Симметрии и законы сохранения уравнений пластичности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Симметрии уравнений пластичности

§ 1. Построение оптимальных систем подалгебр

1.1. Присоединенная алгебра и автоморфизмы

1.2. Оптимальная система одномерных подалгебр

1.3. Оптимальная система двумерных подалгебр

1.4. Оптимальная система трехмерных подалгебр

§ 2. Инвариантные решения

2.1. Решения ранга

2.2. Решения ранга

2.3. Решения ранга

§ 3. Построение групп симметрий

3.1. Фактор-система подалгебры < Х\ + М >

3.2. Фактор-система подалгебры < N + М + >

3.3. Фактор-система подалгебры < Ух + N >

3.4. Фактор-система подалгебры < ТУ + аМ >

ГЛАВА 2. Законы сохранения для квазилинейных гиперболических систем

§ 1. Общий вид системы

§ 2. Уравнения плоской пластичности

2.1. Решение задачи Коши

2.2. Решение задачи Римана

2.3. Численная реализация

§ 3. Задача Коши для изоэнтропического течения политропного газа

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелинейных дифференциальных пространственных уравнений пластичности среды Мизеса.

Исследование систем дифференциальных уравнений с частными производными методами группового анализа относится к актуальным направлениям теории уравнений математической • физики.

Основополжником данного направления считается известный норвежский математик Софус Ли, классические результаты которого позволили трансформировать интуитивное понятие симметрии в строгий теоретико-групповой метод решения дифференциальных уравнений.

В настоящее время, под руководством академика JI.B. Овсянникова [16, 18], возродившего интерес к работам С. Ли, в Институте гидродинамики СО РАН (Новосибирск) проводится программа ПОДМОДЕЛИ [17], в рамках которой исследуются уравнения газовой динамики. Коллективом авторов изучаются модели: относительно уравнения состояния общего вида [19], барохронные движения газа и небарохронные подмодели, случаи политропного и вязкого теплопроводного газов.

Большой вклад в развитие группового анализа сделан Н.Х. Ибрагимовым [11], которым обнаружены новые применения групповых методов.

В Институте вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск) теоретико - групповые методы применяются в гидродинамике. Группой ученых в составе В.К. Андреева, О.В. Капцова, A.A. Родионова., Ю.В. Шанько изучаются групповые свойства уравнений однородной и неоднородной жидкости в переменных Лагранжа [2], исследуются также нестационарные трехмерные уравнения Эйлера [30].

В работах Б.Д. Аннина, С.И. Сенашова [3, 4] с использованием методов группового анализа построены классы точных решений уравнений пластичности Мизеса и Треска.

Таким образом, современный групповой анализ дифференциальных уравнений является мощным инструментом построения решений для различных уравнений математической физики.

Далее приведем систему, которая будет предметом рассмотрения в первой главе работы.

Пусть — декартова прямоугольная система координат, o'гj,Sij(i,j = 1,2,3) — компоненты тензора напряжений и девиатора тензора напряжений. При этом, компоненты а^ удовлетворяют системе уравнений равновесия т^ = 0,(г,^ = 1,2,3) (0.1-0.3) 3р — 8гз , где р — гидростатическое давление, — символ Кронекера, запятая означает дифференцирование по соответствующей переменной, здесь и далее по повторяющимся индексам проводится суммирование.

В силу условия Мизеса, компоненты девиатора тензора напряжений связаны условием текучести sijsij = (0.4) где к3 — предел текучести при чистом сдвиге.

Пусть ец — компоненты тензора скоростей деформации, тогда = + г^, где й = («1,^2,^3) — вектор скорости. Среда предполагается несжимаемой, поэтому сИУ и = = 0. (0.5)

Для замыкания системы уравнений (0.1)-(0.5) предполагается выпол-неным закон течения, который связывает компоненты и е^ где Л = Х(х1, Х2, — положительная функция.

Таким образом, имеем замкнутую систему уравнений (0.1)-(0.5), а именно 4 уравнения (три уравнения равновесия (0.1-0.3) и условие несжимаемости (0.5)) для определения неизвестных функций р. Условие текучести (0.4) служит для определения Л.

Запишем систему Е пространственных уравнений пластичности стационарной среды Мизеса (0.1)-(0.5) в развернутом виде др = дай + дН2 + Э£13 (06) дх± дх\ дх2 дх% ' др = <9^21 9 ¿>22 дв23 дх-о дх\ дх2 Эх-* ' др = дБ31 д«32 двзз дхз дх\ дх2 дхз '

2,у = Л + ди" дхп дхп р1 + ди1+ди1 = ох 1 ох 2 ох 3

11 + »22 + «зз + 24, + 2 З213 + 2^3 = 2 к2а. (0.10)

Исключая из уравнений (О.б)-(О.Ю) 5^-, Л, получим четыре нелинейных уравнения, связывающие только величины р,и1,и2,щ: у/2 к3 у/2

Р,г = ~1 (0.11)

Щ,г — 0, (0.12) £тп£тп

Отметим, что система уравнений (0.11)—(0.12) в общем случае не имеет действительных характеристик [25].

Исследование системы (О.б)-(О.Ю) с позиции группового анализа было начато С.И. Сенашовым [4], которым была найдена алгебра Ли

Lis, допускаемая системой. Операторы, порождающие следующие д д д Q

Y{ — -—, N = xi —, М = щ

Тг = х 2

9u3' а а

Т3 = ху

1 ъ = / . N д дщ охг д д То = д ди3 х3 л ' ои2 OUi д д ди2 Х2 0 , OU1 д д д д дх3 ^Зл + и2 ОХ 2 ди3 ои2 д д д д дх\ г, +из ох з ди\ ди3 д д д д

8X2 х2 л + и1 ОХ 1 ди2 U2 Я ' OUi дщ' д z 1 = 22---жз-----u3-—, (0.13)

3 = др'

Имеет место разложение ¿15 = Я12 0 Фз, где = радикал, а Ф3 = {Zl, Z2^ Z3} — фактор Леви, который является подалгеброй вращений.

В работе [14] найдена оптимальная система одномерных подалгебр 01 алгебры £15. Построение ©1 связано с тремя инвариантными многообразиями, поэтому дальнейшая работа по классификации подалгебр проводилась по трем непересекающимся направлениям, соответствующих:

1) ненулевому фактору Леви (исследован П.П. Киряковым [13, 36]),

2) производной радикала [Я12, Я12] = {Xi,Yi,Ti},i = 1,2,3 (исследован В.Н. Лахиным [15]),

3) радикалу Я12 (рассматривается в данной работе). Охарактеризуем вкратце содержание первой главы работы, в которой ищется вид инвариантных решений системы (О.б)-(ОЛО), соответствующих радикалу В.12

Работа проходила в следующей последовательности :

1) построение оптимальных систем подалгебр,

2) нахождение вида инвариантных решений на этих подалгебрах,

3) вычисление групп симметрий, допускаемых фактор-системами.

В первом параграфе описан процесс построения оптимальных систем размерностей 1, 2, 3 подалгебр радикала i?12 алгебры Ли L\s- Результат сведен в таблицы приложения 1. При этом каждая подалгебра снабжена "паспортом", который полностью характеризует процесс ее построения.

Во втором параграфе определен вид инвариантных решений, соответствующих подалгебрам, удовлетворяющих крдтерию инвариантности. Найден вид решений ранга 0, 1, 2.

В третьем параграфе выписаны фактор-системы Е/Н, т.е. системы уравнений, полученные из исходной, путем подстановки инвариантного решения. Для фактор-систем на решениях ранга 2, найдены допускаемые алгебры Ли. Результат сформулирован в ряде теорем.

Таким образом, исследование исходной системы в случае, соответствующему радикалу Л12, сведено к решению ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Целью второй главы является использование законов сохранения двумерных уравнений пластичности для нахождения аналитического решения основных краевых задач. Также с помощью законов сохранения для системы уравнений, описывающих изоэнтропическое течение политропного газа, найдено аналитическое решение задачи Коши.

Теория интегрирования системы уравнений плоской теории пластичности основана на перемене ролей зависимых и независимых переменных [26]. Эта теория использовалась при исследовании краевых задач "плоской деформации" несколькими авторами еще в 1923 году [8]. При этом, переход от решения х = х(а,9),у = у(сг,9) к преобразованному решению а = а(х,у),9 = 9(х,у) становится невозможным в таких точках или вдоль таких линий, где якобианы D — д{х,у)/д{а,9), D~x равны нулю. Эти особенности делают невозможным переход из плоскости напряжений в физическую плоскость и обратно. Так как до решения краевой задачи это определить нельзя, то приходиться накладывать на решение и на краевые условия дополнительные ограничения. При этом вырожденные случаи необходимо рассматривать отдельно.

Так, в работе [28] решены краевые задачи для линеаризованных уравнений. В частности, решена задача о распределении напряжений вокруг отверстий, ограниченных кусочно-гладким выпуклым контуром.

При этом на функции х = х(0), у = у (в), описывающие форму контура накладываются ограничения д(х, у)/д{£, rj) = г2[в)/(2^'[в)т]'{в)) > 0, где г — г(в) — радиус кривизны контура.

В монографии [24] методом тригонометрических рядов, который также основан на замене переменных, построены различные частные решения уравнений пластичности.

В книге [27] для линеаризованных уравнений с помощью функции Римана найдены в замкнутом виде решения задач Коши и начальной характеристической.

Из современных работ можно отметить [7], в которой проинтегрированы уравнения идеальной плоской пластичности в предположении, что соответствующие определители преобразований отличны от нуля. Найдено решение задачи Гурса в виде рядов, эквивалентных разложению в ряд по метацилиндрическим функциям. При этом краевые условия необходимо задавать в виде радиусов кривизны характеристик.

Таким образом, все существующие методы построения аналитических решений краевых задач плоской пластичности исследуют линеаризованную задачу, отделяя тем самым решения в особых областях (подробнее см. [7, 26]). На этой основе получены многие результаты и доказаны теоремы о свойствах уравнений и их решений [12].

Но линеаризация уравнений не дает возможности решать краевые задачи пластичности, так как при этом возникают две проблемы. Первая заключается в трудности, а часто и в невозможности постановки соответствующих краевых задач для линеаризованных уравнений. Вторая проблема состоит в том, что якобиан преобразования может обращаться в ноль, и приходится заранее предполагать, что это не так, таким образом еще до решения задачи вступая в противоречие.

Построение решений полуобратными методами (к ним относится и метод группового анализа) не позволяют решать конкретные краевые задачи. Эти методы дают точные решения, к которым затем подбираются граничные условия.

Другими словами, до настоящего времени не существовало способа построения решений краевых задач плоской теории пластичности в аналитическом виде.

В [22] был предложен метод решения задачи Коши для уравнений плоской пластичности, основанный на построении законов сохранения. Его суть заключается в линеаризации уравнений, которые служат для определения законов сохранения, при этом все используемые преобразования являются невырожденными.

В первом параграфе второй главы рассмотрен общий вид системы квазилинейных уравнений двух независимых переменных. Решение задачи Коши сведено к краевой задаче для линейной системы, описывающей законы сохранения.

Второй параграф посвящен классическим уравнениям двумерной идеальной пластичности. Описаны законы сохранения, с помощью которых найдено аналитическое решение задачи Коши и задачи Римана. Проведена численная реализация метода и его апробация на известных точных решениях. Решено несколько задач, для которых не известны точные аналитические решения.

В третьем параграфе, с помощью законов сохранения, решена задача Коши для системы уравнений, описывающей одномерное изоэнтропическое течение политропного газа в эйлеровых координатах в случае плоской симметрии.

Основные результаты диссертации:

- для инвариантного многообразия, соответствующего радикалу алгебры Ли, допускаемой пространственными уравнениями пластичности среды Мизеса, проведена классификация подалгебр размерности 1, 2,

3;

- определен вид инвариантных решений ранга 0, 1, 2. Для решений ранга 2 выписаны фактор-системы и найдены группы непрерывных преобразований, допускаемые этими системами. Таким образом, нахождение инвариантных решений исходной системы уравнений в рассматриваемом случае сведено к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

- разработанный в [22] метод решения задачи Коши для гиперболических систем однородных квазилинейных уравнений, основанный на законах сохранения, применен для нахождения аналитического решения основных краевых задач теории плоской идеальной пластичности и задачи Коши для системы уравнений, описывающей одномерное изоэнтропическое течение политропного газа в эйлеровых координатах в случае плоской симметрии;

10 проведена численная реализация метода, решены некоторые задачи, для которых не известны точные решения.

Результаты диссертации опубликованы в работах [15,23,29,3133,35,38], а также в статье Iakhno A.N., Senashov S.I. Conservation Laws and Main Boundary Problems of Plasticity, находящейся в Internet по адресу http: www.emis.de/proceddings/SCCP97/13.html.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Сергею Ивановичу Сенашову за ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Адам ар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 352 с.

2. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. -Новосибирск: Наука, 1994. 319 с.

3. Аннин Б.Д. Групповые свойства и точные решения уравнений пластичности Мизеса и Треска //В кн.: Теоретична и приложна механика. Тр. IV конгресса. Кн. 1. София: БАН 1981, С. 644-649.

4. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука, 1985. 140 с.

5. БИЦАДЗЕ A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 448 с.

6. Бочаров A.B., Вербовецкий A.M., Виноградов A.M. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. М.: Изд-во "Факториал", 1997. 464 с.

7. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.

8. ГЕНКИ Г. Теория пластичности. М.: Иниздат, 1948.

9. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. -М.: Наука, 1992. 384 с.

10. ОВСЯННИКОВ Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

11. ОВСЯННИКОВ J1.B. Подмодели. Новосибирск: Ин-тут гидродинамики, 1992. 9 с.

12. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН 1993. Т. 333, № 6. С. 702-704.

13. Овсянников JI.B. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ 1994. Т. 58, № 4. С. 30-55.

14. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 688 с.

15. СЕНАШОВ С.И. Основы группового анализа для механиков. -Красноярск: КрасГУ, 1993. 152 с.

16. СЕНАШОВ С.И. Законы сохранения и точное решение задачи Коши для уравнений идеальной пластичности // Докл. РАН 1995. Т. 345. С. 619-620.

17. ФРЕЙДЕНТАЛЬ А., ГЕЙРИНГЕР X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432 с.

18. Хилл Р. Математическая теория пластичности: ГИТТЛ, 1956.

19. ХРИСТИАНОВИЧ С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре //В кн.: Механика сплошной среды. М: Наука 1981, С. 409-432.

20. Чуринова И.В., Яхно А.Н. Симметрии уравнений пластичности, описывающих плоское напряженное состояние // Симметрия в естествознании. Тез. докл. Междунар. конф. Красноярск: ИВМ СО РАН 1998. С. 146-147.

21. ШАНЬКО Ю.В., КАПЦОВ О.В. Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения ранга два для трехмерных уравнений Эйлера // Дифференциальные уравнения 1994. Т. 30. № 10. С. 1814-1819.

22. Яхно А.Н. REDUCE и симметрии уравнений пластичности среды Мизеса // Симметрия в естествознании. Тез. докл. Междунар. конф. Красноярск: ИВМ СО РАН 1998. С. 163.

23. Anthony С. Hearn. REDUCE. User's Manual. Version 3.4: RAND Publication CP78 (Rev. 7/91), 1991. 200 p.

24. Iakhno A. N., Senashov S. I. The solving of the main boundary problems of plasticity by means of conservation laws / / Proc. of international conference "Modern Group Analysis VII", Norway, Trondhaim. 1998.

25. KlRIAKOV P.P. The Enumeretion of Invariant Solutions of Equations of Plasticity // Proc. of international conference "Modern Group Analysis VII", Norway, Trondhaim. 1998.

26. Senashov S. I., Vinogradov A. M. Symmetries and conservation laws of 2-dimensional ideal plasticity // Proc. Edinburg Math. Soc. v. 31. 1988. P. 415-439.

27. Senashov S.I., Iakhno A.N. The conservation laws and the boundary problems for the hyperbolic systems / / Abstracts of international conference "Mathematics in applications", Novosibirsk1999. P. 125-127.