Исследование и решение системы двумерных уравнений идеальной пластичности

Гомонова, Ольга Валерьевна

Исследование и решение системы двумерных уравнений идеальной пластичности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Гомонова, Ольга Валерьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование и решение системы двумерных уравнений идеальной пластичности»

Автореферат диссертации на тему "Исследование и решение системы двумерных уравнений идеальной пластичности"

На правах рукописи

Гомонова Ольга Валерьевна

ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2008

003456158

Работа выполнена в ФГОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Сенатов Сергей Иванович

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Аннин Борис Дмитриевич

кандидат физико-математических наук, доцент Родионов Александр Алексеевич

Ведущая организация: Институт автоматики и процессов

управления ДВО РАН, г. Владивосток

Защита состоится «19» декабря 2008 г. в час. на заседании

диссертационного совета Д 212.249.04 при ФГОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева» по адресу: 660014, г. Красноярск, пр. им. газеты «Красноярский рабочий», 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева».

Автореферат разослан ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, доцент С.С. Аплеснин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Теория пластичности изучает основные закономерности пластических деформаций материалов, устанавливает связь между напряжениями и деформациями или скоростями деформаций в пластически деформируемой области.

Как известно, твердые тела являются упругими лишь при малых нагрузках; при воздействии более или менее значительных сил тела способны проявлять пластические свойства, поэтому наиболее широкое практическое применение теория пластичности получила в тяжелой промышленности, в частности, в металлургии и машиностроении, а также строительной механике, горном деле и т.д. Важнейшие технологические процессы - штамповка, прокат и волочение металла, ковка, - описываются дифференциальными уравнениями пластичности.

Исследованию систем уравнений теории пластичности для плоского случая посвящены труды Б. Сен-Венана, М. Леви, Р. Мизеса, Л. Прандтля, А. Надаи, Р. Хилла, X. Треска, С. А. Христиановича, В. В. Соколовского, Б. Д. Аннина, Д. Д. Ивлева, С. И. Сенашова и др.

Выведенные более сотни лет назад уравнения пластичности до настоящего времени исследованы недостаточно. Традиционно такие дифференциальные уравнения решаются численно или аналитически. На сегодняшний день при массовом распространении ПЭВМ широкое применение находят численные методы решения, которые обладают общеизвестными недостатками. За Всю историю исследования системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных её решений, каждое из которых описывает реальный физический процесс. Аналитические решения позволяют описывать реальное напряженно - деформированное состояние пластической среды; они также широко используются для тестирования численных методов и программ.

Таким образом, получение новых точных решений двумерной системы уравнений идеальной пластичности является актуальной задачей.

Целью работы является построение новых точных решений двумерных уравнений идеальной пластичности с помощью исследования этих уравнений методами группового анализа.

Научная новизна:

1. Найдены новые точные решения системы двумерных уравнений идеальной пластичности, которые, в частности, могут быть использованы для описания сжатия полуплоскости жесткой плитой.

2. Найдены новые двумерные поля скоростей деформаций идеальной пластической среды, которые совместно с решением Прандтля могут быть - использованы для решения задачи о сжатии пластического слоя жесткими плитами.

3. Найдены высшие симметрии и законы сохранения уравнений, описывающих двумерное поле скоростей деформаций идеальной пластической среды.

4. Найдены симметрии второго порядка для системы уравнений, описывающих одномерный поток гранулированного материала.

Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений идеальной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые.

Апробации работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах СибГАУ и ИВМ СО РАН и обсуждались на конференциях: Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике (Новосибирск, 2005 г.), IX Всероссийской научной конференции с международным участием, посвященной 81-летию со дня рождения генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2005 г.), Международной

конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск,

2007 г.), The Seventh International Conference «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» (Киев, 2007 г.), Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов «Актуальные проблемы авиации и космонавтики» (Красноярск, 2007 г.), Всероссийской научной конференции «Герценовские чтения. Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования» (Санкт-Петербург,

2008 г.), Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий-2008» (Красноярск, 2008 г.), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008 г.).

Исследования, проводимые по данной работе, были поддержаны следующими грантами:

- Красноярский краевой фонд науки 2007, 2008 гг.;

- Российский фонд фундаментальных исследований 2007 г.;

По результатам исследований автору была присуждена государственная премия Красноярского края в области профессионального образования в 2008 г.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 11 печатных работ. Из них 2 статьи опубликованы в научных изданиях из Перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, включающего 69 наименований. Общий объем диссертации составляет 138 страниц и включает 4 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введения обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, указывается ее научная новизна. Приводится аннотация и структура диссертации.

В первой главе содержатся общие теоретические положения, необходимые для дальнейшего понимания диссертационной работы. Здесь приводятся сведения из группового анализа: формулируется понятие точечных и высших симметрий и способов их вычисления, вводится понятие о законах сохранения, их свойствах и применении.

Во второй главе изучаются групповые свойства системы двумерных уравнений идеальной пластичности, приводятся точные решения этой системы уравнений.

В §1 второй главы найдены высшие симметрии уравнений, описывающих двумерное поле скоростей деформации идеальной пластической среды.

Система уравнений, описывающих двумерное напряжённо-деформированное состояние идеальной пластической среды, имеет вид:

до

дх

-2к

80 59 —сое 29+—втгб дх ду

- О, — ~2к (—бш 29 -—соэ 26

ду ^йе ду

ду. ду ду дх

^26 +

дх ду

= 0,

дух ду дх ду

= 0,

= 0, (1) (2)

где а-гидростатическое давление, ух, уу —компоненты вектора скорости

деформации частиц среды, 9-угол между осью Ох и первым главным направлением тензора напряжений, к - постоянная пластичности.

Система уравнений (1) - (2) обычно решается так: находятся решения уравнений (1), а затем на их основе ищется поле скоростей (решаются уравнения (2)). Для первых двух уравнений высшие симметрии построены1*.

4 Киряков ПЛ., Сенатов С.И., Яхво А.Н. Приложение симметрии и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО РАН, 2001.

В работе найдены высшие симметрии для уравнений, описывающих поле скоростей деформации идеальной пластической среды. Эти симметрии образуют бесконечномерную алгебру Ли, базис которой построен в этом параграфе.

В §2 второй главы найдены законы сохранения уравнений (2), описывающих поле скоростей деформаций идеальной пластической среды. Законы сохранения образуют бесконечномерное векторное пространство, базис которого построен в этом параграфе.

В §3 второй главы найдены новые поля скоростей для известного решения Прандтля, описывающего сжатие пластического слоя материала между двумя параллельными жесткими и шероховатыми плитами. Приводится методика построения других полей скоростей.

Рассматривается уравнение плоской задачи идеальной пластичности в стационарном случае (1) - (2).

Для уравнений (1) высшие симметрии известны, а для (2) - построены в предыдущем параграфе.

Рассмотрим одно из практически важных и часто используемых в различных расчётах решение Прандтля. Оно имеет вид:

ау = -р-кх, х = ку,

где р - произвольная постоянная. Решение (3) описывает, в частности, сжатие пластического слоя жесткими плитами.

Известно, что для полного описания пластического состояния тела необходимо ещё знать и поле скоростей.

Подставим уравнения (3) в систему (2). Получим:

дх ду

дvI дуу —- +—-

дх ду

—- + —^ ду дх

= 0.

Из системы (4) видно, что, в силу её линейности, она имеет бесконечное число решений, которые могут быть полезны для анализа напряженно-деформированного состояния пластической среды.

В настоящее время известно два класса решений этой системы - решение Надаи и решение Ивлева - Сенагаова, которые имеют вид:

ух = -сосу + Рх-(халату -ауф-у2 -2р^1 -у2 + С,, -Р х + С2,

( 2 2~\

где а, р, СРС2 - произвольные постоянные (при а=0 получаем решение Надаи).

В работе получены пять классов новых точных решений. Все эти решения характеризуют поля скоростей, которые вместе с решением Прандтля описывают напряженно - деформированное состояние пластического слоя, сжимаемого жесткими плитами. Укажем одно из них (здесь А, В, р-

произвольпые постоянные, к- постоянная пластичности ; X2 = 1):

^ = ехр

ги Р ■ ^

— -Х + БтВ

Г Г

А. ехр

—[ -—-х+втб

[-Л0 + £]соз9-

[-Ав + В] -Л ехр

X р

ос + БтЭ

у у

бш 6,

V, = ехр

-х + втб

[-Л0 + Я]зт0 +

Х + бшО

Л Г^/ \\\

Л0 + Я]-Лехр( — -— -х + бш

21 к / J J

СО5 0,

где соз20 = у.

В третьей главе приводится способ отыскания новых точных решений для системы уравнений идеальной пластичности, приводятся новые точные решения этой системы. Для системы уравнений, описывающих одномерный поток гранулированного материала, построены симметрии второго порядка.

В §1 третьей главы предложен способ отыскания новых точных решений для системы уравнений идеальной пластичности.

Рассматривается система дифференциальных уравнений пластичности (1).

Для этих уравнений группа преобразований известна. Она порождается операторами:

3 3 3

X, =—, X2 =—, А3=х--1-у—, Х4=-у--Их— +—,

дх ду дх ду дх ду 90

г 3 „ , 3 с 3 ... 3 с 3 „ ,9 3

Х5 ——, Х6=^{ — + --4вк----, Х+=£— + Т)—.

да дх ду да к 30 дх ду

Здесь =хсоз20 + узт20 +, =хзт20-_>'соз20-х—; (^л)"

I^ к

произвольное решение линейной системы:

— — соб20 +—зт20) = О, 30 Зет да

— - 2&(—зт20 - —соэ 20) = О, 30 Зсг да

Для построения новых решений системы уравнений (1) используются преобразования симметрий, которые порождаются оператором Х+ из (5) и имеют вид:

Для применения этого преобразования необходимо знать точные решения системы дифференциальных уравнений (6).

Приведем один из возможных способов построения точных решений системы (6).

Лемма. Система уравнений (6) имеет следующие решения:

4£0—++ \со* 20+ л вт 20+ Т1-, 4*0 В. + ® £0. + ^20 - « соб20 - Е-8а к дв 1 V да к 50 ь 1 ьк

где -произвольное решение системы (6).

Доказательство этих фактов получается из таблицы коммутаторов операторов (5)

Эта лемма дает возможность получить серию новых точных решений системы уравнений (6). Для этого нужно выбрать конкретное ее решение и подействовать на него любым из преобразований Тх, Т2 или Ц, где

х' = х + аЦа, 0), У = у + ац(а, 0).

^««20

I да ш к да к 69

+ £8ю20-шсо820-£— .

к)

Выберем в качестве исходного очевидное решение системы (6): О = (1,0). Подействуем на него преобразованиями 7], Тг, Ту Получаем, соответственно,

решения 7;(0) = Л = (0,0), Тг(0) = В = {Ъ,-\) и Тъ{0) = Нх =( соз29, зт20 —

Из этих решений наиболее интересным представляется последнее. Применим к нему преобразования Ти Т2, Ту Получаем снова решения системы (6), и так далее. Наиболее перспективным, по мнению автора, направлением по построению новых решений является действие преобразованием Т3, а также различные комбинации преобразований Т2 и Ту Этот процесс можно представить в виде «дерева» решений (рис. 1):

Выбирая любое решение из данного «дерева» и подставляя его в преобразование .х' = х+ / = >' + аг|(ст,8), а затем, действуя этим

преобразованием на произвольное решение системы (1), получаем новое точное решение этой системы для каждого значения параметра а.

Рнсунок 1.

В §2 третьей главы приводятся новые точные решения системы уравнений (1), получающиеся из решения Прандтля. Рассматривается действие преобразования

Я3 =

( , N2

-2—sin20-[ — +1; -40 + 2—cos29 v к \к) к у

полученного из «дерева» решений, на известное решение Прандтля уравнений пластичности (1):

о = -кх + к^1-у2, у = cos 20. Это решение имеет два семейства характеристик: х =+29-sin20 +С, 7 = cos29.

Под действием преобразования #3 решение Прандтля принимает вид:

и--к

х + а

-2j8in29-i +1

-49 + 2—cos20 к

у + а

-40 + 2—cos 20 к

= cos9.

Полученное решение является неявным и имеющим сложную структуру. Поэтому автор предлагает преобразовывать и рассматривать не само решение Прандтля, а его характеристики, которые не только полностью определяют решение, но и являются важным параметром описываемого решением механического процесса.

Уравнения преобразованных под действием Н3 первого и второго семейств характеристик решения Прандтля таковы:

х' = -29 - яп 29 + а ((-49 + 2С) бш 26 - (29 - С)2 +11 + С, У = соз20 + в (-49 + (49 - 2С) сое 29),

х' = 29 - зт 29 + в(( 49 + 2С)вт 29 - (29 + С)2 +1) + С, у' - соэ 29 + а (-49 - (49 - 1С) сое 29).

(8)

Для характеристик (7) - (8) получаем следующие уравнения огибающей (общей для обоих семейств):

дг(9) =—+а + а$тг29, К ' Аа

>>(9) = -2а((29 + Бт29) соз29+49эт2 9).

(9)

График этой огибающей при а=0,1 имеет вид:

М У

■2 А

1 2 } % 4

Рисунок 2.

Графики характеристик (7) - (8) при различных значениях параметра а, а также графики огибающих для этих характеристик приведены на рис. 3:

5 Г

иЖ, ШШЙЖЩ X

Чуду у /V/УХВДу^ГУ* 11 ттШШлр г » 1 1 • 1 10

( 1 '

я=0,05

Рисунок 3.

Таким образом, для каждого значения параметра а получаем новое точное решение и свою огибающую.

В §3 третьей главы найдены симметрии второго порядка дифференциальных уравнений, описывающих одномерный поток гранулированного материала.

Рассматривается система:

h, + uhx + uxh = 0, и, + иих + $hx = 0, (10)

где u = u(x,t), h = h(x, t), р- произвольная постоянная; индекс внизу здесь и далее означает дифференцирование по соответствующей переменной.

После замены переменных и некоторых преобразований система (10) приводится к виду:

2 (х-у) 2(х-у)

В работе были найдены симметрии второго порядка для системы уравнений (11). Производящие функции этих симметрий имеют следующий вид:

Ф = (ау2 + Ъу + с) к)у - 1+ Ъх+c)tx + (dy2 + gy + f)ky +

' .2____ 2 ^ Г ~ • - ^

2 ах + Ъ dx+gx + f ах+Ьх + с

t +

2 ау + Ъ ау2+Ъу + с ,

2(х-у) 2(х-у) 2(х-у)2 J ( 4(х—у) 2(х-у) +Ü(x,y),

V = (си2 + Ъх + с)^ + + Ъу+c)ky + (dx2 + gx + f)tx +

А: +

Г dy1 +gy + f 2 ay + b qy2+by + cЛ

к +

f , \

2 ax + b axr+bx + c ,

+ dx + e

2(x-y) 2(x-y) 2(x-yf J {4{x-y) 2(Х~У) +L\x,y),

где а, b,c,d, е, g, / - произвольные постоянные, (Д Z,2) - произвольное

решение системы (11).

Заключение содержит выводы и результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты диссертационного исследования кратко можно

сформулировать следующим образом:

1. Изучены групповые свойства уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние пластической среды в двумерном случае.

2. На основе группового анализа уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние пластической среды в двумерном случае, найдены новые точные решения, которые могут быть использованы для описания реальных физических процессов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах.

Публикации в изданиях из Перечня ВАК:

1. Гомонова, О.В. Характеристики системы дифференциальных уравнений плоского напряженно-деформированного состояния, соответствующие инвариантным решениям / О.В. Гомонова // Вестник СибГАУ им. академика М.Ф. Решетнева. - Красноярск, 2006. - Вып. 1(8).- С. 15-16.

2. Гомонова, О.В. Эволюция характеристик решения Прандтля / О.В. Гомонова, С.И. Сенатов // Сибирский журнал индустриальной математики. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2007. - Том X, № 4(32). - С. 118-121.

Прочие публикации по теме диссертационного исследования:

3. Гомонова О.В. Эволюция характеристик решений двумерных уравнений идеальной пластичности / О.В. Гомонова, С.И. Сенатов // Вестник СибГАУ им. академика М.Ф. Решетнёва. - Красноярск, 2007. - Вып. 3(16). - С. 51-55.

4. Гомонова, О.В. Применение симметрий и законов сохранения к системе уравнений, описывающей плоское напряженное состояние идеальной пластической среды / О.В. Гомонова, Н.Д. Дудинова, О.Н. Жданов и др. // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике: материалы международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М. А. Лаврентьева. - Новосибирск, 27-31 мая 2005. - С. 126-127.

5. Гомонова, О.В. Характеристики системы уравнений плоского напряженного состояния, соответствующие инвариантным решениям / О.В. Гомонова // Решетневские чтения: материалы IX Всероссийской научной конференции с международным участием, посвященной 81-летаю со дня рождения генерального конструктора ракетно-космических систем академика М. Ф. Решетнева. - Красноярск, 11-12 ноября 2005. - С. 117-121.

6. Гомонова, О.В. Решение одной краевой задачи для квазилинейного уравнения второго порядка / О.В. Гомонова, H.A. Осмоловская, С.И. Сенатов // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования: материалы научной конференции Герценовские чтения. - С. - Пб.: РГПУ, 17-22 апреля 2006. - С. 56-59.

7. Гомонова, О.В. Новые решения, описывающие сжатие пластического слоя жесткими плитами / О.В. Гомонова, С.И. Сенатов И Математические модели и методы механики сплошных сред: сборник научных трудов к 60-летию д.ф.-м.н, проф. Буренина A.A. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2007. - С. 239-243.

8. Гомонова, О.В. Эволюция точных решений систем гиперболических уравнений / О.В. Гомонова, С.И. Сенатов // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа. -Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007. - С. 507-508.

9. Гомонова, О-В. Использование симметрий для построения точных решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных 1 О.В. Гомонова, С.И. Сенатов // Актуальные проблемы авиации и космонавтики:

материалы Всерос. науч.-практич. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов. -Красноярск, 6-12 апреля 2007. - С. 173-174.

Ю.Гомонова, О.В. Симметрии уравнений, описывающих двумерное поле скоростей пластических деформаций / О.В. Гомонова, С-И. Сенашов // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования: материалы научной конференции Герценовские чтения. - С. - Пб.: РГПУ, 14-19 апреля 2008. - С . 20-25.

11. Гомонова, О.В. Использование симметрий и законов сохранения для решения уравнений пластичности / О.В. Гомонова, С.И. Сенашов // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. JL Соболева. - Новосибирск, 5-12 октября 2008. -С. 205.

Гомонова Ольга Валерьевна

Исследование в решение системы двумерных уравнений идеальной

пластичности

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 12.11.2008. Заказ Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ 660014, г. Красноярск, просп. им. газеты «Красноярский рабочий», 31

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гомонова, Ольга Валерьевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА УРАВНЕНИЙ

ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ.

§1. Введение в групповой анализ дифференциальных уравнений пластичности.

§2. Высшие симметрии дифференциальных уравнений.

§3. Законы сохранения.

ГЛАВА II

СИММЕТРИИ, ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ.

§1. Высшие симметрии уравнений, описывающих двумерное поле скоростей деформаций идеальной пластической среды.

§2. Законы сохранения уравнений, описывающих поле скоростей деформаций двумерных уравнений идеальной пластичности.

§3. Новые точные решения, описывающие двумерное поле скоростей для решения Прандтля.

ГЛАВА III

ПОСТРОЕНИЕ НОВЫХ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДВУМЕРНЫХ

УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОГО ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.

§1. Симметрии уравнений идеальной пластичности.

§2. Новые точные решения уравнений пластичности.

§3. Симметрии второго порядка дифференциальных уравнений, описывающих одномерный поток гранулированного материала.

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование и решение системы двумерных уравнений идеальной пластичности"

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию и решению системы двумерных уравнений идеальной пластичности.

Исследованию систем уравнений теории пластичности для плоского случая посвящены труды Б. Сен-Венана [51], М. Леви [29,30], Р. Мизеса [31], Л. Прандтля [41, 42], А. Надаи [35], Р. Хилла [56, 64], X. Треска [68], С. А. Христиановича [57, 58], В. В. Соколовского [52], Б. Д. Аннина [1, 61, 62], Д. Д. Ивлева [22, 23, 25], А. Ю. Икшинского [25, 26], С. И. Сенашова [22, 45-50, 67] и др.

Выведенные более сотни лет назад уравнения пластичности до настоящего времени исследованы недостаточно. Традиционно такие дифференциальные уравнения решаются численно или аналитически. На сегодняшний день при массовом распространении ПЭВМ широкое применение находят численные методы решения, которые обладают общеизвестными недостатками. За всю историю исследования системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных её решений, каждое из которых описывает реальный физический процесс.

Аналитические решения позволяют описывать реальное напряженно — деформированное состояние пластической среды; они также широко используются для тестирования численных методов и программ.

Таким образом, получение новых точных решений двумерной системы уравнений идеальной пластичности является .актуальной задачей.

Целыо работы является построение новых точных решений двумерных уравнений идеальной пластичности с помощью исследования этих уравнений методами группового анализа. Научная новизна:

2. Найдены новые двумерные поля скоростей деформаций идеальной пластической среды, которые совместно с решением Прандтля могут быть использованы для решения задачи о сжатии пластического слоя жесткими плитами.

Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений идеальной пластической среды, которые найдут применение в теоретических pi практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах СибГАУ и ИВМ СО РАН и обсуждались на конференциях: Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике (Новосибирск, 2005 г.), IX Всероссийской научной конференции с международным участием, посвященной 81-летию со дня рождения генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2005 г.), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007 г.), The Seventh International Conference «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» (Киев, 2007 г.), Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов «Актуальные проблемы авиации и космонавтики» (Красноярск, 2007 г.), Всероссийской научной конференции «Герценовские чтения. Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования» (Санкт-Петербург, 2008 г.), Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий-2008» (Красноярск, 2008 г.), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008 г.).

Исследования, проводимые по данной работе, были поддержаны следующими грантами:

- Красноярский краевой фонд науки 2007, 2008 гг.;

- Российский фонд фундаментальных исследований 2007 г.;

Публикации. По результатам выполненных-исследований опубликовано 11 печатных работ [6-16]. Из них 2 статьи [6-7] опубликованы в научных изданиях из Перечня ВАК.

Краткое содержание работы

Для удобства ссылок, нумерация теорем и формул здесь соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

В §1 второй главы найдены высшие симметрии уравнений, описывающих двумерное поле скоростей деформаций идеальной пластической среды.

Система уравнений, описывающих двумерное напряжённо-деформированное состояние идеальной пластической среды, имеет вид: да дх да ду

2 к

2 к rdQ ОА Э0 . ОЛЛ —cos 20 +—sin 26 дх ду дв . 50 —sin 20--cos 20 дх ду ду дх tg29 + dvdv у дх ду 0, 0, 0, dvx ^у л —^ + —— = 0, дх ду

1.1)

1.2) где а-гидростатическое давление, vx, vv — компоненты вектора скорости деформации частиц среды, 9-угол между осью Ох и первым главным направлением тензора напряжений, к— постоянная пластичности.

Система уравнений (1.1) — (1.2) обычно решается так: находятся решения уравнений (1.1), а затем на их основе ищется поле скоростей (решаются уравнения (1.2)). Для первых двух уравнений высшие симметрии построены в книге [28]. В параграфе найдены высшие симметрии для уравнений (1.2), описывающих поле скоростей деформации идеальной пластической среды. Эти симметрии образуют бесконечномерную алгебру Ли, базис которой построен в этом параграфе.

В §2 второй главы найдены законы сохранения уравнений (1.2), описывающих поле скоростей деформаций идеальной пластической среды. Законы сохранения образуют бесконечномерное векторное пространство, базис которого построен в данном параграфе.

Рассматривается одно из практически важных и часто используемых в различных расчётах решение Прандтля, которое описывает, в частности, сжатие пластического слоя жесткими плитами.

В параграфе получены пять классов новых точных решений уравнений: У L дх ду 7

3v dv —* +—L ду дх дх ду О.

3.2)

Все эти решения характеризуют поля скоростей, которые вместе с решением Прандтля описывают напряженно-деформированное состояние пластического слоя, сжимаемого жесткими плитами.

Рассматривается система дифференциальных уравнений пластичности (1.1). Для этих уравнений группа преобразований известна.

Для построения новых решений системы уравнений (1.1) используются преобразования симметрий, которые порождаются оператором и имеют вид:

Для применения этого преобразования необходимо знать точные решения системы дифференциальных уравнений (1.3):

Здесь приводится один из возможных способов построения точных решений данной системы.

В §2 третьей главы приводятся новые точные решения системы уравнений (1.1), получающиеся из решения Прандтля. Рассматривается действие преобразования х' = х + а£,(а,9), у = у + ar\(<5,Q).

1.3) У на известное решение Прандтля уравнений пластичности (1.1): а — -кх + k-sjl-y2, у = cos 29.

Под действием преобразования Н2 решение Прандтля принимает вид: а = —к х + а

-2—sin 29к у + а

К* J 1 кА\у + а

-49 + 2—cos 20 к а

-49 + 2—cos 29 к cos 9.

Уравнения преобразованных под действием Н3 первого и второго семейств характеристик решения Прандтля таковы: х' = -29 - sin 29 + а((-49 + 2С) sin 29 - (29 - С)2 +1) + С, У - cos29 + а(-49 + (49 - 2C)cos29),

2.1) 29 - sin 29 + д ((49 + 2C)sin29 - (29 + С)2 +1) + С, У = cos 29 + a (-49 - (49 -2C) cos 29). '

2.2)

Приводятся графики характеристик (2.1) — (2.2) при различных значениях параметра а, а также графики огибающих для этих характеристик.

В §3 третьей главы найдены симметрии второго порядка дифференциальных уравнений, описывающих одномерный поток гранулированного материала. Рассматривается система: где u = u(x,t), h = h(x,t), (3 - произвольная постоянная; индекс внизу здесь означает дифференцирование по соответствующей переменной.

После замены переменных и некоторых преобразований система (3.1) приводится к виду: ht + uhx + uxh = 0, ut + иих + $hx = 0,

3.1)

3.13)

В работе были найдены симметрии второго порядка для системы уравнений (3.13).

Заключение содержит выводы и результаты работы.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Гомонова, Ольга Валерьевна, Красноярск

1. Аннин, Б.Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б.Д. Аннин, В.О. Бытев, С.И Сенатов. Новосибирск: Наука, 1985. -140 с.

2. Аркулис, Г.Э. Теория пластичности / Г.Э. Аркулис, В.Г. Дорогобид. -М.: Металлургия, 1984. 352 с.

3. Быковцев, Г.И. О сжатии пластического слоя жесткими шероховатыми плитами с учетом сил инерции / Г.И. Быковцев // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. - Jvfe 6. - С. 140-142.

4. Виноградов, A.M. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений / A.M. Виноградов, И.С. Красильщик, В.В.Лычагин. М.: Наука. 1986. - 336 с.

5. Гениев, Г.А. Характеристические линии и линии слабых разрывов в плоской динамической задаче пластичности / Г.А. Гениев. М.: ЦНИИСК, 1959.- 110 с.

6. Гомонова, О.В. Эволюция характеристик решения Прандтля / О.В. Гомонова, С.И. Сенашов // Сибирский журнал индустриальной математики. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2007. - Том X, № 4(32). - С. 118-121.

7. Гомонова, О.В. Эволюция характеристик решений двумерных уравнений идеальной пластичности / О.В. Гомонова, С.И. Сенашов // Вестник СибГАУ имени академика М.Ф. Решетнёва. Красноярск, 2007. - Вып. 3(16).- С. 51-55.

8. Дородницын, В. А. Групповые свойства разностных уравнений / В. А. Дородницын. М.: Физматлит, 2001. - 236 с.

9. Дубровин, Б.А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Изд. 2-е, перераб. - М.: Наука, 1986.-760 с.

10. Ершов, JT.B. Об обобщении решения Л.Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами / Л.В.Ершов, Д.Д. Ивлев, А.В. Романов // Современные проблемы авиации и космонавтики. — 1982. -№ 1.-С. 137-144.

11. Ивлев, Д.Д. Предельное состояние деформированных тел и горных пород. / Д.Д. Ивлев, JI.A. Максимова, Р.И. Непершин и др. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 832 с.

12. Ивлев, Д.Д. Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев. М.: Наука, 1966.-230 с.

13. Ильюшин, А.А. Пластичность / А.А. Ильюшин. М.: Гостехиздат, 1948. -376 с.

14. Ишлинский, А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. М.: Физматлит, 2001. - 704 с.

15. Ишлинский, А.Ю. Осесимметрическая задача теории пластичности и . проба Бринелля / А.Ю. Ишлинский // ПММ. 1944. - Т.8. В.З. - С.201224.

16. Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. М.: Наука, 1969.-420 с.

17. Киряков, П.П. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений / П.П. Киряков, С.И. Сенатов, А.Н. Яхно.- Новосибирск: СО РАН, 2001. 192 с. v

18. Леви, М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых телах за пределами упругости / М. Леви // Теория пластичности: сб. ст. М.: ИЛ, 1948. - С. 20-23.

19. Мизес, Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии / Р. Мизес // Теория пластичности: сб. ст. М.: ИЛ, 1948. -с.57-69.

20. Миллер, У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер. М.:1. Мир, 1981.-340 с.

21. Михлин, С.Г. Основные уравнения математической теории пластичности / С.Г. Михлин. Л.: АН СССР, 1934. - 71с.

22. Мосолов, П.П. Механика жесткопластических сред / П.П. Мосолов, В.П. Мясников. М.: Наука, 1981. - 208 с.

23. Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1 / А. Надаи. М.: ИЛ, 1954.-647 с.

24. Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений /

25. Л.В. Овсянников. М.: Наука, 1978. - 400 с. 37.Овсянников, Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений /

26. Л.В. Овсянников. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 240 с. 38.0лвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П.

27. Олвер.-М.: Мир, 1989. 630 с. 39.0лыпак, В. Современное состояние теории пластичности / В. Олыпак, 3. Мруз, П. Пежина. - М.: Мир, 1964. - 243 с.

28. Полянин, А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

29. Прандтль, Л. О твердости пластических материалов и сопротивлении резанию / Л. Прандтль // Теория пластичности: сб. ст. М.: ИЛ, 1948.

30. Прандтль, Л. Примеры применения теоремы Генки к равновесию пластических тел / Л. Прандтль // Теория пластичности: сб. ст. М.: ИЛ, 1948.

31. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1979. - 744 с.

32. Седов, Л. И. Механика сплошных сред: в 2 т. / Л. И. Седов. М.: Наука, 1973.

33. Сенашов, С.И. Антиплоское пластическое течение / С.И. Сенашов // ПМТФ.- 1988.-№. 1.-С. 159-161.

34. Сенашов, С.И. Об одном классе точных решений уравнений идеальной пластичности / С.И. Сенашов // ПМТФ. 1986. -№ 1. - С. 139-142.

35. Сенатов, С.И. Поля скоростей в задаче Прандтля о сжатии пластического слоя / С.И. Сенатов // ПМТФ. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1984.-№1.-С. 155-156.

36. Сенатов, С.И. Симметрии и инвариантные решения уравнений идеальной пластичности / С. И. Сенатов // Современный групповой анализ: методы и приложения. Некоторые задачи математической физики сплошных сред. Л.: ЛИАН, 1990. - препринт № 115. - С. 4-13.

37. Сенатов, С.И. Сжатие пластического слоя между жесткими плитами, сближающимися с постоянным ускорением / С.И. Сенатов // Динамика сплошной среды. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1982. - Вып.68. - С. 112-119.

38. Сенатов, С.И. Об эволюции решения Прандтля под действием группы симметрий / С.И. Сенатов // Механика твердого тела. 2005. - №5. - С. 167-171.

39. Сен-Венан, Б. Об установлении внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости / Б. Сен-Венан // Теория пластичности: сб. ст. М.: ИЛ, 1948. - С. 11-19.

40. Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. М.: Высшая школа, 1969. - 608 с.

41. Таран, Э.П. Инвариантные решения одномерной динамики неупругих сред / Э.П. Таран // Динамика сплошной среды. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1986. - Вып.74. - С. 74-80.

42. Томас, Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах / Т. Томас. М.: Мир. 1964. - 308 с.

43. Фрейдепталь, А. Математическая теория неупругой сплошной среды / А. Фрейденталь, X. Гейрингер. -М.: Физматгиз, 1962. — 432 с.

44. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. М.: Гостехиздат, 1956. -407 с.

45. Христианович, С.А. Механика сплошных сред / С.А. Христианович. -М.: Наука, 1981.-483 с.

46. Христианович, С.А. Плоская задача теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре / С.А. Христианович // Новая серия: мат. сб. 1936, Т. 1. - Вып. 4. - С. 511-534.

47. Ames, W.F. Group properties of solids utt (f(u)ujx/ W.F. Ames, E. Adams, R.J. Lohner // Int. J. Non-linear Mech. - 1981. - V. 16, № 5/6. - P.439-447.

48. Ames, W.F. Group properties of the non-linear dynamic equations of elastic strings / W.F. Ames, J.E. Peters // Int. J. Non-linear Mech. 1990. - V.25, № 1. -P.107-115.

49. Annin, B.D. A new exact solution of equations of the plane problem of ideal plastisity with von Mises conditions / B.D. Annin // Euromesh 3 symp. const, modelin in elastisity. Czechoslovakia, 1978. - P. 6-8.

50. Annin, B.D. A new partial solution of spartical problem of ideal plastisity / B.D. Annin // 17th Polish conference of mechanics of solid PAN, Abstracts. -Warsaw, 1975.- P. 22-23.

51. Bluman, G.W. Similary methods for differential equations/ G.W. Bluman, J.D. Cole. New York, 1974 - 322 p.

52. Hill, R. A varitional principle of maximal plastic work in classical plasticity / R. Hill // Quart. J. Mec., 1948. P.18-48.65.01ver, P. Conservation laws in elasticity / P. Olver // Arch.Rational Mech. Anal. V. 85, 1984.-№2.- P. 111-129.

53. Rogers, C. Balclund transformations and their application / C. Rogers, W.F. Shadwick. New York. 1982. - 334 p.

54. Senashov, S.I. Symmetries and conservation laws of 2-dimentional ideal plasticity / S.I. Senashov, A.M. Vinogradov // Proc. Edinburgh Math. Soc., 1988.-P. 415-439.

55. Tresca, H. Memoire sur l'ecoulernent des corps solides soumis a de fortes pressions / H. Tresca // C. R. Acad. Sci, Paris. 1984. - V.59. - p. 754.

56. Vinogradov, A.M. Local symmetries and conservation laws / A.M. Vinogradov //Acta -Apl. Math., 1984. V.2. №1. - P.21-78.