Задачи теории пластичности и предельного равновесия слоистых неоднородных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Файзрова Илюзя Нургазизовна

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ СЛОИСТЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Альметьевск 2003

Работа выполнена в Альметьевском нефтяном институте и Уральском государственном техническом университете (УГТУ-УПИ).

Научные руководители: кандидат технических наук

Алексеев Борис Григорьевич

доктор технических наук Алиев Мехрали Мирзапи оглы

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Иванов Виктор Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Сидоров Игорь Николаевич

Ведущая организация: ТатНИПИнефть, г. Бугульма.

Защита состоится 9 июня 2003 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.05 при Казанском Государственном техническом университете им. А.Н.Туполева по адресу: 420111, Казань, ул. К. Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского Государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослан 30 апреля 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат технических наук, профессор

В.Ф. Снигирев

//^¿Г - у

Общая характеристика работы Актуальность работы. Одним из эффективных путей повышения технико-экономических показателей элементов конструкций является учет особенностей физической структуры материала, в частности свойства анизотропии и неоднородности. При обеспечении надежности сооружений необходимо иметь данные не только о возводимых сооружениях, но также о физических и особенно механических свойствах грунтов оснований сооружений - их прочности и деформируемости. Таким образом, комплекс задач, решение которых предстоит выполнить при проектировании самой конструкции и основания сооружения с учетом реальных свойств и материала, и основания, является актуальным.

Обычно при выборе расчетных моделей сыпучих сред, которыми являются грунты и горные породы, принимаются как однородное изотропное полупространство, однако физическая природа его отличается от такой схемы. Горные породы в условиях естественного залегания в большинстве случаев в той или иной степени обладают анизотропией механических свойств, которая может существенно влиять на работу инженерных сооружений.

Учет реальных условий деформирования грунтов путем применения нелинейных методов создает возможность повысить нагрузки на основание, обосновать снижение материалоемкости подземной части зданий.

Проблемы, затронутые в этой работе, связаны с определением несущей способности оснований при изменении прочностных характеристик в ортогональных направлениях, в частном случае - по глубине.

В работе также исследованы вопросы теории пластичности неоднородных слоистых тел и решен ряд практически важных задач.

1»<н

20*3 (

> * А

Цель работы. Целью диссертационной работы являются: - вывод основных зависимостей теории слоистой неоднородной пластической и сыпучей среды на основе обобщенных условий Треска-Сен-Венана и Кулона-Мора;

-учет неоднородности механических свойств слоистых тел при решении задач теории пластичности и теории предельного равновесия;

-систематизировать круг вопросов, связанных с описанием прочностных свойств анизотропных сред.

Как основная цель рассматривается вопрос применения разработанной теории не для конкретного материала, а для тел, таких как грунты, горные породы, слоистые пластики и другие материалы работающих в различных условиях загружения.

Научная новизна. На основе обобщения теории Кулона-Мора, для общего случая плоского деформированного состояния предложена теория для слоистых тел, коэффициент трения которых зависит от координат. Получены общие зависимости, применимые для оценки несущей способности слоистого основания при нормально действующей нагрузке, наклонно действующей нагрузке, а также устойчивости слоистых откосов в случае, когда угол внутреннего трения среды изменяется по глубине. Получены основные разрешающие уравнения рассматриваемой среды, которые позволяют определить, с практической точки зрения, математически точные очертания поверхностей скольжения и достаточно строго оценить значение предельной нагрузки на грунт, соответствующей её максимальной несущей способности.

Разработана методика определения несущей способности весомого слоистого и неоднородного основания.

Решены ряд задач теории предельного равновесия и теории пластичности слоистых неоднородных сред. Решения некоторых задач теории пластичности однородных слоистых тел получены в аналитическом виде

На основании полученных формул разработан алгоритм программы расчета устойчивости оснований и устойчивости откосов по предельному состоянию. Численное решение задач реализовано с помощью ЭВМ.

Практическая ценность работы. Получены основные разрешающие уравнения предельного напряженного состояния для предложенной модели среды, которые позволяют определить очертания поверхностей скольжения. Используя эти уравнения можно с достаточной точностью оценить значения предельной нагрузки, а также определить поле скоростей.

Приведены многочисленные примеры по определению несущей способности слоистого неоднородного грунта в зависимости от угла внутреннего трения в случае его уменьшения или увеличения по глубине.

Результаты решения задач теории пластичности, полученные в диссертации, могут быть применены для расчета слоистых деталей и элементов конструкций.

Полученные результаты представлены в виде аналитических формул, графиков, позволяющих довольно быстро дать оценку прочности рассматриваемого тела.

Апробация работы. Основные положения работы были доложены и обсуждены на научно-практических конференциях «Научные исследования и подготовка специалистов в ВУЗе», Альметьевск, 1999 г.; «Вопросы инженерно - экологических и инженерно - геологических изысканий в Уральском регионе», Екатеринбург, 1999 г; II отчетной конференции молодых ученых ГОУ УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2002 г.

Публикации. Содержание работы отражено в 6 печатных работах.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка использованной литературы из 98 наименований. Работа изложена на 125 страницах. Содержит 22 рисунка, 18 графиков, 1 таблицу.

Содержание работы Первая глава посвящена изложению состояния вопроса и носит обзорный характер. Задача об анизотропной пластической среде была поставлена Р. Мизесом в 1928 г. и впоследствии развита Р. Хиллом. В дальнейшем разработкой новых критериев прочности и пластичности, а также исследованием анизотропных свойств различных материалов занимались Е.К.Ашкенази, А.М.Жуков, В.Н.Бастун, К.В.Захаров, А.К.Малмейстер, И.И.Гольденблат, В.А.Копнов, Д.Д.Ивлев, Г.И.Быковцев, Г.А.Гениев, Г.С.Писаренко, А.А.Лебедев, Т.Н.Мартынова, С.Д.Фейгин, В.Б.Чадов, В.В.Соколовский, Л.А.Толоконников, С.П.Яковлев, Н.М.Матченко, В.В.Шевелев, В.В.Глаголев, В.Г.Федоровский, М.М.Алиев, В.О.Геоджаев, И.Е.Милейковский, Ю.Н.Работнов, Ю.М.Романов, А.В.Курбатов, В.И.Себекина, Ф.А.Самедов, В.П.Николаев, Ф.П.Пеккер, Ф.П.Белянкин, Г.Г.Марголин, Н.С.Можаровский, В.В.Тулузаков, П.Г. Микляев, Я.Б.Фридман, Ю.Г.Мелбардис, В.Ольшак, Д.Марин и многие другие отечественные и зарубежные исследователи.

Аналитический обзор существующих работ, близких к рассматриваемой теме диссертации, позволяет слелать вывод, что в теории анизотропных пластических сред определялись два основных направления: в первом из них условие пластичности вводится как модификация условия Мизеса, а второе направление опирается на обобщение условия пластичности Треска-Сен-Венана.

В настоящее время весомый вклад в развитие теории предельных напряженных состояний анизотропных тел принадлежит Гениеву Г.А. и его ученикам. Например, в работах Алиева М.М. на основе обобщения закономерности Кулона-Мора разработаны критерий прочности, условие текучести и условие предельного равновесия для неоднородных анизотропных идеально пластических, сыпучих тел и конструкционных мате-

риалов. Ранее были опубликованы работы, выполненные в этом направлении В.Ольшаком и В.Г.Федоровским.

Из проведенного в диссертации обзора следует также, что большинство критериев прочности для анизотропных слоистых тел не нашло достаточного применения в практике проектирования. Основной причиной, обусловившей это обстоятельство, является сложность математического выражения, а также необходимость проведения большого числа опытов для определения входящих в них постоянных. Известные исследования течения слоистых неоднородных материалов не представляют собой стройной теории, позволяющей описать указанные свойства идеально связных и связных фунтов.

Во второй главе диссертации рассматривается условие предельного равновесия слоистой, неоднородной сыпучей среды с переменным по координатам углом внутреннего трения р и переменным по направлениям сцеплением с. Закономерность Кулона-Мора на площадке скольжения представляется в виде:

?п(¥) = Кх,У)°„(Ч') + с(,У')> 0)

к(х, у) = tg р(х, у) - тангенс угла внутреннего трения среды, у/ - угол между осью х и нормалью к площадке скольжения, с{ц/)- функция сцепления сред, г(<//) и <тп {у/) - касательные и нормальные компоненты напряжения на площадках скольжения с нормалью п, которые связаны с <?х,сгу,Туу в виде:

ап = 0,5(сгх + оу) + 0,5(<тх - ау) cos 2у/ - т^ sin 2у/ , (2)

Tn=0,5(a-x-cry)sm2y/-Txycos2^, (3)

Положение опасной площадки скольжения, связанное с углом у/, определяется из условия экстремума:

ду/

\р„ (И ~ k(x> У)°„ (И - cO)]=

(4)

После подстановки (2) и (3) в (1) и (4) получим систему уравнений, решение которых имеет вид:

а -а = [изт(2у/-р) + с'(у/)со%(2у/-р)\соьр, (5)

тху = -0,5[^icos(2y/-p)-c'(y/)s'm(2y/-p)]cosp ,

(6)

где ц = 2atgp + с(у/), р = р(х, у), сг = 0,5(о"х + сг^ ).

Из (5) и (6) следует условие предельного равновесия рассматриваемой сре-

ды:

(С7Ж"0 + 4< =

cXvY

cos2 /О.

(7)

У' ху

Компоненты напряжения ах, а у, т^, удовлетворяющие (7), и зависящие

от а и у/, определяются из (5) и (6).

Подставляя ах, сг^, т^ в дифференциальные уравнения равновесия

плоской задачи с учетом массовых сил, получим систему квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка:

^Г + tg[w ~ р{х, у)]^- + ф| + tg[y/ - р(х, yj&t-1 = G дх ду [öx ду J 1

да

да _ -ctgy/—-Ф дх ду

ду/ ду/

-¿r-ctgy-f-дх ду

= g2,

(8)

Л А

где Ф = /л + 0,5с"{у/), С!, С2 являются функциями а,у/,с', —,—.

дх ду

Дифференциальные уравнения полей направлений двух действительных семейств характеристик системы (8), имеющий гиперболический тип получены в виде:

ах йх

а соотношения на характеристиках:

йа + Фс1ц/ = С^йх (I семейство),

с1а - Фйу/ = Ог<Ьс (II семейство).

Полученные уравнения в полных дифференциалах позволяют решать задачи предельного напряженного состояния анизотропной сыпучей среды, угол внутреннего трения которого являются функцией координат.

На основании уравнений характеристик получены соотношения в конечно-разностной форме, численное решение которых позволяет определить поле напряжений и очертания линий скольжения основания.

В четвертом параграфе второй главы получены разрешающие уравнения в скоростях перемещений.

Принимая условие (7) в виде пластического потенциала:

= К - ст )2 + Ат2х - {(2у) + 2с2 {х, у) +

(9)

+ СГ(*,Я}С08 р(х,у) = О,

определены соотношения между напряжениями и деформациями для случая плоской деформации:

4Х =Ц(ax-cry)-[2((тtgp + c)s\np + ctV/cos(2^//-p)]cosp},

£у=-Л{(сгх -o■y) + [2(crtgp + c)smp-cJ г сов(2^- р)}собр},

%Ху = Л{2гху -[(atgp + c)smp + CJ ^ &т{2у/- р)]аяр),

где Я - множитель Лагранжа.

Суммируя и , получим:

£х+£у= ~Л(о- tgp + фт 2 р,

означающий, что среда не является несжимаемой.

Дифференциальные уравнения характеристик скоростей и напряжений совпадают, а соотношения на характеристиках между скоростями имеют вид:

Л, у2 = О, (Ю)

на характеристиках 1 семейства,

dv2+(v2tgp-v)secp)dl//= 0, (11)

на характеристиках II семейства.

Соотношения (10) и (11) совместно с граничными условиями позволяют определить поля скоростей.

В третьей главе рассматривается возможность использования соотношений, полученных ранее, для определения несущей способности сыпучей слоистой среды, имеющей неоднородность в виде зависимости угла внутреннего трения от координат, в предположении, что предельное состояние наступает в некоторых областях массива и при потере несущей способности происходит скольжение этих областей относительно жесткой части. В качестве примера рассмотрен грунт, предельное состояние которого описывается обобщенным условием Кулона. На основании полученных уравнений разработана методика определения несущей способности весомого слоистого неоднородного основания.

Решение дифференциальных уравнений равновесия, полученных в главе II совместно с условиями предельного равновесия, позволяют найти математически точные очертания поверхностей скольжения, используя которые можно оценить значение предельной нагрузки на грунт, соответствующее несущей способности основания.

Рассмотрены решения задач о действии распределенной нагрузки на неоднородную слоистую среду, основные уравнения которых представлены в безразмерных величинах. Эти уравнения содержат тангенс угла внутреннего трения в зависимости от координат.

ю

В диссертации предложен метод решения задач, аналогичный классическим решениям, что позволяет определить ширину фундаментов и предельную нагрузку, действующую на основание. Совокупность решения задач теории предельного равновесия складывается из решений известных краевых задач.

В данном случае решение задачи по определению несущей способности основания будет складываться из решений в трех характерных областях: АОВ, ВОС, СОД (рис.1).

Рис.1.

Решение в области I позволяет определить её очертание и величины неизвестных параметров ц/ и и на двух пересекающихся характеристиках, в том числе и на граничной с областью II линии ОВ.

В области II имеет место выражденный случай начальной характеристической задачи. Искомые величины в узлах сетки линий скольжений определяются численным решением по рекуррентным формулам. При

п

этом исходными являются уже найденные при расчете области I условия на пограничной характеристике второго семейства ОВ и на ближайшей к особой точке "нулевой" характеристике первого семейства. Этот этап расчета завершается построением характеристики ОС, условия на которой используются как начальные для численного решения третьей (смешанной) краевой задачи в области III, прилегающей к поверхности основания под подошвой фундамента.

В третьем и четвертом параграфах главы решены задачи определения как минимального, так и максимального давления на основание при вертикальной действующей нагрузке.

Приведены графики зависимостей предельной нагрузки от изменения угла внутреннего трения р при:

- различных размерах (ширины) фундамента;

- изменении действующей пригрузки Pq ;

- изменении угла внутреннего трения А р по глубине.

В четвертой главе проводится исследование устойчивости неоднородных и однородных слоистых откосов и склонов.

В существующих методах расчета устойчивости откосов и склонов, в виду сложности определения фактических напряжений, возникающих в приоткосной зоне, свойства горных пород отождествляются со свойствами двух упрощенных моделей, подчиняющихся либо теории предельного равновесия, либо теории упругости.

Учитывая то, что модель упругой среды в большинстве случаев не всегда применима для оценки несущей способности деформируемых тел, во втором параграфе получены уравнения предельного равновесия анизотропных откосов и склонов с переменным по глубине углом внутреннего трения.

Первый параграф главы посвящен вопросам исследования устойчивости откосов и склонов, находящихся под действием внешней нагрузки.

В этой главе также получены разрешающие уравнения, позволяющие решать задачи предельного напряженного состояния анизотропной сыпучей среды, угол внутреннего трения которого являются функцией координат. Разработана методика определения предельного контура откоса при заданной нагрузке и рассмотрена обратная задача: для заданного контура откоса определяется предельная нагрузка. Рассматривается расчет неоднородных слоистых откосов. Рассмотрен случай определения несущей способности прямолинейных откосов, сложенных из неоднородной слоистой сыпучей среды.

Приведены графики зависимостей устойчивости откосов при различных внешних нагрузках.

В пятой главе рассматриваются вопросы прочности и пластичности однородных слоистых материалов.

Критерий прочности К.В. Захарова не учитывает изменения знака касательных напряжений, так как касательное напряжение в нем присутствует в четной степени. Однако, как показывают исследования И.И. Голь-денблата - В.А.Копнова учет изменения знака касательных напряжений расширяет область применения критериев прочности для анизотропных материалов, в частности, слоистых материалов.

В данной главе представлено условие предельного равновесия (7) как критерий прочности, в предположении, что причиной разрушения среды является сдвиг по некоторым площадкам, на которых присутствует трение

([Сдг - Су ] - 2тх Уtgp)г + [(ах - <ту + 2тху + с0 - с90]2= = [(ах +сту)(ёр + с0+сд0]2, (12)

где с0, Сд0- характеристики прочности материала при чистом сдвиге.

Обычно для описания областей прочного сопротивления слоистых пластиков приводится 5 характеристик, которые представляют собой пределы прочности на одноосное растяжение и сжатие в направлении наибольшего армирования, также в поперечном направлении и предел прочности при чистом сдвиге.

Для симметрично армированных стеклопластиков эти характеристики достаточны для записи условия прочности в двухосных напряженных состояниях. Для несимметрично армированных слоистых пластиков, если изменить знак касательных напряжений, получим другое значение разрушающих напряжений. Для определения этой недостающей характеристики следует провести испытание образцов из требуемого слоистого пластика на чистый сдвиг, что требует дополнительных средств.

В диссертации предложено теоретическое решение, которое позволяет определить необходимые характеристики прочности входящие в (12), в предположении, что разрушение в материале происходит от сдвига. Для этого участок предельной линии, расположенной к точке чистого сдвига аппроксимируется эллипсом.

Проведенная проверка теоретических расчетов для трех видов стеклопластиков позволяет сделать заключение, что предложенная методика определения механических характеристик может быть применена для несимметрично армированных стеклопластиков.

Также в пятой главе рассмотрено условие текучести слоистой пластической среды. Сложность расширения кусочно-линейных условий на случай анизотропной среды привело к тому, что к настоящему времени кусочно - линейные условия, в сравнение с квадратичными, разработаны недостаточно.

Наиболее общие и важные результаты в этом направлении впервые получены Д.Д. Ивлевым.

В компонентах напряжения на произвольной площадке

(ax-Œy)2+4r^=4c2(û), (13)

где в -угол между направлением гтах и осью х. Оси хну ориентированы по главным направлениям анизотропии. Вид зависимости с(6) устанавливается из экспериментов на чистый сдвиг в условиях плоской деформации.

Позже Г.А. Гениев в этом направлении предложил другое условие пластичности для идеально пластической анизотропной среды.

В компонентах напряжения условие Г.А. Гениева приводится к виду

(ах-ау)г =4[с(И]2 +[c\v)f, (14)

где у/ -угол, составляемый нормалью к площадке скольжения и осью х.

Несмотря на внешнюю схожесть условий (13) и (14), они качественно отличаются друг от друга. В первую очередь это отличие касается исходной формулировки условий и прочностных показателей, входящих в эти условия, а также видом функций и с {у/). Для определения вида с(у/), согласно (14), направления площадок сдвига могут быть заранее запланированы (для идеально связных грунтов и горных пород вид с {у/) определяется по результатам испытай на приборе прямого среза).

Согласно теории Д.Д. Ивлева, для определения характеристик прочности необходимо провести испытания в условиях плоской деформации, а по теории Г.А. Гениева эти характеристики представляют собой сопротивление среды чистому принудительному сдвигу в главных направлениях анизотропии. Исходя из этого, в диссертации осуществлен переход от теории Д.Д. Ивлева к теории Г.А. Гениева путем записи характеристик пластичности в другом виде. Такой переход избавляет от необходимости определения этих характеристик в условиях плоской деформации, и позво-

ляет многочисленные задачи решенные по теории Д.Д. Ивлева записать в характеристиках, экспериментальное определение которых не вызывает затруднений.

Рассмотрено предельное равновесие тупоугольного слоистого клина при одностороннем давлении и предельное равновесие остроугольного слоистого клина.

Основные выводы

1. Предложено условие предельного равновесия для модели слоистой неоднородной среды, различно сопротивляющейся на растяжение и сжатие. В частном случае условие приводится к классическому условию Кулона-Мора для изотропной среды.

2. Для рассматриваемой среды получены определяющие уравнения плоского пластического состояния в напряжениях и в скоростях перемещений. Система квазилинейных уравнении и для напряжений и для скоростей перемещений относится гиперболическому типу, т.е. имеет два семейства вещественных характеристиках. Исследование уравнений для скоростей перемещений показывает, что среда не является несжимаемой, т.е. обладает свойством дилатанции. Кроме того, определено, что характеристики напряжений и скоростей перемещений совпадают.

3. Осуществлено численное решение определяющих уравнений в напряжениях методом характеристик.

4. Решены ряд задач теории предельного равновесия и теории пластичности слоистых неоднородных, идеально пластических и сыпучих сред. В частности, на основе разработанных программ осуществлено численное решение классических задач, а именно: задачи о действии распределенной нагрузки на основание, задачи об устойчивости откосов, задачи о сыпучем клине и др. Решения сопровождаются соответствующими графиками, удобными для практического применения. Приведены много-

численные примеры определения предельных нагрузок на основание сооружений.

5. Разработана методика определения недостающей прочностной характеристики для несимметрично армированных стеклопластиков теоретически. Этот способ позволят определить прочностные характеристики слоистого материала методом простых испытаний - на одноосное растяжение и одноосное сжатие в двух направлениях.

6. Решения некоторых задач теории пластичности однородных слоистых тел получено в аналитическом виде. Разработан метод перехода от теории для анизотропных тел Г.А. Гениева к теории Д.Д. Ивлева, позволяющий избежать необходимости определения характеристик пластичности в условиях плоской деформации.

Список опубликованных работ по диссертации

1. Алиев М.М., Файзрова И.Н. Предельное напряженное состояние неоднородно-анизотропных грунтов и горных пород при изменении угла внутреннего трения по главным направлениям анизотропии //Научные исследования и подготовка специалистов в ВУЗе - Альметьевск: Изд. АлНИ, 1999. С.136-142.

2. Алиев М.М., Алексеев Б.Г., Файзрова И.Н. Устойчивость склонов и откосов, сложенных из неоднородно анизотропных горных пород // Тезисы докладов научно-технического семинара -Екатеринбург: Изд. «Дека», 1999. С.81-82.

3. Алексеев Б.Г., Алиев М.М., Файзрова И.Н. Несущая способность неоднородно анизотропных оснований сооружений // Строительство и образование. Сборник научных трудов УГТУ-УПИ,- Екатеринбург: Изд. УГТУ-УПИ, 2000. С.86-88.

4. Алиев М.М., Алексеев Б.Г., Файзрова И.Н. Предельное напряженное состояние анизотропной сыпучей среды, угол внутреннего трения ко-

торой является функцией координат // Изв.ВУЗов. Строительство №7, 2001. С.17-21.

5. Алиев М.М., Алексеев Б.Г., Файзрова И.Н. Устойчивость наклонно нагруженных анизотропных оснований и сооружений, прочностные характеристики которых являются функциями координат // Строительство и образование. - Сборник научных трудов УГТУ-УПИ.- Екатеринбург: Изд. УГТУ-УПИ, 2001. С. 117-119.

6. Алексеев Б.Г., Файзрова И.Н. Расчет предельных напряжений анизотропного основания при изменении характеристик прочности по координатам с применением ЭВМ. Научные труды II отчетной конференции молодых ученых ГОУ УГТУ-УПИ. Сборник тезисов, ч I. Екатеринбург: Изд. УГТУ-УПИ, 2002. С. 145.

Лицензия ИД № 03521 от 5.12.2000г.

Подписано в печать от 25.04.2003 г. Формат 60x84/16

Печать RISO 1,25 уч.-изд.л.

0,8 ус.печ.л. Тираж 100 экз. Заказ №56

Типография Альметьевского нефтяного института 423452, Татарстан, г. Альметьевск, ул. Ленина, 2

РЫБ Русский фонд

2005-4 14895

1 2 МД/ 2003

Введение.

Глава I. Состояние вопроса. Обзор существующей литературы.

Глава П. Теория предельных напряжений слоистой среды при изменении характеристик прочности по координатам.

2.1. Условие предельного равновесия.

2.2. Основные разрешающие уравнения в напряжениях.

2.3. Решение разрешающих уравнений методом характеристик.

2.4. Разрешающие уравнения в скоростях перемещений.

Глава III. Решение частных задач по устойчивости слоистых неоднородных оснований.

3.1. Постановка задач.

3.2. Краевые задачи.

3.3. Случай минимального давления при вертикально приложенной нагрузке к основанию.

3.4. Случай максимального давления при вертикально приложенной нагрузке к основанию.

3.5. Устойчивость наклонно нагруженных неоднородных слоистых оснований.

Глава IV. Расчет неоднородных и однородных слоистых откосов и склонов.

4.1. Исследование устойчивости откосов и склонов.

4.2. Устойчивость слоистых откосов с переменным по глубине углом внутреннего трения.

4.3. Основные разрешающие уравнения равновесия прямолинейных откосов, сложенных из неоднородной и анизотропной сыпучей среды.

4.4. Устойчивость откосов при вертикально приложенной нагрузке.

4.5. Определение предельных контуров откосов.

4.6. Несущая способность прямолинейных откосов, сложенных из неоднородно анизотропной сыпучей среды.

4.7. Устойчивость откосов, сложенных из связной однородноанизотропной сыпучей среды.

Глава V. Прочность и пластичность однородных слоистых материалов.

5.1. Определение механических характеристик несимметрично армированных слоистых пластиков.

5.2. Условие текучести слоистой пластической среды.

5.3. Предельное равновесие слоистого клина.

5.4. Предельное равновесие остроугольного клина.

Выводы.

Актуальность темы. Одним из эффективных путей повышения технико-экономических показателей элементов конструкций является учет особенностей физической структуры материала, в частности свойства анизотропии и неоднородности. При обеспечении надежности сооружений необходимо иметь данные не только о возводимых сооружениях, но также о физических и особенно механических свойствах грунтов оснований сооружений -их прочности и деформируемости. Таким образом, комплекс задач, решение которых предстоит выполнить при проектировании самой конструкции и основания сооружения с учетом реальных свойств и материала, и основания, является актуальной.

Обычно при выборе расчетных моделей сыпучих сред, которыми являются грунт и горные породы, принимаются как однородное изотропное полупространство, однако физическая природа его отличается от такой схемы. Горные породы в условиях естественного залегания в большинстве случаев в той или иной степени обладают анизотропией механических свойств, которая может существенно влиять на работу инженерных сооружений.

Проблемы, затронутые в этой работе, связаны с определением несущей способности при изменении прочностных характеристик грунта в ортогональных направлениях, в частном случае - по глубине. Также исследованы вопросы теории пластичности неоднородных слоистых тел.

Сейчас критерии прочности и пластичности материалов условно можно разделить на две группы: критерии, являющиеся результатом обобщения критериев прочности и пластичности изотропных тел, и критерии, разработанные применительно к анизотропным телам с учетом специфики их деформирования и разрушения.

Большинство существующих критериев прочности не нашло достаточного применения в практике проектирования. Основной причиной, обусловившей это обстоятельство, является сложность математического выражения, а также необходимость проведения большого числа опытов для определения входящих в них постоянных. Однако в последнее десятилетие, благодаря использованию современной вычислительной техники, удалось получить решение некоторых задач.

Проблемы, которым посвящена настоящая диссертация, обширны, многих исследователей они занимали раньше и продолжают занимать сейчас не только у нас, но и за рубежом, однако связанные с ними вопросы все же пока еще близки к своему общему разрешению.

Цель работы. Целью диссертационной работы является учет неоднородности механических свойств слоистых тел при решении задач теории пластичности и теории предельного равновесия.

При определении несущей способности элементов конструкций, оснований сооружений, а также при определении устойчивости незакрепленных наземных и подземных сооружений необходимо в наличии иметь подходящее к данному материалу ( имеется в виду и геоматериалы, например, грунты) условие наступления начала пластичной текучести (условие текучести) или условие предельного равновесия.

Обычно, по мере создания новых конструкционных материалов, разрабатываются новые условия текучести или предельного равновесия. Часто, по мере возможности, тот или иной классический критерий обобщается в виде условия текучести для определенного материала. Например, критерий Генки-Губер-Мизеса в виде строгого равенства интенсивности напряжений и предела текучести материала при одноосном растяжении успешно применяется для решения технологических задач пластичности. Но существуют многочисленные попытки применения этого условия в обобщенном виде для горных пород.

В настоящей работе на основе применения теории Кулона - Мора для плоской задачи получены общие дифференциальные уравнения, применимые к задачам для оценки несущей способности основания при действии на него внешней нагрузки в случае, когда угол внутреннего трения изменяется по глубине, а коэффициент сцепления и по направлению, и по координатным осям. Сформулированная теория позволяет определить с практической точки зрения математически точные очертания поверхностей скольжения, используя которые можно достаточно строго оценить значение предельной нагрузки, соответствующее её максимальной несущей способности среды.

Также выведены основные зависимости теории слоистой неоднородной пластической среды на основе обобщенного условия Треска - Сен - Венана для изотропной среды.

Исходя из вышеизложенного, в настоящей работе как основная цель рассматривается вопрос применения разработанной теории прочности на основе обобщения критерия Кулона-Мора не для конкретного материала, а для тел, работающих в различных условиях загружения. К ним можно отнести грунты и элементы конструкций (древесина, кирпичная кладка, слоистые конструкционные материалы и т.д.).

Научная новизна. Систематизирован круг вопросов, связанных с описанием прочностных свойств анизотропных сред. Для общего случая плоского деформированного состояния разработана теория прочности для слоистых тел, коэффициет трения которых меняется по координатам. Так же для плоских задач получены системы разрешающих уравнений предельного напряженного состояния для слоистых тел, неодинаково сопротивляющихся нагрузкам при растяжении и сжатии. Получены основные разрешающие уравнения предельного напряженного состояния для принятой модели среды.

На основании полученных формул разработан алгоритм программы расчета устойчивости оснований при нормально и наклонно действующей нагрузке, а также устойчивости откосов по предельному состоянию. Численное решение задачи реализовано с помощью ЭВМ на языке Паскаль.

Разработана методика определения несущей способности весомого анизотропного и неоднородного основания. Решен ряд задач теории предельного равновесия и теории пластичности слоистых неоднородных сред, а также в аналитическом виде некоторые задачи теории пластичности однородных слоистых тел.

Практическая ценность работы. Получены разрешающие уравнения, которые позволяют определить очертания поверхностей скольжения, используя которые можно с достаточной точностью оценить значения предельной нагрузки на основание.

На примерах, приведенных в данной работе, несложно сделать вывод, что несущая способность анизотропно - неоднородного грунта изменяется в зависимости от угла внутреннего трения в случае его уменьшения или увеличения.

Полученные результаты представлены в виде графиков и таблиц позволяющих быстро и с небольшими затратами труда дать оценку прочности основания. Такой конечный результат может найти применение в инженерной практике.

Проблемы и задачи.

Современные строительные объекты представляют собой крупномасштабные сооружения, и поэтому правильное использование законов механики грунтов особенно важно при их проектировании и строительстве.

Одним из слабых мест теории предельного равновесия является развитие кинематической стороны в реальных задачах, а также вопросов, связанных с предельными областями и их изменением в основании с увеличением нагрузок.

Нарушение прочности грунта может происходить не повсеместно, а вдоль некоторой узкой зоны, и тогда расположенный выше массив грунта стремится выпирать как единое "жесткое" тело.

На этом предположении основаны многие практические методы расчета устойчивости, причем в них принимаются, что толщина этой предельной зоны очень мала, т.е. зона выраждается в линию. Поэтому вторым из указанных выше является направление, связанное с заданием формы поверхности разрушения грунтового массива в основании сооружений.

В настоящее время учет анизотропии при определении несущей способности грунтов в основном производится на базе опытов, проведение которых требует больших затрат труда, материалов и специальной аппаратуры. На основе этих исследований определяли величину предельной нагрузки, форму зоны разрушения и характер деформирования грунта. Результаты отдельных экспериментов относятся лишь к конкретным местным условиям. Для получения закономерностей необходим значительный объем экспериментов. Теоретическое обоснование критериев прочности анизотропных тел, в том числе и грунтов, не достаточно развито в виду сложных математических выражений и имеет ограниченное применение. В связи с этим можно сформулировать следующие проблемы:

1. Анизотропия и неоднородность механических свойств грунтов существенно влияет на их несущую способность, и инженерная практика требует разработки методов учета анизотропии и неоднородности при определении несущей способности оснований.

2. Известные исследования течения слоистых неоднородных материалов не представляют собой стройной теории, позволяющей описать указанные свойства идеально связных, связных грунтов и конструкционных материалов.

В настоящей диссертационной работе поставлены следующие основные задачи:

1. Разработка теоретических методов учета переменности угла внутреннего трения неоднородного анизотропного грунтового массива от координат и переменности коэффициента сцепления от координаты и от направления.

2. Получение основных соотношений для анализа состояний предельного равновесия в условиях плоского деформированного состояния.

3.Разработка метода определения механических характеристик несимметрично армированных слоистых пластиков.

4. Приведение результатов теоретических исследований к виду удобному для использования в инженерных расчетах.

Апробация работы. Основные положения работы были доложены и обсуждены на:

1. Научно-практической конференции "Научные исследования и подготовка специалистов в ВУЗе". Альметьевск, 1999 г.

2.Научно-техническом семинаре "Вопросы инженерно-геологических, инженерно-экологических и инженерно-геодезических изысканий в Уральском регионе". Екатеринбург, 1999 г.

3. На П отчетной конференции молодых ученых ГОУ УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2002 г.

выводы

Предложено условие предельного равновесия для модели слоистой неоднородной среды, различно сопротивляющейся на растяжение и сжатие. В частном случае условие приводится к классическому условию Кулона-Мора для изотропной среды.

Для рассматриваемой среды получены определяющие уравнения плоского пластического состояния в напряжениях и в скоростях перемещений. Система квазилинейных уравнении и для напряжений и для скоростей перемещений относится гиперболическому типу, т.е. имеет два семейства вещественных характеристиках. Исследование уравнений для скоростей перемещений показывает, что среда не является несжимаемой, т.е. обладает свойством ди-латанции. Кроме того, определено, что характеристики напряжений и скоростей перемещений совпадают.

Осуществлено численное решение определяющих уравнений в напряжениях методом характеристик.

Решены ряд задач теории предельного равновесия и теории пластичности слоистых неоднородных, идеально пластических и сыпучих сред. В частности, на основе разработанных программ осуществлено численное решение классических задач, а именно: задачи о действии распределенной нагрузки на основание, задачи об устойчивости откосов, задачи о сыпучем клине и др. Решения сопровождаются соответствующими графиками, удобными для практического применения. Приведены многочисленные примеры определения предельных нагрузок на основание сооружений.

Разработана методика определения недостающей прочностной характеристики для несимметрично армированных стеклопластиков теоретически. Этот способ позволит определить прочностные характеристики слоистого материала методом простых испытаний - на одноосное растяжение и одноосное сжатие в двух направлениях.

Решения некоторых задач теории пластичности однородных слоистых тел получено в аналитическом виде. Разработан метод перехода от теории для анизотропных тел Г.А. Гениева к теории Д.Д. Ивлева, позволяющий избежать необходимости определения характеристик пластичности в условиях плоской деформации.

1. Алиев М.М., Предельное равновесие анизотропного несимметричного сыпучего клина, нагруженного двусторонним давлением. Строительнаямеханика и расчет сооружений, №4, 1984. С. 27-29.

2. Алиев М.М., О возможностях применения критерия прочности Г.А.Гениева для слоистых пластиков и анизотропных металлов. Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, № 4 2001. С. 8-11.

3. Алиев М.М., Алексеев Б.Г., Файзрова И.Н., Предельное напряженное состояние анизотропной сыпучей среды, угол внутреннего трения которой является функцией координат. Известия ВУЗов. Строительство № 7 -Новосибирск ,2001. С. 17-21.

4. Алиев М.М., Гениев Г.А., Расчет несущей способности анизотропных оснований сооружений. Известия ВУЗов. Строительство № 6 - Новосибирск, 2001. С. 18-22.

5. Алиев М.М., Теория и задачи предельных напряженных состояний неоднородных анизотропных тел. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Казань-2002.

6. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В., Анизотропия конструкционных материалов. Справочник. Ленинград. Машиностроение. 1972.

7. Бастуй В.Н., Черняк Н.И., О применимости некоторых условий пластичности для анизотропных сталей. Прикладная механика т. П, вып.1, 1966.

8. Березанцев В.Г., Расчет оснований сооружений. Стройиздат,1970.

9. Бернацкий JI.H. Условие устойчивости земляных масс, 1928.

10. Быковцев Г.И., О плоской деформации анизотропных идеально-пластических тел. Изв. АН-СССР, Механика и машиностроение, № 2, 1963.

11. Гениев Г.А., О критерии прочности каменной кладки при плоском напряженном состоянии. Строительная механика и расчет сооружений, №2, 1979.

12. Гениев Г.А., Плоская деформация анизотропной идеально пластической среды. Строительная механика и расчет сооружений, №3,1982.

13. Гениев Г.А., Об уравнениях статики и кинематики анизотропной пластической среды при сопротивлении отрыву. Строительная механика и расчет сооружений, №2, 1983.

14. Гениев Г.А., Курбатов А.С., Самедов Ф.А., Вопросы прочности и пластичности анизотропных тел. ИН'ГЕРБУК, Москва, 1993.

15. Геоджаев В.О., Некоторые вопросы теории упругопластической деформации анизотропных материалов. Исследование по механике и прикладной математике. Труды МФТИ, вып. I, 1958.

16. Герман В.Л. Некоторые вопросы теории пластичности анизотропных сред, докт. диссертация, Физ.техн. инст. АН УССР, Харьков, 1946.

17. Гиргидов А.Д. Вариационный метод расчета устойчивости откоса. Известия ВНИИГ, т. 88, 1969.

18. Глаголев В.В., Матченко Н.М., Квадратичная теория упругости анизотропных материалов. Труды ГНИ "Исследования по механике деформируемых сред", Тула, 1972.

19. Глаголев В.В., Матченко Н.М., Устойчивость анизотропных оснований. Труды ГНИ "Исследования по механике деформируемых сред", Тула, 1973.

20. Глаголев В.В., Матченко Н.М., Устойчивость анизотропных откосов. Сб. "Технология машиностроения", вып.28, Тула, 1972.

21. Гольденблат И.И., Копнов В.А., Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. Из-во Машиностроение 1968.

22. Бажанов В.Л., Гольденблат И.И., Копнов В.А. и др. Сопротивление стеклопластиков. М. Изд-во "Машиностроение" 1968. С.303.

23. Гольдштейн М.Н.,0 развитии вариационного метода решения задач об устойчивости грунтов. Сб. "Вопросы геотехники", № 16, Киев, Бу-д1вельник, 1969.

24. Гольдштейн М.Н., О применении вариационного исчисления к исследованию оснований и откосов. "Основания, Фундаменты и механика грунтов", №1,1969.

25. Дорфман А.Г., Вариационный метод исследования устойчивости откосов. Сб. "Вопросы геотехники",№ 9, Транспорт, 1965.

26. Дорфман А.Г., Методы решения вариационных задач и их применение в механике грунтов. Сб. "Вопросы геотехники", №16, Киев, Буд1вельник, 1969.

27. Добровольский B.JL, Плоская пластическая деформация анизотропных материалов. Прикладная математика и механика,№ 25 т. I, 1961.

28. Дракер Д., Соотношения между напряжениями и деформациями для металлов в пластической области экспериментальные данные и основные понятия. "Реология, теория и приложения», М., 1962.

29. Жеребцов В.И., Определение устойчивости кровли над горизонтальными подземными выработками заданной ширины. Сб. "Вопросы геотехники",О № 12, Киев, Буд1вельник, 1968.

30. Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н., Об основных соотношениях теориианизотропных сыпучих сред. Журнал "Прикладная математика и механика",27, 1963.

31. Ивлев Д.Д., Теория идеальной пластичности. Изд. "Наука", 1966г.

32. Захаров К.В., Критерий прочности для слоистых пластмасс. "Пластмассы", 1961, №8. С. 61-67.

33. Коган Б.И., Лупашко А.А., К вопросу расчета откосов на устойчивость. "Основания, фундаменты и механика грунтов", № 3, 1970.

34. Колесниченко A.JL, Применение метода динамического программирования к решению некоторых задач механики грунтов и теории основанийсооружений. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, 1973.

35. Ломакин В.А., О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и математика, 4, 1960.

36. Ломакин В.А., О теории пластичности анизотропных сред. Вестн.МГУ, 1964.

37. Лупашко А.А., Исследование устойчивости земляных откосов вариационными методами. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, 1971.

38. Маслов Н.Н. Условия устойчивости склонов и откосов в гидроэнергетическом строительстве, М., ИЛ. Госэлектроиздат,1955.

39. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Общая плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов. Жур. МТТ, 3, 1973.

40. Маховер Е.В., Некоторые задачи теории пластичности анизотропных сред. Канд. Диссерт., ЛГУ, 1946.

41. Мухин И.С.,Срагович А.И., Расчет предельных форм равноустойчивых откосов. Из-во Акад. Наук СССР, М. 1954.

42. Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория пластичности. Итоги науки и техники. Серия "Механика твердых деформируемых тел", т.6, ВИНИТИ, М.,1972.

43. Олынак В.,Рыхлевский Я.,Урбановский В. Теория пластичности неоднородных тел. Перевод Рыхлевского Я. Москва.Изд. "Мир" 1964.

44. Петрищев П.П. Упруго пластические деформации анизотропного тела. Вестник МГУ, №8, 1952 .

45. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев, Наукова думка. 1972. С.412.

46. Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие. Киев.Наумковадумка. 1981. С.493.

47. Саркисян М.С. К теории плоской деформации пластически анизотропных тел. П.М.М., 24, №6, 1960.

48. Саркисян М.С. К вопросу о плоской деформации тел со слабой пластической анизотропией. Сб. Исследования по упругости и пластичности.№1, Изд-во ЛГУ, 1961.

49. Семков A.M. Расчет устойчивости откосов. Лен., ВНИТО, Стройиндуст-рии, 1950.

50. Сидоров Н.Н., Сипидин В.П. Современные методы определения характеристик механических свойств грунтов. Издательство литературы по строительству. Л., 1972.

51. Соколовский В.В. Устойчивость оснований и откосов. Изв.АН СССР, №8, 1952 г.

52. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды, М., "Физматгиз",1960.

53. Соловьёв Ю.И. Вариационный метод определения несущей способности оснований сооружений, Изв. ВУЗов, "Строительство и архитектура", №7,1970.

54. Толоконников Л.А., Матченко Н.М. О представлениях предельных условий для начально анизотропнных тел. "Проблемы прочности", №3.

55. Толоконников Л.А., Яковлев С.П. О формулировке условия текучести и ассоциированного закона течения анизотропного тела. Изв. ВУЗов, "Машиностроение" №7,1969.

56. Толоконников Л.А., Яковлев С.П., Лялин В.М. Пластические течения ор-тотропных тел. "Прикладная механика" т.VII, вып.6, 1971.

57. Фейгин С.Д., Матченко Н.М., Несущая способность анизотропных оснований. В сб. "Работы по механике сплошных сред", Тула, Тульский политехнический институт, 1975.

58. Фейгин С.Д., Матченко Н.М., Вариационная задача определения не сущей способности анизотропных оснований. В сб. "Работы по механике сплошных сред", Тула, Тульский политехнический институт, 1975.

59. Фесенко Г.Л. Устойчивость бортов карьеров и отвалов. Изд. "Недра" М., 1961.

60. Флорин В.А. Основы механики грунтов, тт.1,П, М., JL, Гостройиздат, 1961.

61. Хилл Р. Математическая теория пластичности ГИТТЛ, 1956.

62. Ху Л.В., Мэрии Д. Анизотропные функции нагружения при сложном на-гружении в пластической области. "Механика". Сб. переводов,№ 2, 1956.

63. Цытович Н.А. Механика грунтов. Учебное пособие, М.,Госстройиздат, 1983.

64. Чеботарев Г.П. Механика грунтов, основания и земляные сооружения. М., "Стройиздат", 1968.

65. Чугаев P.P. Расчет устойчивости земляных откосов по методу плоских поверхностей сдвига грунта. М.-Л., Энергия, 1964.

66. Barber E.S. Discussion of "Shear Failure in Anisotropic Materials Possessing any Value of Internal Friction". Proc., Highway Research Board, Washington, D.C., Volume 28, 1948, pp. 455-556.

67. Barber E.S. Discussion of "Physical Interpritation of Triaxial Test Data". Pros., of the Association Asphalt Paving Technologists, Vol. 20, 1951, pp. 196-199.

68. Baher W.H., Krizek R.I. "Mohr Coulomb Strength Theory of Anisotropic Soils". J. Soil Mech. And Found., Div. № 1,1970, pp. 269-292.

69. Bieber A. "Influence of the Consolidation Pressure in Anisotropic Properties of Clays". Graduate Research Report, University of California, Berkeley, California, 1958.

70. Bishop A.W. "Some Factors Involved in the Desing of a Large Earth Dam in the Thames Valley". Proc. Of the Second International Conference on Soil Mech. And Foind; Eng., Rotterdam, Vol. 2,1948, pp. 13-18

71. Bishop A.W. "The Strength of Soils as Engineering Materials". Beotech., Institution of Civil Engineers, London, Vol. 16 № 2, pp.91-128.

72. Bishop A.W. and Henkel D.J. "Pore Pressure Changes During Shear in two Undisturbed Clays". Proc. Of the Third International Conference on Soil Mech. And Found. Eng., Zurich, Vol. 1 1953, pp.94-99.

73. Bochler I.D., Sawcruk A. "Equilibre Limite des Sols Anisotropes". J. Mech., 9 № 1,1971, pp. 5-33.

74. Cassagrande A., Carrillo N. "Shear Failure of Anisotropic Materials". J.of the Boston Societi of Civil Eng., Reprinted in Contributions to Soils Mech., 1941-1953, Boston Soc. Of Civil Eng., Boston Massachusetts, 1953, pp. 122135.

75. Davis H., Christian T. "Bearing Capacity on Anisotropic Cohesive Soil". J.of Soil Mech. And Foind. Div., Vol. 97 № 5,1971.

76. Duncan J.M. and Seed H.B. "The Effect of Anisotropy and Reorientation of Principal Stresses on the Strength of Saturated Clay". Report No. TE-65-33, U.S. Army End. Waterways Exp. Station, Vicksburg, Mississippi, 1965.

77. Duncan J.M. and Seed H.B. "Anisotropy and Stress Reorientation in Clay". J. Of the Soil Mech. And Found. Div., ASCE, Vol.92, No SM5, Proc. Paper4903, October, 1966, pp.21-50.

78. Duncan J.M. and Seed H.B. "Strength Variation along Failure Surfaces in Clay". J. Of the Soil Mech. And Foind. Div. ASCE, Vol.92, No. SM6, Proc. Paper 4971, November, 1966, pp.81-104.

79. Hvorslev M.J. "The Shearing Resistance of Remolded Cohesive Soils". Proc. of the Soils and Foind. Conference, Section E, U.S. Eng. Department, Boston, Massachusetts, 1938.

80. Hvorslev M.J. "Physical Components of Shear Strength of Saturated Clays". Proc. of the American Society of Civil Eng. Research, Conference on Shear Strength of Cohesive Soils, Boulder, Colorado, 1960,pp. 169-273.

81. Jaeger J.C. "The Frictional Properties of Joints in Rocks". Geofisica Рига e Applicata, Vol. 43,1959, pp. 148-158.

82. Landva A. " An Experimental Investigation of the Shear Strength of Normally Consolidated Clays". Internal Report F. 175, Norwegian Geotechnical Institute, 1962.

83. Livneh M. "Analysist of Slope Stability in an Anisotropic Cohesional Medium Under Conditions". Preprint for Presentation at the 15th. Annual Conference on Theoretical and Applied Mechanics, Haifa, 1967.

84. Livneh M. And Komornik A. " Anisotropic Strength of Compacted Clays", Proc. of the Third Asian Regional Confer. On Soil Mech. And Found. Eng., Haifa, Vol. 1, 1967, pp. 298-304.

85. Livneh M. Shklarsky E. "The Splitting Test for Determination of Bituminous Concrete Strength ". Proc. of the Association of Asphalt Paving Technologists, Vol.31, 1962, pp.457-474.

86. Livneh M. Shklarsky E. "Equations of Failure Stresses in Materials with Anisotropic Strength Parameters". Highway Research Record Number 74, Highway Research Board, Washington D.C., 1965, pp.44-45.

87. Lo K.Y. (1965)/ "Stability of Slopes in Anisotropic Soil". J. Of the Soil Mech. And Foind. Div., ASCE,Vol. 91.No. SM4, Proc. Paper 4405, July, 1965, pp. 85-106.

88. Lo K.Y. (1966). "Closure to " Stability of Slopes in Anisotropic Soil". J. Of the Soil Mech. and Foind. Div. ASCE, Vol. 92, No SM 4, Proc. Paper 4860, July, 1966, pp.77-82.

89. Martin T.R. "Research on the Physical Properties of Marine Soil August 1961 July 1962". Research Report R62- 42, Soil Eng. Division, Publication No. 127, Massachusetts Inst of Technology, Cambridge, Massachusetts, 1962.

90. Mises R. Mechanic der plastischen Formanderungen von Kristallen. Zeitschrift for angew. Mat. Und Mech., B8, H. 3,1928.

91. Mitchell J.K. "The fabric of Natural Clays and its Relation to Eng. Properties". Proc. Highway Research Board, Washington D.C. Vol. 35, 1965, pp. 693-713.

92. Olszak W., Urlanov W. "The Generalised Distortion Energy in the Theory of Anisotropic Bodies". Bull. Acad. Poland, Sci. L.C. IV Vol. 5, № 1, 1957.

93. Terzaghi K. The Mechanics of Structural clay slid es and of retaining wall movements. Public Roads, 1929.

94. Rendulic L. Ein Beitrag zur Bestimmung der Gleisicher heit. Der Bauinge-nieur. Heft 19/20, 1935.

95. Scott, Ronald S. Principles of Soil Mechanics, Addison Wasley Publishing Co., Readihg, Massachusetts, 1963.

96. Rosenqvist Th. I. "Physico-Chemical Properties of Soils: Soil Water Systems". J. of the Soil Smec. And Found; Div., ADCE, Vol. 85. No. SM2, Prop., Paper 2000, April 1959, pp. 31-53.

97. Saada A.S., Zamani K.K., "The Mechanical Behaivior of Cross Anisotropic Clay". Proseedings of the Seventh International Conference of Soil Mechanics andFoundant. Mexico, 1969.