Гидродинамические и теплофизические особенности соударения капель расплава с твердыми поверхностями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Предисловие.

Глава Г Введение.

1. Гидродинамика соударения капли с твердой поверхностью.

2. Приближенные модели процесса удара и растекания капли на подложке.

3. Численное моделирование задачи соударения капли с плоской недеформируемой поверхностью.

4. Фазовые переходы при больших скоростях охлаждения.

5. Выводы и формулировка целей исследования.

Глава П. Физические особенности соударения капли расплава с подложкой.

1. Гидродинамика соударения капли с подложкой.

2. Теория кристаллизации переохлавденной жидкости.

2.1 Кинетика роста кристаллов.

2.2 Кинетика зарождения центров новой фазы.

3. Критерий стеклования расплавов металлов при закалке из жидкого состояния.

3.1. Термодинамика и кинетика стеклования.

3.2. Решение сопряженной задачи теплообмена.

3.3. Критерий стеклования р,асплава.

Г.чава Ш. Численный метод ревдения нестационарных задач термогйдродвнамики, основанный на прямом моделировании локальной стругстуры потока.

1. Ограничения на диффузионное число для неявных схем.

2. Описание метода моделирования локальной структуры потока (ЛСП).

3. Метод дробного объема.,.

4. Алгоритмическое и программное обеспечение метода моделирования ЛСП.

5. Тестирование метода на модельных задачах.

6. Выводы.

Глава IV. Численное моделирование гидродинамики растекания и сопряженного кондуктивно-конвективного теплообмена при ударе капли о подложку.

1. Воздействие мгновенного давления на ограниченный объем жидкости.

2. Постановка граничных условий на свободной поверхности.

2.1 Граничные условия на свободной поверхности в цилиндрической системе координат.

3. Применение метода ЛСП к численному исследованию стадии вязкого напорного растекания капли.

3.1 Стадия вязкого напорного растекания.

3.2 Численное исследование сопряженного кондуктивно - конвективного теплообмена.

4. Обсуждение результатов численного моделирования.

Глава V. Аналитические методы исследования нестационарного сопряженного кондуктивно-конвективного теплообмена.

1.1 Приближение идеального растекания в окрестности критической точки. 13 6 12 Приближение вязкого растекания в окрестности критической точки.

2. Метод аналитического исследования сопряженной задачи контактного теплообмена.

3. Тепловое воздействие концентрированного нестационарного теплового источника на подложку.

Глава VI. Фазовые переходы при соударении капли с подложкой.

1. Равновесное затвердевание.,.

1.1 Обсуждение результатов применения модели равновесной кристаллизации.

2. Последовательная неравновесная кристаллизации.

3. Модель спонтанной кристаллизации тонкого слоя расплава, приведенного в контакт с массивной подложкой.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Численный метод решения и результаты.

Глава VII. Асимптотическая теория растекания капли.

1. Влияние динамического краевого угла на поздних стадиях растекания капли.

1.1 Потенциальная модель растекания капли.

12 Модель формирования и движение валика.

13 Асимптотическое решение задачи при больших числах Вебера.

2. Учет влияния вязкости жидкости в задаче о растекании капли.

3. Образование пальцев на фронте осесимметричной пленки жидкости, индуцированной ударом капли о твердую поверхность.

3.1 Модель удара.

3.2 Неустойчивость Рэлея-Тейлора.

Процесс соударения капли с поверхностью лежит в основе очень широкого класса естественных явлений и технологий, и его исследование имеет давнюю историю. Первоначально интерес был направлен исключительно к вопросам соударения холодной капли с поверхностью и был обусловлен такими практическими приложениями, как капельная эрозия почвы, лопаток паровых турбин и винтов самолетов, резка твердых материалов с помощью высокоскоростных струй и капель, очистка поверхностей и т. п. Предметом исследования в основном являлась начальная стадия соударения, определяющая величину и длительность давления на данной стадии. Это исключительно сложная задача, т. к. явление соударения включает в себя такие процессы, как образование ударных волн и волн разрежения и их взаимодействие друг с другом, формирование кумулятивных струй и кавитационньпс областей. Следует отметить, что несмотря на довольно значительные усилия, предпринимаемые в исследовании всех этих сложных явлений, существенного прогресса в количественном описании всей гидродинамической стадии соударения не достигнуто. Более того, вплоть до недавнего времени оставались непонятыми даже с качественной стороны такие экспериментально наблюдаемые эффекты, как локализация поперечного растекания капли вблизи твердой поверхности, в то время как ударная волна отходит на большое расстояние от подложки, и значительно большие по сравнению с теоретическими предсказаниями значения углов между свободной и твердой поверхностью, при которьпс начинается развитие кумулятивных струй.

В связи с широким внедрением газотермических методов нанесения покрытий, методов закалки из жидкого состояния, технологий монтировки микроэлектронного оборудования и получения квазикристаллических и наноструктур, значительно расширился диапазон режимных параметров процесса соударения, круг сопутствующих физических явлений, цели и задачи теоретического описания процесса соударения. Основной становится проблема описания всего комплекса явлений в целом - от начальной стадии соударения до принятия каплей своей конечной формы. Наряду с гидродинамическими особенностями удара и растекания капли, важное значение приобретают и теплофизичесие аспекты соударения, в значительной мере определяющие конечное состояние затвердевшей капли. Особую роль в этом играют фазовые переходы, определяющие микроструктуру получаемого материала. В зависимости от диапазона режимных параметров соударения и рода материалов подложки и капли могут реализоваться различные формы фазовых переходов: от равновесной кристаллизации до спонтанной объемной нуклеации. Поэтому особую роль приобретает задача априорного определения сценария фазового перехода. При получении аморфных материалов, наоборот, необходимо сформулировать условия, позволяющие избежать образования зародышей кристаллической фазы.

При проектировании наномасштабных структур и для придания им требуемых свойств, необходимо уметь управлять распределением по размерам кристаллитов в поперечном сечение слоя.

Все эти задачи исключительно сложны для экспериментального исследования, поэтому теоретическое моделирование остается зачастую единственным средством описания этого комплекса явлений.

В этой связи представляется актуальным дальнейшее развитие физико-математических моделей, адекватно описывающих все многообразие процессов при соударении капли расплава с подложкой, а также аналитических и численных методов расчета возникающих при этом задач.

Работа выполнялась в течении 1983 - 2000 г. г. в Институте теплофизики имени С. С. Кугателадзе СО РАН.

В первой главе дан краткий анализ развития физических представлений и методов решения всего комплекса проблем, связанных с соударением капель расплава с твердой поверхностью.

Рассмотрено современное состояние проблемы, связанное с гидродинамическими моделями соударения капли с твердой поверхностью и методами их решения. Проведен анализ существующих инженерных моделей процесса удара и растекания капли на подложке. Дан анализ численных методов. применяемых к решению задач соударения капли с плоской недеформируемой поверхностью. Рассмотрены модели фазовых переходов при больших скоростях охлаждения и значительных переохлаждениях. В заключении первой главы даются выводы и формулируются цели исследования.

Во второй главе рассмотрены основные особенности соударения капли расплава с подложкой. Сформулированы временные оценки и критерии, позволяющие априори выделять самые существенные физические факторы, наиболее полно характеризующие конкретный режим взаимодействия. Дается анализ теорий, используемых для описания кристаллизации переохлажденных жидкостей. ПолзЛены основные рабочие соотношения по кинетике роста кристалла и зарождения центров новой фазы в переохлажденной жидкости. Анализируются условия получения аморфной фазы вещества и рассмотрены термодинамика и кинетика стеклования.

В третьей главе приводится обзор численных методов решения краевых задач для уравнений математической физики. Приводятся результаты, связанные с попыткой создания нового численного метода исследования нестационарных задач термогидродинамики, основанного на прямом численном моделировании локальной структуры потока. Излагается метод дробного объема, разработанный в рамках общих подходов метода локальной структуры потока и предназначенный для решения задач со свободными границами.

Четвертая глава посвящена численному моделированию гидродинамики растекания и сопряженного кондуктивно-конвективного теплообмена при ударе капли о подложку.

В пятой главе рассмотрены аналитические методы исследования нестационарного сопряженного кондуктивно-конвективного теплообмена.

Шестая глава содержит результаты, относящиеся к фазовым переходам при соударении капли с подложкой. Рассмотрены равновесные и неравновесные фазовые переходы и предложен критерий, позволяющий априори прогнозировать характер фазового перехода.

Седьмая глава посвящена разработке асимптотической теории растекания капли по твердой поверхности. Сформулирована модель растекания и колебаний капли, обусловленных динамическим краевым углом. Предложен механизм неустойчивости, приводящий к образованию пальцев на фронте пленки, индуцированной ударом капли о твердую поверхность.

В Заключении сформулированы основные результаты проведенных исследований, даны рекомендации для дальнейшей работы.

На отдельных стадиях выполнения работы принимали участие коллеги и сотрудники автора. Разработка численного метода и модели равновесной кристаллизации разработаны автором совместно с д. т. н. О. П. Солоненко. В постановке задачи о равновесной кристаллизации капли на подложке и в обсуждении полученных результатов принимал участие академик М. Ф. Жуков. Метод обращения преобразования Лапласа-Карсона, основанный на применении рядов Бурмана-Лагранжа, разработан автором совместно с д. т. н. Б. Н. Девятовым. В публикациях, посвященньпс экспериментальным исследованиям соударения капли с подложкой, автору принадлежит теоретическое обоснование ползАенных результатов. В работах по электрофизическим и теплофизическим явлениям в замкнутьпс контактах автору принадлежит создание теоретических моделей процессов. В работах по неравновесным фазовым переходам, асимптотической теории растекания, образованию пальцев автору принадлежит постановка задач и методы их решения. При выполнении численных расчетов, обсуждении полученных результатов активное участие принимали к. ф.-м. н. Д. Ф. Сиковский и студееты НГУ Р. А. Абдулхаликов и А. А. Чернов, руководителем дипломных проектов которых автор являлся.

Автор хотел бы выразить свою искреннюю благодарность настоящим и бывшим сотрудникам Института теплофизики СО РАН, ценные советы и замечания которых способствовали выполнению данного исследования: д. ф.-м. н. Б. А. Урюкову, д. ф.-м. н. М. А. Гольдштику, д. ф.-м. н. Ан. А. Борисову, к. т. н. В. А. Груздеву, О. Н. Цою.

Автор благодарит проф. Чикагского университета С. М. Мегаридиса, любезно предоставившего экспериментальные данные по соударению капель расплава с подложкой при малых скоростях, а также сотрудников Института физики плазмы Чешской Академии наук проф. П. Храску и д-ра Я. Колмана, любезно предоставивших данные по структурному и электронно-микроскопическому анализу.

Особую признательность автор хотел бы выразить академику М. Ф. Жукову, чье постоянное внимание и поддержка способствовали выполнению работы на ее первом этапе и академику В. Е. Накорякову и д. ф.-м. н. А. В. Горину, чья поддержка сделала возможным завершение работы.

6. Выводы

Отметим ряд особенностей разработанного численного метода: 1) полная консервативность по всем переносимым субстанциям; 2) в отличие от неявных конечно-разностных методов, приводящих при решении нестационарных задач к эффекту асимптотического "размазывания" подвижных границ и фронтов знутри расчетной области, предлагаемый метод позволяет избежать необходимости погружения расчетной сетки в область, заведомо превосходящую требуемую; 3) метод учитывает локальную гидродинамическую обстановку внутри контрольного физического объема и позволяет конструировать в процессе расчета границы течения для каждой из переносимых субстанций и визуализировать их перенос; 4) на основе единого алгоритмического подхода, метод позволяет решать сопряженные задачи кондуктивно-конвективного переноса тепла и массы для составных областей, характеризующихся различными масштабами эффективных скоростей.

Глава IV

Численное моделирование гидродинамики растекания и сопряженного кондуктивно-конвективного теплообмена при ударе капли о подложку

Как уже отмечалось в гл. I, в полной постановке решение задачи соударения капли с твердой поверхностью, даже методами вычислительного эксперимента и с использованием мощных компьютеров, представляет значительные трудности. Одной из них является наличие "сверхзвуковой" стадии соударения, когда скорость расширения пятна контакта превышает скорость С распространения возмущений в жидкости. Именно на данной стадии, которую можно считать стадией гидравлического удара с пиком давления порядка наиболее существенно влияние сжимаемости жидкости, формируются ударные волны и волны разрежения, которые, в конечном итоге приводят к перестройке начального поля скорости. В то же время, длительность данной стадии на несколько порядков меньше стадии напорного растекания. На заключительной стадии напорного растекания, когда скорость движения капли значительно падает, доминирующими становятся другие физические факторы, существенно влияющие на динамику растекания. К ним относятся капиллярные силы на трехфазной линии контакта. Возникает проблема динамического краевого угла, удовлетворительного решения которой нет вплоть до настоящего времени. На промежуточной стадии растекания капли возможно ее разрушение, кольцевая потеря сплошности, неустойчивость переднего фронта капли, приводящая к пальцеобразованию. Кроме того, как отмечалось в гл. II, при непрерывном переходе от низких чисел ^е, Ке к высоким, имеется как минимум четыре режима растекания, принципиально различающихся по набору физических факторов, ответственных за динамику растекания. Поэтому, по нашему мнению, невозможно создать единую вычислительную процедуру, позволяющую сквозным образом рассчитывать все стадии динамики удара и последующего растекания. в настоящей работе предлагается следующий подход к решению задачи удара и растекания капли при числах \Л е»1. На основе имеющихся результатов исследования начальных стадий соударения [12], [35], [36] можно сделать следующие выводы: 1) для различных начальных форм капель переход к стадии напорного растекания достигается примерно за одинаковое время; 2) поля скоростей для случаев моделей сжимаемой и несжимаемой жидкости при достижении стадии напорного растекания близки. Кроме того, в силу малости числа Маха М = Ь7С«1, можно пренебречь деформацией капли на начальньос стадиях соударения.

Таким образом, исходную задачу об ударе капли о поверхность можно представить в виде последовательности подзадач. Сначала с помощью теории удара Седова определяются поля скоростей и давления непосредственно после момента начального контакта капли с твердой поверхностью. На данной стадии достаточно рассмотреть, на основании вышесказанного, удар цилиндрической капли с высотой, равной диаметру исходной сферической и радиусом, определяемым из равенства масс. Решение этой задачи используется в качестве начальных условий для последзтощего численного исследования процесса напорного растекания вязкой капли.

Последовательно рассмотрим постановку и решение этих задач.

1. Воздействие мгновенного давления на ограниченный объем жидкости

Так как длительность сверхзвуковой стадии, согласно результатам гл. II, составляет время порядка МЛ, то для чисел М « 1, можно считать действие давления гидравлического удара мгновенным.

Рассмотрим, согласно [119], реакцию ограниченного объема идеальной несжимаемой жидкости на воздействие мгновенного давления р'.

Запишем уравнение движения жидкости, включив в него мгновенное давление: dW 1 1 = --grad/.--grad/,' .

Интегрируя данное уравнение в интервале времени t е [0,т] действия мгновенного давления и пренебрегая первым членом в правой части, т. к. р «р' получим г 1

W-Wo = - -gc& Л 'dt. (1) оР

Здесь W и Wo - векторы скорости одной и той же частицы жидкости в после действия р ив начальный момент времени, соответственно. Так как т мало, можно пренебречь смещением жидкой частицы и считать, что скорости Wn fFo относятся к одной и той же точке пространства. Запишем (1) в следующем виде т

W-Wo = - grad (П/р), Ii=\p'dt. (2) о

Поскольку в начальный момент времени поле скорости в капле является безвихревым (Wo grad Фо, где Фо = - f/z), из (2) следует, что оно останется безвихревым и после действия мгновенного давления. Следовательно, потенциал Ф можно представить следующим образом:

Ф = Фо - ХИр + const.

Таким образом, решение первой подзадачи заключается в определении потенциала Ф из уравнения Лапласа

АФ = О, (3) с соответствующими граничными условиями, которые, например, для цилиндрической капли высотой Н и радиусом R имеют вид: а.Ф(г,0) = О, Ф(г,Я) = ~иН,г& [ОД], (4)

0(R,z) = ~Uz,ZG[O,H]. (5)

Используя результаты работы [120], решение задачи (3) - (5) запишется в следующем виде

Н— z jo(A, -)sh(- —Ц,)

Ф{г,г) = -Uz - 2URZ-§-• (6)

Здесь /4 - корни функции Бесселя нулевого порядка, т. е. корни уравнения Л(//)=0.

Из решения (6) получим распределения продольной и поперечной компонент скорости в капле, наведенных в ней действием мгновенного давления р':

У а—2

Члл) = -и+гил,-1-, (7) т и ~ г v(r,z) = 2 f/Z-1 — . (8)

Запишем выражения (7), (8) в безразмерной форме, переходя к следующим переменным : u = uU,v = vU,z = zH,r = гН,г - HIR (в дальнейшем, там где это не вызовет недоразумений, черту над безразмерными переменными опускаем)

AiA/,(pjch(sAiA) л ' л р,Л(ц,)сЬ(8|а,) • л л

Для полного решения первой задачи необходимо найти согласованное с полем скорости (9), (10) поле давления внутри капли. С этой целью преобразуем уравнение Навье-Стокса a.PF+(r-v^ = - -y/? + vAPr, (11) р воспользовавшись уравнением неразрывности divfF = О и тождеством tsW = grad div W- rot rot W. Будем иметь dtW+ (Г-V) Ж= - (l/y9)grad/7 - Vrot rot W. (12)

Домножим уравнение неразрывности на PF и сложим с (12): dtW+ Div WW= - (l/p) gradp-vrot rot W.

Взяв операцию div от последнего уравнения, ползшим уравнение Пуассона для давления

А(р/р)л div Div WW. (13)

Уравнение (13) в цилиндрической системе координат имеет вид д д Р д д г -ru' +2 ruv + гу (14) dz dz дг дг .dz- dzdr дг

Воспользовавшись правилом Лопиталя, можно преобразовать (14) к уравнению, справедливому и на оси симметрии г = О

Р + 2 Р и'+4 (15) dz' .dz' dzdr дгл К '

Замкнем уравнения (14), (15), присоединив к ним следующие граничные условия:

- на оси симметрии (г = 0): д,р = О,

- на твердой поверхности (г = 0): длр = О, (16)

- на свободной поверхности: р = Ро

Решением задачи (14)-(16), а также выражениями для компонент скоростей (9), (10) полностью заданы начальные условия для стадии растекании капли на твердой поверхности.

Так как в процессе решения второй задачи методом моделирования локальной структуры потока необходимо на каждом шаге по времени находить поле давления, которое принадлежит множеству вспомогательных переменньпс НА, остановимся на этом вопросе подробнее.

Проведем дискретизацию расчетной области, введя семейство контрольных физических объемов, показанных на рис. 4.1.

Следуя основным концепциям метода ЛСП, проведем осреднение продольной компоненты скорости и по грани [гААур, а поперечной компоненты V по грани

-л+-]/2

Г]-У2 Г,+1/2

Рис. 4.1. Схема дискретизации расчетной области. Выделен КФО (г,]).

2,а1/2, 2/+1/2], "привязывая" средние значения м и V к серединам соответствующих граней и 2 "У . , 4 л ряв?1а„й--2,,,,2)1

У+1/2 /-1'2 г,1/2 0+1'2 0-1/2 п=1 лМ'в'лДМ,пл сЬ(8|а„)

X [л1/2л (е|л/;-м/2) - '*/-угЛ (е|л/>-1/2)] • (17)

1 ^ л л «0+1/2) \1^т = - 1 — и = - -2—л---х л;+1/2 ^1-\12 ц1п лг+х/2 л1-1/2 „=1

X {С11[8Р„ (1 - 2,,,,2 )] - С11[8Ц, (1 - 2,,,з )]} . (18) в процессе вычислений необходимо по известной продольной компоненте скорости и восстанавливать поперечную компоненту V. С этой целью проинтегрируем уравнение неразрывности, которое в цилиндрической системе координат имеет вид ди 1 йгу --:Г = 0 , (19) дг г дг по КФО (/,у) и по осевому КФО (/, 0): лг+1/2 0+12 0+1/2 !иуг д^

С12С1Г = 0. (20) ^ дг •' д2

-1/2 0-1/2 ■> лгб/г + -с&б&- = О.

21)

Один раз интегрируя выражения (20), (21) и используя теорему о среднем, соответственно получаем

2 2

Л]-У2 , , 0+1/2 ~ 0-1/2

П.у+1/2 = —у,-./-,/2 - (Ч+1/2 - и,-1/2)-, (22)

0+1/2 Л"гО+1/2

У.1/2 = -0,5л(м,,,/2,о -Щ-ха,,) • (23)

Здесь Нх = 241/2 - .гг-иг.

Следует отметить, что определение компонент м и V начального поля скорости представляет значительные сложности из за медленной сходимости рядов (17) и (18). Поэтому вычисление компонент скорости проводилось с помощью процедуры Шенкса [121], предназначенной для суммирования расходящихся (сходящихся по Чезаро) и медленно сходящихся рядов. Данная процедура подразумевает следующее преобразование над частичными суммами 8п. е(8„) = {8„-18„+1 - 8„л')/(8„+1вл1 - 28„Х обеспечивающее очень быструю сходимость.

Проверка корректности результатов суммирования ряда (17) с помощью процедуры Шенкса проводилась следующим образом: поперечная компонента скорости вычислялась как из конечно-разностного аналога уравнения неразрывности, так и из явного выражения (18). Результаты вычисления приведены в таблице 4.1.

На рис.4.2 приведено векторное поле скорости, индуцированное ударом капли о твердую поверхность. Видно, что основное изменение поля скорости локализовано вблизи подложки, причем максимальное значение скорости примерно в два раза превышает начальную скорость. Найденные значения продольной (17) и поперечной (18) компонент скорости служат для определения поля давления из решения задачи (14) - (16). Так как в процессе решения приходится определять поле давления как для невязкого (в начальный момент времени), так и для вязкого течений, рассмотрим отдельно каждый из этих двух случаев.

Заключение

В диссертации представлены результаты автора, относящиеся к проблеме соударения капли расплава с твердой поверхностью. Полученные результаты позволяют интерпретировать данные экспериментов и совершенствовать методы расчета процессов соударения, прогнозировать результат удара и растекания капли на подложке и оптимизировать режимы получения материалов с заданными свойствами. Ниже кратко сформулированы основные результаты исследования.

1. Найдены характерные времена и определяющие неравенства для чисел подобия, позволяющие проводить априорную оценку вклада каждого из физических факторов в процесс растекания и прогнозировать конечное состояние капли после ее затвердевания на подложке.

2. На основе критерия Деворы предложены условия аморфизации расплава при закалке из жидкого состояния. Предложен механизм ударного переохлаждения, который совместно с разработанными критериями аморфизации позволил предложить ряд принципиально новых способов получения аморфных материалов, альтернативных методам закалки из жидкого состояния.

3. Впервые получено решение задач нестационарного сопряженного теплообмена в квазистационарном приближении идеального и вязкого растекания капли в окрестности критической точки в приближении малости чисел Ре. Полученное аналитическое решение позволяет прогнозировать температуру в критической точке с учетом вклада конвекции, что представляет принципиальный интерес при оптимизации режимов напыления и теплообмена.

4. Предложена методика решения нестационарной задачи сопряженного кондуктивно-конвективного теплообмена, приводящая к простым аналитическим выражениям, удобным для инженерных исследований.

5. Предложена физико-математическая модель удара капли с подложкой, заключающаяся в явном выделении двух стадий соударения: ударного взаимодействия и напорного растекания. Причем решение первой задачи служит начальным условием при решении второй. Предложенный подход позволяет учесть удар капли, но в то же время избежать численного расчета исключительно сложной газодинамической стадии соударения. Получены, в наиболее общем виде, граничные условия на свободной поверхности в цилиндрической системе координат.

6. С помощью разработанного метода моделирования локальной структуры потока впервые решена задача сопряженного кондуктивно-конвективного теплообмена при ударе вязкой капли о подложку в полной трехмерной постановке. Полученные в расчетах такие физические эффекты, как смещение максимума давления на периферию капли, кольцевой разрыв капли, более чем двукратное превышение скорости истечения пленки над скоростью удара, полностью совпадают с данными экспериментов. Впервые определена скорость охлаждения капли при растекании, которая достигает более чем 10* К/с и показано, что преимущественный теплоотвод действительно осуществляется в радиальном направлении, что подтверждается результатами экспериментов. Найденные значения средних чисел Ми полностью соответствуют численным данным других авторов.

7. Разработанные модели равновесной, неравновесной и спонтанной кристаллизации позволяют рассчитать практически любой из режимов соударения капли с подложкой, встречающихся в практике термического напыления и закалки из жидкого состояния. Кроме того, модель спонтанной кристаллизации слоя расплава на массивной подложке позволила определить микроструктуру поперечного сечения затвердевшего слоя, что открывает возможности управления микроструктурой получаемого материала.

8. Предложенная асимптотическая модель растекания капли на подложке позволила впервые объяснить и описать образование валика на фронте пленки, индуцированной ударом капли о твердую поверхность и колебания капли. Показано, что основные результаты, полученные на основе "геометрических" моделей растекания, вытекают из асимптотической теории.

В качестве рекомендаций для дальнейшей работы, которые вытекают из полученных результатов, можно указать следующие направления исследований:

1. Применение модели спонтанной кристаллизации для задачи объемного газовыделения при затвердевании капли на подложке;

2. Разработка методов нетермического получения метастабильнък и аморфных металлических материалов, к которым можно отнести кумулятивные и фрикционные методы;

3. Создание экспериментального стенда для определения кинетических свойств вещества;

4. Создание коммерческих программных пакетов расчета процессов растекания и затвердевания капли на подложке;

5. Проведение экспериментальных исследований, направленных на проверку гипотез, лежащих в основе приведенного теоретического исследования.

1. Hayes D. J., Wallace D. В., BoldmanM. Т., Marusak R. E. Picoliter solder droplet dispersing// 1.t. J. Microcircuits and Electronic Packaging.-1993.-V.16.- P. ITS-ISO.

2. Куницкий Ю. A., Коржик В. Н., Борисов Ю. С. Некристаллические металлические материалы и покрытия в технике. Киев: Тэхника, 1988.

3. Worthington А. М. А study of splashes. New York: MacMiUan, 1908.

4. Cook S. S. Erosion by water hammer// Proc. R. Soc. London Ser. A.- 1928.-V. 119.-P. 481-488.

5. Wagner H. Über Stoss- und Gleitvorgänge an der Oberfläche von Flüssigkeiten// Z. Angew. Math. Mech.-l932.-Band 12, Helft 4.-S. 193-215.

6. Engel. O. G. Water drop collision with solid surfaces// J. Res. Nat. Bur. Stand.-1955.-V. 54.-P. 281-298.

7. Engel. О. G. Damage produced by high-speed liquid drop impacts// J. Appl. Phys. -1972.-V. 44.-P. 692-704.

8. Savic P., Boult G. T. The fluid flow associated with the impact of liquid drops with solid surfaces// Proc. Heat Transfer Fluid Mech. Inst., California Inst, of Tech.-1957.-Pasadena, Califomia.-P. 43-81.

9. Bowden P. P., Field J. E. The brittle fracture of solids by liquid impact, by solid impact and by shock// Proc. R. Soc. London Ser. A. 1964.-V.282.-P. 331-352.

10. Heymann F. J. High-speed impact between a liquid drop and a solid surface// J. Appl. Phys.-1969.-V. 40, N.13.-P. 5113-5122.

11. Stow C. D., Hadfield M. G. An experimental investigation of fluid flow resulting from the impact of a drop with unyielding dry surface// Proc. R. Soc. London Ser. A. 1981.-V. 373.-P. 419-441.

12. Коробкин A. A. Начальная асимптотика решения задачи о падении капли на плоскость//Журн. прикл. мех. и техн. физ.- 1982.-№5.-С. 38-45.

13. Korobkin А. А., Pukhnachov V. V. Initial stage of water impact// Ann. Rev. Fluid Mech.-1988.-V. 20.-P. 159-185.

14. М. в. Lesser. Analytical solutions of liquid- drop impact problems// Proc. R. Soc. Lond. Ser. A.-1981.- V. 377.-P. 289-308.

15. Гонор A. Л., Ривкинд В. Я. Динамика капли. Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. - Т. 17.-М.: ВИНИТИ.-1982.-С. 86-159.

16. М. В. Lesser, J. Е. Pield. The Impact of Compressible Liquids// Ann. Rev. Pluid Mech. 1983.- V.15.- P. 97-122.

17. Camus J. J. A study of high speed liquid flow in impact and its effect on solid surface// PhD thesis, Univ. of Cambridge, 1971.

18. Коробкин A. A. Соударение жидких и твердых масс: Дис.д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 1995.

19. Стебновский С. В. Особенности начальной стадии растекания капли на твердой поверхности//Журн. прикл. мех. и техн. физ.- 1979.-№1.-С. 89-92.

20. Chandra S., Avedisian С. Т. On the collision of a droplet with a solid surface// Proc. R. Soc. London A.- 1991. -V. 432. P. 13-23.

21. Karl A., Anders K., Prohn A. Experimental investigation of droplet deformation during wall collision by image analysis// ASME Exp. Num. Plow Visualization FED. -1993. -V. 172.-P. 135-144.

22. Fukanuma H., Ohmory A. Behavior of mohen droplet impinging on flat surfaces// Proc. of the 7* National Thermal Spray Conference, Boston, MA, June 1994.- P. 563-568.

23. Madejski J. Solidification of droplets on a cold surface// Int. J. Heat and Mass Transfer.-1976.-N19.-P. 1009-1013.

24. Fukanuma H. An analysis of the porosity producing mechanism// Proc. Jnt. Thermal Spray Conf & Exposition, Oriando, Florida, USA, 28 May 5 June 1992. -P. 767-772.

25. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики / Вычислительные методы в гидродинамике.-М.: Мир.-1967.-С.316-342.

26. Jentry R. А., Martin R. Е., Daly В. J. An eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems// J. Comput. Phys.-1966.-V. 1, N1 .-P.87-118.

27. Харлоу Ф., Амсден Э., Херт С. Численный расчет течений жидкости при произвольном числе Маха// Численные методы в механике жидкостей.-М.: Мир.-1973.-С. 189-196.

28. Херт С. Произвольный лагранжево элеров численный метод// Там же.- С. 156-164.

29. Amsden А., Hirt С. W. YAQUI: arbitrary lagrangian-eulerian computer program for fluid flow at all speeds// Los Alamos Sci. Lab. Rept. № LA-5100.-Los Alamos, 1973.

30. Батлер Т. Развитие метода LINC// Численные методы в механике жидкостей.-М.: Мир.-1973.-С. 146-155.

31. Harlow F. Н., Welch J. Е. Numerical study of large amplitude free surface motion// Phys. Fluids.- 1966.-P. 842-885.

32. Amsden A. A., Harlow P. H. The SMAC method: a numerical technique for calculating incompressible fluid flow// Los Alamos Sci. Lab. Rept. № LA-4370.-Los Alamos, 1970.

33. Белоцерковский О. M., Давыдов Ю. М. Нестационарный метод "крупных частиц" для газодинамических расчетов// Жзфн. вычисл. математики и мат. физики.-1971.-Т.11, №1.-С. 182-207.

34. Harlow Р. Н., Shannon J. P. The splash of a liquid drop// J. Appl. Phys.-1967.-V. 38,N10.-P. 3855-3866.

35. Huang Y. C, Hammit P. G., Yang W.-J. Spherical droplet impingement on flat rigid surface: non-slip boundary condition// Proc. 4*" Conf Fluid Mach, Budapest. -1972.-P. 621-652.

36. Хуанг, Хэммит, Янг. Гидродинамические явления при высокоскоростном соударении капли жидкости с жесткой поверхностью// Тр. амер. общ-ва инженеров-механиков. Сер. Д ( Теоретические основы инженерных расчетов).- 1973. Т. 95, №2. - С. 183-202.

37. Bmnton Т. Н., Camus Т. Т. The Flow of а Liquid Drop During Impact// Proc. of 9* Int. Conf. High-Speed Photogr.- 1970.-SMPTE, New York. P. 444-450.

38. Суров В. С, Агеев С. Г. Двумерные расчеты соударения капель сжимаемой жидкости с преградой// Изв. СО АН СССР, серия техн. наук. 1989.-Вып. 4. -С. 66-71

39. К. Tsurutani, М. Yao, J. Senda, Н. Fujimoto. Numerical analysis of the deformation process of a droplet impinging upon a wall// JSME Int. J. Ser.(II).-1990.-V. 33.-P. 555-561.

40. T. Watanabe, I. Kuribayashi, T. Honda, A. Kanzava. Deformation and soUdification of a droplet on a cold substrate// Chem. Eng. Sci.-1992.- V. 47. P. 3059-3065.

41. J. Fukai, Z. Zhao, D. Poulikakos, C. M. Megaridis, O. Miyatake. Modeling of the deformation of a liquid droplet impinging upon a flat surface// Phys. Fluids A.-1993. V. 5.-N.11. -P. 2588-2599.

42. Сжимаемость жидких металлов/ В. И. Цапков. М.-1985.-16с.- ТВТ-№3591-85 Деп.

43. М. Pasandidech-Pard, Y. М. Qiao, S. Chandra, J. Mostaghimi. Capillary effects during droplet impact on a solid surface// Phys. Fluid.- 1996.- V. 8. N. 3.- P. 650659.

44. B. D. Nichols, C. W. Hirt, R. S. Hotchkinss. A solution algorithm for transient fluid flow with multiple free boundaries/ Los Alamos Scientific Laboratory.-1980.-LA-8355, UC-32&UC-34.

45. L. M. Hocking, A. D. Rivers. The spreading of a drop by capillary action// J. Fluid Mech. 1982.-V. 121.-P. 425-431.

46. H. Liu, E. J. Lavemia, R. H. Rangel. Numerical simulation of substrate impact and fi-eezing of droplets in plasma spray processes// J. Phys. D Appl. Phys.-1993. V. 26. - P. 1900-1912.

47. M. Pasandideh-Pard, J. Mostaghimi. Deformation and solidification of molten particles on a substrate in thermal plasma spraying// Proc. of the 7* National Thermal Spray Conference-June 1994.-Boston.-P. 405-414.

48. G. Trapaga, J. Szekely. Mathematical modeling of the isothermal impingement of liquid droplets in spraying processes// Metall. Trans. -1991.- V. 22B.- P. 901-908.

49. G. Trapaga, E. F. Matthys, J. J. Valencia, J. Szekely. Fluid flow, heat transfer, and solidification of moken metal droplets impinging on substrates: Comparison of numerical and experimental results//Metall. Trans.- 1992. V. 23B.-P. 701-709.

50. J. Fukai, Y. Shiiba, T. Yamamoto, O. Miyatake, D. Poulikakos, C. M. Megaridis, Z. Zhao. Wetting effects on the spreading of a liquid droplet colliding with a flat surface: Experiment and modeling//Phys. Fluid.-1995.-V. 7.-N. 2.-P. 236-247.

51. Z. Zhao, D. PouUkakos, J. Fukai. Heat transfer and fluid dynamics during the collision of a liquid droplet on a substrate-I. Modeling// Int. J. Heat Mass Transfer.-1996.- V. 39.-N. 13.-P. 2771-2789.

52. C. W. Hirt, B. D. Nichols. Adding limited compressibility to incompressible hydrocodes // J. Comput. Phys.- 1980.-V. 34.-P. 390-400.

53. Чалмерс Б. Теория затвердевания. -М.: Металлургия, 1968.-288с.

54. Данилов В. И. Строение и кристаллизация жидкости. Киев: Изд-во АН УССР, 1956.-586С.

55. Мирошниченко И. С. Закалка из жидкого состояния. -М.: Металлургия, 1982.- 168с.

56. Джоунс Г. Экспериментальные методы быстрой закалки из расплава// Сверхбыстрая закалка из жидкого состояния. М.:Металлургия, 1986.- С.12-67.

57. Кан Р. У. Сплавы, быстро закаленные из расплава/ Под. ред. Кана Р. У., ХаазенаП. Физическое металловедение. Т. 2. - М.: Металлургия, 1987. - С. 406-470.

58. Вуд Д. В., Хоникомб Р. Быстрозакаленные кристаллические сплавы на основе железа// Сверхбыстрая закалка из жидкого состояния. М.: Металлургия, 1986. - С. 94-145.

59. Скрипов В. П., Байдаков В. Г. Переохлажденная жидкость отсутствие спинодали// Теплофизика высоких температур. - 1972.- Т. 10. - Вып. 6. - С. 1226-1230.

60. Скрипов В. П., Коверда В. П. Спонтанная кристаллизация переохлажденных жидкостей. М.: Наука, 1984. - 230с.

61. Х0ЛЛ0М0Н д. Н., Тарнбалл Д. Образование зародышей при фазовых превращениях/ Успехи физики металлов. Т.1.-М.: Металлзфгиздат, 1956. -С.304-367.

62. Задумкин С. Н. К статистической теории межфазной поверхностной энергии металлов на границе кристалл-расплав// Физ. Металлов и металловед.-1962.-Т. 13.-ВЫП.1. -С. 24-32.

63. Судзуки К., Фудзимори X., Хасимото К. Аморфные металлы.-М.: Металлургия.-1987. 328с.

64. А. Р. Baikov, V. А. Ivanchenko, V. I. Motorin, S. L. Musher, A. F. Shestak. The one-component metallic glasses from nickel and molybdenum// Physics Letters.-1985.-V. 113A.-N. 1.

65. Вопросы формирования метастабильной структуры сплавов/ Под ред. И.С. Мирошниченко. -Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1984.

66. Белоцкий А. В., Куницкий Ю. А., Грицкив Я. П. Структура и физические свойства быстрозакаленных сплавов. -Киев: Киев, политехи, ин-т, 1983.

67. Miura П., Isa S., Omuro К., Tanigami N. Production of amorphous based alloys by flame-spray quenching// Trans, of the Japan Inst, for Metals.-1981.- V. 22.-N. 9.-P. 597-606.

68. Payc П., Храска П. Изучение плазменного напыления ZrSi04 с помощью трансмиссионной электронной микроскопии/ Отчет Института Физики Плазмы ЧСАН. -1992.

69. Volmer М. Kinetik der Phasenbildung.-Leipzig, 1939.

70. Гиббс Дж. В. Термодинамические работы. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

71. Volmer М., Weber А. Keimbildung in übersättigen Gebilden// Z. Phys. Chem.-1926. Bd AI 19.- N3/4.-S. 277-301.

72. Becker R., Döring W. Kinetische Behandlung der Keimbildung in übersättigen Dampfen// Ann. Phys. Folge 5. 1935. - Bd 24.- N. 8. - S. 712-752.

73. Kaischew R., Stranski I. N. Zur kinetischen Arbeitung der Keimbildungsgeschwindigkeit// Z. Phys. Chem. 1934. - Bd 26.- N. 4/5.- S. 317326.

74. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. -Л.: Наука, 1975.

75. Зельдович Я. Б. К теории образования новой фазы. Кавитация// ЖЭТФ.-1942.-Т. 12.-ВЫП. 11-12. -С. 525-538.

76. Turnbull D., Fisher J. С. Rate of nucleation in condensed systems// J. Chem. Phys.-1949.-V. 17.-N.1. -P. 71-73.

77. A. П. Байков, В. A. Иванченко, В. И. Моторин, С. Л. Мушер, А. Ф. Шестак. Однокомпонентные металлические стекла.- Новосибирск, 1985.-27с. ( Препринт /АН СССР. Сиб. отд-ние, ИАиЭ , №284).

78. Колмогоров А. Н. К статистической теории кристаллизации металлов// Изв. АН СССР, сер. мат. 1937. - Вып. 3.- С.355-359.

79. Johnson W.A., Mehl R. Е. Reaction kinetics in processes of nucleation and growth// Trans. Amer Inst. Min. Met. 1939. - V. 135.- P. 416-452.

80. Avrami M. Kinetics of phase change. I. General theory// J. Chem. Phys.-1939.-V. 7.-N. 12.-P. 1103-1112.

81. Avrami M. Kinetics of phase change. II. Transformation-time relations for random distribution of nuclei//J. Chem. Phys.-1940.-V. 8.-N. 2.-P. 212-224.

82. Avrami M. Kinetics of phase change. Ш. Granulation, phase change and microstructure//J. Chem. Phys.-1941.-V. 9.-N. 2.-P. 177-184.

83. Александров Л. Н. Кинетика образования и структуры твердых слоев. -Новосибирск. Наука, 1972.

84. Овсянников Л. В. Общие уравнения и примеры/ Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1967. - С. 5-75.

85. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики.- М.: Наука, 1981.-368с.

86. Налимов В. И., Пухначев В. В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей. -Новосибирск: НГУ,1975.

87. Скрипов В. П., Синицьш Е. Н., Павлов П. А., Ермаков Г. В., Муратов Г. Н., Буланов Н. В., Байдаков В. Г. Теплофизические свойства жидкостей в метастабильном состоянии. М. : Атомиздат, 1980.

88. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика.-М.: Наука, 1986.

89. Keller J. В., Miksis М. J. Surface tension driven flows// SIAM J. Appl. Math.-1983.-V.43, N2.-P. 268-277.

90. Schiaffino S., Sonin A. A. Molten droplet deposition and solidification at low Weber numbers// Phys. Fluids. 1997. - V. 9, N11.- P. 3172-3187.

91. Любов Б. Я. Теория кристаллизации в больших объемах.- М.: Наука, 1975.

92. Глесстон С, Лейдер К., Эйринг Г. Теория абсолютных скоростей реакций. Кинетика химических реакций, вязкость, диффузия и электрохимические явления.-М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948.- 583с.

93. УманскийЯ. С, Скаков Ю. А. Физика металлов.-М.: Атомиздат, 1978.

94. Clyne Т. W. Numerical treatment of rapid solidification// Metallurgical Transaction В. 1984.-V. 15.-P. 369-381.

95. Лифшиц E. M., Питаевский Л. П. Теоретическая физика. Т.Х. Физическая кинетика. М. : Наука, 1979.

96. Кир Б. X. Перспективные металлы//В мире науки.-1986.-№12.-С. 99-108.

97. Gutzow I., Schmelzer J. The vitreous state. Thermodynamics, structure, rheology and crystallization.-Beriin: Springer, 1995.

98. Reiner M. The Deborah's number// Physics Today.-1964.-V. 17, Nl.-P. 62.

99. Бартенев Г. М. Структура и механические свойства неорганических стекол.-М.: Стройиздат, 1966.

100. Лыков А. В. Теория теплопроводности.-М.: Высшая школа, 1967.

101. Сверхбыстрая закалка жидких сплавов/ Под ред. Г. Германа.-М.: Металлургия, 1986.-374с.

102. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Нойосибирск: Наука, 1967.

103. Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

104. П. Роуч. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

105. Яненко Н. Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности// ДАН СССР. 1959. - Т. 125. - №6. - С. 1207-1210.

106. Марчук Г. И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1967.

107. Harlow Р. Н., Welch J. Е. Numerical study of large amplitude free surface motion//Phys. Pluids.-1966.-V.9.-P. 842-885.

108. Дьяченко В. Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными// Журн. выч. математики и мат. физики. 1965. - Т.5. - №4. -С. 680-688.

109. ЛансбергГ. С. Оптика. -М.: Гостехиздат, 1957.

110. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969.

111. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974.

112. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

113. Nichols В. D., Hirt С. W. Improved free surface boundary conditions for numerical incompressible-flow calculation// J. of Computational Physics. 1971. -N8.-P. 434-448.

114. Hirt C. W., Nichols B. D. Volume of fluid (V OP) method for the dynamics of free boundaries// J. of Computational Physics. 1981. - V. 39. - N2. - P. 201-225.

115. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. -М.: Наука, 1969.

116. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах.-М.: Мир, 1983.

117. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах.-М.: Наука, 1973.

118. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч.1.-М.: Физматгиз, 1963.

119. Импульсивное взаимодействие деформируемых твердых тел с жидкостью. -М., 1977. -72с. (Отчет/МГУ; №2269).

120. Shanks D. Non-linear transformation of divergent and slowly convergent sequences//!. Math, and Phys.-1955. -V.34.-P. 1-42.

121. Брайтон Дж., Рочестер М. К. Эрозия при ударе жидких капель/Эрозия. -М.: Мир, 1982.-С.201-268.

122. Deville М. О. An alternating implicit algorithm for viscous free surface// J. de Mechanique.-1975.-V. 14, N1.-P. 161-187.

123. C. B. Алексеенко, В. E. Накоряков, Б. Г. Покусаев. Волновое течение пленок жидкости.- Новосибирск: Наука, 1992.

124. Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа.-М.: Наука, 1987.

125. Р. Финн. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория.-М: Мир, 1989.

126. Вилсон Д. Р. Структура жидких металлов и сплавов.-М.: Металлургия, 1972.

127. Мазурин О. В. Стеклование и стабилизация неорганических стекол. М.: Наука, 1978.

128. Манов В. П., Попель С. И., Булер П. И. Оценка температуры стеклования металлов//Изв. АН СССР. Мегаллы.-1986.-№1.-С.76-78.

129. Хейман Ф. Скорость ударной волны и давление при соударении жидкости и твердого тела с высокой скоростью// Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Теор. основы инж. расчегов.-1968.-Т. 90, № 3.-С.85-88.

130. Кудинов В. В., Иванов В. М. Нанесение плазмой тугоплавкрк покрьггий.-М.: Машиностроение, 1981.

131. Н. А. Davies, J. В. Hull. The Fonnation, Structure and Crystallization of Non-Crystalline Nickel Produced by Splat-Quenching // J. of Materials Science.- 1976.-V. 11.-P. 215-223.

132. Лаврентьев M. A., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их физические модели.-М.: Наука, 1973.

133. Майер В. В. Кумулятивный эффект в простых опытах.- М.: Наука, 1989.

134. High Velocity Acceleration of Macrobody/ Eds. A. S. Anshakov & A. I. Fedorchenko. -1994.- NOVA Sciences Publ., Inc.-New York, USA.

135. Иванов E. M., Углов A. A. Теплофизические процессы при плазменном напылении тугоплавких металлов// Физика и химия обработки материалов. -1985.-№2.-0.61-64.

136. Jones Н. Splat cooling and metastable phases// Report on Prog, in Physics. -1973. -V.36.-Nil.-P. 1425-1497.

137. Старовойтенко E. И., Мусиенко В. Т., Бейзеров С. М. Расчет скорости охлаждения частиц расплава при соударении с медной водоохлаждаемой подложкой/ЛТорошковая металлургия.-1981 .-№6.-С. 16-21.

138. Иванов О. А., Шейхалиев Ш. Н. Расчет скорости охлаждения при закалке из жидкого состояния// Изв. АН СССР. Металлы.- 1985.-№5.-С.70-73.

139. Ковнеристый Ю. К., Болотина Н. П., Раваев А. А. и др. Об определении скорости охлаждения при закалке из жидкого состояния// Изв. АН СССР. Металлы.-1983.-№4.-С.76-79.

140. Харламов Ю. А. Термическое взаимодействие частиц с подложкой с учетом скорости их соударения при газотермическом покрытии// Изв. ВУЗов. Машиностроение.-1982.-№1.-С.152-156.

141. Шварцбург А. М. Сопряженная задача нестационарного теплообмена при ударе ламинарной струи о твердое тело//Изв. СО АН СССР.-1982.-№»8, сер. техн. наук.-Вып.2.-С.З-6.

142. Исаченко В. П., Кушнырев В. И. Струйное охлаждение. М.: Энергоатомиздат, 1984.

143. Справочник по специальным функциям/Под ред. Абрамовица М. и Стигана И.-М.: Наука, 1979.

144. Девятов Б.Н. Теория переходных процессов в технологических аппаратах с точки зрения задач управления.-Новосибирск: Ред.-изд. отдел СО АН СССР, 1964.

145. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. -М.: Наука, 1973.

146. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, Ч.1.-М.: Физматгиз, 1962.

147. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа.-М.: Физматгиз, 1958.

148. Регель А. Р., Глазов В. М. Физические свойства электронных расплавов. -М.: Наука, 1980.

149. Зиновьев В. Е. Кинетические свойства металлов при высоких температурах. -М.: Металлургия, 1984.

150. Kitahara S. А. А Study of the bonding mechanism of sprayed coatings// Res. Rept. Inst. Plasma Physics, Naghoya Univ., 1982.-N551.-P. 184-191.

151. B. И. Данилов. Строение и кристаллизация жидкости.-Киев: Изд. АН УССР, 1956.

152. Кудинов В. В. Плазменные покрытия.-М.: Наука, 1977.

153. Уббелоде А. Р. Расплавленное состояние вещества.-М.: Металлургия, 1982.

154. Т. W. Clyne. Numerical treatment of rapid solidification// Metallurgical Transactions B.-V. 15B, 1984. P. 369-381.

155. Черепанов A. H. Анализ подобия в процессах кристаллизации и структурообразования двойных сплавов// Металлы. -1988.- №3.-С. 69-76.

156. X. Jiang, Y. Wan. S. Sam path. SplasMng mechanism of molten impacting on substrate: role of adsorbates on substrate //www.mrs.org/meetings/fall99.

157. H. Marmanis, S. T. Thoroddsen. Scaling of the fingering pattern of an impacting drop//Phys. Fluids.-1996.-V. 8, N6.-P. 1344-1345.

158. S. T. Thoroddsen, J. Sakakibara. Evolution of the fingering pattern of an impacting drop//Phys. Fluids.-1998.-V.10, N6.-P. 1359-1374.

159. Taylor G. J. The dynamics of thin sheets of fluid. JJJ. Disintegration of fluid sheets//Proc. Roy. Soc. London.-1959.-A253.-P. 313-321.

160. P. Розенцвейг. Феррогидродинамика.-М.: Мир, 1989.

161. Я. Е. Гегузин. Капля.-М.: Наука, 1973.

162. R. Ablett. An investigation of the angle of contact between paraffin wax and water//Phil. Mag. -1923.-V. 46.-P. 244-256.

163. A. L. Yarin, D. A. Weiss. Impact of drops on soUd surfaces: self-similar capillary waves, and splashing as a new type of kinematic discontinuity// J. of Fluid Mechanics.-1995.-V. 283,N.25.-P. 141-173.

164. A. И. Борисенко, И. E. Тарапов. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1963.

165. Keller J. В., А., Ting L. Blob formation// Phys. of Fluids.- 1995.- V.7, N1.-P. 226-228.

166. J. Fukai, Z. Zhao, D. Poulikakos, C. M. Megaridis, O. Miyatake. Modeling of the deformation of a liquid droplet impinging upon a flat surface// Phys. Fluids A. -1993.-V.5, Nll.-P. 2588-2599.

167. B. E. Накоряков, A. B. Горин. Тепломассоперенос в двухфазных системах.-Новосибирск: Ин-т теплофизики СО РАН, 1994.

168. К. F. Loehr, А. Lasek. Splashing of drop// Arch. Mech. Stos.-V. 42.-1990.-P.507-604.