Точная асимптотика функций расптеделения собственных значений оператора Максвелла для полого резонатора и задач дифракции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Стр.

Введение .2

Глава I. НОШАЛЬНАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ.10

§ I. Обозначения, вспомогательные результаты .10

§ 2. Леммы о распространении особенностей .18

§ 3. Леммы о нормальной сингулярности.29

Глава П. АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ОПЕРАТОРА МАКСВЕЛЛА.40

§ 4. Сведение к эллиптической системе .40

§ 5. Разложение волновой функции.47

Глава Ш. АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ЗАДА1! ДИФРАКЦИИ.60

§ 6. Геодезический биллиард .60

§ 7. Разложение волновой функции в окрестности нуля . . 73

§ 8. Многообразия с периодическими геодезическим . 90

§ 9. Примеры.96

Вычисление асимптотики функции распределения собственных значений (или, более общо, спектральной функции) самосопряженного дифференциального оператора является одной из классических задач математической физики. В последние годы основные исследования по этой проблематике связаны с получением точных оценок остатка в асимптотических формулах и с изучением задач, в которых возможно выделение "регулярного" второго члена асимптотики. Основные успехи на этом пути достигнуты на основе предложенного Б.М.Левитаном в [13, 14] метода гиперболического уравнения. Развитие этого метода позволило Хермандеру в [21] получить неулучшаемую оценку остатка в асимптотической формуле для спектральной функции эллиптического оператора на многообразии без края; Дейстермаат и Тийемин в [24] при определенных предположениях геометрического характера наши для этой задачи второй член асимптотики функции распределения собственных значений.

Дальнейшее развитие метод гиперболического уравнения получил в работах Сили [28, 29] и В.Я.Иврия [8, 9]. Предложенная в них техника позволила перенести многие результаты [21, 24] на многообразия с краем. Наиболее сильные результаты принадлежат В.Я.Ив-рию. Им была получена точная оценка остатка в асимптотической формуле для функции распределения собственных значений эллиптической краевой задачи для оператора второго порядка, а также исследован вопрос о существовании второго члена асимптотики. Второй член был построен в случае, когда мера множества периодических точек геодезического биллиарда равна нулю (будем называть такие задачи непериодическими). В [10] были анонсированы аналогичные результаты для операторов второго порядка, действующих в подпространствах сечений векторных расслоений, выделяемых проекторами изалгебры Буте де Монвеля.

Техника, предложенная В.Я.Иврием, основана на исследовании особенностей волновой функции <5 (t) - следа фундаментального решения гиперболического уравнения при соответствующем граничном условии. При этом важную роль играет доказательство нормальности особенности (э при t=0 т.е. того, что (0i t& имеют одинаковую гладкость в окрестности t - О для всех in е [ЧГ. Переход к асимптотике функции распределения собственных значенийAf (л) осуществляется при помощи модификации тауберовой теоремы Хермандера (см. [21]).

Упомянем также о сравнительно недавних работах В.Я.Иврия [II] и Д.Г.Васильева [з]. В первой из них асимптотические формулы, сходные с полученными в [8], были доказаны для сужения спектральной функции оператора второго порядка на диагональ, во второй результаты [8, 9] перенесены на случай операторов высокого порядка. • При этом Д.Г. Васильев использовал метод, отличный от метода В.Я. Иврия. Второй член был построен им при условии не абсолютной периодичности задачи, аналогичном условию существования второго члена из работы [24]. Формально это условие менее ограничительно, нежели условие периодичности, однако, автору неизвестны примеры периодических задач, которые не являлись бы абсолютно периодическими.

В диссертации исследуется асимптотика функций распределения собственных значений двух краевых задач: задачи дифракции и задачи для оператора Максвелла в случае полого резонатора. В обоих случаях доказаны асимптотические формулы, аналогичные полученным в [8]. Для задачи дифракции,помимо того, удалось построить второй член асимптотики при условиях, не исключающих существования богатого множества периодических траекторий геодезического биллиарда.

В этом случае он записывается в виде произведения непрерывной почти периодической функции на степенную, что указывает на неравномерность распределения собственных значений на вещественной оси. Этот результат близок к полученным Дейстермаатом и Гийемином для многообразия без края (см. [24]).

В диссертации используется техника, представляющая собой дальнейшее развитие метода В.Я.Иврия. Первая глава посвящена техническим вопросам. В § I доказывается нужная нам модификация тауберо-вой теоремы Хермандера (она представляет собой некоторое обобщение теоремы, использованной В.Я.Иврием), а также приведен ряд лемм, необходимых в дальнейшем. В § 2, 3 рассматриваются краевые задачи для псевдодифференциальных систем первого порядка. Системы такого вида исследовались В.Я.Иврием в [5-7] результаты § 2,3 получены при помощи разработанных им методов. В частности, в § 2 доказана лемма о распространении особенностей (лемма 2.4), сходная с соответствующим результатом [б] (по-видимому, эта лемма неявно использовалась ив [в]). На наш взгляд, при изучении гиперболических задач с выделенной временной переменной лемма 2.4 может оказаться удобнее результатов [б] и поэтому представляет самостоятельный интерес. Впрочем, ее доказательство практически полностью повторяет рассуждения [б]. В § 3 исследуется вопрос о нормальной сингулярности следа фундаментального решения системы первого порядка.

Результаты § 2, 3 можно использовать и для доказательства нормальности особенности волновой функции оператора высокого порядка в случае, когда его можно свести к такой системе (это, в частности, верно для задачи дифракции). Между тем, такой подход имеет ряд преимуществ. Во-первых, он позволяет воспользоваться уже готовыми результатами [б] и [l5] ; во-вторых, при этом выделяются естественные ограничения на систему и граничный оператор при которых выполнено свойство нормальности особенности волновой функции. Отметим, что аналогичные ограничения налагались на краевую задачу в [б, 7] при исследовании распространения особенностей.

А» в М +ми s\hV'Xurs-b-'dlu- на L], (0.6')1С j J уПод оператором Лапласа-Бельтрами всюду понимается неотрицательный оператор (-Д).

Оператор А * в ru совпадает с оператором Лапласа-Бельтрагде - оператор дифференцирования по внутренней нормали к

1. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л., Изд-во ЛГУ, 1980, 264 с.

2. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа. Тр. Мат. ин-та АН СССР, I960, т.59, с.5-36.

3. Васильев Д.Г. Двучленная асимптотика спектра краевой задачи. -Функц. анализ и его приложения, 1983, 17, № 4, с.79-81.

4. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., Физматгиз, 1958, 439 с.

5. Иврий В.Я. Волновые фронты решений симметрических псевдодифференциальных систем. Сиб. матем. журн., 1979, т.20, JS 3,с.557-578.

6. Иврий В.Я. Волновые фронты решений краевых задач для симметрических гиперболических систем. I. Сиб. матем. журн., 1979, т.20, J6 4, с.741-751.

7. Иврий В.Я. Волновые фронты решений краевых задач для симметрических гиперболических систем. П. Сиб. матем. журн., 1979, т.20, № 5, с.1022-1038.

8. Иврий В.Я. 0 втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии с краем. Функц. анализи его прил., 1980, т.14, № 2, с.25-34.

9. Иврий В.Я. 0 точных спектральных асимптотиках для оператора Лапласа-Бельтрами при общих эллиптических краевых условиях. -Функц. анализ и его прил., 1981, т.15, IS I, с.74-75.

10. Иврий В.Я. Асимптотика собственных значений для некоторых эллиптических операторов, действующих в расслоениях над многообразием с краем. Докл. АН СССР, 1981, т.258, № I, с.1045-1047.

11. Иврий В.Я. Об асимптотиках одной спектральной задачи, связанной с оператором Лапласа-Бельтрами на многообразии с краем. -Функц. анализ и его прил., 1983, т.17, № I, с.71-72.

12. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М., "Наука", 1980.

13. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка. -Изв. АН СССР, сер. матем., 1952, № 16, с.325-352.

14. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции и о разложении по собственным функциям самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка, П. Изв. АН СССР, сер. матем., 1955, JS 19, с.33-58.

15. Сафаров Ю.Г. Об асимптотике спектра оператора Максвелла. -Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1983, т.127, с.169-179.

16. Сафаров Ю.Г. Асимптотика спектра задач дифракции. Зап.научн. семин.ЛОМИ, 1984, т.138, с.137-145.

17. Сафаров Ю.Г. Об асимптотике собственных значений задач дифракции. Препринт ЛОМИ Р-4-84, Л., 1984.

18. Федорюк М.В. Особенности ядер интегральных операторов Фурьеи асимптотика решения смешанной задачи. Успехи матем. наук, 1977, т.32, № 6, с.67-115.

19. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М., "Мир", 1965, 379 с.!

20. Хермандер Л. Псевдодифференциальные операторы и неэллиптические краевые задачи. В сб. "Псевдодифференциальные операторы", М., "Мир", 1967, с.166-296.

21. Хермандер Л. Спектральная функция эллиптического оператора. -В сб. "Математика", 1969, т.13, № 6, с.114-137.

22. Щубин M.A. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М., "Наука", 1978, 280 с.

23. Boutet de Monvel L. Boundary problems for pseudo-differential operators. Acta Math., 1971, v.126, 1-2, p.11-51.

24. Duistermaat J.J., Guillemin V.V/. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics. Invent. Hath., 1975, v.29, N 1, p.39-79.

25. Hormander L. Fourier integral operators, I. Acta Math., 1971, v.127, 1-2, p.79-183.

26. Duistermaat J.J., Hormander L. Fourier integral operators, II. Acta Math., 1972, v.128, 3-4, p.183-269.

27. ICubota K. Remarks on boundary value problems for hyperbolic equations. Hokkaido Math.J., 1973, v.2, N 2, p.202-213.

28. Seeley R. A sharp asymptotic remainder estimate for the eigenvalues of the Laplacian in a domain of R. . Adv.Math., 1978, v.29, N 2, p.244-269.

29. Seeley R. An estimate near the boundary for the spectral function of the Laplace operator. Amer. J. of Math., 1980, v. 102, N 5, p.869-902.

30. Taylor M.E. Grazing rays and reflection of singularities of solutions to wave equations. I. Comm. Pure Appl. Math., 1976, v.29, N 1, p.1-38.

31. Taylor M.E. Grazing rays and reflection of singularities of solutions to wave equations. II. Comm. Pure Appl. Math., 1976, v.29, N 5, p.463-482.

32. Taylor M.E. Propagation, reflection and diffraction of singularities of solutions to wave equations. Bull. Amer. Math. Soc., 1978, v.84, N 4, p.589-611.

33. V/eyl H. Uber das Spektrum der Hohlraumstrahlung. J. fiir die reine und angewandte Mathematik, 1912, Bd.141, s.163-181.