Некоторые задачи теории упругости и электроупругости и их решение методом конечных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Курбатова Наталья Викторовна

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ И ИХ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону -20072

003161516

Работа выполнена на кафедрах теории упругости и математического моделирования Южного федерального университета

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Устинов Юрий Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор

Илюхин Александр Алексеевич

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Чебаков Михаил Иванович

Ведущая организация

Кубанский государственный университет, г Краснодар

Защита состоится б ноября 2007 г. в 16 часов 50 минут на

заседании диссертационного совета Д 212 208 06 по физико-математическим наукам при Южном федеральном университете по адресу 344090, г Ростов-на-Дону, ул Мильчакова, 8-а, Южный федеральный университет, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд 211

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного федерального университета по адресу 344006, г Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148.

Автореферат разослан "4 " октября

2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета СШ^^ Боев Н В

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной инженерной практике широко используются детали высокотехнологичных устройств сложной формы (витые лопатки осевых компрессоров и газовых турбин, спиральных све-рел) Совершенствование методик расчета напряженно-деформированного состояния подобных устройств на основе трехмерных постановок теории упругости и метода конечных элементов (МКЭ) является весьма актуальной задачей

Эффективность усилий по построению решения задач растяжения-кручения естественно закрученного стержня (ЕЗС) и винтовой пружины можно существенно повысить за счет модификации МКЭ, который позволяет решать неклассические краевые задачи теории упругости, создавать программные модули для моделирования вычислительных экспериментов В настоящее время создаются все более сложные элементы из пьезоке-рамики, используемые в устройствах широкого назначения (резонаторы, трансформаторы, фильтры) Изучение гармонических колебаний пластины, выполненной из пьезоактивного материала, средствами математического моделирования является весьма актуальным ввиду затратности физического эксперимента Рекомендации по оптимизации геометрии пластины, формы разрезов электродного покрытия и свойств самой пьезокерамики являются весьма востребованными при конструировании устройств такого рода Таким образом модификация метода конечных элементов в части построения функций формы, обеспечивающих быструю сходимость метода, является актуальной при решении трехмерных задач теории упругости и электроупругости

Цель работы Разработать модификации метода конечных элементов для исследования напряженно-деформированного состояния естественно-закрученного стержня и пружины, включая определение их эффективной жесткости в зависимости от степени скручивания

Посредством эффективного выбора функций формы разработать модификацию метода конечных элементов для исследования планарных колебаний пьезокерамической пластины Разработать алгоритмы и программы развитых модификаций МКЭ

Методы исследования опираются на слабые постановки краевых задач пространственной теории упругости и электроупругости и метод конечных элементов В случае гармонических колебаний пьезокерамической пластины исследования проводились с помощью сочетания классических схем построения решения с технологией метода конечных элементов Для решения СЛАУ применялись методы Холецкого и Гаусса

Научная новизна Впервые построены решения двумерных задач, отвечающих решению задачи Сен-Венана растяжения-кручения для

естественно-закрученного стержня и винтовой пружины С учетом особенностей краевых задач разработана модификация метода конечных элементов, позволяющая дискретизировать краевые задачи и построить их решение

Для решения задачи об установившихся планарных колебаниях пьезоэлектрической пластины с электродированными плоскими поверхностями предложен метод конечных элементов, функции формы которого удовлетворяют уравнениям колебаний Существенным отличием предложенного подхода является быстрая сходимость при построении решения Новыми являются результаты расчетов, связанные с количественными оценками увеличения эффективности колебаний при нанесении разрезов на электродных покрытиях

Достоверность обусловлена корректной постановкой задач, применением математически обоснованных методов, использованием в численных экспериментах отлаженных программ, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеются в литературе

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в разработке инструментов и методов решения задач растяжения-кручения Сен-Венана для пружины и ЕЗС с учетом их специфики Для задачи о планарных колебаниях пьезоэлектрической пластины разработан эффективный ресурсосберегающий метод, основанный на сочетании МКЭ и классических схем построения решения

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях "Теория и практика проектирования цифровой звуковой аппаратуры", г Ростов-на-Дону, 1990, "Пьезотехника-95", г Ростов-на-Дону, "Современные проблемы механики сплошной среды", г Ростов-на-Дону, 1997, 1999, 2003, 2005, 2006, XXXI,XXXIII,XXXV Summer School-Conference "Advanced Problems m Mechanics" г Санкт-Петербург (Репино) 2003, 2005, 2007, "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете", п Абрау-Дюрсо, 2005 и г Дивноморск, 2007, IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006

Публикации Основное содержание работы отражено в 17 публикациях 9 тезисах докладов, 8 статьях, включая три статьи из переченя ВАК

Структура работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения Библиография включает 102 ссылки Содержание работы изложено на 121 странице, содержит 26 рисунков, 13 таблиц

Работа выполнена поддержке целевой программой ФАО МО и Н РФ РНП ВШ №РНП 2 3 1 1 3719 и гранта РФФИ №07-01-00254а

Краткое содержание работы

Во введении, содержащем обзор литературы по теме диссертации, также сформулированы цели работы, задачи исследования, научная новизна и практическая ценность работы

Первая глава диссертации посвящена построению решения двумерных задач, отвечающих решению задачи Сен-Венана растяжения-кручения естественно-закрученного стержня (БЗС) ЕЗС получается в результате винтового движения плоской фигуры S, вдоль оси х = х3, х\,х2-,хъ — декартова система координат, сопутствующая система вводится следующим образом ось совмещается с осью х, а оси £1, £2> проходя через центр тяжести сечения, перпендикулярного £з, направлены по главным осям инерции и жестко связаны с фигурой S при ее движении Параметр т характеризует относительный угол iр закручивания сечения х3 = const таким образом, что <р — тх3

Основные уравнения пространственной теории упругости в сопутствующей системе координат имеют вид уравнений равновесия

<9jcrn + Э20-12 + йети + t{D<tu - (Т23) = О,

<9l<7l2 + <92(722 + ^""23 + T"(Dcr2 3 + O13) = О, (1)

д\СГ\ъ + 02023 + да3з 4- rDa33 = 0, D = i,2di -компонент тензора деформаций

еи = дгиъ е12 = (д2щ + дхи2)/2, е22 = д2и2, £\г = [di«3 + {9 + tD)ui - ru2]/2,

£23 = [^з + {д + tD)u2 + tujJ/2, e33 = {д + rD)u3,

Рис 1 Сопутствующая система ЕЗС

(2)

и компонент тензора напряжений

сгц = 2/4(1 + н)д1Щ + нд2и 2 + + тГ>)и3], <712 = m(9iw2 +0zUl),

сг22 = 2д[(1 + к)д2и2 + ядгщ + н{д + tD)u з],

013 = M(9I«3 - TW2 + (0 + T£I)UI),

f23 = м(9гиз + rui + (д 4- tD)u2),

c7-33 = 2fj,[xdiui + яд2и2 + (1 + я){д + tD)u3],

граничные условия на торцах

ж = 0 иХг = 0, (4)

х = Ь сг,3 = р„ (г = 1,2,3), (5)

граничные условия на боковой поверхности ЕЗС

N = 0, (б)

здесь ¡1, V — модуль сдвига и коэффициент Пуассона В результате объединения уравнений равновесия (1) и граничного условия (6) исходную задачу можно свести к операторному уравнению

Ь1т{д)и = {ьг(9)и, Мт(9)м| = 0 (7)

Коэффициенты в Ьт, Мт приводятся в работе Поскольку они не зависят от х, то решение (7) отыскивается в виде

и(0 = е*а, а = <»(&, £2), (8)

Таким образом однородная задача (7) сводится к спектральной задаче на сечении ЕЗС

М7)МЬг(7),-МГ(7)} = 0, (9)

Решение Сен-Венана задач растяжения-кручения отвечает четырехкратному собственному значению (СЗ) 70 = 0> поэтому вектор смещений представляется в виде

4

и = Спип, (Ю)

П=1

где Сп — произвольные постоянные, которые определяются при удовлетворении граничным условиям (4), (5),

щ = а1 = (0,0,1)г, «2 = а* = (-6, 0)т, из = £,0-1 + «з. и4 = + а4,

здесь щ = Од, «2 = «о — собственные векторы (СВ), а аз, <14 — присоединенные векторы, которые определяются решением краевых задач

В части 1 2 приводятся соответствующие вариационные постановки для квадратичных функционалов

5Ф(аа) = ¿(Фо(аа) - 4(а) + АаУа(а3)) = 0, а = 1,2, 2 = 3,4 (11)

Здесь суммирование осуществляется по повторяющимся индексам Последнее слагаемое в (11), содержащее неопределенные множители Лагранжа

Аа, призвано обеспечить единственность решения на подпространстве Н* гильбертова пространства Н вектор-функций, удовлетворяющих условиям ортогональности

3/1(05) = (о-а, «о)я = 0, 1/2(05) = (о5, Од)я = о, (12)

(си., аг)я = J «1 «г^

5

В разделе 1 3 осуществляется сведение исходной краевой задачи к алгебраической системе Опираясь на общее представление решения задачи Сен-Венана о растяжении-кручении ЕЗС и граничные условия на торцах, произвольные постоянные С\, Сч, являющиеся поступательным смещением вдоль оси Х3 и углом поворота вокруг этой же оси БЗС как твердого тела, полагаем нулевыми, а постоянные С5 определяются из следующей системы

ЙцСз + <¿12(74 = <5з ,

(13)

¿иС3 + а22с4 = м3,

где <2з, М3 — ненулевые компоненты главного вектора и главного момента Усг3ф = Jр30з = «57З<ЭЗ 0 = 1,2,3), (14)

М3 = Jit.iv23-&<Г13№ = У (6» - &Р1)<*а + 0, (15)

Сз - является относительным удлинением, С4 - относительным углом закручивания Элементы матрицы жесткости определяются в процессе построения решения

В разделе 1 4 строится численное решение методом конечных элементов Интегрирование по всей области аддитивно относительно интегрирования по элементам, поэтому предлагается эффективный механизм получения локальной системы с учетом ее блочной структуры Для произвольного е-го локального элемента прямоугольной формы (рис 2) аппроксимация осуществляется с помощью линейной комбинации узловых неизвестных и билинейных базисных функции формы

здесь Л^ = Сг(^1 — — й, ~ г-е компоненты векторов,

с = {1, —1,1, —1}, = {а, 0, 0, а}, = {Ь,Ь, 0, 0}, с каждым узлом связывается три неизвестных обобщенных перемещения. Вариационное уравнение с учетом (16) и независимости вариаций узловых неизвестных и множителей Лагранжа приводит к локальной системе

ill ELi WM, JV>'m + eLI = vZ(Nj),

(17)

rtV

О О о

а а ¡з

е1 el el О о о

и с а

Здесь ии^Щ), ^(А^)

- результат интегрирования по эле-а' д'-'д'-'менту суперпозиций базисных функций и (или) их частных производ-Ь ных; зависимость от А/;, Nj указана

для визуализации ее блочной структуры и природы элементов локальной системы (рис. 3). Преимущества ее структуры позволяют автоматизировать процесс построения локальной системы, получив аналитические представление элементов только для минимальных блоков и векторов третьего порядка с последующей функциональной репликацией. Ввиду громоздкости здесь не приводятся аналитические выражения их элементов. Реплицирование блоков и построение локальной системы осуществлялось

е- е и и

а а

1 — 3 — задача растяжения i =4 — задача кручения

Рис. 2: Локальный элемент

jX ' '

/ 11

1

X

Jfj- н

Рис. 3: Структура локальной матрицы

на языке FORTRAN.

В части 1.5 обсуждаются особенности построения расширенной системы, наведенные наличием в уравнениях (1)-(3) оператора D, и ее свойств.

Таблица 1 Жесткость на кручение й22, МКЭ-расчеты для 196 элементов

Т 0 01 0 02 0 05 01 05

<¿22 0 140599 0 140624 0140625 0141488 0 152665

Получение расширенной матрицы системы выполнялось в соответствии с классическими схемами МКЭ, однако в условиях нарушения инвариантности локальной матрицы для всех элементов модели Усложнение реализации метода также связано и с тем, что система линейных алгебраических уравнений, являющаяся дискретным аналогом исходной вариационной задачи, теряет положительную определенность Оставаясь неотрицательно определенной и симметричной, она также утрачивает ленточность Это диктует необходимость отказаться от методов решения систем, опирающихся на положительную определенность и поддерживающих экономное векторное хранение ленты системы

В части 1 6 приводятся результаты численного эксперимента на основе конечно-элементного решения для ЕЗС с прямоугольным поперечным

Рис 4 Графики зависимости жесткостей от г, (а) - с1ц, (Ь) -

сечением Были построены графики зависимостей нормированных жест-костей ЕЗС на кручение и растяжение-сжатие для различных значений параметра т Для йц характерно увеличение жесткости с ростом т, экстремальное поведение с последующей стабилизацией, ¿п является характеристикой жесткости при взаимодействии кручения и растяжения-сжатия, что подтверждает существование значений г, при которых ¿12 меняет знак Сечения при растяжении и кручении, как следует из расчетов деформированного состояния, испытывают депланацию

(а)

(b)

Рис. 5: Графики (а) - зависимости жесткости йю на кручение; (Ь) - сечение стержня при кручении

(а) ' (Ъ) (с)

Рис. 6: НДС ЕЗС (а) - Стзз и (Ь) - <х33 при растяжении, (с) - сг13 при кручении

Для малых г расчетные жесткости (табл. 1) согласуются с жесткостью при кручении (¿22 = 0.1406) призматического стержня.

Вторая глава посвящена построению решения двумерных задач, отвечающих решению задачи Сен-Венана растяжения-кручения для винтовой пружины. Пружина — трехмерное тело, которое получается в результате винтового движения плоской фигуры S, расположенной в плоскости ср = const цилиндрической системы координат г, ip, z, вокруг некоторой оси; г о — расстояние от оси z до центра тяжести фигуры S, h — шаг пружины. Введем сопутствующую систему координат, свя-Рис. 7: Сечения 5 и 5' при по- занную с цилиндрической следующими соот-вороте на 2тг в плоскости ч> = 0. ношениями:

6 = Г - Го, & = г - (h0, & = f = if + 2тт(m - 1), (18)

здесь £2 £ S, £ € [0,/], I = 2жп + tp0 (0 < ipo < 2n), hu = h/2n, m =

1, ,п, п — число витков в сечении <р = const (0 < < 27г), переменная £ определяет сечение пружины, а — точку выбранного сечения, значения £ = 0, £ = ¿ соответствуют концевым сечениям пружины В сопутствующей системе координат область, занятая пружиной V = S х [0,í], боковая поверхность Г = 8S х [0, где 8S — граница S сечения Уравнения равновесия в сопутствующей системе имеют вид

01011 + —--— + 02012 + D&13 = О,

г

010-12 + — + 02022 + Da 23 = 0, (19)

г

01013 + 2— 4- 02023 + £033 = О, г

выражения обобщенного закона Гука представляются соотношениями

<тц = 2/í[(1 4- x)0iUi + я{д2и2 + + xDu3], U

022 = 2/i[x(0iWi н--) + (1 + x)02U2 + KDU3],

г

о-зз = 2/t[x(0iUi + д2и2) + (1 + h){Du3 4- (20)

012 = М(01«2 + 02«l),

013 = ií{Dui + 01«3 - —),

Г

023 = + 02 Щ),

компоненты тензора деформаций в этом базисе выражаются через проекции вектора перемещений иг следующими формулами

en = дгщ, е22 = д2и2, езз = Du3 4- — (21)

г

щ

2ei2 = d\u2 4- дгЩ, 2еп = Dux + 0iU3--, 2е23 = Du2 + д2щ,

г

Будем считать, что боковая поверхность пружины свободна от напряжений

N о-| = 0, (22)

и на торцах в цилиндрической системе выполняются условия

г = О «г = иу = иг = 0, (23)

г = Ь 031 = (У(рг = О,

032 = = Р, (24)

<7зз = £>"<«> = 0, (г = 1,2,3)

В части 2 2 задачи растяжения-кручения сводятся к вариационным двумерным задачам на сечении Соответствуя логике первой главы на основе трехмерных уравнений теории упругости, получаем операторное уравнение однородной краевой задачи и отыскиваем решение в виде

и(0 = е*а, о = а(£ь6) (25)

Собственными значениями полученной спектральной задачи, являются 7 = 70 = 0,71 = г, 72 = —г, а решением - линейная комбинация двенадцати элементарных решений Сен-Венана В частности, решение задачи Сен-Венана растяжения-кручения в этом случае имеет вид

4

и = Спип, где 111 = 0,1 = (0,1,0)т, (26)

П=1

и2 = а20 = (0,0, г)Т, м3(0 = £а1 + «з, «4(0 = + а4,

иг - элементарные решения, а^, - собственные векторы, отвечающие 7о = 0 - кратному СЗ, а а3(£ь £2), £2) - присоединенные векторы

Определение присоединенных векторов а = аа, эквивалентно нахождению минимума функционала потенциальной энергии деформации

П,

a = \JsO-a Оeards = ^J(W0 + Ia)rds, (27)

которая вычисляется на элементарных решениях из, м4 и определяет вариационные постановки в случаях а = 3 — растяжения-сжатия, а = 4 — кручения, здесь Wq — обозначено выражение, которое соответствует плотности потенциальной энергии деформации относительно а = аа Решение такой оптимизационной задачи неединственно, единственность достигается на подпространстве Н° при выполнении условий

tx ЕЕ (а, а£) = J a a^ds = 0, i2= (а, = J a a^ds = 0, (28)

s s

которые учитываются с помощью метода множителей Лагранжа

Дискретизация и расчеты производятся в безразмерных величинах £г = hi£t ф\ = hi/hi, ф2 = hi/r0, фз = 2-Khi/h = rfoj, здесь - параметр,

отражающий кривизну витка пружины, фз — позволяет учесть влияние шага витка при исследовании свойств пружины, а /гг — длины сторон пластины

В части 2 3 предлагается реализация метода конечных элементов, которая осуществляется введением четырехузлового прямоугольного элемента с тремя неизвестными обобщенными перемещениями в узле и билинейной аппроксимацией (16)

Локальная система имеет блочную структуру (рис 7) и строится функциональным реплицированием "родительских" блоков Аналитические выражения элементов блоков для условий, обеспечивающих единственность, представляются выражениями

х\ — "^/с^/см хз ~ ^/^/(м

у.1 — ,«1 — — ™2 —, I

(29)

- /у*- - 'Г - 1Г — П

л,-^ — О/^ — «¿/^ — Л/ 2 — I/)

а правые части обеих задач выражаются соотношениями = 0, = -2с,/*((1 + и)4ь%> + хЯ),

^2 = ~2с3ЪхП3, (30)

«з = -ЪЬД3, у§ = 2 с3Ъ,

где 4 = с{ъ)с{])/ф1 с., = с{])/фи = = - инте-

гралы по элементу для п = 0,4,5, ш = а, Ъ, т= 1,2,3,6 Выражения для блока и ввиду громоздкости здесь не приводятся, но их вычисление сводится к интегрированию перечисленных далее подынтегральных функций

т= 1 {дгЪЪЩ т = 2 ^кШ&АГ,,

т = 3 т = 4 (1 + <Ш&АГг, (31)

т = 5 1 ^с ' т = 6 т = 0 ^ (9№

Ансамблирование системы осуществляется в соответствии с классическими схемами МКЭ

В части 2 4 приводятся результаты численного анализа для винтовой пружины с прямоугольным сечением прутка На основе конечно-элементного решения проведен численный анализ свойств пружины жесткости на растяжение и кручение в зависимости от плотности витков пружины в широком диапазоне изменения этого параметра Таблица 2 иллюстрирует эту зависимость, причем ф2 фиксируется в интервале, не доступном

Таблица 2 Результаты МКЭ, вне применимости асимптотик

фъ а h^/hi d„ <ki Í¿22

0 5 тг/15 1 0 0 03514 -0 002879 0 0612

05 тг/10 1 08 0 03368 -0 004074 0 0566

05 тг/4 14 0 03812 -0 000461 0 3736

09 тг/15 10 1197 -0 009543 19 28

09 тг/10 108 1140 -0 013787 17 83

09 тг/4 1 4 11 86 -0 003426 11 90

для асимптотики, полученной 1 методом малого параметра Плотность витков характеризуется ¡5 = tg а = Л/(27гго), ее изменение для а ф 0, приводит к рассмотрению прямоугольника в качестве сечения, а не квадрата

Результаты таблицы 3 демонстрируют, что данные расчетов хорошо согласуются с результатами, полученными методом малого параметра

Третья глава посвящена исследованию планарных колебаний прямоугольной пластины, выполненной из пьезокерамики, поляризованной по толщине Возбуждение колебаний осуществляется гармонически изменяющейся во времени разностью потенциалов 2Voexp(íwí), приложенной к электродам, полностью покрывающим плоские поверхности пластины S±, со - круговая частота, V = S х [—h,h] область, занятая пластиной, S = [—Л, Л] х [—В, В] - срединная поверхность пластины, - лицевые поверхности, (z± = ±h), Г = 8S х [—h, h] - боковая поверхность В качестве метода построения решения выбирается метод конечных элементов, отличающийся от классических подходов в части выбора аппроксимирующих функций, которые удовлетворяют уравнениям движения Этим обеспечивается получение решения высокой точности для малого разбиения По сути своей такой подход представляет сочетание идеи метода Треффца и современных конечно-элементных технологий В основе описания модели рассматриваемой задачи — линейная теория пьезоэлектричества и гипотезы плоского напряженного состояния Возникающие колебания описываются уравнениями

сгх~ + Охим — ри;2аи

&ху,х + Cy.jz — рш Ü2,

1 Устинов Ю А Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров М Фиэматлит 2003

Таблица 3 Жесткости, полученные МКЭ и асимптотические значения

Ф2 (¿п(МКЭ) <*п(А) ММКЭ) <М А) кр

0 01 1 425 1400 2 664 2 759 Ю-5

0 03 1 282 1 260 2 396 2 473 10~4

0 05 3 562 3 500 6 653 6 897 10"4

0 07 6 984 6 860 13 030 13 842 10"4

0 09 1 125 1 134 2 152 2 234 Ю-3

0 1 1 425 1 400 2 664 2 759 Ю-3

03 1 289 1 260 2 362 2 473 10~2

0 5 3 617 3 500 6 453 6 897 Ю-2

07 7 208 6 860 1238 1 384 Ю-1

09 1 125 1 134 2 152 2 234 Ю-1

Уравнения состояния электроупругости представляются в следующем виде

сг = Се + <Мз1(1 + 1у)тУо(!;),

Л

С =1/^/(1-^)

\

1 + 52гдг/ ¡у + ^ + 1 +

^ о о (1-^/2;

соотношения Коши, которые связывают деформации с перемещениями,

(33)

= (£х,£у,Ъу) = {да1/дх,да2/ду,да1/ду + да2/дх),

(34)

здесь аТ = (<тх, иу, о^) — тензор напряжений, V = —512/31! - коэффициент

Пуассона, р - плотность,

ап

модуль податливости, определяемый при

постоянном электрическом поле, £¡31 - пьезоэлектрический модуль, т = (1,1,0), 5кг ~ символ Кронекера, г = 1 в случае отсутствия электродов, г = 2 - плоские поверхности электродированы (эквипотенциальны) В результате учета обобщенного закона Гука и геометрических соотношений уравнение

движения представляется в виде

2(1 + я)аихх + (1 - г/)а1да + (1 + г/ + 2д) а2,ху + 25^(1 - и2)рш2а! = О, 2(1 + V + 2д)аиху + (1 - г/)а2,та + 2(1 + д)а2,уг/ + - и2)ри2а2 = О

В части 3 2 аппроксимирующие функции выбираются в виде суперпозиции волн, распространяющихся как в направлении оси х, так и у

а 1 = Рх (сов(с«/) + с81п(аз/))(соз(7а;) 4- /свт^а;),

(36)

«2 = /?2(вхп(ау) — ссоз(аг/))(зш(7з;) — ксов^х),

где с, к - произвольные постоянные, а Д, 02 в соответствии с (35) связаны следующей системой алгебраических уравнений

(2^(1 - и2)рш2 - 2(1 + д)72 - (1 - ^а2)/?! + (1 + г/ + 2д)а7/?2 = О,

(31

(1 + и + 2д)а7й + (25еи(1 - и2)ри>2 - 2(1 + д)72 - (1 - и)а2)р2 = О,

условие разрешимости которой является дисперсионным уравнением (ДУ) Анализ ДУ позволяет построить общее решение уравнения колебаний как линейную комбинацию независимых планарных колебаний - продольных, сдвига и изгиба Для этого вводятся локальный элемент с нумерацией узлов, аналогичной (рис 2), и вектор-перемещений йеТ = (<^,<¿1, ,с1%) таким образом, что с каждым ^-узлом связываются перемещения с^-ъ ^-ъ вдоль оси х и у соответственно

Используя имеющийся произвол в представлении решения (36) и полагая а = 0, сначала исключаем случай распространения волны вдоль оси у, и определяем корни дисперсионного уравнения

71 = ^рз\1{1-и2)/{1 + Ч), 7з = шфр^Х + и), (38)

которые соответствуют случаю распространения продольных и поперечных волн в направлении оси х Согласно заданию граничных условий, как указано на рисунках (9-11), соответствующие частные решения (колебания) определяются величиной 5г,

в! = ¿1(008(713:) - с^(71о)зт(71х)) + Зъвт^х/ъа), а2 = О (39)

(1 4- сое (72а) \

-совСтга;)-!---.-г—81П72а; (40)

8т(72а) I

Рис 9 Искажение элемента при продольной деформации

В случае 7 = 0 из (37) находятся волновые числа поперечной и продольной волн (ах = 72, а2 = 71), распространяющихся вдоль оси у, и решение

01 =0, <22 = Ыс08(а2У) - ^(а2Ь) вт(а2у) + ¿48111 {а2у)/ат{а2Ъ)), (41) описывающее продольную волну вдоль оси у Аналогично решение, отве-

Рис 10 Искажение элемента при деформации сдвига

чающее поперечным волнам, распространяющимся вдоль оси х, является следствием /5\ ф 0, (32 = 0 в (36)

1 + сов^Ь)

«1 = $>(- со&{аху) +-—гг— 81п(а1у)), а2 = О

зш(а10]

(42)

- "8 \ " 7

I / -----

Рис 11 Искажение элемента при изгибной деформации

Изгибные решения вдоль х получаются из ДУ при а = 7 = (3,

сч{х,у) = д7Р1{х,у), а2{х,у) = 67Р2{х,у), где (43)

Щх, у) = (с2к2{со8(01у) 4- С! эшСадХсозС^ж) -I- кг вт{01х))+ +С]А (собО^у) + с28т(р2у))(соз{Р2х) + к2зт{Р2х)))/А, Р2(х,у) = {-с2к2(8т{Р1у) - а со8(/?1у))(81п(/?1а;) - кг вт^ж))-!-

+с\к\{зт{р2у) - с2со8(Р2у)){вт{Р2х) - к2зт{Р2х)))/А,

А = сгкг + с2к2, с» = -(1 + саз(0,Ь)) / вт^Ь),

кг = -(1 + соsO0.ii))/ зт(Да), г = 1 2,

А2 = - ^2)(1 + ?), $ = 1 + V)

и вдоль у

аг = 58Р2{х,у), а2=бвР1(х,у) (44)

Таким образом построенные решения исчерпывают все возможные независимые планарные колебания пластины Общее решение системы дифференциальных уравнений (35) представляет собой линейную комбинацию всех построенных частных решений, соответствующих продольным планарным колебаниям, сдвига и изгиба, на основании которых в конечном элементе поле амплитуд перемещений может быть представлено в виде

с и (я, у) = (Щ, 112> ОД,

д = Нд, где (45)

V(a;,y) = (У1,У2, Т/8),

ъ(х,у) = и туа,

(46)

02{х,у) = у ууа

Компоненты векторов (7, V, которые и являются функциями формы, следуют из частных решений, равно как и связующее соотношение IV, 6 — \У<1е Выражения для {/,, Уг здесь не приводятся ввиду громоздкости

Таблица 4 Сравнение результатов (с ч ) для L = 6

Л 0 42679 1 26229 1 98659 2 25032 2 38196

п 0 2717 0 8036 1 2647 1 4326 1 5164

Таблица 5 Безразмерные собственные частоты, А/В = 1 и А/В = 2

№ I II III IV V VI VII VIII IX

А/В

1 2 216 2 586 3 105 4 373 5 331 6 515 6 646 8 078 8 213

2 1 275 2 254 2 655 2 883 3 735 4 118 4 419 5 086 5 594

В разделе 3 3 на основе энергетического вариационного принципа Гамильтона-Остроградского получены локальные матрицы Ке, Ме жесткости и инерции системы

Ke = WT(J GTCTGds) W, Me = WT(^J HTHds^J W

с последующим ансамблированием всех элементов модели и сведением к расширенным их аналогам Следует отметить, что расширенные матрицы К, M также являются симметричными, положительно определенными и ленточными Это позволяет использовать метод Холецкого

В части 3 4 из условия разрешимости расширенной системы Kd — pÇl2M = 0 определяются безразмерные собственные частоты fin, Cln = By/2s\\p{l + v)fn, /п = wn/27r и формы колебаний Проведен сравнительный анализ результатов полученных МКЭ и в ходе физического эксперимента 2 Так для пластины, выполненной из пьезокерамики PZT-4, v = О 258 и А/В = 6 их согласование следует из таблицы (Ù = 2Q,/ir) Собственные формы построены для пластин различной геометрии, соответствующие собственным частотам, в таблице 6 приведены некоторые из них, на поверхности пластин представлено распределение суммы главных напряжений, поскольку напряженность электрического поля на основе электрического граничного условия Dz = 0 равна Ez — — dsi(ax + разрезы электродных покрытий в зоне нулевых значений существенно улучшают эффективность возбуждения колебаний

2Гринченко В Т, Карлаш В Л , Мелешко В В , Улитко А Ф Прикл мех 1976 Т 12 № 5 С 71-79

Таблица 6: Собственных формы колебаний и суммы главных напряжений (Ь = 1)

Таблица 7 для сплошных электродов

№ I II III IV V VI VII VIII IX

А/В

1 0 001 0 007 0 21 0 038 0 022 0 015 0 013 0 067 0 067

2 0 026 0 103 0 076 0 156 ооза 0 132 0 034 0 09 0 026

Анализ напряженно-деформированного состояния пластины свидетельствует, что ряду форм присуще наличие как подобластей "сжа-ти", так и "растяжени" Существование таких зон приводит к снижению к\ — динамического коэффициента электромеханической связи из-за эквипотенциальности электродированных поверхностей КЭМС вычислялся согласно энергетическому определению Щ = (У — и^/У^, где Ур — внутренняя энергия пластины с разомкнутыми электродами,

определяемая на основе граничных условий — I Огйз = 0, 5\+ — пло-

«I ив?

щадь электродного покрытия при я = Ь,, Ур — ил — энергия, способная к обращению (выражения энергии приводятся в работе, а аналитические выражения соответствующие конечно-элементной аппроксимации в приложении)

В таблице 7 представлены величины к\ в случае сплошных электродов, а на рисунке 12 - для электродов с разрезами Из графика следует наличие

Рис 12 КЭМС в зависимости от от геометрии пластины и разрезов на электродах с учетом разрезов

оптимальной геометрии для каждой моды колебаний, у которой наибольшее из всех экстремальных значение к^

В части 3 5 построена амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), учитывающая трение по модели Фойхта как отрицательные комплексные составляющие модулей материала Л = — V2) и д = 1/2вц(1 + г/),

обратные (¿х = 9477 и <3^ = 254 добротностям

|С0 (S)

т

о

©

®

® 1

© /1 У

и v2 V/2 4j Л Ч j ? ¿А /ч ь" s ё11 \ b1"«, у* V ' \

о

а

Рис 13 АЧХ квадратной пластины с внутренним трением

В случае, когда пластина имеет разрезы, обусловленные знаком наводимого потенциала, АЧХ строится для модуля проводимости (характеристики обратной сопротивлению, которая и характеризует рассеяние энергии) и в качестве Г^ и il2 выбираются частоты, соответствующие половине амплитуды резонанса Учет синфазно колеблющихся областей осуществляется в интегральном слагаемом, определяющем амплитуду тока при электрической коммутации Добротность, рассчитанная по проводимости тока, первых четырех мод колебаний составляет соответственно 75, 130, 850, 350, откуда следует, что третья мода возбуждается с минимумом потерь

Выводы

1 Методом конечных элементов построено решение нетрадиционных вариационных задач, соответствующих случаю растяжения-кручения ЕЗС и винтовой пружины

2 Разработана методика и получены эффективные алгоритмы построения локальных матриц репликацией минимальных блоков, построены аналитические выражения элементов блоков, позволяющие автоматизировать вычисление локальных матриц

3 Исследовано НДС в задачах растяжения-кручения Рассчитаны элементы матрицы жесткостей в широкой области изменения параметра крутки и плотности витков

4 Построены базисные функции, удовлетворяющие уравнениям колебаний пластины

5 С их помощью получены элементы локальных матриц инерции и жесткости Разработана методика модифицированного МКЭ

в Проведен анализ характеристик пластины, влияющий на эффективность возбуждения мод колебаний Предложены формы нанесения разрезов на электродных покрытиях, обеспечивающие увеличение КЭМС, а также построены АЧХ с учетом потерь по модели Фойхта

Основное содержание диссертации опубликовано в работах.

1 Белоконь А В , Акопов О H , Еремеев В А , Курбатова H В , Надолин К А , Наседкин А В , Скалиух А С , Соловьев А H Новые возможности конечно-элементного пакета ACELAN в анализе решений двумерных задач электроупругости // Современные проблемы механики сплошной среды Труды VI Межд конф ,Т 1 Ростов-на-Дону Изд СКНЦ ВШ 2001 С 34-38

2 Гетман И П , Курбатова H В , Яценко В К Пьезоэлементы для трансформаторов вторичных источников питания и фильтров //Тез н-т конф "Теория и практика проектирования цифровой звуковой аппаратуры", Ростов-на-Дону 1990 с 91

3 Гетман И П , Курбатова H В Исследование планарных колебаний пьезоэлектрических пластин и проблема выбора оптимального электродного покрытия // В сб Фундаментальные проблемы пьезоэлектроники, Тр междун научн -практи конф "Пьезотехника-95", Ростов-на-Дону Изд МП Книга, 1995 Т 3 С 198-199

4 Гетман И П , Курбатова H В Об одном эффективном методе конечных элементов исследования планарных колебаний пьезоэлектрических пластин // Акустический журнал 1994 Т 40 № 4 С 581-587

5 Еремеев В А , Курбатова H В , Наседкин А В , Соловьев А H К расчету по МКЭ собственных колебаний упругих и пьезоэлектрических тел с граничными условиями контактного типа // "Современные проблемы математического моделирования" Труды VIII Всеросс шк -семинара Ростов-на-Дону Изд-во Рост гос ун-та, 1999 С 80-89

6 Каргин Д П , Курбатова H В , Устинов Ю А Однородные решения и задачи Сен-Венана для винтовой пружины // Прикладная математика и механика 1998 Т 62 В 4 С 641-648

7 Курбатова H В , Устинов Ю А , Яценко В К Интегральные свойства пьезокерамических прямоугольных пластин // Тр конф "Современ-

ные проблемы механики сплошной среды" Ростов-на-Дону Издательство СКНЦ ВШ, 1999 Т 2 С 66-70

8 Курбатова Н В , Устинов Ю А Построение МКЭ решений для псевдоцилиндров // Тр конф "Современные проблемы механики сплошной среды", г Ростов-на-Дону Изд "Новая книга" 2003 Т 1 С 91-95

9 Курбатова Н В , Кузнецова Н М О конечно-элементном моделировании изгибных деформаций//Тр междун шк-семин "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" п Абрау-Дюрсо 2005 С 21-22

10 Курбатова Н В , Романова Н М Конечно-элементное решение задачи изгиба для естественно закрученного стержня // Соврем пробл мех спл среды Тр IX конф "Современные проблемы механики сплошной среды", посвящ 85-летию со дня рожд И И Воровича Ростов на-Дону, Изд ООО "ЦВВР" 2005 С 123-126

11 Курбатова Н В , Романова Н М Численный анализ решений задачи Сен-Венана для естественно-закрученного стержня// IX Всероссийский Съезд по Теоретической и Прикладной Механике, Нижний Новгород, Изд НГУ, 2006 Т 3 С 128-129

12 Курбатова Н В Об эффективной дискретизации вариационных задач //Сб тр III всероссийской шк-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете " Ростов-на-Дону Изд Терра Принт 2007 С 57

13 Устинов Ю А , Курбатова Н В Аналитическое и численное исследование жесткостей винтовой пружины на основе трехмерных уравнений теории упругости // сб "Фундаментальные проблемы механики сплошной среды" Труды II международной конференции, г Ростов-на-Дону Изд МП "Книга", 1997 С 174-177

14 Устинов Ю А , Курбатова Н В Задачи Сен-Венана для стержней с физической и геометрической винтовой анизотропией // Изв Вузов Сев -Кавк регион Естественные науки 2001 Спецвыпуск, С 154-157

15 Kurbatova N V On the FEM aproach for pceudocylmder // XXXI Sum School-Conference "Advanced Problems m Mechanics" Repmo St Petersburg, Russia, 2003 P 64

16 Kurbatova N V On a stretching-torsion of a naturally twisted rod//Book of abstiacts of XXXIII Summer School "Advanced Problems m Mechanics" Repmo Samt-Petersburg Russia 2005 P 59

17 Kurbatova N V On the FEM digitation the problem of a naturally twisted rod bending by cutting foice // Book of abstiacts of XXXV Summei School "Advanced Problems m Mechanics" Repmo Samt-Petersburg Russia 2007

P 74

Печать цифровая Бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Формат 60x84/16 Объем 1,0 уч -изд -л Заказ № 412 Тираж 120 экз Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г Ростов-на-Дону, ул Суворова, 19, тел 247-34-88

1 Введение.

1 Естественно-закрученный стержень

1 Основные соотношения теории упругости для ЕЗС и формулировка краевых задач

2 Вариационные формулировки задач

3 Сведение исходных краевых задач к алгебраической системе

4 Реализация МКЭ; получение локальных матриц

5 Особенности построения глобальной системы.

6 Характеристики ЕЗС; численный анализ.

2 Задача Сен-Венана для пружины

1 Постановка краевых задач для винтовой пружины

2 Вариационная постановка задач растяжения-сжатия и кручения для пружины.

2.1 Обезразмеривание вариационного уравнения.

2.2 Сведение задач растяжения-кручения винтовой пружины к алгебраической системе.

3 Построение конечно-элементного решения задач растяжения-сжатия и кручения пружины.

4 Определение жесткостей пружины. Численный эксперимент

3 Модифицированный метод МКЭ в исследовании планар-ных колебаний пьезоэлектрических пластин

1 Планарные колебания пластины из пьезоактивного материала

2 Построение базисных функций, удовлетворяющих уравнению движения

3 Вариационная постановка задачи. Применение МКЭ

4 Собственные формы колебаний. Коэффициент электромеханической связи.

5 Учет потерь.

Метод конечных элементов (МКЭ) начал развиваться и широко использоваться с начала 70-х годов прошлого столетия. Он применялся для решения краевых задач теории упругости [7, 32, 54, 76, 93, 102], а впоследствии стал применяться для решения задач различных областей механики, в том числе электроупругости [3, 4, 11, 34, 89]. За эти годы с помощью МКЭ выполнен огромный объем работ, и накопившийся опыт позволил коллективам ученых и разработчиков создать мощные конечно-элементные пакеты такие как [1, 6] ANSYS, FlexPDE, FEMLab, а также ACELAN - пакет, созданный коллективом разработчиков РГУ кафедры математического моделирования. С помощью этих пакетов в настоящее время решаются сложные пространственные задачи в трехмерных постановках.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена развитию МКЭ для построения и анализа численного решения задачи растяжения-кручения для ЕЗС и пружины, а также динамических задач для пьезоактивной пластины.

В продолжение проблем, связанных с построением теории и исследованием свойств ЕЗС, рассматриваемых в работах [8, 12], [22] - [25], [31], в середине 90-х годов прошлого столетия в работах [26] - [28], [71, 74, 98] построение решений задач Сен-Венана для естественно-закрученного стержня (ЕЗС) и пружины были сведены к нетрадиционным двумерным краевым задачам на сечении.

Уравнения, полученные в работах [71, 72] помимо двумерного оператора теории упругости содержат еще дополнительные члены, которые для ЕЗС зависят от угла закручивания, а для пружины — от шага винта.

Построить точное аналитическое решение для простейших поперечных сечений, которые могли бы быть тестовыми для решений, строящихся по приближенным схемам, не удается. В связи с этим возможны два подхода построения решения. Это метод малого параметра и прямые численные методы.

Что касается прямых численных методов, для построения решения ЕЗС целесообразно использовать МКЭ, как наиболее универсальный и эффективный метод сведения континуальных краевых задач к дискретным.

Рассматриваемые задачи хотя и являются самосопряженными, а также могут быть сведены к линейным квадратичным функционалам, но вместе с тем являются задачами на спектре. Это обстоятельство требует модификации классических схем МКЭ построения численного решения задач теории упругости.

Аналогичными особенностями обладают задачи для пружины. Эти факторы и обусловливают выбор МКЭ и его развитие применительно к специфике рассматриваемых задач.

Первая глава диссертации посвящена построению решения двумерных задач, отвечающих решению задачи Сен-Венана растяжения-кручения естественно-закрученного стержня.

В большинстве работ [54, 58, 62, 89] для решения задач теории упругости, которым отвечает положительно определенная краевая задача, расчетные схемы были основаны на этом существенно свойстве. В рассматриваемом случае хотя двумерные задачи и являются самосопряженными, но отвечающий им оператор не является положительно определенным. И соответствующая однородная задача имеет два нетривиальных решения [74]. Эта особенность потребовала развития известных классических подходов для построения решений на основе вариационных схем.

Традиционно для статических задач теории упругости, решаемых в рамках теории самосопряженных операторов, применяется вариационный принцип Лагранжа [50, 54, 58], суть которого сводится к определению стационарного решения функционала потенциальной энергии деформации. В задаче растяжения-кручения функционал потенциальной энергии на сечении имеет не единственное решение. Единственность обеспечивается выполнением двух дополнительных условий, которые учитываются с помощью метода множителей Лагранжа.

В этом случае вариационная постановка является существенно более сложной, ибо в результате конечно-элементной дискретизации мы [46] не ограничиваемся полевыми неизвестными, а вводим новые, подлежащие варьированию — множители Лагранжа; согласно принятой систематизации [95] такая вариационная постановка может быть отнесена к т. н. гибридным методам конечных элементов. Усложнение реализации в такой постановке связано в том числе с тем, что система линейных алгебраических уравнений, являющаяся дискретным аналогом исходной вариационной задачи, теряет положительную определенность. Оставаясь неотрицательно определенной и симметричной, она также утрачивает ленточность, и это диктует необходимость отказаться от методов [18, 62] решения систем, опирающихся на положительную определенность и поддерживающих экономное векторное хранение ленты системы.

Минимизация затрат ресурсов памяти при программной реализации достигалась решением линейной системы алгебраических уравнений в классе разреженных матриц. Преимущества симметрии и разреженность матрицы системы используются при и реализации метода Гаусса.

Для ЕЗС с прямоугольным поперечным сечением конечно-элементное моделирование осуществлялось с использованием четырехузлового билинейного элемента [75, 86, 87]. Недостатком его применения является то обстоятельство, что напряжение или иная физическая величина, которая определяется дифференцированием полевых характеристик, будут постоянными всюду внутри элемента [32, 33, 93], а, следовательно, их распределение по сечению всей модели будет кусочно-постоянным.

Однако такая ситуация не представляется фатальной, поскольку точность решения повышается благодаря увеличению разбиения, а точность вычисления узловых физических величин указанной природы, может быть улучшена, например, осреднением значения результанта [62] по всем элементам, окружающим текущий узел. Заметим также, что широко применяемая в настоящее время технология динамического управления линейными размерами элементов [90] для подобластей, содержащих особенности, ослабляет мотивацию в пользу выбора элементов высоких порядков.

Проведен анализ сходимости решения в зависимости от разбиения. Анализ напряженно-деформированного состояния, поведения жесткостей ЕЗС в зависимости от т - крутки, а также визуализация поля перемещений в сечении естественно закрученного стержня проведены в области устойчивого численного решения. Полученные данные [75] свидетельствуют о приемлемом согласовании результатов в случае малых т и построенными на основе решений для незакрученных стержней [52, 67]. Конечно-элементные расчеты указывают, что сечение как при кручении, так и при растяжении в случае ЕЗС испытывают депланацию.

Вторая глава также посвящена построению решения двумерных задач, отвечающих решению задачи Сен-Венана растяжения-кручения для винтовой пружины. На основе вариационной постановки, сформулированной в [72], строится конечно-элементный аналог задачи, имеющей такие же особенности реализации, как и освещенные в первой главе. Рассматриваемое сечение также выбирается прямоугольным, а аппроксимирующие функции - билинейными. Условия, обеспечивающие единственность решения, учитываются введением новых неузловых неизвестных, подлежащих варьированию.

Для пружины проведен анализ свойств: жесткости на растяжение и кручение в зависимости от плотности витков пружины в широком диапазоне изменения этого параметра. В области изменения параметров, доступной для асимптотик, проведен сравнительный анализ результатов [36]. Построено напряженно-деформированное состояние в поперечном сечении пружины.

Третья глава посвящена исследованию планарных колебаний пластины, выполненной из пьезокерамики, поляризованной по толщине. В качестве метода построения решения выбирается метод конечных элементов, который отличается от классических подходов в части выбора функций формы, базисных функций при аппроксимации. Эти функции имеют волновую природу, а произвол, содержащийся в них позволяет удовлетворить уравнениям колебаний. Построенные с их помощью "волновые" элементы обеспечивают получение решения высокой точности для малого разбиения. Этим компенсируются высокозатратные усилия по получению аналитических выражений элементов матриц жесткости и инерции [93], традиционных для динамических задач, решаемых МКЭ.

В сути своей такой подход известен [96], а в сочетании с современными конечно-элементными технологиями оказывается весьма эффективным.

Выбор простого объекта исследований — пластины прямоугольной формы обусловлен технологической легкостью исполнения таких пьезоэлемен-тов. Прямоугольные пьезоэлементы используются в конструкция типа резонаторов, трансформаторов, фильтров.

Целью исследования было получить такие размеры пластины и оптимальную геометрию разрезов плоских электродированных поверхностей, которые позволят увеличить коэффициент электромеханической связи k2d и обеспечить эффективность возбуждения рассматриваемой моды колебаний. В работе предлагаются результаты серии расчетов; значения собственных частот для различных отношений сторон пластины, а также собственные формы колебаний. Для пьезопреобразователей в широком диапазоне изменения отношения сторон для первых шести мод колебаний предлагаются варианты нанесения разрезов, которые обеспечивают максимум к\. Сравнительный анализ значений к\ до и после нанесения разрезов демонстрирует эффективность процедуры разграничения областей потенциала разной полярности. Графики зависимости k2d демонстрируют существование оптимальной геометрии; в каждом таком случае предлагается форма нанесения разрезов.

В публикациях [14, 15, 16, 40] представлены результаты численных расчетов, а также физических экспериментов, которые выполнялись в рамках проектов НИР, в том числе [56].

Работы, посвященные похожим проблемам электроупругости широко представлены, например, учеными украинской школы механиков [21, 70, 84]; для прямоугольных пьезоэлементов моделировались физические эксперименты по нанесению электродных покрытий [19]. В последнее время широко используются элементы управления; технологии сенсор-актуатор применяются в задачах оптимизации тех или иных свойств; например, управление деформацией с помощью [100] оптимизации формы электродных покрытий. Ряд работ направлен на моделирование заданных свойств пьезоматериалов [78, 101]. Однако следует отметить, что ко времени получения результатов [56] и выхода публикаций [16, 14] данные исследований такого рода в литературе не встречались. Это скорее всего было обусловлено ограниченными вычислительными возможностями персональных компьютеров. С ростом частоты, когда длина продольных и поперечных волн уменьшается, для обеспечения приемлемой точности требуются либо существенное увеличение разбиения [102] либо увеличение степени аппроксимации. Характеристики персональных компьютеров делали такой счет весьма затруднительным.

Помимо такой важной характеристики как коэффициент электромеханической связи существенной является также оценка добротности материала и моды колебаний.

Для исследования добротности исследуемых мод колебаний [30], в расчетах учитывается затухание в материале, которое вводится по модели Фой-хта; измерения параметров добротности Q\, Q^ осуществлялось в рамках проекта [57] для образцов, выполненных из ПКР-8. Для таких материалов были построены амплитудно-частотные характеристики (по амплитуде тока и амплитуде вектора решения в характерной точке), позволяющие оценить добротность возбуждаемых мод колебаний.

Основные публикации, отражающие содержание диссертационной работы [36], [40], [41], [42],[43], [44], [46],[73], [75] выполнены в соавторстве с научным руководителем Ю.А. Устиновым, сформулировавшим основные задачи, представленного исследования. Диссертанту принадлежит выбор метода, его модификация и реализация. Обсуждение результатов и подготовка публикаций осуществлялись совместно.

В работах [14]—[16] диссертанту принадлежит реализация модифицированного МКЭ, предложенного И.П. Гетманом. Автор благодарен В. К. Яценко за проведение физических экспериментов, позволивших оценить расчетные характеристики. Обсуждение результатов, выводы, подготовка публикаций проводились совместно.

Многомодульный конечно-элементный пакет ACELAN создан на кафедре математического моделирования коллективом ученых: О.Н. Акоповым, А.В.Белоконем, А.В. Еремеевым, К.А. Надолиным, А.В. Наседкиным, А.С. Скалиухом, А.Н. Соловьевым и др. Диссертантом была выполнена модификация модуля задания граничных условий [2], в том числе контактного типа [29]. Пакет использовался для осуществления оценки сходимости при реализации модифицированного МКЭ и традиционного.

Работы [86], [87], [88], посвященные разработке модификаций МКЭ, выполнены без соавторов.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность профессору Юрию Анатольевичу Устинову за поддержку и помощь.

6 Заключение

В диссертации исследованы задачи растяжения-кручения естественно-закрученного стержня и винтовой пружины, а также планарных колебаний пьезоэлектрической пластины с помощью метода конечных элементов.

1. Методом конечных элементов построено решение нетрадиционных вариационных задач, соответствующих случаю растяжения-кручения ЕЗС и винтовой пружины.

2. Разработана методика и получены эффективные алгоритмы построения локальных матриц репликацией минимальных блоков; построены аналитические выражения элементов блоков, позволяющие автоматизировать вычисление локальных матриц

3. Исследовано НДС в задачах растяжения-кручения. Рассчитаны элементы матрицы жесткостей в широкой области изменения параметра крутки и плотности витков.

4. Построены базисные функции, удовлетворяющие уравнениям колебаний пластины.

5. С их помощью получены элементы локальных матриц инерции и жесткости. Разработана методика модифицированного МКЭ.

6. Проведен анализ характеристик пластины, влияющих на эффективность возбуждения мод колебаний. Предложены формы нанесения разрезов на электродных покрытиях, обеспечивающие увеличение КЭМС, а также построены АЧХ с учетом потерь по модели Фойхта.

1. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Анализ собственных колебаний пьезокера-мических цилиндров произвольных размеров // Прикладная механика. 1989. Т. 25. № 10. С. 37-41.

2. Балабаев С. М., Ивина Н.Ф. Анализ преобразователей комбинированным методом конечных и граничных элементов // Акустический ж-л. 1996. Т. 42. № 2. С. 172-178.

3. Белинский Б. П. Об учете потерь в трансверсально-изотропной среде. // Акустический журнал. Т. 37. В. 3. 1991. С. 572-574.

4. Белоконь А.В., Надолин К.А., Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости // ПММ. 2000. Т. 64. № 3. С. 381-393.

5. Бердичевский В.Л., Старосельский JI.A. Изгиб, растяжение и кручение естественно закрученных стержней // ПММ. 1985. Т. 49. В. 6. С. 978-991.

6. Ватульян А.О., Гетман И.П., Лапицкая Н.Б. Об изгибе пьезоэлектрической биморфной пластины // Прикладная механика. 1991. Т. 27. № 10. С. 101-105.

7. Вибрации в технике. Колебания линейных систем. Т. I. под ред. Болотина В. В. М.: Машиностроение. 1978. 352 С.

8. И. Вовкодав И. Ф. Радиальные колебания тонкой пьезокерамической пластины с разрезными электродами // Тепловые напряжения в электрических констукциях 1975. В. 11. № 2. С. 85-89.

9. Воробьев Ю. С., Шорр Б. Ф. Теория закрученных стержней. Киев: На-укова думка, 1983. 188 С.

10. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир. 1984. 428 С.

11. Гетман И. П., Курбатова Н. В., Яценко В. К. Пьезоэлементы для трансформаторов вторичных источников питания и фильтров // Тезисы докладов н-т конференции "Теория и практика проектирования цифровой звуковой аппаратуры", Ростов-на-Дону. 1990. С. 91.

12. Гетман И. П., Курбатова Н.В. Об одном эффективном методе конечных элементов исследования планарных колебаний пьезоэлектрических пластин // Акустический журнал. 1994. Т. 40. № 4. С. 581-587.

13. Гетман И. П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону. Изд.: РГУ, 1993. 144 С.

14. Голуб Дж., Ч.Ван Лоуп Матричные вычисления. М: Мир, 1999. 548 С.

15. Гринченко В. Т., Карлаш В. JL, Мелешко В. В., Улитко А. Ф. Исследование планарных колебаний прямоугольных пьезоэлектрических пластин // Прикл. механика. 1976. Т. 12. № 5. С. 71-79.

16. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. Т. 2. 288 С.

17. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Б. Ф. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электроупругость. Киев: Наукова думка, 1989. 279 с.

18. Джанелидзе Г. Ю. Соотношения Кирхгофа для естественно скрученных стержней и их приложения // Труды Ленингр. политехи, ин-та, 1946. № 1. С. 23-32.

19. Джанелидзе Г. Ю., Лурье А. И. Задачи Сен-Венана для естественно скрученных стержней // Докл. АН СССР. 1939. Т. 24. № 1. С. 23-26.

20. Джанелидзе Г. Ю., Лурье А. И. Задачи Сен-Венана для естественно скрученных стержней // Докл. АН СССР. 1939. Т. 24. № 3. С. 226-228.

21. Джанелидзе Г. Ю., Лурье А. И. Задачи Сен-Венана для естественно скрученных стержней // Докл. АН СССР. 1939. Т. 24. № 4. С. 325-326.

22. Друзь А.Н., Поляков Н.А., Устинов Ю.А. Однородные решения и задачи Сен-Венана для естественно закрученного стержня // ПММ. 1996. Т. 60, В. 4. С. 660-668.

23. Друзь А.Н., Устинов Ю.А. К построению теории колебаний призматических и естественно закрученных стержней. В кн.: Математическое моделирование физических процессов и их свойства. Таганрог: Изд. ТГПИ, 1997. С. 42-43.

24. Друзь А. Н., Устинов Ю.А. Тензор Грина для упругого цилиндра и приложения его к развитию теории Сен-Венана // ПММ. 1996. Т. 60. В. 1. С. 102-110.

25. Ерофееев А. А., Проклин А.И., Уланов В.Н., Поплевкин Т.А., Ушаков А.А., Киселев С.Н. Пьезоэлектроника. М.: Радио и связь. 1994. 239 С.

26. Заметалина Н. П., Прокопов В. К. Напряженное состояние естественно скрученных стержней типа спиральных сверл // Изв. АН Арм. ССР, 1974. Т. 27. № 3. С. 3-9.

27. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

28. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.:Мир, 1986. С. 318

29. Ивина Н. Ф. Численный анализ собственных частот пьезоэлектрических пластин конечных размеров // Акустический журнал. 1989. Т. 35. № 4. С. 667-673.

30. Илюхин А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев. Наукова Думка, 1979. 216 С.

31. Каргин Д. П., Курбатова Н. В., Устинов Ю. А. Однородные решения и задачи Сен-Венана для винтовой пружины // ПММ. М.: Наука. 1998. В. 4. Т. 62. С. 641-648.

32. Корольков В. И. К решению задачи о растяжении естественно закрученного стержня произвольного поперечного сечения в трехмерной постановке // ПММ. 1988. Т. 24. В. 12. С. 113-115.

33. Космодимианский А. С. Ложкин В.Н. Обобщенное плоское напряженное состояние плоских пьезоэлектрических пластин // Прикладная Механика. 1975. В. И. № 5. С. 45-53.

34. Крылов В. И. Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы высшей математики, Минск. Т. 2. 1975.

35. Курбатова Н. В., Устинов Ю. А., Яценко В. К. Интегральные свойства пьезокерамических прямоугольных пластин // Тр. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды" Ростов-на-Дону. Издательство СКНЦ ВШ, 1999. Т. 2. С. 66-70.

36. Курбатова Н.В., Устинов Ю.А. Построение МКЭ решений для псевдоцилиндров // Тр. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Изд.: "Новая книга", Ростов-на-Дону. 2003. Т. 1. С. 91-95.

37. Курбатова Н.В., Кузнецова Н.М. О конечно-элементном моделировании изгибных деформаций // Тр. междун. школы-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете", п. Абрау-Дюрсо. 25-27 мая. 2005. С. 21-22.

38. Курбатова Н. В., Романова Н. М. Об анализе жесткости на изгиб естественно-закрученного стержня // Тр. X конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов н/Д. 2006. Т. 1. С. 172-176.

39. Курбатова Н.В. Об эффективной дискретизации вариационных задач // Сб. тр. III всероссийской шк.-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" Изд.: Терра Принт, 2007. С. 57

40. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое применение. Изд.: Иностранная Литература, 1949. 718 С.

41. Лавриненко В. В. Пьезоэлектрические трансформаторы. М.: Энергия, 1975. 111 С.

42. Мадорский В. В., Устинов Ю. А. Симметричные колебания пьезоэлектрических пластин // Изв. АН АрмССР. Сер. Механика. 1976. В. 29. № 5. С. 51-58.

43. Михлин М.Г. Вариационные методы в математической физике. М. Наука 1970 г.

44. Физическая акустика, под ред. У. Мэзона. М.: Мир. 1966. Т. 1. Ч. А.

45. Николаи Е. Л. Труды по механике. М.:ГИТТЛ, 1955. 583 С.

46. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. Пер. с англ. М., 1981.

47. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики и летательных аппаратов. М.: Высшая Школа. 1985. С. 392.

48. Орлов П. И. Основы конструирования. М.: Машиностроение. 1988. 842 С.

49. Отчет о НИР: Разработ. метод, мат. моделирования и оптимизации параметров пьзопреобразователей для систем диагностики, инв. № 02910036109, № гос. per. 01880036109. 1989. 66 С.

50. Отчет о НИР: Оптимизация конструкций пьезоэлектрических преобразователей. Анализ реакций пьезоэлементов на тепловой поток, per. № 01.9.20016391, инв. № 02.9.40003625 1993. 45 С.

51. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.:МГУ, 1995. 366 С.

52. Риз П.М. Деформация естественно закрученных стержней // Докл. АН СССР, 1939. Т. 23. № 1. С. 18-21.

53. Сахаров А. С. и Альтенбах И. А. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Под ред. Сахарова А.С. и Альтенбаха И.А. К.: Вища школа, 1982. 479 с.

54. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. «Классики естествознания». М.: Физматгиз, 1961. 518 с.

55. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов М.: Мир, 1979. 392 с.

56. Смажевская Е. Г., Фельдман Н. С. Пьезоэлектрическая керамика. М.: Совтское радио. 1971. 199 С.

57. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т. 1. М.: Физматлит 1960. 379 с.

58. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т. 2. М.: Физматлит 1965. 480 с.

59. Тимошенко С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1975. 561 с.

60. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. Наука. 1975. 575 с.

61. Тимошенко С. П., Теория упругости. Л.: Техн. теор. литерат. 1937. 451 С.

62. Уздалев А. И., Иноземцев Г. Г., Зубков А. В., Алахазова О. В. Напряженное состояние естественно закрученного стержня // ПММ. 1988. Т. 24. В. 14. С. 103-108.

63. Улитко А.Ф. К теории электромеханического преобразования энергии в неравномерно деформируемых пьезокерамических телах. // ПМ. 1977. В. 13. № 10. С. 115-123.

64. Устинов Ю. А. К обоснованию принципа Сен-Венана // Изв. Высш. уч. зав. Сев.-Кавк. per. 1994. С. 91-92.

65. Устинов Ю. А. Задача Сен-Венана для пружины. //Докл. РАН, 1995. Т. 345, № 5, С. 621-623.

66. Устинов Ю. А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Физмат-лит. 2003. 128 С.

67. Устинов Ю.А., Курбатова Н.В. Задачи Сен-Венана для стержней с физической и геометрической винтовой анизотропией // Изв. Вузов Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2001. Спецвыпуск, С. 154-157.

68. Bathe К. J. and E.N. Dvorkin D. E. A four node plate bending element based on Mindlin/Reissner plate theory and a mixed interpolation // Int. J. Numer. methods Eng. № 1. 1985. P.367-385

69. Beskos D. E., Michael A. Y. Solution of plane transient elastodynamic problems by finite elements and Laplace transform //Computers and structures. 1984. № 4. P. 695-701.

70. Hang Qi, Daining Fang and Zhenhan Yao. FEM analysis of electromechanical coupling effect of piezoelectric materials // Computational Materials Science. V. 8. I. 4. 1997. P. 283-290.

71. Hemsel and S. Priya. Model based analysis of piezoelectric transformers Ultrasonics // V. 44, Supp. 1. 2006. P. e741-e745.

72. Holland R. Contour extensional resonant properties of rectangular piezoeletric plates // Ieee Trans on Son and Ultrason. 1968. V. SU-15, № 4. P. 97-105.

73. Holland R., Eer Nisse E. Design of resonant piezoelectric devices // Cambrodge: MIT. Press. 1969. 257 P.

74. Hwang J.K. Choi C.H., Song C.K., Lee J.M. Identificationof a thin plate with piezoelectricactuators and sensors // Trans. ASME. Jornalof vibration and Acoustics. 1998. № 3. C. 826-828.

75. V. L. Karlash. Electroelastic vibrations and transformation ratio of a planar piezoceramic transformer // Journal of Sound and Vibration, V. 277.1. 1-2, 2004. Pages 353-367.

76. Y. Kerboua, A.A. Lakis, M. Thomas and L. Marcouiller. Hybrid method for vibration analysis of rectangular plates // Nuclear Engineering and Design. V. 237. I. 8. 2007. P. 791-801.

77. Natalya V. Kurbatova. On the FEM aproach for pceudocylinder // XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics"St.Peterburg, Russia, 2003. P. 64.

78. Natalya V. Kurbatova. On a stretching-torsion of a naturally twisted rod // Book of abstracts of XXXIII Summer School "Advanced Problems in Mechanics". Repino. Saint-Petersburg. Russia. 2005. P. 59.

79. Natalya V. Kurbatova. On the FEM digitation the problem of a naturally twisted rod bending by cutting force // Book of abstracts of XXXV Summer School "Advanced Problems in Mechanics". Repino. Saint-Petersburg. Russia. 20-28 june, 2007. P. 74

80. Lagasse Paul E. A finite-element analysis for the piezoelectric elastic waveguides. // Ieee Trans on Son and Ulltrason. 1973. V. SU-20, №4. PP. 354-359.

81. Lankalapalli S., Flaherty J.E., Shephard M.S. and Strauss H. An adaptive finite element method for magnetohydrodynamics // J. of Computational Physics, V. 225(1). 2007. PP. 363-381.

82. Lloyd P., Redwood M. Finite-difference method for the investigation of the vibration of solids and evaluation of equivalen circuit characteristics of the piezoelectric resonators // P. I and II. J. Acpvst. Soc. AM, № 39. 1966. P.346-361.

83. Oden J. Т., Brauchli H. J., On the calculation of consistent Stress distributions in finite element approximations // Intern, for numerical methods in Engineering, 3 PP. 317-325. 1971.

84. Ovunk B. In plane vibration of plates by continual mass matrix method // Computers and structures. 1978. № 8. PP. 723-731.

85. Theodore H. H. Pian State-of-the-art development of hybrid/mixed finite element method // Finite Elements in Analysis and Design 1995. V. 21. PP. 5-20.

86. Trefftz E. // Verhandl, des 2. Internat. Kongresses fur technische Mechanik. Zurich, 1926, 12-17 Sept. Zurich Lpz., 1927. PP. 131-137.

87. Usik Lee and Joohong Kim. Dynamics of elastic-piezoelectric two-layer beams using spectral element method // International Journal of Solids and Structures. V. 37. I. 32. 2000. P. 4403-4417.

88. Ustinov Yu. A. Application of the Spectral Theory of Operators to Solvingof the Saint-Venant's Problems for Pseudocylinders // 15th IMACS W. Congr. on Scientific Computation, Modelling and Appl. Math. 1997. V. 2. PP. 669-674.

89. X. D. Wang and G. L. Huang. The electromechanical behavior of a piezoelectric actuator bonded to an anisotropic elastic medium // International Journal of Solids and Structures. V. 38. I. 26-27. 2001. P. 4721-4740.

90. Zupei Yang, Xiaolian Chao, Rui Zhang, Yunfei Chang and Yaoqiang Chen. Fabrication and electrical characteristics of piezoelectric PMN-PZN-PZT ceramic transformers // Materials Science and Engineering: В, V. 138. I. 3. 2007. P. 277-283.

91. Jian-Wu Zhang, Wilfried B. Kratzig. A simple four noded quadrilateral finite element for plates // Finite Elements in Analysis and Design. V. 19. 1951. PP. 195-207.