Двумерные задачи предельного равновесия анизотропной сыпучей среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ СЫПУЧЕСТИ

§ 1.1. Характеристические соотношения для условия сыпучести 19 обобщенного вида

§1.2. Условие предельного сопротивления изотропной сыпучей 24 среды сдвигу и его обобщение для анизотропии

§ 1.3. Определение параметров анизотропии и сыпучести

§ 1.4. Методика численного решения основных краевых задач 40 теории пластичности

ГЛАВА 2. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ АНИЗОТРОПНОЙ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОДНОРОДНОЙ НАГРУЗКИ

§ 2.1. Задача о вдавливании плоского штампа при обобщенном 47 условии анизотропной сыпучести

§ 2.2 Тупоугольный клин под действием одностороннего 65 давления

§ 2.3. Остроугольный клин под действием одностороннего 78 давления.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ АНИЗОТРОПНЫХ СЫПУЧИХ ОТКОСОВ

§3.1 Постановка задачи

§ 3.2. Методика расчета полей предельного равновесия 90 анизотропного сыпучего откоса под действием однородной нагрузки

§ 3.3. Методика расчета полей предельного равновесия анизотропного сыпучего откоса под действием неоднородной нагрузки

§3.4. Расчет предельных нагрузок и полей характеристик

§ 3.5. Предельное равновесие анизотропных сыпучих откосов с 115 учетом силы тяжести

ГЛАВА 4. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЧЕНИЯ ПРИ УСЛОВИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА

§ 4.1. Соотношения теории статики для условия пластичности 120 общего вида

§ 4.2. Характеристические соотношения при условии 124 пластичности Мизеса-Хилла

§ 4.3. Методика численного построения основных полей 128 характеристик при осесимметричном течении

§ 4.4 Постановка задачи о внедрении осесимметричного 132 штампа в пластическое полупространство

§ 4.5. Задача о вдавливании сферического штампа в 135 анизотропную среду при условии Мизеса-Хилла Заключение

Диссертация посвящена анализу и обобщению соотношений теории предельного равновесия пластической среды со свойствами анизотропии и сыпучести, численному решению задач предельного сопротивления элементов конструкций и сооружений, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с частными производными, при условии пластичности, учитывающем свойства анизотропии и сыпучести, развитию численных методов определения предельных нагрузок и полей напряжений в областях пластических деформаций твердых тел с вышеуказанными свойствами. Достижения в теории идеальной пластичности и обобщения на анизотропию и сыпучесть освещены в работах Д.Д. Ивлева [27-44], Г.И.Быковцева[10], Г.А.Гениева [12-16], М.И.Ерхова [26], А Ю.Ишлинского [45], В.Д.Клюшникова [50], Н.Н.Малинина [54], ЮН.Работнова [61], Л.И.Седова [64-65], В.В.Соколовского [66-67], Л.А.Толоконникова [71] и других ученых.

Актуальность темы. Проблема устойчивости инженерных сооружений и прочности элементов конструкций часто связана с учетом свойств анизотропии и сыпучести материалов, применяемых в соответствующих технологиях. При этом особое внимание уделяется развитию теории, методам расчета напряженно-деформированного состояния и, соответственно, установлению определяющих соотношений, используемых при инженерных расчетах устойчивости и прочности сооружений и элементов конструкций со свойствами анизотропии и сыпучести.

Среди феноменологических теорий идеальной пластичности со свойствами анизотропии можно выделить такие направления: во-первых, условия пластичности, обобщающие условие Мизеса [27], во-вторых, обобщающие условия Треска-Сен-Венана [74], и, в-третьих, обобщение представлений о существовании предела для компоненты касательного напряжения на опасной площадке [16]. Соответствующие соотношения подробно исследовались Г.Хиллом, Д.Д.Ивлевым, Г.А.Гениевым, И.Т.Артемьевым и другими учеными. Для плоской задачи каждая из рассматриваемых систем определяющих уравнений является статически определимой, принадлежит к гиперболическому типу с характеристиками, соответствующими линиям скольжения. Каждый из перечисленных феноменологических подходов соответствует представлениям о природе идеально-пластического течения, когда деформации происходят по опасным площадкам, на которых комбинации напряжений достигают предельных значений, определяемых сформулированными условиями пластичности. Известны и другие критерии прочности и пластичности анизотропных материалов, такие как, критерий прочности К.В.Захарова [18], критерии Марина [81], Фишера [80], критерий Нориса и Мак-Кинэна [83], Прагера [76], Е.К.Ашкенази [8] и другие. Исследованием критериев прочности и пластичности конструкционных материалов занимались также и И.И.Гольденблат, и А.В.Копнов [18]. Они отмечают, что многим из рассмотренных критериев прочности и пластичности анизотропных материалов присущи некоторые недостатки. Некоторые из критериев не учитывают особенности механических свойств анизотропных материалов, другие не подтверждаются экспериментами [18]. Следовательно, задача исследования прочности анизотропных материалов остается актуальной.

Анализу сыпучих свойств среды посвящены монографии С.С.Голушкевича [20], Б.И.Далматова [23], В.В.Соколовского [66], Н.А.Цытовича [77] и др. Учет сыпучих свойств актуален в связи с тем, что грунты основания обычно обладают в тысячи раз большей деформированностью и в сотни раз меньшей прочностью, чем материалы, из которых возводится сооружение. Следствием неправильной оценки качеств грунтов часто являются большие деформации конструкций сооружений и даже их разрушение.

Задачи теории предельного равновесия сыпучей среды принадлежат к числу задач, поставленных во времена, когда строительная механика еще только начинала развиваться как самостоятельная наука. Уже в 1773 году Кулон (Coulomb С. Application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique, relatifs à l'architecture. Mémoires de savants étrangers de l'Acad. des se. de Paris, 1773) ясно сформулировал основные принципы теории предельного равновесия и дал ее первые приложения к задачам о расчете сводов и о давлении земли на подпорную стенку. Задача о давлении земли на подпорную стенку долгое время была единственной задачей теории предельного равновесия сыпучей среды.

Прогресс строительной техники (увеличение размеров и веса сооружений, необходимость возводить их на слабых основаниях, возведение больших земляных насыпей, изучение оползней и пр.) поставил перед теорией ряд новых задач, среди которых наиболее важными являются задачи об устойчивости оснований и глубине заложения фундаментов и задачи об устойчивости и рациональных или предельных очертаниях откосов. В работах Кеттера (Kötter F. Die Entwicklung der Lehre vom Erddruck. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 18911892; Kötter F. Die Bestimmung des Druckes an gekrümmtengleitfiächen, eine Aufgabe aus der Lehre vom Erddruck. Berl. Ber., 1903; Kötter F. Ueber der Druck von Sand. Berl. Ber., 1909) дана строгая постановка задачи Кулона об определении давления земли на подпорную стенку. Рассматривая эту задачу, в отличие от Кулона, Кеттер отказывается от допущения, что поверхность обрушения - плоскость, и сводит ее к вариационной задаче, задаче об отыскании криволинейной поверхности обрушения, обладающей тем экстремальным свойством, что она в состоянии предельного равновесия занимает положение, при котором давление земли на стенку достигает наибольшего значения. Кеттеру удалось получить имеющий принципиальное значение результат. Он вывел дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять распределение напряжения по поверхности обрушения.

В работе Голушкевича С.С. [20] (1948 г.) отмечено, что в исследованиях тех лет по теории предельного равновесия сыпучей среды основные задачи этой теории ставились как задачи математической физики. В основном данные работы посвящались исследованию этих задач, но не разработке эффективных методов их решения. Голушкевич С.С. [20] для решения таких задач использует методы строительной механики и, в частности, графические методы, строит графические решения классических задач теории предельного равновесия (задач Ренкина, Прандтля и Паукера). В настоящее время для решения задач математической физики, поставленных для предельного равновесия сыпучей среды и относящихся к гиперболическому типу, применяется способ Массо (метод характеристик). Нелинейность задач этой теории позволяет получить аналитические решения только в простейших случаях. Графические методы, разработанные Голушкевичем С.С. [20], однако, могут быть более эффективными, чем способ Массо.

Ренкин первый поставил и решил задачу о предельном равновесии однородной тяжелой идеально сыпучей среды, ограниченной наклонной плоскостью, по которой равномерно распределено вертикальное давление (Rankine W. On the stability of loose earth. Lond., Phil. Trans. 1857).

Ренкин отказался от предположений Кулона о форме и экстремальных свойствах поверхности обрушения и определил давление земли на подпорную стенку, исходя из естественного предположения, что в тот момент, когда стенка находится в состоянии предельного равновесия, засыпка за ней находится в предельном напряженном состоянии не только на поверхности обрушения, но и во всей области, занятой призмой обрушения. Ренкин первый вывел уравнение, которому должно удовлетворять распределение напряжений во всех точках идеально сыпучей среды, когда она находится в предельном напряженном состоянии:

Л2 т2 = а2 ■ sin2/?. В частном случае, когда р = О, 2 такое обобщенное уравнение Ренкина превращается в уравнение пластичности Сен-Венана. Ренкин также открыл свойство изогональности поверхностей скольжения, заполняющих область предельного напряженного состояния сыпучей среды.

Морис Леви (Levy M. Sur une theorie rationelle de l'équilibre des terres fraichement remuées et ses applications au calcul de la stabilité des murs de soutènement. Journale de Mathématique de Liouville, 1873) дал новое изложение теории Ренкина. Воспользовавшись приемом Эри, введя функцию напряжений, он свел задачу о предельном равновесии сыпучей среды к интегрированию дифференциального уравнения в частных производных второго порядка.

Белзецкий С И. указал на главное препятствие, стоящее на пути дальнейшего развития теории предельного равновесия (Белзецкий С.И. Статика сооружений, т. 1, вып. 1. Статика сыпучих тел и расчет подпорных стенок. Петербург, 1914). Оно заключалось в трудности исследования предельного напряженного состояния сыпучей среды в окрестности граничной прямой, на которой приложенное к поверхности сыпучей среды внешнее давление терпит разрыв. Эта трудность была преодолена в двадцатых годах, когда Прандтль показал, что линия разрыва непрерывности эпюры внешнего давления является центром пучка одного семейства кривых скольжения, заполняющих область, в которой сыпучая среда находится в особом предельном напряженном состоянии.

Задача Прандтля заключается в следующем: невесомая однородная сыпучая среда занимает область, заключенную между сторонами плоского двухгранного угла у. По одной грани равномерно распределено давление <у\ отклоняющееся от нормали к ней на угол р. По другой грани равномерно распределено давление су" , также отклоняющееся от нормали к грани на угол р. Необходимо установить, при каком соотношении между величинами сг' и а" сыпучая среда придет в состояние предельного равновесия, и определить форму поверхностей скольжения (Prandtl L. Ueber die Härte plastischer Körper. Göttingen Nachrichten. 1920; Prandtl L. Ueber die Eindringunsfestigkeit (Härte) plastischer Baustoffe und die Festigkeit von Schneiden. Zeitschr. f. angew. Math, und Mech., 1921).

В задаче Паукера рассматривается случай, когда плоскости ограничивающих сыпучую среду откосов сливаются в одну горизонтальную плоскость, а давления р' и р" вертикальны. Паукер первый поставил ее и дал ее приближенное решение. Точное решение этой задачи дано Прандтлем. Инженер В.И.Новоторцев обобщил решение Прандтля на случай, когда давление р' наклонно (Новоторцев В.И. Опыт применения теории пластичности к задачам об определении несущей способности оснований сооружений. Труды Научно-исследовательского института гидротехники, т. XXII, 1938).

В.В.Соколовский построил общий метод решения основных задач теории предельного равновесия сыпучей среды. Он обобщил результаты своих исследований в монографии «Статика сыпучей среды» [66]. Эти исследования написаны под сильным влиянием работы С.А.Христиановича (Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре. Мат.сб., нов. серия, т. I (43), вып. 4), посвященной исследованию близкой к теории предельного равновесия плоской задачи математической теории пластичности. В.В.Соколовский показал,что все основные задачи теории предельного равновесия (задачи о давлении земли на подпорную стенку, об устойчивости оснований и откосов, о предельных очертаниях откосов) представляют собой частные случаи одной задачи, которую В.В.Соколовский называл обобщенной задачей Прандтля.

В настоящее время теория сыпучести лежит в основе методов исследований инженерной практики, излагаемых во многих известных учебниках, например [23, 77].

В связи с разнообразием представлений об условиях пластичности и сыпучести возникает вопрос о том, являются ли методы описания предельных состояний исключающими другие возможные представления. В теории идеальной пластичности остается малоисследованным вопрос о предельном состоянии материала при произвольной комбинации компонент тензора напряжений <тх, <ту, % при плоской деформации, когда они подчиняются соотношению

F(ax, сгу, %Ь0. (1)

Очевидно, соотношение (1) можно представить в виде комбинации инвариантов тензора напряжений, выразив компоненты тензора напряжения в декартовой системе координат следующим образом:

7Х = а + ts\r\2(p, сту =<j-tsinlcp, (2) тху =-t со$2(р. где <7- среднее напряжение в рассматриваемой точке среды, t - величина максимального касательного напряжения, (р - направление площадки с максимальным касательным напряжением [27]. При этом соотношение (1) сводится к виду:

Gfcr, t, д>) = 0. (3)

Естественные материалы, такие как грунты, горные породы, лед, а также искусственно созданные материалы, такие как композиционные, полимерные, порошковые и другие обладают сложными физико-механическими свойствами, когда предельные состояния описываются разнообразными соотношениями типа (3). Исследование определяющих соотношений общего вида типа (3) является актуальной задачей.

Поскольку соотношения теории пластического течения достаточно сложны, точные решения возможны лишь для узкого класса задач [27]. Большая часть задач требует применения приближенных и численных методов в силу нелинейности систем дифференциальных уравнений и условий предельного сопротивления (условий пластичности, сыпучести и пр.) и в сложности граничных условий в общем случае. Эта особенность задач механики деформируемого твердого тела остается неустранимой, несмотря на стремление внести упрощения в формулировку соотношений, определяющих предельное состояние твердого тела. Тем более, что учет свойств сыпучести, анизотропии в отдельности и в комбинации приводит к усложнению в формулировке таких соотношений. В результате круг задач, для которых получено даже приближенное аналитическое решение, до настоящего времени еще достаточно узок. Очевидно также, что приближенные и аналитические решения не умаляют интереса к анализу решений, полученных без упрощающих задачу предположений, позволивших получить приближенное решение.

Появление и 'интенсивное развитие быстродействующих вычислительных средств создало благоприятные условия для развития численных методов расчета несущих способностей пластических конструкций, полей предельных напряжений. В первую очередь, следует назвать метод конечных разностей, позволивший обойти многие трудности аналитического решения сложных систем дифференциальных уравнений. Вызванное прогрессом вычислительной техники развитие численных методов позволило подойти к самой постановке и решению ряда задач механики деформируемого твердого тела, соответствующих моделям реальных технологических процессов, и инженерным расчетам, имеющим практическую значимость.

В связи с этим развитие численных методов расчета несущей способности элементов конструкций и инженерных сооружений (оснований, фундаментов, откосов и пр.) со свойствами сыпучести и анизотропии, расчет полей предельных напряжений в этих случаях является актуальным.

Методики численного расчета предельных полей напряжений приведены во многих монографиях [25, 48, 54, 58]. В настоящей диссертационной работе предлагается обобщение этих методов.

В работе [66] рассматривается условие предельного сопротивления сдвигу по данной площадке сыпучей среды с нормалью п, имеющее место при соблюдении между касательным тп и нормальным сгп напряжениями линейной зависимости [66] тп\ = сг^р + к = (ап+Н^р, (4) где, р - угол внутреннего трения, к - коэффициент сцепления сыпучей среды, Н = кс\%р - так называемое временное сопротивление всестороннему равномерному растяжению по терминологии В.В.Соколовского [66].

Соотношение (4), используя инварианты 1, а тензора напряжений, можно привести к виду : г = + о->тр. (5)

В настоящей работе в качестве примера обобщения условия предельного сопротивления сыпучей среды при плоском напряженном состоянии (4) на анизотропные сыпучие среды предлагается следующее условие: г - (Н + сфтр + А&т.(4(р + Л). (6)

Константы р, Н характеризуют сопротивление сыпучей среды без учета анизотропии. Анизотропия материалов определяется зависимостью предельного сопротивления сдвигу на данной площадке от направления ср главного касательного напряжения Л - константа, определяющая направление главных осей анизотропии, то есть осей с экстремальными прочностными свойствами вдоль них. Существенность влияния анизотропии определяется константой А, которая представляет собой амплитуду анизотропных свойств среды.

Здесь главной осью анизотропии условно называем такое направление в анизотропном материале, в котором предельное максимальное касательное напряжение не зависит от амплитуды А, то есть для которого &т(4(р + Л) -О. Поэтому условно будем называть эту ось также нейтральной осью анизотропии.

В данной точке М твердого тела функция £ = £/ + А$т(А(р + Л), где и = (Н + а)зтр, может быть представлена в полярных координатах диаграммой (рис. 1). Окружность радиуса и соответствует предельному условию сыпучести, не зависящему от направления <р, а периодическая замкнутая кривая иллюстрирует изменения предела текучести в зависимости от направления <р. Так, если угол <р измерять от произвольно выбранной оси х, то по отношению к этой оси максимум сопротивления ^ ^ достигается при г = и + А, то есть при &т(А(р + Л) = 1 и <р = — - — = —— Л'.

То есть в данной интерпретации Л' - есть угол между осью х и выбранной нами главной осью. нейтральная ось анизотропии

Рис. 1

В случае (6) функция О (3) принимает вид:

0(с>, = + о)$тр + А$ш(4(р + Х)\ (7)

Цель работы: анализ феноменологических подходов в теории идеальной пластичности со свойствами анизотропии и сыпучести на основе обобщенного условия пластичности; вывод определяющих и характеристических соотношений теории; решение некоторых классических задач на основе полученных соотношений, учитывающих свойства анизотропии и сыпучести материалов.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для условия пластичности общего вида С(ст,1,,(р), где ст, I, (р -инварианты тензора напряжения дифференциальные уравнения равновесия сведены к дифференциальным уравнениям двух семейств характеристик и дифференциальным соотношениям для параметров а и (р вдоль них.

2. Исходя из полученных соотношений, приведены характеристические соотношения для обобщения условия предельного сопротивления сыпучей среды на случай анизотропии.

3. Развита методика численного решения основных краевых задач теории идеальной пластичности: задачи Коши, Римана, смешанной задачи.

4. На основе приведенной методики решены задачи о предельном равновесии анизотропной сыпучей среды при действии плоского штампа на полупространство, на грань тупоугольного, остроугольного клиньев.

5. Исследованы частные случаи, вытекающие из общего условия анизотропной сыпучести: идеальная пластичность, анизотропия, сыпучесть. В частных случаях решения соответствуют известным решениям классических задач.

6. Развита методика численного решения задачи о предельном равновесии анизотропных сыпучих откосов при однородной и неоднородной нагрузках. На основе этих решений приведены рекомендации о влиянии свойств сыпучести и анизотропии на устойчивость сооружений.

7. Приведено обобщение теории осесимметричного течения при условии пластичности общего вида. Получены характеристические соотношения для условия пластичности общего вида, которые позволяют моделировать предельное состояние идеально пластических, анизотропных, сыпучих сред и сред с комбинациями сыпучести и анизотропии. В качестве конкретного примера условие пластической анизотропии принято в виде условия Мизеса-Хилла.

8. Приведена методика и результаты численного решения задачи о построении полей характеристик и полей предельных напряжений при вдавливании сферического штампа в пластическое анизотропное полупространство с учетом выпучивания поверхности среды.

1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М. Наука, 1974, 431 с.

2. Артемьев И.Т., Ивлев Д.Д. Об одной предельной модели сплошной среды. ДАН СССР, 1983, т.273, № 5, с.1074-1076.

3. Артемьев И.Т., Ивлев Д.Д. К теории предельного состояния хрупких тел с разрывными решениями.-МТТ, 1984, № 1, с. 111-116.

4. Артемьев И.Т. Нависающий сыпучий откос при предельном сопротивлении отрыву. Чебоксары, 1985. 12 с. - Рукопись представлена Чув.гос ун-том. Деп. в ВИНИТИ 20.03.85, № 2004 - 85.

5. Артемьев И.Т. Развитие зон отрыва и сдвига в упругом клине. Чебоксары, 1985. - 10 с. - Рукопись представлена Чув.гос.ун-том. Деп. в ВИНИТИ 20.03.85, №2006 - 85.

6. Артемьев И.Т., Ивлев Д.Д. Краевая задача для сред с предельным сопротивлением всестороннему растяжению. В кн.: Краевые задачи и их приложения. Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1985, с.3-9.

7. Артемьев И.Т. Соотношения плоской задачи идеальной пластичности при произвольном условии текучести // Исследования по краевым задачам и их приложениям. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1992. С.4-14.

8. Ашкенази Е.К. Вопросы анизотропии прочности. «Механика полимеров», 1965, № 2.

9. Березин И.С., Жидков Н.П, Методы вычислений. Т.2 2-е изд., пере-раб. - М.: ГИФМЛ, 1962. - 640 с.

10. Быковцев Г.И. О плоской деформации анизотропных идеально пластических тел // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. №2. С. 15-21.1.. Галин Л.А. Упруго- пластические задачи, М.: Наука, 1984. 232с.

11. Гениев Г А. Об уравнениях статики и кинематики анизотропной пластической среды при сопротивлении отрыву. Строит, механика и расчет сооружений, 1983. № 2. С. 14-18.

12. Гениев ГА. Вопросы механики неупругих тел. М.:Стройиздат, 1981. 161с.

13. Гениев Г.А. Плоская деформация анизотропной идеально пластической среды // Строит, механика и расчет сооружений. 1982. №3. С. 5-7.

14. Гениев Г.А. Плоская деформация анизотропной сыпучей среды. Строит, механика и расчет сооружений. 1982. №3.

15. Гениев Г.А., Курбатов A.C., Самедов Ф.А. Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов. М.: Интербук, 1993. 187 с.

16. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах. Сб. «Теория пластичности». ИЛ, 1948.

17. Гольденблатт И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 192 с.

18. Годунов С.М. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. 391с.

19. Голушкевич С.С. Плоская задача теории предельного равновесия сыпучей среды. Москва, Ленинград: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948.

20. Грин А. Пластическое течение надрезанных полос при изгибе. Механика, 1955, №4. С.56-64.

21. Грин А. Теория пластического течения изгибаемых консолей и балок. Механика, 1955, №4. С.65-92.

22. Далматов Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты. Л.:Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1988. 415 с.

23. Друянов Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел. М.: Машиностроение, 1989. 168 с.

24. Друянов Б.А., Непершин Р.И., Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990. 272 с.

25. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978.352 с.

26. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

27. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. 208 с.

28. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упруго- пластичного тела. М.: Наука, 1978. 208 с.

29. Ивлев Д.Д. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности.-ПММ, 1958, т. 12, вып. 4. С.480-486.

30. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958, т.22, вып.6. С.850-855.

31. Ивлев Д.Д. К теории разрушения твердых тел. ПММ, 1959, т.23, вып. 3. С.618-624.

32. Ивлев Д.Д. К теории идеальной пластической анизотропии // ПММ, 1959, т.23, вып.6. С.1107-1114.

33. Ивлев Д.Д. К теории плоской деформации упрочняющегося пластического материала. —ПММ, 1960, № 4, т.24. С.707-710.

34. Ивлев Д.Д. Об экстремальных свойствах условий пластичности //ПММ, 1960, т.24, вып.5. С.951-955.

35. Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. О предельном состоянии осесиммет-ричных тел при условиях сопротивления сдвигу и отрыву // Известия АН СССР. ОТН, механика и машиностроение, 1963, № 4. С.79-85.

36. Ивлев Д.Д., Непершин Р.И. К задаче о внедрении гладкого клинообразного в плане штампа с плоским основанием в жесткопластическое пространство // Изв. АН СССР, МТТ, 1968, № 6. С.115-118.

37. Ивлев Д.Д, Непершин Р.И. Внедрение гладкого сферического штампа в жесткопластическое полупространство // Изв. АН СССР, МТТ, 1974, №4. С.159-166.

38. Ивлев Д.Д., Чадов В.Б. О диссипативной функции в теории анизотропных пластических сред. «Изв. вузов. Машиностроение», 1974, №1. С.21-24.

39. Ивлев Д.Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды // ПММ. 1972, т.36, вып.5. С.957-959.

40. Ивлев Д.Д. О соотношениях пластической анизотропии // Динамика сплошных сред со свободными границами. Сб. статей, к 60-летию проф. А.Г. Терентьева, Чебоксары, Изд-во ЧТУ, 1996. С.121-125.

41. Ивлев Д.Д. Об определяющих соотношениях теории идеальной пластичности // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, сводный том 1966 №№ 3,4, 1997, № 1,2. С.21-42.

42. Ивлев Д.Д. О соотношениях ассоциированного закона течения и на-гружения в теории идеальной пластичности // Известия НАНИ ЧР, Чебоксары, 1997, № 4. С.78-100.

43. Ивлев Д.Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности //ДАН, 1998.

44. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочне142 .нием. Укр.матем. журн., X« 3, 1954.

45. Ишлинский А.Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля // ПММ, 1944, т. vi и, № 3, с.201-224; Прикладные задачи механики. Т. 1-М.: Наука-1986. С. 17-42.

46. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

47. Качанов Л.М. Основы теории пластичности, М.: Наука, 1969. 420 с.

48. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

49. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности, М.: МГУ, 1979.208 с.

50. Койтер В. Общие теории упруго-пластических сред. М.: ИЛ, 1961. 78с.

51. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М: Изд.-во иностр. лит., .1953. 460 с.

52. Константинова Л.А. Влияние выпучивания поверхности пластической среды при вдавливании шара. В сб. «Исследования по упругости и пластичности». Изд-во ЛГУ. 1962. С. 162-164.

53. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.

54. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Наука, 1974.318 с.

55. Михлин С.Г. Основные уравнения математической теории пластичности, М.: Изд. АН СССР, 1934.

56. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений: Пер. с англ. М.: Наука, 1986. - 288 с.

57. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М : Изд-во МГУ, 1995. 366 с.

58. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физматгиз, 1958. 136с.

59. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М.: ИЛ., 1956.398 с.

60. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.744 с.

61. Ржаницын А Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М.: Стройиздат, 1954.

62. Саркисян М.С. К плоской задаче пластически анизотропных тел // Журн. прикл. мех. и техн. физики. № 2. 1962. С. 150-152.

63. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: ГИФМЛ, 1962.284 с.

64. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2 т. М.: Наука, 1976. 576 с.

65. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М. Физматгиз, 1960. 244с.

66. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

67. Степин П.А. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1983. 304 с.

68. Тимошенко С П. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965.

69. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

70. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979.

71. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964.

72. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. - 320 с.

73. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехтеорегиз-дат, 1956.407 с.

74. Ходж. Ф., Гудьер Д. Упругость и пластичность. М.: ИЛ, 1960.

75. Ху Л.В., Марин Д. Анизотропные функции нагружения при сложном нагружении в пластической области. «Механика». Сборник переводов, № 2 (36), 1956.

76. Цытович Н.А. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1983.

77. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии. Сб. перев. "Механика", 1957, № 1.

78. Shild R. Т. On the plastic flow of metals under conditions of axial-symmetry. Proc. Roy. Soc., A, 1955, vol. 233, No 1193.

79. Fischer L. How to Predict Structural Behavior of R.P. Laminates I. "Modern Plastcs", № 6, 1960.

80. Marin I. Theories of strength for Combined stresses and Nonisotropic Materials. I. Aeronaut., Sci., № 4,1957.

81. Артемьев И.Т., Сейфуллина C.B., Сидоров C.H. Характеристические соотношения в теории пластичности уплотняемых материалов // Актуальные задачи математики и механики: Сб статей.Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1995. С. 9-14.

82. Артемьев И.Т., Сейфуллина C.B. Математическая модель механики анизотропной сыпучей среды при вдавливании штампа // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 7 межвузовской конференции. ч.1 Самара, 1997. С. 14-15.

83. Артемьев И.Т., Сейфуллина C.B. Исследование полей предельных напряжений при вдавливании штампа в анизотропную сыпучую среду //Изв. НАНИ 4P. 1997. № 4. С. 30-35.

84. Артемьев И.Т., Сейфуллина C.B. Предельное равновесие анизотропных сыпучих откосов //Математические модели и их приложения: Сб науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1999. С. 25-31.

85. Сейфуллина C.B. Об осесимметричном течении анизотропных пластических материалов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 9 межвузовской конференции. ч.1 Самара, 1999. С. 174-178.

86. Сейфуллина C.B. Об осесимметричном течении анизотропных пластических материалов при условии пластичности общего вида. Чебоксары, 1999. - 19 с. - Рукопись представлена Чув.гос.ун-том. Деп.в ВИНИТИ 27.07.99, № 2437-В99.