Пространственные задачи статики сыпучих сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Ерохина Евгения Николаевна

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ СЫПУЧИХ СРЕД

специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о з (.;др ¿он

Воронеж 2011

4856582

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Вервейко Николай Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сумин Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Зеленев Вячеслав Михайлович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Воронежский государственный

архитектурно-строительный университет», г. Воронеж

Защита диссертации состоится «/%> ОЪ 2011 года в

часов в

конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу 394006, г.Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» Автореферат разослан «

ол

2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Чеботарев А.С.

Актуальность работы. В современных условиях развития науки и техники широкое применение находят сыпучие материалы. Это обуславливает возникновение задач, связанных с нахождением напряженно-деформированного состояния сыпучих материалов. Сложность решения пространственных задач заключается в формальной незамкнутости системы уравнений, описывающей трехмерное пластическое течение материала. В данной диссертации рассматривается построение замкнутой математической модели пластического деформирования связного сыпучего материала.

В числе первых работ по математическому моделированию течения пластического материала были проведены исследования Б. Сен-Венана и М. Леви в 1870 году, в результате которых были получены соотношения для плоской деформации и уравнения в трёхмерном случае. В 1909 году А. Хаар и Т. Карман воспользовались условием полной пластичности, которое соответствует напряжённому состоянию на ребре призмы Треска. Соотношения пространственной задачи в этом случае приводят к статической определимости.

В 1944 году А.Ю. Ишлинский исследовал осесимметричную задачу при условии полной пластичности Хаара-Кармана и установил статическую определимость и гиперболичность пространственной задачи.

Д.Д.Ивлевым было установлено фундаментальное значение условия полной пластичности, а также выявлена гиперболичность, статическая определимость математической модели пластичности при условии Треска, получены уравнения характеристик и соотношений на них.

Г.И. Быковцев и Ю.М. Мяснянкин получили соотношения на поверхностях разрыва напряжений в трёхмерных идеальных жёсткопласти-ческих телах.

В работах Ю.Н. Радаева развита общая теория математической пластичности с условием пластичности Треска и обобщённым ассоциирован-

ным законом, где было проведено исследование трехмерного напряженного состояния идеальных пластических материалов.

Большое влияние на исследования в данной области оказали работы Б.Д. Аннина, A.A. Буренина, Г.И. Быковцева, Н.Д. Вервейко, В.Г. Зубча-нинова, A.A. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, Л.М. Качанова, В.А. Кукуджанова, JI.A. Максимовой, В.П. Мясникова, Ю.М. Мяснянкина, JI.B. Никитина, Ю.Н. Радаева, Т.Д. Семыкиной, В.В. Соколовского, JI.A. Толоконникова, Е.И. Шемякина, С. А. Христиановича и др.

Большой вклад в решение упругопластических задач устойчивости с неизвестной заранее границей раздела упругого и пластического поведения материала внесли А.Н. Спорыхин, А.И. Шашкин, A.B. Ковалев, Д.В. Гоцев.

Диссертация посвящена разработке и реализации метода аппроксимации выпуклого пространственного условия пластичности, а также построению математической модели трехмерного пластического течения связного сыпучего материала, в основе которой лежит замкнутая система уравнений.

В диссертации предлагается аппроксимировать замкнутое условие пластичности, представляющее собой эллипсоид в пространстве главных напряжений, семейством касательных плоскостей. После построения линейно независимых касательных плоскостей общее число уравнений системы, описывающей пространственное напряженное состояние, совпадает с числом неизвестных.

Цели и задачи исследования. Целью проведённой работы является разработка замкнутой математической модели расчета напряженного статически определимого состояния пластического связного сыпучего материала. Поставленная цель достигается посредством:

- преобразования условия пластичности, представляющего собой эллипсоид, в сферу в пространстве главных напряжений;

- получения уравнений касательных плоскостей для пространственного условия пластичности;

- построения замкнутой системы уравнений для пространственного напряженного состояния механики связных сыпучих сред;

- решения конкретных задач теории связных сыпучих материалов с использованием полученных результатов путем применения конечно-разностных схем для решения задач Коши с неизвестной границей в статически определимых задачах пластического деформирования связных сыпучих материалов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы аналитические точные методы исследования, численные методы конечных разностей, а также методы программирования на языке Python.

Положения, выносимые на защиту:

1. Преобразование условия пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского, представляющего собой эллипсоид в пространстве главных напряжений, в сферу;

2. Построение уравнений семейства касательных плоскостей для аппроксимации пространственного условия пластичности;

3. Замкнутая система уравнений в напряжениях, описывающая пространственное напряженное состояние связных сыпучих материалов;

4. Разработка и апробация программы решения задач расчета напряженного пластического и упругопластического состояния сыпучих материалов.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты:

- условие пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского представлено в виде сферы;

- предложена линейная аппроксимация семейством плоскостей пространственного замкнутого условия пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского для связных сыпучих материалов;

- построена замкнутая система уравнений в напряжениях пространственной задачи статики связных сыпучих материалов путем параметризации нелинейных пространственных статически неопределимых уравнений;

- разработан численный алгоритм, а также программа на языке Python, позволяющие рассчитывать плоское и пространственное пластическое и упругопластическое напряженное состояние для конкретных задач.

Достоверность.

Основные научные результаты обоснованы правильно построенной математической моделью, корректным применением математического аппарата теории уравнений в частных производных, теории конечно-разностных схем и использованием современных языков программирования. Достоверность проведенных исследований подтверждается также тем, что полученные результаты совпадают с классическими в случае предельного перехода от условия пластичности для связных сыпучих материалов к классическому условию идеальной пластичности.

Практическая значимость исследования.

Предложенная аппроксимация пространственного замкнутого условия пластичности семейством плоскостей может применяться для решения научных и практических задач пластического течения связных сыпучих материалов, например, на предприятиях горнодобывающей промышленности, порошковой металлургии, а также нефте- и газодобычи.

Предложенный в диссертации метод решения пространственных статически определимых задач механики связных сыпучих материалов может использоваться в учебном процессе при чтении курсов: механика грунтов, механика сыпучих сред, теория пластичности.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

Международная научно-методическая конференция «Информатика: проблемы, методология, технология». Воронеж, 2007.

Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж, 2009.

Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXI» - «Современные методы теории краевых задач», посвященная 70-летию профессора Ю.В. Покорного. Воронеж, 2009.

Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула, 2009.

Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии на базе свободного программного обеспечения». Елец, 2010.

Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», посвященная 80-летию профессора Д. Д. Ивлева. Воронеж, 2010.

Публикации. По теме диссертации в рамках исследуемой темы опубликовано 6 научных работ, перечень которых приведён в конце автореферата. В том числе одна опубликована в журнале из списка перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. Работа содержит Я? страниц машинописного текста, а также содержит /Л- рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приведен краткий обзор научных исследований по теме диссертации, обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы и задачи исследования, научная новизна диссертационной работы, выносимые на защиту научные положения и результаты, показана научная и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе применительно к плоской задаче механики связных сыпучих материалов применен метод линеаризации нелинейного условия пластичности путем его замены в каждой точке парой касательных прямых, точка пересечения которых отстоит на малое расстояние е от границы текучести.

Исследование напряженного состояния пластического материала проводится путем рассмотрения системы уравнений равновесия:

а,,, = 0, (г, у = 1,2), (1)

(где а,, - компоненты тензора напряжений) совместно с условием пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского для связных сыпучих сред:

Ф=11-(У + а11а)2+/2!1=0, (2)

где У - предел текучести, ^«". 'ст.'- второй инвариант девиаторной

части тензора напряжений, /,„ - первый инвариант тензора напряжений, а -коэффициент внутреннего трения, / - коэффициент трения качения структурных элементов среды.

Условие пластичности (2) обладает уникальными свойствами, обобщающими условие пластичности Мизеса и условие Кулона-Амонтона-Соколовского. Так при / = а = 0 условие (2) переходит в условие Мизеса (прямая УМ на рис.1). При / = 0, а * 0 условие (2) представляет собой условие пластичности Кулона-Амонтона-Соколовского для сжимаемых грунтов (прямая УК на рис.1).

Рис. 1. Условие пластичности в пространстве первого и второго инвариантов тензора напряжений.

Таким образом, результаты исследования напряженно-деформированного состояния при условии (2) в пределе при а-* 0 и / -> О будут переходить в решения аналогичных задач идеальной пластичности, а при / 0, а * 0 будут переходить в решение задач идеально сжимаемого пластического материала.

Условие пластичности (2) в осях главных напряжений представляет собой эллипс при / > а . Для упрощения построения касательных прямых удобно провести преобразование эллипса в окружность в новых осях £, ц:

1 = о_ (3)

Элемент дуги окружности (рис.2) вблизи точки М аппроксимируется парой касательных к окружности, пересекающихся в точке М, лежащей па прямой ОМ и отстоящей от точки М на малое расстояние е . Для сокращения количества неизвестных введем параметр р, задающий угол между вектором ОМ и осью £.

и _

Рис.2. Аппроксимация плоского условия пластичности парой касательных прямых Уравнения касательных прямых к окружности с использованием па-

раметра р записываются в виде: (cosР - sin Pt]£(£ + 2))*0 +

+ 77ОЛ((1 + £)2 - cos2 Р - е(2 + s)sin2 р + 2^/е(2 + s) cos/? sin р = 1 (cos Р + sin Рт]е(е + 2))%1> +

+ 1o-J(l + ef - cos2 p - e(2 + e) sin2 p - 2^s(2 + £) cos/? sin p = 1

(4)

(5)

Уравнения равновесия (1) представляется через главные напряжения <т,, ст2 и направляющие косинусы главных напряжений:

(си-Сц - О",),, =0, с„ =со$<р, с21 =ът<р (6)

После замены в уравнениях равновесия (6) главных напряжений сг,, ст2 их выражениями через параметр р была построена замкнутая система квазилинейных уравнений в частных производных относительно двух неизвестных р И (р.

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

(1 - сое 2<р ■ • - 2 8'п 2(р{ёР ■ л//2-«2 + сое 2 +

(7)

+1 + сое2ср■ tgp^fг -а2 = 0.

Анализ уравнения (7) позволяет записать условия параболичности, гиперболичности и эллиптичности системы. На рис.3 показана зависимость типа системы от вида напряженного состояния, выраженного параметром <р. Штриховкой выделены области гиперболичности, сплошным цветом закрашены области эллиптичности.

Рис.3.Области гиперболичности и эллиптичности системы уравнений.

Во второй главе рассматривается нелинейная пространственная задача механики связных сыпучих материалов. В общем случае система уравнений, описывающая состояние материала содержит шесть компонент тензора напряжений, которые удовлетворяют системе трех уравнений равновесия и одному уравнению предельного состояния материала. Система формально является незамкнутой в том смысле, что количество уравнений и число неизвестных не совпадают. Для замыкания системы предлагается использовать метод аппроксимации нелинейного условия пластичности заменой его в каждой точке касательными плоскостями, точка пересечения которых отстоит на малое расстояние е от поверхности текучести.

Исследование пространственного напряженного состояния материала проводится путем рассмотрения системы уравнений равновесия:

аи=Ш] = 1,2,3), (8)

(где <т,у - компоненты тензора напряжений) совместно с условием пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского для случая связных сыпучих материалов:

Ф = /^.-(Г + а/|а)2+/2/12(,=0, (9)

(где У- предел текучести, а - коэффициент внутреннего трения,/- коэффициент трения качения структурных элементов сыпучей среды). Так как в главных осях тензора напряжений это условие пластичности представляет собой эллипсоид вращения (/>а), при записи уравнений касательных плоскостей возникает трудность вычисления молуля градиента в каждой точке. Поэтому желательно произвести последовательное сжатие и растяжение по осям и сдвиг с целью преобразования эллипсоида в сферу:

Ф = £2+72+£2-1 = 0. (10)

На рис. 4 схематически изображена аппроксимация единичной сферы (точки которой задаются углами <р, 0) семейством касательных плоскостей, содержащих прямую М'М, где точка М' является точкой касания плоскости к сфере. Точка может М' принимать любое положение на окружности с центром м°.

Рис.4. Аппроксимация пространственного условия пластичности касательными плоскостями

Для фиксации точки М' на окружности с центром в точке М" вводится угол у, отсчитываемый от плоскости (р=Const в плоскости перпендикулярной нормали п к сфере в точке М. Угловой параметр у/ позволяет записать семейство уравнений касательных плоскостей в общем виде:

I 2 Sin0 + Js(E + 2)Cos9 (\l + е(2 + s)Cos у/--v -Cos<p +

+ i¡e(s + 2) ■ Sin<pSmy/)Cos0 +

, í. I 2 Sin9 + Je(e + 2)Cos9 „ .„.

+ (\1 + г(2 + e)Cos у/--y v-Sirup + (11)

+ тЩе + 2) ■ Cos(fSin у/ )Cos <p • Sin 9 +

Cos9 -Sin9Js(2 + s)Cosw „ „ Л +----- ■ Sin tp-Sin 9 = 1.

£ + 1 Y

В уравнениях равновесия (8) напряжения азаменяются через главные напряжения а, и направляющие косинусы с,г После замены условия пластичности (9) тремя независимыми касательными плоскостями система уравнений, определяющая предельное состояние материала оказывается замкнутой, состоящей из трех дифференциальных уравнений равновесия и трех нелинейных конечных уравнений.

В третьей главе приведены решения прикладных задач статики связных сыпучих материалов.

В параграфе 3.1 в рамках плосконапряженного состояния решена задача определения напряженного пластического состояния и определения упругопластической границы для тонкой пластины с круговым отверстием (кольца) из связного сыпучего материала, нагруженного внутренним и внешним давлениями (рис.5).

Рис.5. Схематичное изображение областей упругости и пластичности. Предполагается, что при определенных значениях внешних нагрузок

в среде возникают области пластического и упругого деформирования, граница между которыми заранее неизвестна.

При описании пластического механического поведения среды используется уравнение равновесия в напряжениях в цилиндрической системе координат:

+ = (12) дг г

Условие пластичности для связных сыпучих материалов записывается в виде:

(1 - За2 + 3/2)(а2 + о>2) - (1 + 6а2 - б/2 о, --6аК(<тг +сгд)-ЗУ2 = 0.

Уравнение равновесия (12) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для и/.

¿о, _ Еаг + Я1 ± -у/Кст; +Ь<тг+М ^

с1г N -г

где £ = -1-12/2 + 12а2, F = 6аГ, К = 3(-1-12/2 + 12а2), £ = 36аГ, М = 12(1 + 3/2)У2, N = 2(1 + 3/2-За2) - параметры, зависящие от коэффициента внутреннего трения а и коэффициента трения качения /.

В качестве условий сопряжения на границе пластической и упругой зон (г = Я) принимались следующие условия:

В качестве упругого решения используются известные классические результаты.

Алгоритм определения упругопластической границы был реализован следующим образом. Начиная с внутренней границы г = а с шагом Л производился расчет радиального напряжения сгг и окружного напряжения ав в пластической зоне. На каждом /-ом шаге =а + И-1 вычислялось окружное упругое напряжение а"0, где в качестве давления Р, на внутренней границе использовалось пластическое радиальное напряжение. В случае совпадения вычисленного окружного упругого напряжения а'д с окружным пластическим напряжением ав с погрешностью е значение г принималось за границу упругопластической зоны:

(16)

Численный эксперимент показал, что увеличение внешнего давления при неизменном внутреннем давлении ведет к уменьшению зоны пластического деформирования (рис.6). Этот факт объясняется тем, что увеличение внешнего давления рь ведет к сжимающим окружным напряжениям а"в, что компенсирует растягивающие окружные напряжения а0, возникающие за счет давления Ра на внутреннем контуре.

а) =0.1, Я =1.22 б) Рь =0.15, Д =1.09

а=0.3,/=1.8 а=0.3,/=1.8

Рис.6. Графики поведения окружного и радиального напряжений в пластической и упругой зонах при различных значениях внешнего давления.

В параграфе 3.2 в рамках плоской деформации решена задача определения напряженного пластического состояния и определения границы упругопластической зоны для толстой пластины с цилиндрической выточкой (цилиндрической трубы) из связного сыпучего материала, нагруженной внутренним и внешним давлением (рис.5).

Предполагается, что при определенных значениях внешних нагрузок в среде возникают области пластического и упругого деформирования, граница между которыми заранее неизвестна.

При описании механического поведения среды используется уравнение равновесия (12) в напряжениях в цилиндрической системе координат.

Условие пластичности для связных сыпучих материалов записывается в виде:

(1-За2 + 3/2)(<т2 +ае2 +а;)-(1 + 6а2 -6/2)(стгав + <хг(т, -6аУ(аг +<ув +<т,)-ЗУ2 = 0.

Уравнение равновесия (12) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для сг вида (14) с другими значениями коэффициентов Е, К, М, Ь, N.

Алгоритм определения упругопластической границы в случае плоской деформации аналогичен алгоритму определения упругопластической границы для плоского напряженного состояния.

Результаты численных экспериментов приведены на рис.6, откуда видно, что увеличение коэффициента трения качения структурных элементов среды ведет к увеличению зоны пластичности (рис.7), что объясняется взаимосвязностью элементов структуры.

а)/=1.7, й=1.28 б)/=1.9,Д=1.29

а=0.3, Р„=1.1 а=0.3, Р„=1.1

Рис.7. Графики поведения окружного и радиального напряжений в пластической и упругой зонах при различных значениях коэффициента внутреннего трения.

В параграфе 3.3 рассмотрена одномерная задача определения напряженного пластического состояния связной сыпучей среды, ограниченной сферой и находящейся под действием равномерно распределенного внутреннего давления.

В качестве уравнений, описывающих состояние материала, берется уравнение равновесия в напряжениях:

^ + 2(<х,-а,) = 0, (18)

дг г

совместно с условием пластичности (10).

Условие пластичности, представленное в виде сферы единичного радиуса (10) позволяет выразить неизвестные главные напряжения через сферические углы ц>, в и сократить число неизвестных с трех (аг, а0, сту) до двух ((р, в).

Уравнение равновесия (18) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для <т, вида (14) с другими значениями коэффициентов Е, Р, К, М, I, N.

Численный эксперимент показал, что радиальные и окружные напряжения убывают по расстоянию, отсчитываемому от границы, где приложена нормальная распределенная нагрузка (рис.8).

Рис.8. Графики поведения окружного и радиального напряжений в пластической зоне.

В параграфе 3.4 решена задача определения упругопластической границы для толстого сферического слоя из связного сыпучего материала, находящегося под действием равномерно распределенного внутреннего и внешнего давлений.

Решения в пластической области находятся по описанному выше алгоритму решения пластической пространственной задачи с использованием уравнений (18), (10). Алгоритм определения упругопластической границы в случае пространственной сферической деформации аналогичен алгоритму определения упругопластической границы для плоского напряженного состояния и плоской деформации.

Численный эксперимент показал, что увеличение внутреннего давления при неизменном внешнем давлении ведет к увеличению зоны пластического деформирования (рис.9).

а)Ро=0.99,Д=1.12 б) Я„=1.1, Я=1.28

а=0.3,/=1.7 а=0.3,/=1.7

Рис.9. Графики поведения окружного и радиального напряжений в пластической и упругой зонах при различных значениях внутреннего давления.

Заключение содержит анализ результатов и выводы, оценку практической значимости полученных результатов.

Личный вклад автора в опубликованных работах определяется следующим: 1) разработан и программно реализован алгоритм построения линий тока поля скоростей, заданного на произвольной сетке [1]; 2) построена замкнутая система квазилинейных уравнений в частных производных для напряжений и определены условия гиперболичности, параболич-ности и эллиптичности задачи в зависимости от вида напряженного состояния [2]; 3) проверены результаты математического моделирования [3]; 4) построена замкнутая математическая модель пространственного течения связного сыпучего материала [4]; 5) разработан и программно реализован алгоритм определения границы упругопластического течения связного сыпучего материала для плоского напряженного состояния [6].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Проведена линейная аппроксимация плоского замкнутого условия пластичности семейством касательных линий в пространстве главных напряжений. Получены условия эллиптичности, параболичности, гиперболичности системы в зависимости от вида напряженного состояния и физических параметров материала.

2. Проведено преобразование замкнутого пространственного условия пластичности, представляющего собой эллипс в пространстве главных напряжений, к сфере с целью упрощения построения касательных плоскостей в связи с постоянством модуля градиента к поверхности сферы.

3. Проведена линейная аппроксимация пространственного замкнутого условия пластичности семейством касательных плоскостей в пространстве главных напряжений, позволяющая выбрать необходимое количество касательных плоскостей, заменяющих единственное условие пластичности.

4. Построена замкнутая система уравнений для пространственного напряженного состояния механики связных сыпучих материалов, вклю-

чающая три уравнения равновесия в частных производных и три конечных нелинейных уравнения пластического состояния материала.

5. Разработаны численный алгоритм, а также программа на языке Python расчета пластического и упругопластического напряженного состояния плоских и пространственных задач механики связных сыпучих сред.

а) Численные расчеты пластического напряженного состояния сыпучих сред для случая цилиндрической и сферической симметрии показали, что радиальные напряжения убывают по расстоянию, отсчитываемому от границы, где приложена нормальная распределенная нагрузка.

б) Для упругопластического напряженного состояния численные расчеты показали увеличение пластической зоны с увеличением давления в полости. Увеличение коэффициента трения качения структурных элементов сыпучей среды также приводит к увеличению радиуса упругопла-стической границы, что объясняется взаимосвязностью элементов структуры.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Статья [6] опубликована в издании, включенном в Перечень ведущих редактируемых научных журналов и изданий.

1. Вервейко Н.Д., Ерохина E.H. К построению линий тока поля скоростей, заданного на произвольной сетке. // Информатика: проблемы, методология, технология: материалы седьмой международной научно-методической конференции (8-9 февраля 2007 г.). - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. - 523с. - с.60-63.

2. Вервейко Н.Д., Ерохина E.H. Линеаризованная плоская задача механики связных сыпучих материалов.// Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. 4.1: сборник трудов международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2009. - 302с. - с.84-88.

3. Вервейко Н.Д., Купцов A.B., Ерохина E.H. К моделированию условия пластичности для связных сыпучих материалов однопараметриче-ским семейством функций.// Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. 4.1: сборник трудов международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2009. - 302с. - с.88-91.

4. Вервейко Н.Д. Ерохина E.H. К замкнутости пространственной задачи связных сыпучих сред в напряжениях.// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXI». - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2010. - 280с. - с.56-57.

5. Ерохина E.H. Одномерное напряженное состояние связных сыпучих материалов.// Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - 372с. - с. 178-181.

6. Вервейко Н.Д., Ерохина E.H., Ковалев A.B. Осесимметричная плоская упругопластическая задача механики связных сыпучих сред.// Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2010.-№2(8).-С.100-105.

Подписано в печать 08.02.11. Формат 60x84 '/¡6. Усл. печ. л. 1,2 Тираж 163 экз. Заказ 100.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение.

Глава I. Плоское напряженное состояние сжимаемого связного сыпучего материала.

1.1. Система уравнений для плоской задачи.

1.2. Преобразование условия пластичности из эллипса в окружность.

1.3. Уравнения касательных прямых.

1.4. Переход к направляющим косинусам в уравнениях равновесия.

1.5. Замкнутая система уравнений для плоской задачи.

1.6. Уравнения характеристик.

1.7. Одномерная задача.

Глава II. Пространственное напряженное состояние сжимаемого связного сыпучего материала.

2.1. Система уравнений для пространственной задачи.

2.2. Преобразование условия пластичности из эллипсоида в сферу.

2.3. Аппроксимация условия пластичности, представляющего собой сферу, семейством касательных плоскостей.

2.3.1. Общее уравнение касательной плоскости к сфере.

2.3.2. Выбор касательных плоскостей.

2.4. Нахождение взаимосвязи между сферическими координатами и главными напряжениями.

2.5. Переход к направляющим косинусам в уравнениях равновесия.

2.6. Формально замкнутая система уравнений, описывающая напряженное пластическое состояние материала.

Глава III. Прикладные задачи статики связных сыпучих материалов.

3.1. Осесимметричная плоская упругопластическая задача механики связных сыпучих сред.

3.2. Осесимметричная плоская упругопластическая деформация связной сыпучей среды.

3.3. Одномерная сферическая задача пластического напряженного состояния связной сыпучей среды.

3.4 Одномерная сферическая задача упругопластического напряженного состояния связной сыпучей среды.

Актуальность работы. В современных условиях развития науки и техники широкое применение находят сыпучие материалы. Это обуславливает возникновение задач, связанных с нахождением напряженно-деформированного состояния сыпучих материалов. Сложность решения пространственных задач заключается в формальной незамкнутости системы уравнений, описывающей трехмерное пластическое течение материала. В данной диссертации рассматривается построение замкнутой математической модели пластического деформирования связного сыпучего материала.

Первая математическая теория пластичности была создана Сен-Венаном [162] (В.Saint-Venant, 1870 г.) на основе гипотезы о пропорциональности девиатора тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций при условии текучести Треска. Сен-Венаном на основании опытов Треска^по истечению металлов через отверстия было предложено условие пластичности, заключающееся в том, что пластическое состояние наступает, как только максимальное касательное напряжение достигает некоторого определенного предельного значения к. Впрочем, идея такого условия принадлежит Кулону и была высказана им в работе «О применении правил максимума и минимума к некоторым вопросам статики, имеющим отношение к архитектуре», представленной во Французскую Академию наук в 1773 г. В этой работе Кулон указывает на то, что разрушение сжатой призмы происходит в результате скольжения одной ее части относительно другой по некоторой плоскости, составляющей угол в сорок пять градусов с направлением сжатия. Скольжение возникает при достижении составляющей сжимающей силы в указанной плоскости предельной величины, достаточной для преодоления обусловленного сцеплением сопротивления скалыванию по этой плоскости.

Сен-Венан рассматривал задачу о пластическом плоском деформированном состоянии и шел по пути обобщения уравнений движения вязкой жидкости Навье-Стокса, опираясь на гидродинамическое представление о течении металлов. Сен-Венан ограничился исследованием плоского деформированного состояния и поэтому его теория нуждалась в дальнейшем обобщении на случай трехмерного состояния. Соответствующее обобщение было сразу же выполнено: уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности впервые были получены Леви (M.Levy, 1871г.) [91]. Статьи Сен-Венана и Леви появились одна за другой в Mathématiques Pure et Appliquées за 1871 г. Леви принял в качестве условия текучести уравнение грани призмы Кулона-Треска и присоединил в качестве определяющего уравнение, выражающее пропорциональность девиатора тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций. Теория Леви, поскольку она основана на «неассоциированном» законе пластического течения, не нашла применения и представляет ныне лишь исторический интерес, отчетливо указывая на то, что на ранних этапах развития математической теории пластичности условие пластичности и определяющий закон течения рассматривались совершенно независимо друг от друга.

Соотношения Сен-Венана для плоской пластической деформации -статически определимая система уравнений гиперболического типа, чо позволило позднее развить теорию полей скольжения, связываемую обычно с именем Генки (H.Hencky, 1923 г.) [33, 142] и Гейрингер (H. Geiringer, 1930*г.) [31, 32]. Математический аппарат, соответствующий соотношениям Сен-Венана для плоской задачи, оказался, таким образом, вполне адекватным экспериментальным и теоретическим представлениям о течении идеально пластического тела. Заметим, что уравнения теории плоского напряженного состояния (в отличии от случая плоской деформации) не могут быть получены как частный случай пространственных уравнений.

Уравнения пространственной задачи математической теории пластичности длительное время оставались неизученными. И в настоящее время теория трехмерной задачи математической теории пластичности далека от завершения [37]. Оценивая состояние пространственной задачи теории идеальной пластичности Л. Прандтль (L.Prandtl) в 1921 г. [155, 156] указывал, что для разработки пространственной задачи до сих пор еще не найдено надлежащего пути и пока, пожалуй, имеется мало перспектив ее решения. «Задачи трехмерного пластического течения трудны и мало изучены». Так было сформулировано отношение к, вопросам пространственной задачи математической теории Вакуленко A.A., Качановым JI.M.

Пространственная задача в общем случае при условии пластичности Мизеса и ассоциированным с ним законом течения Леви-Мизеса является статически неопределимой, и, кроме того, уравнения пространственной задачи не гиперболичны. Так, система уравнений пространственной и осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии пластичности Мизеса, вообще говоря, не имеет вещественных характеристических направлений. Точнее говоря, уравнения пространственной задачи либо полностью эллиптичны (т.е. не существует действительных характеристических направлений), либо (если в рассматриваемой точке медианная главная скорость пластической деформации равна нулю) имеется только два поверхностных характеристических элемента, совпадающих с площадками максимального касательного напряжения. Все это свидетельствует о том, что в подавляющем большинстве пространственных состояний, описываемых согласно условию пластичности Мизеса и ассоциированному с ним закону течения Леви-Мизеса, действительные характеристики отсутствуют. Все это не оставляет шансов обобщить методы интегрирования, развитые ранее для плоской задачи, соотношения которой формально статически определимы и гиперболичны, что в конце концов и позволяет построить теорию полей скольжения, адекватно представляющую сдвиговой механизм пластического течения.

Принципиально иная ситуация наблюдается в пространственной задаче при использовании критерия текучести Кулона-Треска. Здесь уравнения пластического равновесия в ряде важных случаев становятся гиперболическими. Существование действительных характеристических поверхностей является большим математическим преимуществом. Если еще учесть, что характеристические поверхности суть поверхности скольжения, то с физической точки зрения трудно объяснить отсутствие действительных характеристических поверхностей в случае уравнений пространственной задачи при использовании критерия текучести Мизеса.

Поверхности и линии скольжения не являются только математическим понятием. Они существуют в действительности и их можно выявить травлением отполированной поверхности разреза деформированного металла.

Фигуры скольжения часто появляются в виде узоров с правильной лучистой симметрией на поверхностях или на разрезах твердых тел, испытавших деформации за пределом упругости. Линии скольжения (линии сдвигов) играют чрезвычайно важную роль как в теоретических, так и в прикладных исследованиях напряженного состояния пластически деформированного тела. Геометрия линий скольжения во многих случаях вполне определяет напряженное состояние, и такое напряженное состояние реализуется в условиях предельного равновесия тела. На этот факт впервые указал Д.К. Чернов. Фигуры скольжения, которые наблюдались Д.К. Черновым при различных схемах нагружения (например, при растяжении плоских образцов, при пробивке круглых отверстий), воспроизводятся в известной монографии: Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. М: Оборонгиз, 1952. 556 с. (см. с. 103). Значительно позже линии скольжения стали исследоваться за рубежом. В начальный период развития теории пластичности при изучении пластического течения широко использовались представления о линиях и поверхностях скольжения, подчиняющихся поразительным законам, установленным математичками и инженерами в начале XX столетия. В предисловии уже говорилось о соответствии между изменениями в структуре сильно деформированных металлов и при деформации горных пород, отмечаемыми и описываемыми в петрографии. Поэтому теория линий скольжения в руках геологов может служить средством расшифровки процессов образования горных цепей и континентальных плато, восстановления истории движения земной коры (в том числе и ее континентальной части). Таким образом, теория скольжения находит свое подтверждение на двух существенно отличающихся масштабных уровнях.

К настоящему времени уже стало ясно, что предельные состояния твердых тел должны так же описываться статически определимыми уравнениями гиперболического типа. Теория предельного состояния первоначально развивалась в рамках механики сыпучих сред. Основоположник теории К. Кулон сформулировал (1773 г.) основные положения теории предельного состояния и ввел представление о поверхности сползания, которые были применены для решения ряда важных прикладных задач. Систематическое изложение теории предельного состояния сыпучих сред на основе представления о сетке скольжения было дано В.В. Соколовским в 1942 г. Теории предельного состояния и идеальной пластичности, таким образом, имеют общие основы, однако они далеко не тождественны. Теория идеальной пластичности основана на представлении об условии пластичности, которое, вообще говоря, может приводить либо к статически определимым, либо к статически неопределимым состояниям. Теория предельного состояния в качестве своего предмета исследования берет лишь статически определимые состояния, которые могут быть достигнуты, скажем, при пропорциональном возрастании внешних нагрузок. Для предельного состояния все «предыдущие» свойства материала не играю никакой роли, поскольку предельное состояние определяется из замкнутой системы формально статически определимых соотношений, не имеющих ничего общего с допредельным поведением тела.

Экспериментальные исследования показывают, что условие пластичности Мизеса значительно лучше согласуется с опытными данными, чем условие пластичности Кулона-Треска. Сомневаться в достоверности данных многочисленных экспериментов не приходится, тем более, что они указывают на систематическое отклонение поведения металлов в состоянии текучести от условия Кулона-Треска. Тем не менее, можно предположить, что лучшее соответствие условия Мизеса опытным данным объясняется влиянием различных посторонних факторов, таких как упрочнение, деформационная анизотропия, поврежденность, элиминировать которые при проведении экспериментов до конца не удается. Известно также, что чем ярче у материала на диаграмме одноосного растяжения выражена площадка текучести (т.е. чем ближе его поведение к идеально пластическому), тем лучше данные испытаний согласуются с критерием пластичности Кулона-Треска. Таким образом, критерий текучести Кулона-Треска, по-видимому, действительно лучше, чем остальные мыслимые критерии, выражает сущность идеальной пластичности. В пользу этого вывода, т.е. большего соответствия условия Кулона-Треска физике пластической деформации, высказывались многие авторы.

Итак, формально статически определимая задача о плоской пластической деформации вместе с ее гиперболическими соотношениями послужила отправной точкой развития всей математической теории идеальной пластичности. Распространение математического аппарата гиперболических уравнений, описывающего плоское течение идеально пластического материала на общий трехмерный случай, явилось предметом целого ряда исследований.

В 1909 г. Хаар и Карман (А. Haar, Th von Karman) [129, 130, 141] выдвинули условие «полной пластичности», которое, по существу, устанавливает соответствие напряженного состояния ребру призмы Кулона-Треска, и оказалось, что соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности являются статически определимыми.

В 1923 г. Генки предложил использовать условие полной пластичности Хаара-Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния, что привело его к статически определимой системе уравнений равновесия, которая, как он установил, оказывается гиперболической. Позднее уравнения осесимметричной задачи с условием текучести Кулона-Треска исследовались Р. Шилдом (R.T. Shield) [137, 161] для ребер и граней призмы Кулона-Треска. Осесимметричные автомодельные решения, соответствующие течению на ребре призмы Кулона-Треска, были построены Р. Шилдом в той же самой работе; в частности, им было произведено вычисление автомодельного поля скольжения вблизи свободной прямолинейной границы.

В 1944 г. А.Ю. Ишлинский исследовал осесимметричную задачу теории пластичности [74], предполагая выполнение условия полной пластичности Хаара-Кармана, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. С помощью численного метода в этой же работе было получено решение задачи о вдавливании твердого шарика в идеально пластическую среду. Решение А.Ю. Ишлинского вызвало критические замечания Р. Хилла [131, 143-145], полагавшего, что «такие вычисления^имеют небольшое или не имеют никакого значения, так как гипотеза Хаара-Кармана для металлов физически нереальна и она вводит ошибку неизвестной величины». Свои возражения Хилл основывал на невозможности в рамках теории течения Леви-Мизеса определить связанного с распределением напряжений, удовлетворяющим условию полной пластичности, поле скоростей из-за неправильно определенности (переопределенности) системы соотношений кинематики. Выход из сложившейся ситуации, как показало последующее развитие математической теории пластичности, состоял в последовательном использовании гипотезы Хаара-Кармана и замене закона течения Леви-Мизеса на обобщенный ассоциированный с условием пластичности Кулона-Треска закон течения.

Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара-Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А.Ю. Ишлинским, который использовал определяющие зависимости в форме соотношений перестановочности тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, следующие из обобщенного ассоциированного закона пластического течения в случае течения на ребре призмы Кулона-Треска и не предполагающие столь жестких ограничений на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным для того времени требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и девиатора тензора напряжений. Впервые, в явной форме он указал на необходимость при построении теории пространственной задачи двух условий пластичности, уравнения несжимаемости и условий соосности тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, которые он принял в форме трех уравнений, следующих из перестановочности тензоров. В своей работе А.Ю. Ишлинский пишет: «Согласно предлагаемой теории идеальной пластичности два главных напряжения должны быть непременно равны друг другу, а третье отличаться от них на удвоенное критическое значение 2к. Таким образом, для пространственной задачи пластичности имеют место два соотношения между главными напряжениями, подобно гипотезе полной пластичности Хаара и Кармана. Этим предлагаемая теория отличается от теорий Леви и Мизеса, в которых принимается единственное соотношение». Таким образом, А.Ю. Ишлинский отказался от «неассоциированного» определяющего закона Леви и дал корректное обобщение теории течения Сен-Венана на трехмерный случай. Пространственные соотношения Ишлинского полностью сохраняют свое значение в современной математической теории пластичности и их можно использовать при постановке и решении задач теории идеальной пластичности, поскольку они являются следствиями обобщенного ассоциированного закона течения в случае течения на ребре призмы Кулона-Треска.

Результаты А.Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д.Д. Ивлева, в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара-Кармана для всей теории пластичности и был развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Кулона-Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения.

Ассоциированный закон течения однозначно определяет направление вектора, представляющего приращения пластических деформаций в пространстве главных напряжений, только в регулярных точках поверхности текучести. Если напряженное состояние соответствует ребру (угловой точке) или конической особенности на поверхности текучести, то необходимы дальнейшие предположения для вывода корректного определяющего закона. Обобщение ассоциированного закона на случай поверхности текучести с угловой точкой предложено Койтером (\V.T- Кокег) в 1953 г. [81]. Это обобщние основано на следующем принципе суперпозиции: особые точки поверхности текучести представляются как пересечение конечного числа гладких поверхностей текучести, каждая из гладких поверхностей текучести дает аддитивный вклад (с соответствующим неопределенным множеством) в величину приращения пластической деформации.

Обобщенный ассоциированный закон течения, сформулированный на основе условия пластичности Треска, устанавливает, что пластические деформации появляются в результате сдвига (скольжения) на тех площадках, где касательные напряжения по абсолютной величине достигают предельно возможного значения, причем скольжение происходит в направлении действия максимального касательного напряжения так, что оно совершает положительную работу. 1

В работах Д.Д. Ивлева было установлено, что при условии полной пластичности (т.е. когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Треска) уравнения пространственно задачи теории идеальной пластичности являются статически определимыми и принадлежат к гиперболическому типу. Нормали к характеристическим поверхностным элементам уравнений статитики при этом образуют конус, касающийся площадок максимальных касательных напряжений, построенных в вершине конуса. Характеристическими будут также поверхностные элементы, нормали к которым ортогональны главной оси тензора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) главному напряжению. Кинематические уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности в случае, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Кулона-Треска, также гиперболичны и имеют точно такие же директоры характеристических поверхностных элементов, как и статические уравнения.

Было таким образом доказано, что именно условие полной пластичности и только оно позволяет сформулировать общую теорию идеальной пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых уравнений гиперболического типа, соответствующим сдвиговой природе идеально пластического деформирования. Эта точка зрения разделяется далеко не всеми. Так, A.A. Вакуленко и JI.M. Качанов полагают, что доводы физического характера в пользу схемы полной пластичности «продиктованы скорее заманчивой простотой математического анализа, нежели существом вопроса». Тем не менее, они замечают, что решения, полученные по схеме полной пластичности, могут иметь несомненный интерес, полемизируя при этом с Р.Хиллом, критически оценившем условие полной пластичности Хаара-Кармана как «искусственное и нереальное условие текучести». Не вызывает возражений высказываемая ими мысль о том, что ценность того или иного решения пространственной задачи устанавливается возможностью либо построить согласованное кинематически допустимое поле, либо продолжить поле напряжений в жесткие зоны, не нарушая условия текучести. В противном > случае вопрос о значимости решения остается открытым. Ясно, что исключительную ценность представляют полные решения, когда удается построить согласованное кинематически допустимое поле и продолжить поле напряжений в жесткие зоны, не нарушая условия текучести. Таким образом неполные решения обладают лишь относительной ценностью, а полные -абсолютной. На практике, однако, чаще всего удается построить неполное поле напряжений (поле напряжений в пластической зоне) и возникает проблема его продолжения в жесткую зону так, что по большому счету неполные решения с теоретической точки зрения вообще никакой ценности не представляют. Однако их практическая ценность часто может быть очень высокой. Так, или иначе, но большинство прикладных задач решены по идеально пластической схеме не полно.

В дальнейшем Д.Д. Ивлевым была исследована пространственная задача при произвольном кусочно-линейном условии текучести и в результате показано, что как в пространственном, так и в осесимметричном случае на ребре кусочно-линейного условия пластичности являются гиперболическими и имеют характеристические элементы, совпадающие с площадками максимальных касательных напряжений.

Любопытно отметить, что как статические, так и кинематические уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для граней призмы Кулона-Треска, соответствующих кинематически определимым режимам течения, также являются гиперболическими; характеристические направления ориентированы так же, как и главные направления тензора напряжений, т.е. характеристики касаются главных направлений тензора напряжений.

Подобным же образом дело обстоит и в пространственной задаче: в случае грани произвольного кусочно-линейного условия текучести характеристические поверхности касаются главных направлений тензора напряжений.

В 1971 г. Д.Д. Ивлев и Г.И. Быковцев предприняли исследование общих, соотношений теории пластичности как идеального, так и упрочняющегося тела, как с учетом упругих деформаций, так и без их учета, на предмет- их классификации, определения характеристических поверхностей и поверхностей разрыва скоростей, скоростей деформаций и напряжений. Полученные ими результаты устанавливают, что дифференциальные уравнения теории устойчивого упрочняющегося упругопластического тела не имеют действительных характеристик, т.е. эллиптичны; если в качестве критерия текучести взят критерий отличный от критерия текучести Треска, то для большинства пространственных состояний дифференциальные уравнения теории идеально упругопластического тела эллиптичны.

В 1966 г. выходит в свет монография Д.Д. Ивлева «Теория идеальной пластичности» [51]. В этом сочинении были изложены новые результаты и принципы математической теории идеальной пластичности и, прежде всего, теория пространственной и обобщенной плоской задачи.

В механике упрочняющихся пластических тел Д.Д. Ивлев (совместно с Г.И. Быковцевым) последовательно развивал представления, основанные на трансляционном механизме упрочнения, предложенные ранее в исследованиях А.Ю. Ишлинского и В.Прагера [106, 107, 150-154]. Результаты их совместных исследований легли в основу классической монографии, которая по сути представляет собой каноническое изложение математической теории пластичности упрочняющегося тела в случае малых деформаций. В этой монографии имеется исчерпывающий анализ общих уравнений теории течения и свойств их решений, включая анализ сильных и слабых разрывов с помощью аппарата геометрических и кинематических условий совместности Адамара-Томаса [126, 160].

Исследования Д.Д. Ивлева в области математической теории пластичности подытожены в фундаментальной двухтомной монографии «Механика пластических сред» [62, 63].

За последние два десятилетия удалось существенно продвинуться в создании общей теории трехмерных уравнений математической теории пластичности с условием пластичности Треска и ассоциированным законом течения для напряженных состояний, соответствующих ребру поверхности текучести, и предложить общую схему интегрирования пространственных статических уравнений [82-84, 87-89]. Основой теории выступает ряд геометрических результатов по исследованию поля главных направлений тензора напряжений, характеризуемых наибольшим (или наименьшим) главным нормальным напряжением. Исследования в области пространственной задачи теории идеальной пластичности были подытожены в монографиях: Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2006. 340с.; Ивлев Д.Д., Максимова Л.А., Непершин Р.И., Радаев Ю.Н., Сенашов С.И., Шемякин Е.И. Предельное состояние деформируемых твердых тел и горных пород. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 832 с.

В первой из указанных монографий сделана попытка дать полное и систематическое изложение методов и результатов, связанных с исследованием трехмерных уравнений математической теории пластичности в изостатической координатной сетке, делая акцент на новых общих методах, которые обеспечивают решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела. Исходной точкой построения общей теории пространственных уравнений выступает одна замечательная инвариантная векторная форма пространственных уравнений, анализ которой позволяет сделать заключение о расслоении поля направлений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному нормальному напряжению. Затем рассматриваются уравнения обобщенного ассоциированного закона течения, основные кинематические соотношения для приращений перемещений, следующие из него, а также исследуется кинематика течения на поверхностях максимальной скорости сдвига. Показано, что скольжения на указанной поверхности (сильные разрывы приращений перемещений) могут происходить только вдоль асимптотических направлений, если поверхность максимальной скорости сдвига имеет отрицательную Гауссову кривизну. Поэтому сдвиговое пластическое течение вблизи поверхности максимальной скорости сдвига (отрицательной Гауссовой кривизны) реализуется как результат микроскольжений в асимптотических направлениях. Получены интегрируемые соотношения для разрывов касательных составляющих приращений перемещений вдоль асимптотических линий поверхности максимальной скорости сдвига. Интегралы уравнений равновесия для расслоенного поля напряжений вдоль изостатических траекторий выводятся преобразованием векторного уравнения равновесия к изостатической координатной сетке. Устанавливается возможность отделения одной из изостатических координат, поверхности уровня которой как раз и являются слоями поля направлений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному нормальному напряжению.

Значительное внимание уделяется исследованию трехмерных уравнений математической теории пластичности в триортогональных изостатических координатах. Основной интерес здесь представляют уравнения совместности приращений деформаций и пространственные соотношения Коши. Уравнения. совместности для приращения малых деформаций в триортогональной изостатической системе координат исследуются вместе с дополнительными соотношениями, связывающими физические компоненты тензора несовместности. Существенных уравнений совместности шесть. Для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона-Треска, имеется лишь три независимых уравнения совместности, сформулированные в изостатической координатной сетке. Определены условия, достаточные для того, чтобы при выполнении трех независимых уравнений совместности удовлетворялись три оставшихся уравнения совместности. Показано, что нарушения сплошности на поверхности идеально пластического тела распространяются вглубь тела вдоль асимптотических линий на слоях векторного поля, указывающего направления наибольшего главного нормального напряжения. Поскольку асимптотические линии наименее искривлены по сравнению с любыми другими линиями на поверхности (в том смысле, что нормальная кривизна асимптотических линий равна нулю), то нарушения сплошности проникают вглубь идеально пластического тела по наименее искривленным траекториям. Именно в этом смысле можно вести речь о минимальном искривлении траекторий распространения трещин в твердых телах.

В работах Д. Друкера [139], В.Т. Койтера [81], Л.Д. Ландау [90], Е. Ли [147], В. Лоде [92], О. Мора [148], А. Надаи [103, 104, 149], В. Прагера, С.И. Ратнера [113], О. Ричмонда [158], Тейлора [159], В.К. Трусделла [127], М.Л. Уилкинса [128] были также получены фундаментальные для теории пластичности результаты, имеющие большой практический интерес.

Большое влияние на исследования в области математической теории пластичности оказали работы Б.Д. Аннина [1, 2], A.A. Буренина [9, 10], Г.И. Быковцева [11-15], Н.Д. Вервейко [16-29], В.Г. Зубчанинова, A.A. Ильюшина [66-72], А.Ю. Ишлинского [73-76], Д.Д. Ивлева [3, 8, 38-65], Л.М. Качанова [7717

80], В .А. Кукуджанова [85, 86], Л.А. Максимовой [93-95], В.П. Мясникова [97, 99], Ю.М. Мяснянкина [100-102], Л.В. Никитина, Ю.Н. Радаева [4, 5, 98, 108112, 157], Т.Д. Семыкиной, В.В. Соколовского [121-124], Л.А. Толоконникова, Е.И. Шемякина, С.А. Христиановича [135, 136] и др.

Большой вклад в решение упругопластических задач устойчивости с неизвестной заранее границей раздела упругого и пластического поведения материала внесли А.Н. Спорыхин, А.И. Шашкин, A.B. Ковалев, Д.В. Гоцев.

Диссертация посвящена разработке и реализации метода аппроксимации „ ^выпуклого пространственного условия пластичности, а также построению математической модели трехмерного пластического течения связного сыпучего материала, в основе которой лежит замкнутая система уравнений.

Проведенная в диссертации линеаризация отличается от линеаризации предложенной Д.Д. Ивлевым, который использует классическую замену нелинейного условия пластичности его линейным приближением.

В диссертации предлагается аппроксимировать замкнутое условие пластичности [140], представляющее собой эллипсоид в пространстве главных напряжений, семейством касательных плоскостей. Для аппроксимации каждой точки эллипсоида выбираются несколько касательных плоскостей, пересекающихся в точке, отстоящей на расстоянии е по нормали к поверхности эллипсоида и образующих невырожденный угол при вершине пирамиды. После построения линейно независимых касательных плоскостей общее число уравнений системы, описывающей пространственное напряженное состояние, совпадает с числом неизвестных.

Цели и задачи исследования. Целью проведённой работы является: разработка замкнутой математической модели расчета напряженного статически определимого состояния пластического связного сыпучего материала. Поставленная цель достигается посредством:

- преобразования условия пластичности, представляющего собой эллипсоид, в сферу в пространстве главных напряжений;

- получения уравнений касательных плоскостей для пространственного условия пластичности;

- построения замкнутой системы уравнений для пространственного напряженного состояния механики связных сыпучих сред;

- решения конкретных задач теории связных сыпучих материалов с использованием полученных результатов путем применения конечно-разностных схем для решения задач Коши с неизвестной границей в статически определимых задачах пластического деформирования связных сыпучих материалов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы аналитические точные методы исследования, численные методы конечных разностей, а также методы программирования на языке РуШоп.

Положения, выносимые на защиту:

1. Преобразование условия пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского, представляющего собой эллипсоид в пространстве главных напряжений, в сферу;

2. Построение уравнений семейства касательных плоскостей для аппроксимации пространственного условия пластичности;

3. Замкнутая система уравнений в напряжениях, описывающая пространственное напряженное состояние связных сыпучих материалов;

4. Разработка и апробация программы решения задач расчета напряженного пластического и упругопластического состояния сыпучих материалов.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты: условие пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского представлено в виде сферы; предложена линейная аппроксимация семейством плоскостей пространственного замкнутого условия пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского для связных сыпучих материалов; построена замкнутая система уравнений в напряжениях пространственной задачи статики связных сыпучих материалов путем параметризации нелинейных пространственных статически неопределимых уравнений;

- разработан численный алгоритм, а также программа на языке Python, позволяющие рассчитывать плоское и пространственное пластическое и упругопластическое напряженное состояние для конкретных задач.

Достоверность.

Основные научные результаты обоснованы правильно построенной математической моделью, корректным применением математического аппарата теории уравнений в частных производных, теории конечно-разностных схем и использованием современных языков программирования. Достоверность проведенных исследований подтверждается также тем, что полученные результаты совпадают с классическими в случае предельного перехода от условия пластичности для связных сыпучих материалов к классическому условию идеальной пластичности.

Практическая значимость исследования.

Предложенная аппроксимация пространственного замкнутого условия пластичности семейством плоскостей может применяться для решения научных и практических задач пластического течения связных сыпучих материалов, например, на предприятиях горнодобывающей промышленности, порошковой металлургии, а также нефте- и газодобычи.

Предложенный в диссертации метод решения пространственных статически определимых задач механики связных сыпучих материалов может использоваться в учебном процессе при чтении курсов: механика грунтов, механика сыпучих сред, теория пластичности.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

Международная научно-методическая конференция «Информатика: проблемы, методология, технология». Воронеж, 2007.

Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж, 2009.

Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXI» - «Современные методы теории краевых задач», посвященная 70-летию профессора Ю.В. Покорного. Воронеж, 2009.

Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула, 2009.

Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии на базе свободного программного обеспечения». Елец, 2010.

Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», посвященная 80-летию профессора Д.Д. Ивлева. Воронеж, 2010.

Публикации. По теме диссертации в рамках исследуемой темы опубликовано 6 научных работ, перечень которых приведён в конце автореферата. В том числе одна опубликована в журнале из списка перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. Работа содержит 78 страниц машинописного текста, а также содержит и 13 рисунков.

Выводы по третьей главе.

Согласно проведенным расчетам, радиальные напряжения убывают по расстоянию, отсчитываемому от границы, где приложена нормальная распределенная нагрузка. Для упругопластического напряженного состояния пластическая зона увеличивается с увеличением давления в полости. Увеличение коэффициента трения качения структурных элементов сыпучей среды также приводит к увеличению радиуса упругопластической границы, что объясняется взаимосвязностью элементов структуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Проведена линейная аппроксимация плоского замкнутого условия пластичности семейством касательных линий в пространстве главных напряжений. Получены условия эллиптичности, параболичности, гиперболичности системы в зависимости от вида напряженного состояния и физических параметров материала.

2. Проведено преобразование замкнутого пространственного условия пластичности, представляющего собой эллипс в пространстве главных напряжений, к сфере с целью упрощения построения касательных плоскостей в связи с постоянством модуля градиента к поверхности сферы.

3. Проведена линейная аппроксимация пространственного замкнутого условия пластичности семейством касательных плоскостей в пространстве главных напряжений, позволяющая выбрать необходимое количество касательных плоскостей, заменяющих единственное условие пластичности.

4. Построена замкнутая система уравнений для пространственного напряженного состояния механики связных сыпучих материалов, включающая три уравнения равновесия в частных производных и три конечных нелинейных уравнения пластического состояния материала.

5. Разработаны численный алгоритм, а также программа на языке Python расчета пластического и упругопластического напряженного состояния плоских и пространственных задач механики связных сыпучих сред. а) Численные расчеты пластического напряженного состояния сыпучих сред для случая цилиндрической и сферической симметрии показали, что радиальные напряжения убывают по расстоянию, отсчитываемому от границы, где приложена нормальная распределенная нагрузка. б) Для упругопластического напряженного состояния численные расчеты показали увеличение пластической зоны с увеличением давления в полости. Увеличение коэффициента трения качения структурных элементов сыпучей среды также приводит к увеличению радиуса упругопластической границы, что объясняется взаимосвязностью элементов структуры.

1. Артёмов М. А., Ивлев Д. Д. О статических и кинематических соотношениях теории идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести/ М. А. Артемов, Д. Д. Ивлев // Изв. РАН. Механика тверд, тела, 1995. №3. -С. 104-110.

2. Арутюнян Н.Х., Радаев Ю.Н. Упругопластическое кручение призматических стержней / Н.Х.Арутюнян, Ю.Н. Радаев // Изв АН СССР. Механика твёрдого тела, 1987. № 5 - С. 117-125.

3. Арутюнян Н.Х., Радаев Ю.Н. Упругопластическое кручение цилиндрического стержня при конечных деформациях/ Н.Х.Арутюнян, Ю.Н. Радаев // Прикл. матем. и механика, 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 1014-1022.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов М.: Наука, 1973. - 631 С.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Наука, 1987. - 600 С.

6. Бережной И. А., Ивлев Д. Д. Об интегральных неравенствах теории упругопластического тела/ Д.Д. Ивлев, И.А. Бережной // Прикл. матем. и механика, 1980. Т. 44. Вып. 3. - С. 540-549.

7. Буренин A.A., Быковцев Г.И., Ковтанюк JI.B. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях / A.A. Буренин, Г.И. Быковцев, Л.В. Ковтанюк // ДАН, 1996. Т. 347. № 2. - С. 199-201.

8. Ю.Буренин A.A., Быковцев Г.И., Рынков В.А. Поверхности разрывов скоростей в динамике необратимо сжимаемых сред // Сб. трудов «Проблемы механики сплошной среды», к 60-летию академика В.П. Мясникова.

9. Владивосток: Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 1996. -С. 116-128.

10. П.Быковцев Г. И. К теории осесимметричного состояния идеально-пластического материала/ Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев, Т. Н. Мартынова // Прикл. механика и техн. физика, 1963. №5. - С. 102-108.

11. Быковцев Г.И. Плоская деформация идеальных жёсткопластических тел с учётом изменения границы/ Г. И. Быковцев, А. И. Хромов // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела, 1979. №2. - С. 71-78.

12. Быковцев Г.И. Плоская задача о вдавливании жёсткого штампа в идеальное жёсткопластическое полупространство/ Г. И. Быковцев, А. И. Хромов // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела, 1981. №2. - С. 47-52.

13. Быковцев Г.И. Теория пластичности/ Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев -Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 С.

14. Быковцев Г.И. Избранные вопросы механики деформируемых сред/ Г. И. Быковцев- Владивосток: Дальнаука, 2002. 566 С.

15. Валюхов С.Г. Микрополярная модель связных сыпучих материалов / С.Г. Валюхов, Н.Д. Вервейко, O.A. Смотрова Воронеж: ВГУ, 1999. - 87 С.

16. Вервейко Н.Д., Ерохина E.H., Ковалев A.B. Осесимметричная плоская упругопластическая задача механики связных сыпучих сред.// Вестник

17. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2010. -№2(8). С.100-105.

18. Вервейко Н.Д., Купцов A.B. Поле скоростей пространственной статически определимой задачи идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, A.B. Купцов // Тр. 7-й междунар. конф. «Авиакосмические технологии». Воронеж: ВГТУ, 2006.-С. 513-524.

19. Вервейко Н.Д., Купцов A.B. К статической определимости пространственной задачи теории идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, A.B. Купцов // Вестник ЕГУ им. H.A. Бунина, 2006. №1. - С. 143-152 .

20. Вервейко Н.Д., Купцов A.B. Поле скоростей пространственной статически определимой задачи идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, A.B. Купцов // Вестник ВГУ. Серия Физ., Матем., 2006. №2. - С. 174-179.

21. Вервейко Н.Д., Купцов A.B. Допустимые варианты полной пластичности пространственных задач идеальной пластичности при условии Мизеса / Н.Д. Вервейко, A.B. Купцов // Вестник ПММ. Воронеж: ВГУ, 2006. Вып. 6. -С. 28-31.

22. Галин JI.A. Плоская упругопластическая задача/ JI.A. Галин // Прикл. матем. и механика, 1946. Т. 10. Вып. 3.

23. Гейрингер Г. Некоторые результаты в теории идеально пластического тела/ Г. Гейрингер // Сб. переводов «Проблемы механики», М.: 1955.

24. Гейрингер Г. Математические теории неупругой сплошной среды/ Г. Гейрингер, А. Фрейденталь М.: Физматлит, 1962. - 432 С.

25. Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического равновесия/ Г. Генки // Изв. АН СССР. ОТН, 1937. №2. - С. 187-196.

26. Годунов С.К. Уравнения математической физики/ С.К. Годунов М.: Наука, 1971.-416 С.

27. Гудьер Дж.Н., Тимошенко С.П. Теория упругости// Дж.Н. Гудьер, С.П. Тимошенко Пер. с англ. М.:Наука, 1975. - 576 С.

28. Ивлев Д. Д. Об определении перемещений в задаче JI. А. Галина/ Д. Д. Ив л ев // Прикл. матем. и механика, 1957. Т. 21. Вып. 5. - С. 716-717.

29. Ивлев Д.Д. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности методом малого параметра/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР, 1957. Т. 113. №2. - С. 294-296.

30. Ивлев Д.Д. О диссипативной функции упрочняющихся пластических сред/ Д.Д. Ивлев//Докл. АН СССР, 1957. Т. 116.-№5.-С. 1037-1039.

31. Ивлев Д.Д. Вдавливание тонкого лезвия в пластическую среду/ Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, ОТН, 1957. №10. - С. 89-93.

32. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1958. Т. 22. -Вып. 1. С. 90-96.

33. Ивлев Д.Д. Об одном классе решений общих уравнений теории идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, ОТН, 1958. №11. - С. 107-109.

34. Ивлев Д.Д. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1958. Т. 22. Вып. 4. - С. 480-486.

35. Ивлев Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР, 1959. Т. 124. №3. - С. 546-549.

36. Ивлев Д.Д. К теории идеальной пластической анизотропии/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1959. Т. 23. -Вып. 6. С. 1107-1114.

37. Ивлев Д.Д. Об экстремальных свойствах условий пластичности/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1960. Т. 24. Вып. 5. - С. 951-955.

38. Ивлев Д.Д. Об идеально-пластическом течении материала с учетом остаточных микронапряжений/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1962. Т. 26. Вып. 4. - С. 709-714.

39. Ивлев Д.Д. К теории сплошных сред/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР, 1963. Т. 148.-№1.-С. 64-66.

40. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев М.: Наука, 1966. -232 С.

41. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения/ Д.Д. Ивлев // Прикл. механика и техн. физика, 1967. №6. - С. 88-128.

42. Ивлев Д.Д. Об одном построении теории трещин/ Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела, 1967. №6. - С. 91-94.

43. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела/ Д.Д. Ивлев, Г. И. Быковцев М.: Наука, 1971.-232 С.

44. Ивлев Д.Д., Внедрение гладкого сферического штампа в жесткоплас-тическое полупространство/ Д.Д. Ивлев, Р.Н. Непершин // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела, 1973. №4. - С. 159-166.

45. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластичес-кого тела/ Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов М.: Наука, 1978. - 208 С.

46. Ивлев Д.Д. Об обобщении решения Прандтля в сферических координатах/ Д. Д. Ивлев, А. В. Романов // Прикл. матем. и механика, 1982. Т. 46. Вып. 5.-С. 869-871.

47. Ивлев Д. Д. К теории предельного состояния пластических пористых тел/ Д.Д. Ивлев // Изв. РАН. Механика тверд, тела, 1992. №3. - С. 163-166.

48. Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев // Сб. трудов «Проблемы механики сплошной среды» к 60-летию акад. В. П. Мясникова. Владивосток, 1996. С. 112-115.

49. Ивлев Д. Д. О соотношениях ассоциированного закона пластического течения в обобщенных переменных/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН, 1998. Т. 363. -№6. С. 775-776.

50. Ивлев Д. Д. Полная пластичность в теории идеально-пластического тела/ Д.Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский // Докл. АН, 1999. Т. 368. №3. - С. 333-334.

51. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред / Д.Д. Ивлев М.: Физмат, 2001. Т.1.-448 С.

52. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред / Д.Д. Ивлев М.: Физмат, 2002. Т.2.-448 С.

53. Ивлев Д.Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев Воронеж: ВГУ, 2005. - 357 С.

54. Ивлев Д.Д. О переходе статически неопределимого состояния в статичес-ки определимое / Д.Д. Ивлев // Вестник ЧГРУ им. И.Я. Яковлева. Серия Механика предельного равновесия, 2007. №1. - С. 5-10.

55. Ильюшин A.A. Пластичность/ Ильюшин A.A. М.: Гостехиздат, 1948. - 376 С.

56. Ильюшин A.A. Замечания о некоторых статьях, посвященных критике теории пластичности / Ильюшин A.A. // Изв. АН СССР, ОТН, 1950. № 6. -С. 940-951.

57. Ильюшин A.A. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями / A.A. Ильюшин // Прикл. математ. и механика, 1955. Т. 19. -С. 693-713.

58. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории// A.A. Ильюшин М.: Изд-во АН СССР, 1963.-271 С.

59. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды/ A.A. Ильюшин М.: Изд-во московского университета, 1990. - 310 С.

60. Ильюшин A.A. Труды (1935-1945) / Е.А. Ильюшина, М.Р. Короткина М.: Физматлит, 2003. Т. 1. - 352 С.

61. Ильюшин A.A. Труды (1946-1966). Пластичность/ Е.А. Ильюшина, М.Р'. Короткина М.: Физматлит, 2004. Т. 2. - 480 С.

62. Ишлинский А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев М.: Физматлит, 2001.-701 С.

63. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача теории пластичности и проба Бринелля/ А.Ю. Ишлинский // Прикл. матем. и механика, 1944 Т.8.- Вып.З. -С. 201-224.

64. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики / А.Ю. Ишлинский // М.: Наука, 1986. Т.1. - С. 62-83.

65. Ишлинский А.Ю. Учёные записки МГУ / А.Ю. Ишлинский // Механика, 1996. Вып.117. - С. 90-108.

66. Качанов Л.М. Вариационные принципы для упругопластических сред // Прикл. матем. и механики, 1942. Т.6. Вып. 2-3. - С. 187-196.

67. Качанов Л.М. Основы теории пластичности/ Л.М. Качанов М.: Гостехиздат, 1956. - 324 С.

68. Качанов Л.М. Основы теории пластичности/ Л.М. Качанов М.: Наука, 1969.-420 С.

69. Качанов Л.М. Основы механики разрушения/ Л.М. Качанов М.: Наука, 1974.-312 С.

70. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред / В.Т. Койтер — пер. с англ. М.: 1961. 80 С.

71. Криштал М.М. Неустойчивость и мезоскопическая неоднородность пластической деформации / М.М. Криштал //Физическая мезомеханика, 2004. Т.7.-№ 5. С. 31-45.

72. Кругов A.B. Некоторые прикладные задачи: геометрико-кинематические модели / A.B. Крутов. М.: Изд-во РУДН, 2001. - 252 С.

73. Кукуджанов В.А., Никитин Л.В. Распространение волн в стержнях из неоднородного упруговязкопластического материала/ Кукуджанов В.А.,

74. Никитин JI.B.// Изв АН СССР. Механика и машиностроение, 1960. -№4. С. 53-59.

75. Кукуджанов В.А., Никитин JI.B. Удар о жёсткую преграду стержня с кусочно-постоянным пределом текучести / В.А. Кукуджанов, JI.B. Никитин // Инж. Механика твёрдого тела, 1961. №1. - С. 177-183.

76. Купцов A.B. Построение устойчивых конечно-разностных схем пространственных задач идеальной пластичности при условии Мизеса. / A.B. Купцов // Вестник ПММ. Воронеж: ВГУ, 2007. Вып. 6. - С. 83-89.

77. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред / Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. М.: Гостехиздат, 1953.-788 С.

78. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости/ М. Леви // Теория пластичности. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. С. 20-23.

79. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов/ В. Лоде //Теория пластичности. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. С. 168-205.

80. Максимова Л.А. О линеаризированных уравнениях пространственных течений идеально-пластических тел / Л.А. Максимова // ДАН РАН, 1998. Т. 385.-№6. С. 772-773.

81. Максимова Л.А. О разрывных решениях при условии полной пластичности / Л.А. Максимова // Изв. НАНИ ЧР, 2000. № 4. - С. 34-38.

82. Максимова Л.А. О статически определимых состояниях при условии пластичности Мизеса/ Л.А. Максимова // Вестник ЧГРУ им. И .Я. Яковлева. Сер. Механика предельного равновесия, 2007. №1. - С. 56-59.

83. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики/ Г.И. Марчук // М.: Наука, 1980.-534 С.

84. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред/ П. П. Мосолов, В. П. Мясников М.: Наука, 1981.-208 С.

85. Мураками С., Радаев Ю.Н. Математическая модель трёхмерного анизотропного состояния повреждённости/ С. Мураками, Ю.Н. Радаев//Изв. РАН. Механика твёрдого тела, 1996. № 4 - С. 94-110.

86. Мяснянкин Ю.М. О поверхностях скольжения в трёхмерных жёсткопластических телах / Ю.М. Мяснянкин, Г.И. Быковцев // Докл. АН СССР, 1966. Т.167 -№ 5. С. 1260-1262.

87. Мяснянкин Ю.М. О соотношениях на поверхностях разрыва в твёрдых идеальных жёсткопластических телах/ Ю.М. Мяснянкин, Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев // Докл. АН СССР, 1967. Т.177 № 5. - С. 1039-1042.

88. Мяснянкин Ю.М. О соотношениях на поверхностях разрыва скоростей перемещений в идеальных жесткопластических телах/ Ю.М. Мяснянкин // Тр. конф. «Математическое моделирование систем» - Воронеж, 1998. - С. 121-125.

89. Надаи А. Пластичность/ А. Надаи М.; Л.: ОНТИ, 1936. - 280 С.

90. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел/ А. Надаи Т.1. М.: Изд-во иностр. литературы, 1954. - 648 С.; Т. 2. М.: Мир, 1969. - 864 С.

91. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во московского университета, 1995. 366 С.

92. Прагер В. Теория идеально-пластических тел / В. Прагер, Ф. Ходж М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. - 398 С.

93. Прагер В. Введение в механику сплошных сред / В. Прагер- М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. 312 С.

94. Радаев Ю.Н. Дополнительные теоремы теории плоской и осесимметричной задачи математической теории пластичности/ Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ, 2004. №2 (32). - С. 41- 61.

95. Радаев Ю.Н. Группы симметрий дифференциальных уравнений осесимметричной задачи математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ, 2004. -№4 (34). С. 99-111.

96. Радаев Ю.Н. О t-гиперболичности пространственных задач теории пластичности / Ю.Н. Радаев, В.А. Гудков // Вестник СамГУ, 2005. №3 (37). - С. 57-70.t

97. Радаев Ю.Н. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев, В.А. Гудков // Вестник СамГУ, 2006. №4 (44). - С. 66-84.

98. Радаев Ю.Н. Трёхмерные уравнения связанной задачи математической теории пластичности/ Ю.Н. Радаев // Вестник ЧГРУ им. И .Я. Яковлева. Серия Механика предельного равновесия, 2007. №1. - С. 90-121.

99. Ратнер С.И. К вопросу о задачах теории пластичности/ С.И. Ратнер // Изв. АН СССР, ОТН, 1950. №3. - С. 435-450.

100. Редкозубов С.А. О связи обобщенной гармонической пропорции с представлением функций / С.А. Редкозубов, A.B. Кругов // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. -Воронеж : ВГТУ, 2003. С. 248-253.

101. Редкозубов С.А. Интегрирование на основе кинематико-геометрической модели / С.А. Редкозубов, A.B. Кругов, В.И. Тасенко, С.А. Силкин // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки, 2007. Т. 12. Вып. 2. - С. 230-234.

102. Самарский A.A. Численные методы математической физики/ A.A. Самарский, A.B. Гулин М.: Научный мир, 2000. - 316 С.

103. Самарский A.A. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. -2-е изд. / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. М.: Физматлит, 2002. - 320 С.

104. Седов А.И. Механика сплошной среды/ А.И. Седов М.: Наука, 1973. 2 Т.-536, 584 С.

105. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твёрдых пластических телах за пределами упругости / Б. Сен-Венан // Сб. «Теория пластичности» М.: Изд-во иностранной литературы, 1948.-С. 11-19.

106. Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твёрдых пластических телах и граничные условия для этих тел / Б. Сен-Венан // Сб. «Теория пластичности» М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. С. 24-33.

107. Соколовский В.В. О некоторых работах по теории пластичности / В.В. Соколовский // Прикл. матем. и механика, 1945. Т. 9. Вып. 6.

108. Соколовский В.В. Пластическое равновесие при плоском напряжённом состоянии по Сен-Венану / В.В. Соколовский // Прикл. матем. и механика, 1946. Т. 10.-Вып. 2.

109. Соколовский В.В. Об одной форме представления компонент напряжения в теории пластичности/ В.В. Соколовский // АН СССР, 1948. Т. 61. Вып. 2.

110. Соколовский В.В. Теория пластичности/ В.В. Соколовский М.: Высшая школа, 1969.-608 С.

111. Спорыхин А.Н. Неодномерные задачи упруговязкопластичности с неизвестной границей./ А.Н. Спорыхин, A.B. Ковалев, Т.Д. Щеглова -Воронеж. :Изд-во ВГУ, 2004. 129 С.

112. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твёрдых телах/ Т. Томас -М.: Мир, 1964.-308 С.

113. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред/ К. Трусделл М.: Мир, 1972. - 592 С.

114. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений/ М.Л. Уилкинс // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1964. С. 212-263.

115. Хаар А., Карман Т. К теории напряжённых состояний в пластических и сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности. Сб. статей. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948.

116. Хаар А., Карман Т. Теория пластичности / А. Хаар, Т. Карман // Сб. статей. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. С. 41-56.

117. Хилл Р. Математическая теория пластичности/ Р. Хилл- Сб. переводов. М.: Гостехиздат, 1956.-407 С.

118. Хромов А.И. Деформация и разрушение жёсткопластических тел / А.И. Хромов Владивосток: Дальнаука, 1996. - 181 С.

119. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение жёсткопластических тел / А.И. Хромов // Докл. РАН, 1998. Т. 362 № 2 -С. 202-205.

120. Хромов А.И. Деформация и разрушение жёсткопластической полосы при растяжении / А.И. Хромов // Механика твёрдого тела, 2000 № 1 - С. 136142.

121. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре/ С. А. Христианович // Мат. сб. Новая серия, 1936. Т. 1. Вып. 4. - С. 511-534.

122. Христианович С.А. К теории идеальной пластичности/ С.А. Христианович, Е.И. Шемякин // Механика твёрдого тела, 1967. №. 5.

123. Шилд Р.Т. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии / Р.Т. Шилд // Сб. переводов. «Механика». М.: Изд-во иностранной литературы, 1957. - №. 2. - С. 102-122.

124. Drucker D.C. Some implications of work hardening and ideal plasticity/ D.C. Drucker // Quart. Appl. Math, 1950. V.7. P. 411 418.

125. Echlers, W. A general approach to porous media elasto-plasticity. / W.Echlers // MECH-Ber./Univ. Essen. 1989. - №6. -P.1-61.

126. Haar A., Karman Th. von. Zur Theorie der Spaunungszustnäqe in plastischen und sandartigen Hedien / A. Haar, Th. Karman // Nachr. Kg. Ges. Wiss. Gött. Math.-phys. Kl., 1969. H.2. S. 204.

127. Henky H. Zur Theory plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorqerufenen Nachspaunungen / H. Henky // ZAMM, 1924 Bd. 4., H. 4. - S. 323.

128. Hill R. The theory of wedge indentation of ductile materials/ R. Hill, Lee E. H., Tupper S. J. //Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1947. V. 188. № 1013. -P. 273-289.

129. Hill R. Some special problems of indentation and compression in plasticity/ R. Hill // Proc. 7th Intern. Congr. Appl. Mech. L., 1948. V. 1. P. 365-377.

130. Hill R. Mathematical theory of plasticity/ R. Hill Oxford. Clrendon Press, 1950.-407 P.

131. Kuhlmann-Wilsdorf D. Theory of plastic deformation: properties of low energy dislocation structures // Mater. Sei. and Eng. A, 1989. V.l 13. P. 1-41.

132. Lee T.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension/ T.H. Lee // J. Appl. Mech., 1952. V. 19. -P. 331-336.

133. Mohr O. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik / O. Mohr -Berlin, 1914.

134. Nadai A. Über die Gleit und Verzweigungsflachen einiger Gleichgewichtszustande bildsamer Massen und die Nachspannugen bleibend verzerter Korper/ A. Nadai // Z. phys, 1924. B.30, H. 2. ZS. - P. 106-138.

135. Prager W., Hodge F. Theory of perfectly plastic solids / W. Prager, F. Hodge -New York London, 1951.

136. Prager W. On the use of singulazyield conditions and associated flow rules / W. Prager // J. Appl. Mech., 1953. V. 20.

137. Prager W. The necking of tension specimen in plane plastic flow / W. Prager, E. Onat // J. Appl. Mech., 1954. -V. 24. -P. 491-493.

138. Prager W. On ideal locking materials / W. Prager // Trans. Soc. Reology, 1957. -V. 1.

139. Prager W. Elastic Solids of Limited Compressibity / W. Prager // Actes IX. С. Int. de Mec. Appl. Bruxelles, 1957. -Т. 5.

140. Prandtl L. Spunnungsverteilung in platischen Körpern // Proceedings of 1-st Int. Congr. Appl. Mech. Delffc, 1924. S. 43-54.

141. Prandtl L. Über die Eindringung -festigkeit (Härte) plastischer Baustiffe und die Festigkeit im Schneiden / L. Prandtl // ZAMM, 1928 Bd. I. - H. I.

142. Radayev Y. N. Mathematical Description of Anisotropie Damage State in Continuum Damage Mechanics/ Y. N. Radayev, S. Murakami, K. Hayakawa //Trans. Japan Soc. Mech. Engn., 1994. V. 60 A., №. 580- P. 68-76.

143. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars/ O. Richmond // J. Mech. And Phys. Solids, 1969. V.l 7. № 2. - P. 83-90.

144. Taylor G.J., Quinney H. The plastic distortion of metals // Philosophical Transactions of the Royal Society, 1931. Ser. A., № 230. - P. 323-362.

145. Tomas Т. The General Theory of compatibility conditions/ T. Tomas // Jnt. I. Eng. Sc., 1966. V. 4, № 3,- P. 207-233.

146. Shield R.T. On the plastic flow of metals under conditions axial symmetry/ R.T. Shield// Proc. Roy. Soc. London. Ser. A., 1955. V. 233, № 1193. - P. 267287.

147. Климов Д.М., Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. К 80-летию Д.Д. Ивлева / Д.М. Климов, В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев // Вестник ЧГПУ им. И .Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2010. №2(8). с.5-38.