Дифракционные потери и разность частот генерации встречных волн в кольцевом резонаторе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§ I. Некоторые результаты экспериментального исследования дифракционной разности частот встречных волн в кольцевом лазере.

§ 2. Основное содержание диссертации.

§ 3. Модель резонатора. Интегральное уравнение.

ГЛАВА I. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

РЕЗОНАТОРА.

§ 4. Выбор метода решения.

§ 5. Выбор алгоритма расчета собственных чисел матрицы АСпп^.

§ 6. Построение матричного представления интегрального уравнения резонатора. Вычисление элементов матрицы А^ и ее собственных значений.

§ 7. Определение полей встречных волн в резонаторе

ГЛАВА П. ДИФРАКЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ДИАФРАГМИРОВАННОГО КОЛЬЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА.

§ 8. Зависимость численных результатов для дифракционных потерь в резонаторе от порядка матрицы

§ 9. Влияние конфигурации резонатора на дифракционные потери. Резонаторы с вырожденным и невырожденным в приближении геометрической оптики спектром.

§ 10.Асимптотическое поведение потерь низших поперечных мод резонатора в области слабой дифракции.

§ II.Свойства резонатора с разъюстированной диафрагмой

§ 12. Изменение осевого контура кольцевого резонатора при разъюстировке зеркал . . *.

§ 13. Дифракционные потери в кольцевом резонаторе с двумя диафрагмами.

ГЛАВА Ш. ДИФРАКЦИОННАЯ НЕВЗАИМНОСТЬ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН В КОЛЬЦЕВОМ РЕЗОНАТОРЕ И ЛАЗЕРЕ

§ 14. Невзаимность полей кольцевого резонатора с разъюстированной неоднородной средой.

§ 15. Разность частот встречных волн StU в кольцевом лазере. Основные формулы и способ численного расчета

§ 16. Разность частот встречных волн в кольцевом лазере с диафрагмой. Результаты расчета A и их обсуждение.

Бурное развитие квантовой электроники повлекло за собой внедрение оптического квантового генератора (лазера) в различные отрасли науки и техники. Важным элементом лазера, определяющим его частотный спектр, потери и структуру поля излучения, является открытый резонатор. Изучению свойств оптических резонаторов, начиная с первых работ по теории лазеров, постоянно уделяется большое внимание, фундаментальный вклад в это изучение внесли работы советских авторов /3, 33, 36, 37, 39, 41, 42, 49, 58/.

Одной из наиболее перспективных областей применения лазера является гирометрия /8, 40/. Лазерный гироскоп представляет собой лазер с кольцевым резонатором, в котором генерируют две бегущие навстречу волны. Частоты этих волн зависят от угловой скорости вращения резонатора в инерциальном пространстве. Измеряя разность частот AUL) бегущих навстречу волн, можно определить параметры вращения гироскопа. Величина Д1Л) может составлять всего лишь единицы Герц (то есть 10""^ от оптической частоты). В таких условиях большое значение приобретает изучение различного рода погрешностей, влияющих на работу гироскопа /8/. Одной из этих погрешностей является разность частот генерации встречных волн кольцевого лазера, вызванная дифракцией на диафрагмах и других элементах резонатора и не связанная с его вращением. Диафрагма, помещенная в резонатор, применяется для селекции низшего (основного) поперечного типа колебаний /I, 38, 59/. Дифракция на диафрагме в кольцевом резонаторе приводит к различию (невзаимности) поперечных распределений полей встречных волн /5/. В пассивном, не содержащем активную нелинейную среду резонаторе частоты и потери этих волн совпадают /44/. Невзаимность распределений полей в активной среде лазера является причиной различия нелинейных коэффициентов усиления и приводит к появлению разности частот &UJ и мощностей генерации встречных волн /56/. Разность частот &U) зависит от мощности генерации и представляет собой систематическую ошибку лазерного гироскопа. 8UJ уменьшается с уменьшением потерь в резонаторе. Таким образом, кольцевой диафрагмированный резонатор, лежащий в основе лазерного гироскопа, должен удовлетворять следующим требованиям:

- при минимальных дифракционных потерях ^ 0 иметь коэффициент селекции (отношение потерь двух низших поперечных мод) достаточный для выделения основного типа колебаний;

- иметь при заданной величине потерь низшей поперечной моды о минимально возможное значение абсолютной величины

S UU ;

- иметь характеристики , ^ и S'uü мало чувстви-г тельные к разъюстировке его элементов.

В связи с этим возникает потребность в точных расчетах зависимости дифракционных потерь, коэффициента селекции и разности частот генерации встречных волн от геометрической конфигурации резонатора, от формы и коэффициента пропускания помещенной в него диафрагмы, а также от параметров, характеризующих разъюстировки эго элементов. В области слабой дифракции, когда потери в резонаторе малы, эта зависимость изучена недостаточно.

Экспериментальные работы, посвященные измерению дифракцион-шх потерь в открытых резонаторах, немногочисленны /II, III, 122, :28, 148, 149/. Как правило, объектом изучения в них являются юлько потери низшей поперечной моды. Наибольший интерес, с нашей точки зрения, представляет работа /II/, где рассмотрено влияние геометрической конфигурации диафрагмированного резонатора на потери ^о и показано, что результаты, полученные с помощью численного ранения интегрального уравнения Фокса и Ли /104/, хорошо согласуются с экспериментальными. Продемонстрирована непригодность для области слабой дифракции метода расчета дифракционных потерь, основанного на учете низших приближений теории возмущений.

Общепринятый подход к теоретическое исследованию дифракционных свойств диафрагмированных оптических резонаторов основан на применении метода интегрального уравнения Фокса и Ли /3, 33, 58, 78, 104, 120, 125, 139/. Аналитическое решение этого уравнения известно лишь в небольшом числе случаев. Пусть диафрагма, помещенная в резонатор, имеет острые края и расположена симметрично относительно оптической оси. Изучению таких резонаторов посвящено большое число работ. Аналитические результаты здесь получены для конфокального резонатора /21, 42/ и резонатора из плоских зеркал /42/. Для нахождения собственных колебаний резонаторов с другими конфигурациями был предложен ряд приближенных аналитических методов (см., например, /21, 72, 82, 87/). Однако эти методы не являются достаточно строгими и дают хорошие результаты только в ограниченной области значений параметров резонатора и диафрагмы. Точный расчет дифракционных эффектов в резонаторах с диафрагмой, имеющей острые края, требует использования численных методов для решения уравнения Фокса и Ли /14-20 , 26 , 44 , 58 , 67, 90-92, 104, 120, 125, 130, 136, 137/.

Обратимся теперь к резонаторам с "мягкой" (имеющей плавно изменяющийся коэффициент пропускания) диафрагмой /51, 52, 127, 142/. Важным случаем такого резонатора является резонатор с гауссовой диафрагмой, для которого известно точное решение интегрального уравнения Фокса и Ли /I, 7/. Кольцевой резонатор с гауссовой диафрагмой выгодно отличается от резонатора с диафрагмой, имеющей острые края, тем, что дифракционная невзаимность частот генерации встречных волн ¿Гш в нем слабо меняется при малых разъюсти-ровках его элементов. Однако параметр селекции у резонатора, имеющего гауссову диафрагму, в области слабой дифракции невелик. В связи с этим интересным представляется исследование влияния степени сглаживания краев диафрагмы, помещенной в резонатор, на его дифракционные потери и разность частот <5Чх) (см./16/).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей работе.

1. Выбран удобный метод численного расчета дифракционных потерь, распределений полей и разности частот §~СО генерации встречных волн кольцевого резонатора в области слабой дифракции.

Исследована зависимость численных результатов, получаемых для дифракционных потерь и разности частот ¿Геи в резонаторе, от порядка ТТЪ матрицы , задающей конечномерную аппроксимацию интегрального оператора Фокса и Ли.

2. В области слабой дифракции изучена зависимость потерь ^ 0 и коэффщиента селекции низшей поперечной моды кольцевого диафрагмированного резонатора от параметра его геометрической конфигурации су и от параметров 1\| , С и А , характеризующих размеры, форму краев и расположение диафрагмы.

Найдена конфигурация резонатора, имеющего минимальные потери при заданных N и С и максимальный коэффициент селекции ^^ при заданном ( -0.5, диафрагма односторонняя) . Получены некоторые асимптотические соотношения для потерь ^ низших поперечных мод резонатора в области слабой дифракции. Выделены две совокупности резонаторов с вьцэожденным в приближении геометрической оптики спектром, различающиеся по своим дифракционным свойствам в том случае, если диафрагма несимметрична относительно оптической оси.

3. Получены формулы, описывающие изменение длины и положения осевого контура кольцевого трехзеркального резонатора при разъюстировке его зеркал.

4. Получены параметры, определяющие дифракционные потери кольцевого резонатора с двумя диафрагмами. Проанализировано влияние второй диафрагмы на величину потерь низшей поперечной моды в резонаторах с различными значениями параметра конфигурации .

5. Рассчитана дифракционная невзаимность распределений полей встречных волн, вызванная разъюетировкой квадратичной усиливающей среды в кольцевом резонаторе.

6. Получена зависимость величины Af\ , характеризующей разность частот генерации встречных волн от параметров кольцевого резонатора и диафрагмы, а также от длины и положения активной среды.

Найден резонатор, имеющий минимальное значение А R^,^ при фиксированных потерях С = -0.5, диафрагма односторонняя). Выделены две совокупности резонаторов с вырожденным в приближении геометрической оптики спектром, имеющих в области слабой дифракции различный характер зависимости AR от параметра разъюстировки диафрагмы А .

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю кандидату физико-математических наук В.Ш.Бойцову за постоянное руководство и помощь при выполнении работы. Приношу искреннюю благодарность профессору Н.И.Калитеевскому за доброжелательную поддержку и внимание. Считаю своим долгом выразить благодарность доктору физико-математических наук Э.Е.Фрадкину и кандидату физико-математических наук В.Н.Курятову за внимание к работе и полезные обсуждения. Выражаю благодарность профессору М.П.Чайка и всему коллективу отдела квантовой электроники за доброжелательное отношение и помощь.

1. Авербах B.C., Власов С.Н., Таланов В.й. Открытые резонаторыс произвольно расположенной диафрагмой. ЖГФ, 1966, т.36, с.497-507.

2. Альтшуллер Г.Б., Иеянова Е.Д., Караеев В.Б., Левит А.Л., Овчинников В.М., Шарлай С.§. Анализ критичности к разъюстиро-вке кольцевых схем лазерных резонаторов. Квантовая электроника, 1977, т.4, с.1517-1521.

3. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения. М.: Наука, 1979.

4. Ананьев Ю.А. Применение лучевых матриц для оптических системс фазовыми и амплитудными корректорами. Опт.и спектр, 1983, т.54, с.765-767.

5. Ананьев Ю.А., Винокуров Г.Н. Некоторые свойства кольцевых резонаторов с угловой селекцией излучения. ЖГ§, 1969, т.39, с.1327-1330.

6. Андронова И.А., Берштейн Й.Л. Экспериментальное исследованиенеравенства оптических путей встречных волн кольцевого лазера на 3,39 мкм. ЖЭТФ, 1969, т.57, с.100-107.

7. Арно Ж.А. Расчет оптических резонаторов в гауссовом приближении. ТЙИР, 1974, т.62, № II, с.174-184.

8. Ароновиц Ф. Лазерные гироскопы. В сб.: Применение лазеров.- Пер.с англ. /Под ред.В.П.Тычинского. М.: Мир, 1974, с.182-269.

9. Беллман Р. Введение в теорию матриц. Пер.с англ. /Под ред.

10. В.Б.Лидского. М.: Наука, 1969. 10. Бергер Н.К., Дерюгин И.А., Лукьянов Ю.М., Студеникин Ю.Е.

11. Открытый разъюстированный резонатор со сферическими зеркалами. Опт.и спектр., 1977, т.43, с.306-310.

12. Бирман А.Я., Петрухин Е.А., Савушкин А.Ф., Тропкин E.H. Дифракционные потери оптического резонатора. Опт.и спектр., 1980, т.48, c.II88-II94.

13. Б1фман А.Я., Савушкин А.Ф. Теория дифракционных эффектов вкольцевом лазере. В сб.: Теория дифракции и распространения волн. (У1 Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн). - Москва - Ереван: ВНЙИРЙ, 1973, т.1, с.483-489.

14. Бирман А.Я., Савушкин А.Ф. К теории кольцевого лазера с неоднородным резонатором. Опт.и спектр., 1975, т.38, с.615-619.

15. Бирман А.Я., Савушкин А.Ф. Амплитудные и частотные характеристики кольцевого лазера с неоднородным заполнением. -Опт.и спектр., 1975, т.39, с.135-139.

16. Бирман А.Я., Савушкин А.Ф., Тропкин E.H. Дифракционное расщепление частот в кольцевом лазере с разъюстированным резонатором. Опт.и спектр., 1982, т.53, с.718-722.

17. Бирман А.Я., Савушкин А.Ф., Тропкин E.H. Дифракционное расщепление частот встречных волн кольцевого лазера с двух-масштабным амплитудным корректором. Опт.и спектр., 1981, т.50, с.750-754.

18. Бирман А.Я., Савушкин А.Ф., Тропкин E.H. Влияние протяженности активного элемента и его поперечной неоднородности на дифракционное расщепление частот встречных волн кольцевого лазера. Опт.и спектр., 1981, т.51, е.501-508.

19. Бирман А.Я., Савушкин А.Ф., Тропкин E.H., Цигуро Н.Г. 0 правомерности метода Слэтера в теории открытого резонатора. -Опт.и спектр., 1979, т.47, с.739-744.

20. Бирман А.Я., Савушкин А.Ф., Тропкин E.H., Цигуро Н.Г. Матричные уравнения открытого резонатора в дифракционной теории кольцевого лазера. Опт.и спектр., 1979, т.47, с.948-953.

21. Бирман А.Я., Савушкин А.§., Тропкин E.H., Цигуро Н.Г. Методвозмущений в дифракционной теории кольцевого лазера. -Опт.и спектр., 1979, т.47, сЛ166-П71.

22. Бойд Д., Гордон Д. Конфокальный резонатор со многими типамиколебаний для квантовых генераторов миллиметрового и оптического диапазонов. В сб.: Лазеры. /Под ред. М.Е.Жабо-тинского и Т.А.Шмаонова. - М.: ИЛ, 1963, с.363-384.

23. Бойцов В.Ф. Интегральное уравнение кольцевого оптическогорезонатора с ограниченными размерами усиливающей среды. -Опт.и спектр., 1977, т.43, с.734-739.

24. Бойцов В.Ф. Оптическая ось и устойчивость кольцевого резонатора с разъюстированной средой. Опт.и спектр., 1977, т.43, с.1006-1008.

25. Бойцов В.3>. , Владимиров А.Г. Свойства кольцевого оптическогорезонатора с разъюстированной пространственно неоднородной средой. Опт.и спектр., 1981, т.51, с.708-713.

26. Бойцов В.Ф., Владимиров А.Г. Кольцевой оптический резонаторс разъюстированной пространственно неоднородной средой. -Деп. ВИНИТИ, № 4013-81, 1981.

27. Бойцов В.Ф., Владимиров А.Г. Изменение осевого контура кольцевого резонатора при разъюстировке зеркал. Опт.и спектр., 1982, т.52, т.724-725.

28. Бойцов В.Ф., Владимиров А.Г. Дифракционные эффекты в оптическом резонаторе с диафрагмой. Деп. ВИНИТИ, № 6351-84, 1984.

29. Бойцов В.Ф., Владимиров А.Г. Дифракционные потери в резонаторе с диафрагмой, имеющей переменный коэффициент пропускания. Опт.и спектр., 1981, т.57, с.1105-1107.

30. Бойцов В.Ф., Мурина Т.А., Фрадкин Э.Е. Расщепление частот генерации встречных волн в кольцевом лазере с гауссовой диафрагмой. Опт.и спектр., 1974, т.36, с.539-545.

31. Бойцов В.Ф., Слюсарев C.F. Кольцевой оптический резонатор сдиафрагмированным сферическим зеркалом и пространственно неоднородной усиливающей средой. I. Вестник ЛГУ, 1979, т.10, вып.2, с.31-41.

32. Бойцов В.Ф., Слюсарев С.Г. Кольцевой оптический резонаторс диафрагмированным сферическим зеркалом и пространственно неоднородной усиливающей средой. П. Вестник ЛГУ, 1979, T.I6, вып.З, с.38-44.

33. Булдырев B.C., Фрадкин Э.Е. Интегральные уравнения открытыхрезонаторов. Опт.и спектр., 1964, т.Х7, с.583-596.

34. Булышев А.Е., Ведерников Г.А., Преображенский Н.Г. К расчетухарактеристик лазерного резонатора. Кв.электрон., 1980, т.7, с.1093-1095.

35. Бурнашев М.Н., Филатов Ю.В. О невзаимности встречных волн,обусловленной диафрагмированием в кольцевом лазере на X = 0,63 мкм. Опт.и спектр., 1973, т.35, с.992-994.

36. Быков В.П. Геометрическая оптика трехмерных колебаний в открытых резонаторах. В сб.: Электроника больших мощностей. - М.: Наука, 1965, вып.4, с.66-92.

37. Быков В.П. Лучевая теория открытых резонаторов и открытыхволноводов, колебания в которых ограничены каустическими поверхностями. Радиотехника и электроника, 1966, т.П, с.477-487.

38. Быков В.П. Специальные оптические резонаторы. В справочнике по лазерам. Т.2. Пер.с англ. /Под ред.А.М.Прохорова, М.: Сов.радио, 1978, с.24-46.

39. Быков В.П., Вайнштейн Л.А. Геометрическая оптика открытыхрезонаторов. ЖЭТФ, 1964, т.47, с.508-517.

40. Бычков С.Н., Лукьянов Д.П., Бакал*ф А.И. Лазерный гироскоп.1. М.: Сов.радио, 1975.

41. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы со сферическими зеркалами. ЖЭТФ, 1963, т.45, с.683-697.

42. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы.1. М.: Сов.радио, 1966.

43. Валуев А.Д., Савранский С.А., Савушкин А.Ф., Шокин Б.А. Дифракционное расщепление частот в ОКЛ с длиной волны 3,39 мкм. Опт.и спектр., 1970, т.29, с.410-412.

44. Виткин Э.И. Некоторые задачи теории резонаторов для оптических квантовых генераторов. Канд.дисе. Минск, Институт физики АН БССР, 1968.

45. Власов С.Н., Таланов В.И. 0 связи лучевого и волнового описаний электромагнитных пучков в квазиоптических системах. -Изв.ВУЗов: Радиофизика, 1965, т.8, с.195-197.

46. Глущенко Ю.В., Радина Т.В., Фрадкин Э.Е. Расщепление частотгенерации в кольцевом лазере с прямоугольной диафрагмой. 1У. Опт.и спектр., 1981, т.51, с.493-500.

47. Глущенко Ю.В., Радина Т.В., Фрадкин Э.Е. Дифракционное расщепление частот генерации встречных волн в кольцевом резонаторе со слабой дифракцией. Тез.докладов на Ш Всесоюзнойконференции "Оптика лазеров", Л., 1981, с.165-166.

48. Глущенко Ю.В., Радина Т.В., Фрадкин Э.Е. Дифракционная невзаимность генерации встречных волн в кольцевом лазере со слабой дифракцией. Опт.и спектр., 1984, т.57, с.328-334.

49. Гончаренко A.M. Гауссовы пучки света. Минск: Наука и техника, 1977.

50. Градштейн И.С., Рыжик Й.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов ипроизведений. М.: Физматгиз, М., 1962.

51. Гулин A.B. Мягкая диафрагма в кольцевом резонаторе. Труды

52. МЭИ, 1982, вып.567, с.59-63.

53. Гулин A.B., Ищенко Е.Ф. Свойства менисковой диафрагмы. Труды МЭИ, 1981, вып.519, е.33-37.

54. Гусева Т.В., Фрадкин Э.Е. Расчет дифракционного расщеплениячастот встречных волн в газовом кольцевом лазере. Ш. Опт. и спектр., 1974, т.36, с.975-981.

55. Джеррард А., Берч Дж.М. Введение в матричную оптику. Пер.с англ, /Под ред.Коробкина В.В. М.: Мир, 1978.

56. Зейгер С.Г., Климонтович Ю.Л., Ланда П.С., Ларионцев Е.Г.,

57. Фрадкин Э.Е. Волновые и флуктуационные процессы в лазерах. /Под ред.Ю.Л.Климонтовича. - М.: Наука, 1974.

58. Ищенко Е.Ф. Анализ деформации осевого контура оптическогорезонатора. Й^рн.прикл.спектр., 1969, т.II, с.456-463.

59. Калитеевский Н.И., Попов М.М., Рымарчук Ю.А., Толчинская Т.Е.,

60. Чайка М.П. Мощность генерации газового лазера в резонаторах, близких к конфокальному. Опт.испектр., 1966, т.21, с.258-260.

61. Каше де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петю Р., Фогель Т. функцииматематической физими. М., ГИФМЛ, 1963.

62. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.-Л.: ГИШЛ, 1962.

63. Кирсанов Б.П., Леонтович A.M. Расчет методом ЕКБ резонаторов

64. ОКГ с активной средой. Труды ФИАН, 1977, т.98, с.141-161.

65. Когельник, Ли. Резонаторы и световые пучки лазеров. ТИИЭР,1966, т.54, с.95-113.

66. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука,1967.

67. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. -Минск: Наука и техника, 1983.

68. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1.1. М.-Л.: Гостехиздат, 1951.

69. Курят о в В.Н., Фрадкин Э.Е. Влияние конфигурации резонаторана мощность излучения лазера. Опт.и спектр., 1966, т.20, с.324-327.

70. Кушнир В.Р. Интегральные уравнения сложных резонаторов свнутренней диафрагмой. Квантовая электроника, 1980, т.7, с.192-194.

71. Лазуткин В.Ф. Спектральное вырождение и "малые знаменатели"в асимптотике собственных функций типа "прыгающего мячика". Вестник ЛГУ, 1969, т.7, с.23-34.

72. Ландау Я.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974.

73. Ларионов Ю.П., Мочалов A.B. Расчет возвещенного резонаторакольцевого лазера. Оптико-механическая промышленность, 1979, т.9, с.1-3.

74. Любимов В.В., Орлова И.Б. Приближенный расчет колебаний врезонаторах с вогнутыми зеркалами. Опт.и спектр., 1970, т.29, с.581-586.

75. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. Пакет научных подпрограмм.

76. Руководство программиста. Вып.4, ч.4. Пер.с англ. /Под ред. Н.С.Жаврид, В.Н.Кузнецовой, Л.В.Ходыко. Минск, 1974, (Ин-т математики АН БССР).

77. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

78. Морс М.Ф., Фешбах Г. Методы математической физики, т.1. М.:1. ИЛ, i960.

79. Окунев Р.И., Степанянц А.Л. Расщепление частот генерацииветреченых волн в кольцевом гелий-неоновом ОКГ. Труды ЛПЙ, 1979, вып.366, с.19-21.

80. Орлова И.Б. Ана/литический расчет колебаний открытых резонаторов для ОКГ. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Л., 1972.

81. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. Пер.с англ. М.: Мир, 1983.

82. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.

83. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1984.

84. Попов М.М. О дифракционных потерях открытых резонаторов. I.

85. Опт.и спектр., 1974, т.36, с.561-566.

86. Попов М.М., Попова Т.М. О дифракционных потерях открытых резонаторов. П. Опт.и спектр., 1975, т.39, с.719-723.

87. Попов М.М., Попова Т.М. О дифракционных потерях открытых резонаторов. Ш. Опт.и спектр., 1975, т.39, с.1157-1159.

88. Радина Т.В., Фрадкин Э.Е. Пространственная модель кольцевоголазера. Опт.и спектр., 1980, т.49, с.754-763.

89. Рамазанова Г.С. Распространение обобщенного гауссового пучкав свободном пространстве. Труды МЭИ, 1976, вып.281, с.64-67.

90. Решетин Е.Ф. К методам расчета дифракционных потерь в открытом оптическом резонаторе. Зависимость потерь от кривизны зеркал резонатора. Труды МЭИ, 1976, вып.281, с.67-70.

91. Решетин Е.ф. Расчет невзаимности встречных волн в кольцевомрезонаторе с резкой апертурой. Труды МЭИ, 1978, вып.350, с.41-45.

92. Решетин Е.Ф. Эффекты разъюстировки открытых оптических резонаторов. Труды МЭИ, 1979, вып.426, с.10-13.

93. Решетин Е.Ф. К методам расчета эффектов разъюстировки открытых оптических резонаторов. Труды МЭИ, 1979, вып.426, с.13-16.

94. Сазонова З.С. Влияние малых деформаций открытого резонаторана его частотный спектр и положение оптической оси. Труды МФТИ, 1972, с.96-100.

95. Славянов С.Ю. К теории открытых резонаторов. НЭТФ, т.64,1973, с.785-795.

96. Славянов С.Ю., Фарафонов В.Г. Аберрации в резонаторах сразъюетированными зеркалами. Опт.и спектр., 1974, т.37, с.206-207.

97. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений.1. М.: Наука, 1970.

98. Уилкинсон Дж., Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ.

99. Линейная алгебра. M.: Машиностроение, 1976.

100. Фокс А., Ли Т. Резонансные типы колебаний в интерферометреквантового генератора. В сб.: Лазеры. /Под ред.М.Е.Жабо-тинского и Т.А.Шмаонова. - М.: ИЛ, 1963, с.325-362.

101. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

102. Фрадкин Э.Е. Дифракционное расщепление частот встречных волнв газовом кольцевом лазере. I. Опт.и спектр., 1971, т.31, с.952-960.

103. Фрадкин Э.Е. Дифракционное расщепление частот встречных волнв газовом кольцевом лазере. П. Опт.и спектр., 1972, т.32, с.132-142.

104. Шпак И.В., Фрадкин Э.Е., Хоменко D.M., Довбешко A.A., Сидоренко B.C. Численное исследование дифракционной невзаимности кольцевых оптических генераторов. Опт.и спектр., 1983, т.55, с.100-105.

105. Штрайфер В., Гамо X. Применение разложения Шмидта к анализуколебаний в открытом резонаторе. В сб.: Квазиоптика. -/Йод ред.Б.З.Каценеленбаума и В.В.Шевченко. - М. : Мир, 1966, с.226-244.

106. НО. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы,, графики, таблицы. Пер.с нем. /Под ред. Л.Й.Седова. - М.: Наука, 1977.

107. Arnold D.H., Hanna D.C. Measurement of diffruction loss ina solid state laser. Appl.Opt., 1969, v.8, p.2146-2147.

108. Bergstein L., Marom E. Angular Spectra of Optic Cavities.- J.Opt.Soc.Amer., 1966, v.56, p.l6-32.

109. Bodewig E. Matrix calculus. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1956.

110. Casperson L.W. Beam modes in complex lenslike media andresonators. J.Opt.Soc.Amer., 1976, v.66, p.1373-1379.

111. Checcacci P.P., Consortini A., Scheggi A. Modes, phaseshifts, and losses of flat-roof open resonators. Proc. IEEE, 1966, v.54, p.1329-1334.

112. Cheo P.K., Heer G.Y. Beat frequency between two travelingwaves in a Fabry-Perot square cavity. Appl.Opt., 1964, v.3, p.788-789.

113. Chester A.N. Three-dimensional diffraction culculations oflaser resonator modes. Appl.Opt., 1973, v.12, p.2353-2366.

114. Consortini A., Pasqualetty P. An analysis of the modes of

115. Fabry-Perot open resonators. Optica Acta, 1973, v.20, p.793-803.

116. Consortini A., Pasqualetty P. Comparison of various diffraction formulas in a study of open resonators. Appl. Opt., 1978, v.17, p.2519-2523.

117. Pox A.G., Ii T. Resonant modes in a maser interferometer.

118. Bell Syst.Thechn.J., 1961, v.40, p.453-488.

119. Gerck E. Prony method revised. Appl.Opt., 1979, v. 18,p.3075.

120. Hauck R., Kortz H.P., Weber H. Misalignment sensitivity ofoptical resonators. Appl.Opt., 1980, v.19, p.598-601.

121. Hetherington A., Burell G.J., Moss T.S. Properties of He-Nering lasers at 3>39 microns. Infrared Phys., 1969, v.9, p.109-124.

122. Kleine Enzyklopädie. Mathematik/Gutachter Prof. Dr.Reichard.- Leipzig: VEB*Verlag, 1965.

123. Li T. Diffraction loss and selection of modes in maser resonators with circular mirrors, Bell Syst.Thechn.J., 1965, v.44, p.917-932.

124. Macek W.M., Schneider J.R., Salamon R.M. Measurement of

125. Fresnel drag with the ring laser. J.Appl.Phys., 1964, v.35, p.2556-2557.

126. McAllister Gr.l., Steier W.H., lacina W.B, Improved mode properties of unstable resonators with tapered reflectivity mirrors. IEEE J.Auant.Electr., 1974» v.10, p.346-355.

127. Muller W., Rudolph W., Weber H. Experimental determinationAof spherical resonator diffraction losses. Opt.Commun., 1978, v.24, p.143-145.

128. Murphy N.D., Bernabe M.l. Numerical proceedings for solvingnonsimmetric eigenvalue problems associated with optical resonators. Appl.Opt., 1978, v.17, o,2358-2365.

129. Ogura H,, Yoshida Y., Furuhama Y., Ikenoue J. Slight deformation of confocal Fabry-Perot resonator. Japan.J.Appl. Phys., 1966, v.5, p.225-233.

130. Oughstun K.E. On the completness of the stationary transverse modes in an optical cavity. Opt.Commun., 1982, v.42, p.72-76.

131. Oughstun K.E. Transverse mode structure properties in multiaperture optical cavities. Opt.Commun., 1982, v.43» p.41-46.

132. Piche M., Lavigne P., Martin P., Belanger P.A. Modes of resonators with internal apertures. Appl.Opt., 1983, v.22, p.1999-2006.

133. Rench D.B. Three-dimensional unstable resonator calculations with laser medium. Appl.Opt., 1974» v.13» p.2546-2561.

134. Rench D.B., Chester A.N. Iterative diffraction calculationsof transverse mode distributions in confocal unstable resonators. Appl.Opt., 1973, v.12, p.997-1010.

135. Sanderson R.L., Streifer W. Comparison of laser mode calculations, Appl.Opt., 1969, v.8, p.131-136. 137» Sanderson R.L., Streifer W. Laser resonators with tilted reflectors. - Appl.Opt., 1969, v.8, p.2241-2248.

136. Schachter H,, Bergstein L. Stationary mode in optic andquasy optic cavities. In Optical Masers, J.Pox, Ed. -Polithechnic Press, Brooklyn, 1964, p.173-198.

137. Siegman A.E. Orthogonality properties of optical resonatoreigenmodes. Opt.Commun., 1979, v.31, p.368-373.

138. Seigman A.E., Miller H.Y. Unstable optical resonator loesscalculations using the Prony method. Appl.Opt., 1970, v.9, p.2729-2736.

139. Siegman A.E., Sziklas E.A. Mode calculations in unstableresonators with flowing saturable gain 1: Hermite-Gaussian expansions. Appl.Opt., 1974, v.13, p.2775-2792.

140. Seigrist M.R., Green M.R., Morgan P.D., Watterson R.L. Modestructure in the unstable resonator of an optically pumped FIR laser. Appl.Opt., 1980, v.19, p.3824-3829.

141. Slepian D., Sonnenblick. Eigenvalues associated with prolate spheroidal waVe functions of zero order. Bell Syst, Thechn.J., 1965, v.44, p.1745-1759.

142. Smith B.O?., Boyle J.M., Dongarra J. J., Gabrow B.S., Ikebe

143. Y., Klema V.C., Moler C.B. Matrix Systems Routines. -EISPACK Guide. Lecture Notes in Computer Science, v.6, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

144. Smithies F. Integral equations. Cambridges University1. Press, 1958.

145. Streifer W. Optical resonator modes rectangular reflectors of spherical curvature. J.Opt.Soc.Amer., 1965, v.35, p.868-877.

146. Sziklas E.A., Siegman A.E. Mode calculations in unstableresonators with flowing saturable gain 2: Past Fourier Transform method. Appl.Opt., 1975, v.14, p.1874-1889.

147. Tache J.P. Experimental determination of diffraction lossesin a near hemispherical resonator. Opt. and Quant. Electron., 1984, v.16, p.71-76.

148. Taylor M.J., Hanes G.R., Baird K.M. Diffraction loss andbeam size in laser with spherical merrors. J.Opt.Soc. Amer., 1964, v.54, p.1310-1314.

149. Wright E.M., Firth W.J. Orthogonality properties of generaloptical resonator eigenmodes. Opt.Commun., 1982, v.40, p.410-412.