Оператор Максвелла в областях с негладкими границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

Краткое содержание по

главам

Список обозначений

Глава I. Предварительные сведения.

1. Классы матричнозначных функций

2. Основные функциональные пространства

3. Оператор Максвелла

Глава II. Электрическая составляющая поля.

1. Векторный анализ

2. Теоремы разложения и их следствия

3. Области типа цилиндра

Глава III. Магнитное поле в липшицевых областях.

1. Эквивалентность "магнитного разложения" и существования К {¡л)

2. Построение оператора конормального продолжения

3. Свойство разделения

4. Контрпример

Глава IV. Магнитное поле в областях с экранами.

1. Разложение без граничных условий

2. Оператор конормального продолжения

3. Точки типа (6)

Глава V. Самосопряженный оператор rot.

1. Самосопряженная реализация оператора rot

2. Асимптотика спектра

3. Интегральное представление оператора S

4. Спектр оператора Т

5. Полуаддитивность снизу функций iV±(A,ii)

6. Случай куба. Оценка N(А, Ü) сверху

7. Случай куба. Оценка N(X, О) снизу

8. Спектр оператора Rj(il)

1. В работе изучается оператор Максвелла, описывающий собственные электромагнитные колебания идеального резонатора. Предполагается, что резонатор заполнен слоистой анизотропной средой. Разрывный характер параметров среды затрудняет прямое теоретико-функциональное описание области определения соответствующего оператора. Такое описание, однако, существенно как в теоретическом, так и в прикладном отношении. В работах [БС1-6] предложена общая схема корректного определения оператора Максвелла. Эта схема основана на соображениях геометрии гильбертова пространства и не требует предположений о гладкости границы резонатора или параметров среды.

В той же серии работ исследовались главные особенности решений вблизи негладких точек границы. Применялся непрямой метод: в ряде случаев описание особенностей сводилось к подобному же вопросу для энергетических решений скалярных эллиптических уравнений второго порядка. При этом ставятся граничные условия Дирихле при описании электрической составляющей поля и Неймана - для магнитной. Такая редукция интересна сама по себе. Кроме того, важно, что особенности скалярных задач изучены довольно подробно. Это позволяет перенести соответствующие результаты на задачи об электромагнитных колебаниях.

Для электрических полей были получены полные результаты в резонаторах с липшицевой границей и резонаторах с экранами. Соответствующие теоремы для магнитных полей были обоснованы только для "областей с ребрами и вершинами". Одной из главных целей Настоящей диссертации является завершение исследований по этой схеме. Мы покажем, что в случае областей с экранами аналогичные результаты для магнитных полей имеют место, а в случае липшицевых областей - нет (будет предъявлена область, где главные особенности магнитных полей не сводятся к градиентам решений задачи Неймана).

Обсуждается также самосопряженная реализация оператора rot. В работах [Р2-4] предложено одно из возможных определений и проверена самосопряженность соответствующего оператора для некоторых классов областей. Мы уточним это определение и докажем, что получающийся оператор самосопряжен для любой области конечного объема. Более подробное изложение результатов удобнее перенести в конец введения.

2. Пусть ft - область в R3, и, v - электрическое и магнитное поля; положительные матрицы-функции е, р задают диэлектрическую и магнитную проницаемости. Система уравнений Максвелла в области ft при отсутствии зарядов и токов выглядит следующим образом: dfU = rot V, fl д-tV = — rot и (0-1) при условиях соленоидальности div(eu) = 0, div(juv) = 0. (0.2)

Мы будем рассматривать условия на границе 50, соответствующие идеальной проводимости:

1ги = 0, 7„(/ю) = 0, (0.3) где тг/ (соотв. *yvf) - касательная (соотв. нормальная) составляющая вектора / на д£1. В случае ограниченной области О система (0.1) - (0.3) описывает электромагнитные колебания резонатора. В случае неограниченной О - рассеяние электромагнитных волн на проводящем препятствии.

Поля и, v естественно считать элементами пространства С3), точнее,

Z>2 с весом, определяемым матрицами е, ¡л. Требование гц v £ £2(0,С3) соответствует конечности энергии электромагнитного поля ^((еи,и) + (fiv,v))dx, где (.,.)- скалярное произведение в С3.

Сейчас мы для простоты будем считать, что компоненты матричнозначных функций £, ц удовлетворяют условию Липшица в ft, а сами матрицы положительно определены в каждой точке. В ряде теорем достаточно делать более слабые предположения; позднее будут даны точные формулировки.

3. Уравнения (ОД) можно записать в виде dt i — = Ш1/, где

Ж = , 1 ~ —, (() ifi~1 rot 0 / v '

Действие выражения rot на и описывается посредством минимального, а на v - максимального оператора, порожденного дифференциальной операцией rot. При этом оператор (0.4) автоматически оказывается самосопряжен в весовом 2/2) и первое условие (0.3) выполнено. Далее вводятся разложения Вей-ля пространства L2(fl, С3) на градиентное и соленоидальное подпространства. Соленоидальные подпространства зависят от е, /л и определяются как ортогональное дополнение к соответствующим градиентным. Сужение оператора

0.4) на прямую сумму соленоидальных подпространств приводит к тому, что функции из его области определения удовлетворяют уравнениям (0.2) и граничному условию 7j, (¡j-v) — 0, понимаемым в обобщенном смысле. Отметим, что в этих "геометрических" построениях содержательные аналитические факты не используются.

Оператором Максвелла будем называть оператор Ш1, действующий в прямой сумме соленоидальных подпространств. Оператор Максвелла является основным объектом нашего исследования.

Отметим, что если область О ограничена, граница дй и матрицы е, ¡i -гладкие, то оператор Максвелла определяется в сильном смысле (на полях из пространства Соболева Н1) и оказывается самосопряженным (см., например^ [БхСм]). Напомним, что пространство Соболева На состоит из квадратично суммируемых функций, обобщенные производные до порядка s которых также квадратично суммируемы. Для областей с входящими ребрами "сильный" оператор Максвелла Ш1в симметричен, но не самосопряжен даже при е — fi — 3L Корректное определение оператора ЯН для произвольных областей было дано в работах [БС1, 2, 4] только в 1987 г. Близкая схема предложена в [Р1], но не для произвольных областей.

4. Рассмотрим пространства

F(0,e,r) = {« € L2(Ü,C3) : rottt е L2,<iiv(eu) e L2,jtu = 0}, F(Ü,fi,u) = {v € L2(Ü,€3) • *otv € L2,áiv(nv) e L2,lv{pv) = 0}, где условия jTu = 0, 7p(f¿v) = 0 определяются через интегрирование по частям (см. определение 2.9 главы I). Это полные гильбертовы пространства относительно естественной нормы

Hlf. = ||rot«||2 + II div(st¿)}¡2 + (ítt,n), где s = e или ц. Следующий возникающий вопрос - аналитическое описание полей из пространств F. В случае гладких областей эти классы погружаются в Н1. В несколько более общей ситуации работает схема, предложенная в работах М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка, согласно которой особенности полей из F описываются через градиенты решений скалярных эллиптических задач.

Введем обозначения

Е{П,е,т) = Нг{П,С),&у(еЩ) € £*},

E{Otfitu) = {V^ : ф е е L2= поясним, что для элементов Е(т) требование 7rV^> = 0 выполняется автоматически). Разумеется, Е(П,е,т) С F(Q,e,r), J3(0,/f,и) С F(Ü,/m,u). Оказывается (см. [БС1-4]), при некоторых ограничениях на д(1, ew.fi имеют место формулы

F(0, е, г) = Я1 (О, €3) + Е{П, е, г), (0.5)

F(n,fi,u) = + (0.6) где Я1 (О, fi,u) = {« 6 Я1 (ft, С3) : = 0}. Таким образом, поля из пространств F представимы в виде суммы "гладкого" слагаемого (из Я1) и градиента слабого решения задачи Дирихле или Неймана для скалярного уравнения

- div(^V^) = /.

Особенности слабых решений задач Дирихле и Неймана вблизи, например, ребер, конических точек и т.п., хорошо изучены (см. [КО], [МП], а также [D]), тем самым, мы получаем описание главных особенностей полей из F.

5. Предполагая, что формулы (0.5), (0.6) выполнены, сформулируем некоторые их следствия. Пусть Я1(А,т) = {и € Я1 (О,С3) : 7ти — 0}. а) Вопрос об априорной оценке, т.е. о неравенстве

Н1я* < с(II rot Ii|| + lldiv(itt)ll), Vu€Hx(t) (соотв. Vи€Нг{р,и)) сводится к вопросу об априорной оценке в норме класса Я2 для задачи Дирихле (соотв. задачи Неймана). б) Вложение соответствующего пространства F в L2 компактно. в) Спектр оператора Ш дискретен. г) Удается вычислить главный член асимптотики собственных чисел оператора Ш при s = — 1 (см. [БС6]).

Отметим, что для утверждений в) и г) достаточно одного из разложений (0.5) или (0.6).

6. Теперь опишем ситуации, в которых формулы (0.5), (0.6) действительно удается установить. Начнем с "электрического" случая (т.е. пространств F(e,r)).

Будем рассматривать два класса областей - ограниченные области с липши-цевой границей (класс Л) и "области с экранами" (класс <5; точное определение см. в главе IV). Разложение электрических полей для областей из Л и € было получено в [БС1] и [БС5] соответственно. Общая схема вывода такова. В обоих случаях устанавливается, что уравнение rot v = / имеет решение в классе о

Я1 (О) при любой соленоидальной правой части / € L2, такой что 7vf — 0.

При этом можно выбрать разрешающий оператор S(t) : / и- v так, что он окажется линеен и непрерывен. Отсюда вытекает следующее разложение области определения Dmin минимального оператора rot:

Anin(O) = Я^С?) + УЯ^П.С). (0.7)

Действительно, достаточно заметить, что для любого и £ Dm-т выполнено о v 5(г)rot« е Я1 (О) и rot(« — г;) = 0. Из (0.7), в свою очередь, тривиально вытекает (0.5). Таким образом, разложение (0.5) выполнено для обоих классов областей (Л и (S).

Сделаем два замечания. 1) Известно (см. [МШ] и [Ш]), что для областей с границей класса С3/2+€ слабые решения задач Дирихле и Неймана принадлежат классу Я2, И следовательно, пространства E(Clyr), jE?(ft,i/), F(Q,r) и F((l, и) содержатся в Я1 (О). В этой ситуации оператор Максвелла ЭДТ совпадает с "сильным" оператором (изначально определенным на полях из Я1). Если же область ft принадлежит классу Л, но не принадлежит С3/2+е, то разложение (0.5) является содержательным, т.к. пространство E(il,e,r) уже не обязательно вложено в Я1.

2) Остается открытым вопрос о возможности "электрического разложения" (0.5) для других классов областей. В этом направлении нами доказан один частный результат. Пусть ft - неограниченная лшпшщева область типа цилиндра (см. §3 главы II). Тогда формулы (0.5), (0.7) имеют место и выполняется неравенство

HI < С(|| rot«II + HdivMII), V« 6 JP(iW).

Отсюда вытекает, что для таких областей спектр оператора Ш1 отделен от нуля.

7. Перейдем к "магнитному " случаю. В [БСЗ] было обосновано разложение (0.6) для областей типа полиэдра ("области с ребрами и вершинами"). Оставалось неясно, верно ли (0.6) для всех липшицевых областей, и какова ситуация для областей с экранами. В настоящей диссертации даются ответы на оба эти вопроса.

Мы используем идею из [ВС1], согласно которой дело сводится к построению линейного непрерывного оператора

К(р) : Я1 (О,С3) Я2(О,С), (0.8) обладающего свойством lv{fiV{K{fi)v) - v) =0, toe Я1 (ft) нахождение функции по значению ее конормальной производной).

Ответ для класса А в целом отрицательный. Более того, удается построить пример области с границей класса С3/2, где оператор (0.8) не существует и (0.6) нарушается. Существенную роль здесь играет следующая "лемма о разделении": существует / € Сг/2(0,27т), такая что имеет место импликация a,be #1/2(0,2тг), af = b а = b = 0. (0.9)

С другой стороны, как уже упоминалось выше, если дО, £ С3/2+€, то i1^, f) С ¿Г1 (/Li, i/). Таким образом, гельдеровская шкала не улавливает "щель", где разложение (0.6) содержательно. Требуется более подробная шкала условий на границу области 8Q. Эти условия выражаются в "мультипликаторных" терминах (см. главу III).

Ответ для класса (£ положителен. Доказательство существования оператора K(fi) основано на идеях [БСЗ], но кроме них содержит большую техническую часть, связанную с описанием следов функций из соболевских классов в окрестности точек на экране, на краю экрана, на стыке экрана с внешней границей области и т.п.

8. Наконец, отдельного рассмотрения заслуживает вопрос о самосопряженной реализации оператора rot. Оператор Ш в формуле (0.4) оказывается самосопряжен из-за, блочной структуры матрицы; ни один из входящих в нее операторов rot не является самосопряженным, но они сопряжены друг другу.

Вместе с тем, минимальный оператор rot симметричен и имеет бесконечно много самосопряженных расширений. В работах Р. Пикара [Р2, 3] выделено одно из таких расширений, мы обозначим его через R. Сужение Rj этого оператора на некоторое соленоидальное подпространство J (замыкание множества роторов гладких финитных функций в Ьг) соответствует следующей задаче на спектр rot и — Хи < div и = 0 . 7„и - 0.

Эта задача естественным образом возникает в физике плазмы. В [Р2, 3] показано, что при определенных условиях на ограниченную область О оператор R самосопряжен и спектр его дискретен.

Мы покажем, что оператор R самосопряжен для любой области О, мера Лебега которой конечна, |ii| < оо. Идея доказательства заключается в том, что обратный оператор Rj1 допускает представление PjTPj, где Pj - орто-проектор на J, а Т - явно описываемый интегральный оператор. Из этого представления следует самосопряженность и компактность Rj1.

8 введение

Далее возникает вопрос об асимптотике при больших Л функции распределения Л^А, О) собственных чисел оператора Д. Обычными вариационными методами (см., например, [КГ]) можно получить оценку снизу для главного члена асимптотики ЛГ^А, О). Для интегрального оператора Т, входящего в представление для К^1, асимптотическое поведение собственных чисел известно. При помощи него удается установить асимптотическую оценку сверху и, тем самым, доказать формулу НтЛ~3Лг±(Л, П) = (б7г2)-1 для произвольной области О конечной меры. При дополнительных условиях на границу <Ш получается асимптотическая формула с оценкой остатка лг*=(а, о) = Мл* + 0(Л2 ь Л)? л ^ ^

Краткое содержание по главам