Геометрический анализ задачи Якоби и ее обобщение на случай пространства постоянной положительной кривизны тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова '

Р Г 5 ОД

ЖЕТ

1 7 (Ш «96

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 531.01

КРАВЧЕНКО Наталья Николаевна

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ЖОБИ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ ПОЛОШЕЛЬНОИ КРИВИЗНЫ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996 год

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Козлов. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А.П.Иванов, кандидат физико-математических наук, доцент С.Д.Фурта. Ведущая организация - Институт проблем механики РАН.

Защита диссертации состоится 4 октября 1996 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д" 033.05.01 по механике при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, Главное здание МГУ, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 4 сентября 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.05.01 при МГУ, доктор физико-математических наук

Д. В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Как известно, интегрируемые задачи составляют редкое исключение, и поэтому особую актуальность приобретают вопросы, связанные с их детальным качественным исследованием. Интегрируемые задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде и о движении материальной точки по поверхности эллипсоида под действием упругой силы привлекали внимание многих исследователей на протяжении полутора столетий. В связи с развитием в последние десятилетия новых методов качественного анализа интегрирует динамических систем появилась возможность их применения для решения классических задач механики.

Предельный случай задачи Якоби - задача о гармоническом осцилляторе внутри эллипса - относится к интегрируемым биллиардным системам, которые интересны еще и тем, что возникают в ряде важных задач механики и физики (виброударные системы, дифракция коротких волн, геометрическая оптика]).

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена геометрическому анализу задачи Якоби о движении материальной точки по поверхности трехосного эллипсоида под действием упругой силы, линия действия которой проходит через центр эллипсоида, изучению предельного случая этой задачи - биллиарда внутри эллипса, а также обобщению этих результатов на случай пространства постоянной положительной криви-

зны.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

1) Для задачи Якоби о движении точки по поверхности эллипсоида -з поле упругой силы построена бифуркационная диаграмма, найдены области возможности движения и детально исследованы некоторые частные движения.

2) Для соответствующей биллиардной задачи в эллипсе построены области возможности движения и проведен анализ движений в случае зависимости первых интегралов.

3) Построена бифуркационная диаграмма обобщенной задачи Якоби (задачи о движении материальной точки по двумерной поверхности пересечения трехмерной сферы и трехмерного конуса с вершиной в центре сферы - аналогу двумерного эллипсоида в обычном трехмерном пространстве в потенциальном силовом поле).

4) Для предельных случаев обобщенной задачи Якоби найдены области возможности движения и выполнен анализ особых случаев - движений, возникающих в случае зависимости первых интегралов.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер.

• Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ. "

Основные результаты диссертации содержатся в работах автора, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена на 208 страницах и содержит 118 рисунков. Библиография диссертации насчитывает 37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обзор работ, относящихся к теме диссертации и изложены основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена качественному анализу задачи Якоби о движении материальной точки по поверхности трехосного эллипсоида

X2 х2 х3

1 2 з

- + - + - = 1

а + X а + А. а + X

11 2 1 3 1

под действием упругой силы, центр которой совпадает с центром эллипсоида. К. Якоби проинтегрировал эту задачу методом разделения переменных и указал дополнительный интеграл в эллиптических координатах.

В первом параграфе Главы 1 приведена классическая схема введения эллиптических координат (X , X3D и выписаны первые интегралы уравнений движения Синтеграл энергии H=h и дополнительный первый интеграл Fz= с, независимый с Я) с использованием эллиптических координат.

Во втором параграфе проведен геометрический анализ этой задачи. Неравенства

§а 3 < О < «А/ 3, где 2$Ш= - -у- М.2 + ЛА + с,

3 ¡2 ш

СМ - коэффициент упругостиЗ определяют области возможности движения на поверхности эллипсоида при заданных константах интегралов Ли с. Вид этих областей существенным образом зависит от расположения корней многочлена §Ш между числами -а (¿=1,2,33. Возможны четыре случая расположения этих корней между указанными числами для положительных и отрицательных к и, следовательно, четыре типа областей возможности движения в случае притягивающей и отталкивающей сил.

Здесь же приведены сведения о строении бифуркационного множества - такого множества в плоскости констант интегралов И и с, каждой точке которого отвечает критический совместный уровень этих интегралов Сэто означает, что интегралы зависимы при этих значениях в некоторых точках фазового пространстваЗ.

Бифуркационные кривые (Ю (1=1,2,3,43, где

1 И2

с^Ю- + -г- (1=1,2,33, с+(Ю= -

разделяют плоскость констант интегралов на области, в пределах которых качественный характер движения одинаков. Бифуркационная диаграмма задачи Якоби для случая притягивающей силы приведена на рис.1. Когда постоянные интегралов связаны одним из соотношений с= =с СЮ, удается дать простое описание движения.

с

Рис. 1

Во второй главе работы изучен предельный случай задачи Якоби-задача о гармоническом осцилляторе в эллипсе. Устремив в уравнении эллипсоида квадрат малой полуоси к нулю, получаем задачу о движении материальной точки внутри эллипса под действием центральной упругой силы. В отсутствие внешних сил ■ такой предельный переход впервые осуществил Дж. Биркгоф. В.В.Козлов доказал, что добавление притягивающей или отталкивающей упругой силы с центром в начале координат также приводит к интегрируемой биллиардной задаче.

В первом параграфе Главы 2 выписаны первые интегралы этой задачи, полученные из интегралов задачи Якоби с помощью предельного

перехода.

Второй параграф посвящен геометрическому анализу этой задачи. Те же неравенства iik^ < 0 < §(Хг) определяют области возможности движения внутри эллипса. Как и в Главе 1, имеются четыре области для положительных и отрицательных к. В особых случаях (когда интегралы зависимы) описан характер движения.

В третьей главе рассмотрено обобщение задачи Якоби на случай пространства постоянной положительной кривизны (трехмерная сфера в четырехмерном евклидовом пространстве) - задача о движении материальной точки по двумерной поверхности пересечения трехмерной сферы X2 + f + 2® + I2 = 1 и трехмерного конуса

х2 f zz Is

-+ -+-+-= о

а8 + "/З2 + f/ -f + if v*

с вершиной в центре сферы (эта поверхность является аналогом двумерного эллипсоида в обычном трехмерном пространстве), а поле сил

задается потенциалом а

V=-, а = const.

х2

Этот потенциал является естественным обобщением потенциала упругой пружины (В.В.Козлов, А.О.Харин). Интегрируемость обобщенной задачи Якоби доказана в работах В.В.Козлова и Ю. Н. Федорова.

В первом параграфе Главы 3 описана процедура введения сфероконических координат и с их использованием выписаны первые интег-

ралы этой задачи (интеграл энергии Я= h и дополнительный интеграл 6 = независимый с Ю.

Во втором параграфе проведен качественный анализ обобщенной задачи Якоби и построена бифуркационная диаграмма. Бифуркационные кривые ^(Ю (¿=1,2,3,4,5), где

а Сс?+ ^Хс^ у2) a efCtf + у2) gi(Ю=-----= const ,'g2(W= (?h +

а2 + u2 r0

a2 + u2 r0

* CW= y2h +

aa2(a2+ /f)

"777™

4aa2(a2+|32)(a2+}'2)h

a2 +M2

делят плоскость констант интегралов на области, в пределах каждой из которых качественный характер движения одинаков. Бифуркационная диаграмма для случая-а-> О приведена на рис.2. •

Рис.2

Четвертая глава посвящена изучению предельных случаев обобщенной задачи Якоби, когда (ß стремится к одному из своих предельных значений СО, ß2 или - задачи о движении точки по двумерной сфере в трехмерном пространстве.

В первом параграфе указан конкретный вид поверхностей, по которым происходит движение в этом случае.

Второй параграф посвящен описанию строения областей возможности движения и вида движений в случае зависимости интегралов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Ильинская (Кравченко) H.H. Геометрический анализ задачи о гармоническом осцилляторе в эллипсе // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1991. N1. 0.88-93.

2. Кравченко H.H. Несколько замечаний к задаче о гармоническом осцилляторе в эллипсе // В сборнике "Аналитические численные и экспериментальные методы в механике". М.: Изд-во Моск. ун-та. 1995. С. 29-32.

3. Кравченко H.H. Геометрический анализ обобщенной задачи Якоби // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1996. N 4. С. 69-73.