Исследование асимптотик собственных функций в критическом случае и связанные с ним вопросы изучения спектральной плотности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СИМОНОВ Сергей Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИК СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ВОПРОСЫ ИЗУЧЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ 013460413?

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

1 7 ИЮН ?П1П

004604137

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: НАВОКО Сергей Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: БЕЛИШЕВ Михаил Игоревич, доктор физико-математических наук РОМАНОВ Роман Владимирович,

кандидат физико-математических наук

Ведухдая организация:

Московский государственный университет

Защита состоится " " Шоке. 2010 г. в часов в ауд. на

заседании совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034. Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета. Автореферат разослан

" IV " \ША 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических паук, /

профессор уША^ А.К. Щекин

Актуальность работы Исследование координатных асимптотик обобщенных собственных функций дифференциальных операторов Шредипгера и матриц Якоби тесно связано со спектральными свойствами этих операторов. Диссертация посвящена разработке новых методов нахождения асимптотик дифференциальных и разностных уравнений и систем в случае, когда матрица системы стремится к постоянной па бесконечности. Если матрица системы является близкой к диагональной, асимптотики решений даются классической теоремой Ле-винсона или ее аналогами. Если собственные значения предельной матрицы совпадают (случай двойного корпя, критический случай), возможно появление жордановой клетки. Исследование асимптотик решений дискретных линейных систем в случае двойного корпя в недавнее время вызвало значительный интерес, поскольку в этом случае возникают новые эффекты. В качестве примера можно привести работы Келли, Яиаса, Набоко, Шероно-вой и Дамапика. В диссертации сделан шаг в разработке методов для этого важного случая: развит метод последовательных преобразований системы в случае двойного корни, позволяющих в конечном итоге свести задачу к теореме Левинсона. Критический случай часто соответствует явлению спектрального фазового перехода: изменению спектральных свойств оператора. Выход на критический случай связан с изменением характера асимптотики обобщенных собственных функций па бесконечности. Выяснение механизма этого явления на языке обобщенных собственных функций требует содержательного анализа.

Известно так называемое явление резонанса, приводящее к изменению тина асимптотики собственных функций и появлению у оператора Шредипгера собственных значений внутри абсолютно непрерывного спектра. После появления теории субординации это явление вызвало всплеск интереса, что привело к разработке новых подходов, а. также к развитию классических методов Харриса-Лутца. В качестве примера стоит упомянуть работы Венке, Клауса, Хиптона, Шо, Саймона, Дамапика и Курасова. Явление резонанса, вызванное потенциалом Вигнера-фон Неймана у дифференциального онера-тора Шредипгера, имеет связь го спектральными свойствами и в некоторых случаях приводит к появлению псевдолакуны (пуля спектральной плотности).

В диссертации рассмотрено явление резонанса в его дискретном варианте в достаточно общей постановке. Это потребовало разработки нового метода анализа двойной асимптотики (по координате и по адиабатическому параметру) решений некоторой модельной дискретной линейной системы.

Этот метод позволил изучить псевдолакупы и асимптотику спектральной плотности сразу для двух различных по своей природе моделей: для дискретного оператора Шредипгера с потенциалом Вигпера-фоп Неймана и для дифференциального оператора Шредингера с фоновым периодическим потенциалом и потенциалом Вигпера-фоп Неймана.

Научная новизна работы В диссертации впервые решены следующие задачи:

1. Разработан метод получения асимптотики решений "гиперболической" дискретной, линейной системы в случае двойного корпи.

2. Описано изменение характера асимптотики решений дискретной линейной системы (модельной задачи) вблизи критической точки, вызванного явлением резонанса.

3. Техника, полученная для разностных задач, успешно перенесена на аналогичный случай дифференциальных систем.

4. Исследованы нули спектральной плотности периодического оператора Шредингера с потенциалом Вигиера-фон Неймана и дискретного оператора Шредингера с потенциалом Вигпера-фоп Неймана, получена асимптотика спектральной плотности этих операторов вблизи критических точек.

Апробация работы и публикации Результаты работы докладывались на семинарах кафедры Высшей математики и математической физики Физического факультета. СПбГУ, на семинарах краковского отделения Института Математики Польской Академии Наук, па семинаре Технического Университета Лупда (Швеция) и па шести международных конференциях: в Крыму ("КРОМШ-2(Ю7, 2008, 2009"), is Польше ("ОТАМР-2008"), в Санкт-Петербурге (Конференция памяти М.С. Бирмана) и Московском государственном университете ("Spectral problems and related topics"). Основные материалы диссертации отражены в 7 публикациях, приведенных в конце автореферата.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения и пяти глав, содержит 140 страниц и 2 рисунка. Список литературы включает 43 наименования.

Краткое содержание работы Пусть {оп}^! и {Ьп}^,! - две последовательности вещественных чисел, причем числа а„ все положительны. Матрица Якоби J, порожденная иоследо-

вательностями и - это самосопряженный оператор и про-

странстве /2(Н) квадратично суммируемых последовательностей, действующий на вектора из области определения £ £>(¿7") по правилу

(»7и)п := +Ьпщ + апип+и п > 2.

Относительно стандартного базиса в I2 (вектора, у которых одна из компонент равна единице, а все остальные нулевые), оператор J имеет матричное представление вида

/ &! <Ц О • • • \

_ <ц Ь2 а-2 ■■•

О (12 Ь'Л • • •

V г ; \ •:)

В Главе 1 изучается явление изменения тина асимптотики обобщенных собственных векторов при спектральном фазовом переходе первого рода на примере модельной задачи. Рассматривается матрица Якобн с периодически модулированной растущей последовательностью на диагонали вида Ьп^ = Ьп1, если п нечетно и Ь^ = Ь'п1, если п четно, где 7 е 1), и внедиагоналышми элементами вида а„ ' = п1. Такая задача изучалась, в частности, в статьях Набоко и Япаса. Результаты этих работ говорят о том, что плоскость параметров Ь и У разбивается на области, в каждой из которых оператор имеет либо чисто абсолютно непрерывный спектр, либо дискретный спектр. Границами областей служат кривые ЬУ = 4, Ь = С^

операторов

Такое явление называют спектральным фазовым переходом первого рода: при изменении параметров Ь и //, при пересечении любой из границ об-

ластей происходит скачкообразное изменение структуры спектра. Пример спектрального фазового перехода был исследован в работе [А4].

Естественным образом возникает вопрос о спектре оператора па границах областей, то есть на линиях спектрального фазового перехода. В Главе 1 рассматривается луч V — О, Ь > 0 как типичный пример такой границы. Оказывается, что спектр оператора ^с состоит из луча (—оо;0], покрытого чисто абсолютно непрерывным спектром, и дискретного спектра в оставшейся части вещественной оси. В работе Дамаиика и Набоко [3| были найдены асимптотики обобщенных собственных векторов, то есть, решений спектрального уравнения для оператора

а^^п-! + Ъ^и„ + а^ип+1 - Ам„, п > 2, (1)

при А < 0. Асимптотики базисных решений при А < 0 имеют осциллирующий характер и комплексно сопряжены, что означает абсолютную непрерывность спектра. В первой главе диссертации найдены асимптотики обобщенных собственных векторов оператора ¿/^ при А > 0. Теорема ([А6])= При А > 0 и Ь > 0 оператор ^¡ ц имеет бсыис обобщенных собственных векторов А, Ь, 0) и и~( А, Ь, 0) со следующими асимптотикам,и четных и нечетных компонент при п —> оо

иЦ\, Ь, 0) = ехр ^ + (2)

и

«±+1(АД0) = (1 + 0(1)). (3)

Задача о нахождении асимптотик решений спектрального уравнения при А > 0 сложнее, чем при А < 0. Это связано с тем, что решения и+ и и~ уже не равноправны: и+ содержит I! асимптотике экспоненциально растущий множитель, а и~ - экспоненциально убывающий (это означает, что спектр на луче (0, +оо) чисто точечный; можно доказать, что спектр на этом луче дискретный).

Решение снектралыюго уравнения, как и любого трехчленного рекуррентного соотношения, сводится к взятию произведения матриц. Действительно, введем последовательность в С2, ьп := ( ) и трапсфер-

V у

матрицы

:= ( А-6?) ) *

\ ^ /

Уравнение (1) равносильно дискретной линейной системе

уп+1 = Вп-ип, п > 2.

Матричное решение такой системы - это "хронологическое" произведение трансфер-матриц (векторные решения - это столбцы матричного решения). Поскольку в рассматриваемом нами случае последовательность промо-дулирована периодической последовательностью с периодом 2 (состоящей из чисел Ь и Ь'), мы будем рассматривать попарные произведения трансфер-матриц, ЛГ„(А,Ь, 0) := Б2„(Л,0)В2п-1(А, 0). Оказывается, что

Мы видим, что он является матрицей вида клетки Жордана. Такая ситуация является типичной для точки (кривой) фазового перехода. Это создает серьезные сложности при нахождении асимптотик решений дискретной линейной системы и делает нетривиальной возможность ее сведения к теореме Левинсона. Случай, когда предельная матрица коэффициентов системы подобна клетке Жордана, мы называем случаем двойного корня, или критическим случаем. Для дифференциального оператора Шредингера на полуоси аналогичная ситуация наблюдается на границе непрерывного спектра, при А = 0. В нашем примере такая критическая ситуация наблюдается при всех вещественных значениях А. В критическом случае также можно провести разделение на "критический эллиптический" и "критический гиперболический" случаи, исходя из поведения решений

Степени жордановой клетки, в отличие от степеней диагональной матрицы, содержат большой (растущий по п) элемент вне диагонали. Это делает систему в критическом случае нестабильной и более чувствительной к возмущениям. В критическом гиперболическом случае возникают дополнительные сложности, потому что асимптотики базисных решений, в отличие от критического эллиптического случая, отличаются на экспоненциально расту щи й м н ожи тел ь.

Метод, который используется в первой главе, впервые появился в работе Набоко, Шероновой и Янаса [8] и состоит в последовательном сведении

при п —>

оо.

Рассмотрим предел

дискретной линейной системы к виду, для которого применима дискретная теорема Левинсоиа.

Установление структуры спектра оператора на линиях фазового перехода дает некоторое понимание этого явления. Однако гораздо интереснее и глубже было бы описание фазового перехода с точки зрения спектрально плотности (производной спектральной меры). Спектральная плотность связана с асимптотикой обобщенных собственных векторов с помощью формул типа Вейля-Титчмарша (Кодаиры), о которых речь пойдет ниже. Для более глубокого изучения спектральных фазовых переходов необходимо понимание механизма изменения типа асимптотики обобщенных собственных векторов. Такое изменение типа асимптотики происходит, например, у обобщенных собственных векторов дифференциального оператора Шредингера вблизи нуля спектрального параметра. Другим примером подобного явления служит появление в результате резонанса критических точек внутри абсолютно непрерывного спектра у дифференциального оператора Шредин-гера с потенциалом Вигпера-фон Неймана [1,2,5,11].

В Главах 2,3,4,5 рассматриваются две различных но своей природе модели, в которых обнаруживается явление резонанса: дифференциальный оператор Шредингера на полуоси с фоновым периодическим потенциалом и потенциалом Вигпера-фон Неймана и дискретный оператор Шредингера (то теть, матрица Якоби с внедиагональньши элементами, тождественно равными единице) с потенциалом Вигнера-фон Неймана. Вопрос, интересующий нас, остается тем же: поведение спектральной плотности вблизи критических точек.

Первая модель - это дифференциальный оператор Шредингера на полуоси

. с!2 . . , csin(2¡x>;r + S) . . с граничным условием

■0(0) cos а — ^'(О) sin а = 0.

Здесь q(x) - периодическая функция с периодом а, причем q € Li(0;a), и qi £ Li(M+),w ^ Абсолютно непрерывный спектр такого оператора совпадает со спектром (т(£рег) периодического оператора на всей оси

(Р

= + efr)-

Спектр £})cri как хорошо известно, состоит из зон,

ос

№

j=ü

где Лц < ¡i.q < ¡ii < Xi < Ат < /i2 < Iki < A;j < A4 < .... Обозначим д := {Aj,fij,j > 0}. Частота со в потенциале порождает [10] в каждой спектральной зоне по две критических точки, z/j,+ и z/j_, п > 0, которые оп редел е н ы у ело вия м и

Afe)-+1Чv})' Чv})'

где к(А) - квазиимпульс для оператора Асимптотика обобщенных собственных векторов оператора Са в критических точках меняет свой тип, что было исследовано в работе Курасова и Набоко [10].

Вторая модель - это дискретный оператор Шредингера Jwn с потенциалом

fcr;=C8m(2 ^ + (5)

где lj 7rZ и {(Jnj^Li £ I1- Спектр оператора Jwn состоит из отрезка [—2; 2] и собственных значений вне этого отрезка. Частота ш порождает две критические точки ±2 cosa;. Спектр Jwn на интервалах (—2; 2)\{±2 cosa;} является чисто абсолютно непрерывным. Ортогональные полиномы Рп{А), связанные с Jwn, определяются рекуррентным соотношением и начальными условиями

А) := 1, Р2{А) := А - б™, РП+1(А) := (А - Ь™)Рп(А) - Рп^{А), п > 2.

Тем самым, последовательность {Pn(A)}J^i является решением спектрального уравнения для оператора JwNt

u„_j + + ип+1 = Аип, п > 2.

Вместо параметра А удобно пользоваться параметром г, связанным с А соотношениями

1 А - ¿VТ^А5

Л = 2 + ? г =-2-•

Из теории субординации [б] известно, что для матриц Якоб и и для дифференциальных операторов второго порядка асимптотика обобщенных собственных векторов связана со спектральными свойствами оператора. Более того, в случае дифференциального оператора Шредингера на полуоси с

суммируемым потенциалом классическая формула Вейля-Титчмарша (Ко дайры) устанавливает связь между коэффициентами в асимптотике решения спектрального уравнения, удовлетворяющего граничному условию, и спектральной плотностью оператора. В случае дискретного оператора Шре-дингера с суммируемым потенциалом существует аналог формулы Вейля-Титчмарша. Для неограниченных^ матриц Якоби с относительно суммируемым возмущением (то есть, •{ ^ > € I1) формулы типа Вейля-Титчмарша

I ' п ) 71 — 1

уже не столь тривиальны. В случае внедиагональных элементов ап = у/п (так называемый оператор Эрмита) подобные результаты были получены в работе [A5j.

В Главах 2,3 доказываются вспомогательные результаты: формулы типа Вейля-Титчмарша для операторов Jwn и Са.

Глава 2 посвящена доказательству формулы Вейля-Титчмарша для оператора Jwn-, а также для несколько более широкого класса операторов. Вместо (5) допускаются потенциалы вида

WN _ esin(2um + 6)

°п — rü2

где 72 € (g) или 72 6 l] и теми же условиями на частоту ш и потенциал {<Zn}£=i-

В случае 72 € l] (из него нам в дальнейшем понадобится только 72 — 1) результат формулируется следующим образом.

Теорема ([А7])= Пусть

, ivn _ CSill(2(Jп + 6)

и выполняются условия 72 € (|;l] ^ nZ и {f/n}^ € I1. Существует такая функция F £ С(Т\{1, —1, —е±ы}), не имеющая пулей, что для любого

X — z + -е (—2; 2)\{—2 cos о;, 2 cos w}

ортогональные полином,ы связанные с матрицей Якоби Jwn, име-

ют следующую асимптотику:

zF(z) 1 zF(z) „ //t.

1 z z z i

а спектральная, плотность Jwn равна.

2тг\F(z)\

Условие lj $ ttZ важно потому, что при его нарушении потенциал Вигпера-фои Неймана вырождается в степенной потенциал В результате асимптотика решений при всех Л меняет тип и пропадают те эффекты, которые нам интересны.

Результат последней теоремы следует' из работы Даманика и Саймона [4], в которой рассматривается класс потенциалов {bn}%Li, удовлетворяющих следующим условиям: ряд сходится и £ Метод, которым

доказывается последняя теорема, отличается от метода статьи [4] и работает при любом положительном 72. Тип асимптотики полиномов меняется при уменьшении 72 в точках j, j £ N. При 72 > | полиномы имеют асимптотику вида (G) (так называемую асимптотику типа Сегё). При уменьшении 72 сложность нашего метода возрастает, поэтому в Главе 2 для примера рассмотрен самый простой случай асимптотики не типа Сегё, 72 € (5;

Теорема ([А7]) = Пусть

WN csm(2wn-fi) К =-^-+ 9я'

и выполняются условия 72 € (з! 2)'^ ^ ^ и i'ln}^L 1 € ll. Существует такая функция F £ С(Т\{1, — 1, e±'"J, — е±ш, е±2ы, — е±2ш}), не имеющая пулей, что для любого

а = z + 7 <Е (-2;2)\{-2cosw,-2cos(2w),2cosw,2cos(2w)}

z

ортогональные, полиномы связанные c. матрицей Якоби Jwx, име-

ют следующую асимптотику:

+ + <>{1) при п -> оо, (7)

. , . r2Z2(l + Z2)c2iu sr

гае /j,2(2) := > а спектральная плотность Jwn равна

р(А) =-

2тг|Р(2)|2

В Главе 3 доказывается формула типа Вейля-Титчмарша для оператора Са, и, как и в Главе 2, для чуть более широкого класса операторов. Допускаются потенциалы вида

, . „ . с sin(2u;x + S) Qivn(x) := q(x) + —^ + з + qi{x),

где 7з € 1], а частота ш и потенциалы д(х) и д^х) удовлетворяют тем же условиям, что и прежде. Пусть ф+{х, А) и ф-(х, А) - решения Блоха для периодического оператора Ср„., а (рп(х, А) - решение задачи Коши

А) + {д(х) + (/и-лгСх-))(ра(.'Г, А) = Ауа(.х-, А), Л) = .4111 гл, <¿4(0, А) = соя а.

Формула типа Вейля-Титчмарша для Са дается следующей теоремой. Будем вронскиан решений Блоха 1р+(х,А) и ф-(х,\) обозначать

Теорема ([А7])„ Пусть

7Г2

— п <11 е 1/1(1.+).

Существует такая функция Ап(А) £ С((г(Срег)\{д и , ^ 3 > 0})), ме имеющая нулей, что для любого

А £ ст(£рсг)\(д и , г/,-,-, > 0})

решение <ра имеет следующую асимптотику:

(ра(х, А) = Аа(\)ф-(х, А) + Ап(Х)ф+(х, А) + о(1) при х оо а спектральная плотность оператора Са равна

р'п{х)=^етжшет' (8)

Как отмечалось выше, формулы типа Вейля-Титчмарша для дифференциальных операторов Шредингера на полуоси без фонового периодического потенциала с потенциалами Вигнера-фон Неймана появлялись в работах [1,2]. Автору не известны подобные результаты для операторов с фоновым периодическим потенциалом.

Глава 4 посвящена доказательству существования степенных нулей спектральной плотности (псевдолакун) оператора Са в критических точках. В каждой зоне есть по две критических точки, в которых, I! отличие от остальных точек зоны, обобщенные собственные векторы не имеют в качестве асимптотик при х —* +оо линейные комбинации решений Блоха. В каждой критической точке ис асимптотики решений содержат дополнительный степенной множитель вида

ел

Э то верно для всех решений, кроме одного (с точностью до умножения на константу), субординационного, асимптотика которого содержит обратный множи тель. Для каждой критической точки существует свое критическое значение граничного параметра а, при котором субординационное решение в этой точке удовлетворяет граничному условию. Основной результат, касающийся оператора Сп, формулируется следующим образом.

Теорема ([А7|)„ Пусть ъ = <£ <ц £ £а(Е+) и

ис £ > 0}.

Если решение (рп(х, иг) спектрального уравнения для Сп не является субординационным, то существуют пределы

lini -

(Ш)

|А~ vr\

где f/Q(X) - спектральная плотность оператора Сп.

Следует также заметить, что в работе [7] на потенциал q\ € ¿i(R+) накладываются дополнительные условия убывания на бесконечности.

Главным преимуществом подхода, развитого в диссертации, является возможность применить его к дискретной модели. Нам удается сформулировать модельную задачу и свести весь анализ к ней. Оказывается достаточным изучить дискретную линейную систему вида

V77+1 —

'r + i

11

cos(en) sin(en) sin(en) - cos(en)

+ Rnie)

n > 1,

(9)

где

P

h

а параметр £ пропорционален расстоянию до критической точки |А — Предполагается, что 2 х 2 матрицы {/?„(£)определены при е £ и0, где Щ - некоторая окрестность нуля, содержащаяся в интервале (—2тг; 2тт). Введем следующее обозначение для равномерно ограниченных последовательностей из 14 г

|адц} е I1.

> 77 = 1

{^„(OKLi € l^Uo), если < sup

U &JQ

Результат для модельной задачи формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть {R„(e)£ ^(Uq) и матрицы

1 +

¡3 ( cos(en) sin(£n)

Лf \ I +Rn(?)

\ sm(£n) — cos(en) J

обратимы при всех n € Nue £ Щ. Пусть ¡3 > 0. Тогда для любого £ £ ¿7о\{0} следующее произведение сходится:

П

v-1

n \ sin(en) — cos(en) )

Также существуют следующие три предела:

sin (en)

lira lelTT

v-1

I + i( COS(CT0 n \ sin (en)

cos(en)

+ Rn(e)

и (для e — 0)

lim ^ ГТ

n = l

I

+ Rn(0)

являющиеся вырожденными матрицами, ядра которых совпадают.

В Главе 5 доказывается существование стеленных нулей спектральной плотности дискретного оператора Шредингера в критических точках внутри абсолютно непрерывного спектра. Результат формулируется следующим образом.

Теорема ([А7])„ Пусть 72 = 1, ш $ -кЪ, £ и

рс £ {—2сояш, 2со8ш}.

Если решение спектрального уравнения для не является

субординационным, то существуют пределы

шп

л—>^,.±0 |л __

где. р'(\) - спектральная плотность оператора

Выполнение условия о том, что решение спектрального уравнения {Р„(А)}^=1 не является субординационным, зависит от потенциала {<1п}п=1 € потому появление собственных значений внутри абсолютно непрерывного спектра так же неустойчиво, как и для дифференциального оператора. Как и для первой модели, анализ сводится к модельной задаче, причем абсолютно аналогичным образом и даже с некоторыми упрощениями.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[Al| S. Simonov. Singularities of the spectral density for Sehrodinger operator with Wiguer-vou Neumann potential. Book of abstracts of the conference "Operator Theory, Analysis and Mathematical, Physics, OTAMP-2006Bendlewo, 200G.

[A2] S. Simonov. Weyl-Titclunarsh type formula for discrete Sehrodinger operator with Wigner-von Neumann potential. Book of abstracts of the conference dedicated to the memory of M.Sh. Birman, St. Petersburg, 2009.

[A3] S. Simonov. Zeros of the spectral density of the periodic Sehrodinger operator with Wigner-von Neumann potential. Book of abstracts of the conference "Spectral problems and related topics Moscow, 2009.

[A4] S. Simonov. An example of spectral phase transition phenomenon in a class of Jacobi matrices with periodically modulated weights. Operator Theory Advances and Applications, 174:187 204, 2007.

[A5] S. Simonov. Weyl-Titchmarsh type formula for Hermite operator with small perturbation. Opuscula Mathematica, 29(2):187-207, 2009.

[AC] S. Naboko and S. Simonov. Spectral analysis of a class of hermitian Jacobi matrices in a critical (double root) hyperbolic case. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2), 53(1):239 254, 2010.

[A7] C.A. Симонов. Формулы типа Вейля-Титчмарша для операторов Шре-дипгера с потенциалами Вигнера-фон Неймана и асимптотика спектральной плотности вблизи критической точки. Спектральные и эволюционные задачи, 20:207-211, 2010.

Список литературы

[1] В.Б. Матвеев. Волновые операторы и положительные собственные значения для уравнения Шредипгера с осциллирующим потенциалом. Теоретическая и математическая физика, 15(3):353~3G6, 1973.

¡2) Н. Behncke. Absolute continuity of hamiltonians with von Neumann Wigner Potentials I. Proceedings of the American Mathematical Society, 111:373384, 1991.

[3] D. Damanik and S. Naboko. Unbounded Jacobi matrices at critical coupling. Journal of Approximation Theory, 145(2):221 236, 2007.

[4] D. Dainanik and B. Simon. Jost functions and Jost solutions for Jacobi matrices, I. A necessary and sufficient condition for Szegö asyrnptotics. Inventories Mathematicae, l65(l):l-50, 2006. arXiv:math/0502486vl.

[5] M.S.P. Eastham. The asymptotic solution of linear differential systems, applications of the Levinson theorem. Clarendon Press, Oxford.

[6] D.J. Gilbert and D.B. Pearson. On subordinacy and analysis of the spectrum of one-dimensional Schrödinger operators. Journal of mathematical analysis and applications, 128(l):30-56, 1987.

[7] D.B. Hinton, M. Klaus, and J.K. Shaw. Embedded half-bound states for potentials of Wigner-von Neumann type. Proceedings of the London Mathematical Society, 3(3):607-646, 1991.

[8] J. Janas, S. Naboko, and E. Sheronova. Jacobi Matrices arising in the spectral phase transition phenomena: asyrnptotics of generalized eigenvectors in the "double root"case. Centre for mathematical sciences, Lund Institute of Technology, 2007.

[9] K. Kodaira. The eigenvalue problem for ordinary differential equations of the second order and Heisenberg's theory of ¿"-matrices. American Journal of Mathematics, 71(4):921-945, 1949.

[10] P. Kurasov and S. Naboko. Wigner-von Neumann perturbations of a periodic potential: spectral singularities in bauds. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 142(01):161-183, 2007.

[11] J. von Neumann and E.P. Wigner. Über merkwürdige diskrete Eigenwerte. Z. Phys, 30:465-467, 1929.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 14.05.10 с орнгннал-макста заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз., Заказ № 1062/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

Глава 1. Асимптотика собственных векторов матриц Якоби в случае критической точки (гиперболическая ситуация)

Глава 2. Формула типа Вейля-Титчмарша для дискретного оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана

1. Сведение спектрального уравнения к L-диагональной системе

2. Варианты дискретной теоремы Левинсона

3. Асимптотика полиномов, функция Иоста и спектральная плотность

4. Случай 72 €

§; 1]

Глава 3. Формула типа Вейля-Титчмарша для дифференциального оператора Шредингера с фоновым периодическим потенциалом и потенциалом Вигнера-фон Неймана

1. Сведение спектрального уравнения к линейной системе L-диагонального вида

2. Варианты Теоремы Левинсона

3. Асимптотика решения и формула Вейля-Титчмарша

Глава 4. Нули спектральной плотности оператора Шредингера с периодическим фоновым потенциалом и потенциалом Вигнера-фон Неймана

1. Дискретизация

2. Модельная задача

3. Псевдолакуны оператора Са

Глава 5. Нули спектральной плотности дискретного оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана

Пусть {а,,}^! и {Ьгг}п°=1 - две последовательности вещественных чисел, причем числа ап все положительны. Матрица Якоби J, порожденная последовательностями {атг}^=1 и {brt}£°=i, - это оператор в пространстве l2(N) квадратично суммируемых последовательностей, действующий на вектора из области определения по правилу

Ju) 1 := Ъхщ + аги2,

Ju)n := a„iu„i + bnun + anun+l, n > 2.

Относительно стандартного базиса в I2 (вектора, у которых одна из компонент равна единице, а все остальные нулевые), оператор J имеет представление вида О! О • • • N ^ ai b2 а2 ■ ■ ■

О а2 Ь3 • - • \ ; ■'■/

В Главе 1 изучается явление изменения типа асимптотики обобщенных собственных векторов при спектральном фазовом переходе первого рода на примере модельной задачи. Рассматривается матрица Якоби Jb,v с периодически модулированной растущей последовательностью па диагонали вида

I Ьп1, если п нечетно, [ or, если п четно, 4 где 7 G (|; l), и внедиагональными элементами вида п*.

Такая задача изучалась, в частности, в статьях Набоко и Янаса [22, 4] и (при 7=1) Пчелинцевой [33]. Результаты этих работ говорят о том, что плоскость параметров b и У разбивается па области, в каждой из которых оператор Зър имеет либо чисто абсолютно непрерывный спектр, либо дискретный спектр. Границами областей служат кривые

ЪЪ' — 4, 6 = 0, У = 0,

Рис. 1: Области абсолютно непрерывной и дискретной фазы операторов Jb,v

Такое явление называют спектральным фазовым переходом первого рода: при изменении параметров Ь и У, при пересечении любой из границ областей происходит скачкообразное изменение структуры спектра. Пример спектрального фазового перехода был исследован в работе [37].

Различие типа спектра связано с различием асимптотического поведения обобщенных собственных векторов оператора Jhy- При 5 выполнении условий bb' ф 4, Ьф О, 6V о спектральное уравнение оператора

1) an-iun-i + ь^ип + a^'Un+i = Ли„, п > 2, имеет базис решений u^(\,b,b') со следующими асимптотиками четных и нечетных компонент при п —> оо: и;

Ъ,Ь') = Vv

W ± - 4) 2 п х ехр

Хп^ЦЬ + Ъ')

1~7

-f± (ЬЬ')

1+ *(!)), и

2 71

X,b,b') = -2 лД bb' ± y/W(W - 4) 2 х ехр nlf±\hb')

Хп^ЦЪ + Ь') (2)

1-7

1 + 0(1)), где - некоторые явные функции, имеющие особенности в точках 0 и 4. Как видно, ответ напоминает по своей форме ВКБ-асимптотики решений дифференциальных уравнений.

Естественным образом возникает вопрос о спектре оператора на границах областей, то есть на линиях спектрального фазового перехода. В Главе 1 рассматривается луч Ъ' = О, b > 0 как типичный пример такой границы. Оказывается, что спектр оператора Jbfi стоит из луча (—оо; 0], покрытого чисто абсолютно непрерывным спектром, и дискретного спектра в оставшейся части вещественной оси. Как было показано в работе Даманика и Набоко [14], при А < 0 спектральное уравнение (1) оператора имеет базис решений и+(Х,Ь, 0) и и~(Х,Ь, 0) со следующими асимптотиками при 6 п —> оо четных и нечетных компонент:

2) "4 ^ v 2 /

4+1(А, ь, 0) = ± xfflylhir: ехр (1 + о(1)).

7t -S \ V 2 /

В этом случае ответ также напоминает по форме асимптотики ВКБ. Асимптотики базисных решений при Л < 0 имеют осциллирующий характер и комплексно сопряжены, что означает абсолютную непрерывность спектра. Результат первой главы диссертации это доказательство того, что и при Л > 0 существует базис решений спектрального уравнения вида (2), а именно, следующее утверждение. теорема ([32]). При а > 0 и b > 0 оператор Jbfi имеет базис обобщенных собственных векторов Ь, 0) и и~(Х,Ь,0) со следующими асимптотиками четных и нечетных компонент при п —> оо Ц^ехр (1 + о(1)) и

•4„(АЛ0) = ±^(1J('irexp (±vf ГГ|) (1 + °(1))

Задача о нахождении асимптотик решений спектрального уравнения при А > 0 сложнее, чем при А < 0. Это связано с тем, что решения и+ и и~ уже не равноправны: и+ содержит в асимптотике экспоненциально растущий множитель, а и~ - экспоненциально убывающий (это означает, что спектр на луче (0, +оо) чисто точечный; с помощью методов работы [30] можно доказать, что спектр на этом луче дискретный).

Решение спектрального уравнения, как и любого трехчленного рекуррентного соотношения, сводится к взятию произведения матриц. Действительно, введем последовательность в С2 ип-1 \ vn := I ип ) и трансфер-матрицы

О 1

В" 1 Аь(1)

Уравнение (1) равносильно дискретной линейной системе (3) vn+1 = Bnvn, п> 2.

Матричное решение такой системы (3) - это "хронологическое" произведение трансфер-матриц п

Па fc=1 векторные решения - это столбцы матричного решения). Поскольку в рассматриваемом нами случае последовательность оп промоделирована периодической последовательностью с периодом 2 (состоящей из чисел b и Ъ'), мы будем рассматривать попарные произведения матриц Вп(\, Ь, 0):

ЛЦАДО) := S2n(A,b,0)B2n1(A,b,0).

Оказывается, что лил,M)=f1 "M+rVC ° 1

V О -1 J (2ч)1 \ -1 -Ь ) 2n V"21 при п —» оо. Рассмотрим предел матриц Nn(X, Ь, 0), lim ЛГ„(АД0) = ( ~М. п^оо V 0 -1 /

Мы видим, что он является матрицей вида клетки Жордана. Такая ситуация является типичной для точки (кривой) фазового перехода. Это создает серьезные сложности при нахождении асимптотик решений дискретной линейной системы и делает нетривиальной возможность ее сведения к теореме Левинсона. Случай, когда предельная матрица коэффициентов системы подобна клетке Жордана, мы называем случаем двойного корня, или критическим случаем. Для дифференциального оператора Шредингера на полуоси аналогичная ситуация наблюдается на границе непрерывного спектра, при А = 0. В нашем примере такая критическая ситуация наблюдается при всех вещественных значениях А. В критическом случае также можно провести разделение на "критический эллиптический" и "критический гиперболический" случаи, исходя из поведения решений

Степени жордановой клетки, в отличие от степеней диагональной матрицы, содержат большой (растущий по п) элемент вне диагонали. Это делает систему в критическом случае нестабильной и более чувствительной к возмущениям. В критическом гиперболическом случае возникают дополнительные сложности, потому что асимптотики базисных решений, в отличие от критического эллиптического случая, отличаются на экспоненциально растущий множитель.

Метод, который используется в первой главе, впервые появился в работе Набоко, Шероновой и Янаса [23] и состоит в последовательном сведении дискретной линейной системы к виду, для которого применима дискретная теорема Левинсона. л

Установление структуры спектра оператора па линиях фазового перехода дает некоторое понимание этого явления. Однако гораздо интереснее и глубже было бы описание фазового перехода с точки зрения спектрально плотности (производной спектральной меры). Спектральная плотность связана с асимптотикой обобщенных собственных векторов с помощью формул типа Вейля-Титчмарша (Кодаиры), о которых речь пойдет ниже. Для более глубокого изучения спектральных фазовых переходов необходимо понимание механизма изменения тина асимптотики обобщенных собственных векторов. Такое изменение типа асимптотики происходит, например, у обобщенных собственных векторов дифференциального оператора Шредингера вблизи нуля спектрального параметра. Поведение спектральной плотности при А —> +0, связанное с этим явлением, было изучено в работе Яфаева [43]. Другим примером подобного явления служит появление в результате резонанса критических точек внутри абсолютно непрерывного спектра у дифференциального оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана [3, 42, 8, 9, 1, 6, 2, 16]. У оператора d2 сът(2шх) , .

4 £0,а := --гт +-"-- + 01 (*) ах1 х с граничным условием

0(0) cos а — ф'(0) sin а = 0, где qi € Li(R+), абсолютно непрерывный спектр занимает положительную полуось. При этом точка си2 является критической: в ней меняются асимптотики обобщенных собственных векторов и возможно появление собственного значения. Спектр на интервалах (0;ш2) и (w2;+oo) является чисто абсолютно непрерывным. Изменение типа асимптотики обобщенных собственных векторов ю поведение спектральной плотности вблизи критической точки для классов операторов, включающих в себя пример (4), было изучено в работах Клауса, Хинтона и Шо [20, 26], также независимо в работе Венке [10].

Обратимся к поведению решений спектрального уравнения оператора С0,а,

5) -Ф"(х) 4 + gi{x)j ф(х) = Хф(х), вблизи критической точки А = и2 при х —» +оо. Будем для простоты рассматривать решения, заданные фиксированными начальными условиями, одинаковыми при всех Л. Решения имеют осцилляции с частотой, близкой к ш. При этом амплитуда осцилляций при А — и2 растет степенным образом как Если же точка А находится близко к критической точке о/2, то амплитуда решения будет расти по тому же закону до момента порядка х = после чего будет иметь затухающие осцилляции относительно некоторого уровня (то есть, предел при х —> 4 оо). Величина этого предела, что вполне естественно, оказывается пропорциональной

6)

А — и)2 и именно такая зависимость определяет то, что спектральная плотность оператора £0,а имеет степенной ноль порядка J^.

На Рис. 2 в качестве примера показаны результаты численного решения в программе Maple уравнения (5) при с — 10, си — 1 и <7i = 0 (для удобства вычисления фиксировались не начальные данные, а значение решения и его производной в точке х = 1:

11 i/j(1,\) = 0 и f/>'(l,A) = 1). Первая картинка соответствует критической точке Л = 1, вторая - Л = 0,98, третья - Л = 0,96 и четвертая А = 0,92. На рисунке видны моменты смены типа поведения амплитуды с растущего по степенному закону на осциллирующий около некоторог о уровня. Также видно, что при уменьшении вдвое расстояния до критической точки Л = 1 переключение режима происходит вдвое дальше от начала координат.

Рис. 2. Поведение решения уравнения (5) с фиксированными начальными данными при с — 10, ш — 1, q\ = 0 для Л = 1, Л = 0,98, А = 0,96 и Л = 0,92. 12

-50000

-100000

16222686

При этом существует одно единственное (с точностью до умножения на константу) решение спектрального уравнения, для которого все, сказанное выше, несправедливо. Вместо степенного роста амплитуды при х —> +оо происходит ее степенное убывание с тем же показателем (тем самым это решение спектрального уравнения является субординационным). При некотором значении граничного параметра ас это решение удовлетворяет граничному условию. В этом случае спектральная плотность оператора £о,« другое поведение, отличное от случая а ф ас. Приведем точную формулировку утверждения, следующую из работы ]20].

Предложение ([20]). Пусть а Ф ас. Тогда существуют, два ненулевых предела lim -гг, где PojQ(A) - спектральная плотность оператора Cqi0c.

Заметим, что при а = ас и при условии ~ > | субординационное решение лежит в L2(M+) и является собственной функцией, а точка X — ш2 - собственным значением оператора £о,<>- Очевидно, что локальное изменение потенциала q\(x) может изменить значение ас и нарушить выполнение условия а = ас. Появление собственного значения неустойчиво, в отличие от изменения типа асимптотики обобщенных собственных векторов и появления субординационного решения.

В Главах 2,3,4,5 рассматриваются две различных по своей природе модели, в которых обнаруживается явление резонанса: дифференциальный оператор Шредингера на полуоси с фоновым периодическим потенциалом и потенциалом Вигнера-фон Неймана и дискретный оператор Шредингера (матрица Якоби с внедиаго-нальными элементами, тождественно равными единице) с потенциалом Вигнера-фон Неймана. Вопрос, интересующий нас, остается

13 тем же: поведение спектральной плотности вблизи критических точек.

Первая модель - это дифференциальный оператор Шредингера на полуоси d2 , . csin(2o;x4 S) , . с граничным условием ф(0) cos а — ^'(0) sin а = 0.

Здесь q(x) - периодическая функция с периодом а, причем q Е Li(0;a), qi & Li(R+)cc> ^ Абсолютно непрерывный спектр такого оператора совпадает со спектром а(£рег) периодического оператора на всей оси per ~ dx2 + 9 Спектр £рег, как хорошо известно [17], состоит из зон, оо е.г) '■— (J([A2J; /*2J] U [/X2j + i; A2J + I]), J=О где

Ао < Цо < < Ai < А2 < /i2 <M3<A3<A4< . Обозначим д {XjifijJ > 0}.

Частота со в потенциале порождает [28] по две критические точки в каждой спектральной зоне, и Vj,-, п > 0, определенные условиями п {j + {f}) , где к(А) - квазиимпульс для оператора Срег■ Асимптотик обобщенных собственных функций оператора Са в критических точках меняет свой тип аналогично случаю q(x) = 0, что было исследовано в работе Курасова и Набоко [28].

14

Вторая модель - это дискретный оператор Шредингера J^wn v потенциалом

7\ hWN csin(2o;n + S)

7) bn :=-+ qn, n где ш ф и {gn}^] g l1. Спектр оператора JTvvtv состоит из отрезка [—2; 2] и собственных значений вне этого отрезка. Частота и порождает две критические точки ±2cosw. Спектр Jwn на интервалах (—2;2)\{±2cosa>} является чисто абсолютно непрерывным. Ортогональные полиномы Р„(А) связанные с ^Twn определяются рекуррентным соотношением

Рг(А) :=1,Р2(А) :=\-b?N,

Рп+i(A) := (А - b™N)Pn(А) - P„i(A), п > 2, и тем самым последовательность {i3rt(A)}^=1 является решением спектрального уравнения оператора Jwn, uTti + b™Nun + un+i = Aun, n> 2.

Вместо параметра А удобно пользоваться параметром г, связанным с А соотношениями

1 А-гу/4^А1 z' * =-2-'

Из теории субординации [18, 25] известно, что для матриц Яко-би и для дифференциальных операторов второго порядка асимптотика обобщенных собственных векторов связана со спектральными свойствами оператора. Более того, в случае дифференциального оператора Шредингера на полуоси с суммируемым потенциалом классическая формула Вейля-Титчмарша (Кодаиры) [41, Глава 5], [27] устанавливает связь между коэффициентами в асимптотике решения спектрального уравнения, удовлетворяющего граничному условию, и спектральной плотностью оператора. Приведем формулу Вейля-Титчмарша для рассмотренного выше оператора

15

Пусть с/?о,а(х, Л) - решение спектрального уравнения для £о,а;

-Ф"{х) + (-^-L + qi(x)j Ф(х) = А-ф{х), удовлетворяющее начальному условию ^.«(Oj^) — sin а, (О, Л) = cos о; (решение задачи Коши).

Предложение 1 ([6,12, 8]). Пусть q^ € Li(R4). Существует такая функция G C(R+\{cj2}), не имеющая пулей, что для любого положительного А ^ ш2 решение <ро,а имеет следующую асимптотику

8) <рп,а(х, А) = Alha{X)eiV~Xx + А01а{\)еГ^х + о(1) при х +оо, а спектральная плотность оператора £G q равна p'oJX) = w^bw'

Модуль асимптотического коэффициента А0,а(А) является пределом той амплитуды решения, о которой ранее шла речь. Асимптотическая формула (8) неверна при А = си2, что соответствует отсутствию предела амплитуды. При а ф ас в критической точке коэффициент Ло,«(А) имеет степенную особенность, что соответствует нулю спектральной плотности. Механизм данного явления заключается, грубо говоря, в переключении решения со степенного роста на осцилляции при значении х, обратно пропорциональном расстоянию по оси А до критической точки.

В случае дискретного оператора Шредингера с суммируемым потенциалом существует аналог формулы Вейля-Титчмарша. Для неограниченных матриц Якоби с относительно суммируемым воз-Г 1 00 мущением (то есть, 4 — > € I1) формулы типа Вейля-Титчмарша I а" J п=1 уже не столь тривиальны. В случае внедиагональных элементов &п — s/n (так называемый оператор Эрмита) подобные результаты были получены в работе [39].

В Главах 2,3 доказываются вспомогательные результаты, формулы типа Вейля-Титчмарша для операторов Jwn и связывающие спектральную плотность и асимптотические коэффициенты для определенных решений спектрального уравнения.

Глава 2 посвящена доказательству формулы Вейля-Титчмарша для оператора Jwn-, а также для несколько более широкого класса операторов. Вместо (7) допускаются потенциалы вида и^дг csin(2tcm + S) » ^ + где 72 6 или 72 Е l] и теми же условиями на частоту ш и потенциал {qn}n=v

В случае 72 Е (из него нам в дальнейшем понадобится только 72 = 1) результат формулируется следующим образом.

Теорема ([24]). Пусть

WN с sin (2am + S) " ~ пъ и выполняются условия

72 е ,L0^7TZu{qn}Z.lel\

Существует такая функция F Е С(Т\{1, — 1, е±гш, — е±ш}) и не имеющая нулей, что для любого = z+- Е (—2; 2)\{—2coscj, 2 cos о;} z ортогональные полиномы Рп(А), связанные с матрицей Якоби Jwn, имеют следующую асимптотику: zF{z) 1 zF(z) 1 — z2 z11 z2 — 1 а спектральная плотность Jwn равна

9) ^n(A) = + + o(l) при n 00,

P W = --=T"2 ■

2?r F

Данный результат следует из работы Даманика и Саймона [15], в которой рассматривается класс потенциалов {ftn}£°=i> удовлетворяющих следующим условиям:

Метод, которым доказывается последняя теорема, отличается от метода статьи [15] и работает при любом положительном 72. Тип асимптотики полиномов меняется при уменьшении 72 в точках j, j € N. При 72 > | полиномы имеют асимптотику вида (9) (так называемую асимптотику типа Сегё). При уменьшении 72 сложность нашего метода возрастает, поэтому в Главе 2 для примера рассмотрен самый простой случай асимптотики не типа Сегё, 72 €

Теорема ([24, 7]). Пусть

WN r:sin(2um + 5) " - Чп' и выполняются условия ортогональные полиномы Рп(Л), связанные с матрицей Якоби Jwn> имеют следующую асимптотику: оо ряд y^Jhb сходится и (M^L-J е и не имеющая нулей, что для любого

10) где c2z2(l + г2)е2ш

Z> 4(1 - z2)(z2 - e2iw)(l - z2e2i")' а спектральная плотность Jwn равна

P'( A) =

2тг

2 '

Условие ш ф ставится потому, что при его нарушении критические точки совпадают друг с другом или с границами абсолютно непрерывного спектра.

В Главе 3 доказывается формула типа Вейля-Титчмарша для оператора Са, и, как и в Главе 2, для чуть более широкого класса операторов. Допускаются потенциалы вида . , ч csin(2o;x + 5) . . qwN{x) := q[x) + + — + q^x), где 7з G l], а частота и и потенциалы q{x) и q\ (х) удовлетворяют тем же условиям, что и прежде. Пусть ф+(х, А) и чр-(х, А) - решения Блоха для Срег, а (ра(х, А) решение задачи Коши

-<р'а(х, А) + (q(x) + qwN(x))(pa(x, А) = А<ра(х, А), (ра(О, А) = sin а, А) = cos а.

Формула типа Вейля-Титчмарша для Са дается следующей теоремой. Будем вронскиан решений Блоха ф+(х,Х) и -ф{х,Х) обозначать \¥{<ф+(\),ф-{\)}.

Теорема ([29, 7]). Пусть

7rZ и<£ — и q1 е Li(E+). а

Существует такая функция Аа(Х), не имеющая нулей, что для любого

А е о(срсг)\{ди {vjtj > о})

19 решение <ра имеет следующую асимптотику:

А) = Аа(\)ф~(х, А) + Аа(Х)ф^(х, А) + о(1) при х —>■ сю а спектральная плотность оператора Са равна

Как отмечалось выше, формулы типа Всйля-Титчмарша дифференциальных операторов Шредингера на полуоси без фонового периодического потенциала с потенциалами Вигнера-фон Неймана появлялись в работах [6, 12, 8].

Глава 4 посвящена доказательству существования степенных нулей спектральной плотности (псевдолакун) оператора £fV в критических точках, лежащих внутри абсолютно непрерывного спектра. Ситуация здесь напоминает случай нулевого периодического потенциала: аналогами экспонент е±г^х выступают решения Блоха фх(х, А). В каждой зоне есть по две критические точки, в которых, в отличие от остальных точек зоны, обобщенные собственные функции не имеют асимптотиками при х —> +оо линейные комбинации решений Блоха. В каждой критической точке ис асимптотики получают дополнительные степенные множители: и ? Чо.'У)'-2"-"'»

2» I W{0+(it),V''- ("Г)}

X 0 для всех решений, кроме одного (с точностью до умножения на константу), субординационного, асимптотика которого содержит обратный множитель. Для каждой критической точки существует свое критическое значение граничного параметра а, при котором субординационное решение в этой точке удовлетворяет граничному условию. Основной результат, касающийся оператора Са, формулируется следующим образом.

Теорема ([31, 7]). Пусть

Ъ = $ — u qx 6 Li(R+).

2а

Пусть ис G {i/ji+1 t/j j > 0}.

Если решение ipa(x,vc) спектрального уравнения для Са не является субординационным, то существуют пределы где р'а(А) - спектральная плотность оператора Са.

В работе Клауса [26] для нулевого фонового потенциала рассматривается также ситуация а = ас (то есть, когда решение <PotU(x, и2) является субординационным). В этом случае нуля спектральной плотности нет, и тип асимптотики спектральной плотности вблизи критической точки А = ш2 зависит от значения параметра с, а именно, возможны три случая: = В диссертации аналогичные случаи для двух моделей (дифференциальный оператор Шредингера с фоновым периодическим потенциалом и дискретный оператор Шредингера) не рассматриваются.

Следует также заметить, что в работе [20] на потенциал q\ €Е Li(M+) накладываются дополнительные условия убывания на бесконечности. Но главным преимуществом подхода, развитого в диссертации, является возможность применить его к дискретной модели. Нам удается сформулировать модельную задачу и свести весь анализ к ней. Оказывается достаточным изучить дискретную линейную систему вида lim

А—>«/„±0 р'Л А) и у IA-i/сГ 0 vl (,l,v<:)e.2'"'1 dl I ' sin (en) — cos (en) 21 где

W{tl>+(ve),il>-(vc)} о а параметр e пропорционален расстоянию до критической точки |А — v\. Предполагается, что 2x2 матрицы {Пп(£}^=1 определены при е G U0, где Ua - некоторая окрестность нуля, содержащаяся в интервале (—2тт; 2тг). Введем следующее обозначение для равномерно ограниченных последовательностей из I1:

Результат для модельной задачи формулируется следующим образом.

Теорема ([31]). Пусть обратимы npti всех п € N и £ 6 Uq. Пусть /3 > 0. Тогда для любого е € £/о\{0} следующее произведение сходится:

Ше)}™=1 е l\UQ) если и матрицы оо

П '+■

П=1 .

Также существуют следующие три предела: и (для £ ~ 0) lim л г я

TV—>00 NP N п п= 1

1 + Ц 1 0 Wo) V о -1 / являющиеся вырожденными матрицами, ядра которых совпадают.

Значение 0 параметра £ является критическим для системы (12). Действительно, решения системы имеют разный тип асимптотического поведения при е Ф О (эллиптический случай) и при £ — О (гиперболический случай). При е ^ 0 любое решение имеет предел при п —> оо, в то время как при е = 0 система (12) имеет базис решений со следующими асимптотиками при п —> оо: п и

J пР 1 °(1) субординационное решение). Оказывается удобным наблюдать за решениями при е —» ±0 при помощи новой переменной х пе.

Для данного вектора начального значения / 6 С2 введем решение системы (12) vn(e,f), удовлетворяющее условию Vy(£,f) := /. Оказывается, что для каждого / б С2 при любом х > 0 существуют два предела

Hm \efv\^](e,f) =: v±(x,f), е->±о UEU которые удовлетворяют интегральным уравнениям (13) п—>00 jlp Г ( 0 1 ^/?sint

Если решение г>„(0,/) системы (12) является субординационным (что выполняется только для одного направления вектора / G С2), то свободные члены, а следовательно, и решения при всех х уравнений (13) равны нулю. В противном случае можно доказать, что v±(x,f) имеют пределы при х —> +оо (вообще говоря, разные), которые совпадают с двойными пределами lim lim vn(e,f).

Е—» j-0 п—>оо

Существует аналогия между поведением решений vn(e,f) при п —> оо и е —> ±0 с одной стороны и поведением решений ф(х, А) уравнения (5) (о которых говорилось выше) при х —► +оо и Л —► и2 ± 0, с другой.

В Главе 5 доказывается существование степенных нулей спектральной плотности дискретного оператора Шредингера Jwn в критических точках внутри абсолютно непрерывного спектра. Результат формулируется следующим образом.

Теорема ([7]). Пусть

72 - i — и g I1.

Пусть vc G {—2 cos ui, 2 cos ш}.

Если решение {Pn^vc)}™^ спектрального уравнения для Jwn не является субординационным, то существуют пределы нш -Щг-, а-«/г±0 |л^|5г 24 где р'(Л) - спектральная плотность оператора Jwn ■

Выполнение условия о том, что решение спектрального уравнения {-РЦА)}^ не является субординационным, зависит от потенциала {<7n}^i G I1, потому появление собственных значений внутри абсолютно непрерывного спектра так же неустойчиво, как и для дифференциального оператора.

Как и для первой модели, анализ сводится к модельной задаче, причем абсолютно аналогичным образом и даже с некоторыми упрощениями.

Результаты диссертации отражены в семи публикациях [36, 38, 40, 37, 39, 32, 7].

1. В.Б. Буслаев, B.C. Матвеев. Волновые операторы для уравнения Шредингера с медленно убывающим потенциалом. Теоретическая и математическая физика, 2(3):367-376, 1970.

2. М.М. Матвеев, В.Б. Скриганов. Задача рассеяния для радиального уравнения Шредингера с медленно убывающим потенциалом. Теоретическая и математическая физика, 10(2) :238-248, 1972.

3. Б. Рид, М. Саймон. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. Мир, Москва, 1982.

4. С.Н. Набоко, Я. Янас. Критерии полуограниченности в одном классе неограниченных операторов Якоби. Алгебра и анализ, 14(3):158-167, 2002.

5. Н.И. Ахиезер. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. Гос. изд-во физико-математической лит-ры, Москва, 1961.

6. В.Б. Матвеев. Волновые операторы и положительные собственные значения для уравнения Шредингера с осциллирующим потенциалом. Теоретическая и математическая физика, 15(3):353-366, 1973.

7. С.А. Симонов. Формулы типа Вейля-Титчмарша для операторов Шредингера с потенциалами Вигнера-фон Неймана и асимптотика спектральной плотности вблизи критической точки. Спектральные и эволюционные задачи, 20:207 211, 2010.

8. Н. Behncke. Absolute continuity of hamiltonians with von Neumann Wigner Potentials 1. Proceedings of the American Mathematical Society, 111:373-384, 1991.

9. H. Behncke. Absolute continuity of hamiltonians with von Neumann Wigner potentials II. Manuscripta Mathematica, 71(1):163 181, 1991.

10. H. Behncke. The m-function for Hamiltonians with Wigner-von Neumann potentials. Journal of Mathematical Physics, 35(4): 1445-1462, 1994.

11. Z. Benzaid and D.A. Lutz. Asymptotic representation of solutions of perturbed systems of linear difference equations. Studies in applied mathematics (CambridgeJ, 77(3):195-221, 1987.

12. B.M. Brown, M.S.P. Eastham, and D.K.R. McCormack. Absolute continuity and spectral concentration for slowly decaying potentials. Journal of Computational and Applied Mathematics, 94:181-197, 1998. arXiv:math/9805025vl.

13. E.A. Coddington and N. Levinson. Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill, New York, 1955.

14. D. Damanik and S. Naboko. Unbounded Jacobi matrices at critical coupling. Journal of Approximation Theory, 145(2) :221-236, 2007.

15. D. Damanik and B. Simon. Jost functions and Jost, solutions for Jacobi matrices, I. A necessary and sufficient condition for Szego asymptotics. Inventiones Mathematicae, 165(1):1 50, 2006. arXiv:math/0502486vl.

16. M.S.p. Eastham. The asymptotic solution of linear differential systems, applications of the Levinson theorem. Clarendon Press, Oxford.

17. M.S.P. Eastham. The spectral theory of periodic differential equations. Edinburgh, 1973.

18. D.J. Gilbert and D.B. Pearson. On subordinacy and analysis of the spectrum of one-dimensional Schrodinger operators. Journal of mathematical analysis and applications, 128(l):30-56, 1987.

19. W.A. Harris and D.A. Lutz. Asymptotic integration of adiabatic oscillators. J. Math. Anal. AppL, 51:76-93, 1975.

20. D.B. Hinton, M. Klaus, and J.K. Shaw. Embedded half-bound states for potentials of Wigner-von Neumann type. Proceedings of the London Mathematical Society, 3(3):607-646, 1991.

21. J. Janas and M. Moszyriski. Spectral properties of Jacobi matrices by asymptotic analysis. Journal of Approximation Theory, 120(2) :309 336, 2003.

22. J. Janas and S. Naboko. Multithreshold spectral phase transitions for a class of Jacobi matrices. Operator Theory Advances and Applications, 124.

23. J. Janas and S. Simonov. Weyl-Titchmarsh typo formula for discrete Schrodinger operator with Wigner-von Neumann potential. Submitted to Studia Mathematica. arXiv:1003.3319, mparc 10-47.

24. S. Khan and D.B. Pearson. Subordinacy and spectral theory for infinite matrices. Helvetica Physica Acta, 65(4):505- 527, 1992.

25. M. Klaus. Asymptotic behavior of Jost functions near resonance points for Wigner-von Neumann type potentials. Journal of Mathematical Physics, 32:163-174, 1991.

26. K. Kodaira. The eigenvalue problem for ordinary differential equations of the sccond order and Heisenberg's theory of ^-matrices. American Journal of Mathematics, 71 (4):921-945, 1949.

27. P. Kurasov and S. Naboko. Wigner-von Neumann perturbations of a periodic potential: spectral singularities in bands. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 142(01):161-183, 2007.

28. P. Kurasov and S. Simonov. Weyl-Titchmarsh type formula for periodic Schrodinger operator with Wigner-von Neumann potential. Preprints in Mathematical Sciences, Lund University, 6:1-26, 2010.

29. S. Naboko, I. Pchelintseva, and L.O. Silva. Discrete spectrum in a critical coupling case of Jacobi matrices with spectral phase transitions by uniform asymptotic analysis. Journal of Approximation Theory, 161(1) :314—336, 2009.

30. S. Naboko and S. Simonov. Zeros of the spectral density of the periodic Schrodinger operator with Wigner-von Neumann potential. In preparation.

31. S. Naboko and S. Simonov. Spectral analysis of a class of hermitian Jacobi matrices in a critical (double root) hyperbolic case. Proceedings of, the Edinburgh Mathematical Society (Series 2), 53(1) :239 251, 2010. arXiv:1003.3197, mparc 08-45.

32. I. Pchelintseva. A first-order spectral phase transition in a class of periodically modulated Hermitian Jacobi matrices. Opuscula Mathematica, 28(2):137-150, 2007.

33. L.O. Silva. Uniform Levinson type theorems for discrete linear systems. Operator Theory Advances and Applications, 154:203-218, 2004.

34. L.O. Silva. Uniform and smooth Benzaid-Lutz type theorems and applications to Jacobi matrices. Operator Theory Advances and Applications, 174:173-186, 2007.

35. S. Simonov. Singularities of the spectral density for Schroedinger operator with Wigner-von Neumann potential. Book of abstracts of the conference "Operator Theory, Analysis and Mathematical Physics, OTAMP-2006Bendlewo, 2006.

36. S. Simonov. An example of spectral phase transition phenomenon in a class of Jacobi matrices with periodically modulated weights. Operator Theory Advances and Applications, 174:187-204, 2007. arXiv: 1003.3597, mparc 0988.

37. S. Simonov. Weyl-Titchinarsh type formula for discrete Schroedinger operator with Wigner-von Neumann potential. Book of abstracts of the conference dedicated to the memory of M.Sh. Birman, St. Petersburg, 2009.

38. S. Simonov. Weyl-Titchmarsh type formula for Hermite operator with small perturbation. Opuscula Mathematica, 29(2): 187-207, 2009. arXiv:1003.3596, mparc 09-89.

39. S. Simonov. Zeros of the spectral density of the periodic Schroedinger operator with Wigner-von Neumann potential. Book of abstracts of the conference "Spectral problems and related topics Moscow, 2009.

40. E.C. Titchmarsh. Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations. Part I. Clarendon Press, Oxford, 1946.42. .1. von Neumann and E.P. Wigner. Uber merkwiirdige diskret.e Eigenwerte. Z. Phys, 30:465-467, 1929.

41. D.R. Yafaev. The low energy scattering for slowly decreasing potentials. Communications in Mathematical Physics, 85(2):177 196, 1982.