Методы сравнения в нелинейном анализе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

:АНКТ-ПЕТЕРБУ1>ГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На пранах рукописи УДК 517.0

ЮСКРЕСЕНСЖИЙ ЕВГЕНИЙ ВИКТОРОВИЧ

МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНОМ АНАЛИЗЕ

01.01.11 —системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРВУРГ 1992

забота выполнена на ка^ре прикладной математики ..ирдовского государственного ¿шверситета имени Н.И.игарек

Научный консультант:

- члсн-корр. РАл В.д.ьуйов

»л^ицдальнке оппоненты:

- доктор ихзико-штиматйческис наук, профессор К.Г.^Залеев (Киев)

- доктор (¿изико-штешткчсс!»^ наук, профессор ¿1.14.лирик (оаккт-истербург)

- доктор (¿лзи:ю-;.1атеыатцческих наук, профессор ь.А.^овдратьев («Юсква)

1«дуцая организация - нижегородский государственный университет шени и.п.Лобачевского

йа!дкта состоится " 2а " 1Э&? года

в /У часов на заседании специализированного совета Д-063.57.^3 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10 линия, дом 33,

ауд.

С диссертацией мо-лю ознакомиться в фундаментально! библиотеке СШУ ни. А.Л.Горького (Санкт-Петербург, Универ ситетская наб., д. 7/9).

Детореферат разослан " Ученый секретарь специализированного совета ^"¿¿^¿¿¿^/¿^ А.И.Жабко

ОБЩАЯ ХАРАКТЛ'ЛС'ШКА РАН) ТЫ

• Акжуалыюсть теин. Проблемы управляемости систем и стаби-вгаацвх программных движений являются важнейшими в теория автоматического управления. Математические основы их решения бшш говданы Р.Калийном, Н.Н.Красовским, В.И.Зубовым и другими. Как ювестно, существует большое число различных видов управляеыос-гк за конечное время. В работах В.И.Зубова, автора и других рассматривается понятие управляеиосм системы за бесконечное зремя. Что это означает для реальной системы? Пусть точка Хо [ереводнтся за бесконечное время в точку х, управлением U^Ko, x(t: 0,X0,U) - соответствующее программное движение. Тогда |tm Х$г0,Хв,и)*: Xj . 0*свда следует, что для любого б^О уцествует Т=Т(б,и)>0 такое, что |x(ti0,Хв,ц)-Х||<£ лк только t >Т . Другбкп словами, двяяущаяся точ!са, начн-ая о некоторого момента времени Т , попадает в £ -окрест-ооть точи н огтуда не выходит пра всех t УГ . Именно рабованиа невыхода из некоторой окрестности точки Xt встре-25тел во ккогах задачах небесной кгхапзкд.

Цусть програггшое управление для некоторой системы -Up(t), этороо первоначально определено, напршер, экспериментально, рэдпхгагам, это управление корректируется функцией ve Ко так, го повое программное управление имеет вид Up(t)+V . Пусть эоя»ТСЕзук;о9 программное движение - Xp(t) . Здесь важное прак пчесиоо эначенае имеет задача о стабилизация программного дви-эпня Хр (t) . В сущности все практические задачи об управля-зэстд за бесконечный промежуток времени включают в себя эту роблецу. Здесь функцию V нудно подобрать такую, чтобы дви->няе XP(t) бнло устойчивым в том или ином смысле, например, Xp(t) - устойчиво по Ляпунову.

Решение всех этих задач требует знания асимптотических свойств решений уравнения движения. Поэтому в работе первоначально создана новая теория асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений с негладкой правой частью. В пей на основе принципа сравнения дальнейшее развитие получил первый метод Ляпунова. Однако в качестве уравнения сравнения здесь используются не только ликейные однородные дифференциальные ура» нения. Решения сравниваются с эталонной функцией, которая не обязательно является экспонентой. Задачи управляемости за бесконечней промежуток времени решаются сведением к задаче Чезар В последней главе изложите результатов ведется в общих матема тических структурах. Поэтому результаты можно применять для ре тения аналогичных задач управляемости и стабилизация не только детерлинированных процессов.

Новизна габоты. Все результаты являются новыми я голучеш для классов уравнений, в которых ранее аналогичные задачи не рассматривались. Впервые решены задачи управляемости для новы: классов систем с неопределенными динамическими свойствами в к нечный момент движения и за бесконечное время движения.

Исследование проблем асимптотической эквивалентности семейств эндоморфизмов и сюрьекций проведено впервые.

Развитые в работе методы отличается от использовавшихся ранее и дают новые результаты не только для уравнений двялена которыми являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Он могут быть использованы для изучения асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений в частных производных, ди{ ференци&льных включений и т.д.

Цели работы. Создание новой теории асимптотического янте рирования дифференциальных уравнений (уравнений движения) о

■ .- 5 -

негладкой правой частью. Исследование асимптотических свойств решений возмущенных линейных уравнений.

Решение задачи о существовании асимптотического равновесия (задачи Чезари) для новых классов возмущений.

Исследование асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра.

Решение задача об управляемости для случая, когда в конечный момент движения динамические свойства объекта неизвестны.

Решение задачи об управляемости системы с линейными крае-вши условиями.

Решение задачи синтеза управления.

Исследование асимптотических свойств семейств эндоморфизмов Е сюрьекций.

Методы доследования. Созданные методы асимптотического интегрирования являются развитием методов А.М.Ляпунова, л.Г.Петровского, Д.М.Гробкана, В.А.Якубовича, Н.Левинсона, Ф.Брауера, Ю.Като и других. Решение задач об управляемости опирается на фундаментальные результаты В.Й.Зубова, Н.Н.Красовского, В.М.Матросова и др.

Практическая ценность. Полученные в диссертации методы позволяют на ранней стадии проектирования систем автоматического регулирования аналитически построить программные управления, получить асимптотические формулы для программных движений, обосновать параметры систем, провести оценку точности расчета этих параметров при решении задач устойчивости и стабилизации.

Апробация работы. Основные результаты диссертация доложены

на:

I) Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Самарканд - 1972, Рязань - 1976, Иркутск - 1986, Рига - 1989);

2) Всесоюзном совещании "...етодц ;.;а.ого параметра" (Нальчик -1887);

3) У Четаевской конференции (Казань - Ii87);

4) Международной научной конференции (Самара - 1992);

5) У111 Конференция по КТДУ Содружества Независимых Государств (Самарканд - 1992);

6) на семинарах по дифференциальным уравнения!.! и теории управления («СУ, ЛГ/, Рига, Кш-шнев, Н.Новгород, Самара, Минск - 1972 -IS92 г.г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в одноименной монографии и в одиннадцати работах.

Структура и объем работы. В качестве диссертации представляется одноименная монография на 224 страницах, состоящая из введения и четырех глав.

содьканшз ¿¿ССЕРТАЦ-Л

В предлагаемом исследовании первоначально в общей постановке вопроса решается задача о приближении к решениям данного дифференциального уравнения с пимоцыс решений другого, известного диффере нциа льного уравнения. Часть результатов относится к <1>ункционально-диф)«х»1Щ'1ал(>нкм уравнениям, часть - к дифференциальным уравнениям, зависящим от малого параметра (в том числе -к сингулярно возмущен.!'!^). Изложена общая теория метода для семейств эндоморфизмов и сюрьекций в абстрактных векторных расслоениях В.1'.1.<.1илляонщикова. Полученная теория асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений приложена к решению задач управляемости. В частности решена линейная задача управляемости в общей постановке вопроса.

Перейдем к изложению содержания работы.

Во введеши дан обзор литературы и содеркания диссертации.

- 7 -

Глава I. [1-4, ю] Здесь рвения ураваен..я

где {€С(3), <£ = [т,+«)X^Д(•):[т,+со) — Нот (О*)-

непрерывное отображение, сравниваются с решениями уравнения

АО)»- <»

В §7 уравнение (I) является фушад:опально-дифференциа.:ьшлл.

В первом параграфе получены асимптотические Сормули, которые связывают реше1шя уравнений (I) и (2). Здесь отношение эквивалентности не задается, но полученные формулы можно применять, заменяя решештя уравнения (I) решенняш уравнения (2), если практику устраивает асимптотическое соотношение

х(МоДе) = у(1:1о,уо)+о(11УШ1|) (3)

про -*■*«> , где ~ фундаментальная матраца уравнения (2),

У^М/Ш), ц-Р,

Х0=1>+ 5(Б, X (5 с, Хс>) с1 э. (4)

tв

Эти результаты носят предварительный характер и используются в дальнейшем.

Второй параграф содерсшт результаты, обеспечивающие асимптотическую эквивалентность уравнений (I) я (2) в смысле Ф.Брауе-1а и Н.Левянсона, причем классификация проводится через множества ограниченных решений этих уравнений, сдесь уравнения (I) и (2) принадлежат более широкому классу, чем в работах Ф.Брауера, Н.Левшсона, В.В.Немыцкого, В.А.Якубовича, Д.;Л.Гробмана и других. Большая общность здесь достигается за счет ослабления ограничений к малюранте возмущения . Во всех теоремах этого параграфа важную роль играет равномерная ограниченность решений уравнения (2) и существование у уравпения (I) равномерно ограни-

ченншс решений на некотором множестве начальных данных. Теорема 1.2.2, которая для этого доказана, обобщает известную тео-реиу Зинтнера о равномерной ограниченности решений. Во всех теоремах соответствие медцу решениями устанавливается формулой (4).

В теореме 1.2.8 доказано существование замены переменной Х = #+Ф(М), (5)

где Ф:[ТН*С([Т+~),Ю-- с([Тл~Щ

Х1,Х2бС([Т,+ов)ДГ))_мн02есгв0 непрерывных и ограниченных вектор-функций на [Т,+<*>), Л2еС(д),

при любом сС € Я + , переводящей уравнение (I) в уравнение (2). Результаты этого параграфа можно использовать для исследования критических случаев в теории устойчивости.

Третий параграф содержит необходимые и достаточные условия асимптотической эквивалентности уравнений (I) и (2). Здесь же показано, что не всякий класс эквивалентности содержит линейные однородные дифференциальные уравнения.

В практических задачах асимптотические формулы вида (3) особенно важны, если Р - гомеоморфизм, определяемый

формулой (4). Другими словами, практическую ценность представляют те классификации, которые дают устойчивые асимптотические • форлулы.

Эта задача решается в четвертом параграфе. Здесь первое приближение - однородное дифференциальное уравнение, допускающее специальное разложение пространства решений. Все оценки равномерны относительно Х0€ Я :

Х^оЛЬ^иРх^+оМ)) • (6)

пра "Ь—равномерно по , Р: К"-*КП - гомеоморпязм.

В частности, в качестве линейного прпйлл.хендя могут рассматриваться уравнения, допускадцие экспоненциальное расцепление.

Задачи математической физик.;, особенно теории колебаний, требуют знания асимптотических свойств решение дяугт,ере1щиальк-_х . уравнений в таком виде: ну<лш асилттотаческяе фирмул:; для дег.о-мой функции и для некоторых ее пропзвоцнцх-, сама функция является 'репением скалярного уравнения а. сокого порядка. Зсли здесь перейти к системе дифференциальных уравнений, то окаг.ется, что необходимо знание асимптотических свойств отдельных компона;.-. Такие задачи решается и в пятом параграфе. Обдай подход и здесь остается прежним: рассматриваются группы и полугруппы преобразований с единицей на множестве уравнения, а потом на основе индуцированного отношения эквивалентности происходит разбиение этого множества на классы эквивалентности. Особенность здесь ещ. заютгается в том, что рассматриваются решения лишь на некотором многообразии и для этого случая выполняются классификации по Брауеру, Левинсону к Кемыцкому. линейное приближение в этом случае необязательно имеет пространство решений специального строения, что было обязательно в предыдущем параграфе. Здесь рассматривается общий случай, когда малость возмущения определяется малостью мажоранты на отдельных компонентах Еектор-ч;уш:-ции. На этом и только на этом основания получается аспг-.штоти-ческие формулы для отдельных компонент решений.

Пусть непрерывные футж-и I ■ [Т,+ Я О» [Т,+ов)->-Я+\0 удовлетворит неравенствам

Теорема 1.5.1. Пусть влолшится основные условия. Тогда для любого Р= {Х'-Хе QjRxfl <С} при достаточно большом to^t^T существует такая сгоръекция S:P"*P . где р - подмножество замыкания Р , что

У i (t:te/yo)- XL (t-t^S^) + О (Mat); при t-+«> , где teM,x(t:to>S^)=coecn(x1(t:t6/Si)0),..vXr,(t5te/3j|0j)-решение уравнения (I), y(t:t0;y«)=ce£on yn(t:to,y(|-

рёшение уравне1шя (2). Кроме того, если Sy«=xo . то при ьсеч К«М

to101

Далее получены условия асимптотической эквивалентности по Левин-сону на многообразии Q . При этих условиях справедлива

Теорема 1.5.4. Если решения уравнения (I) непрерывно зависят от начальных данных, то S:Q-*-Q - гомеоморфизм. Пример 1.5.2. Пусть все решения уравнения

где А - постоянная ( Пхп ) - матрица, Х€ R , ограничены на R,=[0,+«>) . Тогда дифференциальное уравнение

я fl°B(t)Ut-

где я + ,

О и

асиштотически эквивалентно по Немадкому на пространстве К

у равнению » Ах.

и.ь I

Здесь выполняются все условия теоремы ¿.5.4 и известной

теоремы Левинсона. Отседа следует, что из условия Левинсона вытекает более сильное утверждение.

Возможности этих результатов показаны на примере асимптотического интегрирования специальных уравнений.

В шестом параграфе рассматривается задача об управляемости системы, решение которой мояно использовать в практических задачах механики управляемых процессов.

3 седьмом параграфе полученные методы применяются для диф-ференциально-фун?Д1юнальных уравнении вида (I). Здесь уравнения рассиатрлваютея на множестве ¿0=(-оо,+«>)х |\п и впервые прежние задачи решаются при + • Кроме того, здесь уравнения с разрывными правтш частят,«л и поэтому решения рассматриваются в классе абсолютно непрерывных функций. Предварительные условйя здесь выглядят так. Даны уравнения

^=дюханадад (м(фя<

^ =А(ОД0, (8)

где А СО - интегрируемая го Дебегу на каздом компактном глно-дестзе из (I ( П*И ) - матрица, T:R*C(R,Rn)-»•C(R,R,,),

В,В" компактное шюлестш из Я,

«ев С , И*С(В- типа Каратеодори.

Пра этях условиях построены асимптотические формулы при сцяэцЕаодпо решения уравнений (7) и (8).

Глав» 2. [I, 5-7, э] Здесь на основе результатов из первой главы и юш исследований решена задача о существовании асоэтотичвсетго равновесия (задача Л. Чезарп) для новых классов дейвренцпяльных уравнений я дя^ференциалыпсс включений. Перво-лгшьно доказано, что существование асигштотнчесюэго равнове-овя у лзаааяия (I) завися* не только от возмущения ^ , но и от уравнения парного прабллдения (2), имеющего асимптотическое роаээпесие. Зцесь речь вдет о существования асимптотического равновесия у уравнений (I) при наличии такого свойства у ураЕ -

нения (2). оказалось, что решение этой задачи не всегда "равномерно" относительно первого пра&тения, имеющего это свойство, йгассы, которые вцделеш: А.Винтнером, Нгуен Тхе Хоаном, Л.^зари обладают таким свойством "равномерности".

В первом параграфе устанавливается связь мезду задачей о существовании асимптотического равновесия и асимптотической эквивалентностью уравнений (I) и (2). Второй параграф содержит новые теорема о существовании асимптотического равновесия у уравнения (I), которые расширяют известные классы уравнений, обладающих этим свойством. Здесь появилась необходимость выделения новых классов уравнений, имеющих в некоторых множествах равномерно ограниченные решения, сказалось, что известные критерии, например, Иосидзавы, не всегда применимы для исследования поведения решений, начинающихся на множестве Вышеназванный кри-

терий в классе уравнений с разрывной правой частью усилен путем изменения некоторых требований к функция Ляпунова.

Третий параграф содержит новые теоремы об асимптотических свойствах решений дифференциального включения

^«АЮк^Ы (9)

где Г - многозначная функция, Р:[Т,9)*КП-*"ССЯПрКп)

А(•):Гт,©)Нот (Я",Я")- непрерывное отображение.

Применением новых теорем о равномерной ограниченности решений для не:юторых вспомогательных уравнений доказаны теоремы о существовании асимптотического равновесия у дифференциального включения (9), получены достаточные условия асимптотической эквивалентности этого включения и дифференциального уравнения (2).

Теорема 2.3.3. Пусть уравнение (2) имеет асимптотическое равновесие, а отображение р удовлетворяет основным условиям. В этом случае дифференциальное включение (9) имеет асимптоти-

ческое равновесие.

■Пусть |У(ШкЦ(М0) л® ьссх ^.«[Т,©), гц*

- непрерывная функция. Теорема 2.3.4. Допустим, что отображение р^Т^^Я^сотрКотина Каратеодори и выполняется одно из включений дая всех

(г,х)в[Т,е)хЯпД0е[т,Э):

а)Уи,г0)рМсв(о,л(1)1х|/аИо));

' с) А (£,2) - неотрицательная, неуб1лза.сцая по 2 функция типа Каратеодори, удовлетворяющая основным условиям. Тогда системы (9) и (2) асимптотически эквивалентны по Брауеру относительно функции (Ь~2о) на множестве <2> . Здесь В(хд) -замкнутый шар из Я*1 с центром в X радиуса Ч .

Все ватшейише теоремы в этих исследованиях требуют знания предварительных оценок для решения нелинейных дифференцквльйых уравнений. Такие оценки получены в четвертом параграфе через старшие характеристические показатели уравнений первого приближения.

Теорема 2.4.14. Если уравнение (2)-является квазигиперболическим, .то существует ляпуновскоа преобразование , переводящее это уравнение в уравнение

где 0(1) - блочно-диагональная матрица.

Глава 3. [I, 8, II, 12 ^ Здесь исследуются асимптотические свойства решений уравнения вида

где , $ е С$оГ*> Я*1* В основе находится, как и

в классических методах, принцип сравнения решений этого уравнения с решениями некоторого другого уравнения с известными аеиг.ш-

тотпческиш сво^с^иала!. Бто^е уравнение назищается уравнением сравнения. Предположены, оно вида

(п)

где -?обС([То,+~>Впх(0,£о],Яп). Тогда ищутся условия, лри

которое всз:.ю,шо руление следующих задач.

1. По данному релешы у^'Ло.у 0,6) , найти решение Х^^оДсб.), 1Ло такое, что при достаточно малом £о при всех

£.е(0,£<] ьШи^няетсл неравенство

и»,х«£)1<В

при всех 1 , где В - известное положительное число.

2. По данному числу Ц>0 найти числа ■£„ и 6>0 такие, Ч-О ¿елл вх»-у0|<5 , то

при всех б€(0,£о! и . где

Т(6) - некоторая

функция, зависящая от £ .

3. По данному числу ^>0 найти числа ¿0 , £>0 такие, что если ЦХо-у0|< <5 , то

при всех £€(0,£о] к •

4. По данному числу ^>0 найти числа 6о и б>0 такие, что если ЦХо~уо|<б . то выполняется неравенство (12) и

при всех 6с(0,£в]

В работе эти зад.мчи решены, когда уравнение (10) имеет вид

а уравнение (II) -

feC(RUR,,>^Sc'^(o,6»],R,,),Sc={н:zcRn; ЦаКс},

Рассмотрим еще уравнение

^-К^дми) (15)

я введем обозначения: Х(1)=Х(Ъ'С,2Р,А*(£),б) - решение уравнения (14), - решение уравнения (13), Х^Т^ТМТ.ЮД) - решение уравнения (15),

ут(Г)= х(Г:т,у,А»(£),б)- х(Т,**(*))•

Теорема 3.1.1. Пусть решение Х^^Х **(£),£) ограничено при

. то есть и:

при ¥(1,г)е)с[тв+оо)х[о,+оо)ч(о,£4]^1(1,г,еЬо при б -о

равномерно по ^ С([То+®)* [Vе6)*[О,*«") х(0,бо])

при. г,<гг и у^ФМ"

*[ТоГМ0А>], 1-^,2;

4) зирАх^^х^лЧе^^е^-хСг.лЧбЙ-о г.ри Т-+«>,У6б(о,боЗ.

Тогда при достаточно малок: £о и У<£€(0,Ео] найдется такое решение , что

±Ьа

- 16 -

И наоборот, каждому решению у

пр: достаточно малом £0 существует решение х(1:Т,у,Аг(£),£) та::ое, что справедливо равенство'(15) при Убе(0»6о]. Здесь

Полученные результаты применены для решения таких задач упрезлясмости.

а) Рассмотри.! систему

= (16) где 0<1<г,х(1)еКп,ц(1)еКт, £е(0,£о], FeC([o,г)*R,,xn'n*(0,ee]),

К - некоторый класс кусочно-непрерывных на шожестве [0,2) зи;:?ор-с[ушщий. Требуется для точек Хс^бЯ" найти £0 и ив€К ■:ак;;е, что решение х(^0,х»,и0,£) уравнения

при всех £ € (о, б о] обладает свойством: бип х(ЪО,Хо,ио>£)=Х,.

■ и

в) На компактном множестве управлений 1\ гается управ-

леиле, доставляющее шним^;.: функционалу

где X - решение уравнения (16), соответствупцее управлении и.

с) Рассмотрим систему

= (г?)

где А (•):[т,1"00)-»• Н бт (Я* Я" ) - непрерывное отоб-

ра.;оше С(т,*«)х К"**'",Я"), К сС([Т,+°°),Я*).

лусть, кроме того. < л(г,|х|,||ц|),А:[тН*К>1^К|г

непрарывная неубыьа.ощая г. зторой и третьей переменным функция, Я=[0,+оо). Рассмотрим класс су акциЯ К,с С^Т^00). К")>Т< ,

- 17 -

я линейный непрерывный оператор

иКг^^ь.ЦК.ЬГ*

При каких условиях существует решение хбК< уравнения (17), удовлетворяющее краевым условиям

1_х=р, (Ю)

где ре Я*"2 ? Если для каздого р существует функция иеК такая, что уравнение

имеет решение Хб , удовлетворяющее краевым условиям (18), то говорят, что система (17) управляема в классе К с краевыми условиями (18).

На основе полученных результатов проблема стабилизации программного движения молсет быть решена по следующей схеме.

Первоначально предполо;ким, что уравнение движения имеет вид

(к)

Такое представление не ограничивает общность задачи, ибо всегда уравнение движения можно представить в виде (19). Сделаем замену переменных:

!

Гогд& получим уравнение

(20)

для которого управление УС Ко наД° подобрать таким образом, чтобы состояние равновесия Х=0 било устойчиво по Ляпунову. Эта задача решается методами первой главы, и теорема об устойчивости решения Х-О уравнения (20) по части переменных 1,1бМо опубликована в работе £ю].

Теорема 4 [ю]. Если при некотором У0еК0 выполняются

условия теоремы 1.5.3, а условия (1.5.3) - (1.5.5) имеют место равномерно относительно СХС^Со , , К>0 ,Т(£'1<+«>

VIеМо ! то есл)1 уравнение (2) асимптотически устойчиво по части переменных I , 16 Мо . то тривиальное решение уравнения (20) при У=Уе обладает этим ::,е свойством.

Глава 4. [1] В последней главе все рассмотренные задачи перенесены на семейства эндоморфизмов и сшргьекций в абстрактных метризованных векторных расслоениях ¿.¿¡.»йшшонщикова. Полученные здесь результаты позволяют применить вышеизложенную теорию не только для решения задач асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений двияения в детерминированных пространствах, но и для решения задач апроксимадии решений уравнений в пространствах общей структуры.

ыетодами второй главы в работе решена задача об управляемости колебательного процесса.

Пусть колебательный процесс моделируется уравнением

(21)

где МСОМ'ДОЛеСО^иЛ у«С1сс(Мт), ис Ю (М,х)= (М,х,у>; (М,у),

при ,Х€НП ,ТХ>

Будем говорить, что колебательный процесс (21) управляем в массе допустимых управлений 0 , если для любого шара

^{х^хкй} существует управление уеф такое, "что уравнение

(22)

в шаре $1 имеет Т -периодическое решение. Рассмотрим уравнение сравнения

где Fo(t,o)EO,F(t+T,y)=Fo(t,y), F0e C(p>Mo)(RyR,Rh) f)^0,m0>0. Будем считать, что

lF(t,x)-F0(t,x)l<5(t)<S,|F(t)x<)-F(t,x2)l<Kolxrx2(|,

|F.(U>F.(U)ki<vKx^ npitçRjX^XjjXe KS2= = {x:-£xeSx},K>i,Ke,K<>0.

Тогда в этих терминах и обозначениях существование Т -периодического решения у уравнения {'¿'¿) обеспечивается методом сравнения, когда решения сравнлвс.этся с решениями уравнения (23). Отсвда теорша 4 из работы [б] гарантирует упраа-лемость колебательного процесса (21).

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Изд-во Сарат. ун-та. 1990. 224 с.

2. Воскресенский Е.В. Прямой метод Ляпунова в теории асимптотической эквивалентности дифференциальных урглзнений // Укр. мат. дурн. - IS9I. - 43, Ш. - С. 115—118.

3. Воскресенский Ь'.В. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 5. -С. 676-678.

4. Воскресенский Е.В. Асимптотика решений дифференциальных урав-не'ний с функциональным возмущением // Длф. уравнешш. - 1991. -27, И 5.. - С. 745-751.

5. Воскресенский Е.В. О периодических решениях возму ¡пешни дифференциальных уравнешш // Изв. вузов, .математика. - 1991. -а I. - с. и-14.

6. Воскресенский Е.В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Диф. у равнения.-К92.-28, М.-С.571-576.

- 20 -

7. Воскресенский Ы.В. йункции .'¡ялунова и асимптотика решений возмущенных дафференциалышх уравнений // *1зв. вузов, ¡.тематика. - 1991. - № 5. - С. 3-9.

8. Воскресенский Е.В. Асимптотика решений по малому параметру и управляемые системы // Изв. вузов, ь&тематика. - 1991. -.V 7. - С. 25-33.

9. Воскресенский ¿¿.В. 0 методе сравнения и периодических решениях нелинейных систем // Укр. шт. гсурн. - Г991. - 43,

гё 10. - С. 1350-1355.

10. Воскресенский Е.В. ..¿етод сравнения в нелинейном анализе // Сяб. мат. - 1991. - й 5. - С. 3-11.

11. Воскресенски;! К.В. Ляпуновская классиу1кация и устойчивость движения // ие::-дународкая конференция: Тез. докл. - Самара, 1992. - С. 69.

12. Воскресенский ь.В. ыетод сравнений и управляемость колебательного процесса // Качественная теория дипуеренциалы.гх уравнений.Уи1 конференция СНГ: Тез. доии - Самарканд, 1уь2. • С. 34.