Расчётно-экспериментальное исследование напряжённо-деформированного состояния и резонансных режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Баднков Руслан Николаевич

РАСЧЁТНО - ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО ■ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И РЕЗОНАНСНЫХ РЕЖИМОВ ВРАЩЕНИЯ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН В ПРУЖИННЫХ МЕХАНИЗМАХ

Специальность:

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

5 к сп ¿::э

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических паук

Москва — 2009

003482221

Работа выполнена в МГТУ им. Н.Э. Баумана на кафедрах «Прикладная механика» и «Основы конструирования и детали машин»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Ф.Д. Сорокин

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Г.Я. Пановко

доктор технических наук, профессор М.Н.Захаров

Ведущая организация:

ОАО «НПК «Механобр - техника»» (Санкт-Петербург)

Защита состоится « 26 » ноября 2009 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.059.01 при Учреждении Российской академии наук Институте машиноведения им. A.A. Благонравова РАН по адресу: 101990, г. Москва, Малый Харитоньевский пер., д.4

E-mail: vmbzrv@bk.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМАШ РАН по адресу: г.Москва, ул. Бардина, 4, тел. (499) 135-5516

<Л ezcJ/ujJiÄ:

Автореферат разослан «¿А> ^iCT/Wjiis 2009 г. Ученый секретарь

диссертационного совета. л ^^.^Бозров В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Винтовые цилиндрические пружины в машиностроении обычно используются в качестве упругих элементов. Кроме того, прямые или изогнутые цилиндрические пружины используются как гибкие валы, шнеки и измельчающие элементы. Нетрадиционное использование пружин порождает множество новых задач, которые ранее исследователей винтовых пружин не интересовали. При разгоне и выбеге двигателя, вращающего пружину, возможно возникновение резонанса. Обычно это явление нежелательно, однако существуют измельчающие механизмы, в которых процесс измельчения материала с помощью вибрирующей цилиндрической пружины выполняется именно на резонансных режимах в связи с его высокой интенсивностью.

Другим специфическим явлением в пружинных механизмах (ПМ) является резкая смена конфигурации пружины с выходом из рабочей плоскости, которая вызывается возрастанием крутящего момента вследствие повышенного трения или заклинивания в ведомом подшипнике. Указанное явление в случае открытого кожуха приводит к выскакиванию пружины из рабочей области и захватыванию ей окружающих предметов, что представляет опасность для окружающего персонала. При закрытом кожухе и высокой мощности двигателя пружину может заклинить в кожухе, что приводит к пластическим деформациям или разрушению пружины.

Указанные явления исследованы недостаточно. В ряде предшествующих работ по расчёту ПМ использовалась приближённая теория эквивалентного стержня, либо метод конечного элемента (МКЭ) с небольшим количеством витков в моделях пружины (размерность системы уравнений МКЭ возрастает с увеличением количества витков).

Диссертация является актуальной, так как применяемая в ней методики и программное обеспечение позволяют исследовать практически все механические явления в ПМ. При этом удаётся сравнительно легко обойти трудности, связанные с ограничением на максимальный угол поворота, встречающиеся в других методиках. Размерность разрешающей системы уравнений не зависит от количества витков, что выгодно отличает предлагаемую методику от МКЭ. Полученные результаты могут быть использованы при расчёте конструкций с вращающимися или вибрирующими пружинами.

Цель и задачи исследования состоят:

- в разработке комплекса компьютерных программ, предназначенных для решения задач статики, динамики и устойчивости предварительно деформированных винтовых пружин;

- в решении наиболее важных задач, возникающих при проектировании ПМ (расчет конфигурации деформированной пружины; определение частот и форм

собственных колебаний изогнутой пружины; исследование явления потери устойчивости при кручении изогнутой пружины; учЁт контактирования витков пружины);

- в разработке стенда для экспериментальных исследований механических явлений

в ПМ;

- в проведении экспериментальных исследований равновесных конфигураций, частот и форм колебаний предварительно деформированных винтовых пружин, явления потери устойчивости изогнутой пружины при кручении;

в выводе удобных для практики приближенных соотношений, аппроксимирующих расчетные данные, полученные на основе 3-х мерной модели винтового стержня.

Научная новизна заключается в новых расчетных и экспериментальных данных, полученных для винтовых пружин, эксплуатируемых в нестандартных условиях, т.е. не в качестве упругого элемента, а в качестве инструмента измельчения и перемешивания сыпучей среды, либо для перемещения сыпучего материала или жидкости с включениями. Винтовые пружины в ПМ сильно деформированы. Ранее такие задачи решались, как правило, с использованием приема замены пружины эквивалентным стержнем либо МКЭ. В данной работе все результаты получены по точным 3-х мерным уравнениям механики стержней. При этом в ряде случаев учтено явление контактирования витков.

Новым является прием переноса граничных условий на ось захвата, что практически снимает проблему численной неустойчивости и значительно упрощает запись граничных условий.

Новизна заключается и в экспериментальном оборудовании, разработанном для наблюдения частот и форм колебаний деформированной пружины и других механических эффектов.

Новыми являются также приближенные формулы, аппроксимирующие точные решения 3-х мерных задач для предварительно деформированных винтовых пружин.

Научная и практическая значимость. Ценность диссертационной работы для практики заключается в том, что разработанное программное обеспечение позволяет предсказывать статические и динамические характеристики рабочих органов ПМ на этапе проектирования (геометрическая конфигурация изогнутой пружины, монтажный момент, частоты и формы собственных колебаний, критический крутящий момент). Использование разработанных расчетных методик значительно сокращает объем экспериментальных исследований и ускоряет сроки разработки новых конструкций ПМ. Получены и внедрены в производство удобные для практического использования

аналитические выражения, аппроксимирующие точные решения трехмерных уравнений для винтового гибкого стержня.

Результаты диссертации использованы при расчёте, создаиии и модификации ПМ, а также других родственных конструкции, содержащих винтовые пружины, что подтверждается актами внедрения.

Разработанный автором экспериментальный стенд рекомендуется использовать в высших технических учебных заведениях для демонстрации форм колебаний изогнутых пружин и явления потери устойчивости пружины при кручении с петлеобразованием или перехлёстом.

На защиту выносятся:

1. Экспериментально-теоретический метод исследования основных механических явлений в ПМ;

2. Исследование механических явлений в ПМ на основе точной Зх-мерной нелинейной модели винтового бруса, причём с относительным углом поворота захватов более 90°.

3. Новый приём замены цилиндрических захватов жесткими участками пружины, значительно упрощающий запись граничных условий для реальных случаев закрепления пружин;

4. Новые результаты для частот собственных колебаний и критического крутящего момента пружин с искривлённой или прямой осью, полученные на основе точных нелинейных 3-х мерных уравнений;

5. Методика построения приближённых инженерных формул, обобщающих точные решения задач динамики и устойчивости изогнутых пружин;

6. Решение контактной задачи для изогнутых пружин с использованием Зх-мерных уравнений винтового стержня и варианта итерационного метода Удзавы.

Достоверность полученных результатов. Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных автором, вытекает из обоснованности использованных теоретических подходов, подтверждается решением многочисленных тестовых примеров, их сравнением с аналитическими и экспериментальными результатами, а также с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Материалы диссертационного исследования докладывались и обсуждались:

- на 7-й Всероссийская научно-техническая конференции «Состояние проблемы измерений» (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000г.);

- на научных семинарах аспирантов кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э.Баумана (2002, 2003,2004г.);

- на 15-й международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам-ВМСППС-2007 (г. Алушта, 2007 г.);

- на научном семинаре кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э.Баумана (2007, 2008г.);

- на научном семинаре ИМАШ им. А.А.Благонравова РАН (2009г.).

Публикации. Основное содержание диссертационного исследования опубликовано в 11 печатных работах (из них 10 научных статей в рецензируемых журналах).

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, 5-ти глав, заключения и выводов, списка литературы (90 наименований). Работа изложена на 149 страницах, содержит 70 рисунков и 5 таблиц,

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ (по главам)

Глава 1 посвящена введению в проблему моделирования статического и динамического поведения пружин в ПМ.

Приведены схемы ПМ-. пружинных мельниц (рис.1), пружинных вибропросеивателей (рис. 2), пружинных шнеков (рис.3), пружинных транспортёров, пружинных насосов, пружинных гибких связей и т.п.

Рис. 1. Пружинная мельница непрерывного действия

Рис. 2. Пружинный вибропросеиватель.

Рис.3. Пружинные гибкие шнеки. Рассмотрены особенности конструкций ПМ и указаны основные механические явления, которые необходимо рассматривать при проектировании ПМ. Значительное внимание при этом уделяется разновидности ПМ - пружинным мельницам, которые были предложены в 1979 г. Сиваченко Л.А.

Очевидно, что начальной задачей, которая возникает при проектировании ПМ, является определение конфигурации деформированной пружины. Определение конфигурации важно при проектировании формы кожуха. В случае жёсткого кожуха, это важно для предотвращения контактирования пружины с кожухом. В случае гибкого кожуха (рис. 3) знание конфигурации изогнутой пружины необходимо в связи с тем, что гибкий кожух сам принимает форму деформированной пружины.

После определения конфигурации пружины в предварительно деформированном начальном состоянии важно рассмотреть рабочие режимы. Для пружинных вибропросеивателей характерны интенсивные вибрации. Для большинства других ПМ (пружинные мельницы, транспортеры, шнеки, насосы) основным рабочим режимом является вращение.

Известно, что разгон и выбег гибких валов могут сопровождаться интенсивными вибрациями при совпадении частоты вращения вала с одной из собственных частот колебаний вала. Аналогичные явления могут возникать (и возникают) в ряде ПМ, в частности, в пружинных мельницах. В большинстве случаев резонансные режимы вращения пружин в ПМ нежелательны, так как могут вызывать соударения пружины с кожухом и уменьшают ресурс работы ПМ. Однако в последнее время такие режимы вызывают пристальное внимание конструкторов пружинных мельниц из-за существенного повышения интенсификации процесса измельчения. Более того, некоторые пружинные мельницы конструируются специально для работы на резонансных режимах. Такие конструкции рассмотрены в монографии Л.А.Сиваченко и Д.М.Хононова (Вибрационные пружинные мельницы. (Препринт) - Могилев, 2004).

При эксплуатации ПМ пружина может резко сменить конфигурацию, что является следствием возрастания крутящего момента при повышенном трении или заклинивании в подшипнике. Резкая смена конфигурации (потеря устойчивости пружины при кручении) может сопровождаться петлеобразованием или перехлёстом, что полностью выведет ПМ из строя. Очевидно, что это явление крайне нежелательно и поэтому при проектировании ПМ важно знать величину критического крутящего момента, чтобы не допускать его при эксплуатации.

Важным механическим явлением, которое характерно для ПМ с изогнутыми витками, является контактирование витков. Контактирование витков существенно влияет на поведение пружины и весьма существенно усложняет расчёт.

Из сказанного выше следует, что для ПМ характерно множество механических явлений, которые могут возникать не только по отдельности, но и оказывать взаимное влияние одно на другое. Максимально подробное и точное исследование перечисленных явлений и является содержанием диссертации.

Для исследования указанных явлений должен привлекаться адекватный математический аппарат. В большинстве случаев пружины в ПМ исследовались на основе замены пружины стержнем с прямолинейной (в исходном состоянии) осью и приведёнными характеристиками - это, так называемая, схема эквивалентного бруса (СЭБ), предложенная Я.Х^кг. В частности, СЭБ применялась в ряде работ

С.С.Гаврюшина, Д.Ганбата и др. В вопросах изучения колебаний винтовых цилиндрических пружин с применением СЭБ большая исследовательская расчетная н экспериментальная работа была проделана А.М.Багодеевой, Л.К.Воротынцевым, Д.Т.Габададзе, Р.И.Парцхаладзе под руководством и при непосредственном участии М.В.Хвингии в работе «Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов» (Мецниереба, 1974г.). Ещё раньше СЭБ можно встретить в работах А.Н.Крылова. Недостатком СЭБ является приближённый характер этой схемы. Точность СЭБ при больших перемещениях и поворотах практически не исследована.

Применение метода конечных элементов (МКЭ) даёт хорошие результаты (по точности) при расчёте ПМ, но приводит к весьма громоздким системам уравнений, причём количество степеней свободы тем больше, чем больше витков пружины. Каждый виток порождает не менее 120 степеней свободы, следовательно, пружина из сотен витков описывается математической моделью из десятков тысяч уравнений. Этот недостаток малозаметен при использовании промышленных конечноэлементных комплексов (ANSYS, NASTRAN и др.), однако эти комплексы дороги и довольно трудны в освоении для неспециалистов (конструкторов ПМ).

В связи со сказанным выше для моделирования пружины в диссертационной работе была выбрана схема пространственного винтового бруса, которая является практически точной с механической точки зрения, не приводит системам уравнений высокого порядка (как МКЭ) и позволяет разработать специализированное программное обеспечение доступное в использовании конструкторам ПМ.

В ранних работах по механике стержней и пружинам в основном применялись аналитические методы, в развитии которых для случая больших перемещений стержня в плоскости велика роль Е.П.Попова. В более поздних работах по пружинам можно также найти применение аналитических методов (работы М.Ю. Карповой, Д.Ф. Полищука, С.Д. Пономарева, H.A. Чернышева, В.М. Макушина, Л.Е.Андреевой, В.Л.Бидермана, Малинина H.H. и др.), но исё более заметным становится стремление к численным методам. Проблемы динамики и прочности гибких стержней и пружин за рубежом рассматривались такими учеными, как Shimizu Hiroshi, Jnove Junkishi, A.B. Whitman, C.N. Desilva, Mizuno Masao, D.Danielson, D. Hodges, J. Besseling и др.

В разработке численных методов, применяемых к расчёту гибких стержней, большой вклад внесен В.А.Светлицким и его школой. Отличительной особенностью уравнений, применяемых школой В.А.Светлицкого, является использование «самолётных» углов для описания больших поворотов (максимальный поворот ограничен углом 90"). Указанные уравнения (12-го порядка) и различные способы их решения

весьма подробно разработаны в многочисленных публикациях этой школы. В частности они систематически использовались при решении различных задач механики стержней в работах С.А.Лагозинского, Сазгарана, В.Н.Лукьяновой, С.А.Вороного, С.В.Яресько и др. Ряд задач геометрически нелинейного деформирования цилиндрических пружин со сравнительно небольшим количеством витков (до 25 штук) был решен A.M. Наумовым. В ПМ применяются пружины с намного большим количеством витков (до нескольких сотен), что может повлечь качественно новое механическое поведение пружины (петлеобразование, перехлёст).

Вариант уравнений механики стержней В.А.Светлицкого далеко не единственный. Почти все аналогичные системы 12-го порядка, предлагаемые различными авторами, во многом похожи друг на друга, но отличаются способом описания больших поворотов. Практически современный вариант уравнений механики стержней с описанием больших поворотов углами Эйлера был предложен ещё в «Математической теории упругости»

A.Лява. Там же приведён интеграл этих уравнений для винтового стержня (интеграл Кирхгофа) весьма удобный при контроле результатов. Отметим варианты уравнений механики стержней с векторным описанием больших поворотов: вектор Родрига (А.И.Лурье, M.Geradin, A.Cardano); вектор Эйлера (П.А.Жилин, А.Д.Сергеев, Т.П.Товстик, Ф.Д.Сорокин и др.). Недостатком всех этих вариантов является ограничение на величину максимального угла поворота (от 90° в случае самолётных углов до 360° в случае вектора Эйлера).

В связи с ограничением, накладываемых на максимальный угол поворота в системах 12-го порядка, ряд исследователей предлагают описывать большие повороты не углами, а направляющим косинусами единичных ортов сечения стержня (В.В.Гайдайчук,

B.И.Гуляев, В.Л.Кошкин, В.И.Кравцов, Е.Э.Котенко и др.). Такой подход позволяет совершенно не заботиться о величине поворотов и путём последовательного изменения единичных ортов добиваться весьма больших поворотов (тысячи градусов). Следствием отказа от углов поворота (3 переменные) и явного введения в уравнения направляющих кЛинусов (9 переменных) является увеличение порядка системы до 18-го (иногда понижается до 15-го). При этом количество граничных условий неодинаково на краях стержня (12 условий в начальной точке и 6 - в конечной). В ряде случаев это приводит к усложнениям в записи граничных условий, но вполне преодолимым (см. ниже).

В связи с отсутствием ограничений на максимальный поворот в данной диссертационной работе выбран именно 18-й порядок уравнений, но сами уравнения значительно упрощены (по сравнению с вариантами В.В.Гайдайчука, В.И.Кравцова и Е.Э.Котенко).

Глава 2 посвящена подробному выводу уравнений, применяемых для расчёта ПМ и описанию граничных условий для них. Кроме того, приводятся тождественные соотношения, используемы для контроля результатов.

Полная система уравнений механики гибкого стержня 18-го порядка (статика) имеет следующий вид

Уравнения равновесия

<1Р_ ¿у

с1М Л

= -(е1 хР +т)

Кинематические соотношения ¿г _

Л

Лё? _ _

—- = X * ео

¿в К 2 ^ - _

~ Xхез

сю

Соотношения упругости М-ё1

%1 ■■ Х2 : Хз :

М-ё2 Е.1г М-ё, ЕЗ,

+ Х10 + Х20 " + Хзо

(1)

Соотношения перехода к неподвижному базису

\ V г еи е21 \ г 11

кг = е12 е22 еъг 12

къ «13 е23 «Ч ^Хз

X = ^Л + кг1г + к313

где в - дуга оси стержня; Р , М - главный вектор и главный момент внутренних сил; д , Ш • векторы силовой и моментной распределённых нагрузок; Г - радиус-вектор оси

стержня; /д^, г2, /3 - орты неподвижной системы координат; ё,, ё7, ё3 - орты оси и главных осей сечения стержня; 5с"- вектор кривизны в деформированном состоянии; X1.X2.X3 - кручение и кривизны деформированного стержня (проекции 5с"на ё,, ё2, ёэ);

" проекции 5с" на 'х. *2' г*з» GJ\,EJг>EJъ ' жесткости сечения на кручение и изгиб; еар =еа •/р - направляющие косинусы (а=1,2,3; р=1,2,3); индекс «О» помечает исходное (недеформированное состояние).

Ось стержня принимается нерастяжимой. Следует отметить, что все уравнения приведённой выше системы хорошо известны и неоднократно приводились во многих работах по механике стержней. Обычно указанную систему значительно преобразовывают (например, к 12-му порядку) и только потом используют для решения задач. В данной диссертации система (1) используется практически без переработки. Для проведения численных расчётов система преобразуется к скалярному виду (в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат);

(2)

(1М о / п п \ АМг, , _ _ ч

-{е^Рг-е^+т 3)

¿е12 1 ,

21

; ^23 ~к^22

-=^21-^23

23 _ к1е22 к£

21

¿е с1е

Из

¿е. "Л

^=^33-^32 ¿е32

сЬ ^£зз Л

XI = Хг = Хз =

= 31 ~к1е33

= к1е32 ~к£з\

е11М1 + е12М2 + е13М3

епМ1 GJ1 + е22М2 + е23М3

е31М1 EJ2 + е32М2 + е33Л/3

ЕЗЪ

Х1еи + XIе! 2 + 21 + 1^22 + Хзе31 Хзе32

+ Хю + Х2о + Хзо

кз = ХЛз + Х^гз + Х/зз или в сокращённой форме записи

(2а)

уС») = 1Р1,Р2,Р3,М1,Мг,М3,г1,гг,г3,е11,

Для изучения малых колебаний в окрестности деформированного состояния пружины система (1) линеаризуется и на место вектора распределённой нагрузки

<7 подставляется распределённая сила инерции д = -р/4

д2Лг

(принцип Даламбера),

где р - плотность материала, А - площадь поперечного сечения проволоки. Инерция поворотов при линеаризации не учитывается (в связи с её незначительным влиянием на низшие частоты). Линеаризованная система имеет следующий вид:

8АР

&

дАМ

= р А

д2Аг

85 дАг

Э/2

= ~(ё1хАР+Аё1 хР) = Де,

&

дАё, _ _

—=1- = ххАе1+А%хе1 дя

дАё2 _ л- -

дя 5Аё

&

=

АХг = АХз =

= ХхДе3 + Дххе3 АА? ■ ё1 +М -Аёх

АМ ■ё2+М ■ Ае2

EJ 2

ДМ ■¥3 +М ■ Ле3

.3

/=1

А% = Акг1г + Ак212 + Д кг1

(3)

где Д помечает величины, являющиеся малыми отклонениями от их значений в деформированном состоянии.

Система (3) в диссертации применяется как для расчета собственных частот и форм прямых и изогнутых , пружин, так и для расчётов деформированных пружин на. устойчивость.

При расчёте частот и форм собственных колебаний первое уравнение в (3)

д а

заменяется на (4), а в оставшихся уравнениях — заменяется на —

дя с1я

dAP А 2л-= -pА со Дг

ds

где ш - круговая частота собственных колебаний.

Как известно, потеря статической устойчивости соответствует обращению собственной частоты в нуль (со=0). Т.е., для преобразования (3) в систему, пригодную для расчёта деформированного стержня на устойчивость, достаточно в первом уравнении (3) отбросить правую часть:

dCJ> ds

= О

(5)

В результате получается однородная система, нетривиальные решения которой (при соответствующем начальном деформированном состоянии) являются формами потери устойчивости.

Выше отмечалось, что при использовании системы 18 порядка осложняется запись граничных условий. Дополнительные осложнения возникают из-за того, что в ПМ край витка закрепляется не на оси захвата, а на некотором расстоянии от неё (рис. 4а). Для преодоления этой трудности в диссертации предлагается дополнить винтовой участок переходным участком повышенной жёсткости (рис. 46). Модуль упругости на жестком переходном участке принимается на 3-5 порядков больше, чем на податливом винтовом участке.

а) б)

Рис.4. Закрепление пружины на захвате (а) и его моделирование жёстким переходным

участком стержня (б)

Геометрия переходного участка подбирается таким образом, чтобы достигалось плавное сопряжение как с винтовым участком (в точке К), так и с осью захвата (в точке Р).

Фактически пружина и переходные участки в начале и в конце (рис. 5) образуют единую деталь (рабочий орган ПМ).

"I I

Л

ы

Рис. 5. Модель рабочего органа ПМ в недеформированном состоянии

Геометрия различных участков рабочего органа ПМ (функции хю^), ХюСЮ. Хзо^)) приведена в следующей таблице.

Участок Обозначение Компоненты вектора кривизны Длина

^10 ^20 ^30

2 (податливый) - сое у вт у Я 0 сое2 у Я . 2пЯ сову

3 (жёсткий) Е3=(103...105)-Е2 КК| 0 0 1 Гс ж г<

к.и. У Я -2гс 0 0 Я-Тг,

Р|Р 0 0 1 гс я

1 (жёсткий) аналогично участку 3

где гс-радиус закругления (КК.1,Р|Р), 1 - количество витков.

Исходная конфигурация (вектор О )) сразу для всех 3-х участков рабочего органа ПМ получается интегрированием (2) с указанными в таблице функциями хю^). Х2о(^)> Хзо(Ю и отсутствием внешних нагрузок. Т.е., запись аналитических выражений для проекций вектора ¡^ Си ) не требуется.

Граничные условия ставятся не на краях витков (точка К), а на краях переходных участков (точка И), т.е. винтовой участок при постановке граничных условий исключается. При этом граничные условия выглядят точно так же как. для прямого гибкого стержня при больших перемещениях. Например, если оба захвата заделаны, то 12 условий в начале интервала интегрирования (¡=0) имеют вид

Г (0) = ^(0)

е1(0)=Г1О(0) (6)

Г2(0) = е2О(0) ё"з(0)=ё"зо(°) а в конце интервала (б=/) ставятся 6 следующих условий

(7)

'(0='b(0 е2('Ко(') = 0

«э С) ■ «ю (0 = 0 МО'¿20 (0=0

Более сложные варианты граничных условий рассмотрены ниже (см. гл. 3).

Для контроля результатов расчёта применялся модифицированный интеграл Кирхгофа

s

+Р + jq -e^ds = const;

о

(модификация заключается в учёте распределённой нагрузки).

Кроме того, точность численного интегрирования оценивается по выполнению 6-ти тождественных соотношений связи между направляющими косинусами

е11е2\+е1&22 + е1#23 = 0 е11е31 + е1^32 +е1Лз = ^ е31е21 + е3?22 + е3?23 = 0

е е е

Глава 3 посвящена разработке и тестированию алгоритмов численного решения краевых задач механики стержней в приложении к расчётам ПМ.

, 2 11 + е1г2 + е132 = 1

, 2 21 + е22 + в232 = 1

, 2 31 + е322 + е332 = 1

(9)

КгоФмМенг Формы колебаний |з ^j] ^ J]

Ko/»fj»CTeo iinxOB

ШэВ

. I" ;

12-ть граничных условий в начале интервала ( s = 0)

¡И1111Ш113 ЙШЙЁЙШ

PI Г|» и и Р |о И

Р2 г|о (HI Р2 I? и

РЗ г|о и РЗ Р (HI

Ml г|о (Н-Н1 Ml Р |о" IH'HI

М2 г|о IH'HI М2 р|о IH'MI

ИЗ Г|о iH-rn мз р|Г |Н'М|

R1 р[ЕГ~ м R1 г|п 4S52651 |M]

R2 Р|о (Ml R2 Г" |H|

R3 р|5" (Ml R3 Г 3S/079 |M|

Е1|1 |Р|| Е1|1] Г" ]0 70742920 .( ]

E1|21P|0 Е1|2]Г|о ||

Е1|3]Р|Г~~ El|3| Г | итога | |

Е2|Ц Р|о Е2|1]Г[о I 1

Е2|2| Р |Г~ Е2[2|Г|Т II

Е2|3|Р|0 Е2[3| г(о~ 1 1

ЕЗ|1|Р|0 ЕЗЦ t Г" |0.?O4652S5 1 1

ЕЗ|2|Р[0 ЕЗ|2|Г[Т .1 1

E3[3J Р (1 Е3[3] г |0.707(зи | |

6-ть граничных'условий в конце интервала (s=/)

Рис. 5а. Внешний вид интерфейса пользователя компьютерного комплекса SPRING.

Рис. 6. К расчету конфигурации деформированной пружины в ПМ Хорошо известные численные методы собраны в специализированном компьютерном комплексе SPRING (рис. 5а), предназначенном для расчёта пружин при больших

перемещениях, а также для расчёта частот и форм колебаний деформированных пружин и анализа статической устойчивости.

Для определения конфигурации деформированной пружины (рис. 6) в Г1М применяется традиционный метод решения нелинейной краевой задачи. Начальные и граничные условия для (2) и конфигурации, представленной на рис.6, имеют вид у (0) = (С1,С2,С3)С4,С5>С6,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1)т

\(1)= Л (с1гс2,с3,с4,с5,с6) = о

(/) - 2 = /2 (С1,С2,С3,С4,С5,С6) = О

'з (0 =/з (с1,с2,с3,с4>с5,с6) = о "е12(/)=/4(С1,С2,С3,С4)С5,С6) = 0 е2з(0=/4(С1,С2>С3,С4,С5,С6) = 0 е31(/)=/б(Са,С2!С3,С4,С5,С6) = 0

где С| - неизвестные компоненты вектора состояния (проекции вектора сил Р и вектора

моментов М в начале ицтервала интегрирования (в=0)). Решение (10) проводилось методом Ньютона, т.е. многократным решением уравнений (11)

(11)

Э/; ^ ¿1с,=с,0+лс,

ас; ~ 2ДСу

Конфигурация, представленная на рис.6, довольно далека от исходной недеформированной конфигурации, поэтому для обеспечения сходимости итерационного процесса достижение этой конфигурации производилось в несколько этапов:

1) для восстановления исходной конфигурации система (2) интегрировалась с кинематическими начальными условиями (6) и нулевыми силовыми начальными условиями;

2) пружина нагружалась моментом на удалённом краю ( Мз(/)=Мз ), при этом величина момента подбиралась несколькими пробами из условия визуальной близости удалённого захвата к оси хг;

3) решалась система (10), при этом начальные условия на первой итерации принимались такими же, как на этапе 2), что и обеспечивало сходимость.

При другом угле взаимного разворота захватов (на рис. 6.этот угол равен 180°) решение строилось аналогичными 3-мя этапами с визуальным контролем результатов каждого этапа.

Для контроля правильности работы алгоритма результаты автора сравнивались с известными результатами, в частности для пружины, нагруженной постоянной распределённой нагрузкой вдоль оси Х2 (рис. 7).

а) б)

Рис. 7. Контроль алгоритма по результатам других авторов ( (а) - А.М.Наумов, (б) -Р.Н.Бадиков).

Расчет частот и форм собственных колебаний ПМ выполнялся традиционным образом, т.е. решалась линейная краевая задача для однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений ((3) с учётом (4)). Коэффициенты этой системы, должны определяться в деформированном состоянии (рис. б). Указанные коэффициенты обычно вычисляют заранее и далее хранят в памяти компьютера, что приводит к усложнению программирования (дополнительная память, интерполяция и т.п.). В диссертации применялся другой приём. Одновременно интегрировались 36 дифференциальных уравнений (12), где основные 18 уравнений (вверху)- это линейная однородная система (3) (с учётом (4)), а дополнительные 18 уравнений (внизу) - нелинейная система (2).

, = A(s,y)Ay-о/ВООДу as

^ = g(i,yCi)) las

(12)

Начащщые условия для нелинейной системы определялись заранее, т.е. при интегрировании (12) указанные условия являются известными. Для линейной части (12) граничные условия ставились аналогично (10) (с учётом линеаризации), что приводит частотному уравнению (13)

К и ^1дс;=1, дс„ч=о

=0,(1=1...6) (13)

/=1

|К(©)| = 0

где Д/^ (АС1,...,ЛС6) - правые части линеаризованных граничных условий, ДС, -неизвестные начальные параметры. Частотное уравнение |К(со)| = 0 решалось методом половинного деления. Разработанный алгоритм позволяет определять требуемое количество собственных частот и форм собственных колебаний пружины в ПМ (рис. 8)

Д)

Рис. 8. Формы колебаний предварительно деформированной пружины (5 йервых форм)

Алгоритм определения частот и форм предварительно был протестирован на известных результатах М.В.Хвингии для прямых пружин.

Потеря устойчивости (рис. 9) изогнутой пружины при кручении с последующим петлеобразованием или перехлёстом исследовалась путём последовательного увеличения угла разворота одного из захватов вокруг продольной оси (другой при этом оставался неподвижным)

Рис.9. Потеря устойчивости при кручении с последующим петлеобразованием Расчёт выполнялся по (2) с начальным условием (14) и граничными условиями (10)

у (0) =(С1,С2,С3,С4,С5,С6,0,0,0, 1,0,0,0,соз\|;, эту, 0,-8т\|;,со5\р)г (14) где V)) - угол поворота захвата. Расчётная упругая характеристика (зависимость крутящего момента от угла закручивания) имеет экстремум (рис.10), наличие которого и является признаком потери устойчивости. Этому же экстремуму, как показывают расчёты, соответствует обращение собственной частоты в нуль (ю=0).

Рис. 10.

Аналогичным образом была изучена потеря устойчивости при кручении прямых пружин (рис. 11), которая может произойти в пружинных насосах или пружинные транспортёрах.

ад сбоку

о1 швшшиишшяшшншш- тшшшшлшшяшмяшшшяшик-шшшшшшшяштт- штшшвишшшяш-

8000

.000» тштшщ ^шшшщ^^^шт-

1236»

0

тщ

т

Рис. 11.

В Глава 4 механические явления в ПМ исследовались экспериментально. Разработан, сконструирован и отлажен экспериментальный стенд (рис. 12а) для наблюдения конфигурации деформированной пружины, частот и форм колебаний, а также критических явлений при кручении пружины.

шш

а) б)

Рис. 12. Экспериментальный стенд (а), строботахометр (б). Стенд состоит из основания, пружины, 2-х подшипников и 2-х захватов. Подшипники могут быть закреплены на различном расстоянии один от другого и могут быть развёрнуты на произвольные углы. При вращении пружины с угловой скоростью равной одной из собственных круговых частот возникали интенсивные вибрации. Форма колебаний пружины при этом фиксировалась фотоаппаратом, а частота определялась с

использованием строботахометра (рис. 126). Стенд отлаживался на пружинах с прямой осью, частоты и формы которых известны из литературы (М.В.Хвингия).

Эксперимент

Как видно из таблицы экспериментальные и расчётные значения собственных частот различаются на единицы процентов. Высокая точность обеспечена ещё и тем, что начальное напряжённое состояние рассчитывалось с учётом весовой нагрузки.

вид снизу

вид снизу

вид сбоку

вид спереди

вид сбоку

а) б)

Рис. 13. Потеря устойчивости пружины при кручении ( а - эксперимент, б - расчёт)

Расч., Гц (об/мин)

Эксп., об/мин

28.48 (1709)

38.2 (2292)

2300+23

49.65 (2979)

1730+17

3000±30

На экспериментальном стенде наблюдалась также потеря устойчивости пружины при кручении (рис. 13). И в этом случае удалось достичь хорошего совпадения эксперимента с расчётом как по конфигурации деформированной пружины (рис.13), так и по критическому углу (рис. 10).

Кроме того, экспериментально исследовалось явление контактирования витков, которое имеет место в некоторых ПМ. В частности рассматривалось закритическое деформирование сжимаемой пружины с контактирующими витками (рис. 14).

Рис.14. Выпрямление потерявшей устойчивость пружины при увеличении поджатия вследствие контактирования витков. Глада 5 (практической направленности) посвящена обобщению результатов расчётов и экспериментов, а также учёту контактирования витков при расчёте ПМ.

Рис. 15. К приближённому расчёту низшей частоты. Так как при конструировании ПМ важно быстро производить оценки основных параметров получаемой конструкции, то были выведены приближённые соотношения для наиболее важных из них.

Для низшей собственной частоты с использованием приёма замены изогнутой пружины эквивалентной балкой (рис. 15) было получено приближённое соотношение (15)

(И)

п, ст г». 1

Ш1 = 3.52 I

Ed„tgaQ sin q0

8(2 + ц)р

I

4 f 2ф

0.2 + 0.8

Коэффициенты в (15) уточнялись таким образом, чтобы добиться максимально возможного совпадения с точными численными решениями той же задачи. То есть (15) можно рассматривать как обобщение большого количества численных экспериментов, выполненных с помощью комплекса SPRING. Эти же эксперименты показывают, что погрешность (15) не превышает 10% при <р >12.5°.

Другая приблил<ённая формула была получена для величины критического крутящего момента изогнутой пружины (рис. 9,10,11,13):

, d"E п

Мтт = 1.31-

Kpm Di 16(2 + |д)

(16)

За основу была взята известная формула Граммеля, но коэффициент в ней был уточнён таким образом, чтобы добиться наилучшего совпадения с большим массивом численных экспериментов, выполненных с помощью комплекса ЗРЯШв.

Параметры пружины Критический момент Разница, %

i, шт. d, мм D, мм D/d угол подъема, град. Дуговой угол оси пружины, град. Решение краевой задачи, Нм Прибл. расчет по (16), Нм

50 6 118 20 2.78 180 4.9740 4.9088 1

50 6 118 20 2.78 0 5.3300 4.9088 8

50 6 59 10 5.56 180 10.1490 9.7920 4

50 6 59 10 5.56 0 10.6861 9.7920 8

50 6 59 10 2.78 180 9.6600 9.8177 2

50 6 59 10 2.78 0 10.6538 9.8177 8

110 2.6 26.5 10 2.78 180 0.3750 0.3503 7

110 2.6 26.5 10 2.78 0 0.3845 0.3503 9

100 6 59 10 2.78 180 5.1650 4.9088 5

100 6 59 10 2.78 0 5.3833 4.9088 9

50 1 59 59 2.78 180 0.0072 0.0076 6

50 1 59 59 2.78 0 0.0082 0.0076 8

50 3 59 20 2.78 180 0.5800 0.6136 6

20 2.6 26.5 10 3.35 0 2.034 1.9261 5

20 2.6 26.5 10 3.35 90 2.068 1.9261 7

10 2.6 26.5 10 3.35 0 3.728 3.8521 3

10 2.6 26.5 10 3.35 90 2.766 3.8521 39

1000 2.6 26.5 10 3.35 0 0.04681 0.0385 18

1000 2.6 26.5 10 3.35 180 0.04397 0.0385 12

Как показывает таблица, точность (16) вполне приемлема для пружин с числом витков большим 20-ти.

Расчет некоторых ПМ осложняется необходимостью учета контактирования витков.

Сс0:к - фиктивная контактная жёсткость

условие контакта

О Ш

моделирование контактных сил

-00- Р, =Рк-. + АРкч

ДРк-, = Ссоп1(й-§к_,)

I - номер узла N - количество узлов на виток

к-со р -Р„:

сцц|ас( номер итгерации

Рис. 17. Алгоритм решения контактной задачи для пружины. В этом случае вводятся контактные узлы (от 4 до 20 на виток) и используется ещё один итерационный процесс для решения контактной задачи. Схема итерационного процесса (вариант алгоритма Удзавы) показана на рис. 17. Алгоритм тестировался на проведённых ранее экспериментах, в частности на задаче об осадке пружины (рис. 14) и др.

0.1941»

\\\\ \\у. решение без учета - контакта витковз

1.86Н-М

ю

/ г

'штштш

Ш

щрр

0.235 м

2.23 Ни

ю

решение с ^^^

учетом контакта

Рис.18. Пружинная мельница «Млын 55.0000.007».

Далее разработанное программное обеспечение применялось для расчёта основных рабочих характеристик ряда ПМ. В частности для пружинной мельницы (рис. 18) были найдены: монтажный момент, межосевое расстояние валов, критический крутящий момент, собственные частоты. Полученные результаты были использованы при модификации конструкции мельницы.

Для учёта влияния эффективного демпфирования и присоединённой массы обрабатываемого материала в диссертации предложено аналитическое выражение

»*=««,/——С—®—)2 (17>

* '"р + а 1^2(1 + а) где сою - круговая частота собственных колебаний для к-й формы исходной задачи (без учёта демпфирования и присоединенной массы), а = Дот//и0 ■ коэффициент

присоединённой массы, р = —-— - безразмерный коэффициент эффективного

«о «и

демпфирования.

Рис. 19. Зависимость частоты собственных колебаний пружины от присоединённой массы и эффективного демпфирования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Трёхмерная модель пружины в виде гибкого винтового стержня позволила успешно | писать основные механические эффекты в ПМ. !

2. Использование системы дифференциальных уравнений 18-го порядка с аправляющими косинусами вместо углов поворота позволило избежать особенностей, арактерных для всех вариантов систем 12-го порядка.

3. Для решения краевых задач, возникающих при проектировании и эксплуатации ПМ, азработан алгоритм и прикладной программный комплекс SPRING с графическим j нтерфейсом. Многоуровневое тестирование и сопоставление с экспериментом показало ысокую надёжность и точность разработанного программного обеспечения.

4. С помощью разработанных алгоритмов и программ решены наиболее важные задачи, озникающие при проектировании и эксплуатации ПМ:

- определение конфигурации деформированных пружин;

- потеря устойчивости изогнутых пружин при кручений;

- расчёт частот и форм собственных колебаний изогнутых пружин. ;

5. Для расчёта пружин с контактирующими витками предложен вариант алгоритма дзавы с дискретным расположением контактирующих узлов.

6. Многочисленные эксперименты, выполненные на самостоятельно разработанном тенде, подтвердили приемлемую точность реализованных алгоритмов. '

7. На основании обобщения больших массивов численных экспериментов построены ].. прощённые «инженерные» формулы для определения низшей собственной частота и ритического крутящего момента изогнутых пружин, хорошо подтверждаемые точными ешениями.

8. Разработанные методики и программное обеспечение использованы при модификации доводке ряда ПМ с винтовыми пружинами.

9. Полученные в процессе исследований результаты и расчётные методики внедрены на редприятиях: «Промышленные технологии и комплексы» г. Могилев, ООО «Альфа- | ранзит» г. Москва.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ряботах:

1. Бадиков Р.Н. Исследование влияния продольной сжимающей силы на собственную частоту колебаний цилиндрической пружины спирального грохота. // Изв. вузов. Машиностроение. -2004. -№10.-С.15 -20.

2. Бадиков Р.Н. Расчетно-экспериментальное исследование частотных характеристик цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность. // Изв. вузов. Машиностроение. -2004. -№11,- С.20 - 24.

3. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Расчет величины критического крутящего момента изогнутой в полуокружность цилиндрической пружины. // Изв. вузов. Машиностроение. -2006. -№4. - С.4 -6.

4. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние величины осадки на низшую собственную частоту цилиндрической пружины (модель рабочего элемента спирального грохота) // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№1. - С.10 - 15.

5. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние угла поворота консольной пружины, подверженной действию сил гравитации, вокруг оси в заделке на прогибы свободного края и собственные частоты. Н Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№4. - С.13 -16.

6. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние радиуса кривизны оси цилиндрической пружины, изогнутой в дугу окружности, на низшую собственную частоту. ( модель рабочего элемента спирального грохота) // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№5. -С. 14 -19.

7. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Приближенное выражение для низшей собственной частоты криволинейного стержня с винтовой осью. // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№7. - С.10 -12.

8. Бадиков Р.Н., Букеткин Б.В., Сорокин Ф.Д. Влияние контакта витков на упругую характеристику заделанной цилиндрической пружины, подверженной сближению краев, за пределами устойчивости. // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№9. -С.З -6.

9. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Сравнение экспериментального и расчетного значений величины критического крутящего момента изогнутой в полуокружность цилиндрической пружины. // Изв. вузов. Машиностроение. -2008. -№1. -С.11 -14.

10. Бадиков Р.Н. Устойчивость изогнутой в дугу окружности цилиндрической пружины, подверженной действию крутящего момента. // Изв. вузов. Машиностроение. -2008. -№2. - С. 15 -22.

Типография ИМАШ РАН, г.Москва, М.Харитоньевский пер., 4 Зак.№ 280 от 20.10.2009 тир. 100 экз.

Введение.

Глава 1. Современное состояние проблемы расчёта пружинных механизмов и основные задачи, рассмотренные в работе.

1.1. Конструкции пружинных механизмов.

1.2. Обзор известных исследований и методов расчета винтовых цилиндрических пружин.

1.3. Выводы по главе 1.

Глава 2. Основные соотношения механики гибких стержней, применяемые при расчёте пружинных механизмов.

2.1. Статика гибкого криволинейного стержня.

2.1.1. Базисные орты исходного и деформированного состояния.

2.1.2. Векторное уравнение перемещений точек осевой линии стержня.

2.1.3. Дифференцирование базисных ортов поперечного сечения стержня.

2.1.4. Дифференциальные уравнения равновесия элемента стержня.

2.1.5. Соотношения упругости.

2.1.6. Полная система уравнений статики гибких стержней.

2.2. Система дифференциальных уравнений малых колебаний пространственного криволинейного стержня.

2.3. Система дифференциальных уравнений статической устойчивости деформированного пространственного криволинейного стержня.

2.4. Перенос граничных условий на ось вала для традиционного случая закрепления пружины в пружинном механизме.

2.5. Тождественное соотношение, применяемое для контроля численных результатов.

2.6. Выводы по главе.

Глава 3. Численное решение краевых задач механики стержней в

Актуальность проблемы. Винтовые цилиндрические пружины в машиностроении обычно используются в качестве упругих элементов. Кроме того, прямые или изогнутые цилиндрические пружины» используются- как гибкие валы, шнеки и измельчающие элементы. Нетрадиционное использование пружин порождает множество новых задач, которые ранее исследователей винтовых пружин не интересовали. При разгоне и выбеге двигателя, вращающего пружину, возможно возникновение резонанса. Обычно это явление нежелательно, однако существуют измельчающие механизмы, в которых процесс измельчения, материала с помощью вибрирующей цилиндрической- пружины выполняется именно на резонансных режимах в связи с его. высокой интенсивностью.

Другим специфическим явлением в пружинных механизмах (ПМ) является^ резкая- смена- конфигурации пружины с выходом из рабочей, плоскости, которая вызывается-возрастанием крутящего момента вследствие повышенного трения, или заклинивания в-ведомом подшипнике. Указанное явление в случае открытого кожуха приводит к выскакиванию пружины из рабочей- области и захватыванию ей окружающих предметов; что представляет опасность для. окружающего персонала. При закрытом кожухе и высокой мощности двигателя, пружину может заклинить в кожухе, что приводит к пластическим деформациям или разрушению пружины.

Указанные явления исследованы- недостаточно. В ряде предшествующих работ по расчёту ПМ'использовалась приближённая теория эквивалентного стержня; либо метод конечного элемента (МКЭ) с небольшим количеством витков в,моделях пружины (размерность системы уравнений МКЭ возрастает с увеличением количества витков).

Диссертация- является актуальной, так как применяемая в ней методики и программное обеспечение позволяют исследовать практически все механические явления в ПМ. При этом удаётся сравнительно легко обойти- трудности, связанные с ограничением на максимальный угол поворота, встречающиеся в других методиках. Размерность разрешающей системы уравнений, не зависит от количества* витков, что выгодно отличает предлагаемую методику от МКЭ. Полученные результаты могут быть использованы при расчёте конструкций с вращающимися или вибрирующими пружинами.

Цели работы состоят:

- в разработке комплекса компьютерных программ, предназначенных для решения задач статики, динамики и устойчивости» предварительно деформированных винтовых пружин;

- в решении наиболее важных задач, возникающих при проектировании ПМ (расчет конфигурации деформированной пружины; определение частот и форм собственных колебаний изогнутой пружины; исследование явления потери устойчивости- при кручении изогнутой- пружины; учёт контактирования витков пружины);

- в разработке стенда для экспериментальных исследований механических явлений'в ПМ;

- в проведении» экспериментальных исследований равновесных конфигураций, частот и форм колебаний предварительно, деформированных винтовых пружин, явления- потери устойчивости изогнутой пружины, при кручении;

-' в выводе удобных для- практики приближенных соотношений, аппроксимирующих расчетные данные; полученные на' основе 3-х мерной модели винтового стержня.

Научная новизна заключается в новых расчетных и экспериментальных данных, полученных для винтовых пружин, эксплуатируемых в нестандартных условиях, т.е. не в качестве упругого элемента, а в качестве инструмента измельчения и перемешивания сыпучей среды, либо для перемещения сыпучего материала или жидкости с включениями. Винтовые пружины в ПМ сильно деформированы. Ранее такие задачи решались, как правило, с использованием приема замены пружины эквивалентным стержнем либо МКЭ [26, 28]. В данной работе все результаты получены по точным 3-х мерным уравнениям механики стержней. При этом в ряде случаев учтено явление контактирования витков.

Новым является прием переноса граничных условий на ось захвата, что-практически снимает проблему численной неустойчивости и значительно упрощает запись граничных условий.

Новизна заключается и в экспериментальном оборудовании, разработанном для наблюдения частот и форм колебаний деформированной пружины и других механических эффектов.

Новыми являются также приближенные формулы, аппроксимирующие точные решения 3-х мерных задач для предварительно деформированных винтовых пружин.

Основные научные результаты работы заключаются в том, что в ней:

- разработано удобное и надежное программное обеспечение, позволяющее решать, задачи статики, динамики и устойчивости предварительно деформированных винтовых пружин и других типов гибких стержней;

- решены наиболее важные задачи, возникающие при проектировании пружинных механизмов (определены конфигурации деформированных пружин; найдены частоты и- формы собственных колебаний изогнутой-пружины; найдены критические значения крутящего момента для изогнутых пружин);

- проведено экспериментальное исследование винтовых пружин пружинных механизмов для практически важных случаев нагружения; результаты численных исследований доведены до удобных инженерных формул (расчет величины критического значения- крутящего момента и значения первой собственной частоты изогнутой цилиндрической пружины), которые были рекомендованы для конструкторов и используются в настоящее время.

Достоверность полученных результатов подтверждается

- применением фундаментальных положений' (законов)v механики деформ ируемого «твердого тела; использованием хорошо известных геометрически нелинейных уравнений статики и линеаризованных уравнений динамики малых колебаний^ механики стержней [24, 34, 41, 60; 61];

- применением.- надежных и неоднократно проверенных алгоритмов решения-нелинейных краевыхзадач;

- встроенным контролем численных результатов- на1 основе замкнутого аналитического соотношения (модифицированный'интеграл Кирхгофа);

- решением тестовых задач, имеющих аналитическое решение;

- сравнениями с результатами^ сходных по тематике работ других исследователей; сопоставлением результатов расчета4 с обширными экспериментальными данными, полученными на» самостоятельно сконструированном авторском оборудовании.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанное программное обеспечение позволяет предсказывать статические и динамические характеристики рабочих органов ПМ на-этапе j проектирования' (геометрическая конфигурация^ изогнутой пружины, I монтажный момент, частоты и формы собственных колебаний, критический I крутящий момент). Использование разработанных расчетных методик значительно сокращает объем экспериментальных исследований и ускоряет сроки разработки новых конструкций ПМ. Получены и внедрены в производство удобные для практического использования^ аналитические выражения, аппроксимирующие точные решения трехмерных уравнений1 для винтового гибкого стержня.

Результаты диссертации использованы при расчёте, создании и модификации ПМ, а также других родственных конструкций, содержащих винтовые пружины, что подтверждается актами внедрения

Разработанный- автором экспериментальный стенд рекомендуется использовать в высших технических учебных заведениях для демонстрации форм колебаний изогнутых пружин и явления потери устойчивости пружины при кручении с петлеобразованием или перехлёстом.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на 7-й Всероссийская научно-техническая конференции «Состояние проблемы измерений» (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000г.);

- на научных семинарах аспирантов кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э.Баумана (2002, 2003, 2004г.);

- на 15-й международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам-BMGL ШС-2007 (г. Алушта, 2007 г.);

- на научном семинаре кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э.Баумана (2007, 2008г.);

- на научном семинаре ИМАШ им. А.А.Благонравова РАН (2009г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе

10 работ в изданиях, рекомендованных ВАК. Численные и экспериментальные результаты диссертации использованы в< монографии [67], написанной конструкторами пружинных мельниц Сиваченко JI.A. и Хононовым Д.М.

Структура диссертации и аннотация глав.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и пяти приложений.

Общие выводы по работе.

1. Трёхмерная модель пружины в виде гибкого винтового стержня позволила успешно;ОПисатьосновные:механическиеэффекты>вТ1М:

2. Использование- системы дифференциальных уравнений 18-го порядка; с направляющими косинусами вместо углов поворота позволило избежать особенностей^ характерных для всех вариантов систем; 12-го порядка.

3. Для решения краевых задач, возникающих при проектировании и эксплуатации ПМ, разработан; алгоритм и прикладной программный комплекс SPRING, с графическим интерфейсом. Многоуровневое тестирование и сопоставление с экспериментом показало высокую надёжность и точность разработанного программного обеспечения.

4. С помощью разработанных алгоритмов и программ решены наиболее важные задачи; возникающие при проектировании и эксплуатации ГГМ:

- определение конфигурации'деформированных пружин; ;

- потеря устойчивости изогнутых пружин при кручении;

- расчёт частот и форм собственных: колебаний изогнутых пружин. 5. Для расчёта пружин с контактирующими витками предложен вариант алгоритма- Удзавы с дискретным расположением контактирующих узлов:

6. Многочисленные эксперименты, выполненные- на- самостоятельно разработанном стенде, подтвердили? приемлемую точность реализованных алгоритмов.

7. На основании обобщения больших массивов: численных экспериментов, построены упрощённые «инженерные» формулы для определения низшей собственной частота и критического крутящего момента изогнутых пружин, хорошо подтверждаемые точными решениями.

8. Разработанные методики и программное обеспечение использованы при модификации и доводке ряда ПМ с винтовыми пружинами.

9. Полученные в процессе исследований результаты и расчётные методики внедрены на предприятиях: «Промышленные технологии и комплексы» г. Могилев, ООО «Альфа-Транзит» г. Москва.

1. Амосов А А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.

2. Андреева JI.E. Упругие элементы приборов. М.: Машиностроение, 1981.-392 с.

3. Артёмьев В.Г. Пружинно-транспортирующие органы сельскохозяйственных машин. Ульяновск: Изд-во СХИ, 1995. - 200с.

4. Бадиков Р.Н. Исследование влияния продольной сжимающей силы на собственную частоту колебаний цилиндрической пружины ( спирального грохота. // Изв. вузов. Машиностроение. -2004. -№1. — С. 15-20.

5. Бадиков Р.Н. Расчетно-экспериментальное исследование частотных характеристик цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность. // Изв. вузов. Машиностроение. -2004. -№11. С.20 -24.

6. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Расчет величины критического крутящего момента изогнутой в полуокружность цилиндрической пружины. // Изв. вузов. Машиностроение. -2006. -№4. — С.4 -6.

7. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние величины осадки на низшую собственную частоту цилиндрической пружины (модель рабочего элемента спирального грохота) // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№1.-С.Ю- 15.

8. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние угла поворота консольной пружины, подверженной действию сил гравитации, вокруг оси в заделке на прогибы свободного края и собственные частоты. // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№4. — С. 13 —16.

9. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Влияние радиуса кривизны оси цилиндрической пружины, изогнутой в дугу окружности, на низшуюсобственную частоту. ( модель рабочего элемента спирального грохота) // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№5. С. 14 -19

10. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Приближенное выражение для низшей собственной частоты криволинейного стержня с винтовой осью. // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№7. С. 10 -12 .

11. Бадиков Р.Н., Букеткин Б.В., Сорокин Ф.Д. Влияние контакта витков на упругую характеристику заделанной цилиндрической пружины, подверженной сближению краев, за пределами устойчивости. // Изв. вузов. Машиностроение. -2007. -№9. С.З -6 .

12. Бадиков Р.Н., Сорокин Ф.Д. Сравнение экспериментального и расчетного значений величины критического крутящего момента изогнутой в полуокружность цилиндрической пружины. // Изв. вузов. Машиностроение. -2008. -№1. С.11 -14.

13. Бадиков Р.Н. Устойчивость изогнутой в дугу окружности цилиндрической пружины, подверженной действию крутящего момента. // Изв. вузов. Машиностроение. -2008. -№2. С. 15 -22.

14. Н.Белкин А.Е. Разработка системы моделей и методов расчета напряженно-деформированного и теплового состояния автомобильных радиальных шин: Дисс.докт. техн. наук. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998. - 283 с.

15. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

16. Бидерман B.JI. Поперечные колебания пружин // Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1962. - Вып.8. - С. 256-270.

17. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992.- 280с.

18. Вибрации в технике: Справочник. В 6 т. / Под ред. К.В. Фролова. — М.: Машиностроение, 1980. Т. 3. - 544 с.

19. Гаврюшин С.С. Численное моделирование и анализ процессов нелинейного деформирования гибких оболочек // Изв. РАН. МТТ. -1994.- №1. С. 109-119.

20. Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., Борискин О.Ф. Численные методы проектирования гибких упругих элементов. Калуга: ГУЛ «Облиздат», 2001. - 200с.

21. Гаврюшин С.С., Коровайцев А.В. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ. М.: Изд-во ВЗПИ, 1991.- 160с.

22. Гайдайчук В.В. Упругое деформирование и колебания пространственно-искривлённых гибких стержней: Дисс.докт. техн. наук. Киев, 1992. - 244 с.

23. Гайдайчук В.В., Гуляев В.И., Кравцов В.И. Упругое деформирование фасонного витого стержня // Прикладная механика (УССР). 1988. -№8.

24. Ганбат Д. Исследование динамических характеристик спирального грохота // Участие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации инновационных технологии: Сборник научных трудов 6-й международной конференции. М., 2006. - С.20 -23.

25. Ганбат Д. Расчет и проектирование рабочих органов винтовых пружинных грохотов: Дисс.канд. техн. наук. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.- 198 с.

26. Ганбат Д., Гаврюшин С.С. Исследование статических и динамических характеристик винтовых пружинных мельниц // Известия ВУЗов. Машиностроение. 2007. - №8. - С. 10-16.

27. Груд ев И. Д. Расчет собственных частот и форм колебании цилиндрических пружин // Известия ВУЗов. Машиностроение, 1970. -№ 8. С. 24-29.

28. Джанелидзе Г.Ю. Соотношения Кирхгофа для естественно скрученных стержней // Труды Ленинградского политехнического института. 1946. - № 1.

29. Жилин П.А., Сергеев А.Д., Товстик Т.П. Нелинейная теория стержней и ее приложения // Труды XXIV Всесоюзной школы-семинара «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем 1996», С.-Пб., 1997.-С.313-337.

30. Карпова М.Ю. К вопросу о больших перемещениях винтовых цилиндрических пружин // Вопросы прочности упругих элементов машин. Ижевск, 1967. - С. 29-36.

31. Карпова М.Ю., Демьяшкина Э.Я. К вопросу о больших перемещениях винтового цилиндрического бруса // Механика твердого тела, 1966. № 4. - С. 188-190

32. Кравцов В.И. Упругое деформирование и устойчивость гибких пространственно искривлённых стержней: Дисс.канд. техн. наук. -Киев, 1989.- 168 с.

33. Ляв.А. Математическая теория упругости. JL: — 1935. - 675с.

34. Малинин Н.Н. Основные формулы деформации цилиндрических пружин // Труды кафедры "Сопротивление материалов" МВТУ им. НЭ Баумана, 1947.-Р. 1.

35. Малинин Н.Н. Уравнения теории тонких стержней для малых перемещений. // Труды кафедры "Сопротивление материалов" МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1947. Р. 1.

36. Матвеев А.С., Полищук Д.Ф. Влияние поджатая на частотный спектр цилиндрических пружин // Динамика, прочность и долговечность детелей машин. Вып. 2 - Ижевск, 1973. - С. 21-30.

37. Миненков Б.В. Семенов-Ежов И.Е. Бидерман Т.В. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений: Ч. 1. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

38. Наумов A.M. Нелинейная задача статики винтовых стержней при произвольных нагрузках // Вестник МГТУ. Машиностроение. 1991. -№1. С. 21 -29.

39. Наумов A.M. Расчет пространственно-криволинейных стержней, нагруженных силами произвольного напрвления: Дисс.канд. техн. наук. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1996.

40. Николаи E.JI. К задаче об упругой линии двоякой кривизны// Сборник работ Е.Л.Николаи. "Труды по механике", Гостехиздат, 1955.

41. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы. М.: Наука, 1979. -384с.

42. Полищук Д.Ф. Влияние граничных условий- на спектр собственных частот продольных колебаний цилиндрических пружин // Машиноведение. 1969. - №6. - С. 31-35.

43. Полищук Д.Ф. Обобщенная теория цилиндрических пружин.- Ижевск: Изд-во Удм. Ун-та, 216 с.

44. Полищук Д.Ф. Статика пружин // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1973. Вып.2. - С. 6-14.

45. Полищук Д.Ф. О концевом эффекте в статике цилиндрических пружин // Машиноведение. 1973. - №4. - С. 74-78.

46. Полищук Д.Ф. Упругая устойчивость винтовых цилиндрических пружин // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. -Ижевск, 1977. Вып. 2. - С. 38-47.

47. Полищук Д.Ф. О единой трактовке различных видов потери устойчивости винтовых цилиндрических пружин // Машиноведение, 1977.-№3.-С. 60-65.

48. Полищук Д.Ф., Дьячкова К.Е. Учет поджатая в статике винтовых цилиндрических пружин //Динамика, прочность и долговечнось деталей машин. Ижевск, 1975. - Вып. 4. - С. 22-30.

49. Полищук Д.Ф., Матвеев А.С. Собственные частоты винтовых цилиндрических пружин // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1974. -№10. -С. 28-31.

50. Полищук Д.Ф., Матвеев А.С. Аналитическое и экспериментальное исследование частотного спектра винтовых цилиндрических пружин при жесткой заделке концов // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1974. - Вып.З. - С. 31-44.

51. Полищук Д.Ф., Сазонов В.В. Аналитическое и экспериментальное исследование влияния краевых условий в статике винтовых цилиндрических пружин // Динамика, прочность и долговечнось деталей машин. Ижевск, 1975. - Вып. 4. - С. 31-39.

52. Пономарев С.Д. Расчет и конструкции витых пружин. М. : ОНТИ, 1938.-352 с.

53. Пономарев С.Д., Андреева JI.E. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение, 1980. - 326 с.

54. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. -Гостехиздат, 1948.

55. Расчеты на прочность в машиностроении. В 3 т. / Под ред. С.Д. Пономарева.- М.: МАШГИЗ, 1959. -Т. 3. 1120 с.

56. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. — М.: Машиностроение, 1978.-222.

57. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. - 279 с.

58. Светлицкий В.А. Механика стержней: Ч. 1. М.: Высшая школа, 1987. -320 с.

59. Светлицкий В.А. Механика стержней: Ч. 2. М.: Высшая школа, 1987. -304 с.

60. Светлицкий В.А., Наумов A.M. Определение напряженно-деформированного состояния пружины, нагруженной распределенными силами произвольного направления // Расчеты на прочность. 1990. - Вып. 29, С. 50 - 55.

61. Сиваченко JI.A. Новая концепция развития помольной техники // Обогащение руд, 1994. №1. - С. 36 -41.

62. Сиваченко JI.A. Создание винтовых пружинных аппаратов для помола и смешивания, исследование их рабочих процессов и разработка методов расчета основных параметров: Автореф. .докт. техн. наук. -М., 1995.-47 с.

63. Сиваченко JI.A. Технологические профессии пружин //Вестник БелГТАСМ. Белгород, 2001. - №1. - С. 113 - 119.

64. Сиваченко JI.A., Гаврюшин С.С., Селезнев Н.Г. и др. Основы теоретического расчета винтовых мельниц // Технологические проблемы измельчения и активации: Матер, науч.- техн. семинара.-Могилев, 1992. С. 184-191.

65. Сиваченко JI.A., Хононов Д.М. Вибрационные пружинные мельницы. -(Препринт). Могилев, 2004.

66. Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота. //Изв. РАН. МТТ. 1994. - № 1. - С. 164-168.

67. Устройство для помола. Патент США № 4899941 Авт. Сиваченко JI.A., Кургузиков A.M., Бочков C.JI. и др. 1987, 39с.

68. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. — М.: Машиностроение, 1988. — 392с.

69. Хвингия* М.В. Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов. Тбилиси: Мецниерева, 1964.

70. Хвингия М.В. Вибрации пружин. М.: Машиностроение, 1969. - 286 с.

71. Чернышев Н.А. Сжатие и кручение пружин малой жесткости // Новые методы расчета пружин. Машгиз, 1946.

72. Чернышев Н.А. Устойчивость пружин сжатия // Новые методы расчета пружин. Машгиз, 1946.

73. Чернышев Н.А. Напряженное состояние и деформация цилиндрических пружин, свитых из круглого витка // Динамика и прочность пружин. — Изд-во АН СССР, 1950.

74. Чернышев Н.А. Нелинейная теория упругих деформаций цилиндрических пружин // Расчеты на прочность. Вып. 3. - Машгиз, 1958.

75. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. - 424с.

76. Besseling J. Non-linear theory for elastic beams and rods and its finite element representation // Comp.-Meth. in Appl.Mech. and Eng.- 1982. -№31.- P. 205-220.

77. Crivelli L., Felippa C. A three-dimensional non-linear Timoshenko beam, based on the core-congruential formulation // Int. Jnl. Num. Meth. Eng. -1993.- №36. P. 3647 - 3673.

78. Geradin M., Cardano A. Flexible Multibody Dynamics. A Finite Element Approach. New York, 2000. - 327p.

79. Danielson D., Hodges D. A beam theory for large global rotation, moderate local rotation, and small strain // ASME Jnl. Apl. Mech. 1988. - №55. - P.179.184.

80. Kafadar C.B. On the non-linear theory of rods. International Journal of Engineering Science, 1972. V.10. - №4, - P.369 - 391.

81. Keysor H.C. Calculation of the Elastic Curve of a Helical compression Spring // Trans.A.S.M.E. 1940. - V.62. - №4. - P. 319-324.

82. Mizuno Masao. Problem of Large Deflection of coiled springs // Bull. Of J.S.M.E., 1960. V.3. - №9. - P.95-103.

83. Pearsonf D. The transfer matrix method for the vibration of compression helical spring // T.E.E.S., 1932. V.24 - № 4. - P. 163-171.

84. Shimizu Hiroshi, Jnove Junkishi. On the Static and Dynamic Behavior of Coil Springs // Mem. of the Fac. Sc. Kyus. Univ., 1964. -V.23 №3. P. 123168.

85. Simo J. A finite strain beam formulation the three - dimensional dynamic problem , part I.- Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng. №49. - P.55-70, 1985.

86. Simo J., Tarnow N., Doblare M. Non-linear dynamics of three -dimensional rods. Int. Jnl. Num Meth. Eng., 1995. - №38. - P. 1431-1473.

87. Whitman A.B., Desilva C.N. Exact solution in a nonlinear-theory of rods.-Journals of Elasticity, 1974. V.4. - P. 265-280.

88. Whitman A.B., Desilva C.N. Dynamics and stability of elastic Cosserat curves.- International Journal of Solids and Structure, 1970. V.6. - №4. -P.411 -422.