Трехмерная задача математической теории пластичности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Бахарева Юлия Николаевна

Трехмерная задача математической теории пластичности

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТУЛА - 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Самарский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Радаев Юрий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Максимова Людмила Анатольевна доктор физико-математических наук, профессор

Матченко Николай Михайлович

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится "<£-5^" октября 2005 г. в час. на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО 'Тульский государственный университет" по адресу: 300600, ГСП, г. Тула, пр. Ленина, 92 (12-303)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО 'Тульский государственный университет".

Автореферат разослан сентября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета —- Лев А Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современное промышленное производство требует создания все более сложных конструкций, обладающих повышенной прочностью и жесткостью. Оптимизировать элементы конструкций деталей позволяет метод расчета, основанный на вычислении предельной нагрузки, которая может быть определена в рамках модели идеальнопластического тела. Любой мыслимый расчет конструкций должен начинаться с определения их напряженного состояния. В рамках теории идеальной пластичности и в настоящее время продолжают развиваться и совершенствоваться методы расчета напряжений. Пространственное напряженное состояние — самый сложный с точки анализа и практических расчетов аспект механики деформируемого твердого тела и инженерных наук. В настоящее время существует лишь ограниченный набор методов и результатов, которые проливали бы свет на свойства пространственного пластического напряженно-деформированного состояния. Именно поэтому тематика настоящей работы, как и вообще работ, посвященных трехмерным задачам теории пластичности, актуальна как в теоретическом, так и в прикладном плане.

Первые соотношения плоской и пространственной задачи математической теории пластичности были получены Сен-Венаном (В. Saint-Venant) и Леви (М Levy) еще в 1870 г. С середины 20-х годов модель идеальнопластического тела становится источником многочисленных модификаций основных соотношений, используемых для описания пластического деформирования различных материалов. В это же время Г. Генки (H.Hencky) была создана полная теория пластического плоского деформированного состояния.

В 1944 г. А.Ю.Ишлинский исследовал осесимметричную задачу теории пластичности, предполагая выполнение условия полной пластичности, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. С помощью численного метода им было получено решение задачи о вдавливании твердого шарика в идеально пластическую среду. Также им были предложены и проанализированы соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями.

В работах Д Д. Ивлева было показано фундаментальное значение условия полной пластичности и был развит соответствующий вариант теории пластичности. Им (1959 г.) были установлены статическая определимость и гиперболичность соотношений пространственной задачи при условии полной пластичности. В дальнейшем им была исследована пространственная задача при произвольном кусочно-линейном условии текучести и в результате показано, что как в прпртран^воиип»| " р случае на

I РОС. НАЦИОНАЛЬ V*

J з библиотека

ребре кусочно-линейного условия текучести уравнения математической теории пластичности являются гиперболическими и имеют характеристические элементы, совпадающие с площадками максимальных касательных напряжений.

Значительный вклад в математическую теорию пластичности в разные годы был сделан Б.Д. Анниным, Г.И. Быковцевым, М А. Задояном, Д.Д. Ивле-вым, А.А Ильюшиным, А.Ю. Ишлинским, Л.М. Качановым, В.Д. Клюш-никовым, В.В. Соколовским, Л.А. Толоконниковым, С.А. Христиановичем, Е.И. Шемякиным.

В настоящей работе рассматриваются трехмерные уравнения математической теории пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска. Отличительной чертой предлагаемого подхода является ряд геометрических результатов, полученных при исследовании поля главных направлений тензора напряжений, характеризующихся наибольшим (наименьшим) главным нормальным напряжением и использование изостати-ческих координат для анализа соотношений пространственной задачи. Уравнения теории пластичности, сформулированные в изостатической системе координат, исследованы методами группового анализа. Получены автомодельные решения, которые находят применение в нелинейной механике разрушения, поскольку они описывают распределение напряжений у вершин трещин. Предложен численный метод решения пространственных, плоских и осесим-метричных задач теории идеальнопластического течения.

Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, поддержаны грантом РФФИ № 02-01-00311(а).

Целью работы является:

Исследование пространственных соотношений математической теории пластичности и развитие аналитических и численных методов расчета поля напряжений, позволяющих найти решения ряда пространственных, плоских и осесимметричных задач, описываемых гиперболическими дифференциальными уравнениями математической теории пластичности.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Основные соотношения теории идеальной пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска, в изостатической системе координат. Установлено, что поле направлений наибольшего (наименьшего) главного напряжения обладает важным геометрическим свойством расслоенности, которое позволяет представить уравнений равновесия в форме трех интегрируемых вдоль изостатических траекторий соотношений.

2. Группы симметрий и алгебра симметрии трехмерных уравнений теории идеальной пластичности, сформулированных в изостатической системе координат Построены оптимальные системы одномерных подалгебр алгебры

симметрии и найдены соответствующие им инвариантно-групповые решения.

3. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности, обобщающие решения Шилда, которые зависят только от полярного угла в меридиональной плоскости. Установлены естественные границы существования автомодельных решений, за которые они не распространяются. Численно найдены распределения главных напряжений в области автомодельного решения.

4. Численный метод решения пространственных, плоских и осесиммет-ричных краевых задач, использующий счет вдоль линий главных напряжений от поверхностей свободных от напряжений. Доказана (на основе условия ¿-гиперболичности Петровского) корректность (разрешимость, единственность и устойчивость решения) постановки указанных задач.

5. Математическая модель расчета напряженного состояния в пределах шейки одноосно растягиваемого цилиндрического образца и соответствующая конечно-разностная расчетная схема.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

Предложен новый подход к изучению пространственной задачи математической теории пластичности, заключающийся в формулировке основных соотношений в изостатической системе координат. Найдены соотношения, интегрируемые вдоль линий главных напряжений. Произведен групповой анализ трехмерных уравнений теории идеальной пластичности, сформулированных в изостатической системе координат. Построены оптимальные системы одномерных подалгебр алгебры симметрии пространственных уравнений. Получены новые точные решения уравнений пластического равновесия. Разработана математическая модель напряженного состояния в шейке одноосно растягиваемого цилиндрического образца по схеме полной пластичности.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории пластичности, применением классических методов механики сплошных сред, достаточно хорошим качественным и количественным согласованием полученных результатов с известными экспериментальными данными по геометрии изостатических траекторий.

Практическая значимость результатов. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопласти-ческих тел, применяемых в инженерной практике при оценке жесткости и устойчивости элементов конструкций.

Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:

• Научный семинар "Современные проблемы математики и механики " под руководством дф.-м.н , проф. Ю.Н. Радаева. Самара, Самарский

гос. ун-т, 2003-2005;

• Международная школа-семинар. Воронеж, Воронежский гос. ун-т, 2004;

• XXXI—XXXIII Summer School — Conference. Advanced Problems in Mechanics. St. Petersburg, 2003-2005;

• 14-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, УрО РАН, 2005;

• Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.Д. Ивлева. Чебоксары, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. 2004;

• Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского гос. ун-та. Самара, Самарский гос. ун-т, 2003—2005;

• Семинар по механике сплошной среды им. JI.A. Галина под руководством д.ф.-м.н., проф. В.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова и А.В. Манжирова. Москва, ИПМ РАН, 2005;

• Семинар по механике под руководством д.ф.-м.н., проф. А.А. Маркина. Тула, Тульский гос. ун-т, 2005.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ. Все работы выполнены со соавторами на паритетных началах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 160 страниц, включая 15 рисунков и графиков, 2 таблицы и список литературы из 132 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Приведен обзор литературы по соответствующей проблематике. Изложены основные положения диссертационной работы по главам.

В первой главе проанализированы основные соотношения пространственной задачи математической теории пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска.

Раздел 1.1 посвящен рассмотрению трехмерных уравнений пластического течения, учитывая геометрические свойства поля главных направлений тензора напряжений, характеризуемых наибольшим (наименьшим) главным нормальным напряжением.

В качестве условия пластичности используется условие соответствия напряженного состояния ребру призмы Треска

= (Т2 = £Г3 ± 2к, (1)

где <71, «гг. <73 — главные напряжения, к — предел текучести при сдвиге. Уравнение равновесия представляется в виде

gradE + div(n (g) n) = О ^E = n • n = , (2)

где n — направление, соответствующее главному напряжению <73.

Использование условия полной пластичности позволяет получить формально статически определимую задачу. Доказано, что система уравнений (2) является гиперболической. Конус характеристических направлений в пространственной задаче теории пластичности изображен на рис. 1.

Рис. 1. Рис. 2

Альтернативная форма уравнения равновесия (2)

VI! - п х гсЛп + 1кИуп = 0 (3)

является существенной при изучении геометрии векторного поля п. Дальнейшие рассуждения проводятся для вихревого расслоенного поля п, удовлетворяющего уравнениям пго<;п = 0, го(;п ф 0. Условие п• гоШ ф 0, как показано в работе, соответствует наиболее простой геометрии векторных линий поля п.

В 1.2 уравнение равновесия (2) преобразуется к криволинейным координатам

Затем криволинейная система координат подбирается таким образом, чтобы координатные поверхности £3 = const были слоями поля п, а поверхности = const и £2 = const — интегральными поверхностями поля п (см. рис. 2). Такой выбор криволинейных координат позволяет существенно упростить уравнения равновесия и свести их к трем соотношениям, интегрируемым вдоль линий главных напряжений ^

— (<T3 + 2fclnv/ff33) = 0,

^(<73 + 2Ып^) = 0, (5)

^з (<73 + 2к 1п - 2к 1п ^д) = 0.

Сформулирован критерий интегрируемости системы (5) в виде:

9=с^\е)Ог(,е) (б)

В 1.3 выделены классы задач пространственного равновесия с соответствующими ребру призмы Треска расслоенными полями напряжений.

Для определения преобразования, связывающего декартовы и криволинейные координаты хг = /¡(С1, Р, Р) (г = 1,2,3), получена система дифференциальных уравнений

Г АА + АА + АА^о дрдр дрдр дрдр '

дАдА + дАдА , дАдА = г, др др др др др др ' (7)

We?)

dU^y^dfA _ (df.df.\ dp dp )\др dp J {dp dp J

=с1(р,е)с2(е)-

Во второй главе рассмотрен групповой анализ нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных (7), а также групповой анализ указанной системы дифференциальных уравнений в случае осевой симметрии.

В II. 1, используя соотношения, связывающие декартовы и криволинейные координаты хг = 1(Р,Р)соэ^2, х2 = Д£\С3)вт^2, х3 = Н(р,р),

получена система дифференциальных уравнений относительно отображающих функций /, Н для осесимметричной задачи

d¿a¿ dhdh

fd¿у (dhy (df\ fdh_у

w/ + W) + U1/

f=G1(e)G2(e).

(8)

Найдены автомодельные решения (8) в форме / = а£3/5.Р(£), к = £1 а^з Ая(£), где £ = £ г, = ^ получена система обыкно-

венных дифференциальных уравнений для функций Р, Я, зависящих лишь от автомодельной переменной £

' a(3F2 + £ (oí + 7/?) +

[а^хЯ2 + í (ai5 + /?i7) ЯЯ' + ^¿Я72] = 0,

HF' + %HF

■V-

Qi (C1) G2 (e3)

(9)

£ J (aS - (¡i? £} 4a+2aj-2^3 4/3+2ft-2£2'

Дополнительные замены переменных

= p cog t) ^/2Я = p gin v = p6 ^ ( u = s¡n L (10)

позволяют свести поиск автомодельных решений к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения

2 dv ш' + ш" ± /(a/ + Q2 / i»-

3du VjoA^Í

1 -u2

(П)

Естественной областью существования автомодельного решения является эллипс

п2 I

V

u¿ + ^ = 1, 7i 7i

'1 +

(с/ + и/')2

4 |u/u>'

На рис. 3 представлены типичные интегральные кривые уравнения (11). Рисунок слева соответствует отрицательному знаку в этом уравнении. Уравнение (11) может быть преобразовано к виду

dr

= 3

и/W

di \J(¿>' — lo" I cos т где v = 7i sin t cos l, и = sin i.

± 1 + tgrtgt,

(12)

Оказывается, что после замены переменных

а/ + и"

т = iг/2 - х, i = ф,

(13)

уравнение (12) совпадает с уравнением Р. Шилда, определяющим поля напряжений в окрестности прямолинейных свободных границ (в том числе вблизи вершины трещины)

dx

— sinx+ 1 + 3sinx + cos%tg^ = 0. ащ!

(14)

Для данного класса задач область пластического течения неизвестна, но при использовании автомодельных переменных область пластического течения совпадает с областью существования автомодельного решения, которая, как видно из уравнения (11), является эллипсом.

Получено распределение главного напряжения стд для решения Шилда {ш = 0, 7 = 1, 5 = -1, /3 = а/2) :

стз — —A: In

2 а

9а2

2 I 4 ^ ^ р cos i

+ const.

(15)

На рис. 4 приведена зависимость безразмерного главного напряжения от полярного угла I в области автомодельного решения для показателя а = 1 (слева V > О, справа V < 0).

В 11.2 проведен групповой анализ уравнений осесимметричной задачи, которые при использовании канонических изостатических переменных ш] приводятся к виду

д/ д/ дк дН

\дч>1дш* дш3 ди>х)

(16)

Получен инфинитезимальный оператор группы симмстрий системы дифференциальных уравнений (16):

с • а = (3(С, + с>' + се)£; + (з(С, - ей«2 + С,)^ + 2

+(2С;, + едА . С^ А + А + 2/А + 2„|-)+ (17)

Здесь используются обозначения г»1 = о/,у2 = о;3. Таблица коммутации ба-

зисных инфинитезимальных операторов (<гг • д) есть:

a-a <й • d Яз ■ d «4 • d яь-d

Ti д 0 0 -3<г3 • д -3* • d -2яь ■ d

<Л д 0 0 -Зсз • d 3?4 • d 0

<й д 3<й • d 0 0 0

и д 3?4 -д -3?4 • d 0 0 0

Яь d 2?5 -д 0 0 0 0

(19)

Построена алгебра Ли и оптимальная система одномерных подалгебр для группы симметрии дифференциальных уравнений в частных производных (16):

(ft-d) + c(«¡.d), fe-а),

• д) ± (?5 • д), (ъ-д),

(ъ-д) + (а-д)±(я-&), (я-д),

Ы ■ д) - • д) ± (í3 • д), (ъ-д), (яз ■ д) ± («4 • 9) ± (<Г5 • д), • д) ± fe • д),

fe-d)±fe-¿>), (ь-д)±(ь-д).

Для каждого простейшего представителя одномерных подалгебр алгебры симметрии исследован вопрос о соответствующем инвариантном решении. Получены новые точные инвариантно-групповые решения, в частности, выражающиеся через эллиптические интегралы.

Раздел II.3 посвящен групповому анализу уравнений пространственной задачи, которые при использовании канонических изостатических переменных приводятся к виду

+ Ё11Ёк + ЁкЁк = о

дш1 дш3 ди)1 дш3 дш1 дш3 '

+ ^h^A + = о

дш2 дш3 дш2 дш3 дш2 дш3 '

dhdh

dui1 дш2

dhdh дш1 дш2

dh дш3

+

dhdh дш1 дш2

dhdh дш1 ди2

dh дш3

+

(20)

+ (dhdh _ dh dh;\ dh=±í Уди1 дш2 дш1дш2) дш3

Инфинитезимальный оператор группы инвариантности системы дифференциальных

уравнений имеет вид (Ь2 — произвольная функция)

«' * = + + + /з4) + - ТЙГ -

+с»ä+++BWs+Mhk ~ hwl+~hw?+

д , д ч „ д „ д „ , , д „ 9 ,

+М/2-кт - fi-й) + + <?"згз + с^тп

- иг

dfi Jidh шдш1 "дш2 дш* дш2'

дЬ2(ш\и2) д _ дЬ2{и\ш2) д + dw2 дш1 дш1 дш2

Построена оптимальная система одномерных подалгебр алгебры симметрий, определяемой конечной системой образующих, состоящая из следующих элементов:

(«i 0) + Di(q Ö) + D2(i7 Э) + Оз(«12 а),

(а э)±(а a) + Di(<rr a) + D2(iu а),

(а a) + £)i(c7-a) + D2(i,2 а),

(<i а) - з(й ■ а) ± (ö • а)+• а» + • а),

(й-а)±(<4 »ж» а) + с(?12 а),

(а-0)±(а 0) + О(сЛ2 Э),

(?< а) ± • а) + а), (а э)±(а а) ± (il2 • а), (а a)±(ii2 а), (?4 • а) ± (й2 • а), (?7-э) + £>(си а), (?и-э)

(« fl)±(i,o Э) + £>,((а Э) + |(С12 Ö)) + Dj(i7 а), (а а)±(а а)±(сю a) + i(il2 0) + £>(i7 а), (а 0)±(«о a) + i(d2 a) + D(i7 ö),

(а-а)-з(а 0)±(a a)±(il0 а)-|(?« 0) + о(а а)),

(«1 а) ± (си a) + Di((ö a)-i(il2 a)) + Bj(<7 в),

(а в) ±(«4 a)±(iu-a)-i(c12 а) + д(?7-а),

(а • а) ± (in ■ а) - |(П2 • а) + £>(t7 • а),

(а 0)-3(а-0)±(а Э)±(<„ а) + |(с12 0) + О(?7 Э)),

(а 0)±(а 0)±(а а) + D((iio Э) ± (in а»,

(а 0)±(а 0)±(ао в) ±(«Н Э),

(«4 в) ± («• 0) ± («о 0)±(ш а),

(а 3)±(а 0) + Р((ао 0)±(«11 а)),

(а 0) ± (ао • 0) ± (а» • 0), (а 0)±(ао 0)±(iu а),

(<Г7 0)±(яо а)±(?„ а), (iio-0)±(iu а),

(в 0) ± (а ■ 0) ± (а 0)±(ао а), (а 0)±(а-0)±(ао Э), (а 0)±(?г 0)±(яо 0), (а-0)±(«.-0)±(ао а), (а 0)±(ао 0), (а 0)±(оо 0), (а а) ± (ао а), («о а), (а Э)±(а 0)±(а 0)±(а, а), (а. Э),

(а 0)±(<7-0)±(п1 а), (а а)±(с7 a)±(iu а), (а 0)±(а 0)±(ai а), (а 0)±(<н а), (а 0)±(<ч а), (<Г7 а)±(?п а), (а-а), (а 0)

Здесь D, Di, D2> D3 — произвольные постоянные. В списке присутствуют один инфините-зимальный оператор зависящий от трех произвольных постоянных, 9 инфинитезимальных операторов зависящих от двух произвольных постоянных, 41 инфинитезимальных операторов зависящих от одной произвольной постоянной, 95 инфинитезимальных операторов не зависящих от постоянных.

В третьей главе разработан новый численный метод решения пространственных, плоских и осесимметричных задач теории идеальнопластическо-го течения по схеме полной пластичности Хаара—Кармана. Особенностью предложенного метода является использование счета вдоль изостатических траекторий для задач со свободной от напряжений границей. Приводится подробное анализ задач для случая осевой симметрии. Исследованию подлежит нелинейная система уравнений с частными производными, которая в нормальной форме Коши относительно переменной ш1 представляется в виде

=

ди1 ^ дш3 дш1 ^ ди3

кди3 ) \дш3 )

ьт

-1

(22)

Продемонстрирована возможность сведения физической постановки задачи к математической задаче Коши.

Доказана гиперболичность полученной системы уравнений с частными производными, а следовательно и корректность (разрешимость, единственность и устойчивость решения) постановки указанных задач. Получены дифференциальные уравнения характеристических линий

¿и1 у/Ща

(23)

учет которых позволяет правильно определить область зависимости решения от начальных данных и существенно упростить расчетную схему, что представляется важным при построении эффективного алгоритма расчета.

Работоспособность метода продемонстрирована на примере задачи о напряженном состоянии в пределах шейки одноосно растягиваемого цилиндрического образца.

Краевое условие на свободной границе шейки есть

= 1,

(24)

что дает нам право сделать вывод о том, что на контуре шейки (т.е. при со1 = 0) координата и)3 есть натуральный параметр — переменная длина дуги:

ш Ь=о = 3

(25)

и тем самым задать начальные данные для / и Д.

Построена аппроксимация системы уравнений в частных производных разностной схемой:

< -.7+1 -] иг ~Нг -±

2

«1 - "Жч+1 - Ч3)

2>

(26)

и) , 1 —ш ]+1 з

+2вг(®?+1-®?)

Получена формула для вычисления величины предельной нагрузки Р,

2тг кР

ш;

-Ч

ди

дй)!

1п

й>3=0

Зи

5а;1

с^1

д3=0

Величина предельной нагрузки, согласно Бриджмену, есть

2 г

= Ут-1п—--,

К =

г2 + 2Ш-г2'

(27)

(28)

Для сравнения полученных результатов с данными Бриджмена, контур шейки аппроксимируется эллипсом.

граница свободная от напряжений

минимальное сечение шеики

Р

Рис. 5. 15

Значения предельной нагрузки Pt и значения РВг, данные Бриджменом, для различных безразмерных кривизн свободного контура шейки приведены в таблице.

к1 Р. РВГ Р. РВг

2-кЫ2 2жЫ2 ш)+1 - й>]

0.11 0.9540 1.0268 0.9290 4

0.13 0.9565 1.0318 0.9254 4

0.15 0.9632 1.0366 0.9292 4

0.17 0.9707 1.0413 0.9321 4

0.2 0.9797 1.0483 0.9345 4

0.23 0.9848 1.0553 0.9331 4

0.25 0.9893 1.0600 0.9333 4

0.27 0.9976 1.0646 0.9370 4

0.3 1.0025 1.0714 0.9356 4

0.35 1.0074 1.0827 0.9304 5

0.4 1.0202 1.0939 0.9326 5

0.45 1.0286 1.1048 0.9309 7

0.5 1.0421 1.1157 0.9340 7

Видно, что обе расчетные схемы достаточно хорошо согласуются, несмотря на то, что в их основе лежат совершенно разные представления о напряженно-деформированном состоянии в области шейки одноосно растягиваемого цилиндрического образца.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1) Сформулированы основные соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности для ребра призмы Треска в изостатиче-ской системе координат. Условие расслоенности поля направлений наибольшего (наименьшего) главного напряжения позволяет свести уравнения равновесия к трем соотношениям, интегрируемым вдоль линий главных напряжений.

2) Найдены автомодельные решения осесимметричной задачи, обобщающие решение Шилда, которые зависят только от полярного угла в меридиональной плоскости. Установлены естественные границы существования автомодельных решений, за которые они не продолжаются. Численно найдены распределения главных напряжений в области автомодельного решения

3) Выполнен групповой анализ системы дифференциальных уравнений в частных производных как в пространственном случае, так и в случае осевой симметрии. Построены оптимальные системы одномерных подалгебр и найдены новые точные решения уравнений пластического равновесия.

4) Разработан численный метод расчета пространственных и осесиммет-ричных напряженных состояний, основанный на редукции физической краевой задачи к математической задаче Коши. Построена явная устойчивая конечно-разностная схема с проверкой выполнений условий Ку-ранта-Фридрихса и найден максимально простой вариант конечно-разностных уравнений.

5) Решена задача о локализации пластических деформаций в пределах шейки одноосно растягиваемого образца в осесимметричной постановке по схеме полной пластичности. Определены значения предельной нагрузки в зависимости от кривизны шейки в точке пересечения с ее минимальным сечением. Проведено сравнение с экспериментальными данными и приближенными моделями, показывающее, что значения предельной нагрузки хорошо согласуются со значениями, полученными Бриджменом.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Радаев Ю.Н , Бахарева Ю.Н , Рябова Ю.Н Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности//Вестник Самарского гос ун-та. Естественнонаучная серия. 2003. № 2 (28). С. 96-112.

2. Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н К теории осесимметричной задачи математической теории пластичности//Вестник Самарского гос. ун-та. Естественнонаучная серия. 2003. № 4 (30). С. 125-139.

3. Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н. Об обобщении автомодельных решений Шилда осесимметричной задачи математической теории пластичнос-ти//Сборник трудов международной школы-семинара. Воронеж, ВГУ, 2004. С. 411-414.

4. Bakhareva Y.N., Radayev Y.N. Self-similar solutions of axially-symmetric problem of the mathematical theory of plasticity//XXXII Summer School - Conference. Advanced Problems in Mechanics. 2004. St.Petersburg. P. 24.

5. Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н. Об одном численном методе решения осесимметричной задачи теории пластичности//Вестник Самарского гос. ун-та. Естественнонаучная серия. 2004. Второй специальный выпуск. С. 52-64.

6. Бахарева Ю.Н., Радаев Ю.Н. Численный метод решения трехмерных уравнений математической теории пластичности//Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Пермь, УрО РАН, 2005. С. 27.

7. Бахарева Ю.Н., Радаев Ю Н Об обобщении автомодельных решений Шилда осесимметричной задачи математической теории пластичнос-ти//Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2005 № 2. С. 104-116.

8. Радаев Ю.Н., Гудков В.А., Бахарева Ю.Н. Группы симметрии и алгебра симметрии трехмерных уравнений математической теории пластичнос-ти//Вестник Самарского гос. ун-та. 2005. № 2 (36). С. 106-124.

9. Bakhareva Y N., Radayev Y N. A numerical method for solution of three-dimensional problem of the perfect plasticity//XXXIII Summer School -Conference. Advanced Problems in Mechanics. 2005. St.Petersburg. P. 36.

r

Подписано в печать 4 июля 2005 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1193 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова,1 Отпечатано УОП СамГУ

И 7 9311

РНБ Русский фонд

2006-4 16577

Введение

Глава I. Теория пространственной задачи математической теории пластичности

1.1. Основные соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности для ребра призмы Треска . 18 1.1.1. Вырожденные решения пространственной задачи

1.1.2. Невырожденные решения пространственной задачи

1.1.3. Ассоциированный закон течения для напряженного состояния, соответствующего ребру призмы Треска

1.2. Уравнения равновесия для расслоенного поля напряжений 29 1.2.1. Критерий расслоености и расслоенные пластические поля.

1.2.2. Интегралы уравнений равновесия для расслоенного поля напряжений.

I.3. Классы пространственных задач с расслоенными полями напряжений.

Глава II. Алгебра симметрий и инвариантно-групповые решения уравнений пространственной и осесиммет-ричной задачи

II. 1. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности в изостатических координатах . 47 II.2. Группы симметрий и алгебра симметрий дифференциальных уравнений осесимметричной задачи.

11.2.1. Вычисление группы инвариантности системы уравнений осесимметричной задачи.

11.2.2. Инвариантно-групповые решения уравнений осесимметричной задачи

II.3. Группы симметрий и алгебра симметрий пространственных уравнений

Глава III. Некоторые осесимметричные и пространственные задачи статического равновесия

III. 1. Формулировка задачи в условиях осевой симметрии

111.2. Классификация, характеристики и условие корректности постановки задачи.

111.3. Общая численная схема решения осесимметричной задачи со свободной границей.

111.4. Напряженное состояние в шейке цилиндрического образца в условиях одноосного растяжения.

III.4.1. Вычисление величины предельной нагрузки

Известно, что твердые тела являются упругими лишь при малых нагрузках. При воздействии более или менее значительных сил тела испытывают неупругие, пластические деформации. Пластичность — свойство твердых тел приобретать остаточные деформации, не изменяющиеся при постоянных внешних нагрузках.

В настоящее время металлы являются единственными пластическими телами, для которых имеется достаточно данных, гарантирующих построение общей теории. Поэтому теория пластичности особенно связана со свойствами металлов, хотя она может быть применена и к другим потенциально пластическим материалам (например, лед, глина или горная порода).

Современное промышленное производство требует создания все более сложных конструкций, обладающих повышенной прочностью и жесткостью. Оптимизировать элементы конструкций деталей позволяет метод расчета, основанный на вычислении предельной нагрузки, которая может быть определена в рамках модели идеальнопластического тела. Любой мыслимый расчет конструкций должен начинаться с определения их напряженного состояния. В рамках теории идеальной пластичности и в настоящее время продолжают развиваться и совершенствоваться методы расчета напряжений. Пространственное напряженное состояние — самый сложный с точки анализа и практических расчетов аспект механики деформируемого твердого тела и инженерных наук. В настоящее время существует лишь ограниченный набор методов и результатов, которые проливали бы свет на свойства пространственного пластического напряженно-деформированного состояния. Именно поэтому тематика работы, как и вообще работ, посвященных трехмерным задачам теории пластичности, актуальна как в теоретическом, так и в прикладном плане.

Пластические свойства различных материалов были известны очень давно и изучались еще Кулоном (1776 г.). Первые систематические исследования пластических течений металлов были проведены Г. Треска (Н.

Tresca) [132]. В 1864 г. им был опубликован ряд результатов своих экспериментальных исследований, в которых он пришел к заключению, что металл пластически течет, когда максимальное касательное напряжение достигает критического значения. Теоретические основы описания этого явления были заложены Б. Сен-Венаном (В. Saint-Venant) [133] в 1870 г. Им были впервые сформулированы двумерные уравнения теории пластичности, используя условие пластичности Треска.

Уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности впервые были получены М. Леви (М. Levy, 1871 г.) [59], который используя в качестве условия текучести уравнение грани призмы Треска, сформулировал соотношения идеальнопластического тела для пространственно напряженного состояния, предложил зависимости между напряжениями и скоростями деформации и дал способ линеаризации этих уравнений в случае плоской деформации. Длительное время уравнения пространственной задачи оставались не изученными. И в настоящее время теория трехмерной задачи математической теории пластичности все еще далека от завершения.

Переводы на русский язык трудов основоположников математической теории пластичности помещены в сборник [83].

Сборник состоит из 28 статей, принадлежащих перу Сен-Венана, Леви, Мизеса, Прандтля, Генки, Рейсса, Прагера. Эти работы отражают процесс становления и развития математической теории пластичности и дают возможность в подлиннике ознакомиться с ее основными концепциями, методами и результатами, оригинальность и своеобразие которых уже к 1948 г. позволили редактору сборника утверждать: "Эта теория, которую называют теорией пластичности (в узком смысле слова), не может считаться окончательно установленной; однако исследования последних лет выяснили с несомненностью некоторые основные законы, позволяющие считать многие результаты совершенно достоверными."

Считается, что первые работы по теории пластичности в нашей стране появились в 1936 г., которые связываются с именами А. А. Ильюшина и С. А. Христиановича [114]. В послевоенные годы только в изданиях Академии наук было опубликовано свыше двухсот работ, посвященных различным проблемам теории пластичности, обзор которых дан в [18].

Главное практическое значение теории пластичности состоит в том, что она (вместе с теорией упругости и теорией ползучести) является теоретическим фундаментом науки о прочности и жесткости конструкций под действием статических и динамических нагрузок. Но, подобно подавляющему большинству наук, теория пластичности может иметь успех в достижении своих целей лишь при идеализации реального поведения твердых деформируемых тел, путем пренебрежения второстепенными фактами по сравнению с факторами, имеющими основное значение.

Для многих задач, представляющих наибольший практический интерес, вследствие математических трудностей мы вынуждены пренебрегать упругой составляющей деформации. Мы должны также пренебречь чисто упругой деформацией в непластической области. Следовательно, мы имеем дело с материалом, который является жестким, когда он напряжен ниже предела текучести, и модуль Юнга которого имеет бесконечно большое значение. Таким образом возникает модель идеальнопластического тела. Распределение напряжений в идеальнопластическом теле близко к распределению напряжений в реальном металле при тех же внешних условиях тогда, когда пластический материал обладает свободой течения в некотором направлении. Для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска, обобщенный ассоциированный закон течения не устанавливает никаких ограничений на тензор скоростей пластических деформаций (помимо условий несжимаемости и соосности тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций), следовательно, пластическое течение имеет наибольшую свободу и именно поэтому возрастает вероятность построить решения ряда важнейших прикладных задач, рассматривая именно ребро поверхности текучести Треска. К тому же в случае, когда напряженное состояние соответствует грани призмы Треска, одна из главных скоростей пластических деформаций равна нулю, а это существенно ограничивает свободу пластического деформирования.

Пространственная задача в общем случае при условии пластичности Мизеса (R. von Mises) и ассоциированным с ним законом течения является статически неопределимой, и, кроме того, уравнения пространственной задачи не гиперболичны. Так система уравнений пространственной и осесим-метричной задачи теории идеальной пластичности при условии пластичности Мизеса, вообще говоря, не имеет вещественных характеристических направлений (см. [108]). Все это не оставляет шансов обобщить методы интегрирования, развитые ранее для плоской задачи, соотношения которой формально статически определимы и гиперболичны, что в конце концов и позволяет построить теорию полей скольжения, адекватно представляющую сдвиговой механизм пластического течения. Принципиально иная ситуация наблюдается в пространственной задаче при использовании критерия текучести Треска. Здесь уравнения пластического равновесия в ряде важных случаев становятся гиперболическими. Существование действительных характеристических поверхностей является большим математическим преимуществом. Если еще учесть, что характеристические поверхности суть поверхности скольжения, то с физической точки зрения трудно объяснить отсутствие действительных характеристических поверхностей в случае уравнений пространственной задачи при использовании критерия текучести Мизеса.

Распространение математического аппарата гиперболических уравнений, описывающего плоское течение идеально пластического материала на общий трехмерный случай, явилось предметом целого ряда исследований.

В 1909 г. Хаар и Карман (A.Haar, Th. von Karman) выдвинули условие полной пластичности [110], которое по существу устанавливает соответствие напряженного состояния ребру призмы Треска, и оказалось, что соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности являются статически определимыми.

В 1923 г. Генки (H.Hencky) [21] предложил использовать условие полной пластичности Хаара—Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния, что привело его к статически определимой системе уравнений равновесия, которая оказалась гиперболической.

В 1944 г. А.Ю.Ишлинский [46] исследовал осесимметричную задачу теории пластичности, предполагая выполнение условия полной пластичности, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. С помощью численного метода в этой же работе было получено рел шение задачи о вдавливании твердого шарика в идеально пластическую среду.

Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара—Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанали-* зированы А.Ю.Ишлинским [47], который также использовал обобщенный закон пластического течения, не предполагающий столь жесткие ограничения на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и девиатора тензора напряжений.

Результаты А.Ю.Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д.Д.Ивлева [36], [37], в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара-Кармана для всей теории пластичности и развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения. Было установлено, что при условии полной пластичности уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности являются статически определимыми и принадлежат к гиперболическому типу. Характеристические направления при этом образуют конус, касающийся площадок максимальных касательных напряжений, построенных в вершине конуса. Характеристическими будут также направления, ортогональные главной оси тензора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) главному напряжению. Было таким образом доказано, что именно условие полной пластичности и только оно позволяет сформулировать общую теорию идеальной пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых уравнений гиперболического типа, соответствующим сдвиговой природе идеально пластического деформирования.

В дальнейшем Д.Д.Ивлевым была исследована пространственная задача при произвольном кусочно-линейном условии текучести и в результате показано, что как в пространственном, так и в осесимметричном случае на ребре кусочно-линейного условия текучести уравнения математической теории пластичности являются гиперболическими и имеют характеристические элементы, совпадающие с площадками максимальных касательных напряжений.

Кинематические соотношения теории идеальной пластичности на ребре призмы треска были исследованы в 1977 г. Г.И. Быковцевым [14]. Им же были обобщены условия совместности на линиях и поверхностях разрыва и получены лучевые разложения решений на характеристических поверхностях.

Любопытно отметить, что как статические, так и кинематические уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для грани призмы Треска также являются гиперболическими; характеристические направления ориентированы так же как и главные направления тензора напряжений. Полное исследование характеристик уравнений осесимметричной задачи при условии пластичности Треска можно найти в [52], с. 258-268.

Значительный вклад в математическую теорию пластичности в разное время был сделан Б.Д. Анниным [4] — [7], Г.И. Быковцевым [14] — [17], [43], М.А. Задояном [32], Д.Д. Ивлевым [36] — [44], А.А. Ильюшиным, А.Ю. Ишлинским [46] — [49], JI.M. Качановым [51], [52], В.Д. Клюшниковым [53] — [54], Ю.Н. Работновым [84], В.В. Соколовским [103]-[104], JI.A. Толокон-никовым [107], С.А. Христиановичем [114], Е.И. Шемякиным [115].

Стремительный рост производительности современной вычислительной техники привел к развитию численных методов решения задач математической теории пластичности [120],[124], [129].

Целью работы является исследование пространственных соотношений математической теории пластичности и развитие аналитических и численных методов расчета поля напряжений, позволяющих найти решения ряда пространственных, плоских и осесимметричных задач, описываемых гиперболическими дифференциальными уравнениями.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение

1) Сформулированы основные соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности для ребра призмы Треска в изостати-ческой системе координат. Показано, что поле направлений наибольшего (наименьшего) главного напряжения является расслоенным.

2) Условие расслоенности позволяет ввести криволинейные изостатиче-ские координаты таким образом, что уравнения равновесия приводятся к трем соотношениям, интегрируемым вдоль линий главных напряжений, что позволяет исследовать геометрию слоев поля направлений и обобщить геометрические теоремы плоского деформированного состояния на пространственный и осесимметричный случай.

3) Найдены автомодельные решения осесимметричной задачи, обобщающие решение Шилда, которые зависят только от полярного угла в меридиональной плоскости. Установлены естественные границы существования автомодельных решений, за которые они не продолжаются. Численно найдены распределения главных напряжений в области автомодельного решения.

4) Выполнен групповой анализ системы дифференциальных уравнений в частных производных как в пространственном случае, так и в случае осевой симметрии. Построены новые инвариантно-групповые решения и соответствующие им сетки изостатических траекторий. Показано, что групповой анализ позволяет получить все найденные ранее автомодельные решения.

5) Созданы программы в кодах Maple V, реализующие поиск определяющих уравнений для групп симметрий пространственных и осесим-метричных уравнений.

6) Изучены алгебры симметрий осесимметричных и пространственных уравнений. Доказано, что алгебра симметрий в первом случае 5-мерна, а во втором — бесконечномерная (имеется естественная 12-мерная подалгебра). Построены оптимальные системы одномерных подалгебр и найдены соответствующие им инвариантно-групповые решения.

7) Разработан численный метод расчета пространственных и осесимметричных напряженных состояний, основанный на редукции физической краевой задачи к математической задаче Коши.

8) Построена явная устойчивая конечно-разностная схема с проверкой выполнения характеристических условий и найдены максимально простые варианты разностных уравнений. Численная реализация дана в системе символьных вычислений Maple V.

9) Проведен численный анализ задачи о локализации пластических деформаций в пределах шейки одноосно растягиваемого образца в осесимметричной постановке по схеме полной пластичности. Проведено сравнение с экспериментальными данными и приближенными моделями, показывающее, что значения предельной нагрузки хорошо согласуются со значениями, полученными ранее Бриджменом.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. 352 с.

2. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.: Наука, 1987. 160 с.

3. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990. 208 с.

4. Аннин Б.Д. Одно точное решение осесимметричной задачи идеальной пластичности//Прикл. мех. и техн. физика. 1973. №2. С. 171-172.

5. Аннин БД. Групповые свойства и точные решения уравнений пластичности Мизеса и Треска//Теоретична и приложна механика. Труды IV конгресса. Кн. 1. София: БАН, 1981. С. 644-649.

6. Аннин БД., Бытев В.О., Сенатов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985. 143 с.

7. Аннин БД., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983. 240 с.

8. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.

9. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова JI.B. Нелинейная механика разрушения. Самара: Издательство "Самарский университет", 2001. 632 с.

10. Бахарева Ю.Н., Радаев Ю.Н. Численный метод решения трехмерных уравнений математической теории пластичности//Зимняя школа помеханике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Пермь, УрО РАН, 2005. С. 27.

11. Бахарева Ю.Н., Радаев Ю.Н. Об обобщении автомодельных решений Шилда осесимметричной задачи математической теории пластично-сти//Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2005. №2. С. 104-116.

12. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

13. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. 444 с.

14. Быковцев Г.И., Власова И.А. Свойства уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности//Механика деформируемых сред. Межвузовский сборник. Куйбышев: Куйбышевский гос. ун-т, 1977. Вып. 2. С. 33-68.

15. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Даль-наука, 1998. 528 с.

16. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. К теории осесимметрич-ного состояния идеально пластического материала//Прикл. мех. и техн. физика. 1963. №5. С. 102-108.

17. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. О свойствах общих уравнений теории идеальной пластичности при кусочно-линейных потен-циалах//Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1965. №1.

18. Вакуленко А.А., Качанов JT.M. Теория пластичности//В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т.З. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1972. с.

19. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978. 296 с.

20. Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949. 280 с.

21. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах//Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 80-101.

22. Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического равно-весия//Изв. АН СССР. ОТН. 1937. №2. С. 187-196.

23. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. 304 с.

24. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962.

25. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

26. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. I. М., JL: ОНТИ, 1936. 592 с.

27. Давиденков Н.Н., Спиридонова Н.И. Анализ напряженного состояния в шейке растянутого образца//Заводская лаборатория. 1945. Т. XI. С. 583-593.

28. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.: Машиностроение, 1979. 567 с.

29. Жуков A.M. К вопросу возникновения шейки в образце при растяже-нии//Инженерный сборник. 1949. Т. V. С. 583-593.

30. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 228 с.

31. Задоян М.А. Пластическое течение конусообразных тел//Прикл.мат. и мех. 1983. Т.47. Вып.2. С. 209-218.

32. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности//М.: Наука, 1992. 382 с.

33. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Изд-во Факториал, 1997. 304 с.

34. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Изд-во Факториал, 1997. 512 с.

35. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

36. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред//Прикл. матем. и механика. 1958. Т. 22. Вып. 1. С. 90-96.

37. Ивлев Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях//Докл. АН СССР. 1959. Т. 124. №3. С. 546-549.

38. Ивлев Д.Д. Об одном частном решении общих уравнений теории идеальной пластичности в цилиндрических координатах при условии пластичности Треска//Изв. АН СССР. ОТН мех. и машиностроения. 1959. Ш. С. 132-133.

39. Ивлев Д.Д. К теории осесимметричного напряженного состояния при условии пластичности Треска//Изв. АН СССР. ОТН мех. и машиностроения. 1959. №6. С. 112-114.

40. Ивлев Д.Д. О вдавливании тонкого тела вращения в пластическое полупространство//Прикл. мех. и техн. физика. 1960. №4. С. 75-78.

41. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

42. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т. I. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001. 448 с.

43. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. 231 с.

44. Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. Об условии полной пластичности для осесимметричного состояния//Прикл. мех. и техн. физика. 1963. №3. С. 102-104.

45. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

46. Ишлинский А.Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля//Прикл. матем. и механика. 1944. Т. 8. Вып. 3. С. 201-224.

47. Ишлинский А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости//Уч. зап. МГУ. Механика. 1946. Вып. 117. С. 90-108.

48. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Т. I. Механика вяз-копластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. 360 с.

49. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.

50. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.

51. Качанов JI.M. Вариационные принципы для упругопластических сред//Прикл. мат. и мех. 1942. Т.6. Вып.2-3. С. 187-196.

52. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

53. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 207 с.

54. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Изд-во Московского университета, 1994. 189 с.

55. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 78 с.

56. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953. 460 с.

57. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1964. 830 с.

58. Лагалли М. Векторное исчисление. М.; Л.: ОНТИ, 1936. 344 с.

59. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упруго-сти//Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 20-23.

60. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 207 с.

61. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть метал-лов//Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 168-205.

62. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.152

63. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970. 443 с.

64. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

65. Малинин Н.Н., Петросян Ж.Л. Напряжения в наименьшем сечении шейки растянутого круглого образца//Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1967. No. 6. С. 34-39.

66. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически-деформированном со-стоянии//Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. литры, 1948. С. 57-69.

67. Милн В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. 290 с.

68. Михлин С.Г. Основные уравнения математической теории пластичности. Л.: Изд-во АН СССР. 1934. 71 с.

69. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981. 208 с.

70. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. М.: Мир, 1969. 864 с.

71. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

72. О л вер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 639 с.

73. Олыпак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пластичности. М.: Мир, 1964. 234 с.

74. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974. 416 с.

75. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 400 с.

76. Петровский И.Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986. 504 с.

77. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М.: Высш. школа, 1964. 560 с.

78. Прагер В. Исследование зависимости "напряжения-деформации" в изотропных пластических твердых телах//Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 301-315.

79. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1956. 398 с.

80. Прандтль Л. Примеры применения теоремы Генки к равновесию пластических тел//Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 102-113.

81. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т. 3//В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 9-445.

82. Пуанкаре А. Об одной геометрической теореме//В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 775-807.

83. Теория пластичности//Сб. статей (ред. Ю.Н.Работнов). М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948. 452 с.

84. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

85. Радаев Ю.Н. Предельное состояние шейки произвольного очертания в жесткопластическом теле//Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1988. No. 6. С. 69-75.

86. Радаев Ю.Н. О канонических преобразованиях Пуанкаре и инвариантах уравнений пластического равновесия//Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1990. №1. С. 86-94.

87. Радаев Ю.Н. Канонические инварианты уравнений теории связанной пластичности и поврежденности//Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000. №5. С. 27-45. с.

88. Радаев Ю.Н. К теории трехмерных уравнений математической теории пластичности//Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2003. №5. С. 102-120.

89. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2004. 147 с.

90. Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н., Рябова Ю.Н. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности//Вестник Самарского гос. ун-та. Естественнонаучная серия. 2003. №2(28). С. 96-112.

91. Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н. К теории осесимметричной задачи математической теории пластичности//Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2003. №4(30). С. 125-139.

92. Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н. Об обобщении автомодельных решений Шилда осесимметричной задачи математической теории пластич-ности//Сборник трудов международной школы-семинара. Воронеж, ВГУ, 2004. С. 411-414.

93. Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н. Об одном численном методе решения осесимметричной задачи теории //Вестник Самарского гос. ун-та.

94. Естественнонаучная серия. 2004. Второй специальный выпуск. С. 52-64.

95. Радаев Ю.Н., Гудков В.А., Бахарева Ю.Н. Группы симметрий и алгебра симметрий трехмерных уравнений математической теории пластичности// Вестник Самарского гос. ун-та. 2005. №2 (36). С. 106-124.

96. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Гостехтеоретиздат, 1947. 356 с.

97. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

98. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1994. 560 с.

99. Сенатов С.И. Групповые свойства уравнений идеальной пластичности с условием текучести Мизеса//Динамика сплошной среды. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1977. Вып. 28. С. 109-117.

100. Сенашов С.И. Инвариантные пространственные решения уравнений идеальной пластичности//ПМТФ. 1980, №3. С. 159-163.

101. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упруго-сти//Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 11-19.

102. Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел. Некоторые приложения//Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 24-33.

103. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 442 с.

104. Соколовский В.В. Плоское и осесимметричное равновесие пластической массы между жесткими стенками//Прикл. мат. и мех. 1950. Т. 14. Вып. 1. С. 75-92.

105. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

106. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 374 с.

107. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 468 с.

108. Толоконников JI.A. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

109. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.:Мир, 1964. 308 с.

110. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432 с.

111. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах//Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 41-56.

112. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 480 с.

113. Хилл Р. О проблеме единственности в теории жесткопластического тела//Сб. пер. "Механика". I, И. 1957. №4. С. 81-97; III. 1958. №1. С. 78-86.

114. ИЗ. Хилл Р. Общая теория единственности и устойчивости для упруго-пластических тел//Сб. пер. "Механика". 1958. №6. С. 81-95.157

115. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре//Мат. сб. Новая серия. 1936. Т. 1. Вып. 4. С. 511-534.

116. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластично-сти//Инж. ж. Мех. тверд, тела. 1967. №4. С. 86-97.

117. Шилд Р. Пластическое течение в сходящемся коническом кана-ле//Сб. пер. "Механика". 1956. №3. С. 140-150.

118. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой сим-метрии//Сб. пер. "Механика". 1957. №1. С. 102-122.

119. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. 316 с.

120. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

121. Armen Н. Assumptions, models, and computational methods for plasticity//Computer-Aided design. 1979. V. 11. Issue 6. P. 161-174.

122. Huber M.T. Die spezifische Formanderungsarbeit als Mab der Amstiengung eines Materials. Lemberg. 1904.

123. Jenne W. Raumliche Spannungsverteilungen in festen Korpern bei plastischer Deformation//ZAMM. 1928. Bd. 8. H. 1. S. 18-44.

124. Xiao-Mo Jiang, Hong Chen, J.Y. Richard Liew. Spread-of-plasticity analysis of three dimensional steel frames//J. of Constructional Steel Research. 2002. V. 58. Issue 2. P. 193-212.

125. Koiter W.T. General theorems for elastic-plastic solids//Progress in Solid Mechanics. Eds. I. N. Sneddon and R. Hill. Amsterdam: North-Holland, 1960. V. I. P. 167-221.

126. Levy M. Memoire sur les equations generales des mouvements interieurs des corps solides ductiles au dela des limites ou l'elasticite pourrait les ramener a leur premier 6tat//C. R. Acad. Sci. Paris. 1870. V. 70. P. 1323.

127. Lippman H. Principal line theory of axially-symmetric plastic deformation//J. Mech. Phys. Solids. 1962. V. 10. No. 2. P. 111-122.

128. Lippman H. Statics and dynamics of axially-symmetric plastic deformation//J. Mech. Phys. Solids. 1965. V. 13. No. 1. P. 29-39.

129. Mitchell G.P., Owen D.R. Numerical solutions for elastic-plastic problems//J. Eng. Comput. 1988. V. 5. No. 4. P. 274-284.

130. Shield R.T. On the plastic flow of metals under conditions of axial symmetry//Proc. Roy. Soc. Lond. 1955. V. 233A. No. 1193. P. 267-287.

131. Stampouloglou I.H., Theotokoglou E.E., Panayotounakos D.E. Exact analytic solutions of the nonlinear partial differential equations governing rigid perfect plasticity prob!ems//Acta Mechanica. 2005. V. 174. No. 1-2. P. 1-20.

132. TYesca H. Memoire sur l'ecoulement des corps solides soumis a de fortes pressions. //C. R. Acad. Sci. Paris. 1864. V. 59. P. 754.