Краевые задачи для систем с вырожденной матрицей при производной по времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 1 ЬСа и...... РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

На правах рукописи

Матвеева Инесса йзотовна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ

С ВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЕЙ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/иш^

НОВОСИБИРСК —1996

Работа выполнена в Институте математики им. бирского отделения Российской Академии наук

С.Л.Соболева Си-

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Г.ВДемиденко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.И.Кожанов, кандидат физико-математических наук, доцент Д.Л.Ткачев

Ведущая организация — Московский энергетический институт

Защита состоится 1996 г. в часов на заседа-

нии диссертационного совета К 002.23.02 в Институте математики им. СЛ.Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

Автореферат разослал " / " СМЯ^41996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

гс

А.С.Романов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации изучаются краевые задачи для одного класса интегрсдифферешщальных систем следующего вида

ЛоАи + А(Дг)ы + Л2{ П<\Пх)и = 1(Ь,х), (1)

где Л0 - числовая вырожденная матрица, .Д^Дг), ^2(1)<_1,1)х) - матричные интегродифференциальные операторы, £){-1 - оператор интегрирования по Р. = /о «(а, х) <1з. Системы с вырожденной матрицей при производной по времени или, как их принято называть, системы не типа Коши-Ковалевской возникают в прикладных исследованиях. Примерами таких систем являются: линеаризованная система Навье-Стохса, система внутренних волн, система волн Россби и др. Наличие систем с вырожденной матрицей при производной по времени в реальных задачах обусловило повышенный интерес к ним как механиков, так и математиков. Начало большому циклу работ по этим системам положила статья С.Л.Соболева "Об одной новой задаче математической физики" (1954 г.), в которой рассматривалась система, возникающая при описании малых колебаний идеальной несжимаемой жидкости

(2)

Шуи = О,

а = (0,0,а). Эта работа явилась первым систематическим исследованием системы не типа Коши-Ковалевской, вследствие чего система (2) и связанное с ней уравнение Ад^и/Ш2 + а1д'2и/дх1 = 0 получили названия системы Соболева и уравнения Соболева соответственно, а уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, в дальнейшем стали называть уравнениями соболевского типа.

После появления статьи С.Л.Соболева И.Г.Петровский указал на необходимость изучения общих уравнений и систем не типа Коши-Ковалевской. Впервые такое исследование было проведено в докторской диссертации С.А.Галъперна при построении теории задачи Коши для одного класса систем следующего вида

= ¿е1М(г,Ю = 0, {еЯп.

В настоящее время существует большое число публикаций по системам не типа Коши-Ковалевской и уравнениям соболевского типа. В частности, изучению этих систем и уравнений посвящены работы Р. А. А лександряна, С.А.Габова, С.А.Гальперна, А.А.Дезина, Ю.АДу-бинского, Т.И.Зеленяка, А.М.Ильжна, А.Г.Костюченко, О.АЛады-женской, В.Н.Масленниковой, А.ЛЛавлова, А.Г.Свешникова, В.А.Со-лонникова, Г.И.Эскина и др. В них затрагивались различные вопросы: изучались постановки краевых задач, исследовались качественные свойства решений, рассматривались спектральные задачи, выполнялись численные расчеты. Однако общей теории краевых задач для систем с вырожденной матрицей при производной по времени в настоящее время не существует.

Цель работы. Основной целью настоящей диссертации является исследование разрешимости задачи Коши и общих смешанных задач в четверти пространства = {(¿,х) : I > 0, (х',хп) 6 для одного класса интегродифферешщальных систем с вырожденной матрицей при производной ио времени. Примерами таких систем являются системы Соболева, внутренних и гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска. Рассматриваемый класс задач включает классические постановки для этих систем, а также ряд новых.

Методика исследования. В диссертации используются методы современного анализу, в частности, теория соболевских пространств, теория мультипликаторов, интегральные представления суммируемых функций. При построении решений рассматриваемых задач применяется метод, описанный в монографин С.В.Успенского, Г.ВДеми-денхо, В.Г.Перепелкина "Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям" (1984 г.).

Научная новизна, практическая и теоретическая ценность. В диссертаций получен ряд новых результатов в теории краевых задач для систем с вырожденной матрицей при производной по времени. В частности, получены -оценки решения задачи Коши, изучен класс смешанных краевых задач в четверти пространства, удовлетворяющих условию типа Лопатинского, установлены условия разрешимости рассматриваемых задач в весовых соболевских пространствах и доказана их необходимость для конкретных задач.

Настоящая работа имеет теоретический характер. Результаты исследований могут быть использованы в теории краевых задач для дифференциальных уравнении с частными производными и, в частности, для систем гидродинамики в линейном приближении.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Ульяновск, 1990 г.), на Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1996 г.), на семинаре отдела дифференциальных уравнений математической физики Института математики СО РАН под руководством академика С.К.Годунова, на семинаре под руководством профессора Т.И.Зеленяка в Институте математики СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем работы 168 страниц, библиография включает 33 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по кргиевым задачам для систем с вырожденной матрицей при производной по времени и излагаются основные результаты диссертации.

Глава 1 состоит из четырех параграфов и посвящена изучению задача Коти для одного класса интегродифференциальных систем вида (1)

■£>.)«* = ЯМ), (3)

где и ВХ1 - операторы дифференцирования по I и х, соответственно. В первом параграфе вводятся необходимые определения и налагаются условия на оператор £(!?{, £>г).

Условие 1. Оператор С{ОиО^,Ох) задается матрицей размера v x v

где

ч м(ог\О;) о? о м{о;\ £>г)

К(О^) = Ко + А-1 ° Кг + ■ ■ ■ + (ЯГ1/ О к, = Яо + #'(А-1) -матричный оператор размера тп х т, det Ко 0;

ОД"1, Д) = Ьа(1>г)+1)Г1оЬ1(Х>х)4-" + (£>Г1)'оМ^) = Ьо(А) + , Д,.) — матричный оператор размера тх (и — т);

лад-1, А) = + А-1 о м^х) + •-■-(- (рг1)' о м(А) =

Мо(Х>х) + М'(1>(-1, Дс) — матричный оператор размера (у—т)х т;

ЩП-\Ох) = ЛГ0(Д) + Д"1 О + ... + (Д"1)' О ЛГ;(£У =

^о(А) + ЛГ'(А-1>Аг) — матричный оператор размера {и - т) х (V - т).

Обозначим через (г е С, ( е Д,) элементы матрицы

£(т, являющейся символом оператора Д-1,0;).

Условие 2. Существуют целые числа Ъх,...,1,/ такие,

что тах з* = 0. 1.; > 0, 3 = 1,... ,1/, 1; > з; > зх, I = т + 1,... , гл

1<к<и

при этом хотя бы одно из чисел > и для = 1

= 0 п?и + Ь <

= с > 0, при 81 + Ъ > 0.

Равенства (4) могут быть переписаны в матричном виде

£(г,т-\сгО = 5(с)£(т,г-1,ге)Т(с),

где 3(с) = (¿{с81), Т(с) —

Условие 5. Существует число 7о > 0 такое, что равенство = 0 при Пег > 7о, ^ 6 йп имеет место тогда и только тогда, когда £ = 0.

Заметим, что в рассматриваемый класс систем входит система Соболева (2). Для этой системы 1/ = 4, т = 3,

(4)

í1 0 ( 0 -а

ВД-1)^ 0 1 0 + А"1 о а 0 0

0 1о о о)

' А, \

А А

, М(Д-\ Дг) = (А„ А3, А,), лг(А > А) = 0.

^ у

Матрица £(т, удовлетворяет условию 2, при этом Э! = 82 =

зз = —1, 34 = 0, <4 = %2 = 1з = 1,14 = 2. Условие 3 также выполнено, поскольку <1е1;£(г,т~1,1'£) = г2(£|2 + а2£2.

Приведем еще два примера систем вида (3), которые возникают при исследовании малых колебаний стратифицированной несжимаемой невязкой жидкости в поле силы тяжести при отсутствии других внешних сил. Предположим, что жидкость экспоненциально стратифицирована вдоль оси х3. Система, описывающая внутренние волны в приближении Буссинеска, может быть записана в следующем виде

§» + ш21о' v3ds е3 + ЧР = /(г, х), <Нуи = 0.

(5)

Система (5) удовлетворяет условиям 1-3. Для этой системы V = 4, т = 3,

' 1 0 0) (0 0 0

* (А-1) = 0 1 0 + (ОТ1)2 о 0 0 0

0 1° 0

( Л. ^ д

, мфг'.Д*) = (п^п^п^ = о,

при ЭТОМ Эх = 82 = вз = —1, 94 = 0, ^ = 12 = ^ = 1, = 2 И = т2|£|2+и,2(£2 + £2). Система, описывающая гравитационно-гироскопические волны в приближении Буссинеска, также имеет вид (3) и может быть записана в виде

8«

= 0.

Для системы (6) I/ = 4, т = 3,

в" - [о, а] + и;2 /0' ад1я е3 + V^> = /(«, г),

(6)

{1 0 0 ^ 10 —си 0 ' (0 0 0 А

тг1) = 0 1 0 + А"1 о а 0 0 + и>г1)2° 0 0 0

1« 0 и и 0 0, 1« 0

Ь(ОТ\Пх)

( п

оХ1

А

, м{от\ох) « = о,

81 = = 8з = -1, Б4 = О, 11 = = = 1, <ч = 2, аеЩг.т-1,»^) =

Заметим, что системы (5), (6) имеют с системой Соболева одинаковую главную часть и исследования краевых задач для всех этих систем можно провести по одной схеме.

Рассмотрим для системы (3) в полупространстве К£+1 = {(*,х) | < > О, х € Ип] следующую задача Копта

Д:)и = /(*,в), I > 0, ж € Нп,

«+|1=0 = «О («)> X е Да,

(7)

где х) = ^ |, «+(<,ж) - вектор-функция с т компонен-

тами, я) - вектор-функция с ¡/-га компонентами, /(1,х) —

/ /+(4 а;1» \

I [ (I х) )' И соответственно /+(*>х) ~ вектор-функция с ш компонентами, - вектор-функция с V — т. компонентами.

Основным результатом первой главы является установление корректной разрешимости задачи Коши (7) в некоторых шкалах весовых соболевских пространств.

Пусть к,1 - натуральные числа, 1 < р < оо, 1/^ + 1/р = 1, 7 > 0. Введем функциональные пространства:

£рл(Д++1) - весовое (с экспоненциальным весом е-7') пространство функций v = у(1,х) с нормой

||о(«,х),ЬАТ(Л++1)|| = ||е—^»С*.

^р'К^+г) ~ соболевское пространство функций V — с нор-

мой

N2»

- весовое (с экспоненциальным весом е-7') соболевское пространство функций V = v(tt х) с нормой

1«!</

Сформулируем основные результаты первой главы для случая нулевых пачальных условий в предположении, что компоненты вектор-функции ¡{1,х) финитны.

Теорема 1.1. Пусть /~(1,х) = 0, 6 Ик =

1,«",т, 7 > 7о- Если п/р? > тах;Ч;- - ^ тогда задача Коши (7) имеет единственное решение:

иД*,®) € И$>(Д+.,)> 3 = т

(8)

и справедлива оценка

т и

}=1 ;=т+1

то

где константа с не зависит от /+(1,х).

Теорема 1.2 Пусть вектор-функция х) удовлетворяет условиям теоремы 1.1. Тогда задача Коши (7) имеет решение:

иД^*) е и$«(д++1), з — 1»" • >т»

Л? «Д*. х) 6 3 = т + 1, ■■ • •, I/, =

и справедлива оценка

т V

к= 1

где константа с не зависит от /+(1>х).

Теорема 1.3. Пусть вектор-функции /+(4,ж) удовлетворяет условиям теоремы 1.1, (*,*)> АДЧ*.®) 6 к = т +

!>• •'7 > 70, и /~(0,х) = 0. Если п/р* > тах/Ъ,-, тогда задача Коши (7) имеет единственное решение (8) и справедлива оценка

т v

1-1 /-т+1

* т V ч

Е ^/ПМ^рСЗД!), (9)

4=1 к=т+1

где константа с не зависит от /(^ж).

Прокомментируем результаты теорем 1.1-1.3 на примере задачи Коши для неоднородной системы Соболева

' |2-[»,«] + чр = /+(*,*), ¿>о,хе4

»|{=о = 0, ж 6 Дз-

Согласно нашим обозначениям ы+(4,х) = v(t,x), и~(1лх) = Р(£,а:). Если х) = 0, теорема 1.2 содержит известный результат В.Н.Масленниковой: задача Коши для системы Соболева имеет единственное решение

КМ) е € (Ю)

при р > 1. Согласно теореме 1.1 при получении оценок для самой функции Р(1,х) возникают ограничения на показатель суммируемости р и задача Коши имеет единственное решение

VII, *) 6 П?=1 И^да, РЦ, х) € (11)

при р > 3/2. Как следует из теоремы 1.3, при 0 ограниче-

ния на р более существенны и они совпадают с результатами, установленными в работах Г.ВДемяденко: задача Коши для системы Соболева имеет единственное решение (10) при р > 3/2 и решение (11) при р > 3. Для всей шкалы соболевских пространств И^, 1 < р < оо эти результаты не верны.

Сейчас мы сформулируем результаты при п/р' < maxy ty, т.е. р < n/(n- maxy t,).

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.3 и га/р' < maxyty, Предположим, что

f xaf£(ttx)dx = О, |а| = 0,1, к =

2(?c maxy ty — + 1 — n/p* > > max;-ty — tj — n/p*, maxy ty + 8* +

1 - п/j/ >

> max/ ty + st — п/j/. Тогда задача Кохам (7) имеет сдипстоеппос pciticntic (8) а справедлива оценка (9).

В теореме 1.4 указываются достаточные условия разрешимости задачи Копт (7) при n/p* < maxy ty. Естественно возникает вопрос: насколько близки они к необходимым? Теорема, формулируемая ниже, дает ответ на этот вопрос в случае max,- ty — 1 < n/pf < maxy ty.

Теорема 1.5. Пусть f+(t,x) = 0, /¿"(f,x)jE C^ißi+j), Ч = 9> 0> Si = 0, j,k = m-f При этом detN(t,t£) = 0 (Rjst > 70,

f € тогда и только тогда, когда f = 0. Вед« = N(r),

предположим, что det N(r) ^ 0. Тогда для разрешимости задачи Коши (7) в классах (8) при р < 2 и maxyty — 1 < n/p" < maxyty необходимо, чтобы выполнялись следующие условия

к = ттг + I,--- ,1/.

Как было отмечено выше, если f~(t,x) ф 0, задача Коши для системы Соболева безусловно разрешима в классах (11) при р> 3. Если р < 3, задача Коши будет разрешима при дополнительных требованиях на правые части. Необходимые условия разрешимости были установлены Г.В Демиденко: если f~(t,x) € С^'(Щ'), для того, чтобы задача Коши имела единственное решение (11) при 3/2 < р < 3 необходимо, чтобы

для того, чтобы задача Коши имела единственное решение (11) при 1 < р < 3/2 необходимо, чтобы

/Дз /-(*,*) = h*jf-(t,x)dx = 0, 3 = 1,2,3.

Возникает вопрос: с чем связано возникновение дополнительных условий разрешимости в соболевских пространствах когда р > 1 не слишком велико? При более тщательном исследования выясняется, что это связано с поведением решения при |х| —> оо. Так, для системы Соболева P(t, х) = О(щ) при |ж| оо, поэтому P(t, ж) $ LM при р < 3.

Отметим, что результаты, полученные для системы Соболева, справедливы для системы внутренних волн (5) и системы гравитационно-гироскопических волн (6), при этом возникновение дополнительных условий разрешимости также связано с поведением решения на бесконечности.

Все результаты о разрешимости задачи Коши (7), установленные в теоремах 1.1-1.5 можно распространить на случай переменных коэффициентов. Заметим, что в случае постоянных коэффициентов дополнительные условия разрешимости выглядят достаточно просто. В случае переменных коэффициентов также возникают условия разрешимости, которые записываются в терминах псевдрдифференциаль-ных операторов, и их проверка, вообще говоря, не выполнима. Данное обстоятельство, обнаруженное при изучении уравнений соболевского типа (см. главу 3 в монографии С.В.Успенского, Г.ВДемиденко, В.Г.Перепелкина "Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям"), явилось одним из аргументов для исследования вопроса о корректной разрешимости в других весовых соболевских пространствах, а именно, в соболевских пространствах со степенным весом по х. К этому же подталкивают рассмотренные выше примеры.

Определим следующее функциональное пространство:

^M.ffi-Rtfi)»0 < ^ < 1 - весовое (свесом (l-f-|a;l)-<rc-'l't) соболевское пространство функций v — t>(i, х) с нормой

= 11(1 + i)ll

м<»

При сг = 0 введенное пространство совпадает с пространством Соболева Wfy. Пространства были введены Г.В.Демиденко при изучении краевых задач для уравнений соболевского типа. Отметим,

что при исследовании разрешимости в пространствах удается

расширить класс систем, для которых имеет место безусловная разрешимость.

Теорема 1.6. Пусть f~(ttx) = 0, t; -tj - n/p* < <r;- < n/p, (Tj < 1, j = m + Д+(*,х) G к = 1, - • •, m, 7 > 7o- Тогда

задача Коши (7) имеет единственное решение:

uj{t,x)&W^(Ji++1), j = 1, ■ ■ • ,т,

Uj(t, х) G j = m+l,-,vt

D?uj{t, x) G £P)7(iC+1), tj - t! < |cry| < tj, j = m + 1, • - •, v, и справедлива оценка

m v

£1М«,*)Х$'(л£м)11 + E IMi.z), ^^"''(Äi+i)!!

J=1 j=m+1

+ E E

J=m+1 tj-ti<|o>j|<tj

m

k—i

где константа с не зависит от f+(t,x).

Теорема 1.7. Пусть tj — n/pf < er < n/p, er < 1, tj — n/^ < <7/ < n/p, <Tj < 1, j = m + 1, • • •, f, вектор-функция f+(t,x) удовлетворяет условиям теоремы 1.6, fk(t,x), Dtfj~(t,x) G k = m+1, •• ■ ,v, 7 > 7o, w /~(0,а:) = 0. Гог^а задача Коши (7) имеет единственное решение:

Uj(i,х) G (R++1), j=l,...,m,

uj(t,x) E (Rt+i), j ~ m + 1, - ■■,!/,

и справедлива оценка

j=1 ;=m+l

f ГП

<c(E

4=1

fc=m+l '

где константа с не зависит от f(t, х).

Как мы видим, при установлении оценок в весовых пространствах, выбирая для каждой компоненты вектор-функции решения свой вес, ограничения на показатель суммируемости р удается существенно ослабить. В частности, задача Копш для неоднородной системы Соболева имеет единственное решение

v(t,x) е П?=1И^(Д+), P{t,x) G W^iRt), 1 < р < 00,

1 - 3/р' < а < Z/p, 2 - 3/р' < 04 < з/р,

т.е. при правильном выборе параметров а, сг4 имеет место безусловная разрешимость.

В § 2 первой главы строится последовательность приближенных решений задачи Коши (7) по схеме, описанной в третьей главе монографии С.В.Успенского, Г.ВДемиденко, В.Г.Перепелкина "Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям". В §§ 3, 4 проводятся Lp-оценки и устанавливается сходимость построенной последовательности в весовых соболевских пространствах. Техника получения Lp-оценок решений краевых задач для уравнений соболев-скота типа развита в работах Г.В.Демиденко. При проведении оценок существенно используется теорема Лизоркина о мультипликаторах.

Во второй главе диссертации для системы (3) в четверти пространства i = {(г,г)|г > о, х = (х',гп) е #+} изучается следующая краевая задача

C{Dt,DTl,Dt)u = /(«,*), t > 0, х 6 Д+, ■ B{D;\Dx)uU=0 = 0, t>0, х'ей»-!, (12)

, u+|t-o = ui(x), X e Д+,

где интегродифференциальный оператор C{Dt, Df1, Dx) удовлетворяет условиям 1-3, а для граничного оператора B{DJX, Dx) справедливы следующие условия.

Условие 4. B(Djl ,DX) — матричный оператор размера ц х и, где /i - число корней по Л уравнения

àet£{T,T-\i^,iX) = О, Rer > ъ, ? G &*-i\{0},

лежащих в верхней полуплоскости■

Условие 5. Оператор B{D^l,Ds) имеет вид

B{D;\D,) = (Bi(Dr\Dx) ■ Dr1 о B2{D;\Dx%

где

A(A~\Ar) = B\{DX) + D~l о B\{Dt) + ••. + (Dr1)' ° B[{D=) = B°(DX) + B'^D^fDx) - матричный оператор размера ц х m; tf2(Z?f\/>,) = 52°(А) + А"10 А1 (А) + ••• + (А-1)'°^а(А) - •««-

гпричный оператор размера р х {у — т).

Обозначим через Bkj{r~l,i£) (т = t'rç+a, f € -R») элементы матрицы В(т~1,г£), являющейся символом оператора Z?(A~\ А).

Условие О. Существуют целые числа ть < 0, к = 1,..., ß такие, что для j = 1,... ,v

Ву(т-1,»0 = 0 при Tnk + tj< 0,

(13)

Bkj(T~\ciO = cm>+tiBkj(T~\iO, О 0, при тк + t, > 0,

целые числа tопределены в условии 1.

Равенства (13) могут быть переписаны в матричном виде

B(r-\ciO = М(с)В(т'1Л)Т(с),

где М(с) = (¿je™), Т(с) = (¿{с1').

Условие 7. Выполнено условие типа Лопатинского, т.е. существует число 7i ("fi > уо) такое, что краевая задача с параметрами т£С, Rer > 7i, ? € Ä»-i\{0}

' £(T,T-\iÇ',DxJv = Q, хЛ > 0,

к 9ирг>>0 |t?(r,f,arn)| < оо, имеет единственное решение при любых ф.

Схема изложения материала во второй главе такая же, как в главе 1. В § 1 формулируются основные утверждения, которые комментируются на примерах краевых задач для систем Соболева и внутренних волн в § 2. Доказательство результатов проводится в §§ 3, 4 и 5, при этом в § 3 строится последовательность приближенных решений краевой задачи (12), а в §§ 4, 5 проводятся Х^-оценки и устанавливается сходимость построенной последовательности.

Приведем основные результаты второй главы, предполагая для простоты, что начальные данные и компоненты вектор-функции /(*, х) финитны.

Введем ряд обозначений. Обозначим через С(т, »'£) взаимную матрицу для матрицы £(г, г-1,г£). Через Ду будем обозначать порядок дифференциального оператора Д^Дг-1,^',!?*.), через Ду - порядок оператора Д^Дт-1,»^', Д^)- Пусть

Р — шах(шах Ду, тах($у + ^ -

рг = тах(т^х(/31;. + I, - + -

Теорема 2.1. Пусть /_(*,х) = 0, «¿"¿(ж) € И/¿+(г,ж) € И^'М-Й^), к = 1 7 > 71 и выполнены условия согласования

р- 1,= 1,

Если п/р/ > — 1^), тогда краевая задача (12) имеет един-

ственное решение с компонентами

М0{Ох)и+{х) = О,

В°Ш4(х) = 0.

(14)

(15)

Предположим, что

аеЕДМг-1, »£',»А)£,*(т,1?,»А)) < г,

(16)

(17)

т V

;=т+1

Cm m \ ■

С L Ш^и^еди), (18)

x=l h=l '

где константа с не зависит от ttfj"(х), f+(t,x).

Теорема 2.2. Пусть вектор-функции и£{х), f+(t,x) удовлетворяют условиям теоремы 2.1 и /¿"(f,x), Dtfk(t,x) е W^^C^Si)» k — m 4- 1, •• • ,i>, 7 > 7i. Предположим, что выполнены условия согласования (15),

Мо(ДК(*) = По,®), (19)

« условие (16). Если n/p' > max;-tj, тогда краевая задача (12) имеет единственное решение с компонентами (17) и справедлива оценка

т v

/=1 j=m+l

/ тп т

< iZ ll«o>(*)»w,,t,(Äi)ll + £ (20)

Ь=1 k=l

fc=ro+l '

где константа с не зависит от f(t,x).

Теорема 2.S. Пусть f~(t>x) = 0 и вектор-функции Uq(x), f+(t,x) удовлетворяют условиям теоремы 2.1 Предположим, что выполнены условия согласования (14), (15) и для некоторых индексов р, s, к

degx(BpJ(T~\ie,iX)CMr,i(\iX)) > г. (21)

Если n/p' > maxjßj+1, тогда краевая задача (12) имеет единственное решение с компонентами (17) и справедлива оценка (18).

Теорема 2.4. Пусть вектор-функции и$(х), f+(t,x) удовлетворяют условиям теоремы 2.1, и /¿~(£,x),Z></^~(i,x) G k = т+ 7 > 7i< Предположим, что выполнены условия

согласования (15), (19) и условие (21). Если п/j/ > ma.Xj t;-, тогда краевая задача (12) имеет единственное решение с компонентами (17) и справедлива оценка (20).

Прокомментируем установленные результаты на примере краевых задачах для системы Соболева.

Рассмотрим следующую краевую задачу для системы Соболева - [v,a] + VP = /+(f,a;), С > 0, ж € R£t

d¡vt> = f~(t,x),

(22)

»|í=0 = t!°(x),

biv 1 4- 62v2 + b3v3 + í>4 f¿ P ds^o = o,

где 6;, i — 1, • • • ,4 - вещественные числа. Этот класс задач изучался в работе [2]. Напомним, что в наших обозначениях u+(t,x) = v(t,x), u~(í,x) = P(í, ж) и граничный оператор B{D^l,Ds) — (Ь1 Ь2 63: Ь^О^1).

Отдельно остановимся на условии типа Лопатинского, которое для задачи (22) может быть переформулировано следующим образом: существует 7i > 0 такое, что

1Ы1) = -^—[ЬгЫг - «£,) + Ъ2{тЪ + «ео]

+ь3\?\ + ЪГ Ф О (23)

при Re г > 7i, € Л2\{0}. Проверка этого условия представляет определенные трудности, однако можно выписать простой критерий выполнимости условия (23), которому можно дать геометрическую интерпретацию.

Лемма. А. Если 64 = 0, тпо условие типа Лопатинского (23) выполнено тогда и только тогда, когда точка (£>1,63,63) принадлежит открытому конусу К = {{x,y,z) € i?s • х2 + у3 < coz2}, где 00 = 2/^1 + ^/7?-!).

Б. Если 6< ф 0, то условие типа Лопатинского (23) выполнено тогда и только тогда, когда точка (63,64) принадлежит I или III четверти координатной плоскости и точка (61,62,63) 6 К.

Отметим, что в изучаемый класс задач входят первая и вторая краевые задачи. Действительно, в случае первой краевой задачи граничное условие имеет вид Р|Г5=о = 0, и оно сводится к нашему при

:= 62 = 63 = 0, 64 = 1, а в случае второй краевой задачи из|1э=о = 0) т.е. 6l = 62 = h = 0, 63 = 1. Как для первой, так и для второй

краевых задач условие (23) выполнено. В рассматриваемый класс задач входят также некоторые другие задачи, не содержащие интегральных членов в краевом условии, исследованные в кандидатской диссертации С.И.Янова, в которой изучалась Ьа-теория краевых задач для одного класса систем соболевского типа.

Если = 0, из теоремы 2.1 следует результат В.Н.Маслеп-

никовой о разрешимости первой и второй краевых задач: как первая, так и вторая краевые задачи имеют единственное решение

«(*,*) € П?=1И$(ДГ), <= И^!(/гГ) (24)

при р > 1. Согласно теореме 2.1 первая: и вторая краевые задачи имеют единственное решение

v(t>x) € Р&х) € (25)

при р > 3/2. Если /~(1,х) ф 0, как следует из теоремы 2.2, первая и вторая краевые задачи разрешимы в классах (24) при р > 3/2 и в классах (25) при р > 3, т.е. для первой и второй краевых задач просматривается полная аналогия с задачей Каши. Однако изучаемый класс задач (22) включает в себя и другие постановки. Рассмотрим, например, случай ¡¿г| + \Ь2\ ф 0, ¿ц = 0 л = 0. Результат

для этой задачи уже имеет существенное отличие от результатов, установленных для первой и второй краевых задач, поскольку, если 1 4- \Ьг\ Ф 0, в силу теоремы 2.3 задача (22) имеет единственное решение (24) при р > 3/2 и решение (25) при р > 3 [2], при этом возникающие ограничения на показатель суммируемости р по существу. В частности, для того, чтобы краевая задача (22) имела единственное решение (25) при 3/2 < р < 3 необходимо, чтобы начальные функции удовлетворяли следующему условию ортогональности

/я>(М°(аг',0) - Ь^(х\0))<1х' = 0.

Аналогичным образом, для того, чтобы краевая задача (22) была однозначно разрешима в класах (25) при 1 < р < 3/2 необходимо, чтобы

Ць1х4(х',а)-Ь2у1{(х\0))с1х1 = / аДМ^О) - М?(з',0))<&' = 0, ; = 1,2.

Снова, как и для задачи Коши, возникает вопрос: с чем связано возникновение дополнительных условий разрешимости? Ответом на этот вопрос также является поведение решения при больших х. Например, функция P(t,x) может быть записана в виде:

P(t, х) = K(t, х1 - г3)(М(т/,0) - 0))dj/ + P^t, *),

где P'{t,x) е ЬРЛ, и K(t,x?,x3) = при х3 + l^l оо. Отсюда

следует, что P(t,x) (/ LPi7 при р < 3.

Как и в случае задачи Коши, результаты теорем 2.1-2.4 могут быть распространены на случай переменных коэффициентов. Однако наличие условий разрешимости при малых р > 1, сложность их проверки в общем случае и характер поведения решений конкретных краевых задач побуждают к изучению вопросов о разрешимости краевых задач в весовых пространствах Сформулируем со-

ответствующие результаты для случая f~(t,x) = 0, предварительно обозначив max(/?;-,tj — ti) через Sj.

Теорема 2.5. Пусть f~{t,x) — 0, ß - n/p' < a < n/p, a < 1, Sj ~ n/jt < ffj < n/p, Cj < 1, j = m + 1,«&(») € W^(Rt), ft(t,x) e !>, к = 1 7 > 7l. Предположим, что

выполнены условия согласования (Ц), (15) и условие (16). Тогда краевая задача (12) имеет единственное решение:

иД«, х) С W^AKti), J = 1, • • •, ТП,

Daruj(t,x) е L^(Riti), 0<|a|<ti, i=l,---,m, uj(t,x) € (Л++), J = m +1,• • •,vs Dax'uj(t,x) e LM(RÜ0, < M < t,-, j = m + 1, • • • u справедлива оценка

m . тп. __

j=m+l

+ t E

(т т \

к=1 к=1 ' где константа с не зависит от «о"(ж), f+(t,x).

Теорема 2.6. Пусть f~(t>x) = 0, ß+ 1 - nfr/ < а < п/р, а < 1, ßj + 1 — n/p* < <7j < n/p, <r;- < 1, j = пг + l,--' ,i/, вектор-функции и*(х), f+(t,x) удовлетворяют условиям теоремы 2.5. Предположим, что выполнены условия согласования (Ц), (15) и условие (21). Тогда краевая задача (1.1) имеет единственное решение:

Ujit^eW^fiR+Z), j = 1, • • •, m,

D°xui(t,x) G £P,7(iCii). /?+l<|e|<ti, j = l, — ,m, uj(t,x) G W^iR^), j = m+l,...,v,

D?uj(t, x) € /?; + !< |«;| <tj, J = m + 1, - ■ •, *

и справедлива оценка

m m

E + E E l№,-(f,zUP,Ä+i)!i

+ E

;=m+1

+ E E

j=m+l ßj+l<\ai\<tj

< iE l|t&(»), и*(д+)|| + E

где константа с не зависит от f+(t,x).

Как мы видим, использование пространств позволяет рас-

ширить класс задач, для которых имеет место безусловная разрешимость. В частности, теорема 2.6 для задачи (22) при |6i| + (¿г| f "я f(t,x) = 0 дает следующий результат: задача (22) имеет единственное решение

v(t,x) € UUKURt+), P(t>z) е W^t(Ri+)t 1 - 3/p' < <r < 3/p, 2 - 3/p' < «r4 < 3/p.

Таким образом, выбор подходящего пространства (подходящего веса) позволяет ослабить ограничения на показатель суммируемости и установить результат о безусловной разрешимости.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Г. В. Демиденко за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикация по теме диссертации

1. Матвеева И. И. Краевые задачи для системы С.Л.Соболева // Материалы XXVII всесоюзной студенческой конференции. Новосибирск: НГУ, 1989. С. 45-48.

2. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об одном классе краевых задач для системы Соболева // Дифференциальные уравнения с частными производными.- Новосибирск: Ин-т математики АН СССР. Сиб. отд-ние, 1989. С. 54-78.

3. Матвеева И. И. Об одной краевой задаче для системы С.Л.Соболева )/ Материалы XV всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Ульяновск, 1990. С. 10.

4. Матвеева И. И. Краевая задача для одной системы интегро-дифференпиальных уравнений. Новосибирск, 1991. 34 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; N 18).

5. Матвеева И. И. Задача Коши для одной системы интегродиф-ференциальных уравнений. Новосибирск, 1992. 18 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; N 5).

6. Демиденко Г. В., Матвеева й. И. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши-Ковалевской // Тр. Ин-та математики РАН. Сиб. отд-ние. 1994. Т. 26: Вычислительные методы и модели прикладной математики. С. 42-76.

7. Матвеева И. И. Задача Коши для системы соболевского типа // Второй сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск: Ин-т математики РАН. Сиб. отд-ние, 1996. С. 92-93.

8. Матвеева И. И. Задача Коши для систем с вырожденной матрицей при производной по времени. Новосибирск, 1996. 35 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; N 34).

Подписало в печать 20.09.96. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,3. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 115 экз. Заказ N 55.

Лицензия ЛР N 020633 от 18 сентября 1992 г.

Издательство ИМ СО РАН. 630090 Новосибирск, Университетский пр., 4.

Отпечатано на полиграфическом участке ИМ СО РАН. 630090 Новосибирск, Университетский пр., 4.