Асимптотические методы в одномерных задачах нелинейной динамической теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

- I- Л -1

! О V' >

На нравах рукописи

2 !\ МАР

РАГОЗИНА Виктория Евгеньевна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04, - механика деформируемого твердою толп

А п т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 1997

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН

Научный руководитель - доктор' физико-математических наук,

профессор АЛ. Буренин Официальные опг.оненты: доктор технических наук,

Ведущая организация: Институт прикладной математики

ДВО РАН, г. Владивосток

совета Д 002. Об. 07 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН при Президиуме ДВО РАН по адресу: 690032, г. Владивосток, ул. Радио, 5, ИАПУ ДВО РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан "Ю1_____ 1997 года

профессор В.И. Одинокой, кандидат физико-математических наук, доцент АА. Бочарова

в

Защита состоится " " __1997 года

_(£}__ часов на заседании диссертационного

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

МА Гузев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Применение различных вариантов метода казмущений привело к определенному прогрессу в изучении существенно нелинейных процессов распространения граничных возмущений. Оказалось, что можно дать классификацию таких процессов, основанную на в гаде некоторого нелинейного уравнения, приближенно описывающего исходную задачу. Эти уравнения получили название зволюцио;шых. Наиболее простым из них является уравнение квазипростых волн, которое возникает при отказе от исследования эффектов затухания, дисперсен и др. Тем не менее, уже это уравнение позволяет изучать таккз определяющие характеристики нелинейного процесса, как закономерности искажения импульсов воздействия, зарождение ударных волн при непрерывных воздействиях и т. д." Усложненные эволюционные уравнения Бюргерса, Кортевега - де Приза, Хохлона - Заболотской, Клейна -Гордона и др. позволяют описать дополнитслыше нелинейные эффекты процесса, но уравнение квазипрсстых волн, как уравнение идеального волносода, остается общим в том смысле, что другие эволюционные уравнения, внося дополнхггелыше закономерности, включают в себя основные качественные эффекты, отражаемые уравнением хпзазнпростых волн.

Как было отмечено, решения эзолк-ционного уравнения могут описывать яплеюгя сбразозашш пбверхностей разрывов. Изучение важных для практики условий позннккезепия таких поверхностей привело к исследованию особенностей решения эволюционных уравнений при непрерывных начальных и краевых условиях. Но решение эволюционного уравнения может описывать характеристик:-; процесса распространения возмущения и после образования поверхностей разрмпоз. Эти характеристики являются не менее значимы,ми, однако их исследованию посвящено значительно меньше публикаций. В частности, они практически не изучались для процессов распространения деформаций в твердых телах. Из сказанного выше следует актуальность проблемы использования прифронтовых асимптотических разложений, получаемых на основе решений эволюционных уравнений, для построения решении краевых нестационарных задач распространения деформации в твердых телах при ударных воздействиях.

Целью работы является разработка методики построения приближенных решений нестационарных задач нелинейной динамической теории упругости с разрывами в начальных и граничных условиях, изучение возможностей использования полученных таким образом прифронтовых асимптотик для создания численно-аналитических методов решения обобщенных нестационарных краевых задач.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

-разработана методика получения приближенных решений нестационарных задач нелинейной динамической теории упругости с поверхностями сильных разрывов, основанная на методе двухмас-штабных разложений с построением прифронтовой асимптотики на основе решения эволюционного уравнения;

-предложен численно-аналитический метод решения нестационарных задач динамики упругих сред,, основанный на численном сращивании асимптотических разложений с конечно-лазностным представлением в областях, удаленных от волновых фронтов;

-используя разработанные приемы получения приближенных решений, решен рад новых нестационарных краевых задач нелинейной динамической теории упругости;

-показана применимость предложенных методов построения приближенных решений в нестационарных связанных задачах деформирования. и гиперболического массопереноса.

Достоверность результатов работы следует из того, что в ней были применены методы классической механики сплошных сред; эти результаты находятся в соответствии с результатами, полученными ранее другими авторами. Кроме этого, из них могут быть получены результаты классической линейной теории упругости в качестве предельного случая.

Применение и практическая ценность работы. Нелинейные эффекты виестационарных процессах распространения граничных возмущений привадят к возникновению новых качественных особенностей -при постановке, краевых задач. Их необходимо учитывать уже на стадии моделирования таких явлений. На сегодняшний день технологическая и инженерная практика использует

целый ряд приемов, основанных на нестационарных процессах. Применение традшшонных численных методов для их объяснения связано с трудностями как при постановке, так и при выборе метода расчетов. Предложенные асимптотические разложения решений и основанные на них приемы численного решения могут оказаться полезными для указанного круга задач. Кроме этого, результаты данной работы могут быть применены для изучения задач нелинейной акустики, сейсмологии, а также любой другой области, где "рассматривается нелинейное волновое движение.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-технических конференциях в Дальневосточном государ-ствениом техническом университете; на семинарах э ИАПУ ДВО РАН, на междунеродной конференции по проблемам математического моделирования (Владивосток, 1995), на семинарах кафедры математического, моделирования и информатики в ДВГТУ. Работа в целом докладывалась на семинаре в ИАПУ ДВО РАН под руководством академика В.П.Мясникова и на кафедре математического моделирования и информатики в ДВГТУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, 'заключения и списка литературы (96 наименований). Общий объем работы - 111 страниц, в т. ч. 6 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение к работе содержит краткий обзор литературы, посвященной проблемам моделирования нелинейных динамических задач в теории упругости, а также в нем рассмотрены основные направления данной работы.

В первой главе приведены основные уравнения, описывающие нелинейные динамические задачи теерш! упругости, и соотношения на поверхностях сильных разрывов. Также в ней преястапле-ны формулы, определяющие скорости продольных и квазипоперечных волн для плоских одномерных задач. Нелинейно упругая среда описывается следующей системой уравнений в переменных Эйлера:

Ро ^(Л

+«/3+хЛ4++ +. О) V/ = + V;, : ау<] = где ¡,еу,<5у - компоненты вектора перемещений, вектора скорости, тензора деформаций Альмаиси и тензора напряжений Коши соответственно, р и р0 - плотность среды в текущем и свободном состоянии, Х,[Х,1,т,П,Х,Е„Т],К - упругие модули среды, причем первые два - параметры Ламе, упругий

потенциал изотропной среды.

На ударных волнах должны выполшггься динамические и кинематические условия совместности разрывов:

[р(у, щ - (?)] = 0, [о„]п; = щ - с)^,], дх

= = 12), = 6?, £Ру ='*у,*/>т,

где квадратными скобками обозначен скачок величины на поверхности разрывов уа - криволинейные координаты на движущейся поверхности 2, gaр - дважды ковариантный метрический

тензор поверхности £, ГЦ - внешняя по отношению к движению

нормаль к 2, (7 - скорость движения £ в направлении нормали,

^^—дельта-производная по времени, 8" - символ Кронекера,

верхний шдекс •"+" обозначает данную величину перед поверх^ ностью разрывов.

Из соотношений (I, 2) для плоских одномерных задач следуют такие формулы для скорости движения возможных поверхностей разрывов:

• +

G, = С,

Ч

\

IX + 2ц ' Ро

7 J+m+n

9 +

°2 = 4 2(А, + 2ц) *

(7, = С

«I

l + Vu+Vi+^тг +.» . Ч

,с2 =

(3)

, " 2Х-2/-Зл . _ X 2/+Зл , С, £>| — —1--—-, С>2 = + ~---—:—, о3 = —

4ц

2ц 4ц

где т, = ( j, i = 1,2. (7j является скоростью распространения

квазипродольной ударной вйлны, которая в случае отсутствия предварительных сдвиговых деформаций становится чисто продольной. (?2 - скорость распространения квазипоперечной ударной волны. Многоточием обозначены иевыписанные слагаемые с более высокой степенью малости по величинам i 'fj, и 2, i >1<! и г"'2 > ^ i >т 2 ■

Эти две волны в случае плоских одномерных задач полностью определяют деформационную картину, причем на mix происходит изменение только интенсивности предварительной сдвиговой, деформации, без изменения ее направления.

Вторая глава работы содержит решение задачи о нормальном ударе по границе L нелинейно-упругого полупространства. Поскольку метод получения решения этой задачи применяется и в остальных главах работы, то остановимся на нем более подробно. В первом параграфе рассмотрен случай, когда движение L под действием удара описывается квадратичной функцией. Такое ограничение, как будет следовать нз дальнейшего, не является принципиальным и выбрано с целью упрощения приводимых выкладок. Уравнение движения и краевые условия будут следующими:

Иш(1 + а|"и)вСГ2(я1 + 2м1"иЬ-» а, =-7+6^^",

а/2 Ш2

«1 = + "Р" =.уо' + ~2~» <4>

I

",=0, т,=-мм при х, = (5)

о

Формулы (4, 5) записаны, при условии отсутствия предварительных деформаций. Для решения этой задачи введем безразмерные переменные:

5 = г = Vо'СгЦх, -С,*), уу = Уо2аи,(х„г). (6)

Переписывая в переменных (6) уравнение движения и условия на Ь, получим такую внешнюю задачу:

(и»,„+2еи>,„+е2н>,„)[1+еа,(и>„+ен',г)]-: е2и>,„--2е3н',г(и'„1+еи',„)+...= Р, е = С'/1,

(7)

№=58"' при +

Параметр Б можно считать малой величиной. Представляя н> в виде асимптотического рада по степеням 8 и подставляя згот ряд в (4), получим такое решение:

¿2

+ е »V, + е2и>2 = — + е[д6(г)$2 +

г + |г2 -у - >»,(2)

—2 + •

(8)

где , у,, - неизвестные функции. При получении решения (8)

не рассмагривалйсь краевые условия (5), поставленные на переднем фронте продольной волны Чтобы их учесть, необходимо

изменить масштаб переменной 5. Будем считать, что /7=е35.

Именно при таком изменении масштаба в нулевом приближении для внутренней задачи решается уравнение квазипростых волн. Записывая уравнение (4) и краевые условия на волне (5) в переменных г, р, получим следующую задачу:

-2е2н\г(с2и>1Ч,+и;, ;г)+...= 0, (9)

м — 0, т, = при -г-/(р),

где /(р) - функция, определяющая положение Переписывая формулы (5) в переменных г, р, получим

Замечая, что в уравнения (3) входят только четные степени е, представим неизвестные функции И> и Т| следующими рядами:

Ф,Р) = + Др) = /0(р) + е2/2(/;)+..„

х1(р) = е\(р) + г\(р)+...

Подстаатая эти ряды в формулы (9, 10), в нулевом приближении получим такую задачу:

^о.гр+Ри'о-ПП).«^, .'/М = <ф\г* 2р = а,-2, (1!)

"Ри г = /о(р)-

Уравнение для определения И*0 является квазилинейным волновым уравнением. Из формул (II) видно, что при таком изменении масштаба б нулевом приближении не только вычисляется функция И>0, но и определяется положение переднего фронта волны, которое не будет совпадать с характеристикой задачи. Не останавливаясь на вычислениях, приведем окончательный результат:

где АХ,ВХ - неизвестные константы. Эти константы и неизвестные функции внешнего разложения можно определить при

сращивании полученных рядов в нулевом приближении, что дает такой результат: >'0 = = —1;2?, = Р_1. Для построения второго приближения решается следующая задача:

2щ,гр+(щ - 2)(к>2,„ И^+и^ Н'2,2) = -ы0 рр + (12)

+(2 - 2а^,гр и'0)г-а,и'0,гг щ,р, /2'(р) = а2х,4 +(а1-а1)х^, е\ + е4т,4 = -е2>г0,г-84(н'0)/,+>у2,г) при г = /0 + е2/2.

Общее решение для М>2 можно получить в виде следунэщга интегралов:

^г-О^ч-р-')'', =Цр+р-1)- у.^-О^+р-1)"1,

где Л2 = И'2,г, = 0,23(4«, — 2)Р~2. Затем из них выбираем частное решение, соответствующее поставленной задаче, и по нему определяем функции . После этого необходимо срастить по-

лученное внутреннее представление функции И' с ее внешним представлением и определить все неизвестные константы и функции, входящие в оба рдда. Переписав полученные результаты в исходных переменных, получим такую формулу для

Л

Сха

Ц/

Уо

2С,

Р*1«]

) у0

-1- , х, а

V, Р">

Ч

I +А

с.2/

х.

а

VI '

сП

+КТ С,2

где константы определяются константами задачи. По-

ложение

задается уравнением

Константы К3,К4 также определяются константами задачи. Из

последней формулы следует, что 2 распространяется со скоростью несколько большей, чем скорость заука в этой же среде.

Во втором параграфе первой главы также решается задача о нормальном ударе по нелинейно-упругому полупространству, но предполагается, что в результате удара движение описывается произвольной функцией. Показано, что при раде предположений относительно движения Ь, не сильно связывающих общность задачи, в нулевом приближении функция перемещения и функция, определяющая движение Е, вычисляются по формулам, полученным в первом параграфе. Различии в решениях возникают только со второго приближения. Схема построения асимптотического разложения является одинаковой для обеих задач, поэтому она здесь не рассматривается.

В третьем параграфе рассматривается задача о построении численной конечно-разностной схемы для задач нелинейной динамической теории упругости, включающих ударные волны. Возможность применения предлагаемой схемы демонстрируется на примере задачи о нормальном ударе по полупространству. Для этой схемы в. качестве начальных данных выбраны асимптстг еские формулы, которые дают хорошее приближение к точному решению в моменты времени, близкие к началу процесса деформирования, и в прифронтовой области. В остальной области все частные производные, входящие в уравнение движения, заменяются на конечно-разностные аналога, причем реализация схемы проводится на равномерной сетке в области, удаленной от Ь. В узлах шаблона, примыкающих к Ь, сетка заменяется на неравномерную. Кроме этого, будем считать, что в асимптотическом разложении, построенном в прифронтовой области, константы асимптотики являются неопределенными, исключая область / «1. Предполагается, что существует область, прилегающая к прифронтовой, ь которой данные расчетов и значения асимптотических формул в узлах сетки совпадают (конечно-разностный аналог области общей пригодности двух

асимптотических разложений). На каждом шаге полученной неявной схемы решается система уравнений, включающая уравнения, записанные для внутренних узлов, уравнения около Ь и алгебраические уравнения, по которым определяются константы асимптотики. В работе приведены некоторые результаты расчетов. Данная схема могла бы быть перенесена и на иеодномерные задачи, включающие несколько ударных волн.

В третьей главе рассматриваются одномерные задачи о нормальном ударе по внутренней поверхности цилиндрического и сферического отверстий недеформированном нелинейно-упругом пространстве. Следствием такого, воздействия является продольная ударная волна £ В первом параграфе главы показано, что скорость £ вычисляется по формуле

в =--С,(1 + У,Т +У2Т2+.;.), У1 = У2 = У\ + ^у1-

Во втором параграфе этой главы решается задача с цилиндрической симметрией, определяемая системой уравнений и краевых условий

(. иЛ "г.г иг "лг игигг

\ .г) Т Г Г г. г

-СГ2[иД1-м/-,) + Ч"г,г+-]. . <13>

"г = £(0 при г = го+8(0,

I

иг=0, г = -игг при г = г0 +

о

Для упрощения дальнейших выкладок примем, что <?(0 + 0,5я/2. Введем такие безразмерные переменные:

^ — (г — г0)г0~1ф/\ г = (г - г0 - С^'С, V."' = м,г0"'С,2 у«2.

В этих переменно« формулы (13) перепишутся так

(и',„+2£и'„г+Е2и',„ ) I + ct,e(w„+wfz) + <х2с

2 W

I + £5.

1 + ^ (l + Л)2 (l + e3*)" l + Л (l + рЛ) 1 » + *V

-2e2w,2 +e )+... = 0, w = при 5 = e(&s-z) + 620,5a,(as-z)2,

гдг S считаем малой величиной. Функцию И'(5, z) представим гсимптотичесхим радом

w(s,z) = И'0(5,г) + SVV,(5,2) + e2\V2(5,z)+... . Подставляя этот ряд в (14), можно получить внешнее разложение решения. Оно будет содержать неизвестные функции, которые можно определить посте построения дополнительного асимпто-

з

тнческого разложения, для чего вводится переменная р=Е S. Переписав уравнение двшхения и краевые условия на фронте £ в переменных z,p, замечаем, что а них параметр 8 входит только в четных степенях, поэтому представим неизвестные функции такими рядами:

niz,p) = w0(z,p) + s2w2(z,p)+..., х(р) = е\(р) + в\2(р)+...,

f(p) = MP) + e2MP)+--

Функция f{p) определяет положение переднего фронта 2. Подставляя эти ряды в уравнение движения и краевые условия на фронте волны, получим в нулевом приближении следующую задачу:

н>

2vv0,z/,+(a, - 2)vv0,2 = 0, f&p) = -у,и'0,г,

1 + р.

т0 = «ри 2 = Л(р)-

Таким образом, оказывается, что и в цилиндрической задаче для внутренней области при определении функции W в нулевом приближении необходимо решить квазилинейное эволюционное волновое уравнение. Его общим решением относительно функции

h0 — (3vv0,z будут такие интепмшы: Ч7, = Л0 + р\ 4*2 — 2 — 2/l0(l + р). Выберем частное решение, соответствующее

I/

поставленной задаче, таким: — + р) 71, где A j- пока неопределенная константа. Тогда, продолжая решение, получим, что fdip) = А1(л]1+ р — 1) и, следовательно,

А,г- А\{ 1 а,-2

Сращивание внутреннего и внешнего разложений до нулевого порядка включительно позволяет определить неизвестные константу и функцию. Построение приближений более высокого порядка связано с интегрированием уравнения вида

2и^+(а, -2»W+Г^- = .....wk_2),

l + p

где правая часть является известной функцией, определяемой предыдущими приближениями. Краевые условия для этого уравнения записываются в следующей форме:

е2т0+...+ел+2тА = -£2[уц„2+..,+еА:и'л,г+Е2(уц))/)+...+Ели'А.,р)]

при Яр) = /о(р) + гг/2(р)+...+гк/к(р), Л(Р) = 5Со*о + Хг*г+-+Хк*к »

где x0,...,x/c_2,fo,...,fic_2 являются уже известными функциями, константы Хо'%2>Хф-" определяются упругими модулями среды. В настоящей работе проведено построение асимптотических разложений до второго порядка включительно. -Не останавливаясь на

дальнейших вычислениях, которые являются несколько более громоздкими, чем в задаче о нормальном ударе но полупространству.

приведем итоговые формулы. Перемещение точек среды Ur(r,t) определяется формулой:

-С,')

2Р Z), + Е2л — V г

Ш 8

-I -v24

w г; г

2P2Z)J- + 2P£2 +

+

где константы Вг,Е2,\2 определяются упругими модулями среды. Передний фронт £ движется по закону

, "ovoP

С,3

2rt(f)D2 + F2)-yfiB:

г-Ь

-2у,(р/)2 + Е2)^ + (у, v2 - 2|yf + У 2) ^

(15)

Из (15) видно, что и в этом случае скорость £ несколько больше, чем С,. Приведенные формулы можно рассматривать и как решение задачи о нормальном ударе по .боковой поверхности цилиндрического тела, если в них считать, что Су и У0 принимают отрицательные значения, а т. е. —1 < р^О. Результатом

предположения о малой интенсивности волны с самого начала ее возникновения и затухания возмущения является тот фак., что в этой задаче эволюционное уравнение возникает при значениях а не ка больших расстояниях от Кроме этого, полученные

з

t

формулы показывают, что решение задачи с цилиндрической симметрией в прифронтовой области Е может бьггь построено без обращения к специальным функциям.

В третьем параграфе главы рассматривается задача о сферической продольной ударной волне, распространяющейся по не-деформировашюй среде от сферического отверстия. Показано, «по аналогичная схема построения решения приводит в нулевом приближении к эволюционному уравнению квазипростых волн:

2и>о,г/,+(сс, - 2)и'0,„ = 0.

1 + р

Для этой задачи также построено равномерно пригодное разложение решения до второго порядка включительно, определено поло' жение переднего фронта продольной ударной волны.

В четвертой главе рассматривается одномерная задача о косом ударе по границе н&гсннейно-улругого недеформировзнного полупространства. Предполагается, что в результате удара движение границы задается уравнениями u,= g(t), U¿¡L = h(t), g(0) =

h{0) =0,g'(Q) > 0,g(t) > 0. Ось X2 направим тах, чтобы k(t) > 0. С момента удара возникают две ударные волны, продольная (Е() и квазипоперечная (£2) • Уравнения движения, описывающие задачу, будут такими:

+ 2а,м,,) + 2a&vuv ,+...= Cf2(ü, + 2^,^,)+... "ZllO + Pi"|,|) + PlWI.UM2.l+-= ^["гО -«!.() + 2«2,l"l +

В этих уравнениях константы aj,a2,Pi определяются упругими модулями задачи. Для упрощения дальнейших выкладок примем, что + = + Введем безразмерные

переменные:

----X, t U i -i и2 -i

s = т = w - е , v = .——с _,_(16)

С, Г Т С{1 С {Г -

где Т - характерный масштаб времени, причем расстояние, проходимее волнами 'Ja это время, много больше, чем возникающие на границе перемещения. Переписывая в переменных (16) условия на

границе и уравнения движения, получаем, что область построения решения распадается на две области, соответствующие значениям (рт й 5 <1 т (область I) и 0 £ 3 £ ф т (область II), где

ф = л]\1(Х + 2ц)"1. В области I V = 0. Решение в этих областях сводится к интегрирования волновых уравнений с правой частью, определяемой предыдущими приближениями. Далее рассматриваются задачи, возникающие при переходе на большие расстояния в прифронтовых областях £] и 22. Показано, что вблизи X, возникает эволюционное уравнение, такое же, как в задаче о нормальном ударе по полупространству. В окрестности 22 ПРИ изме-

V

нении масштаба / = 8 5 также вычисляется из эволюционного уравнения:

Vo»/^[P^<Лo.^-^^o.г) + У0,|[-Р|П1.я+Л|.„]- ^„г = 0, >

г = фт-з, л = 6^, Т1= % + Здесь необходимо отметить, что для решения задачи при таком изменении масштаба надо знать формулы, определяющие деформационную картину перед фронтом Е2. Оказывается, что ряд, по которому вычисляется продольное перемещение в области I, не теряет равномерности при переходе к фронту квазипоперечной волны на таких расстояниях. При построении решения были учтены все краевые условия на и £2, а также построены функции, опреде-- ляющие движение переднего фронта волн.

В пятой главе рассмотрена несгацион&рная задача нелинейной гиперболической диффузии в системе жидкость-твердое тело, включающая продольную ударную волну. По аналогии с обобще-•• нием закона теплопроводности, предложенным Вернотте, записывается обобщенный закон диффузии:

л

Л/г

где Щ - вектор диффузионного потока жидкости, с - ее концентрация, Хит- параметры диффузии. При таком изменении диффузионного закона процесс массопереноса описывается гипербо-.

лическими уравнениями, что позволяет избежать парадокс о бесконечно большой скорости распространения вещества. Оказывается, что для одномерной диффузии следствием предположения о несжимаемости смеси являются соотношения

Р1 РГо + РгР20 =1. Р| РГо V, + р2 Р20 = О,

где р,,р2 и Рю.Рго " плотности компонент смеси в текущий момент и в свободном состоянии, - векторы скорости этих компонент. Данная модель допускает обобщенные решения, включающие поверхности сильных разрывов. Формулы, описывающие задачу, записываются на поверхности разрывов. Из полученных соотношений определяется скорость диффузионной волны. Показано, что для рассматриваемой модели скорость ударной волны зависит только от предварительных деформаций и не зависит от интенсивности волны. Возможности данной модели изучаются на примере одномерной задачи о нелинейной диффузии жидкости в сферически симметричное тело, для которой записываются уравнение движения и краевые условия. Введение безразмерных • переменных позволяет решить эту задачу асимптотическими методами. Показано, что в прифронтовой области поведение решения определяется эволюционными уравнениями, вид которых зависит от предположений относительно диффузионных параметров.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Описаны приемы построения прифронтовых асимптотик за поверхностями сильных разрывов (ударными волнами) на основе решений эволюционных уравнений и уточнения на каждом шаге схемы положения поверхности разрывов.

2. Указаны способы сращивания прифронтовых разложений решений с их разложениями в областях, удаленных от поверхно-

_____стей разрывов.

3. Получено приближенное решение нестационарной краевой задачи нелинейной динамической теории упругости о нормальном ударе по упругому полупространству, когда граничное воздействие приводит к движению граничной плоскости по произвольному за-

кону. Прифронтовая асимптотика построена на основе решения уравнения квазнпростых волн.

4. Построена схема численно-аналитического решения задач с ударными волнами, основанная на сращивании асимптотического разложения решения в прифронтовой области с его конечно-разностным представлением в удаленной от волнового фронта области, применение схемы показано на примере задачи о нормальном ударе по нелинейно-упругому полупространству.

5. Получено общее решение эволюционных уравнений, описывающих деформационную картину за цилиндрической и сферической продольными ударными волнами. Эти уравнения определяют нулевое приближение прифронтовых асимптотик. Построено равномерно-пригоднез разложение решегия задач со~ сферической и цилиндрической ударными волнами.

6. Построено приближеннее решение нестационарной задачи о косом ударе по упругому полупространству. Показано, что прифронтовое разложение решения за продольной ударной волной, основанное на эволюционном уравнении, не теряет пригодности при переходе к квазипоперечной волне за счет изменения масштаба обеих полухарахтеристичесхих переменных. Внешнее разложение решения строилось методом последовательных линейных приближений. Отмечено, что внутреннее разложение за квазипоперечной ударной волной уже в нулевом приближении содержит экспоненциальный нелинейный эффект зависимости решения от параметров послеударного граничного воздействия и от пространственной переменной.

7. Показана возможность применения разработанной методики построения приближенных решений в связанных нестационарных задачах реформирования и гиперболического массопереноса. Построено асимптотическое разложение решения в задаче о деформировании сферического зерна в результате диффузии в него жид* кости. Получено соответствующее процессу эволюционное уравнение и его общее решение, которое и было положено в основу приближенного метода построения решенйя.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Буренин A.A.. Рагозина В.Е. Замечание о возможности сверхсейсмической скорости распространения трещин в упругой среде // Динамические задачи механики сплошной среды / Мате' риалы докладов региональной конференции. - Краснодар,

1992. - С. 19 - 20.

2. Рагозина В.Е. Использование эволюционного уравнения при построении приближенного решения нелинейной динамической задачи теории упругости с продольной волной // Материалы XXIV юбилейной научно-технической конференции / Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1994. - С. 118 - 119.

3. Рагозина В.Е. Метод нелинейных приближений в анализе закономерностей распространения цилиндрической продольной ударной волны // Проблемы естествознания и производства. -Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1996. - Вып. 117. - С. 21 - 26.

4. Рагозина В.Е., Воронин И.И., Вековшинин ЕЛ. Об использовании прифронтовой асимптотики в численных решениях дина-мичеЬких задач теории упругости с ударными волнами // Проблемы естествознания н производства. - Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1995. - Вып. 115. -С. 25 - 27.

5. Рагозина В.Е. Об одном подходе в использовании метода возмущений для построения решения нелинейных динамических задач с ударными волнами // Проблемы естествознания и производства. - Владивосток: Изд-во ДВГГУ, 1995. - Вып. 115. - С. 17 - 20.

6. В u renin A.A., Ragozina V.E., Takhteyev A.V. On one variant of numerical analitical Solution of non-stationary problems of nonlinear dynamic ebstisily theory Ц Mathematical modeling and criptogrnphy. Pacific international conference. - Vladivostok, 1995. -\\ 26.

Личный вклад автора. В работе [1] автор участвовала в постановке-задачи -и-выполнила^сс_нсобходимые численные расчеты.

Работы [2. 3, 5) выполнены автором лично, ß ра6отах[4] и {6] au-—

тором получены прифронтовые асимптотики н указано возможность численного сращивания конечно-разностных схем с при-

фронтовым асимптотическим разложением. Соавторы участвовали в разработке и отладке неявной разностной схемы и проведении расчетов.