Взаимосвязанные пространственные свободные колебания винтовых цилиндрических пружин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР РАБОТ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1 Продольные, крутильные и поперечные колебания пружин по модели эквивалентного бруса

1.2 Модели пакета плоских колец для анализа продольных и крутильных колебаний пружин.

1.3 Исследования частотного спектра по модели винтового тонкого бруса.

1.4 Экспериментальные исследования частотного спектра винтовых цилиндрических пружин.

1.5 Постановка задачи исследования.

ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ И

КОМПЛЕКСНАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА И АНАЛИЗА ЧАСТОТНОГО СПЕКТРА ВИНТОВОГО ТОНКОГО БРУСА.

2.1 Приведение исходных уравнений движения винтового тонкого бруса к матричному виду.

2.2 Характеристическое уравнение, фундаментальная матрица решения и граничные уравнения для задачи определения собственных частот винтового тонкого бруса

2.3 Аналитические зависимости для анализа фазовых и групповых скоростей.

2.4 Построение форм колебаний.

2.5 Комплексная методика расчета и анализа частотного спектра.

2.6 Выводы по главе.

ГЛАВА 3. ВЗАИМОСВЯЗАННОСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

КОЛЕБАНИЙ ВИНТОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН В АНАЛИЗЕ ЧАСТОТНОГО СПЕКТРА

3.1 Исследование взаимосвязанных пространственных колебаний на основе «порождающего» решения

3.2 Влияние несвободного сжатия на взаимосвязанные пространственные колебания в частотном спектре цилиндрических пружин.

3.3 Модель взаимосвязанности пространственных колебаний винтового тонкого бруса

3.4 Взаимосвязанные пространственные колебания при близком совпадении собственных частот.

3.5 Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ВЗАИМОСВЯЗАННОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

4.1 Влияние конструктивных параметров и коэффициента Пуассона на распределение частотного спектра

4.2 Влияние предварительного поджатая и начальной закрутки на распределение частотного спектра.

4.3 Концевой эффект в распределении частотного спектра винтового тонкого бруса.

4.4 Особенности потери устойчивости на основе анализа частотного спектра винтового тонкого бруса

4.5 Численный анализ экспериментальных результатов

4.6 Численные расчеты частотного спектра для клапанных пружин и пружин подвесок.

4.7 Выводы по главе.

Актуальность изучения пространственных колебаний винтового тонкого бруса объясняется как широким применением цилиндрических пружин [5, 18, 20, 26, 40, 89, 91], так и тем моментом, что модель винтового тонкого бруса использовалась в качестве математического аналога теории гироскопа [25]. Точные расчеты частотного спектра винтового тонкого бруса представляют прекрасный математический полигон для исследования численных методов, используемых при изучении нелинейных задач пространственных стержней.

Исследованию колебаний в технических целях посвятили свои работы [1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 19, 29, 40, 42, 72, 80, 93]. Использовались различные модели: эквивалентного бруса [1, 5, 7, 9, 10, 29, 42, 43, 46, 71, 72, 80, 81, 83, 84, 93, 95, 96], пакет плоских колец [8, 11, 30, 63, 97, 98, 102], винтовой тонкий брус [2,12, 17, 21, 22, 28, 32, 62, 64, 73, 82, 99,101].

Применение винтового тонкого бруса как аналога изучения теории гироскопа впервые использовалось достаточно широко школой А.А. Илюхина [25].

Винтовой тонкий брус как тестовую задачу для анализа точности численных методов применил И.Д. Грудев [22].

Винтовой тонкий брус представляет собой наглядный пример взаимосвязанности колебаний. В учебной литературе [74] до сих пор в качестве примера взаимосвязанности колебаний выступает теория Похгаммера-Кри для прямого стержня [3, 34, 45, 77, 98].

Исследования частотного спектра цилиндрических пружин является частью работ по исследованию пространственных стержней и теории винтовых цилиндрических пружин, которые представлены следующими основными школами в СССР и России. Ведущая школа по динамике и прочности пружин создана в МГТУ им. Н.Э. Баумана, многие годы возглавлялась С.Д. Пономаревым. Основополагающие работы школы: С.Д. Пономарев [70,71], Н.Н. Малинин [44], Н.А. Чернышев [87, 88, 89], В.Л. Бидерман [9,10], В.Н. Макушин [42, 43] - позволили решить основные вопросы теории пружин в области колебаний, устойчивости, прочности, удара на основе инженерной модели эквивалентного бруса.

В ижевской школе центральной задачей в течение многих лет являлась проблема динамики пружинных механизмов с инерционным соударением [31, 46]. Критические скорости нагружения пружинных механизмов были найдены [66] только после применения модели винтового тонкого бруса для рассмотрения фундаментальных вопросов колебаний, устойчивости, статики и удара. На основе нелинейной теории пространственных колебаний динамическим методом получены новые виды потери устойчивости, реализуемые при инерционном соударении с учетом эффекта пространственного искажения пружины, определяемой нелинейной статики пружин. Это позволило дать объяснения экспериментальным явлениям, найденным В.Л. Бидерманом для динамики пружинных механизмов с инерционным соударением витков.

Теорией колебаний пружин активно занималась грузинская школа М.В. Хвингия [83,84,85,86], использовалась модель эквивалентного бруса для вибрационных машин.

Теория пространственных колебаний стержней активно разрабатывается в МГТУ имени Н.Э. Баумана В.А. Светлицким [75,76,77], В.А. Светлиц-ким и О.С. Нарайкиным [78]. Численные методы теории пространственных стержней и оболочечных конструкций разрабатываются С.С. Гаврюшиным [14]. Профессора С.Д. Пономарев и В.А. Светлицкий являлись научными консультантами работы [62].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Основные результаты работы.

1. Создан комплекс аналитических зависимостей для расчета и анализа частотного спектра винтовых цилиндрических пружин, включающий в себя:

- фундаментальную матрицу решения для всех диапазонов изменения корней характеристического уравнения с учетом предварительного поджатая и закрутки;

- граничные уравнения для всех диапазонов изменения корней на основе фундаментальной матрицы решения;

- аналитические выражения для фазовых и групповых скоростей и форм колебаний;

2. На основе комплекса аналитических зависимостей:

- создана комплексная методика расчета и анализа частотного спектра и пакет программ для расчета частотного спектра;

- дан физический смысл 4 «особым точкам» характеристического уравнения, которые являются двойными собственными частотами, в которых происходит поворот пространственных колебаний на 90° и вокруг которых формируются пары взаимно перпендикулярных поперечных колебаний;

- обнаружены 4 основные формы поперечных колебаний вблизи локального максимума характеристического уравнения («особые точки» W11 и W21), первые гармоники которых по форме лежат ниже соответствующих им основных форм;

- при малом угле подъема винтовой линии пружины при поджатии формируются 4 основных частоты пространственных поперечных колебаний (около нижних «особых точек» W12 и W22);

3. Выявлено наличие пространственных колебаний близкой формы с различной частотой. Проанализированы близко совпадающие различной физической природы, представлены случаи совпадения 2 частот и 3 частот. Обнаружена взаимная модуляция форм близко совпадающих собственных частот.

4. Получено уравнение устойчивости для «порождающего решения» с учетом предварительной закрутки. Обнаружено качественно влияние предварительной закрутки на эйлеровскую потерю устойчивости: за счет предварительной закрутки пружина может терять устойчивость раньше или восстанавливать потерю устойчивости.

5. Комплексная методика расчета и анализа частотного спектра, модель формирования пространственных колебаний, экспериментальная проверка на основании ранее опубликованных результатов (исключается субъективный подход к эксперименту), позволяют использовать полученный результат в качестве полигона для проверки численных методов расчета стержневых систем.

Реализация результатов. Результаты внедрены в учебный процесс в курсах: «Теоретическая механика (спец. главы)», «Прикладная механика»,

Техническая устойчивость».

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны следующие доклады:

1. Международная конференция « Итоги развития механики в Туле» (ТГУ, МГУ-Тула, 1998 г.);

2. II Белорусский конгресс по прикладной и теоретической механике «Механика - 99» (НАИБ, БГПА - Минск, 1999г.);

3. VI Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (МАИ, Ярополец, 2000г.);

4. VII Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (МАИ, Ярополец, 2001г.);

5. II Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием «Повышение качества пружин, торсионов и рессор» (Белорецк, 2001 г.);

6. XXX, XXXI, XXXII научно-технические конференции ИжГТУ (Ижевск 1997, 1998, 1999);

7. Научный семинар кафедры ТМ и ТММ ИжГТУ;

8. Научный семинар кафедры «Динамика машин» ПГТУ (2001 г.);

9. Объединенный семинар кафедр «Сопротивление материалов» и «Теоретической механики и ТММ» ИжГТУ (2001 г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 14 печатных работ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе предложена модель формирования взаимосвязанных пространственных продольных, крутильных, классических поперечных колебаний, поперечных колебаний витка для винтовых цилиндрических пружин. Сделан обзор работ по численному, аналитическому и экспериментальному исследованиям частотного спектра, получены новые аналитические зависимости, позволяющие анализировать частотный спектр в широком диапазоне изменения конструктивных параметров с учетом предварительного поджатия и закрутки, что позволило дать качественно новые результаты в физике формирования взаимосвязанных колебаний, в методике расшифровки частотного спектра, выявить новые явления в устойчивости винтовых цилиндрических пружин.

Научная новизна проведенных исследований:

1. Разработана комплексная методика расчета частотного спектра и пакет программ для расчета частотного спектра, в которой одновременно используются 5 задач: частотный спектр «порождающего решения», расчет «особых» частот, расчет симметричных и антисимметричных частот при условии жесткой заделки раздельно, построение форм колебаний. Одновременное использование 5 задач позволяет комплексно анализировать частотный спектр.

2. Разработана модель последовательного перехода пространственных продольных колебаний дважды через поперечные колебания кольца с разворотом в точках локального экстремума дисперсионного уравнения в поперечные, аналогичная модель и для пространственных крутильных колебаний.

3. Обнаружено в районе локального максимума характеристического уравнения (по верхней и нижней ветви) наличие двух пар основных форм поперечных колебаний (колебаний витка), первые гармоники которых по форме находятся ниже соответствующих основных форм. При малом угле подъема винтовой линии теоретически существуют 4 близких основных моды поперечных колебаний (по нижней и верхней ветвям характеристического уравнения).

4. Получено уравнение устойчивости для «порождающего решения» с учетом предварительной закрутки. Анализ частотного спектра для исследования процесса формирования потери устойчивости проводился численно с одновременным исследованием фазовых и групповых скоростей («порождающее решение»), и для условий несвободного сжатия. Найдены качественные отличия в эйлеровской потере устойчивости при наличии закрутки.

5. Получен местный вид потери устойчивости для пружины с круглым сечением витка с учетом предварительной закрутки.

Практическая ценность.

1. Создан пакет программ для расчета и анализа собственных частот винтовых цилиндрических пружин с учетом предварительного поджатия и закрутки для различных конструктивных параметров и материалов пружины.

2. Знание частотного спектра позволяет: избегать резонансных явлений, особенно для пакета клапанных пружин; подбирать параметры равножестких пружин (равенство основных частот поперечных и продольных колебаний), в которых затрудненено формирование резонанса по основной частоте продольных колебаний, что способствует повышению долговечности.

3. Пакет программ .позволяет динамическим методом проводить расчеты на эйлеровскую потерю устойчивости, что подтверждено анализом экспериментальных результатов Niepage Р. и E.J1. Курятниковой (вид потери устойчивости с восстановлением при жесткой заделке, реально обнаруженный в пружинах подвески ижевского спортивного мотоцикла, получен с использованием программы автора).

4. Проведены большой объем расчетов частотного спектра, сопоставление расчетов частотного спектра и эксперимента, что позволяет получить расчетный и экспериментальный «полигон» для отработки численных методов.

1. Алабужев П.М., Бондарев В.В., Трусь A.M. Исследование внутреннего трения в пружинах. // Сб. «Релаксационные явления в твердых телах». -М.: Металлургия, 1968, С. 408-412.

2. Алешин А.Я. О собственных частотах колебаний пространственных криволинейных стержней произвольного сечения. // Труды ВНИИФТРИ. -1971.-вып. 2. С. 55-66.

3. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин, М.: Наука, 1979. - 296 с.

4. Афанасьев В.Г., Синельников JI.H. Исследование с помощью ЭВМ динамики механизма газораспределения двигателя с учетом вибрации клапанных пружин // Автомобильная промышленность 1976. - № 10. - С. 6-8.

5. Базилевич А. Влияние вибраций клапанных пружин на их работу и долговечность. // ТВ.Ф., 1927. - № 6.

6. Батанов М.В., Петров Н.В. Пружины. М.: Машиностроение, 1968. -215 с.

7. Белолипецкая Л.И., Корчемный Л.В., Синельников Л.Н. Расчет колебаний витков клапанной пружины с учетом упругости привода клапана. // Изв. ВУЗов. М.: Машиностроение, 1972. - № 2. - С. 26-33.

8. Богородицкий A.M. К вопросу динамики винтовых цилиндрических пружин с малым углом подъема. // Труды ТМИ. вып. 6. - Оборонгиз, 1953. -С. 215-224.

9. Бидерман В.Л. Поперечные колебания пружин. // Сб. Расчеты на прочность, вып. 8. М.: Машгиз, 1962. - С. 256-270.

10. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972. - 416 с.

11. Бидерман Т.В. Распространение волн кручения по цилиндрической винтовой пружине. // Сб. Расчеты на прочность, вып. 14. М.: Машиностроение, 1969. - С. 352-359.

12. Виноградов В.И. Определение собственных частот криволинейных стержней. // Материалы 2 Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск. 1999. - С. 301.

13. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых тел. М.: Наука, 1967 - 984 с.

14. Гаврюшин С.С. Разработка методов расчета и проектирования упругих оболочечных конструкций приборных устройств. Автореф. докт. техн. наук,- Москва, 1994. 36 с.

15. Гарбузов В.М., Фильченков В.И. Расчет поперечной жесткости винтовых цилиндрических пружин рессорного подвешивания вагона. // Сб. трудов Ленинградского института инженеров железнодорожного транспорта «Динамика вагонов». 1966. - Вып. 255.

16. Генкин М.Д., Корчемный JI.B., Матусов И.Б., Синельников JI.H., Ставиц-кий А.И., Статников Р.Б. Многокритериальный выбор оптимальных параметров механизма газораспределения автомобильного двигателя. // Машиноведение. 1983. - № 3. - С. 60 - 67.

17. Голев Р.В. К вопросу об устойчивости винтовых цилиндрических пружин с предварительным межвитковым давлением // Сб. Динамика, прочность и долговечность деталей машин, вып. 4. - Ижевск, 1975. - С. 16-21.

18. Горбаневский В.Е. К расчету малогабаритных пружин нагнетательных клапанов топливных насосов быстроходных дизелей. // Автомобильная промышленность. 1964. -№ 10.

19. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: - Изд-во физ.-мат. литературы. -1959.-572 с.

20. Горов Э.А. Основания проектирования автоматического оружия. М.: Изд-во Арт. Академии им. Дзержинского. - 1954. - 672 с.

21. Грудев И.Д. Расчет собственных частот и форм колебаний цилиндрических пружин // Изв. вузов. Машиностроение. 1970 . № 8. с. 24 - 29.

22. Грудев И.Д. Колебания тонких криволинейных стержней // Вибрации в технике. М.: Машиностроение. 1980. т.З. - С. 18-36.

23. Девятериков С.А., Полищук А.Д. Многократный удар в исследовании буферных механизмов // Тезисы докл. «Ученые Иж.мех.инст,- производству». 1992. - С. 146.

24. Елисеев В.В. Теория упругости стержней, основанная на модели оснащенной кривой. // Механика твердого тела, 1976. - № 1. - С. 163-166.

25. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наук, думка, 1979. - 216 с.

26. Индлин Ю.А. Новая модель пружинного ревербератора. // Техника кино и телевидения. 1966. - № 4.

27. Карпова М.Ю., Демьяшкина Э.Я.К вопросу о больших перемещениях винтового тонкого цилиндрического бруса // Механика твердого тела.1966. -№4-С. 188 190.

28. Карпова М.Ю. К вопросу о больших перемещениях винтовых цилиндрических пружин // Вопросы прочности упругих элементов машин. Ижевск,1967.-С. 29 36.

29. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах // М.: Изд-во АН СССР, 1937. -т.4-574 с.

30. Коновалов А.А. О вынужденных колебаниях цилиндрических пружин. // Вестник машиностроения, 1965. - № 6, - С. 28 - 30.

31. Коновалов А.А. О контактных усилиях при инерционном соударении витков. // Вопросы прочности упругих элементов машин. Ижевск, 1967. -С. 34 -42.

32. Коновалов А.А. К определению собственных частот винтовых цилиндрических пружин // Машиноведение. 1973. т. 5. - С. 24 - 28.

33. Коновалов А.А. О происхождении некоторых частот в частотном спектре пружин. // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1973. Вып. 2. - С. 3-5.

34. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: Изд-во иностр. лит, 1955. 192 с.

35. Кравцов В.И. Упругое деформирование и устойчивость гибких пространственно искривленных стержней: Автореф. канд. техн. наук. Киев, 1988. 17 с.

36. Кузьменко В.М. Влияние сжимающих сил на собственные частоты пружины с малым числом витков. // Труды МФТИ. 18 научн. конф. Сер. Аэромеханика. Процессы управления. - 1972. - С. 119-125.

37. Курятникова E.JI. Эволюционная теория устойчивости цилиндрических пружин: Автореф. канд. техн. наук. Пермь, 1999. 23 с.

38. Курятникова Е.Л. Классификация видов потери устойчивости пространственных стержней. // ИжГТУ. Ижевск, 1997. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.05.97. № 1581-В97.

39. Курятникова Е.Л. Об экспериментальном эффекте при потери устойчивости пружин сжатия. // Тез. докл. XXXI научн.-техн. конф. ИжГТУ. -Ижевск, 1998.-С. 180-181.

40. Лазарян В.А. Динамика вагонов. М.: Транспорт. 1964.

41. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 674 с.

42. Макушин В.М. Поперечные колебания и устойчивость цилиндрических витых пружин. // Сб. Динамика и прочность пружин. АН СССР. - 1950. -С. 354.

43. Макушин В.М. Исследование устойчивости скрученного стержня с равными главными жестокостями при изгибе. // Расчеты на прочность. т. 2. М.: Машгиз. - 1952. - С. 252 - 253.

44. Малинин Н.Н. Уравнения теории тонких стержней для малых перемещений // Труды каф. / Сопротивления материалов МВТУ. разд. 3. -1947. - С. 119 -128.

45. Остроумов В.П., Карпунин В.А. Повышение динамической прочности пружин. М., Св.: Машгиз, 1961. 111 с.

46. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы. 3-е изд., перераб,- М.: Наука, 1979.- 384 с.

47. Полищук А.Д. О полноте решений задачи на собственные частоты винтового тонкого бруса. // Сб. тезисов XXXI научно-технической конференции ИжГТУ.-ч. 1,- 1998.-С. 170-171.

48. Полищук А.Д. «Стоячие» волны различной физической природы с близкими собственными частотами. // Материалы 2 Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск. - 1999,- С. 343.

49. Полищук А.Д. Пакет прикладных программ для расчета колебаний, устойчивости, нелинейной статики цилиндрических пружин. // Материалы 2 Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск. 1999. - С. 344.

50. Полищук А.Д. Качественный анализ собственных частот пространственных колебаний винтового тонкого бруса. // Тезисы докл. Международная конференция. «Итоги развития механики в Туле». Россия, Тула (12 15 окт. 1998 г.). - С. 78.

51. Полищук А.Д. Анализ влияния параметров на частотный спектр винтового тонкого бруса. // Тезисы докл. 32 научно-техн. конф. ИжГТУ 2000. -часть 1. С. 51.

52. Полищук А.Д. Лабораторный комплекс программ по исследованию пространственных колебаний винтового тонкого бруса. // Тезисы докл. 32 научно-техн. конф. ИжГТУ 2000 . часть 1. - С. 51.

53. Полищук А.Д. Анализ форм колебаний ( стоячие волны ) в пространственном винтовом тонком брусе. // Тезисы докл. 31 научно-техн. конф. ИжГТУ часть 1 1998. С. 175-176.

54. Полищук А.Д. О взаимосвязанности пространственных колебаний винтового тонкого бруса. // Материалы 6 Межд. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных тел» (Ярополец 14-18 февраля 2000 г.) С.40.

55. Полищук А.Д. Особенности формирования пространственных колебаний винтового тонкого бруса. // Материалы 7 Межд. симпозиума «Динамические и технические проблемы механики конструкций и сплошных тел» (Ярополец 2001 г.). С. 59.

56. Полищук А.Д. Прикладные задачи теории пространственных колебаний цилиндрических пружин. // Сб. Повышение качества пружин, торсионов и рессор. Белорецк. 2001. С. 66 - 74.

57. Полищук А.Д. Взаимосвязанность пространственных колебаний винтовых цилиндрических пружин в анализе частотного спектра. // Ижевск, ИжГТУ, 2001.-29 с. Деп. в ВИНИТИ №1849-В2001 от 09.08.01.

58. Полищук А.Д. Комплексная методика расчета и анализа частотного спектра цилиндрических пружин с обоснованием экспериментальными данными. // Ижевск, ИжГТУ, 2001. 20 с. - Деп. в ВИНИТИ №1848-В2001 от 09.08.01.

59. Полищук А.Д., Полищук Д.Ф. О формировании поперечных колебаний в пространственном винтовом брусе // Тезисы докл. 2 Региональная конференция « Урал- 97» (Оренбург 1997 г.). С. 56.

60. Полищук Д.Ф. Обобщенная теория цилиндрических пружин. Ижевск: Изд-во УдГУ, 1992.-216 с.

61. Полищук Д.Ф. Влияние граничных условий на спектр собственных частот продольных колебаний цилиндрических пружин // Машиноведение, -1969. №6-С. 31 -35.

62. Полищук Д.Ф., Матвеев А.С. Собственные частоты винтовых цилиндрических пружин. // Изв. вузов Машиностроение. 1974. т. 10. - С. 28 - 31.

63. Полищук Д.Ф. О единой трактовке различных видов потери устойчивости винтовых цилиндрических пружин // Машиноведение 1977,- № 3. С. 60 - 65.

64. Полищук Д.Ф. Критерий устойчивости пружин сжатия при ударном их нагружении с учетом инерционного соударения витков // Вестник машиностроения 1977. - № 5. - С. 34 - 35.

65. Полищук Д.Ф., Девятериков С.А. Определение критических скоростей нагружения при расчете пружинных механизмов на надежность // Надежность и контроль качества. М.: 1988. - № 3. - С. 25 - 29.

66. Полищук Д.Ф., Матвеев А.С. Аналитическое и экспериментальное исследование частотного спектра винтовых цилиндрических пружин при жесткой заделке концов // Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1974. Вып. 3. - С. 31 - 44.

67. Полищук Д.Ф., Шибанова Е.Г. Влияние конструктивных параметров на частотный спектр цилиндрических пружин. // Ижевск, ИМИ, 1991. 22 с. -Деп. в ВИНИТИ №113-В91 от 25.12.90.

68. Пономарев С.Д. и Андреева JI.E. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение. 1980.

69. Пономарев С.Д., Бидерман B.JI. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. т.1, М.: Машгиз. 1956. - 864 е.; т.2, М.: Машгиз. - 1959. - 974 е.; т.З, М.: Машгиз. - 1961,- 1118 с.

70. Пугачев B.C. О работе буферных пружин в автоматическом оружии. // Труды ВВАКА им. Жуковского. вып. 147. - 1945,- С. 64.

71. Пфейффер П. Колебания упругих тел. ОНТИ ГТТИ М.: 1934. 152 с.

72. Работнов Ю.Н. Механика деформирования твердого тела М.: Наука, 1988,- 712 с.

73. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982.-279 с.

74. Светлицкий В.А. Нелинейные уравнения движения тонких стержней. // Изв. ВУЗов «Машиностроение», 1969. -№ 6. С. 17-21.

75. Светлицкий В.А. Механика стержней. М.: Высш. школа, 1987.4.1 320 е.; 4.2. 304 с.

76. Светлицкий В.А., Нарайкин О.С. Упругие элементы машин. М.: Машиностроение, 1989. - 264 с.

77. Сухарев И.П. Экспериментальные методы исследования деформаций и прочности. М.: Машиностроение, 1987. - 216 с.

78. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М. Наука. 1967. - 444 с.

79. Товстик П.Е. Поперечные колебания пружин с учетом продольного сжатия. // Сб. «Исследование по упругости и пластичности». Вып. ЛГУ, 1961.-С. 219-228.

80. Товстик П.Е. Асимптотический метод интегрирования уравнений колебаний пружин // Вестник ЛГУ , 1962. вып. № 7. - С. 119 - 134.

81. Хвингия М.В. Поперечные колебания цилиндрических пружин, сжатых осевыми силами. // Сб. «Расчеты на прочность». Вып. 10. - Машгиз, М.: 1964-С. 307-323.

82. Хвингия М.В. Колебания пружин. // Вибрации в технике. М.: Машиностроение. 1980. -т.З. С. 37-61.

83. Хвингия М.В. Вибрации пружин. М.: Машиностроение. 1969. - с. 286.

84. Хвингия М.В., Мгалоблишвили Д.Б. Динамическая устойчивость пружин. Тбилиси, 1966. -218 с.

85. Чернышев Н.А. Устойчивость пружин сжатия // Новые методы расчета пружин. М.: Машгиз, 1946. С. 57 - 58.

86. Чернышев Н.А. Нелинейная теория упругих деформаций цилиндрических витых пружин. // Расчеты на прочность. Т.З. - 1958. - С. 19-39.

87. Чернышев Н.А. Сжатие и кручение пружин малой жесткости. // Сб. Новые методы расчета пружин. М.: Машгиз, 1946. С. 46 - 56.

88. Шадур Л.А., Челноков И.И. и др. Вагоны. М.: Транспорт. 1965. - 439 с.

89. Шейно П.С. Установка пружинных амортизаторов в приводах производственных машин. // Вестник машиностроения. 1960. - № 11. - С. 53 - 55.

90. Шишкина Е.В. Колебания и волны в растяжимых спиральных стержнях. // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. (Пермь 23-29 августа 2001 г.) Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001.-С. 611 -612.

91. Штода А.В. Динамика и прочность клапанных пружин. // Сб. Динамика и прочность пружин. Изд. АН СССР. 1950. - С. 270 - 332.

92. Эйбрамсон Х.Н., Пласс X., Риппергер Э.А. Распространение волн напряжений в стержнях и балках. Проблемы механики. М., Изд. иностр. лит. -1961.-вып.З,-С. 24 -90.

93. Birnbaum W. Untersuchung der Bieguns-Schwingen vor Schraubenfedern. // Yeitschr. fur Flugtechn. und Motorluftschiffahrt, № 3. - 1925. - P. 74 - 78.

94. Dick J. The Transverse Vibrations of a Helical Spring with Penned Ends and no Axial Load. // Phil. Mag. Journ. of Sc. 33. - № 222. - 1942. - P. 513-519.

95. Hiroshi Shimizu, Junkichi Inoue. On the static and dynamic behavior of the coil springs // Mem. Fac. Science Kyus. Un. 1964 - 23, № 3. - P. 123-168.

96. Kagama Y. On the dynamical properties of helical springs of finite length with small pitch. // J. sound and vibration. 1968. - №1. - P. 1-15.

97. Love A.E.N. Trans., Cambr. Phil. Soc. 1900. - V. 18. - P. 163 - 171.

98. Niepage. P. Beitrag zur Frage des Ausknickens axial belasteter Schraubendruckfedern. // Konstruktion und Machinen, Apparate und Gerateban. - 1971 - Vol. 23. - № 1 - S. 19-24.

99. Pearson D. The transfer matrix method for the vibration of compressed helical springs. // T.E.E.S. 1982. - V. 24. - № 4. - P. 163-171.

100. Waltking F.W. Schwingugsyahlen und Schwingugsformen von Kreisbogentragen // Jng. Arch. - 1934. - P. 429-449.