Исследование движения жетского ротора в режиме обкатывания статора тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Бородин Владимир Сергеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖЕСТКОГО РОТОРА В РЕЖИМЕ ОБКАТЫВАНИЯ СТАТОРА

I

Специальность 01.02.01 "Теоретическая механика"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Самара 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Самарский государственный архитектурно- строительный университет".

Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент

Павлов Георгий Васильевич

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Тимбай Иван Александрович

кандидат физико- математических наук, доцент

Черняховская Людмила Борисовна

Ведущее предприятие - ОАО "Самарский подшипниковый завод"

(г. Самара).

Защита диссертации состоится 7 октября 2005 г в 10 часов на заседании специализированного совета Д 212.215.04 в ГОУ ВПО "Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева" (443086, г. Самара, Московское шоссе, 34).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ.

Автореферат разослан " 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета^ /

к. т.н., доцент Прохоров А.Г.

4ЧЪЧ4

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В современной технике, начиная от простейших гироскопических приборов и кончая газотурбинными двигателями самолетов, турбокомпрессорами, турбинами электростанций, основным элементом является ротор, вращающийся в опорах.

Наибольшую опасность объекту представляют критические режимы движения ротора, когда не исключается возможность касания и обкатывания ротора внутренней поверхности статора. Это может привести к аварийной ситуации, так как амплитуды колебаний в этот момент достигают максимальных значений.

Наряду с развитием больших, неприемлемых для практики амплитуд колебаний и связанных с этим напряжений в элементах "ротор- статор-упруго демпфирующие опоры", переход в режим обкатывания может быть опасен тем, что происходит мгновенная потеря формы движения ротора, чаще всего прямой синхронной прецессии, и приобретения новой формы - режима обратной синхронной прецессии, что может сопровождаться явлением удара как в радиальной, так и в трансверсальной плоскости. Ротор, обкатывающий внутреннюю цилиндрическую поверхность, является моделью фрикционно-планетарного вибровозбудителя в устройстве для вибраций бетонных смесей, а также может представлять собой модель подшипника скольжения, когда прецессия является нормальной формой движения.

В отечественной и зарубежной литературе исследование динамики процесса качения тел вращения по поверхности цилиндра или плоскости представлено большим числом монографий и журнальных статей. В большинстве работ, посвященных исследованию динамики вибровозбудителей, отсутствует либо учет взаимодействия бегунка с рабочим органом в точке их контакта вследствие принятой априори плоскопараллельной формы движения бегунка, либо математическая модель сильно линеаризуется, что приводит к изохронности колебаний. Пелыо данной работы является повышение ресурса роторных машин, исследование динамики роторов в аварийных режимах, а также анализ движения подшипников скольжения и планетарных вибровозбудителей в устройствах для производства бетонных смесей; разработка уточненных методик их расчета на основе законов неголономной механики и исследование режимов их движения в широком диапазоне эксплуатационных

параметров.

Научная новизна

1. Получены новые математические модели вибрационно- планетарных вибровозбудителей оборудования для производства бетонных смесей, роторов в аварийных режимах, подшипников скольжения и разработана уточненная методика их расчета, основанная на законах неголономной механики, позволяющая учитывать пространственные эффекты движения указанных объектов.

2. Получена формула, позволяющая оценить силы давления на цилиндр с учетом пространственных эффектов движения и неголономности связей, а также указаны возможные пути их уменьшения.

3. Для вертикального ротора в режиме обкатывания статора исследованы смешанные вынужденные автопараметрические колебания, вызванные его несбалансированностью. Для горизонтального расположения ротора обнаружен эффект параметрического резонанса, обусловленный его инерционной несбалансированностью.

4. Найдены области устойчивости стационарных движений вертикального ротора в режиме обкатывания внутренней поверхности статора и показано, что учет нелинейности в модели ротора позволяет описывать возникновение широкого спектра резонансов.

5. Установлено существование устойчивого предельного цикла при автоколебаниях вертикального ротора в режиме обкатывания цилиндра и обнаружен эффект шимми диска.

Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением теоретических результатов, изложенных в диссертации, с экспериментальными исследованиями, проведенными на испытательных стендах ОАО "Самарский подшипниковый завод" и утвержденными "Актом о результатах испытаний и внедрении мероприятий по обеспечению устойчивости работы электрошпинделей".

Теоретическая и практическая ценность результатов исследования состоит в возможности исследования движения роторов в аварийных режимах. Результаты, полученные автором, позволяют указать наиболее рациональные режимы при обкатывании дисков и роторов на упруго-демпфирующих опорах внутренней поверхности вертикальных и горизонтальных цилиндров, при которых минимизируется давление на цилиндр и гарантируется устойчивость исследуемых форм движения, что позволит снизить уровень вибрации машин и оборудования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры сопротивления материа-

лов и строительной механики Самарского государственного архитектурно- строительного университета и кафедр теоретической механики Самарского государственного аэрокосмического университета и Самарского государственно го технического университета в 1994- 2004гг.

Публикации. По материалам выполненных исследований опубликовано 11 работ [1-11].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 137 страниц, 18 рисунков, 3 приложения с 12 графиками.

Библиографический список состоит из 128 наименований, включая работы автора.

Содержание диссертации

Во введении формулируется актуальность темы, определяются цели и задачи исследования, обозначаются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводится краткий обзор теоретических исследований неголономных систем и, в частности, по динамике роторов. Отмечен основополагающий вклад отечественных и зарубежных ученых С. А. Чаплыгина, П. В. Воронца, П. Аппеля, Г. К. Суслова, П. П. Воронца, О. А. Горошко, В. В. Добронравова, Ю. И. Неймарка, Н. А. Фуфаева и др. Приведенные в обзоре работы В. Н. Тхая, Н. X. Ахметишена, Р. Ф. Нагаева, А. А. Афонина, В. В. Козлова, В. Г. Вильне и других содержат важные подходы к решению подобных задач.

Отмечен вклад американских ученых в анализ аварийных режимов авиационных роторов и подшипников скольжения в процессе обкатывания статора.

Вопросам анализа динамики неголономных систем уделяется большое внимание в современных научных публикациях. В результате обзора литературных источников был сделан вывод о необходимости построения и анализа оптимальной модели, наиболее полно описывающей динамику планетарного фрикционного вибровозбудителя для производства бетонных и железобетонных изделий, роликовых подшипников, а также подшипников скольжения и роторов в аварийных режимах.

Вместе с тем, при всем многообразии работ в области изучения систем с неголономными связями, отсутствуют теоретические исследования динамики роторов в режиме обкатывания статора.

Во второй главе поставлена и решена новая задача о качении без скольжения однородного диска внутри вертикального цилиндра. Принятые системы координат и система сил изображены на рисунке. Для ориентации диска выбраны пять обобщенных координат: углы Эйлера- Крылова а, р иф, а также цилиндрические координаты у и z.

Из условия равенства нулю абсолютной скорости точки касания

Уд=-^-(Ке1 + гег-гег)+га>иег = 0, (1)

Л

где г- радиус диска, Я - радиус цилиндра, а>- абсолютная угловая скорость диска, ег,ег,ег - единичные вектора соответствующих осей, построено два уравнения неголономных стационарных связей: • • • ^ •

-гуяпа, у= — фсоъа, (2)

К

что уменьшает число степеней свободы системы "диск- цилиндр'', а, следовательно, и количество уравнений движения до трех. Задача решена с использованием аналитического формализма С. А. Чаплыгина.

Полученная система уравнений движения была проинтегрирована численно и аналитически в предположении малости углов а, ¡3 и высокой угловой скорости собственного вращения диска (считаем угловую скорость собственного вращения диска медленно меняющейся функцией и, следовательно, угловое ускорение величиной малой), что соответствует общепринятому представлению о движении однородного диска. Исследовалась усеченная система

а+\Орф--<р а + \0р<р = ер1(а,р,а,р,ф\

/2

Р-2аф-0,8—фР = -0,8—+ ер, ф,а), (3)

б

м • • •

(р 8 -ёръ{а,р,а.,р,ч>).

Роль малого параметра выполняет квадрат начального угла прецессии е = р1«\, функции обобщенных координат и скоростей,

ускорение свободного падения. Порождающим решением третьего

уравнения является <р = С1 = <р0.

Исследована устойчивость стационарного режима, соответствующего невозмущенному движению:

а = 0,а = 0,/? = ря,р = 0,ч> = а,д> = 0. (4)

Условия (4) невозмущенного движения диска трансформируют исходную систему уравнений (3) к уравнению —а>2втря = —созря, опреде-

Л т

ляющему возможные равновесные конфигурации стационарных движений. Видно, что диск имеет один стационарный режим движения, соответствующий значению угла прецессии ря = агс%( ^ ). В этом случае

точка касания движется в плоскости, параллельной основанию цилиндра.

Устойчивость стационарного режима движения диска исследована по первому приближению. Анализ осложнен спецификой характеристического уравнения, имеющего два нулевых корня, соответствующих двум уравнениям неголономных связей, и не отвечающего условиям критерия Рауса-Гурвица. Построены области устойчивости в зависимости от отношений радиусов диска и цилиндра и угловых скоростей диска. Отмечено, что при малых значениях — возможны случаи, когда движение

II

диска будет неустойчивым в широком диапазоне угловых скоростей. Это объясняется тем, что с уменьшением , следуя равенству = ^ ,

возрастает до критической величины угол нутации /Зя.

Отмечена специфика собственных частот обкатывающего диска:

1) С ростом угловой скорости Д диска верхняя и нижняя собственные частоты возрастают по прямым, исходящим из начала координат осей Л,а.

2) Высшая собственная частота диска не зависит от отношения —.

Анализ указывает на возможность реализации как субгармонических, так и ультрагармонических резонансов при наложении на диск крутящего момента в широком диапазоне частоты вращения диска.

Было выявлено, что при отсутствии вращательного момента и внешнего трения диск движется с постоянной угловой скоростью собственного вращения. Движение носит колебательный характер, обусловленный гармоническим изменением углов прецессии и нутации, происходящих с постоянными угловыми амплитудами и равномерно вращающимися фазами.

Наиболее ярко неголономные свойства системы "диск- цилиндр" проявляются в возрастании давления, передаваемого диском на цилиндр. Как следует из уравнений связей (2), они становятся интегрируемыми при параметре "неголономности" а = 0. Учитывая квазигармонический характер изменения численный анализ показал (приложение 1 диссертации) превышение давления при наличии неголономных связей в сравнении с давлением, определяемым без учета неголономности связей. Это связано с изменением траектории точки касания диска, появлением составляющих ее траектории, параллельных образующей цилиндра. Если провести аналогию динамики диска с динамикой ротора, обкатывающего статор в аварийном режиме, следует заметить, что колебания ротора в осевом направлении, как бы малы они ни были, следует обязательно учитывать, так как они накладывают дополнительные неголономные связи, значительно увеличивающие усилие на статор.

В диссертационной работе проведен анализ системы, состоящей из подвижного вертикального цилиндра и круглого однородного диска, обкатывающего внутреннюю поверхность подвижного цилиндра, что может являться моделью центробежного вибровозбудителя. Были построены уравнения движения и проведен их численный анализ, найдены и исследованы стационарные режимы движения диска.

Третья глава посвящена учету влияния упругодемпфирующего поля опор на динамику несбалансированного фрикционного вибровозбудителя (в дальнейшем называемого ротором), обкатывающего вертикальный цилиндр.

Рассмотрена задача о качении внутри круглого цилиндра радиуса Я неуравновешенного двухопорного вертикального ротора, несущего тон-

кий неоднородный диск массой М и радиусом г на жестком валу, установленном в опорах, вращающихся вместе с ротором, системой горизонтальных пружин и вертикальной пружиной жесткостью Сг. В частости, упругое поле пружин может моделировать упругие свойства грунтов в задаче о движении буровой колонны. Наличие вертикальной пружины и, следовательно, вертикального перемещения диска позволяет проследить пространственное движение исследуемой системы, а также учесть неголономные связи, наложенные на диск ротора. Влияние внешнего трения учтено введением в модель опоры диссипативных сил с неполной диссипацией по функции Рэлея. Было принято, что при статическом равновесии ротора диск касается цилиндра, а его ось не совпадает с осью цилиндра. Движение ротора происходит вне связи с двигателем, по инерции, и обусловлено его статической несбалансированностью. Построены уравнения неголономных связей и показано, что аналитическая структура связей не зависит от наличия эксцентриситета диска. Следуя формализму Чаплыгина была построена система уравнений движения и уравнения неголономных связей.

Исследование на устойчивость линеаризованной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения позволило обнаружить две границы зоны устойчивости ротора. При этом наблюдается значительный разброс частот по величине, что указывает на близость динамики обкатывающего ротора и диска. Отличие состоит в отсутствии зон сплошной неустойчивости, характерной для диска и поведения собственных частот: с увеличением угловой скорости верхняя частота возрастает, нижняя уменьшается. Эта тенденция более заметна с возрастанием отношения ^. При этом практически исключается режим основного резонанса, который возможен лишь при высоких угловых скоростях вращения ротора порядка 1200 и —>0,9. В исследуемой устойчивой зоне

с Я

угловых скоростей возможна реализация спектра ультрогармонических резонансов. В этом случае нарушается круговая прецессия ротора и он покидает поверхность цилиндра. Этот вывод отличает динамику ротора, обкатывающего цилиндр, от динамики вертикального ротора, где воз-

можны субгармонические резонансы порядка ^. Решение системы уравнений движения удалось найти в двух частных случаях:

1. Было исследовано движение ротора, когда траектория точки касания лежит в плоскости, параллельной основанию цилиндра. В этом случае уравнения связей становятся интегрируемыми. Тогда система уравнений, описывающих движение ротора в окрестности локального минимума потенциальной энергии, определенной нулевыми значениями обобщенных координат, принимает вид

М ( ^ • • р •

<р-<р ¿тф + е2..., г = 0, у — —ср, (5)

А

С г *2 е

здесь <о(ср) = ;[0,8(—----ф )], е = -,е - эксцентриситет диска,

* Мгг К г

Ся * " " ■ " г • 1

п, =0,8-,Гф,р,р,<р,ф) = 1 бфсовср-фРвтср--ср рсовф-

Мг! 2Й.

Мг

сп = с1р1п+сг^\, С23=СГ/-ЛЛ-расстояния от опор до точки крепления диска, п - коэффициент внешнего трения, - жесткости горизон-

тальных пружин и Сг- жесткость вертикальной пружины. Характерной особенностью системы (5) является зависимость собственной частоты а от частоты вращения ротора. Первое уравнение этой системы можно рассматривать как модель математического маятника с вибрирующей верхней точкой подвеса, а при со<0 как модель колебания обращенного маятника в поле центробежных сил инерции. Определена ширина резонансной зоны, в которой положение равновесия 0 оказывается неустойчивым и в системе самовозбуждаются колебания, равная

^Мгг*са*{\~)г -Апгсаг . (6)

Для анализа устойчивости стационарного режима построены уравнения в вариациях, которые приводят к двум условиям устойчивости:

Мг V

ю

Анализ показывает, что существует пороговое значение угловой скорости вращения ротора, при котором наступает резонанс. В приложении 2 к диссертации приведены результаты численного анализа переходного режима колебаний как в непосредственной близости к резонансной зоне, когда расстройка частот 2а> - £2 ф О, так и в самой зоне резонанса.

Нутационные колебания носят симметричный характер и происходят с постоянной фазой. Амплитуда ограничена и стремится к фиксированному значению, т.е. существует устойчивый предельный цикл.

2. Была произведена оценка влияния продольных смещений вала при обкатывании статора неуравновешенным ротором, вызванных изменением угла прецессии а, на динамику статически неуравновешенного ротора, обкатывающего вертикальный цилиндр- статор. Движение ротора смоделировано системой дифференциальных уравнений:

— • • « м • • •

а+а>га = -Ь1а-Р<р, р-2аср+п\р + пгг = -Ъг(р Рсоыр-Ьгр- уфг,

И • • 9 у, *

/р = 0,2 = -пра,у = —д> (8)

с начальными условиями

• • • • • • •

«1,-0 = «о.««-» = «о, Д-о = /?оА=о = Ро> = г0>2м> = ¿0,^,0 = О • (9)

Здесь™2 4Са ь 4п Ъ -0,8и Ъ и?-08-^22- п -о*-£а- / I -

Здесь«, =_ь л ,«,-0,8—,«,-0,8—,

расстояния от опор до точки крепления диска.

Система (8) проинтегрирована заменой первых двух уравнений уравнением четвертого порядка. После преобразования этого уравнения в систему уравнений первого порядка было проведено усреднение по быстрым переменным и построены амплитудно-фазовые уравнения в нерезонансном режиме:

~а~~2{д1-д1у ~~а=~цд1-д2)'

^- = р1 + ДК1,К2,Г},а>,П), ^ = „в,О). (10)

Здесь р1 и р2- собственные частоты, р^рг,Дх>Дг- коэффициенты, характеризующие частотные и конструктивные свойства системы. На фазовой плоскости к, к имеется единственное положение равновесия • _

К = К = 0 типа устойчивого узла. Предельные циклы отсутствуют, коле-

бания маятника экспоненциально убывают. Исследован резонансный режим. Обнаружена возможность возникновения как основного резонанса, так и комбинационных резонансов третьего порядка. Исследован режим параметрического резонанса путем построения частично усредненной системы.

В четвертой главе рассмотрены колебания жесткого ротора в упруго-демпфирующих опорах в режиме обкатывания горизонтального статора.

Демпфирующие свойства описываются моделью Фойхта с неполной диссипацией. На основании теоремы об изменении кинетического момента системы относительно точки касания со статором составлены динамические уравнения движения и уравнения неголономных связей:

а+ (¡¡¡а = tft (а, ß, a,ß,g>), ß+ a\ß = eft (a, ß, ß, <p),

М у у • •

<р+Щ sin— q> = 0,y = —<p,z = -rtpa. (11)

R R

Третье уравнение системы (11) указывает на то, что в колебательной системе маятникового типа, как катающийся ротор с неуравновешенным диском, возможна перекачка энергии нутацнонно-прецессионных колебаний во вращательное движение, т.е. неуравновешенность диска может быть причиной неравномерности вращения вала. Построены соотношения, определяющие давление, передаваемое на цилиндр. Найдено аналитическое выражение для критической скорости Qt = mnr\ll+L\Xrl + 2R2-3rR). (12)

На основе численных данных, заимствованных из монографии A.C. Кельзона, Ю.К. Журавлева и Н.В. Январева "Расчет и конструирование роторных машин", решены полученные частотные уравнения и с помощью метода Д- разбиения найдены зависимости собственных частот колебаний ротора от угловой скорости вращения и отношения радиусов —,

R

зависимость критической угловой скорости от отношения — и коэффи-

R

циента демпфирования. Также получены составляющие сил давления в точке касания вдоль соответствующих осей и фазовые траектории изменения угловой скорости от угла поворота при малой и большой начальной угловой скорости. Были сделаны следующие выводы:

1. Высшие частоты с увеличением угловой скорости возрастают, а низшие - уменьшаются, что соответствует классическому случаю изменения частот нутации и прецессии в гироскопических системах.

2. В отличие от динамики диска, обкатывающего вертикальный цилиндр, корни характеристического уравнения горизонтального ротора, вследствие упруговязких свойств опор, становятся комплексными.

3. При малых и больших отношениях радиусов ^- = 0,1,-^ = 0,99 критиче-

л л

екая угловая скорость близка к нулю. Это позволяет сместить границы устойчивости в сторону больших значений угловых скоростей, что является в реальных конструкциях роторных машин желательным фактором, так как отдаляет область неустойчивости от зоны рабочих скоростей вращения. Наиболее опасный диапазон изменения радиусов заключен в

интервале 0,6 < — < 0,85, где критическая скорость достигает максималь-л

ного значения и близка к зоне рабочих скоростей.

4 Увеличение коэффициента демпфирования приводит к увеличению критической скорости. Учитывая эту закономерность, следует при конструировании низкооборотных роторных машин (О <20000-^-) увеличился

вать демпфирование, а доя высокооборотных - демпфирование уменьшать. Это позволит удалить область неустойчивости от зоны рабочих скоростей.

5. Как известно, при колебаниях ротора, обусловленных вязким внешним трением, нутационные колебания затухают значительно быстрее прецессионных. Применительно к движению ротора, обкатывающего горизонтальный цилиндр, с ростом угловой скорости вращения ротора затухание прецессионных колебаний превышает затухание нутационных колебаний.

6. Показано, что движение ротора в зависимости от начальной угловой скорости может носить либо ротационный, либо колебательный характер. При этом колебательное движение всегда устойчиво, а ротационное становится неустойчивым при угловых скоростях, близких к Ож.

7. Огибающая фазовых траекторий минимальной угловой скорости прецессии описывает эллипс, что указывает на неравномерное вращение ротора и на возможные смены направления вращения.

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертационного исследования:

1. Построены математические модели, наиболее приближенные к реальным механическим системам: цилиндрический подшипник качения, фрикционно- планетарный вибровозбудитель, ротор в режиме обкатывания.

2. Получены принципиально новые уравнения движения, описывающие процесс обкатывания вертикальной и горизонтальной шероховатой цилиндрической поверхности однородным диском и несбалансированным ротором, подвешенным на у пру го демпфирующих опорах.

3. Определены и исследованы как стационарные, так и переходные режимы движения ротора, обкатывающего внутреннюю поверхность вертикального и горизонтального цилиндров. Установлено, что наложение неголономных связей может привести к дополнительным осевым реакциям, соизмеримым по величине с радиальными.

4. Выявлены две возможные формы движения горизонтального несбалансированного ротора - либрационная и ротационная, зависящие от начальных условий движения и конструктивных параметров, обнаружен эффект шимми ротора.

5. Установлены и построены граничные поверхности устойчивости вертикального и горизонтального ротора, обкатывающего цилиндр.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Бородин B.C., Павлов Г.В. К исследованию кинематики и динамики рабочего цикла роторных машин, применяемых в производстве строительных материалов // Труды международной конференции: Надежность и качество в промышленности, энергетике и на транспорте/ СГТУ. - Самара, 1999. - С. 43-44.

Бородин B.C., Павлов Г.В. Движение диска по внутренней шероховатой поверхности неподвижного вертикального цилиндра // Известия РАЕН. - Сер. МММИУ. - Т. 4. - N4. - 2000. - С. 82-92. Бородин B.C., Павлов Г.В. Динамика вертикального несбалансированного ротора, имеющего точку касания со статором // Международный форум The Ш d MILLENNIUM. - М., 2001. - С. 14-16. Бородин B.C. К исследованию динамики взаимодействия рабочих органов шаровой мельницы // Аспирантский вестник самарской губернии: Научно- информационный межвузовский журнал. - Самара,

2001. - С. 26-30.

Бородин B.C., Павлов Г.В. Качение неуравновешенного вертикального ротора внутри вертикального цилиндра // Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика: Материалы 59-й региональной научно- технической конференции. -Самара, 2002.-С. 53-58.

Бородин B.C., Павлов Г.В. Динамика неуравновешенного ротора при наличии точки касания со статором // ОпиПМ. Третий Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. - М.,

2002. - С. 430.

Бородин B.C., Павлов Г.В. Динамика неуравновешенного жесткого ротора, обкатывающего вертикальный цилиндр // Актуальные проблемы надежности технологических, энергетических и транспортных машин. Сборник трудов международной научно- технической конференции. - Т.2. - 2003. - С. 144-147.

Бородин B.C., Павлов Г.В. Динамика ротора, катающегося внутри горизонтального шероховатого цилиндра // Актуальные проблемы надежности технологических, энергетических и транспортных машин Сборник трудов международной научно- технической конференции. - Т.2. - 2003. - С. 147- 152.

Бородин B.C., Павлов Г.В. Нутационные автопараметрические колебания вертикального ротора при обкатывании статора // Вестник

»158 3 1

Самарского государственного технического университета - Вып 26.-2004.-С. 48-51.

10. Бородин B.C., Павлов Г В . Вронская Е.С Прецессионные колебания горизонтального ротора в режиме обкатывания статора // Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре Образование. Наука Практика: Материалы 61-й региональной конференции по итогам НИР СамГАСа за 2003г. Ч. 1. - Самара, 2004. - С. 117- 118.

11. Бородин B.C. Движение диска в режиме обкатывания подвижного цилиндра // Вестник Самарского государственного технического университета. Вып 30 - 2004. - С. 206- 208

РНБ Русский фонд

2006-4 14341

Формат 60x84/16 Печать оперативная. Бумага офсетная Объем 1,0 печ л Тираж 100 экз. Заказ 556 Отпечатано в типографии ООО «СамЛЮКС» Телефон: 310-86-30