Теория Нетера и приближенное решениеинтегро-дифференциальных уравнений Викера-Хопфа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

„ м

івдєнноукраїнський державний педагогічний університет ім. К. Д. УШИНСЬКОГО

Одеський державний університет ім. І. І. МЕЧНИКОВА

Дмитрієва Марина Валерїївна

УДК 517.968.23

Теорія Нетера та наближене розв’язання інтегро-диференціальних рівнянь Віяера-Хопфа

01.01.02 — диференціальні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математических наук

Одеса - 1998

Робота виконана на кафедрі прикладної математики та інформатики Південноукраїнського державного педагогічного університету ім. К.Д.Ушинського та на кафедрі обчислювальної математики Одеського державного університету ім. І.І.Мечникова.

Науковий керівник — доктор фізико-математичних наук, доцент Тихоненко Микола Якович, Одеський державний університет.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, про-

фесор Черський Юрій Йосипович (Одеська державна академія будівництва та архітектури, м. Одеса), кандидат фізико-математичних наук, д< цент Григор’єв Юрій Олександрович (Одеський державний морський університет, м. Одеса).

Провідна установа — Чернівецький державний університет ім. Юрія Федьковича, кафедра диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться ^■1^< 1998р. о 15 годиш на засіданні спеціалізо-

ваної вченої ради К 41.051.05 при Одеському державному університеті (270026 м.Одеса, вул. Дворянська, 2, ауд.№73).

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Одеського державного університету (270026, м.Одеса, вул. Преображенська, 24).

Автореферат розісланий 1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Вітюк О.Н.

Загальна характеристика роботи.

Актуальність теми. Широке коло прикладних задач науки і техніки приводять до знаходження розв’язків різних типів інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем. Як відомо, побудова розв’язків таких рівнянь у замкнутому вигляді можлива лише в дуже рідких часткових випадках і навіть в цих випадках доведення результату до числа приводить, як правило, до великих труднощів. В зв’язку з цими обставинами актуальною задачею являється теоретичне дослідження (виявлення умов нетеровості, визначення індексу та інш.) таких рівнянь та їх систем, а також розробка та теоретичне обгрунтування методів їх наближеного розв’язання.

Завдяки роботам Н. Вівера, В.О. Фока, І.М. Рапопорта, Ю.Й. Перського, М.Г. Крейна та інш., побудова теорії розв’язності в широкій шкалі функціональних просторів рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем, а також деяких їх узагальнень на цей час в основному завершена. Щодо побудови теорії розв’язності інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем з різницевими та сумарними ядрами, а також івтегро-диференці&льних рівнянь Вінера-Хопфа з комплексно спряженими значеннями невідомих функцій, то цьому питанню раніш не було уділено належної уваги.

Наближеному розв’язанню інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа присвячено не широке коло робіт, зокрема, роботи Ю.Й. Перського, Г.Я. Попова, М.Я. Тихоненка, в яких до побудови наближених розв’язків інтегро-диференщальних рівнянь Вінера-Хопфа з різницевими ядрами був застосований метод наближеної факторизації, ідея котрого належить В.Т. Кой-теру. Але в цих роботах не була установлена збіжність наближених розв’язків до точних.

Таким чином, в області побудови теорії розв’язності різних класів інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем, а також в області розробки та теоретичного обгрунтування методів їх наближеного розв’язання виявилося багато не розв’язаних задач, розв’язанню котрих присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, аланами, темами. Робота виконана в рамках теми "Побудова та обгрунтування метода наближеного розв’язання рівнянь з псевдодиференціальними операторами”, яка виконуваться на кафедрі обчислювальної математики Одеського державного університету ім. 1.1. Мечникова та на кафедрі прикладної математики та інформатики Південноукраїнського державного педагогічного університету ім. К.Д. Ушинсько-го, яка входить до Координаційного плану наукових досліджень Міністерства освіти України по напрямку "Геометрічні та аналітичні методи та їх застосування”.

Мета дисертації:

— побудова теорії розв’язності інтегро-диференціальних рівнянь Віне-ра-Хопфа та їх систем з різницевими та сумарними ядрами' та інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем з комплексно спряженими значеннями невідомих функцій;

— побудова та теоретичне обгрунтування методів наближеного розв’язання різних класів інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем.

При цьому під теоретичним обгрунтуванням наближеного методу, наслідуючи Л. В. Канторовичу, будемо розуміти слідуюче коло питань:

1. Побудова обчислювальних схем наближених методів для розгляду-ємих рівнянь.

2. Доведення теорем існування та единості наближених розв’язків.

3. Доведення збіжності наближених розв’язків до точних та визначення оцінок їх похибок.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації розглянуто нові типи інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем, а також запропоновано нові методи їх дослідження. На основі цього в дисертації:

— побудована теорія розв’язності інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем з різницевими та сумарними ядрами та інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем з комплексно спряженими значеннями невідомих функцій;

з

— запропоновано та обгрунтовано методи наближеного розв’язання різних типів інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем в нормальному та винятковому випадках.

Теоретична та практична цінність. Дисертація мав теоретичний характер і вносить вклад в загальну теорію рівнянь типу згортки. її результати можуть бути використаю при розв’язанні широкого кола прикладних задач теорії пружності, дифракції електромагнітних хвиль, радіофізики, теорії масового обслуговування та інш.

Особистий внесок здобувача. Наведені в дисертації результати досліджень належать авторові.

Апробація результатів дисертації. Одержані в дисертації результати доповідались та обговорювались на слідуючих наукових конференціях та семінарах: Міжнародній конференції "Лобачевский и современная геометрия” (Казань - 1992р.), Республіканській науково-методичній конференції, присвяченої 200-річчю від дня народження М. І. Лобачевського (Одеса - 1992р.), Міжнародній конференції "Теория приближения и задачи вычислительной математики” (Дніпропетровськ - 1993р.), VI та VII Міжнародних симпозиумах ’’Метод дискретных особенностей в задачах математической физики” (Харків

- 1993р., Феодосія - 1997р.), Всеукраїнській конференції ’’Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів -1995р.), Всеукраїнській конференції ” Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування” (Чернівці - 1996р.), V та VI Міжнародних конференціях ім. академіка М. Кравчука .(Київ - 1996, 1997 рр.), загальноміських (м. Одеса) наукових семінарах ’’Рівняння типу згортки” (науковий керівник - професор Ю. Й. Перський), "Загальна теорія наближених метода” (науковий керівник - доктор фізико-математичних наук М. Я. Тиховенко), щорічних науково-звітних конференціях професорсько - викладацького складу Одеського державного університету ім. І. І. Мечникова (1991, 1992 рр.) та Південноукраїнського державного педагогічного університету ім. К. Д. Ушинського (1993-1996 рр.).

Публікації. По результатам досліджень, проведених в диссертації, опубліковано 8 наукових робіт, одна із котрих виконана в співавторстві з науковим

керівником. Співавтору в ній належить постановка задачі та ідеї її розв’язання.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається Ь вступу, трьох розділів, розбитих на 12 підрозділів, висновків та списку літератури, що включав 85 найменувань. Робота викладена на 126 сторінках машинописного тексту.

Зміст дисертації. У вступі в дисертацію приводиться загальна характеристика роботи.

Перший розділ складається з двох підрозділів: §1.1—1.2. В §1.1 приводиться огляд літератури по теорії розв’язності іктегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа і їх систем та проводиться порівняльний аналіз результатів, одержаних другими гівторами, з результатами, одержаними в дисертації. Підрозділ 1.2 присвячено огляду літератури по наближеному розв’язанню інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем, а також проводиться порівняльний аналіз результатів, одержаних в дисертації, з результатами, одержаними другими авторами.

Другий роздал складається з трьох підрозділів: §§2.1-2.3. Підрозділ 2.1 носить допоміжний характер. В ньому приведені означення функціональних просторів, які використовуються в дисертації, а також деякі властивості перетворення Фур’е і відомі результати по апроксимації функцій на дійсній осі И по системах раціональних функцій

де О] - відомі сталі, а кр{х) € Ь, к(х) € Ьг - відомі функції. На основі властивостей перетворення Фур’є побудова розв’язків рівняння (1) приводиться до побудови розв’язків задачі Рімана

Підрозділ 2.2 присвячено обгрунтуванню метода наближеного розв’язання

рівняння

А(х) Р+(х) - Р~{х) = Н+( і), х€Ж,

(2)

Де

т $

Л(і) = (і 4- і)'" ]T(-4'x)J aj + £(-«*)» КТ(х) ,

. j=0 р=0 .

і/ = max{m,s}, а Кр(х), Я+(х) - перетворення Фур’є відповідно функцій кр(х), h{x). При цьому розв’язки рівняння (1) виражаються через розв’язки задачі Рімана (2) слідуючим чином

ф) =-L=J{f + і)- F+(t) є"1’ Л, х > 0.

*R

Наближені розв'язки рівняння (1) будуються на основі наближеного розв’язання задачі Рімана (2), наближені розв’язки котрої у випадку метода Га-льоркіна відшукуються у вигляді

*?(*) = Е /* «*(*)• рп (*) = - Е /* «*(*). (3)

Jc=-n

а невідомі сталі Д визначаються із системи рівнянь

П

Е Л+ 7о h ~ ні’ і - ~w^n' (4!

*=0

де 70 = 0 при У > 0 та 70 = 1 при j < 0, а та Я^ - коефіцівити Фур’в відповідно функцій А(х) Ф(.(я) та Я+(х) по системі функцій Ф;(і). При цьому наближені розв’язки рівняння (1) будуються по формулі

*>0. (5)

де Д - рішення системи рівнянь (4).

Теорема 1. Якщо функції kf(x) € L, Цх) Є Ьг\ функції Кр(х) Є На\ т > 0, 0 < а < 1; А(х) ф 0 ко R mo indA(x) = 0, mo система рівняні (4) має єдиний розв’язок при достатню великих п, а наближені розв’язки рівняння (1) будуються по формулі (5), де Д - рішення системи рівняні (4). Якщо функція Я+(х) Є L<r), г > 0, то при г = 0 наближені розв’язки рівняння (1) збігакптіся до •його точного розв'яжу, тобто

!М*) - -+ 0, п -* 00,

с при г > 1 наближені розв'язки рівняння (1) збігаються до Ного точного розв’язку зі швидкістю

!М*) “ ¥>.(*)ІІЬ, = 0(п"г1пп).

Якщо ж функція А{х) мав на К скінчене число нулів аа = оо, ап ..., а, відповідно цілих порядків /і0, /і,, то мав місце зображення

А(х) = В{х)р_{х), (6)

де В(х) ф 0 на И, В(х) € Я«г), г>0, 0<а<1, а

/>_(*) = (і - і)-* (~^) ‘ • • (~^) і го = тах {^о, Н. • • • М,}■

Теорема 2. Якщо функцй кр(х) є і, Цх) € і2; функції Кр(х) Є На*1\ г > г0, - < а < 1; має місце зображення (6), де В(х) ф 0 на К, іп<1 В(х) = 0, а функція Я+(х) Є Ь%\ г > г0, то система рівнянь (4) мне єдиний розв’язок при достатньо великих п, а наближені розв’язки рівняння (1) будуються по формулі (5), де Д - рішення системи (4), і збігаються до його точного розв’язку зі швидкістю

ІІФ)-?п(х)ІІіг = 0(п~г), г>г0. -

Аналогічні результати одержано, якщо наближені розв’язки рівняння (1) будуються на основі наближеного розв’язаная задачі Рімана (2) методом коло-кації.

В підрозділі 2.3 проводиться обгрунтування методо наближеного розв’язання систем інтегро-диференщальних рівнянь Вінера-Хопфа

т • 00

Е ул(*)+-4= Е / кр(х ~ *) <г,м(і) * = Нх)> х>°, со

ІШ О

де а- - відомі матриці розміру І зі сталими елементами; кр(х) Є Ь - відомі матриці-функції (м.ф.) розміру І, а Л(х) Є £2 - відома вектор-функція (в.ф.) разміру І. В цьому випадку побудова розв’язків системи рівнянь (7) проводиться до побудови розв’язків матричної задачі Рімана

АМ Р+М - Р~(х) = Н+(х\ іеЕ, (8)

Де

ги а

А{х) = (х + і)"' “і + К№

.І*0 у=0

V = тах{т, 5}, а Кр{х) та Н+(х) - перетворення Фур’в відповідно м.ф. кр(х) та в.ф. к(х). Наближені розв’язки системи рівнянь (7) будуються на основі наближеного розв’язання задачі Рімана (8), наближені розв’язки якої у випадку методу колокахцї відшукуються у вигляді

Р«Чг) = 22Аші(х), К(х) = ~ Е & и№'

к=с

а невідомі вектори /к розміру / зі сталими компонентами визначаються із системи рівнянь

п -І

]П А(х,) и>*(ху) /* + Е и*(хі'> А ~ І = _ЇГ^' <9)

Д:=;—п

Де

Х’ = ~СІ82пТГ;’ І = (10)

При цьому наближені розв’язки системи рівнянь (7) будуються по формулі

*>.(*) = -2*>0’ (“)

Де 7* = Іп + + • • • + /*+і, а /,. - рішення системи рівнянь (9).

Теорема 3. Нехай м.ф. кр(х) Є Ь, в.ф. Л(х) Є і2; м.ф. Кр{х) Є #іг), г > 0, 0 < а < 1; сіеі А(г) ф 0 на К та часткові індекси м.ф. А(х) дорівнюють нулю. Тоді система рівняні (9) має єдиний розв’язок при достатню великих п, а на6лус*ее«і розв’язки системи рівняні (7) будуються по формулі (11), де /* - рішення системи рівняні (9). Якщо в.ф. #+(і) Є С[>г/, г > 0, то при г = 0 наближені розв'язки системи рівняні (7) збігаються до їг точного розв’язку, тобто

ЇМ*) - ^л('^)ІІ£*3 -» 0, П->0О,

а при г > 1 наближені розв’язки системи рівняні (7) збігаються до Ті точного розв ’язку зі швидкістю

ІИ*) - РпМІІІ, = 0(п~Г 1п п).

Якщо <кЧ А(х) мав нулі на И в скінченому числі точок с0 = оо, о,,.. -, а, відповідно цілих порядків рд, цг,, /і,, то мав місце зображення

А{х) = В(х) £>_(х)Я_(х), (12)

де В(х) ф 0 на К; м.ф. В(х) Є На \ г > 0, 0 < а < 1, Д_(г) - поліноміальна по степеням (х — і)41 м.ф. зі сталим та відмінним від нуля на К детермінантом, а

Е/)-., г -тах/и<°) я<°) „(’) им ,.(?)!

г0 —тах<^1 ,/»2 і ,^2 1---1 (*і J•

і=о

Теорема 4. Нехай м.ф. кр(х) € £, е.$. А(г) Є Ь2; м.ф. Кр(х) Є Ла+1\ г > г0, ^ < а < 1; л»ое -місце зображення (12), де <1еІ В(х) ф 0 ив И та часткові індекси м.ф. В(х) дорівнюють нулю. Якщо в.ф. Я+(і) Є С^!, г > г0, то система рівнянь (9) має єдиний розв’язок при достатньо великих п, а наближені розв'язки системи рівнянь (7) будуються по формулі (11), де Д - рішення системи рівнянь (9), і збігаються до її точного розв 'язку зі швидкістю

ІМ1) - У’-.МІїї, - 0(п-Т), г > г0.'

Аналогічні результати одержано, якщо наближені розв'язки системи рівнянь (7) будуються на основі наближеного розв’язання матричної задачі Рімана (8) методом Гальоркіна.

Третій розділ складається із семи підрозділів: §§3.1-3.7. В підрозділі 3.1 устанавлено умови розв’язності інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа виду

в . і • 7

Еаі^0,(*) + -^=Е [У*-0 + п,(* + 0] ч>м(г)<и = А(х), х>о, (із)

і=О р=0 ^

де а- - відомі сталі; кр(х), пр(х) Є Ь, /і(г) Є Іг - відомі функції. Показано, що рівняння (13) еквівалентно задачі Рімана

а(х) Р+{х) + 6(х) Р~(х) — д(х), х € К, (14)

де РЦх) = {F^F-ftx)}’, д(х) = {НЦх),НЦ-х)У. Тут і нижче знак ”т” означав транспонування, а

а(х) =

Л(і) 0 В(~х) -1

Ь(х) =

-1 В(х)

0 Л(~х)

Де

А(х) = (г + і)"

£НхУ О.+£(-■■*)' -І=0 р=0

рзгО

a v = max{m,s}; Kf(x), Np(x), H+(x) - перетворення Фур’е відповідно функцій кр{х), пр(х), h(x). При цьому розв’язки рівняння (13) виражаються через розв’язки задачі Рімана (14) слідуючим чином

V(x) = + ІГ F+(t) Г* it, X > 0.

R

Теорема 5. Рівняння (13) являється кетеровим тоді і тільки тоді, коли виповнктееться умова

А(х) = (х + і)“”

£(-.*)»■ ві+£(-«'*)'ВД ;=0 р=0 .

^ 0, х € R*

В цьому випадку індекс рівняння (]3) визначається по формулі ге = —2 ind А{х).

Теорема 6. Нулі det а(х) і det Цх) на R протилежні по знаку і мають однакові порядки.

На основі цих тверджень підраховано число лінійно незалежних рішень однорідного рівняння (13) та кількість умов розв’язності неоднорідного рівняння (13) у його нормальному та виключному випадках.

На основі наближеного розв’язання задачі Рімана (14) в підрозділі 3.2 пропонуються та обгрунтовуються методи наближеного розв’язання рівняння (13). Так, наприклад, у випадку методу Гальоркіна наближені розв’язки задачі Рімана (14) відшукуються у вигляді

П — 1

*ї(*) = £л **(*), F-(z) = - £ А ВД,

а невідомі вектори Д = | визначаються із системи рівнянь

П -1

Е Аі* А - Е ві* Л = Зі' І ~ (15)

*=0 і=-п

де А^, В]к та - коефіцієнти Фур’е відповідно м.ф. а(*)Ф*(х), і(і)Фі(і) та в.ф. д(х) по системі функцій Ф,(х). При цьому наближені розв’язки рівняння (13) будуються по формулі

„.(*) = 2^(-іхГе-Е/«^^ЕС>+Д-1)^^х^, х > 0,

Де /*Ч - рішення системи рівнянь (15).

Шляхом зведення до відповідної матричної задачі Рімана на Н в підрозділі 3.3 устанавяено умови нетеровості систем інтегро-диференціальних рівнянь виду

т 1 ' Т

£ аі 21 [*?(* - о+пр(х+о] * = Л(г), і> о, (іб)

,=о

а також підраховано число лінійно незалежних рішень однорідної системи рівнянь (16) та кількість умов розв’язності неоднорідної системи рівнянь (16) в її нормальному та винятковому випадках. Тут а,- - відомі матриці розміру І зі сталими елементами; кр(х), пр(х) € £ - відомі м.ф. розміру І, а к(х) € Ь2 -відома в.ф. розміру І. На основі результатів, одержаних в §2.3, запропоновано та обгрунтовано методи наближеного розв’язання системи рівнянь (16) в її нормальному та винятковому випадках.

В підрозділі 3.4 розглядується іктегро-диференціальне рівняння виду

а 00

£ [«_, У>°>(ї) + 6; ¥>«>(*)] + ~|= Е / ІК(Х ~ 0 ^<г,)(г)+

І=0 !Гр=0° (17)

+пр{х — *) уМ(<)] & — Д(х), х > 0,

де а;-, 6;- - відомі сталі; а ^(х), пр(г) Є і, Л(г) Є £а - відомі функції. Установлена еквівалентність рівняння (17) і слідуючої задачі Рімана

а(х)Р+(х)+Ь(х)Р~(х) = д(х), х Є К, (18)

и

де #*(*) = {*?(*),*?(*),*?(*), #?(*)}т, д{х) = {н+(х),н+(~х),нцх),

Щ=Щ\*

а{х)

' А(х) 0 0 В(х) ' (-1 0 0 0 ^

0 -1 0 0 , Ь(х) = 0 А(-х) В(-х) 0

0 0 -1 0 0 В(х) А{х) 0

V В{-х) 0 0 А(-х) 1 0 0 0 -ч

Де

£(-«)Ч-+ £(-«)'*,(*)

.І=ь0 р=:0 .

Х;н*уь,+£(-«)'*,<*)

.>=0 Р=Ю .

Тут V = шах {т, л}, а Кр(х), Мр(х), Н*(х) - перетворення Фур’в відповідно функцій кр(х), пр(х), Цх). При цьому розв’язки рівняння (17) виражаються через розв’язки задачі Рімана (18) по формулі

<р(х) = -і= /(* + О"' ^(0 е_,Г' Л- х > °-у2ж У К

Теорема 7. Рівняніїя (17) увАїтетюг нетсро&им тоді і тільки тоді, коли виповнюється умова

Л(х) А(—х) - В{х) В{—х) ф 0, х Є К.

В цьому випадку індекс рівняння (17) визначається по формулі ж = —2>п(1 ІА(х)А(—г) — В(х)В(—т^.

Теорема 8. Пулі (іеі а(х) та <іеІі(і) на К співпадають та мають однакові порядки.

На базі цих тверджень підраховано число лінійно незалежних рішень однорідного рівняння (17) та кількість умов розв’язності неоднорідного рівняння (17) в його нормальному та винятковому випадках.

На основі наближеного розв’язання задачі Рімана (18) в §3.5 проводиться обгрунтування методів наближеного розв’язання рівняння (17) в його нормальному та винятковому випадках.

Шляхом зведення до відповідної матричної задачі Рімана на К в підрозділі 3.6 устанавлено умови нетеровості систем інтегро-диференціаяьних рівнянь виду

+Пг(ї — І) <^р)(*)| <Й = /і(і), X > 0,

а також підраховано число лінійно незалежних рішень однорідної системи рівнянь (19) та кількість умов розв’язності неоднорідної системи рівнянь (19) в її нормальному та винятковому випадках. Тут а}, Ь, - відомі матриці розміру І зі сталими елементами; кр(х), пр(х) € £ - відомі м.ф. розміру /, а к(х) € Ь3 - відома в.ф. розміру/. На основі результатів, одержаних в §2.3, проводиться обгрунтування методів наближеного розв’язання системи рівнянь (19) в її нормальному та винятковому випадках.

Підрозділ 3.7 присвячено наближеному розв’язанню однієї задачі теорії пружності, яка приводиться до розв’язання інтегро-диференціального рівняння Вінера-Хопфа. Проведено чисельний експеримент, результати якого добре співпадають з результатами, одержаними другими авторами, які це рівняння розв’язували методом наближеної факторизації.

У висновках коротко формулюються основні результати, одержані в дисертації.

Основні положення дисертації опубліковано в наступних виданнях:

1. Дмитриева М.В. К приближенному решению одного интегро-дифференци-ального уравнения типа свертки / Тез. докл. Республ. научн.-метод. конф., посвящ. 200-летию со дня рожд. Н.И.Лобачевского. - Одесса: Одесск. ун-т. - 1992. - ч.2. - С.65-66.

2. Дмитріева М.В. До наближеного розв’язку систем інтегро-диференщальних рівнянь Вінера-Хопфа з різницевими та сумарними ядрами / Тез. доп. V Міжнар. конф. їм. ак. М.Кравчука. - Київ: Націон. політехн. ун-т. - 1996.

- с.127.

3. Дмитриева М.В., Тихоненко Н.Я. Теория Нетера и приближенное решение интегро-дифференциадьных уравнений Винера-Хопфа с разностными и суммарными ядрами // Диффереиц. уравнения. - 1996. - т.32, №9. - С. 11531162.

4. Дмитріева М.В. До теорії Нетера систем інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа з різницевими та сумарними ядрами/ Тез. доп. Всеукраїнськ. конф. " Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування”. - Київ: Ін-т матем. НАН України. - 1996. - С.52.

5. Дмитриева М.В. Приближенное решение интегро-дифференциальных уравнений Винера-Хопфа с комплексно сопряженными значениями неизвестной функции // Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т матем. НАН Украины. - 1997. -С.64-68.

6. Дмитриева М.В. К приближенному решению интегро-дифференциальных уравнений Винера-Хопфа // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. - Київ: Ін-т матем. НАН України. - 1997. - вил. 15. -С.53-57.

7. Дмитриева М.В. К теории Нетера интегро-дифференциальных уравнений Винера-Хопфа с комплексно сопряженными значениями неизвестной функции // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. -Київ: Ін-т матем. НАН України. - 1997. - вип. 16. - С.92-95.

8. Дмитриева М.В. К приближенному решению интегро-дифференциальных уравнений Винера-Хопфа с комплексно сопряженными значениями неизвестной функции// Крайові задачі для диференціальних рівнянь. - Київ: Ін-т матем. НАН України. - 1998. - вип. 1. - С.89-91.

Дмитрівна Марина Валеріївна. Теорія Нетера та наближене розв’язання інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа. Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -диференціальні рівняння. - Одеський держуніверситет, Одеса, 1998.

Дисертація присвячена побудові теорії розв’язності інтегро-диференщ-альних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем з різницевими та сумарними ядрами і інтегро-диференщальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем з різницевими ядрами та з комплексно спряженими значеннями невідомих функцій, а також розробці та обгрунтуванню методов наближеного розв’язання різних типів інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем.

Ключові слова: теорія Нетера, інтегра-диферекцісльне рівняних Вінера-Хопфа, наближене розе 'язання.

Дмитриева Марина Валериевна. Теория Нетера и приближенное решение интегро-дифференциальных уравнений Винера-Хопфа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Одесский госуниверситет, Одесса, 1998.

Диссертация посвящена построению теории разрешимости иитегро-диф-ференциальных уравнений Винера-Хопфа и их систем с разностными и суммарными ядрами и интегро-дифференциальных уравнений Винера-Хопфа и их систем с разностными ядрами и с комплексно сопряженными значениями неизвестных функций, а также разработке и обоснованию методов приближенного решения различных типов интегро-дифференциальных уравнений Винера-Хопфа и их систем.

Ключевые слова: теория Нетера, интегро-дифференциалтое уравнение Винера-Хопфа, приближенное решение.

Dmitrieva Marina Valerievna. Neter’s theory and approximate resolution of mtegro-differential equations of Wiener-Hopf. Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.01.02

- differential equations. - Odessa State University, Odessa, 1998.

The thesis devotes construction of theory of solubility of integro-differential equations of Wiener-Hopf and their systems with differency and summary kernels and integro-differential equations of Wiener-Hopf and their systems with differency kernels and complex conjugate values of unknown functions and also elaboration and basis of methods of approximate resolution of different types of integro-differential equations of Wiener-Hopf and their systems.

Key words: Neter’s theory, integro-differential equation of Wiener-Eopj, approximate resolution.