Применение асимптотических методов нелинейной механики в решении задач динамики систем, характеризуемых продольным движением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННИК УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Т.Г.ШЕВЧЕНКО

ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ СИСТЕМ, ХАРАКТЕРИЗУЕМЫХ ПРОДОЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук .

На правах рукописи

УДК 517.9:534.111

Киев - 1991

Работа выполнена на кафедре теории оптимальных процессов Львовского государственного университета им.И.Франко

НАУЧНЫЙ ШОВОдаТЕЛЬ: - кандидат физико-математических наук,

. доцент А.Ф.БАРВШШЙ

ОФИЦИАЛЬНОЕ ОППОНЕНТЫ: - доктор физико-ыатеме/ическнх наук,

. профессор-Е.А.ГРЕБЕШКОВ

- кандидат физико-математических наук А.И.СКРИПНИК

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ^ - Белорусский государственный университет

им.В.И.Ленина (г.Минск)

Защита состоится _1991 г. в ^ ^ часов

н^ заседании специализированного совета К. 068.18.II в Невском ордена Ленина и ордена Октябрьской революций государственном-университете им.Т.Г.Шевченко

(2Б2127, Киев-127, проспект Акад.Глушкова б, механико-математический факультет КГУ, ауд,42).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Киевского государственного университета иы.Т.Г.Шевченко.

Автореферат разослан " _1991 г,

и?

Ученый секретарь ' специализированного совета

ОБЩАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность темы. Одним из важных применений теории дифференциальных уравнений являются исследования колебательных явлений в различных системах. При этом значительное место занимают исследования, связанные с решением нелинейных задач, так как линейная теория не в состоянии дать ответы на принципиально важные вопросы, возникающие при изучении реальных динамических систем.

Среди методов, применяемых при решении нелинейных задач, особого внимания заслуживают асимптотические методы нелинейной механики, которые разработаны и строго обоснованы Н.М.Крыловым, Н.Н.Боголюбовым, Ю.А.Митропольским и развитые в последствии их учениками и последователями, среди которых следует отмг.тить известных ученых Г.С.Писаренко, А.Ы.Самойленко, В.М.Волосова, Е.А.Гребеникова, Ю.А.Рябова, Н.И.Шкиля, В.А.Гробова. В.И.Фодчука, В.П.Рубаника, Г.П.Хомн, Б.И.Мосеенкова и др.

Реферируемая диссертационная работа посвящена развитию идей асимптотических методов Крылова-Боголюбовэ-Митропольекого применительно к решению краевых задач, описываемых квазилинейными дифференциальными уравнениями гиперболического типа со смешанной производной по координате и времени в линейной части. Зти уравнения могут быть отнесены к общим квазилинейным дифференциальным уравнениям второго

или четвертого порядка

(2)

- *> * 1Г' т> .>

где и= и(х,-£), ЦГ= - функции перемещений; X. - прост-

ранственная координата; -£ - время; £ - малый положительный параметр; Г= 6± - "медленное" время;£(т)} с£{т), Ъ(Х) У(Х) ' медленно изменяющиеся коэффициенты;

Ч> ... , извесТ1Ш(5« в о!5що»л случае

нелинейные, аналитические, IX -периодические по У функции.

Наличие в линейной части уравнений (I), (2) смешанной производной по координате и времени исключает возможность классического разделения переменных и, таким образом, не позволяет использовать для изучения данного класса квазилинейных дифференциальных уравнений асимптотические решения, предложенные Ю.А.Митропольским и Б.И.Мосеенковым .(Асимптотические решения уравнений в частных производных, - Киев: Наукова думка, 1976. - 592 е.). В дальнейшем эти уравнения будем называть уравнениями с классически неразделяю-щимися переменными /КНП/.

При определенном выборе коэффициентов и правых частей дифференциальные уравнения (I), (2) описывают колебательные явления в одномерных механических системах при действии подвижных распределенных инерционных нагрузок, учете геометрической или физической нелинейности, и медленного изменения параметров систем. Примерами могут служить колебания движущихся волокон и нитей, приводных ремней и цепей, магнитных или бумажных лент и т.п. Толчком к интенсивному изучению динамики механических систем при действии равномерно распределенных подвижных нагрузок явилось широкое использование ленточных пил, трубопроводов различного назначения, высокоскоростной навивки волокон.

Следует отметить, что для механических систем с распределенными параметрами, характеризуемых продольным движением, не существует методов, позволяющих с единых позиций изучить протекающие в них динамические процессы с учетом медленного изменения параметров ¡этих систем, геометрической и.физической нелиней-ностей, нелинейности краевых условий.

Таким образом, проблема развития идей асимптотических методов нелинейной механики применительно к решению краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений с КНП является достаточно актуальной.

ЦеДь работы - развитие идей асимптотических методов Крыло-ва-Боголюбова-Митропольского для построения решений краевых аадач, позволяющих с .необходимой степенью приближения исследовать одночастотные и многочастотные колебания в возмущённых системах автономного или неавтономного типа, которые описываются квазилинейными дифференциальными уравнениями второго или четвертого порядка с классически нераз деля п'цимися Нерешенными для

случаев линейных и нелинейных' краевых условий, а также медленного изменения параметров систем;

- исследование влияния скорости транспортирования на собственные и вынужденные колебания'механических систем, характеризуемых наличием продольной подвижной инерционной нагрузки, с учетом геометрической или физической нелинейностей.

Научная новизна. Построены решения краевых и смешанных задач для соответствующих (I), (2) линейных И=0 ) дифференциальных уравнений в частных производных с КНП. Установлены условия устойчивости линейных колебаний. Сформулированы и доказан!• теоремы об ортогональности собственных Функций краевых задач. Построены с необходимой степенью приближения асимптотические решения краевых задач, возникающих при исследовании одночастот-ных и многочастотных режимов колебаний возмущенных систем автономного или неавтономного типа и описывающихся квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка с КНП, линейными и нелинейными краевыми условиями. Построёны асимптотические решения краевых задач, позволяющие с необходимой степенью приближения исследовать одночастотные колебания в возмущенных системах автономного типа с запаздыванием по времени, которые описываются квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка с КНП и линейными краевыми условиями. На примере исследования нелинейных колебаний пластины, движущейся вдоль одного из своих измерений, показана возможность построения асимптотических решений краевых задач, описываемых двумерными квазилинейными дифференциальными уравнениями четвертого порядка с КНП. При исследовании колебаний нелинейных механических систем с распределенными параметрами, характеризуемых продольным подвижным элементом, установлена существенная роль гипотезы демпфирования колебаний, принятая при построении математической модели системы.

Методы исследования базируются на основных положениях теории асимптотических методов Крылова-Боголюбова-Митроцольского, дифференциальных уравнений, численных методов и линейной алгебры.

Достоверность основных научных результатов обеспечивается строгим математическим доказательством сформулированных теорем, сравнением результатов с имеющимися в научных публикациях данными, полученными по другим методам.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты позволяют с единых позиций исследовать одночастотные и много-часготше рекнмы свободных и вынужденных колебаний одномерных и двумерных механических систем с распределенными параметрами, характеризуемых наличием продольной подвижной инерционной на- . грузки," при учете геометрической или физической нелинейности, а также медленного изменения параметров системы. Разработанный на основе выполненных исследований, комплекс программ на языке Фортран может быть применен в расчетно-конструкторских работах проектных организаций, Ш'.И и КБ при проектировании де.алей магии, приборов и строительных конструкций различного назначения. Результаты работы используются при проведении научно-исследовательских работ, при чтении спецкурсов, при выполнении курсовых и дипломных работ на кафедре теории оптимальных процессов Львовского госуниверситета и кафедры высшей математики Львовского политехнического института.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 1У Международной конференции по дифференциальным уравнениям и применениям /г.Русе, Болгария, 1989 г./, на Всесоюзной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики /г.Тернополь, 1989 г./, на 1У Всесоюзной конференции по управлению в механических системах /г.Львов, 190Э г./, на ХУ республиканской конференции по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем /г.Каменец-Подольский, 190? г./, на 1У и У1 Всесоюзных школах-семи-парах "Распараллелигание обработки информации" /г.Львов, 1983 и 1907 гг./, на республиканской научно-технической конференции "Применение вычислительной техники и математических методов в научных и экономических исследованиях" /Шацк, I98Q г./, на ежегодных научных конференциях Львовского госуниверситета /19831990 гг./, научных семинарах кафедры теории оптимальных процессов Львовского университета /1901-1990 гг./.

Диссертационная работа в целом обсуядалась t'a проблемном научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Киевского госуниверситета /г.Киев, 1990 г./.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в статьях и тезисах докладов конференций [I - 12J .

Итоги отдельных этапов работы представлены в научно-техническом отчете Лъвовского госуниверситета за 1981-65 гг. /ВНТИЦ, Инв. » 02.860031048/.

Структура и обьен работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Она содеряит 147 страниц машинописного текста. Библиографический список состоит из 130 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОИ

Во введении кратно анализируется состояние проблемы применения асимптотических методов Крылова-Боголюбова-Митропольского к решению задач динамики механических систем с распределенными параметрами; обосновывается важность и актуальность вопросов, составляющих предмет исследования. Дана аннотация диссертации по главам и параграфам.

В первой' главе приводятся решения краевых и смешанных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и четвёртого порядка с' классически нераэделяющи-мися переменными /КНП/. Эта глава носит вспомогательный характер, но может представлять и самостоятельный интерес.

в № 1.1 построены решения краевых задач, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с КНП вида

(з)

и линейными однородными краевыми условиями

*0, x=t

(4)

: *=о

где Л, & - некоторые действительные постоян-

ные, причем о6уО) , (¿ = г), ¿в1- О.

Решение краевой задачи (3), (4) имеет вид

где функции "/¿«(х) (к* ) представляют собственные

формы колебаний, - собственные частоты; - постоян-

ные, определяемые из начальных условий. При атом имеет место Теорема 1.1.1. Автономию динамические системы с распределенными параметрами, которые описываются линейным дифференциальным уравнением (3) и краевыми условиями '14) имеют устойчивые колебания только в случае выполнения условия (¿мй)*-(</.1<?ъ)*, а их собственные частоты и)* (к =• ^ ¿у..) выражаются формулой

со«, если ил U, ¿1 (6)

1 f fi1—

или определяются из трансцендентного уравнения

Ы di^M^è = ,если (?)

--:-, __-,

ci^jo) jaa>+ "fa У*1"w + ^ - ¿(и))- ^--f^lA'-W)*^

По классической схеме разделение переменных определить постоянные а* и fe (к- невозможно, так как в общем

случае функции и %х(х) не ортогональны. Для случая

¡¿¿-<¿¿ = 0, условие ортогональности собственных функ-

ций выражает

Тор репа 1.1,2. Собственные функции 1 (х) и

фИ1 (х)» (х) +1 }fitri(х) , отвечающие собственным частотам и)п и a)tti I ортогональны На промежутке ГО; ¿7 с весом р (х) т.е. - '

Р <х)Фл(*)<2ъ(х ^х = J £/ Г 16)

Jjn.m л т [ /¿ > если « = т.

где '

Решении смешанных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с КНП (3) посвящен § 1.2. Вначале, для

решения смешанной задачи используется адаптированный метод характеристик /п.1.2.1/. Показано, что из-за "градиентной катастрофы", этот метод может применяться только на. начальных промежутках времени развития колебательного процесса. Поэтому, для нахождения устойчивых решения смененной задачи на всем промежутке времени, разработан метод специальной ортогонолиза-ции, который базируется на использовании формулы (8). Применение этого мотода приводят к необходимости решать безконечную си'стему линейных алгебраических уравнений. Необходимые и достаточные условия разрешимости, получаемых систем безконечного порядка, сформулированы в п.1.2.2. •

В §1.3 построены решения краевых задач, которые описываются линейным дифференциальным уравнением с КНП четвертого порядка вида

и краевыми условиями

■иг(о, = иг(<,1)=0-, К) = ё)=0. (ю)

При выполнении условия У1(т)-№(г)#г)ш0 (II)

получены выражения для собственных функций и собственных частот краевой задачи (9), (10) в аналитическом виде. Показаны основные случаи упрощения уравнения (9) с целью удовлетворения условия (II). В общрш случае /т.е. условие (II) не выполняется/ предло-,жен 'численный метод приближенного определения собственной частоты и собственных функций краевой задачи (9), (10).

Вторая глава диссертационной работы посвящена развитию асимптотических методов Крылова-Боголюбова-Митропольского применительно к решению класса краевых задач, которые описыпаются квазилинейными дифференциальными уравнениями второго или четвертого порядка с КПП, возникающих при исследовании одночастотных или многочастотных колебаний возмущенных систем автономного и.1ц неавтономного типа для случаев линейных и нелинейных краевых условий, а также медленного изменения параметров колебательных систем.

- 10 -

В §2.1 построены асимптотические решения краевых задач, описываемых квазилинейными дифференциальными уравнениями (I) при О и краевыми условиями (4). Такие задачи возникают при исследовании одночастотных режимов колебаний в возмущенных системах автономного типа.

Решение краевой задачи строится в виде асимптотического

ряда

ОО.

аШ*)со!>у + Г] + Щи.; (х,т, <х, ч>), (12)

гдр % (я)сся¥+ V - решение соответствующей невозму-

щенной ( £ = О) краевой задачи, Щ(х,т,а,У) - неизвестные - периодическио по V функции. Параметры а и у определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений

,, . (13) ^=,ш(т)+£В1(г,(Х) + е%(г1а)+ ... ,

где U)(t) - собственная частота невозмущенной (¿ = 0) краевой задачи, ¿4у(г,а), д;(С,а) Л,...) - неизвестные функции.

Подставляя разложение (12) с учетом (13) в уравнение (I) при о и сравнивал выражения при одинаковых степенях £ , получаем цепочку уравнений для нахождения }-я. составляющих асимптотического решения (12)

_ у , &■) саГ - $ Ц-, б/)ль. г,

где > ^ > «5}' - определенные выражения, содержащие неизвестные функции. Согласно (12), (4) функции ^¡(х^сьУ) (¡=1* ...) должны удовлетворять краевым условиям ' ' ■ '

Показано, что уравнения (14) и краевые условия (15) допуск*

- II -

ют последовательное определение неизвестных функций

и!(х,г,а.Ч'),'*/(г,л), 3;(т,а) (/* / г,...;.

Построению асимптотических решений краевых задач, возникающих при исследовании одночас.тотных режимов колебаний возмущенных систем неавтономного типа, которые описываются квазилинейным дифференциальным уравнением.(I) и линейными краевыми условиями (4), посвящен $ 2.2. Асимптотическое разлояение И(х,-б) представляется в виде

где Ух (х)сав+ Чъ(х)Ык О - решение соответствующей невозмущенной (<5 = 0) краевой задачи, 6>= V, ^ (х,с, а, 9) - неизвестные, ЯЛ - периодические по в функции. Параметры а. и У

определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(17>

«X = и)(т)- )>(г) + сбд(г,а, V) + ¿лв1 (С,а,г)+-- > (И

где (¿(к) - линейная собственная частота; )>(т)= ;

оС-6

Л/-{т1а,Г), 5](г)а/Г) -неизвестные,

IX - периодические по V функции. Б § 2.2 реализован алгоритм определения неизвестных функций б/с^ч')^^...).

Развития асимптотических методов Крылова-Боголюбова-Митро-польского для решения краевых задач, позволяющих с любой степенью приближения исследовать одночастотше колебания в автономных системах с запаздыванием по времени, которые описываются квазилинейными дифференциальными уравнениям)! вида

/здесь Д - некоторая действительная положительная постоянная/ и линейными краевыми условиями (4) посвящен § 2.3. »

В § 2.4 при помощи асимптотических методов нелинейной механики исследуются одночастотныа режимы колебаний автономных сис-

тем, которые описываются кваэилинеШыми дифференциальными уравнениями вида (I) при у»с? и нелинейными краевыми условиями

>

х=о

(Т9)

где 5'(эс,г, (п-^,1) - известные аналитичес-

кие функции своих аргументов.

В ? 2.5 отмечается, что по методике изложенной я §52.1-2.4 могут быть получены решения краевых задач для квазилинейного дифференциального уравнения (2). При этом, на примере исследования свободных нелинейных колебаний пластины, движущейся вдоль одного из своих измерений, показана возможность применения асимптотического метода Крылова-Боголгабова-Митропольского для решения краевых задач, которые описываются двумерны?.:и квазилинейными дифференциальными уравнениями четвертого порядка с КНП.

В § 2.6 построены асимптотические решения краевых задач, описываемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка с КИП и линейными краевыми условиями (4), которые возникают при исследовании многочастотных режимов колебаний в возмущенных системах неавтономного типа.

В третьей главе иллюстрируется эффективность применения разработанной методики решения краевых задач для .квазилинейных дифференциальных уравнений с КНП при исследовании динамических процессов в некоторых механических системах с распределенными параметрами, характеризуемых продольным подвижным элементом.

В § 3.1 изучаются свободные геометрически нелинейные колебания струны, движущейся вдоль своей оси, которые описываются безразмерным дифференциальным уравнением вида

где р) - безразмерное перемещение, £ - безразмерная осевая координата, {? - безразмерное время, р - безразмерная скорость движения струны, ¿Г - безразмерное начальное натяжение струны (оГ-<< £).

- 13 -

Сделанный в п.3.1.1 и 3.1.2 анализ линейных собственных колебаний струны позволяет утверждать, что скорость продольного движения струны дана в линейном случее существенным образом влияет на характер протекания колебательного процесса по сравнению с неподвижной струной.

Б первом асимптотическом приближении (п.3.1.3) определен безразмерный период 7* £ -тона колебаний

где а - безразмерная амплитуда колебаний. Проведенное для основного тона колебаний сравнение результатов,получаемых по формуле (21), с известными численными расчетами по методу характеристик, показывает их хорошее совпадение.

В § 3.2 исследуются стационарные и переходные речимы вынужденных поперечных колебаний струны, дви;кущейся вдоль своей оси, при учете геометрической нелинейности и внешнего затухания.

Установлено, что скорость продольного движения струны оказывает демпфирующее влияние на характер протекания колебательного процесса.

Вынуаденше продольные колебания ленты, движуч&Пся с постоянной скоростью вдоль своей оси при учета рассеивания енергип в материале, исследуются в 5 Р.З. Построенные резонансные кривые показывают, что для высоких скоростей двикения ленты (скорости соизмеримые с скоростью распространения упругой волны) наблюдается значительное по сравнению с неподвижной лентой, увеличение амплитуды колебаний и смещение пиков резонансных кривых влево.

ОСНСВШВ РЕЗУЛЬТАТУ ДИССЕРТАЦИИ

*

1. Построены решения краевых и смешанных задач для линей- • ных дифференциальных уравнений в частных производных с классически неразделягощимися переменными второго и четвертого порядков, Установлено, что по сравнению с уравнениями с классически разделяющимися переменными, характер решений краевых и сметанных задач для уравнений со смешанной производной по координате и времен)? может существенно отличаться даже в линейном случае.

2. Асимптотический метод Крылова-Боголюбова-Митропольсхого ряавит применительно к решению с необходимой степенью приблике-

ния класса краевых задач, возникающих при исследовании одночас-тотных колебаний возмущенных систем автономного или неавтономного типа и описывающихся квазилинейными дифференциальными уравнениями с классически неразделяющимися переменными второго порядка и линейными или нелинейными краевыми условиями.

3. Построены асимптотические решения краевых задач, которые описываются квазилинейными, дифференциальными уравнениями с классически неразделяющимися переменными второго порядка и линейными краевыми условиями, позволяющие с необходимой степенью приближения исследовать одночнстотные колебания в возмущенных системах автономного типа с залаздыванием по времени.

4. Идеи асимптотических методов нелинейной механики развиты применительно к решению краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений с классически неразделяющимися переменными второго порядка, которые возникают при исследовании миогочастот-. ных режимов колебаний возмущенных систем неавтономного типа.

5. Построены в первом приближении асимптотические решения краевых задач, которые встречаются при исследовании нелинейных колебаний пластины, движущейся вдоль одного из своих измерений, и очйсываютсл двумерными квазилинейными 'дифференциальными уравнениями второго порядка с классически неразделяющимися переменными и линейными краевыми условиями.

0. Исследованы- динамические процессы в некоторых механических системах с распределенными параметрами, характеризуемых продольным подвижным элементом. Установлено, что высокие скорости транспортирования-продольного подвитого элемента существенным образом влияют на характер протекания колебательных процессов.

Основные результаты диссертации изложены в работах:

1. Барвинский А.Ф., Дудзяный'И.М. Нелинейные продольные колебания балки с изменяющимися параметрами //Вестн.Львов, ун-та. Сер.мех.-мат. - 1980. - Вып.16. - С.75-80 /на укр.лз./.

2. Барвинский А.Ф., Дудзяный И.М; 0 собственных колебаниях к системах п распределенными параметрами, которые описываются одним нелинейным уравнение..! с частными производными второго порядка //Вест.Львоп.ун-та. Сер.мех.-мат. - 1901. - Вып.Г/. -

С.28-33 /на укр.яа./.

3. Барвинский А.Ф,, ДудЗяный И.М. О реализации на ЭБМ асимптотических решений краевых задач для квазилинейшх дифференциальных уравнений с классически неразделяемымися переменными // Четвертая Всесоюзная школа-семинэр "Распараллеливание обработки информации", Львов, 4-10 апр. 1903 г.: Тез.докл. и сообщ., часть 3. - Львов, 1983. - С.64.

4. ДудзяныЛ И.М. Резонансные колебания струны, движущейся • вдоль своей оси, при учете затухания //Вест.Львов.ун-та. Сер. мех.-мат. - 19®. - Вып.23. - С. 15-19 /на укр.яз./.

5. Барвинский А.Ф., Дудзяный K.M. Ii исследованию чынукден-ных нелинейных колебаний струны, движущейся в продольном направлении /Львов.ун-т. - Львов, 1965. - 12 с. - Деп.в УкрШШЛИ 29.04.1985, № 859 - Ук85.

6. Барвинский А.Ф., Дудзяный И.М. Применение асимптотического метода к исследованию нелинейных колебания пластины, движущейся вдоль одного из своих измерений /Львов.ун-т. - Львов, 1985. - II с. - Деп. в УкрКШКТ)! 29.04.1985, № 8С0-УкЭ5.

7. Дудзяный И.М. Организация параллельных вычислений при решении смешанных задач, которые описываются одним квазилинейным дифференциальным уравнением с классически неразделягощимися переменными //Шестая Всесоюз.шк.-семинар "Распараллеливание обработки информации", Львов, 18-23 мая 1987 г.: Тез.докл. и сообщ. Часть I. - Львов, 1907. - С. 103-104.

8. Дудзяный И.М. Исследования автономных квазилинейных колебательных систем с запаздыванием //Шестая Всесоюз.конф. по управлению в механич.системах, Львов, 26-28 апр. 1988 г.: Тез. докл. - Львов, 1903. - С.53.

'9. Дудзяный И.М. Применение асимптотических методов для исследования механических нелинейных систем при действии подвижных нагрузок //Респуб.научно-техн.конф. "Применение вычислительной техники и математических методов в научных и экономических исследованиях", Шацк, 12-17 сент. 1988 г.: Тез.докл. - Киев( 1988.- С.29-30.

10. Дудзяный И.М. Исследования свободных колебаний в динамических системах с распределенными параметрами при учете геометрической нелинейности /Львов.ун-т. - Львов, 1989. - 22 с.-Деп. в УкрНИШГШ I.02.1989, № 458-Ук89.

-16 -

11. Барвинский А.Ф., Дудзяный И.Ы. О влиянии несовершенной упругости материала на колебания механических систем с подвижной инерционной нагрузкой*// ХУ республиканская конф.;по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем, Каменец-Подольский, 23-25 мая 1989 г. ¡ Тез.докл. - Киев, 1989. - С. 10.

12. Барвинский А.Ф., Дудзяный И.Ы. Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений с классически неразделяющимися переменными // Четвертая МевдуНар.конф. по дифференциальным уравнениям и применениям, Русе, Болгария, 13-19 авг. 1989 г.: Тез.