Развитие метода однородных решений для призматических и естественно закрученных стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава I. Основы метода однородных решений для упругого цилиндра

§ 1. Операторная форма записи уравнений теории упругости

§2. Однородные решения и их свойства

§ 3. Тензор Грина для бесконечного цилиндра

Глава II. Статические задачи для упругого цилиндра

§ 4. Построение системы элементарных решений задач

Сен-Венана

§5. О главном векторе и главном моменте напряжений, соответствующих ненулевой части спектра.

§ 6. Сведение краевых задач к бесконечным системам алгебраических уравнений

§ 7. Тензор Грина для цилиндра конечной длины.

Асимптотический анализ решения

Глава III. Задача гармонических колебаний для упругого цилиндра

§8. Построение дисперсионных соотношений и системы элементарных решений Сен-Венана в случае низкочастотных гармонических колебаний

§ 9. Вывод уточненных частотных уравнений

Глава IV. К теории естественно закрученных стержней j 10. Основные геометрические соотношения

11. Основные соотношения теории упругости для естественно закрученного стержня и постановка краевых задач

12. Однородные элементарные решения Сен-Венана для псевдоцилиндра.

13. К обоснованию принципа Сен-Венана для псевдоцилиндра 14. Вариационная постановка задачи на сечении.

15. Основные свойства элементарных решений

Сен-Венана. Построение матрицы жесткостей 16. Решения Сен-Венана в случае малой «крутки»

Теория стержней и стержневых систем своими корнями уходит в ХУП, ХУШ века и тесно связана с развитием математики в целом, особенно с такими ее разделами, как дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления, спектральная теория операторов. Основы для её развития заложили Галилей, Мариотт, Гук. Последующее её развитие в ХУШ-Х1Х веках связано с именами выдающихся математиков, механиков и физиков, таких как Яков Бернулли, Эйлер, Лагранж, Кулон, Навье, Коши, Сен-Венан, Кирхгоф, Клебш и др. [21-23,42,47,54,55].

Одним из основных факторов, стимулирующих развитие теории, был и остается широкий спектр приложений. С первых шагов инженерной деятельности человечество широко использует стержни в качестве элементов конструкций. В строительстве это балки, колонны, арки, элементы ферм и каркасов высотных зданий. Стержни являются основными несущими элементами в конструкциях кораблей, самолетов, ракет. Они используются в качестве волноводов и резонаторов в современных устройствах и приборах, в качестве образцов при исследовании физико-механических свойств различных материалов. Лопасти винтов самолетов и вертолетов, сверла, винтовые пружины, камертон — все это стержни.

Важнейшей проблемой теории стержней является формулировка различных вариантов краевых задач, оценка области их применимости и развитие аналитических и численных методов их решения. Этой проблеме посвящены сотни работ. Достаточно подробные обзоры имеющейся литературы содержатся в [15,35,36,42,56]1.

Можно выделить два основных направления в развитии теории стержней, особенно в той ее части, которая касается вывода определяющих соотношений. Первое направление берет свое начало в работах Якова Бернулли и основано на априорном принятии гипотез относительно напряжен

1 Елисеев В. В. Одномерные и трехмерные задачи в механике упругих стержней. Диссерт. д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04. Л., 1991. 300 с. но деформированного состояния стержня. По-видимому, первая четкая формулировка гипотез классической теории стержней принадлежит Сен-Венану [54]. При таком подходе задача определения напряженно-деформированного состояния стержней сводится к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобные математические модели принято называть одномерными. Однако уже Кулон понимал (в его эпоху построение классической теории еще не было завершено), что теория изгиба Бернулли-Эйлера применима для достаточно тонких призматических тел, у которых длина существенно больше характерного линейного размера поперечного сечения. Поэтому уже в XIX веке делаются первые попытки построения уточненной теории изгиба для коротких стержней, позволяющей учесть влияние дополнительных факторов на напряженно-деформированное состояние.

Второе направление связано с развитием методов интегрирования трехмерных уравнений теории упругости, и начало этого направления связано с именами выдающихся французских математиков и механиков Навье, Коши и особенно Сен-Венана. Первые двое совместно с Пуассоном являются основоположниками математической теории упругости, Сен-Венан — основоположником прикладной теории упругости. Именно Коши принадлежит первая попытка исследовать задачу кручения стержня с прямоугольным поперечным сечением на основе уравнений теории упругости. Из построенного им приближенного решения вытекает, что поперечные сечения не остаются плоскими. Этот результат был использован Сен-Венаном для построения более полной теории кручения и изгиба призматических стержней. Результаты, полученные им и изложенные в двух его трудах [54], под названием «задачи Сен-Венана» вошли практически во все учебники по теории упругости. Эти две работы Сен-Венана оказали громадное влияние как на развитие теории стержней, так и на развитие прикладной теории упругости в целом. В настоящее время под термином «задачи Сен-Венана» принято понимать совокупность четырех задач [44] для призматического стержня: задача об одноосном растяжении, задача о чистом изгибе, задача кручения и задача изгиба поперечной силой.

Каждое решение Сен-Венана хотя и удовлетворяет точно трехмерным уравнениям теории упругости, но, по сути, является приближенным, поскольку граничные условия на торцах удовлетворяются в интегральном смысле. В подходе Сен-Венана построение этих решений опирается на полуобратный метод, а невязка в граничных условиях компенсируется принципом Сен-Венана, согласно которому решение, соответствующее самоуравновешенной части нагрузки, локализуется у торцов стержня. Этот принцип наглядно иллюстрируется на частных задачах, для которых удается получить точное решение (например, в задаче о кручении стержня с круговым поперечным сечением [44]).

Принцип Сен-Венана привлекал внимание многих отечественных и зарубежных ученых. Его обоснованию посвящены работы [4,46,60,68] и др. Обзор более ранних работ содержится в [20]. Однако следует заметить, что этот принцип не является универсальным и в ряде случаев требует существенной корректировки. Примеры, иллюстрирующие это утверждение, можно найти в [2,61].

Настоящая работа посвящена развитию метода однородных решений для исследования напряженно-деформированного состояния призматического и естественно закрученного стержня и построению прикладной теории, которая в диссертации названа теорией Сен-Венана. Разрабатываемый в работе метод исследований показал свою эффективность в теории пластин и оболочек при исследовании проблемы предельного перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным в [1,3,11,12] и др. В теории стержней этот метод применяется, по-видимому, впервые.

Асимптотический метод, основанный на непосредственном анализе трехмерных уравнений теории упругости, впервые был применен в работах Понятовского [48-50]. В работе Нариболи [66] на основе асимптотического метода исследованы продольные колебания стержня. Статика стержня произвольной геометрии рассмотрена в работах [30,33].

Термин «однородные решения», по-видимому, впервые был введен А. И. Лурье (1942) в связи с разработкой математического аппарата исследования трехмерного напряженного состояния толстых плит. В теории стержней истоки этого метода следует искать в работах Похгаммера [67], Кри [64] и Прокопова [52], посвященных исследованию некоторых задач для кругового цилиндра. Особенно широкое развитие этот метод получил в связи с анализом волновых полей в цилиндрических телах. Достаточно подробные обзоры литературы по применению этого метода имеются в [13,17]. В книге [13] также дается современное изложение метода однородных решений для цилиндрических тел из произвольного анизотропного материала.

Первые исследования, посвященные построению решений типа Сен-Венана для тел, отличных от призмы, были осуществлены П. М. Ризом [53], А. И. Лурье и Г. Ю. Джанелидзе [21-23]. В этих работах был рассмотрен естественно закрученный стержень и наиболее полно были изучены задачи растяжения-кручения в случае малой «крутки». В работе [6] эта же задача на основе априорного предположения о структуре решения Сен-Венана сведена к труднообозримой системе восемнадцати двухмерных уравнений, на основе которых достаточно полный анализ был проведен опять таки для задачи растяжения-кручения. Прикладная теория естественно закрученного стержня на основе метода гипотез развивалась в работах [9,31,63]. В работах [40,59] задача построения решения Сен-Венана для винтовой пружины на основе метода однородных решений и спектральной теории операторов сведена к двум типам двумерных краевых задач, а в работе [70] аналогичные результаты получены для бруса с круговой осью.

Диссертация состоит из 4 глав. Остановимся вкратце на их содержании.

В первой главе дается краткое изложение метода однородных решений как основного математического аппарата, используемого ниже для исследования различных конкретных задач. Для этого (§ 1) уравнение стационарных колебаний цилиндра и условия отсутствия напряжений на его боковой поверхности записываются в операторной форме. После чего в результате разделения переменных задача построения множества решений уравнений теории упругости сводится к двупараметрической спектральной задаче

Ь('у,и)а = 0, где 7 — волновое число, и — частота. Особое внимание (§ 2) уделено малоизученному вопросу построения множества элементарных решений, соответствующих кратным точкам спектра по 7. Приводятся некоторые соотношения обобщенной ортогональности (биортогональности) системы однородных элементарных решений. В § 3 осуществлено построение тензора Грина для бесконечного упругого цилиндра.

Вторая глава посвящена анализу решения трехмерной задачи равновесия цилиндра (призмы) на основе метода однородных решений. Здесь (§4) строго доказывается, что классические решения Сен-Венана являются линейной комбинацией двенадцати элементарных решений, соответствующих точке спектра 7 = 0. Показано, что коэффициенты разложений по этим элементарным решениям определяются компонентами вектора твердого смещения и компонентами главного вектора и главного момента напряжений, действующих в сечении цилиндра. Далее (§5) установлено, что элементарные решения, соответствующие ненулевой части спектра, описывают, во-первых, погранслой, локализованный около торцов, и, во-вторых, на основе соотношений биортогональности доказывается, что напряженное состояние погранслоя является самоуравновешенным. Тем самым дается строгое обоснование принципа Сен-Венана. В § 6 задача построения полного трехмерного решения для консоли сводится к бесконечной системе алгебраических уравнений, которая является основой для асимптотического анализа напряженно деформированного состояния относительно длинного стержня. Последний параграф (§ 7) этой главы посвящен по своей сути построению уточненной прикладной теории статики призматических стержней. Обычные подходы к построению уточненных теорий в конечном итоге приводят к краевым задачам для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом по ходу построения таких уравнений функции, аппроксимирующие распределение смещений по поперечному сечению стержня, заимствуются из решения Сен-Венана [6]. В диссертации осуществляется другой подход, использующий представление тензора Грина для цилиндра конечной длины в виде разложений по элементарным решениям. Основные идей подхода реализуются на примере цилиндра конечной длины, в произвольной точке которого приложена сосредоточенная сила (один из торцов цилиндра жестко заделан, а второй — свободен от напряжений). После построения трехмерного решения в виде разложений по полной системе элементарных решений проводится его асимптотический анализ, и из него выделяется только та часть решения, которая представляется в виде разложений по элементарным решениям Сен-Венана. Приближенное решение для распределенной нагрузки можно построить с помощью принципа суперпозиции. Выбранный способ построения приближенного решения можно назвать проекционным, а саму теорию естественно назвать прикладной теорией Сен-Венана.

Третья глава посвящена развитию прикладной теории Сен-Венана для исследований стационарных колебаний призматического стержня. Первый этап проводимого исследования (§9) состоит в построении приближенных дисперсионных соотношений и приближенных выражений для элементарных решений. Вводятся в рассмотрение безразмерное волновое число а и безразмерная частота Г2; дальнейшие исследования проводятся в предположении, что параметры а и Г2 являются малыми. Коэффициенты дисперсионных соотношений определяются из условий разрешимости рекуррентной системы уравнений, полученной при подстановке этих соотношений в уравнения стационарных колебаний цилиндра и граничные условия.

Второй этап (§ 10) состоит в построении характеристического уравнения для определения собственных частот. В работе подробно исследуется случай изгибных колебаний консоли. На основе полученного характеристического уравнения и приближенного дисперсионного соотношения определяются собственные частоты колебаний стержня. В диссертации приводятся результаты расчета собственных частот для стержня с эллиптическим поперечным сечением для различных значений отношений полуосей и параметра £, £ — Ь/И, И — характерный линейный размер поперечного сечения, Ь — длина стержня.

Третий этап состоит в анализе области применимости построенной уточненной теории, теории С. П. Тимошенко, основанной на учете сил инерции вращения поперечного сечения и сдвигов, и классической теории изгибных колебаний стержня по параметру I. Это делается на примере стержня с круговым поперечным сечением и свободно опертыми концами. Задача ставится следующим образом: для каких значений I — £т первые т собственных частот на основании той или иной прикладной теории можно определить с заданной относительной погрешностью А по отношению к собственным частотам трехмерной задачи. Для каждой прикладной теории численно строится функция погрешностей <5(а), и из условия ^ Л определяются значения £т.

Четвертая глава посвящена развитию метода однородных решений для естественно закрученного стержня (псевдоцилиндра) и построению на его основе прикладной теории Сен-Венана. Здесь (§§10, 11) с помощью введения специальной системы координат задача построения однородных решений сводится к спектральной задаче, по форме совпадающей с задачей для упругого цилиндра с операторными коэффициентами, зависящими от параметра г — относительного угла закручивания. В результате исследования этой задачи (§ 12) устанавливается, что в случае ш = 0 ее спектр содержит четырехкратные собственные значения 70 = 0, 71 = гт, 7х = —гт. Для построения жордановых цепочек, соответствующих этим собственным значениям, реализуется алгоритм гл. 1. Часть собственных и присоединенных векторов представлены в явном виде, определение остальных сведено к двумерным краевым задачам на сечении. На основе жордановых цепочек строится система элементарных решений, и решения Сен-Венана для псевдоцилиндра представляются в виде линейных комбинаций этих решений

6 12 до = Е +Е -ь)'

1=1 1=1 12

1=1

Для определения постоянных Сц {I — 1,., 12) получены две алгебраических системы с одинаковыми матрицами жесткости (§15). При этом постоянные С^ (£ = 7,., 12) на основе решения системы определяются точно через компоненты главного вектора и главного момента внешней нагрузки.

В § 13, 14 математически обосновывается принцип Сен-Венана и дается вариационная постановка указанных выше двумерных краевых задач на сечении.

В § 16 на основе метода малого параметра (то = т/г <С 1) проводится анализ этих двумерных задач. Здесь решения для присоединенных векторов представлены в виде разложений по параметру то- Определение двух коэффициентов разложений сведено к краевым задачам для оператора Лапласа и операторов плоской задачи теории упругости. На основе проведенного анализа приводятся расчетные формулы для коэффициентов матрицы жесткостей.

В заключительной части работы в рамках метода малого параметра рассмотрена и решена задача для естественно закрученного стержня с круговым поперечным сечением радиуса Я, центр которого находится на

12 расстоянии а от винтовой оси. Получены расчетные формулы для коэффициентов матрицы жесткостей и напряжений. Формулы для последних вынесены в приложение.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [24-29]. В работах [27-29] Устинову Ю. А. принадлежит постановка задач и основные идеи их решения, диссертанту принадлежит реализация этих идей, вывод формул, численные результаты и их анализ.

Заключение

Представляемые к защите результаты состоят в следующем

1. Развитие прямого метода построения решения Сен-Венана для призматических и естественно закрученных стержней, опирающегося на метод однородных решений.

2. Методы построения тензора Грина для бесконечного цилиндра в случае кратных точек спектра (статическая задача и задача гармонических колебаний).

3. Метод построения тензора Грина трехмерной задачи для стержня конечной длины и его асимптотический анализ.

4. Прикладная теория Сен-Венана задач статики и динамики призматических стержней, анализ области ее применимости в случае стационарных колебаний.

5. Развитие метода однородных решений для естественно закрученных стержней, система однородных элементарных решений, описывающих в совокупности напряженно-деформированное состояние типа Сен-Венана, двухмерные краевые задачи, на основе которых строится эта система, вариационная их постановка.

6. Теория Сен-Венана растяжения, кручения и изгиба естественно закрученных стержней, матрицы жёсткостей для стержня, один торец которого жестко заделан, а к другому приложены внешние силы.

7. Строгое обоснование принципа Сен-Венана для естественно закрученного стержня.

8. Результаты анализа двухмерных задач методом малого параметра в случае малой «крутки» и решение конкретной задачи для естественно закрученного стержня с круговым поперечным сечением и сдвинутым относительно винтовой оси центром.

1. Аксентян O.K., Ворович И.И. Напряженное состояние плиты малой толщины // ПММ, 1963. Т. 27, вып. 6. С. 1957-1074.

2. Ахметов Н.К., Устинов Ю.А. О принципе Сен-Венана в задаче кручения слоистого цилиндра. // ПММ, 1988. Т. 52, вып. 2. С. 264-268.

3. Базаренко Н. А. Построение уточненных прикладных теорий для кру- ■ говой цилиндрической оболочки// Инж. Журн., МТТ, 1967. №2. С. 99-105.

4. Бердичевский В. JI. К доказательству принципа Сен-Венана для тел произвольной формы // ПММ, 1974. Т. 38. Вып. 5. С. 851-864.

5. Бердичевский B.JL, Квашнина С. С. Об уравнениях, описывающих поперечные колебания упругих стержней // ПММ, 1976. Т. 40. В. 1. С. 120-135.

6. Бердичевский В. JL, Старосельский JI. А. Изгиб — растяжение и кручение естественно закрученных стержней // ПММ, 1985. Т. 49. Вып. 6. С.978-991.

7. Бобровницкий Ю.И., Мальцев К. И. Инженерные уравнения колебаний стержней // Акуст. ж., 1983. Т. 29. № 4. С. 428-434.

8. Вовк А. Е., Тютекин В. В. Возбуждение нормальных волн в плоском упругом волноводе силами, заданными в его поперечном сечении // Тр. Акуст. ин-та, 1960. Вып. IX. С. 5-26.

9. Воробьев Ю. С., Шорр Б. Ф. Теория закрученных стержней. Киев: Наукова думка, 1983. 188 с.

10. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешаные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1973. 320 с.

11. Ворович И. И., Кадомцев И. Г., Устинов Ю. А. К теории неоднородных по толщине плит // Изв. АН СССР, МТТ, 1975. №3. С. 119-129.

12. Ворович И. И., Малкина О. С. Напряженное состояние толстой плиты // ПММ, 1967. Т. 31, вып. 2. С. 230-241.

13. Гетман И. П., Устинов Ю.А. Математическая теория непрерывных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: изд-во РГУ, 1993. 144 с.

14. Гетман И. П., Устинов Ю.А. О потоке энергии при резонансах полуограниченных тел // Докл. АН СССР, 1990. Т. 310. № 2. С. 309-312.

15. Григолюк Э.И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1973. Т. 5. 273 с.

16. Гринченко В. Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев: Наукова думка, 1978. 264 с.

17. Гринченко В.Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 283 с.

18. Дейвис P.M. Волны напряжений в твердых телах. М.: Наука, 1979. 384 с.

19. Джанелидзе Г. Ю. Определение координат центра жесткости по различным функциям напряжений при кручении // Тр. Ленингр. политехи. ин-та, 1963. № 226. С. 93-102.

20. Джанелидзе Г. Ю. Соотношения Кирхгофа для естественно скрученных стержней и их приложения // Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1946. № 1.С. 23-32.

21. Джанелидзе Г. Ю., Лурье А. И. Задачи Сен-Венана для естественно скрученных стержней // Докл. АН СССР, 1939. Т. 24, № 1. С. 23-26.

22. Джанелидзе Г. Ю., Лурье А. И. Задачи Сен-Венана для естественно скрученных стержней // Докл. АН СССР, 1939. Т. 24, № 3. С. 226228.

23. Джанелидзе Г. Ю., Лурье А. И. Задачи Сен-Венана для естественно скрученных стержней // Докл. АН СССР, 1939. Т. 24, № 4. С. 325326.

24. Друзь А. Н. Метод однородных решений как математический аппарат решения задач Сен-Венана //Тр. 5-й Международной конференции женщин-математиков «Математика. Экономика», 1997.

25. Друзь А. Н. О построении тензора Грина теории стержней Сен-Венана // Тезисы докладов студенческой научно-теоретической конференции. Ростов-на-Дону. РГПИ, 1993.

26. Друзь А. Н. О тензоре Грина для естественно закрученного цилиндра // Тезисы докладов студенческой научной конференции. Ростов-на-Дону. РГПУ, 1997.

27. Друзь А.Н., Поляков H.A., Устинов Ю.А. Однородные решения и задачи Сен-Венана для естественно закрученного стержня // ПММ, 1996. Т. 60, вып. 4. С. 660-668.

28. Друзь А.Н., Устинов Ю.А. К построению теории колебаний призматических и естественно закрученных стержней. В кн.: «Мат. моделир. физ. процессов и их свойства». Таганрог: Изд. ТГПИ, 1997. С. 42-43.

29. Друзь А.Н., Устинов Ю.А. Тензор Грина для упругого цилиндра и приложения его к развитию теории Сен-Венана // ПММ, 1996. Т. 60, вып. 1. С. 102-110.

30. Елисеев В. В. Применение асимптотического метода в задаче о равновесии криволинейного стержня // Изв. АН СССР. МТТ, 1977. № 3. С. 145-150.

31. Елисеев B.B. Изгиб естественно-закрученного стержня // Тр. Jle-нингр. политехи, ин-та, 1988. № 425. С. 44-46.

32. Елисеев В. В. О построении уточненной модели упругой балки // Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1982. № 386. С. 106-116.

33. Елисеев В. В. Упругая деформация плоского криволинейного стержня // Изв. АН СССР. МТТ, 1976. № 1. С. 163-166.

34. Заметалина Н. П., Прокопов В. К. Напряженное состояние естественно скрученных стержней типа спиральных сверл // Изв. АН Арм. ССР, 1974. Т. 27. 3. С. 3-9.

35. Илюхин А. А. О построении соотношений теории упругих стержней // Механика твердого тела (Киев), 1990. № 22. С. 82-92.

36. Илюхин А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка, 1979. 216 с.

37. Исполов Ю. Г. Метод малого параметра в задаче об определении собственных частот и форм колебаний балки Тимошенко // Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1988. № 425. С. 104-107.

38. Кирхгоф Г. Механика. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 402 с.

39. Корольков В. И. К решению задачи о растяжении естественно закрученного стержня произвольного поперечного сечения в трехмерной постановке // ПММ, 1988. Т. 24. В. 12. С. 113-115.

40. Каргин Д. П., Курбатова Н. В., Устинов Ю.А. Однородные решения и задачи Сен-Венана для винтовой пружины // ПММ, 1998. Т. 62, вып. 4. С. 690-698.

41. Костюченко А. Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки // Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1981. Вып. 6. С. 97-146.

42. Ляв А. Математическая теория упругости. М., 1935. 674 с.

43. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955. 491 с.

44. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

45. Нестеренко B.B.K теории поперечных колебаний балки Тимошенко // ПММ, 1993. Т. 57. В. 4. С. 83-91.

46. Олейник O.A., Иосифьян Г.А. Об условиях затухания и предельном поведении на бесконечности решений системы уравнений теории упругости // Докл. АН СССР, 1981. Т. 258. № 3. С. 550-553.

47. Пановко Я. Г.,-Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 384 с.

48. Понятовский В. В. Асимптотическая теория изгиба кривого бруса // Исследования по упругости и пластичности. Ленингр. ун-т, 1973. Вып. 9. С. 81-93.

49. Понятовский В. В. Применение асимптотического метода интегрирования к задаче равновесия тонкого бруса, произвольно нагруженного по боковой поверхности // Изв. АН СССР. МТТ, 1968. № 5. С. 139-143.

50. Понятовский В. В. Вывод уравнений тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля из уравнений теории упругости методом асимптотического интегрирования / / Исследования по упругости и пластичности. Ленингр. ун-т, 1980. Вып. 13. С. 40-48.

51. Приходько В. Ю. О динамическом тензоре Грина для твердых волноводов // ПММ, 1980. Т. 16. Вып. 6. С. 124-128.

52. Прокопов В. К. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного цилиндра // Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1950. №2.

53. Риз П. M. Деформация естественно закрученных стержней // Докл. АН СССР, 1939. Т. 23. № 1. С. 18-21.

54. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. «Классики естествознания». М.: Физматгиз, 1961. 518 с.

55. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов. М., 1957. 537 с.

56. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1959. 439 с.

57. Тимошенко С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1975. 561 с.

58. Уздалев А. И., Иноземцев Г. Г., Зубков A.B., Алахазова О. В. Напряженное состояние естественно закрученного стержня // ПММ, 1988. Т. 24, в. 14. С. 103-108.

59. Устинов Ю. А. Задача Сен-Венана для пружины // Докл. РАН, 1995. Т. 345, №5. С. 621-623.

60. Устинов Ю. А. К обоснованию принципа Сен-Венана // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказского региона, 1994. С. 91-92.

61. Устинов Ю. А. О структуре погранслоя в слоистых плитах // Докл. АН СССР, 1976. Т. 229, №2. С. 325-328.

62. Шкутин JI. И. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск: Наука, 1988. 127 с.

63. Шорр Б. Ф. К теории закрученных неравномерно нагретых стержней // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, 1960. №1. С. 141-151.101

64. Chree. The Equations of an Isotropic Elastic Solid in Polar and Cylindrical Coordinates, their Solutions and Applications // Cambridge Phil. Transactions, 1889.

65. Graff K. F. Wave motion in elastic solids. Oxford: Clarendon press, 1975. 666 p.

66. Nariboly G. A. Some Asymptotic theory of wavemetion in rods // ZAMM, 1969. 49. № 9. S. 525-531.

67. Pochhammer L. Beitrag zur Theorie der Biegung des Kreiscylinders // Journ. Fur die reine uhd angew. Math., 1876.

68. Toupin R. A. Saint-Venant's principle // Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1965. V. 18, № 2. P. 83-96.

69. Ustinov Yu. A. Application of the Spectral Theory of Operators to Solving of the Saint-Venant's Problems for Pseudocylinders // 15 th IMACS W. Congr. on Scietific Computation, Modeling and Appl. Math., 1997. V. II. P. 669-674.

70. X (^Ire1^ ¿)2(6 + /6 + a) - i/fô - ¿)ra(fâ - a)2 +- (i+- «+ibf) + \ (fe «)2+(a - «+IÙ) -Í(3 + 2i/)(£i a + /6)Я2 - /a2(l + + +efr(b-i) m + Ib + a) i/ra(Ki - a)2 + Й -(1 + z,)(6 a + /б)2)) j + 2r (l + j^;) X

71. X (-¿(6 ¿)2 - ^Кз - i)ra(26 - 2a - 2(1 + i/)(6 - a + /6)) +26 2a)«i - a + Щ + J& - + ~ J(3 + 2- t? - £)ra(26 --2/(1 + z/)(6 - a + Щ + - a + lb) + i - a)2 + g) 3 + 2v)R2 — /a2(l + z/)