пластичности / С.Г. Михлин. М.: Изд. АН СССР, 1934.

7. Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

8. Фрейденталь, А. Математические теории неупругой сплошной среды / А. Фрейденталь, Х.М. Гейрингер. М.: Физматгиз, 1962.

9. Ивлев, Д.Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т.1 Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 448 с.

10. Ишлинский, А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Иш-линский, Д.Д. Ивлев. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003. 704 с.

11. Радаев, Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности: Учебное пособие / Ю.Н. Радаев. Самара: Издательство «Самарский университет», 2004. 142 с.

12. Prandtl, L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen Satz über das plastische Gleichgewicht/ L. Prandtl // ZAMM, 1923. 3(6). P. 401-406.

13. Nadai, A. Uber die Gleit- und Verzweigungsflächen einiger Gleichgewichtszustände bildsamer Massen und die Nachspannungen bleibend verzerrter Körper / A. Nadai. Z. Physik, 1924. 30 (1). P. 106-138.

14. Аннин, Б.Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б.Д. Аннин, В.О. Бытев, С.И. Сенатов. Новосибирск.: Наука, Сиб. отделение. 1985.

15. Senashov, S.I. Symmetries and conservation laws of 2-dimensional ideal plasticity / S.I. Senashov, A.M. Vinogradov // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1988. V. 3 (2). - P. 415-439.

16. Сенатов, С.И. О законах сохранения уравнений пластичности / С.И. Сенатов// Докл. АН СССР. 1991. - Т. 320, № 3. - С. 606-608.

17. Senashov, S.I. Lie Backlund Symmetries of Homogeneous System of Bi-Dimensional Equations / Sergey I. Senashov, Alexander Yakhno, Lilia Yakhno // WSEAS Transactions on Mathematics. - 2007. - 1 (6). - P. 16 - 22.

18. Senashov, S.I. Deformation of Characteristic Curves of the Plane Ideal Plasticity Equations by Point Symmetries / Sergey I. Senashov,

19. Alexander Yakhno, Liliya Yakhno// Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2009. doi:10.1016/j.na.2009.01.161

20. Яхно, JI.B. Преобразование решения Надаи в решение Прандтля для системы двумерной идеальной пластичности / JI.B.Яхно// Вестник СибГАУ. 2008. - № 4(21). - С. 65-67.

21. Яхно, JI.B. Принцип суперпозиции решений для задачи плоской пластичности / JI.B.Яхно// Вестник СамГУ. 2009. - № 2(68). - С. 140-145.

22. Яхно JI.B. Суперпозиция решений Надаи и Прандтля для системы двумерной идеальной пластичности / JI.B.Яхно// СибЖИМ. 2009. -№ 3. - С. 151-156.

23. Качалов, JI.M. Основы теории пластичности / JI.M. Качанов. М.: Наука, 1969. 420 с.

24. Овсянников, JI.B. Групповые свойства дифференциальных уравнений / JI.B. Овсянников. Новосибирск.: Изд-во СО АН СССР, 1962.

25. Олвер, П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. М.: Мир, 1989.

26. Залгаллер, В.А. Теория огибающих / В.А. Залгаллер. М.: Наука, 1975. 104 с.

27. Ревуженко, А.Ф. Один класс точных решений уравнений идеальной пластичности / А.Ф. Ревуженко// ПМТФ. 1975. - № 2. - С. 102-107.

28. Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б.Л. Рождественский, H.H. Яненко. М.: Наука, 1968. 687 с.

29. Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2 / Р. Курант. М.: Наука, 1970.

30. Ивлев, Д.Д. Предельное состояние деформированных тел и горных пород / Ивлев, Д.Д. и др.] М.: ФИЗМТЛИТ, 2008.i