Пространственные колебания цилиндрических пружин с учетом неоднородного демпфирования тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЩЕЕ СОСТОЯНИЕ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН.

1.1. Сущность системы КирхгоффееКлебша и её использование для расчета цилиндрических пружин

1.2. Формирование комплексной системы Кирхгоффа-Клебша для определения напряженно-деформированного состояния цилиндрических пружин с учетом демпфирования.

1.3. Краткая характеристика численных методов, применяемых для краевой задачи колебаний цилиндрических пружин.

2. СПЕКТР ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН.

2.1. Вывод основной нормальной системы уравнений для расчёта собственных значений цилиндрических пружин методом пристрелки

2.2. Определение собственных частот и форм колебаний в случае жесткозакрепленных краевых витков

2.3. Определение собственных частот и форм колебаний в случае шарнирных закреплений краевых витков

2.4. Определение собственных частот и форм колебаний при смешанном закреплении краевых витков.

3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЦШШВДРИЧЕС

КИХ ПРУЖИН.

3.1. Вывод основной нормальной системы уравнений с учётом внутреннего демпфирования материала

3.2. Расчёт динамических напряжений цилиндрических пружин в различных случаях закреплений краевых витков

3.3. Определение напряженно-деформированного состояния цри статическом нагружении пружины.

4. РАСЧЁТ ДОЛГОВЕЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ ЦШШВДРИЧЕСКИХ

ПРУЖИН.

4.1. Расчёт на долговечность цилиндрических пружин.

4.2. Определение запаса усталостной прочности цилиндрических пружин.

5. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОЛЕБАНИЙ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН.

5.1. Вывод основных уравнений метода дифференциальной прогонки

5.2. Сравнение результатов решения краевой задачи методами пристрелки и дифференциальной прогонки

I. ОБЩЕЕ СОСТОЯНИЕ РАСЧЁТА ДИШШИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН Развитие методов расчёта упругих элементов машин и конструкций при динамическом воздействии является важным фактором освоения высоких скоростей их функционирования, который в свою очередь способствует интенсификации производства и прогрессу в технике в целом. Одним из широкоцрименяемых упругих элементов являются цилиндрические пружины, которые используются как демпферы, амортизаторы для создания контактных усилий; они находятся под воздействием статических сил предварительного сжатия. На них действуют детерминированные и случайные нагрузки широкого спектра. Начиная с 20-ых годов, разрабатываются вопросы расчёта пружин на продольные колебания, уточняются статические задачи определения напряжений и деформаций /38,39/. По мере форсирования рабочих режимов, увеличения скоростей и уменьшения веса машин разрабатываются уточненные методы расчёта пружин с учётом реальных механических характеристик материала при нормальной и повышенной температурах, созданы методы расчёта заневоленных пружин, пружин при ударных и вибрационных нагрузках, многожилых пружин /16,38/. Актуальной задачей является расчет пружин на вибрационное воздействие, когда они выполняют функцию силового замыкания в различных приборах и устройствах. Если на эти приборы передается вибрация, пружина начинает вибрировать, рабочая нагрузка уравновешивается динамической и контакт нарушается. Во всех неречисленшк случаях для. правильного расчета не5 обходимо определить динамические характеристики; собственные частоты и формы, а также динамические напряжения в сечениях пружины. Пружина представляет собой пространственный кривой брус, колебания которого связаны по степеням свободы. Указанная связь и является основной причиной генерирования паразитных колебаний. При этом нарушается кинематическая или силовая связь медцу отдельными частями машины и становится невозможным нормальное функционирование объекта. По причине динамической неустойчивости пружин, при постоянном попадании пружины в неустойчивое положение усиливаются паразитные составляющие колебаний, которые сопровождаются соударением витков во время рабочего хода составных частей машин и цриборов. Устранением причин паразитных колебаний повышается работоспособность, а также долговечность пружин. Задача колебаний винтовых цилиндрических пружин неоднократно рассматривалась в литературе. Исследование в основном велось приближенным методом эквивалентного бруса, сущность которого заключается в том, что действительная пружина пространственный винтовой тонкостенный стержень заменяется моделью фиктивного бруса с жесткостными и инерционными характеристиками, совпадающший с харажРеристиками действительной пружины. Такая замена справедлива для пружин с малым утлом подъема витка, т.е. для подавляющего большинства применяемых на практике пружин. Расчёт пружин как эквивалентного бруса имеет ряд специфических особенностей: I) существенно необходим точный учёт монтажных усилий, так как пружина всегда находится в сжатом или растянутом состо6 янии; 2) при изменении осевой силы пружина меняет длину и жесткостные характеристики; 3) для коротких и средних пружин необходим учёт сдвига и вращения витка, как в элементе бруса; 4) продольная и поперечная жесткости пружины величины одного порядка. А.Н.Крылов /32/, Г.Д.ЗТродский /12/, А.В.Штода /68/ рассмотрели вопросы продольных колебаний с учётом массы пружины при различных условиях крепления концевых витков, показаны особенности решения задач продольных колебаний при балочном подходе. При рассмотрении поперечных колебаний пружин проявляются некоторые особенности представления как балки. Поэтому интенсивно развивались и уточнялись методы расчёта пружины по следующим направлениям: 1) поиски наиболее совершенной расчётной схемы поперечных колебаний; 2) разработка математических методов, позволяющих реализовать расчётную схему в виде конкретных рабочих формул для различных граничных условий. Однако, наряду с простотой и универсальностью метода эквивалентного бруса, он имеет и ряд недостатков его точность снижается при расчете коротких пружин с малым числом витков; определение взаимосвязи колебаний не всегда представляется возможным; расчетный аппарат приспособлен в основном для первых частот и форм; учет сил демпфирования выполняются по упрощенным схемам, не учитывающим неоднородностей материала и конструкций; чрезмерно схематизирована прочностная картина. Поэтому с первых 7 работ в этой области /69,70,4,56,63/ случилась ситуация, когда в силу вышеуказанных недостатков метода эквивалентного бруса появилась необходимость более уточненного и надежного расчета пружин в условиях воздействия вибрационных нагрузок различного спектра. Ещё Ляв /32/ рассмотрел пружину как винтовой брус малой жесткости. Весьма интересной из этой группы исследований следует считать работу П.Е.Товстика /57/, в которой приближенным способом проинтегрирована известная система дифференциальных уравнений Кирхгсффа-Лява, описывающих малые колебания винтового стержня около положения статического равновесия. Для сжаторастянутой пружины при статической нагрузке результат аналогичного уровня получил Н.А.Чернышев /65/. Колебания винтового стержня исследовались 5акже в работах А.М.Богородицкого /6/, Мидзуно /76/, Симидзу /78/ и Иноуэ /71/, Иноуе и Иосинага /26/, М.В.Хвингия /62,63/, Д.Ф.Полищука /37/. Околота Н.В. вывел матричное дифференциальное уравнение, описывающее отдельно продольное, поперечное и крутильные колебания стержня с пространственной осью /36/. Задача решается как для идеально упругого материала так и при наличии неупругого сопротивления. В работах /13,14,15/ составляются векторные уравнения малых колебаний пространственных стержней т.н. компактного (нетонкостенного) сечения по осям трехгранника Френе. Для определения частотных характеристик составляется частотный определить шестого порядка. Уравнения колебаний интегрируются методом начальных параметров. Формируется частотная функция, местные максимумы которой определяют резонансные частоты стержня ввиду того, что не определяются амплитуды и соответствующие напряжения, все решения выполняются без учёта демпфирова8 ния. в работе 2 построена разностная схема второго порядка точности для решения шадачи колебаний винтового стержня с круглым поперечным сечением. Определяются собственные частоты. На основе вариационного принципа линейной теории упругости в работе /7/ построена динамическая теория тонких упругих стержней двоякой кривизны. Рассмотрены конкретные случаи пространственных стержней. Одной из адекватных моделей описания пространственных колебаний является система Кирхгоффа-Клебша /8,9,63/, которая широко используется группой иностранных авторов во главе с Нагаля К. /74-77/, в которой определяются собственные частоты и налряжения в поперечном сечении и учитывается неоднородность распределения напряжений. В.А.Светлицким получена и использована более общая схема моделирования пространственных стержней /45-47/; в частном случае для цилиндрических пружин формируется система, идентичная с уравнениями К1фхгоффа-Клебша. Необходимость применения более совершенного метода моделирования диктуется освоением сверх гиперзвуковых и космических скоростей в авиации и ракетной технике. Для амортизации силовых установок перечисленных объектов используются различные цилиндрические пружины, работающие под воздействием высокочастотных механических, а также тепловых нагрузок с ориентировочным спектром до 2000 Гц. Система Кирхгоффа-Клебша рассматривает цилиндрическую пружину как стержень двоякой кривизны, который имеет все шесть степеней свободы и является соотношением инерционных и жесткоетных обобщенных сил по этим степеням свободы. При этом перечне9 ленные степени свободы и соответствуювде им колебательные движения представляются как единое целое с помощью геометрических соотношений /63/. Настоящая работа в известной мере является продолжением перечисленных выше исследований и обусловлена необходимостью численного решения целого ряда конкретных связанной общей частью учета демпфирования. В работе система Кирхгоффа-Клебша решается численными методами при различных закреплений краевых витков пружины. Для предварительной оценки динамических характеристик пружины применяется метод пристрелки /43/, который является наиболее удобным методом, требующий минимальную оперативную память ЭВМ и минимальное время для расчета, но одновременно с этим в определенных условиях проявляет неустойчивость /3,11/. Для уточнения результатов указанного метода и для определения зон его неустойчивости используется метод дифференциальной прогонки. Достоверность этого метода зависит только от корректности самой задачи /1,10/, но одновременно с этим скачкообразно повышается необходимая оперативная память ЭВМ (примерно на целый разряд), по сравнению с методом пристрелки. I.I, Сущность системы Кирхгоффа-Клебша и ее использование для расчета цилиндрических пружин Цилиндрическая пружина представляет собой пространственный стержень двоякой кривизны (рис. I.I). Он описывается векторным уравнением /30,49,61/, задач, сведенных к некоторым в известной мере новым, более обобщенным подходам, 12 3S 1 Г J Зх,3я 5i где все величины со звездочками обозначают конечные значения сил, моментов и кривизны. *1р соответственно площадь и моменЗа 3w ты инерции. В дальнейшем, для круглого сечения Зр/2 Система (1.7) описывает большие колебания пространственного стержня и является нелинейной. Ее приближенное интегрирование сопряжено со значительными трудностями и поэтому для пружин используется линеаризованный вариант. Когда колебания происходят около состояния статического равновесия и достаточно малы, т.е. форма упругой оси проволоки мало отличается от винтовой, можно принять, что приращения параметров значительно меньше своих исходных значений. Тогда где Vo *?o jo начальные значения параметров; Vf a Vi/ приращения параметров. Произведение приращений высшего порядка по сравнению с \l будет малой величиной г ?о \/го о 13 Рио.1.1 14 Аналогичные преобразования можно выполнить относительно всех нелинейных составляющих и вместо уравнений (1.7) получим следующую линейную систему: Кроме указанных шести уравнений, составляющих основную зтруппу имеем ещё шесть дополнительных геометрических соотношений между углами, перемещениями и кривизнами /40/; I -{jl-*loU*PoOr]; ds 3. О =#+/)(,(/-?о« 4. p=p<i„h-bpr, as 15 Предполагается, что изменение внутреннего упругого момента пропорционально изменению кривизны, т.е. где АиЕЗ и Ск=03р модуль сдвига материала; модель Юнга материала; Q Система уравнений (I.8-1.10) без инерционных членов неоднократно применялась для решения статических задач деформации и устойчивости 1фужин В.М.Макушиным /30/. Н.А.Чернышевым /65, 66/, Мидзуно /73/, Маагом /72/. Задачи продольных колебаний исследовали А.М.Богородицкий /6/ и А.А.Коновалов /29/. Пространственные колебания рассматриваются П.Е.Товстиком /56/, Симидзу, йноуе, Иосинага /26,78/. Для удобства вычислений системе (I.9-1.II) придадим более компактный вид. Дня этого из первого уравнения системы (1.3) вычитываем третье и в разность подставляем значения 6Jy ж t которые в свою очередь определяются из четвертого и пятого уравнений; во второе уравнение подставим значения Щ TI Ох а в шестое уравнение подставим значения из (I.II) и получим систему трех уравнений. В полученную систему вставим значения Р Ч 1 х* Вч которые выражаются через 1/ itf Уд и их производных следующим образом; P=--20<lir.-lMhiJ; as 35 ЗУ. dbf 31/ (I.12) л,2 3s ""ds ds Одновременно представим частные решения системы с помощью метода нормальных форм /56/ После введения этих обозначений ползгчаем систему -uW--(Ai.j+AyW-(A,,3+AZ,,,2)W4 .(Aj,<,-Ai.i,3)W+Ai,5V-(Ai,b-A/.M)V-" -(Ai.7-/lMV-Ai,«/J*-Ax,9G=0i CI.14) -A2.iV-(A,,2+AMWA3,3-A42)V/-A2,«V- +(А2,5 -A/.,,3)V«-(A2,6-AZ.,,-,)V+ Avr/-AMB=0; A3,iU-SA3,2W+A3,3V-A3,V*A3,5r/-- -(Аз,Ь-АЧ1)Гг 0, 17 где А,,,-- Ai,3 Ki,2 fo4o -Ki,3 7o-(-ll}+2Kijs 7о Ai,( ii:i.2o+/fi,3?o+2l,«7o-K,,5; Ai,7=/«l,5Zo j Ai,j=Ki,2 7o l,3-, A2,3 K-i,7%1o;A2,ii /Гг,1Уо+<;,,з; г„7.<о, ksK2,lll i/2,2 +«2,3 foAZ.,.2 4o iА2,, /(2_2 7о; A3,6=/C2,2Zo А2,7 Kj,l 2/Cj,* p A3,i=2

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЯ

1. Приведенный способ описания колебательного процесса цилиндрических пружин, когда объект представляется как пространственный брус двоякой кривизны и одновременно учитывается неодинаковое суммарное сопротивление материала, имеет определенные преимущества по сравнению с упрощенными методами. Реальный процесс колебаний представляется более адекватно, нежели ранее применяемых моделях.

При использовании универсального метода дифференциальной прогонки имеется возможность реализовать многоточечную задачу, т.е. осуществить различные условия крепления внутренних и граничных точек винтовой оси пружины. Число таких точек ограничивается порядком задачи (в рассматриваемом случае 24).

2. Для определения резонансных частот показал свою надежность метод среднеарифметического абсолютных значений перемещений точек дискретизации пружины. Этот метод позволяет избегать решения отдельной системы уравнений для определения собственных частот. Одновременно определяются и формы колебаний . пружины.

3. Определяется напряженно-деформированное состояние поперечного сечения пружины, с учетом неоднородного сопротивления материала по степеням свободы. Построены уточненные диаграммы распределения напряжений по винтовой оси пружины за счет учета демпфирования, что имеет особое значение для резонансных колебаний. Показана зависимость вида диаграмм от частоты возмущения, от форм колебаний и других факторов.

4. Определяется долговечность и запас усталостной прочности материала пружины с учетом такого фактора как истинное напряженное состояние витка; что дает возможность устанавливать связь долговечности и запаса усталостной прочности от частоты возмущения, конкретно от близости резонанса.

5. Основным методом расчета служит метод пристрелки, так как он удобен и использует небольшие машинные ресурсы (около 300 Кб оперативной памяти). Одновременно этот метод требует проверки на устойчивость, для чего используется универсальный метод дифференциальной прогонки, единственным недостатком которого является большой размер требуемой оперативной памяти (около 3000 Кб и оперативной памяти). При одновременном использовании этих методов решается указанная задача с меньшими машинными затратами.

6. На базе обыкновенной системы Кирхгоффа-Клебша составлены программы расчета собственных частот и форм колебаний цилиндрических пружин, имеющее название MARI2 (см.приложение I). На базе комплексной системы Кирхгоффа-Клебша составлены программы MAR24 и ДИРЕШЮ (см.приложение П и Щ). Все перечисленные программы зарегистрированы Всесоюзным фондов алгоритмов и программ (&№ регистрации: 5089000III4, 5089000III5, 5089Q00III6, /22/24/).

7. Работа исполнена по заказу предприятия п/я P-652I; договор Л 12/47 от 17.12.86 г. "Разработка методов расчета винтовых пружин на динамическую прочность при высокочастотном на-гружении. Внедрена в указанном предприятии и закреплена актом закрытия от 20,15.88 г.

8. Объектом исследования берутся конкретные цилиндричео пружины, предложенные заказчиком, с конкретными условиями работы.

В качестве численного примера в диссертационной работе исследуется одна из пружин.

1. Абрамов А,А. Вариант метода прогонки. 1.M и М.Ф. - T.I, 1961,- J* 2. С.349-351.

2. Асланян А.Г., Гулин А.В., Кернышей С.В. Численный метод расчёта собственных частот цилиндрических пружин /Препринт Ин-та прикл.математики АН СССР. 1949, - £ 42. - С.1-26.

3. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969.

4. Бицерман В.Л. Поперечные колебания пружин. В сб.: Расчёты на прочность, В.УШ, Машгиз, 1962. - 339 с.

5. Биргер И.А.» Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. - 560 с.

6. Богороцницкий A.M. Применение теории тонких стержней к решению некоторых задач динамического сжатия винтовых цилиндрических пружин /Тр.Тульского мех.ин-та, 1958. вып.8. - С.125-194.

7. Боев А.Г., Ясницкий Н.Н. К динамической теории тонких упругих стержней /Харьковский политехи, ин-т. Харьков, 1988. - 27 с.

8. Виноградов В.И. К выводу уравнений движения криволинейного стержня. Механика и машиностроение, - еып.З. - Львов, -1980. - C.I5I-I55.

9. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. Машгиз. - М.: 1963. - 984 с.

10. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, вып.3(99),1961.- C.I7I-I74.

11. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 439 с.

12. Гродский Г.Д. Теория динамического сжатия винтовых пружин. Изд-во Арт.Академии им. Ф.З.Дзержинского. 218 с.

13. Грудев И.Д. 0 больших прогибах пространственных тонких стер-жнеи. Тр. ВНИИФТРИ, вып.8(38). - 1971. - С.17-37.

14. Грудев И.Д. О собственных частотах пространственных криволинейных стержней. Изв. вузов. - Машиностроение. - 1970.й 6. С. 19-24.

15. Грудев И.Д. Расчёт собственных частот и форм колебаний цилиндрических пружин. Изв. вузов. - Машиностроение. - 1970.8. С.24-29.

16. Динамика и прочность пружин. Сб. АН СССР. М.: 1950. - 356 с.

17. Жижбаия Т.В., Хвингия М.В., Гогава А.Л. Численное моделирование колебании цилиндрических пружин с учётом демпфирования. Сообщения АН Груз. ССР. Тбилиси: Изд-во АН ГСCP, 1989.-T.I35. - >6 2. - С.405-408.

18. Жижбаия Т.В., Хвингия М.В. Влияние неоднородности демпфирования и краевых условий на напряженно-деформированное состояние стержня двоякоа кривизны. Сообщения АН Груз.ССР. Тбилиси: Изд-во АН ГССР, 1989. - T.I36. - & 3. - С.641-644.

19. Жижбаия Т.В. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических пружин на основе уравнений Кирхгофа-Клеб-ша. В кн.: Механика машин / Сб. тр. Ин-та механики машин АН ГССР, 1990. - С.9-18.

20. Жижбаия Т.В. Устойчивое решение задачи колебаний цилиндрической пружины, представленной как стержень двоякой кривизны. В кн.: Механика машин /Сб. Ин-та механики машин АН ГССР, 1990. - С. 87-91.

21. Жижбаия Т.В. Динамический расчет цилиндрических пружин устойчивым методом дифференциальной прогонки. Автогоритмы и программы. Изд-во ГФАП, 5, 1990, Л 5Q89000III4. - 21 с.

22. Жижбаия Т.В., Гогава А.Л. Определение динамических характеристик цилиндрических пружин. Алгоритмы и программы, Изд-ео ГФАП, 5, 1990, Л 50890001II5. - 21 с.

23. Жижбаия Т.В., Гогава А.Л, Определение спектра собственных частот цилиндрических пружин и соответствующих форм колебаний. -Алгоритмы и программы. Изд-во ГФАП, 5, 1990, J& 5089000III6. -22 с.

24. Зеленская Е.К. Решение многоточечной линейной кривой задачи методом дифференциальной прогонки J В кн.: Математическое обеспечение (Пакет научных подпрограмм). вып.40. - Минск: 1986.- с. 54-56.

25. Иноуе, Иосинага. О статике и динамике винтовых пружин (свободные колебания). ТтаnS. jCLpan SocJIec&fy , 27, Л 197, 1130-37, 196I.

26. Калиткин Н.Н. Численные методы. vl.: Наука, 1978. - с.512.

27. Когаев В.П. и др. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность. М.: Машиностроение, 1985. - 223 с.

28. Коновалов А.А. О Вынужденных колебаниях цилиндрических пружин.- Вестник машиностроения, 1965.- № 6. с.28-30.

29. Корнишин ivi.C. и др. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек.- М.: Наука, 1989. 199 с.

30. Кочнева Л.ф. Внутреннее трение в твердых телах при колебаниях.- /и: Наука, 1979. 96 с.

31. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, М., 1935.33. макушин В.М. Поперечные колебания и устойчивость пружин.

32. Сб.: Динамика и прочность пружин. АН СССР. М.: 1950.368 с.

33. Марчук Г.И. Численные методы расчёта ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1958. - 381 с.

34. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. ~ Наука, Сибирское отделение АН СССР. Новосибирск, 1973. - 352 с.

35. Охолота Н.В. Уравнение механических колебаний пространственного криволинейного бруса. Прочность конструкций летательных аппаратов. - Харьков, 1981. - C.II3-I20.

36. Полищук Д.Ф. Об особенностях динамики винтового тонкого бруса. Прикладная механика, 1979, 15. - * 12. - C.I0I-I06.

37. Пономарев С.Д. Расчёт и конструкция витых пружин.ОНТИ. М.: 1938. - 352 с.

38. Пономарев С.Д. и др. Новые методы расчёта пружин. Машгиз.- М.: 1946. 144 с.

39. Пономарев С.Д. и др. Расчёты на прочность в машиностроении.- Т.Ш. Машгиз. - М.: 1959. - III8 с.

40. Постнов В.А. и др. Вибрация корабля. Судостроение. - Ленинград, 1983. - 248 с.

41. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. - 712 с.

42. Решение линейной краевой задачи методом пристрелки. В кн.: Математическое обеспечение ЭВМ. Пакет научных подпрограмм, вып.2. - Минск: 1973. - С.264-268.

43. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.1 Статика. М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.

44. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.2 Динамика. М.: Высшая школа, 1987. - 304 с.

45. Светлицкий В.А., Нарайкин О.С. Упругие элементы машин. М.: Машиностроение, 1989. - 260 с.

46. Светлицкий В.А., Назмутдинов Р.Ф. Численное определение частот фасонных пружин. ИВУЗ. Машиностроение, 1989. - № 12. -С.34-38.

47. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971. - 552 с.

48. СнигиреЕ В.Ф. Численное решение задачи параметризации для оболочек. Пластичность и устойчивость в механике деформируемого твердого тела. - Калинин.гос.ун-т, 1984. - С.102-109.

49. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, I960. - 131 с.

50. Сорокин Е.С., Кочнева Л.Ф. Интегральная связь напряжения с деформацией в материалах с частотно-независимым внутренним трением /Тр.МИИТ, 1973, вып.443. С.13-25.

51. Сорокин Е.С., Муравский Г.Б. Об учёте упругих несовершенств материалов методами теории наследственной упругости. Строительная механика и расчёт сооружений, 1975. - # 4. - С.52-58.

52. Справочник конструктора точного приборостроения /Под ред. проф.Ф.Л.Литвина. Машиностроение. - М.: 1964. - 943 с.

53. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физмат-гиз, 1969. - 468 с.

54. Тимошенко С.П., Яанг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Машиностроение, 1985. - 472 с.

55. Товстик П.Е. Поперечные колебания цилиндрических пружин с учётом продольного сжатия. Сб.: Исследование по упругости и пластичности, 1961, вып.1, Л1У. - С.229-235.

56. Товтик П.Г. Асимтотический метод интегрирования уравнений колебаний пружин. Вестник ЛГУ. Сер. Матем.,мех., астроном. 1962, вып.2. - C.II9-I34.

57. Фадеев С.И. Алгоритм универсальной прогонки. В кн.: Методы сплайн функций. - Новосибирск, 1978, вып.75. - С.68-79.

58. Фадеев С.И. О численном решении линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом цифференциальной прогонки. В кн.: Методы сплайн функций. - Новосибирск, 1978, вып.75. - С.80-95.

59. Фадеев С.И. Универсальная программа численного решения краевой задачи методом дифференциальной прогонки. В кн.: Методы сплайн функций. - Новосибирск, 1979, вып.81. - С.87-100.

60. Фокс А., Пратт Н. Вычислительная геометрия (приложение в проектировании и производстве) /Пер. с англ. М.: Мир, 1982. -304 с.

61. Хвингня М.В., Мгалоблшцвили Д.В. Динамическая устойчивость цилиндрических пружин. Тбилиси, 1966. - 218 с.

62. Хвингия М.В. Вибрации пружин. Машиностроение. - М.: 1969. - 287 с.

63. Хвингия М.В. Динамика и прочность вибрационных машин с электромагнитным возбуждением. М.: Машиностроение, 1980.145 с.

64. Чернышев Н.А. Устойчивость пружин сжатия. Сб.: Новые методы расчёта пружин. - Машгиз. - М.: 1956. - С.12-22.

65. Чернышев Н.А. Нелинейная теория упругих деформаций цилиндрических витых пружин. Сб.: Расчёты на прочность. - Т.З. -Машгиз. - М., 1958. - C.I9-39.

66. Шаманский В.Е. Методы численного анализа краевых задач и ЭЦВМ. 4.1. М.: Изд-во АН УССР, 1963. - 196 с.

67. Штода А.В. Динамика и прочность клапанных пружин. Сб.: Динамика и прочность пружин, АН СССР. - М.: 1950. - 354 с.

68. BiinSaum У- Unteisucfit/np с/ег Bi е^ ирье ft ьПпаип -gen ron bcfrxaufonfeJem п. Eectsfr. fuz jCug-t ее fin unJ hotel, 3,1325.

69. JDuh 3. Tfie liansveise Vikation of a &ейса£spiLnp wilk PenneJ fnJs an J no Axiaf loaJ PLL Way. anJ joum. of. sc.у 33, 229, W2.- 107 7i- Onoue junKiclc? Агак1 j-osLclkl, UtusiiaKi /,аьи-masa} On tfie dynamic StaiifUy of cOi{ Springs

70. TISI1E, A/242, W7-W92, 196b.72. flaa^f H. KrilKung von ScAtatfenfedetn. Веъйп, 1357.73. rli,ztM0 flasao. ptoStem of laxye Defteciion of Col ted SpHnf Buff of JSttE, I960>vof

71. Л/адауа котике, laKeda SadaAua, tfaKaia Yos-iiiaKa Ttee vitiation of coii sptcnys of aiti-haxy sfiape "Jnt./., /тег. tletA. tnf".7f986,23;1. M. №1-№9.

72. Л/ауауа Ко$ике, &oto Teisuto. Vitiation of Sfli-%a£ rods wit& geneiat stape. "Нихон кокай гак-кай ропСунсо. Тгапз./ар. Soc. ИесЯ ing /988,-54•> У* 498, 329- 336.

73. Модауа Коьике dynamic sttess analysis of a coit spring of a%tit%ary cross section to ge- 108 ne%a( iiansient excitations/3. Sound and ViSt—1983.- 128? 2; 307- 319.

74. Simidiu HiWbfii,jnoue juraac&i. On ih static and IDinamic Befcavcoi of cotd Spunys. Mem.fac. fnyn. Kyusfru Univ. 21,3,1364.