Нестационарная система Максвелла в областях с ребрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

Матюкевич Сергей Иванович

Нестационарная система Максвелла в областях с ребрами

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

д. ф.-м. н., профессор Пламеневский Борис Алексеевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

д. ф.-м. н., профессор Бабич Василий Михайлович к. ф.-м. п., доцент Назаров Александр Ильич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт проблем машиноведения РАН

Зашита диссертации состоится _ 2005 г. в

часов в ауд. РФ А на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан ^М^АрУ., 2005 г.

Отзывы на автореферат присылать по адресу:

198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Ульяновская ул. 1, НИИФ СПбГУ, диссертационный совет Д 212.232.24, Е. С. Семеновой.

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор /А. К. Щекин/

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Изучение свойств решений краевых задач для уравнений в частных производных в областях с негладкой границей является важным вопросом, имеющим многочисленные приложения. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей изучены достаточно подробно в работах В. А. Кондратьева, В. Г. Мазьи, Б. А. Пламеневского и других авторов. Решения эллиптических задач теряют гладкость в особых точках границы. Асимптотика решений вблизи особой точки границы представляется линейной комбинацией специальных решений однородной модельной задачи При этом используются понятия, связанные со спектром операторных пучков (полиномов с операторными коэффициентами); асимптотические формулы для решений содержат собственные числа, собственные и присоединенные функции пучков. Эти спектральные характеристики определяются коэффициентами дифференциальных операторов и границей в окрестности особой точки. Коэффициенты в асимптотике вычисляются при помощи специальных сингулярных решений однородной сопряженной задачи и данных исходной задачи. Подчеркнем, что вид асимптотики определяется свойствами оператора задачи вблизи рассматриваемой особой точки, а коэффициенты в асимптотике зависят от данных задачи в целом. Результаты, полученные для эллиптических операторов, позволяют исследовать некоторые другие задачи. В качестве примера укажем задачу о гармонических колебаниях электромагнитных волн в резонаторе с идеально проводящей границей, содержащей ребра и конические точки Изучение главных особенностей электрической и магнитной компонент поля вблизи ребер и конических точек сводится к скалярным эллиптическим задачам второго порядка (см. [1]). Гиперболические задачи в негладких областях исследованы значительно меньше эллиптических Здесь имеется широкий круг открытых вопросов. Укажем некоторые работы, в которых изучается поведение решений вблизи особенностей границы. В работе Г. Ю. Эскина [2] была получена явная формула для решения волнового уравнения в клине с ребром коразмерности 2. На гранях клина задавались однородные дифференциальные операторы любого порядка с постоянными коэффициентами, подчиненные равномерному условию Лопатинского Используемый метод (редукция к задаче Римана-Гильберта) не обобщается на клин с ребром коразмерности большей, чем 2 Задачу Коши-Дирихле

для волнового уравнения в областях с коническими точками исследовали В А. Кондратьев и О. А. Олейник в работе [3]. Предложенный ими метод состоит в следующем. Сначала оцениваются производные решений по времени Затем, все слагаемые исходного уравнения, содержащие производные по времени, переносятся в правую часть. Полученная задача рассматривается как эллиптическая и для неё используется известный способ построения асимптотики. Однако, указанный метод к формулам для коэффициентов в асимптотике не приводит. Б. А. Пламеневский в работе [4], а затем Б. А. Пламеневский и А Ю. Кокотов в работах [5, 6] исследовали различные начально-краевые задачи для волнового уравнения и некоторого класса сильно гиперболических систем в областях с ребрами и коническими точками. Подход, развиваемый в работах этих авторов, позволяет изучить разрешимость таких задач в специальных весовых пространствах, получить и обосновать асимптотические представления для решений вблизи особенностей границы, вывести формулы для коэффициентов в асимптотике. Этот подход основан на некоторых априорных оценках решений. Выясняется, что асимптотика является линейной комбинацией специальных решений однородной модельной задачи для пространственной (эллиптической) части изучаемой системы. Гиперболический характер асимптотики проявляется в коэффициентах, зависящих от времени Коэффициенты выражаются с помощью явных формул через данные задачи и некоторые сингулярные решения исходной гиперболической задачи. В серии работ, основанных на применении этого подхода, его авторы изучили, в частности, волновое уравнение и систему Ламэ динамической теории упругости с различными краевыми условиями. В настоящей работе указанный подход применяется для исследования нестационарной системы Максвелла.

Цель работы. Целью диссертации является изучение нестационарной системы Максвелла с различными краевыми условиями в областях с кусочно гладкой границей Обсуждаются следующие вопросы.

1) Разрешимость задачи в подходящих функциональных пространствах.

2) Асимптотика решений вблизи особенностей границы

3) Формулы для коэффициентов в асимптотике.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту.

1) Изучены вопросы, связанные с разрешимостью в шкале весовых пространен нестационарной системы Максвелла с различными краевыми условиями в некотором классе областей с ребрами и коническими точками.

2) Выведены и обоснованы асимптотические представления решений вблизи ребер и конических точек.

3) Получены формулы для коэффициентов в асимптотике и исследованы свойства этих коэффициентов

Теоретическая и практическая ценность. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в многочисленных задачах электродинамики в областях с негладкой границей. Оценки, полученные в случае неоднородных краевых условий, являются новыми и для областей с гладкой границей. Результаты диссертации создают хорошую основу для исследования задач электроупругости

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

- семинаре кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ (2004)

- семинаре факультета математических и информационных технологий Университета г. Ювяскюля (Финляндия, 2002)

- конференции ECCOMAS 2004 (4th European congress on computational methods in applied sciences and engineering, Jyvaskyla, Finland). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [Ml] - [М3].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации - 149 страниц. Список литературы содержит 29 наименований. Благодарность. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Б. А. Пламеневскому за постановку задачи и многочисленные консультации по данной тематике.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Здесь приводятся постановка задачи, обзор имеющихся результатов по теме работы, описание основных приемов исследования и точные формулировки основных результатов работы.

Изучается нестационарная система Максвелла

Г dE/dt - rot В = - J, divE = p, \ dB/dt + rot Ё = -G, divB = ß в областях с ребрами и коническими точками. Рассматриваются краевые условия двух типов:

[Е х v\ - [I х v\, (В-Р) ~Ф и V х [В х v\ + -ф[и х Ё] = [Ф х v\,

где и - единичная внешняя нормаль к границе области, 1р - импеданс. Для получения асимптотики решений в работах [4, 5] использовались результаты эллиптической теории. Пространственная часть системы Максвелла не является эллиптической. Поэтому приходится рассматривать расширенную систему Максвелла

(dE/dt - rot В + Vh= -J, dh/dt + div£ = p, ,,

l dB/dt + rot Ё + Vg = -G, dq/dt + divß = p с эллиптической пространственной частью (см., например, [1]). Систему (1) для краткости запишем в виде du/dt 4- А(д)и = /.

Наряду с расширенной системой уравнений рассматриваются также расширенные краевые условия

[Ё х Щ = [$ х {В-Р) = ф, h = H (2)

и

V х [В х v\ + х Ё] = [Ф х 0\, h = Я, q = Q. (3)

Опишем области, в которых изучается задача и определим функциональные пространства. Пусть К. - конус в К3 с вершиной в начале координат О, такой, что K.C\S2 односвязная область на сфере S2. Пусть G С К3 -ограниченная область с конической точкой О, причем в некоторой окрестности О область G совпадает с конусом К. Вне точки О границы конуса К, и области G гладкие. Пусть s f N, ß б К, г = (х\ + х\ + В ци-

линдре Q = К х К введем функциональное пространство Hp(Q), пополнив множество Cf((K \ О) х К) по норме

tf 1/2 IK щтI - (Ew<s у у r^+w-^D*ttW(x, t)i2d* dt) ,

К R

где q = (ai, q2, £*з) - мультииндекс, x = (xj, X2, £3), dz = dxi dx2 dx3, Z>£ = Dxl Щг^хз и Dxk = -id/dik- Пространство Hß(Q,q) при q > 0 наделим

нормой \\и-,Н*(д,д)\\ = (Еек=0<12к\\и;Н*-к(а)\\2у/2. Заменив/С на С, аналогично определим пространства и Нд(С1, д) в цилиндре С^ = С х К. Наконец, через ^(Й,7) и У|(С},7) при 7 > 0 обозначим пространства, в которых норма задается равенствами Уд (О,, 7)|| = \\и!~<\Нд{0„7)\\ и |к; ^(<3,7)11 = |К;Я|(д,7)|!, где и>1 = е-^ю.

Пусть К = {(г, ф) : г > О, |</>| < а} - угол на плоскости К,^ раствора 2а, (г, ф) - полярные координаты, Р — К х К - клин с ребром М — О х К и Т - цилиндр О х Ж. Пусть П С 1! - ограниченная область с угловой точкой О. Предположим, что в некоторой окрестности точки О область П совпадает с углом К. Вне точки О граница области П гладкая. Через Е обозначим волновод П х I с ребром О х К, а через Т - цилиндр Е х К. Функциональные пространства Нд, Уд в областях Т и Т определяются аналогично соответствующим пространствам для <3, <3, с гой лишь разницей, что через г обозначается расстояние до ребра О х К: г = (х^ + х\у!г. Глава 1. Система Максвелла в областях с коническими точками с краевыми условиями, отвечающими идеально проводящей границе. В этой главе изучается расширенная система (1) с однородными краевыми условиями (2) в конусе /Сив ограниченной области б с конической точкой. Доказываются теоремы о разрешимости в шкале весовых пространств, исследуется асимптотика решений вблизи конических точек, обсуждается связь расширенной и обычной систем.

Применив к задаче преобразование Фурье получим задачу с пара-

метром т в К. или в С

ти + А(Ох)и = /,

Ги = 0. ^

Здесь и далее через Ги обозначен вектор с компонентами (и х Е, (и -13), Л). Введем функции * такие, что иа^(г, ш) = ггА* Фц!к(и), А{0)иа>к — 0 в конусе К. и Гщл = 0 на Ж. Через (г, и/) обозначены сферические координаты с центром в вершине конуса. Для описания асимптотики решений задачи (4) нам потребуются формальные ряды вида

ос

и.,к(г,ы,т) = г'А* ]Г гтгтФгаМ, Фо = ф.,*,

га=0

которые удовлетворяют однородной задаче (4). Через обозначим пер-

вые Т слагаемых ряда £/s>*. Перечислим свойства набора {Xk}kez-

Предложение 1. 1) Все число. расположены на мнимой оси.

Каждому числу Xj отвечает конечный набор линейно независимых функций ,5—1,.., N}.

2) Числа Xj расположены симметрично относительно прямой Im А = 1.

3) Число А = г не принадлежит набору {X^kez-

Нам удобно нумеровать числа из набора {Xkjkei следующим образом. Через Afc для к > 0 обозначим числа, у которых мнимая часть больше единицы, занумеровав их в порядке возрастания мнимой части. Через для к > О обозначим числа, симметричные А* относительно точки А = г.

Вге последующие результаты формулируются для задачи в области G. В конце пункта будут приведены замечания о результатах для задачи в конусе 1С.

Задача (4) рассматривается на некоторых подмножествах {v € La (6') П \ О) : A(Dx)v € ¿2(G), Гг>|ас = 0}, таких, что пространственная часть A(DX) симметрична. При замыкании возникает семейство различных самосопряженных расширений пространственной части A{DX). Функции из областей определения различных самосопряженных расширений отличаются асимптотикой вблизи конической точки. В дальнейшем, если нет специальных указаний, через А обозначено любое из таких расширений.

Определение 2. Сильным решением задачи (4) с правой частью f е LiiG) назовем решение уравнения (г + А)и = /.

Сформулируем теорему о сильных решениях задачи (4) в области G.

Теорема 3. Для всякой функции f из L2(G) и любых значений параметра т = о — ¿7 (а € М, 7 > 0) существует единственное сильное решение v задачи (4) с правой частью /. Для решения справедлива оценка

711«; L2(G)\\ < ||/; L2(G)||.

Обсудим связь между обычной и расширенной системами. Обычная система Максвелла является переопределенной, поэтому правые части необходимо подчинить условиям совместности dp/dt+div J — 0, d/x/dt-l-div G = 0 и граничному условию (G ■ n) — 0. Далее мы сформулируем теорему о

сильных решениях задачи (4) для правых частей, подчиненных условиям совместности (в подходящем обобщенном смысле) Для этою напомним определения некоторых функциональных пространств Введем пространство Я(<]ду ,С) = {и € Ь2{С) сЬу и € ¿г(С)} с нормой Цй, Н(&\\ ,С)|| = / \ 1/2

(||м, Ь2(С)\\2 + ||ску и, Ь2(С)||2) В пространстве Я (с!1У ,6) выделяется замкнутое подпространство Н(с11У , С?) = {и € Я(Лу ,(7) (и п) = 0}

На возможность возвращения к исходной, нерасширенной системе Макс велла влияет выбор самосопряженного расширения В частности, в ограниченной области с конической точкой переход к исходной системе Максвелла возможен только для одного самосопряженного расширения А Оно выделяется следующим условием функции из об пасти определения А растут вблизи конической точки О медленнее, чем функции из областей определения других самосопряженных расширений Оказывается, это расширение совпадает с оператором, изученным в работе [ 1 ]

Теорема 4. 1) Пусть указанное выше самосопряженное расширение А является пространственной частью системы (4) Пусть еще правая часть системы имеет вид / = (—J,—G,p,|^), где р,ц € ¿^(С), 3 € Я(ску ,(?), б € Я(с11у , С?) и выполнены условия гтр + сЬу 3 — 0, гтр, + сЪу (7 = 0 Тогда в сильном решении и = (Е В Ъ,,ц) компоненты тождественно равны нулю

2) Если выбрать самосопряженное расширение А, отличное от указанно го в п 1), то существуют правые части, подчиненные условиям т п 1) при которых в решении не аннулируются компоненты к д

Чтобы получить результаты для нестационарной задачи в цилиндре надо применить обратное преобразование Фурье Приве-

дем аналог теоремы 3 для нестационарной задачи в цилиндре

Теорема 5. Для всякой функции / е при любом 7 > 0 суще-

ствует сильное решение v задачи (1) с однородными краевыми условиями (2) с правой частью f Для сильного решения справедлива оценка

Зафиксируем срезку х € равную единице вблизи угловой точки О

и нулю вне окрестности, где б совпадает с /С. Введем операторы

Хи(х, I) = Т^\1х{\т\г)1гг->ги{х,г'), А>и(х, I) = Введем пространство НУ ¡¡{О,, 7) с нормой

11/;7гу/3(д)7)|| = (||/;К/30(д)7)112 + (1/72)1|л1-^;Ц)0(д!7)112)1/2.

Далее, используя введенные обозначения, сформулируем один из основных результатов главы - теорему об асимптотике решений вблизи конической точки.

Теорема 6. Пусть / € 7 > То с достаточно большим 7о и

0 е ]1шА_т_1 — 1/2, 1шА_т - 1/2[, т > 0. Тогда сильное решение задачи (1) с однородными краевыми условиями (2) допускает представление

и(х,Ь) =

где и) € ^ (С2,7) и Хи> 6 У^ ((}, 7). В сумму входят слагаемые, соответствующие элементам набора {Ак}кег из полосы 1шА е [1шА_т, 1тА_1]. Коэффициенты вычисляются по формулам = .7г1Г-Десв,/с('''), гдеса^ =

(/(•.т),«;,^-,?))^ или

= ! Ах J

(3 к

где И7, *(ж, £) = т). Через обозначены решения задачи, со-

пряженной к (4), согласованные с функциями иа,к- Справедливы оценки

Це-*с1М-);И1тХк-0-1/*(ЩН < с\\/,ПУв(С1,7)\\,

7||и; да,7)|| + НА-«;; ^(д,7)11 < (с/7)1|Л/;ТИЗД,7)11-

Отметим, что если правая часть достаточно быстро убывает вблизи конической точки, то сглаживающий оператор X в асимптотической формуле можно убрать.

Все результаты, сформулированные в этом пункте для задачи (4) в области (3, остаются справедливыми для задачи в конусе К,. При этом теоремы 3, 5, 6 справедливы при 7 > 0. Кроме того, для задачи в конусе К, функции И7, * (см. теорему 6) можно найти в явном виде. Формулы достаточно

громоздкие, поэтому здесь не приводятся Из явных выражений вытекают следующие свойства носителей IV,у.

Из этих свойств следуют некоторые свойства коэффициентов в асимптотике. Именно, наблюдается эффект "заднего фронта": коэффициенты становятся гладкими функциями после прохождения через вершину конуса К. заднего фронта возмущения от сингулярного носителя правой части. Также имеет место эффект переднего фронта: коэффициенты равны нулю до подхода возмущения, вызванного правой частью.

Глава 2. Система Максвелла в клине и в волноводе с краевыми условиями, отвечающими идеально проводящей границе. Во второй главе изучается расширенная система (1) с однородными краевыми условиями (2) в клине В^КхЕив волноводе £ = П х К. Схема исследования такая же, как и в первой главе: доказываются теоремы о существовании и единственности решений, исследуется асимптотика решений вблизи ребер, обсуждается связь расширенной и обычной систем.

Применив к задаче преобразование Фурье Р(х3,г)-¥и,т) по времени и вдоль ребра, получим задачу с параметрами (£, г) в К или в П. Введем обозначение и запишем ее в виде

Введем функции такие, что Vs.it(г, Ф) = гакфв,к(ф), А(ЮХ1 0)г>8 к = О в угле К и Гг^ = 0 на <9К. В описании асимптотики решений задачи (5) используются формальные ряды вида

оо

= £УА*+«(Г+ ¿(0,0,0)"^), Фо = *.,к. «=0

Ряд Я31с удовлетворяет однородной задаче (5). Это аналог ряда IIа. к для задачи (4). Через Яа,к,т обозначим первые Т слагаемых ряда

В отличие от задачи в конусе, здесь числа А* можно вычислить явно. Набор образуют две последовательности' шк/2а и г(тгк/2п + 1), к € Ъ. Нам удобно перенумеровать элементы следующим образом. Если а — тт. то число ¿/2 принадлежит набору, обозначим его через Ао- Через А* при

к > 0 обозначим такие чигла, что 1гп А* > 1/2, занумерован их в порядке возрастания мнимой части. Через при к > 0 обозначим элементы, симметричные числам А* относительно г/2. Каждому числу А* (к ф 0) отвечают две линейно независимые функции Ф^* и Фг,*. Числу А0 отвечают четыре функции Ф1,то, Фг.^о-

Задача (5) рассматривается на некоторых подмножествах {и € ¿2 (К) П С°°(К\0) : А{0Х1,ПХ^0)и 6 ¿г(К), Гг>|аК = 0}, таких, что пространственная часть А(ПХх, БХ2,0) симметрична. Если 2 а > ж, то при замыкании возникает семейство различных самосопряженных расширений пространственной части А(БХ1, Дг2,0). В случае 2а < ж возникает лишь одно самосопряженное расширение. В дальнейшем, для случая 2а > ж, если нет специальных указаний, через А обозначено любое из таких расширений.

Определение 1. Сильным решением задачи (5) с правой частью / € Ьг(1К) назовем решение уравнения М(£,т)ь = /.

Теорема 2. Для всякой функции / из ¿2 (К) и любых значений параметров т = сг — ¿7 (а € К, 7 > 0) и £ € К существует единственное сильное решение V задачи (5) с правой частью /. Справедлива оценка

7|кЬ2(К)|| <||/;£2(К)||.

Обсудим связь обычной и расширенной систем Максвелла. Результат, по существу, аналогичен соответствующей теореме из первой главы. Если 2а > 7Г, то в качестве А в первой части следующей теоремы выбирается, как и в первой главе, "наименее сингулярное"самосопряженное расширение.

Теорема 3. Пусть а < ж.

1). Пусть указанное выше самосопряженное расширение А является пространственной частью задачи (5). Пусть еще правая часть имеет вид / = (-■/, ~б, р, ц), где I = б = (СьС2,<?з), справедливы включения ] = , ./г) € Я(сНу,П), д — (С^Сг) €

•7з,(3з,р,ц € ¿г(^) и выполнены условия

1тр -(- г£73 + сИу ] - 0, 1т(л + ¿£(?з + сМу д = 0. Тогда сильное решение имеет вид и = (Е, В, 0, 0).

2). Если выбрать самосопряженное расширение А, отличное от указан-

ного в п. 1), то существуют правые части, подчиненные условиям из п.1), при которых в решении не аннулируются компоненты h, q.

Перейдем к формулировкам для нестационарной задачи.

Теорема 4. Для всякой функции / 6 V0°(T, 7) при любом 7 > 0 существует сильное решение v задачи (1) с однородными краевыми условиями (2) в цилиндре Т с правой частью /. Для сильного решения справедлива оценка

7)11 7)11-

Зафиксируем срезку х £ С°°(К), равную 1 вблизи точки О. Положим

Yu(xi,x2,x3,t) = T~litx{\r\xí,\T\x2)Tf-^Tu{xi,x2,xz,t'), Р*и{х 1 ,X2,X3,t) = ,X2,Xj',?),

где р — (|т|2 + |^|2)1''2. Введем пространство 7?Уа(Т,7) с нормой

||/;Тг^(Т,7)|| = (||/; Vg (Т,7)||2 4- (1/72)||Л1-^/; V^(T,7)||2)1/2.

Следующая теорема - один из основных результатов второй главы. В ней речь идет об асимптотике сильных решений вблизи ребра.

Теорема 5. Предположим, что а < п. Пусть /, A1~$P0f £ 7£V'¿j(T, 7) и /3 € ]Im A_m_i, Im A_m[, m > 0. Тогда сильное решение задачи (1) с однородными краевыми условиями (2) в цилиндре Т допускает асимптотическое представление

u(x,t) = Y^R*,k,T{r,<l>,DX3,Dt){Ycs>k){x,t) + w{x,t),

где w € V^(T, 7) и Yw 6 Vg(T, 7). В сумму входят слагаемые, соответствующие числам Afc из полосы Im А € [Im A_m, Im A_i]. Коэффициенты вычисляются по формулам

c,,k(xz,t) = Jda?i drc2 JdC Jás(f{xi,x2,x3 - - s),WStk{xi,x2,£,s)}u*,

где Ws<k{x,t) — Через wsобозначены реше-

ния задачи, сопряженной к (5), согласованные с функциями vsk. Справедливы оценки

\\е->%,к(•);я1т ^(Ж2 )|| < с||/; nv0(Т, 7)||,

711«; ^(Т, 7)11 + ||^;^(Т,7)11 < (с/^ЦЛ1-^/; W^(T,7)||.

Если правая часть убывает достаточно быстро вблизи ребра, то сглаживающий оператор К можно убрать.

Теоремы 2, 4 остаются справедливыми для задачи (1) с однородными краевыми условиями (2) в цилиндре Т = £ х К. Теорема 5 справедлива для задачи (1) с однородными краевыми условиями (2) в цилиндре Т, если 7 > 7о с достаточно большим 70.

Для задачи в цилиндре Т функции можно найти в явном виде. Из явных выражений вытекают следующие свойства носителей И^,*:

Для коэффициентов в асимптотике имеют место те же эффекты, что и в случае задачи в конусе.

Глава 3. Система Максвелла с неоднородными краевыми условиями. В третьей главе мы изучаем расширенную систему Максвелла с неоднородными краевыми условиями. Вначале подробно рассматриваются "проводящие"краевые условия, затем, кратко, импедансные. При исследовании неоднородных задач возникает ограничение на класс рассматриваемых конусов.

Определение 1. Конус К. С К3 называется допустимым, если найдется постоянный вектор / £ К3, такой, что (/ • V) > со > 0, где и - единичная внешняя нормаль к дК..

Здесь мы ограничимся обсуждением задачи с неоднородными "проводя-щими"краевыми условиями в области б с допустимой конической точкой. Применив к задаче преобразование Фурье получим задачу с пара-

метром т в С, которую перепишем следующим образом

Через М{т) обозначим замыкание оператора {М(ПХ. т), Г} с областью

определения {у € Ь2(С) П С°°(С \ О) : у\дс 6 Ь2{дС), М(Их,т)у €

Ь2(С)}. Введем пространство, отвечающее действию граничного операто-

ра Г: 1^т(дв) = {(и, V, к) : € Ь2{дС), и 6 1п(дв,1?) и {и-0)3 =

эирр = € Ю х К : г < «} эирр = {(г, г) € © X 1 : т —

{

М(Ог,т)и = /, Г и = д.

(6)

О п.в. на dGj.

Определение 2. Сильным решением задачи (6) в области G с правой частью {f,g} € х L2,T{dG) назовем решение уравнения M(t)v =

if, 9}-

Сформулируем теорему о сильных решениях задачи с параметром. Теорема 3. Для всякой пары {f,g} € L2(G) х L2,t(9G) и любых значений параметра т = а — ij (а € R, 7>7ос достаточно большим 70J существует единственное сильное решение задачи (6) в области G с правой частью {f,g}. Для решения справедлива оценка

l2\\v> L2{G)Il < с{||/; I2(G)||2 + |r| • L2(dG)||2},

где постоянная с не зависит от т и v.

Обсудим связь расширенной и обычной систем Максвелла. В этом случае условия совместности имеют несколько более сложный вид из-за неоднородных краевых условий. Результат, по существу, тот же, что и в первых двух главах. Именно, если правые части подчинены условиям совместности, то дополнительные компоненты h, q в сильном решении (Е, В, h, q) тождественно равны нулю и вектор-функция (Е, В) удовлетворяет обычной системе Максвелла.

Рассмотрим задачу (6) в области G с правой частью {/,<?} € L2(G) х L2tr{dG), где / = (А,С,а,0)т и g = (Ф,6,ш)т. Условия совместности для правой части имеют вид

А, б € #(div, G), о, Р е L2{G), div А = ira, div б = irfi, Ф € W(Div,0G), и = 0. S € L2(dG), irS - Div Ф - ^(C) = 0,

Теорема 4. Пусть {/,<?} - правая часть задачи (6) в области G, где f = (А, б, а, /3)т ид— (Ф, 0)т подчинены перечисленным выше условиям. Тогда сильное решение и имеет вид и = (Е, В, 0.0).

При описании асимптотики используются те же функции ы, *, что и в первой главе, а также формальные ряды Us,k, построенные по этим функциям. Если выполнены включения / € UVg(Q,"f), A^2~sg в V$(dQ,y), \l/2g € V®(dQ, 7) и Хд £ Vl3/2m, 7), то для асимптотики сильных решений справедлив результат теоремы б первой главы. Меняется только форму-

ла для коэффициентов в асимптотике cs — г(—г/( , г), uib *( >т))0 + i(g{ ,t),Tw,^( ,r))ô6> 1де Tu = -i(v, g, (v u)) для и - (Û, v, h, q)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Ml] С И Матюкевич, О нестационарной системе Максвелла в клине //

Вестник СПбГУ, (2000), сер 1, вып 1, стр 35 43 [М2] С И Матюкевич, О нестационарной системе Максвелла в областях с ребрами // Алгебра и Анализ, (2003), том 15, выпуск 6, стр 86-140 [МЗ] S Matioukevitch and Р Neittaanmaki, The nonstationary Maxwell system with mhomogeneous boundary conditions m domains with conical points / / Reports of the Department of Mathematical Information Technology (University of Jyvaskyla, Finland), Series В Scientific Computing, no B5/2004

Список литературы

[1] M Ш Бирман, M 3 Соломяк, Оператор Максвелла в областях с негладкой границей// Успехи Мат Наук, (1987), том 42, выпуск 6, стр 62-76

[2] G Eskin, The wave equation m a wedge with general boundary condi-tionds// Comm Partial Differential Equations, (1992), vol 17, no 1-2, p 99-160

[3] В А Кондратьев, О А Олейник, Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи Мат Наук, (1983), том 38, выпуск 2, стр 3-76

[4] Б А Пламеневский, О задаче Дирихле для волнового уравнения в цилиндре с ребрами // Алгебра и Анализ, (1998), том 10, выпуск 2, стр 197 228

[5] А Ю Кокотов, Б А Пламеневский, О задаче Коши-Дирихле для гиперболических систем в клине // Алгебра и Анализ, (1999), том 11, выпуск 3, стр 140-196

[6] А Ю Кокотов, Б А Пламеневский, Об асимптотике решений задачи Неймана для гиперболических систбм в областях с коннчсскими точками // Алгебра и Анализ, (2004), том 16 выпуск 3, стр 56-98

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ с оригинал макета заказчика.. Подписано в печать 11.01.05 Формат 30x45/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ №124/с. 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Старый Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

385

Введение

Глава 1. Система Максвелла в областях с коническими точками с краевыми условиями, отвечающими идеально проводящей границе.

Введение.

§1.1. Операторный пучок

§1.2. Глобальная энергетическая оценка.

§1.3. Комбинированная весовая оценка.

§1.4. Оператор задачи в шкале весовых пространств.

§1.5. Асимптотика решений задачи

§1.6. Нестационарная задача в цилиндрах Q и Q.

§1.7. Формулы для функций ws>k, WSik для задачи в конусе

§1.8. Связь расширенной и обычной систем Максвелла.

Глава 2. Система Максвелла в клине и в волноводе с краевыми условиями, отвечающими идеально проводящей границе

Введение

§2.1. Операторный пучок.

§2.2. О свойствах оператора A(D).

§2.3. Оценки для задач в клине и в угле.

§2.4. Операторы задач в К и в fi.

§2.5. Задачи в цилиндрах ТивТ.

§2.6. Формулы для функций wSjk, W3ik для задачи в клине.

§2.7. Связь расширенной и обычной систем

Глава 3. Система Максвелла с неоднородными краевыми условиями.

Введение

§2.1. Энергетическая оценка.

§2.2. Оператор задачи.

§2.3. Весовая комбинированная оценка

§2.4. Оператор в шкале весовых пространств.

§2.5. Асимптотика сильных решений.

§2.6. Нестационарная задача в цилиндрах Q и Q.

§2.7. Связь расширенной и обычной систем Максвелла.

§2.8. Неоднородные краевые условия Леонтовича.

Публикации по теме диссертации.

Мы изучаем нестационарную систему Максвелла ЗЁ/dt-iot В = -J, < dB/dt + rot Ё = -G, divE = р, divB = ц

1) в областях с ребрами и коническими точками. Рассматриваются краевые условия двух типов: где V - единичный вектор внешней нормали, а через ф обозначена некоторая комплекснозначная функция (импеданс), характеризующая физические свойства границы. В работе обсуждаются разрешимость задачи в подходящих функциональных пространствах, вывод и обоснование асимптотических представлений для решений вблизи особенностей границы, формулы для коэффициентов в асимптотике. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первых двух главах изучается нестационарная система Максвелла с однородными краевыми условиями (2). Рассматриваются модельный конус, ограниченная область с конической точкой, клин и волновод, сечение которого - ограниченная область с угловой точкой. Третья глава посвящена изучению нестационарной системы Максвелла с неоднородными краевыми условиями (2) и (3) в областях с коническими точками и ребрами.

1. Eskin G., The wave equation in a wedge with general boundary conditions, Comm. Partial Differential Equations 17 (1992), no. 1-2, 99-160.

2. Кондратьев В.А., Олейник О.А., Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях, Успехи Мат. Наук, 38(1983), по.2, 3-76.

3. Мельников И.И., Особенности решения смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в областях с кусочно гладкой границей, Успехи Мат. Наук, 37(1982), вып. 1, 149-150.

4. Нгуэн Мань Хунг, Асимптотика решений первой краевой задачи для сильно гиперболических систем вблизи конической точки области, Ма-тем. Сб., 1999, V.190, No.7.

5. Пламеневский Б.А., О задаче Дирихле для волнового уравнения в цилиндре с ребрами, Алгебра и Анализ 10(1998), по.2, 197-228 (Поправка: 10 (1998), по. 3, С.224); English transl. in St. Petersburg Math. J., 10 (1999), no.2, 373-396.

6. Кокотов А.Ю., Пламеневский Б.А., О задаче Коши-Дирихле для гиперболических систем в клине, Алгебра и Анализ, 11 (1999), по. 3, 140-196, English transl. in St. Petersburg Math. J., 11 (2000), no.3, 497534.

7. Кокотов А.Ю., Пламеневский Б.А., Об асимптотике решений задачи Неймана для гиперболических систем в областях с коническими точками, Алгебра и Анализ, 16 (2004), по. 3, 56-98.

8. Бирман М.Ш., Соломяк М.З., Оператор Максвелла в областях с негладкой границей, Успехи Мат. Наук, 42(1987), вып. 6 (258),С.62-76; English translation in Russian Math. Survey 42(1987), no.6, 75-96.

9. Бирман М.Ш., Соломяк M.3., Главные особенности электрической составляющей электромагнитного поля в областях с экранами, Алгебра и Анализ 5 (1993), no. 1, 143-159; English translation in St. Petersburg Math. J. 5 (1994), no. 1, 125-139

10. Costabel M., Dauge M., Singularities of electromagnetic fields in poli-hedral domains, Arch. Rational Mech. Anal., 151(2000), 221-276.

11. Гудович И.С.,Крейн С.Г.,Куликов И.М., Краевые задачи для системы Максвелла, ДАН СССР 207(1972), по. 2, 321-324.

12. Кокотов А.Ю., Нейттаанмяки П., Пламеневский Б.А., Задачи дифракции на конусе: асимптотика решений вблизи вершины, Зап. науч. сем. ПОМИ, 259(1999), 122-145.

13. Кокотов А.Ю., Нейттаанмяки П., Пламеневский Б.А., Задача Неймана для волнового уравнения в клине, Проблемы мат. анализа, вып.20, 2000, 71-110; English translation in J. Math. Sci., 102 (2000), no.5, 4400-4428.

14. Кокотов А.Ю., Нейттаанмяки П., Пламеневский Б.А., О задаче Неймана для гиперболических систем в клине, ДАН, 383(2002), по. 5, 608611.

15. Агранович М.С., Вишик М.И., Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида, Успехи Мат. Наук 19(1964), вып. 3, 53-161.

16. Cheeger J., Taylor М., On the diffraction of waves by conical singularities I, Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982), no. 3, 275-331

17. Cheeger J., Taylor M., On the diffraction of waves by conical singularities II, Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982), no. 4, 487-529

18. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Rossmann J., Spectral problems associated with corner singularities of solutions to elliptic equations. AMS, Mathematical Surveys and Monographs (volume 85), 2001.

19. Назаров C.A., Пламеневский Б.А., Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, М.,Наука, 1991.

20. Nazarov S. A. and Plamenevskii В. A., Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Walter de Gruyter, 1994.

21. Бейтман Г., Эрдейи А., Таблицы интегральных преобразований, т.1, М., Наука, 1969.

22. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.,Наука, 1981.

23. S. Agmon, Problemes mixtes pour les ёяиа^оп hyperboliques d'ordre вирёпеиг, Coll. Int. CHRS 117, Paris 1962, 13-18.

24. R. Sakamoto, Mixed problems for hyperbolic equations I, J. Math. Kyoto Univ. 10 (1970), 375-401.

25. H. O. Kreiss, Initial boundary value problems for hyperbolic systems, Comm. Pure. Appl. Math. 23(1970), 277-298.

26. Garding L., Le ргоЫёте de la dёrivёe oblique pour liquation des ondes, C.R. Acad. Sci. Paris Sei. A-B 285 (1977), A773-A775 (Rectification, C.R. Acad. Sci. Paris Эёг. A-B 286 (1978), A1199).

27. Hormander L., The analysis of linear partial differential operators. Vol. 3. Pseudodifferential operators. Grundlehren Math. Wiss., Bd. 274, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1985.

28. Colton D., Kress R., Integral Equation Methods in Scattering Theory. Wiley, New York (1983).

29. Monk P., Finite Element Methods for Maxwell's Equations. Oxford University Press, 2003.