Вырожденные системы линейных обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБОБЩЕННЫЕ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

§ I. Полу обратные матрицы.

§ 2. Псевдообратная матрица.

§ 3. Полуобратные матрицы и матричные уравнения

§ 4. Проекторы и отображения.

§ 5. Каноническая форма пары матриц

§ 6. Полуобратные блоков канонической формы.

Многие прикладные задачи требуют решения систем обыкновенных дилеренциальных уравнений следующих двух видов:

A(t) ' B(t)a>(t) +f(t), (I) и

- oo <oC 4 t> 4 < c>0 / мтж. B(t)cc(t) +<f(t)> oC 4 Ъ 4 Jè < cx=> . (2) oo

При этом матрицы A (t) и В (t) могут оказаться прямоугольными. А если даже они квадратные, то матрица A(t) может быть особенной.

Дополнительные условия, налагаемые на искомые решения, часто допускают следующую запись: J> d S (s)] С (s) ce (s) =a , (3) cù

ИЛИ 0 f[d S (s) ] С (s) A (s) x(s)= a, (4) где a - заданны!! вектор, С (s) - заданная матрица с непрерывными наэлементами, S(s)- заданная матрица, элементы которой суть вещественные на [<¿,¿/3] функции с ограниченной полной вариацией (все остальные величины в (1)-(4) могут быть, вообще говоря, комплексными). Интеграл в .левых частях условий (3), (4) - это интеграл Стилтьеса. Смысл условий состоит в следующем: если С (s) — ( cjr * п ) - матрица с элементами (jT - число строк, п - число столбцов), {р*(]г) - матрица с элементами $¿¿(3) » ~ вектор размерности п с компонентами œK (s) , ce - вектор размерности р с компонентами сс^ , то равенство (3) есть система следующих р скалярных равенств

5)

I = •

Если же С(в) — (ср*т) - матрица с элементами (в) , А (в)-(т х п) - матрица с элементами &к£ (в) ,то подставляя в (5) вместо сск (в) сумму п,

Е аке (я) гсе (в) и заменяя в (5) /г на/тг , получим систему равенств ? сА т п J оС

1> - р , эквивалентную условию (4).

Часто для задания условий в отдельных точках отрезка/^ в качестве функций (з) используются ступенчатые функции. В связи с этим напомним, что если функция У (в) - ступенчатая, т.е. Б = «$*0 - , а функция *P(s) - непрерывная, то сА d W(s)] т -(¿0 - а) vw+ty 6) т.е. в этом случае интеграл Стилтьеса равен сумме №+1 слагаемых, каждое из которых есть произведение величины скачка функции WCs) на значение функции ^(s) в соответствующей точке S. (i= О, /,., Ж).

Очевидно, что постановки задач для уравнений (I), (2) должны быть сформулированы так, чтобы интегралы Стилтьеса (3), (4) на искомых решениях сс(s) существовали. По этой причине мы будем в случае услови (3) требовать непрерывность компонент ccfs) , а в случае условия (4) - непрерывность компонент А (в) сс fs).

Заметим еще, что системы (I), (2) являются разными, далее если матрица А постоянна: в системе (I) оператор дифференцирования действует на компоненты вектора ас С$) , а в системе (2) - на их линейные комбинации. Этим должно обусловиться различие постановок задач для систем (I) и (2).

Наша главная цель - поставить задачи для систем (I), (2) с условиями (3), (4), найти формулы общих решений поставленных задач, обсудить вопросы корректности и исследовать возможность применения разностных схем для приближенных вычислений. Этому посвящена большая часть диссертации. Теперь же, чтобы пояснить обозначения и немного обрисовать класс задач, которые приводят к необходимости решения систем (I), (2) с условиями (3), (4), рассмотрим ряд примеров. Пример I. Многоточечная краевая задача

A cc(t) = 3 zc(i), oC С t ,

7)

Z/ cc(sj) = a, s, < sz< .< S% =c/$

0,- - постоянные матрицы) записывается в виде (I), (3), если в качестве матрицы С(д) взять непрерывную матрицу, которая на^ -м промежутке/"^- , «^7/У определяется с помощью линейной интерполяции

Si - s

V V1 а в качестве матрицы 8(S) - диагональную матрицу с элементами

0, S=oC>

1, г, sz<s^ s5 ; (8)

8it (s) iTf, St-i<S<*>t=(/>>

Отметим, что выбор способа интерполяции при получении матрицы C(S) не имеет значения. Важно лишь, чтобы матрица C(s) оказалась непрерывной и чтобы в точках сетки (¿ = /,., У) она совпадала с заданными значениями fy . Это следует из того, что в силу ступенчатого характера функций (8) и формулы (6) в сумме (5) будут присутствовать значения элементов матрицы C(S) лишь только в точках сетки Si (i =/,., t).

Ясно, что в формулировке (7) содержится также и задача Коши с начальным условием

СС (обJ = СС (9) чтобы ее получить, достаточно положить в (7) 2 = ( Е - единичная матрица) и £>г = О (0 - нулевая матрица)). Однако задачу Коши можно записать и проще. Для этого в качестве матрицы С (в) нужно взять С (в) = Е , а в качестве матрицы 8 (в) - диагональную матрицу, все диагональные элементы которой равны ступенчатой функции

О, Я , [ /, оС < в ■

При таком выборе 8(в) в силу формул (5), (6) /[с1ё(з)]ос(з) = х („с) об и поэтому условие (9) можно записать так: <0

10) об см. (3)). Заметим, что ничто не мешает в условии (10) допустить равенство ^ = , т.е. рассмотреть задачу Коши для случая бесконечного промежутка й <с^>

Пример 2. Пусть элементы матрицы 3(Ь) и компоненты векторасуммируемы (интегрируемы по Лебегу) на отрезке [оС,^] , и пусть на отрезке [<¿,¿5] выделена система точек с^ =■ ¿0 < <. < =^/2) . Поставим задачу определения вектора ссСй) , компоненты которого абсолютно непрерывны на каждом из сегментов [, ¿¿^У* ¿=оЖ-/, и который удовлетворяет почти всюду на [<¿,¿/5] системе а в выделенных точках - условиям

0 ¿г (об) = , где <® , , ¿9; , - з£ заданные матрицы, а сс0 , , ¿гу - заданные векторы.

Заметим, что задача И.Тауфера [30], с.28, при надлежащем выборе матриц и векторов может быть записана в виде (II), (12). Чтобы убедиться в этом, достаточно иметь в виду, что матрицы в условиях (12) необязательно квадратные. В нашей работе всюду предполагается, что если порядок матрицы или размерность вектора не указаны, то они безразличны или .легко определяются по порядкам и размерностям рядом стоящих матриц и векторов. Покажем, как свести задачу (II), (12) к виду (I),

3).

Запишем систему N одинаковых уравнений

13) с Л неизвестными функциями сс- (Ь), 1 = 0,., Ж-/, и потребуем выполнения условий о Г

14)

Очевидно, что на сегменте , ] функция хг- (Ь) (из решения задачи (13), (14)) совпадает с решением задачи (II), (12).

Введем теперь векторы

ССо(Ь)\ (№) а) ум ш и матрицы вт о в а)-о . о \

В(Ь) . . о о о . В(ь)) сс= осл сс< о о о

8(3) =

Ъо М о о о о е, о о о о о о о

0 . . 0 £) у у о \

8гСв) О

0

8: (Б) = где (в), 1 = 0,., N , суть ступенчатые функции г = /, . ^ м , & =

Тогда задача (13), (14) запишется в виде (У = В (Ъ)+ оС 4 0 в) ] С (в) сс (в) ~ сс . оС ср. с (I), (3)). Возможен другой способ сведения задачи (II), (12) к задаче вида (I), (3). Этот способ связан с отображением отрезка [0,1] на отрезок [Ь^ , ¿¿ + 4] с помощью формулы Ь = ( ¿¿^ - tj/) Г + t¿ , О < й . Получающаяся при этом задача (I), (3) оказывается даухточечной краевой задачей (см.[60], пример 4 во Введении).

Рассмотренная задача является чрезвычайно общей. К необходимости ее решения приводят постановки многих прикладных задач и задач вычислительной математики (например, задач о расчете балки [30], с.22, и задач о различных интерполяциях функций и решений дифференциальных уравнений).

Рассмотрим, к примеру, задачу о проведении дважды непрерывно дифференцируемого векторного сплайна $ы (Ъ) третьей степени, определенного на сетке ^ = Ь0 < < • • • < ^ -и удовлетворяющего условиям /,., Ж, где а- заданный вектор, А - заданная (для простоты постоянная) матрица, ¿¿) , г =/,., Ж , - значения заданной вектор-функции Ъ) в точках сетки, а^"(оС) и^) -значения вторых производных этой функции в точках оСть.^. Ясно, что решение рассматриваемой задачи эквивалентно решению задачи Коши

А = а?(£)-/(£), об 41}

С (оС) = СС методом сплайн-коллокации (об этом методе см., например, [13], с.284), а при А - О , аг (оС) перечисленные выше условия приводят к интерполяционному сплайну (о таких сплайнах см., например, [1],[13]). Если теперь ввести обозначения = ¿¿V , я:/ = ссг , сс^=сс3 , сс'3 = сс4 , то построение искомого сплайна сведется к решению системы хг (Ь) , сс4 , сс'4 (¿) = о

15) с условиями

С, (сС) = 6С , А СС« (*С) = (<*) > я^) -/"(/), А (¿г) = (16)

Очевидно, что при надлежащем выборе векторов и матриц задача (15), (16) запишется в виде (II), (12). Условия разрешимости этой задачи могут быть выяснены с помощью результатов, изложенных в диссертации.

Пример 3 . Рассмотрим систему с запаздыванием

А сЬ(Ь) = 3, сс^) + В2 я (¿-г),

17)

V = сопв£ >0 , оС + Т £ = + Жт , где N>2 - целое число,

СС(й)=<Р№, аС^Ь^об+Т у (18)

- заданная функция,А,В< и В2 - заданные постоянные матрицы.

Ставится задача определения решения системы (17), непрерывного в точках + ¿V(¿=/,. . . , Ж~ /У , непрерывно дифференцируемого в остальных точках отрезка [&С + ъ] и удовлетворяющего условию (18) с непрерывной функцией ^(Ь).

Покажем, что эта задача также может быть записана в виде (I), (3).

Введем обозначение = сс (£ + I ?), об ^ t < оС + Т, Ж-Г, где сс(й) - решение задачи (17), (18).

Легко видеть, что функции сСг(£) удовлетворяют системе

А сс, (V = В, ос,(Ь) + В2 , а?, (об) = + Г),

А (Ь) = В1 ссг + В2 сс, (¿),

СС2 (об) = СС1 (об + Т),

1{ 7 (20) вг а^ (¿), оС) = сс„2 (оС + Т), об ^ £ + г.

Обратно, если функции удовлетворяют системе (20), то можно показать, что вектор-функция ас(, составленная из ^¿(б} по формуле (19), удовлетворяет системе (17), (18). Таким образом, задачи (17), (18) и (20) эквивалентны.

Если теперь надлежащим образом ввести векторы и матрицы, то на отрезке [оС, с?С система (20) запишется в виде

I), (3) (см. об этом [60], с.15).

Отметим, что запись краевых и других условий в виде интеграла Стилтьеса не только удобна, но и дает основание считать задачи с условиями (3), (4) родственными в том смысле, что с точки зрения способов их решения они неразличимы. Аналогичная запись условий применяется в статье [32].

Дальнейшие примеры призваны показать, когда приходится рассматривать системы (I), (2) с прямоугольными или особенными матрицами.

Пример 4. Большой класс систем типа (I) с особенной матрицей А возникает при применении метода сферических гармоник к решению задачи переноса нейтронов гш+^-т-/ <*г'+/- (21) о 4 ж / , 8 - +

С о

У(о,{и)=0, (22)

Метод сферических гармоник состоит в том, что для искомой функции У сначала выписывается разложение

С^О --7 /и) -- Е У^Г1 % (23) гд&Рк((и.) - полиномы Лежандра. Затем это разложение подставляется в уравнение (21), предварительно умноженное на 1/(2 ш +1)/2 Рт (¡и,) , и результат подстановки интегрируется по (и, в пределах от -I до I. При этом с учетом соотношений ортогональности и некоторых тождеств, справедливых для полиномов Лежандра, для коэффициентов разложения (23) получается бесконечная система

У (2т-1)(2т+1} ¿я ]/'(2тИ)(2т+з) ¿¿сс + (24) где

0 [о, ШФО, т 11, т=о.

Далее в системе (24) ограничиваются первыми N +1 уравнениями и полагают У/ы+1 = ^ = . . = ¿7 . Получающаяся при этом конечная система называется Р -приближением бесконечной системы (24). Нетрудно показать, что матрица при производных в этой системе неособенная при Ж нечетном и особенна при Ж четном. Подробное изложение метода сферических гармоник имеется в книгах [22],[27].

Пример 5. Академик Н.Н.Яненко обратил мое внимание на то, что изучение систем вида (I), (2) полезно в связи с системой линеаризованных нестационарных уравнений Навье-Стокса

- А У = - р , а?¿г? гг = о, У / = : ( ¿=о если применить к (25) метод Фурье, т.е. подставить в систему (25) ряды

-Л ) V- , , , а?3, ъ; = Ь (¿) е к р (ее 1, сс2 , сс3 , = ¿7 рк (6) е я,, = Е/к(¿) к х, , яс2 , сс3 ) = П е К

К, я) где к, ос) - £ ^ ж, + г сс2 + ь £ ос3 .лярное произведение векторов

- эрмитово скак сс =

I- мнимая единица, ^ , £2 , пробегают множество целых чисел, то относительно коэффициентов Фурье гг , /юк получится система обыкновенных дифференциальных уравнений яГг?

О = - , к) с начальными данными в которой (к, к) и (ггк , к) произведения трехмерных векторов е. кV 4

26)

27)

28) суть эрмитовы скалярные

1К г? г к г? зк

Легко видеть, что матрица при производных в системе (26), (27) является особенной.

Заме титл, что если еще заданы какие-нибудь граничные условия, то к-системе (26), (27) присоединяются дополнительные алгебраические соотношения (между компонентами неизвестных), причем системы (26), (27) при различных к , вообще говоря, связываются друг с другом и получается система с прямоугольными матрицами коэффициентов. В последней главе к этой системе мы еще вернемся.

Пример 6. Рассмотрим модельную задачу фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости с учетом капиллярных сил [15] Пусть ¿9 - плоская односвязная область с границей Г. Задача состоит в том, чтобы в цилиндре О, = {¿д*[О^ Т']} с боковой поверхностью 3 = ]} найти решение системы

1 о>и£

Эи1 ^ 9 и at Л, А и, , А, уО,

29) s>t удовлетворяющее тем или иным начальным и граничным-.условиям.

Если Ли Я2 постоянны, то также, как и в предыдущем примере, системе (29) можно поставить в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Л. сМ и<, К и

2, К/

-А, (к,к) о о -я2(к,к)

1,К

2, К.

К, К) = + и

30) с особенной матрицей при производных (см.(I)).

Часто считают, что замена 2.К=и1 -и2 } (р=71ги^ + Л,2 и2 приводит систему (29) к двум независимым уравнениям относительно К и . Однако такая замена, по крайней мере, предполагает, что матрица коэффициентов левой части системы (29) находится справа от оператора дифференцирования и, как следствие, в отличие от (30) образ Фурье системы имеет вид 1 и сИ

1С и г,к

-Л, (К, К) О о -кг(к,к) I и и2,К

1,К

31)

1л к, ср. с (2)).

Отметим еще, что к системам типа (I), (2) приводит также метод прямых, примененный к системе (29) в том варианте, когда правая часть системы аппроксимируется конечно-разностным выражением, а .левая часть не меняется. Разумеется, это замечание справедливо и относительно системы (25). Вопросы корректной постановки граничных и начальных условий могут быть разрешены с помощью результатов этой диссертации.

Пример 7. В теории автоматического регулирования большое значение имеет система вида а?, (Ь) = А (Ь) х, ($) + В2 (Ь) сс2 ($), я, (£) = Я, сс, ($) яг (Ь).

32)

33)

Здесь сс^А)- вектор, определяющий состояние физической системы в момент времени $ ; сс2 (Ъ) - вектор управляющих переменных, сс3 (й) - вектор выходных переменных; В1, В2 , , -известные матрицы.

Систему (32), (33) можно записать по-разному в зависимости от того, что известно и что неизвестно. Если, например, входная переменная ¿^известна, а состояние СС^ и выходная переменная неизвестны, то система запишется так: где А = 5 =

В, о\ /В, х, А

Все другие комбинации также приводят к (34), так что системы автоматического регулирования (32),(33) - это системы типа (2). Примеры применения результатов данной работы к решению задач об управляемости и наблюдаемости систем (32),(33) тлеются в монографии [60].

Пример 8. Системы типа (I) ,(2) возникают также при анализе .линейных электрических цепей. Дело в том, что уравнения, описывающие электрическую цепь выводятся на основании двух законов Кирхгофа для токов и напряжений, из которых первый дает линейные алгебраические связи между токами, а второй .линейные интегродифференциальные связи мевду токами и напряжениями. На этот счет в [60] рассмотрен один пример.

Пример 9. Системы с ограничениями в виде неравенств, рассматриваемые, например, в теории оптимального управления, могут быть записаны как системы с особенной матрицей при производных. Правда, эти системы оказываются нелинейными. И хотя эта диссертация посвящена только .линейным уравнениям, имею- ■ ся уже соображения и о способах решения нелинейных вырожденных систем. Эти соображения навеяны, естественно, линейной теорией.

Приведем простейший пример.

В системе ее = Л- сс +^, сс <> О заменил неравенство на равенство » введя новую неизвестную^ . Тогда для системы (35) выписывается эквивалентная система

Следующая серия примеров показывает, как системы типа (I), (2) возникают в самой математике.

Пример 10. Введем обозначения сс0 сс,=сс, ссг=а? Тогда уравнение второго порядка асс +всс +ссс представится системой сС I i о

0 10 \0 О 01

0 10 О О 1 -с -в -а !х0 \ / * 0 ос*-, типа (2) (но не (I)!).

Пример II. Решения так называемых "жестких" систем вдали от начальной точки ведут себя как решения систем с выч рожденной матрицей при производных. Это показано, например, в монографии [60]. Поэтому анализ и построение численных алгоритмов для решения "жестких" систем могут базироваться на развитой в следующих главах теории (о "жестких" системах можно прочитать, например, в [3],[23]). Обратно, методы решения "жестких" систем применимы также и для решения систем с вырожденной матрицей при производных, как это показано в монографии [60]. Дело в том, что решение системы при определенных условиях мало отличается от решения системы

А-%В)а;'= Всс + ^ , когда Т>0 мало (см. об этом подробные исследования в [60], с.103-128, 166-170).

Отметим еще, что при исследовании и решении систем с малым параметром при производной оо, - Ви -х, + В12 ср2 , ~ СХ?^ + В22 часто полезно предварительно рассмотреть свойства предельной системы (3 = О ) Д = В,

11 в

12

21 + Вгг •

Пример 12. Задачу численного дифференцирования функции^ можно свести к задаче численного решения системы 1

О О 2 о о' типа (I).

На этом завершим список примеров. Нетрудно быть уверенным в том, что этот список может быть продолжен. Но уже этот небольшой список позволяет судить о важности изучения систем вида (I),(2) и разработки численных методов для их решения. В .литературе (см., например, [4] ) есть свидетельства о малой изученности методов интегрирования алгебро-дифференциальных уравнений, к которым сводится моделирование переходных процессов в устройствах автоматического управления и в сложных электронных или электроэнергетических системах. В упомянутой работе предлагается метод решения нелинейных алгебро-дифференциальных систем, состоящий в сведении исходной системы к системе, тлеющей форму Коши, но обоснования метода не приводится. В беседе с моим сотрудником В.Ф.Чистяковым выяснилось, что в случае систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами этот метод дает решение только в том случае, если каноническая форма (см.[8], с.331 ) пары матриц системы не содержит нилъпотентных блоков типа Н^ , имеющих порядок выше второго.

Настоящая диссертация является плодом размышлений о том, кап строить численные (в том числе разностные и основанные на расщеплении [40]) методы решения систем вида (I) и (2), частным случаем которых являются алгебро-дифференциальные системы. При этом оказалось, что теория талих систем для целей конструирования численных алгоритмов недостаточно разработана. В предлагаемой диссертации дается вариант такой теории, основанный на использовании различных обобщенных обратных матриц. Автор лелеет надежду, что ему удалось описать весь класс уравнений (I), (2), которые допускают явное представление решения,и указать путь конструирования численных алгоритмов.

Понятно, что в случае постоянных матриц А и В теория систем (I), (2) может быть легко построена на основании приводимости произвольного пучка матриц к каноническому виду Кро-некера - Вейерштрасса (см., например,[8]). Но эта теория не будет конструктивной (как это понимается в современной вычислительной математике)

Наш путь использования различных обобщенных обращений особенных и прямоугольных матриц позволяет сводить системы (I),(2) к системам с единичной матрицей цри производных (для таких систем в настоящее время имеется весьма полная теория).

Насколько известно автору, литература, посвященная изучению систем вида (1),(2) с произвольными матрицами, в настоящее время невелика. Конечно, это заявление не относится к случаю различных сингулярностей, связанных с вырождением коэффициентов в отдельных изолированных точках: литература по этим вопросам весьма обширна, а история изучения случаев вырождения в изолированных точках чрезвычайно продолжительна. Но моя диссертация этому не посвящена. В ней речь идет о системах, пара матриц (А,В) которых имеет постоянную каноническую структуру на всем промежутке, на котором ведется исследование или решение системы, хотя результаты оказывается иногда применимы и для случая вырождения в точке.

Среди работ, так или иначе связанных с постоянством структуры пары матриц (А,В), прежде всего отметим книгу Ф.Р.Гант-махера[8], в которой на основании теории элементарных делителей для случая постоянных матриц построено общее решение системы (I). Системам типа (I) с переменными матрицами посвящены следующие работы.

В статье [44] рассматривается система А (#) в которой , В(£) , ^(£) - голоморфны, и исследуются алгоритмы понижения порядка этой системы. Показывается, что в области, в которой det А (<£) = О , решение системы - либо алгеброидная функция либо фундаментальная система решений определяется системой меньшего порядка, чем исходная.

В работе Ю.Д.Шлапака [38] рассматривается система Р(£)х = А(Ь)яс , где Р(Ъ) , А(Ь) являются периодическими, а матрица Р(Ь) имеет неизменную структуру по нулям для Ь € (-0°, ) . Доказывается, что исходную систему невырожденной заменой переменных можно привести к виду

R =

Ро у д

В о с? ¿7 к / где

5,.¿?\ 5 АI

6} - 0 или I для всех t е (- <=><=>, ^^) .

В статье [39] того же автора рассматривается тот же вопрос и даются признаки, когда матрица Р(Ь) имеет неизменную структуру при всех t е (- , ) .

В работе В.А.Еременко [12] рассматривается система

P(t)x = А(Ь)сс +J(t), в которой Р, А, J - также периодические, причем tccnk Р(Ь) не зависит от t , и доказывается, что существует ортогональная матрица V такая, что 2?'РТУ - ^^ ^ при всех

Ь е. ) , и даются достаточные условия для того, чтобы порядок системы в, 7 й полученной из исходной после подстановки «2* - , можно было понизить так, чтобы система меньшего порядка обладала теми же свойствами, что и исходная система, или матрица при производных в ней была неособенной

В работе [46] с точки зрения обобщенной задачи на собственные значения Л А и = В и исследуется однородная система А X' =Вх.

В статье В.П.Скрипника [26] изучается система ( А ос)' = В( Ь) ее у, ее (О) = сса , t е [а,в] , в которой А - постоянная симметричная (?гхп )-матрица ранга п - / . При некоторых предположениях о спектре симметричной части матрицы, в частности, обеспечивающих неособенность В(й)-> доказывается существование решения исследуемой системы (решение определяется особым образом). Далее рассматривается система, зависящая от малого параметра 8 и формулируются условия, при которых решение системы при <5 —- О стремится к решению вырожденной системы. Из перечисленных выше работ эта работа больше всего примыкает к нашим исследованиям: это так называемый регулярный случай (в главе 5 он подробно рассмотрен при значительно менее жестких ограничениях).

Отношение к нашей работе имеет также статья [41], в которой для решения системы (I) применяется обратная матрица Дразина [43] к матрице А, но лишь в случае системы с постоянными (квадратными) матрицами, приводимой, как легко показать к регулярной системе. л*

В предлагаемой диссертации обратная матрица Дразина А считается ассоциированной с единичной матрицей Е , что приводит к обобщению: вместо матрицы Л? применяется матрица

А = (В'АГ В' , где В - некоторая полуобратная матрица к матрице В, и это позволяет получить общие результаты относительно систем (I), (2) с переменными и прямоугольными матрицами.

Следующая группа статей выполнена моими сотрудниками, с которыми я бок о бок работалили работаю на протяжении ряда лет. Некоторые из этих статей написаны в соавторстве со мной.

Прежде всего отметим статью Ю.Е.Бояринцеваи В.М.Корсуко-ва [47], содержащую обоснование неявного метода Эйлера для численного решения системы (I) в случае, когда для некоторого с det (А-сВ)ф О , а матрицы А и В постоянны. Отметим еще работу тех же авторов [48], в которой для решения системы (I) (с произвольными постоянными матрицами А и В) использована, как ив [41], обратная матрица Дразина [43] и получены более общие результаты, чем результаты работы [41].

Статьи В.Ф.Чистякова [35]-[37] посвящены различным аспектам приближенного решения системы (I). В статье [35] показывается, что. если каноническая форма пучка Ah-B не содержит нильпотентных блоков в матрице А, то существует константа К такая, что из неравенства ЦАсс£-Вссе -¿f Ц* <8 следует неравенство Цссе - сс*Ц^2 < К£ , где ¿с* - некоторое решение системы (I) с постоянными матрицами (¿г^и х* удовлетворяют одному и тому же начальному условию). Исследуется один вариант градиентного спуска.

Работа [36] посвящена изучению метода исключения для решения системы (I) с постоянными {тт )-матрицами А,В. Здесь исследуется вопрос о понижении порядка системы и доказывается, что если т=п и существует X такое, что det (А Л - В) Ф О , то общее решение системы записывается в виде ccfú) = Ф(Ь)+ V (tj , где Ф(tj - (т*£) - матрица,^ - произвольный постоянный вектор, а - степень многочлена det (А А - В) Кроме того, показывается, что равенство kez(A7la -В)=0 влечет отсутствие произвольных функций в общем решении.

Работа [37] содержит исследования системы (I) с переменными матрицами. В ней показывается, что если tcenfe A(t) = = const = k и для некоторой точки t0 степень многочлена det [A(ta) Л - В (tQ)] равна k , то существует ок -рестность точки tQ , на которой решение системы существует и имеет вид &(Ь) - ф(1))0/Ь + , где^0-вектор произвольных постоянных, а (п*Ь) - матрица. Кроме того, даются условия, при которых из малости невязки следует, что отклонение приближенного решения от точного мало и в этой части работа [37] примыкает к работе [35].

В статьях Ю.Е.Бояринцева и В.А.Данилова [49], [50] исследовалась возможность понижения порядков алгебраических систем вида сс = А сс . Впоследствие было понято [60], что рассмотренные в этих статьях алгоритмы, тесно связаны со свойствами обратных матриц Дразина, а это позволило сформулировать алгоритмы понижения порядков также и для вырожденных дифференциальных систем, имеющих вид А сс = сс (см. [60], с.52-55, 100-101).

В связи с разработками пакета программ опубликованы статьи [51](Ю.Е.Бояринцева А.А.Логинов) и [52](Ю.Е.Бояринцев, А.А.Логинов, В.Ф.Чистяков).

Что касается различных обобщенных обратных матриц, которые широко используются в диссертации, то здесь можно было бы представить чрезвычайно большой список. Упомянем лишь книгу [45], в которой приведена обширная библиография, а также книгу С.Л.Соболева [28], первая глава которой посвящена полуобратным матрицам.

Предлагаемая вниманию диссертация написана по материалам работ [53]-[64]. Она является итогом моих собственных исследований. Результаты совместных работ в ней не излагаются. Необходимые заимствования из других источников отмечены ссылками и приводятся без доказательства (за исключением тех редких случаев, когда доказательства были мной придуманы в процессе написания диссертации).

Несмотря на то, что диссертация написана на основе материалов монографии [60], от указанной монографии она резко отличается: в диссертацию введено значительное количество новых результатов и, вместе с тем, некоторые результаты из монографии [60] в диссертацию вообще не вошли (в частности, ради экономии места опущено описание метода возмущении [60], с.103-128; этот метод в [60] описан достаточно подробно). Кроме того, изменен сам стиль изложения: алгебраические, дифференциальные и разностные уравнения рассматриваются с общих позиций.

Диссертация состоит из настоящего введения и из шести глав.

Первая глава самая большая по объему. И это не случайно: в ней подробно изложены почти все основные идеи, на основании которых, строятся обшде решения вырожденных систем дифференциальных и разнос'тных уравнений и приведены необходимые для этого результаты исследований различных свойств обобщенных обратных матриц.

Основной результат этой главы состоит в том, что системы вида

А Ах -Вое , А (Аос) = Всс , (36) в которых А,В - прямоугольные матрицы, а Л - число либо дифференциальный или разностный оператор, с помощью обобщенных обратных матриц могут быть сведены к другим (эквивалентным) системам, решения и условия совместности которых при определенных условиях выписываются явно.

Чтобы эти условия представить компактно, в главе I вводится ряд полезных понятий. А именно, даются определения тО

I вполне совершенной пары матриц,

2° совершенной пары матриц,

3° полусовершенной пары матриц и 0

4° разрешающей пары матриц ( А , Y ), соответствующей данной паре матриц (А,В).

Вполне совершенная пара матриц (А.В) по определению обладает тем свойством, что матричное уравнение АХ = В разрешимо относительно X, В главе I показано, что решение первой . из систем (36) (и, в частности, системы (I)) легко представляется в явном виде, если пара матриц (А,В) вполне совершенна, и приведен алгоритм, с помощью которого первой из систем (36) можно поставить в соответствие эквивалентную систему, пара матриц (А.В) которой вполне совершенна.

Совершенство и полусовершенетво пары матриц - более сложные понятия. Наличие этих свойств у пары матриц также приводят к явным решениям. В случае постоянства матриц А,В совершенство пары (А,В) эквивалентно выполнению при всех комплексных об неравенства varnk А > -zank (В-оСА), а полусовершенство означает, что в каноническом представлении пары матриц (А.В) матрица А не содержит нильпотентных блоков порядка выше первого.

Понятие разрешающей пары матриц возникло в результате попытки обобщить определение обратной матрицы Дразина на слу чай прямоугольных матриц. В разрешающей паре матриц ( А , Y ), соответствующей паре матриц (А,В), матрица У является решением системы

E-BY)(AY)*~o, (YA)ss(E-YB)=o, (37)

BYB =В, л 3 а матрица А определяется по формуле

A°-(YAf7, где (YA)*- обратная матрица Дразина [43] к матрице JA. в %

Очевидно, что если В-Е , то А = А . Использование разрешающей пары матриц позволило свести системы (36) к таким эквивалентным системам, анализ которых дает возможность выделить из всех дифференциальных и разностных систем те системы, которые допускают простое явное решение, и выписать для них условия совместности. Кроме того, применение разрешающей пары матриц позволило понять, что такое регулярные системы (см.гл.5). В главе I для подготовки к изучению регулярных систем приводится ряд признаков, наличие которых обеспечивает существование такого числа Я, при котором c¿e/ (3-АА) = 0 ■

Отметим еще, что для доказательства конструктивности построений, связанных с разрешающей парой, в § 16 главы I приводится и подробно обосновывается алгоритм получения разрешающей пары в случае, если пара матриц (В,А) является совершенной.

Глава 2 посвящена постановке шести задач (задачи I-УТ).которые решаются в следующих главах. При этом три из них (задачи 1У-У1) ставятся для систем (I), (2), пара матриц которых обладает одним из так называемых свойств Q . В § I главы 2 на этот счет дается три определения (свойство Q , левое свойство Q и правое свойство Q ). Наличие свойства Q позволяет, как это показано в следующих главах, выписать явные формулы для общих решений задач 1У-У1.

В § 2 главы 2 дается одно из возможных описаний множества пар матриц, обладающих тем или иным свойством £2 . Б частности, пары постоянных матриц обладают всеми свойствами Q . Что касается переменных пар матриц, то для этого в § 2 даны некоторые достаточные условия.

В § 3 сформулированы разностные аналоги задач 1-У1 (задачи и определений свойств О.

В главе 3 даются решения первых трех из поставленных в главе 2 задач. Формулируются и доказываются теоремы о существовании и единственности решений и приводятся формулы общих решений как в дифференциальной, так и разностной постановках. При этом для решения задач I и 1| в случае постоянных матриц наряду с общим способом рассматривается способ решения, основанный на использовании понятия вполне совершенной пары матриц.

Разностные уравнения рассматриваются только в связи с неявной (двухточечной) схемой Эйлера. Однако показывается, что в случае постоянных коэффициентов для исследования многоточечных разностных схем могут быть использованы формулы В.С.Рябенького [24].

В этой главе вводятся также важные определения совершенных (справа, слева) троек переменных матриц. Отмечается, что если тройка матриц (А,В,С), присутствующих в формулировках задач 1-Ш, обладает соответствующим свойством совершенства, то формулы общих решений, а также теоремы о существовании и единственности, значительно упрощаются. В § 5 даются некоторые необходимые, достаточные, а также необходимые и достаточные условия совершенства (справа, слева) тройки переменных матриц. В заключение главы 3 (§ 6) отмечается (со ссылкой на монографию [60], см.дополнение), что решение задач 1-Ш упрощается также в том случае, когда пара матриц (А,В) является полусовершенной и вводятся соответствующие определения.

Глава 4 содержит решения задач 1У-У1. Здесь строятся формулы общих решений задач 1У-У1 и доказываются теоремы о существовании и единственности. Как и в предыдущей главе, все изложение опирается на результаты главы I. Относительно разностных задач В^-УД^ отмечается, что прямое перенесение результатов о дифференциальных задачах на разностные задачи, вообще говоря, невозможно. Например, для неявной схемы Эйлера и задачи 1Уд- это возможно лишь в том случае, если индекс матрицы УА не превосходит единицы, где V - матрица из разре шающей пары ( А , У ).

Для случаев, когда это возможно, в § 5 главы 4 даны соответствующие решения.

Главным в содержании главы 5 являются определения регулярности пары матриц. Здесь сформулировано три определения (регулярности пары матриц, регулярности ее слева или справа). Грубо говоря, регулярность (слева, справа) означает, что существует такое число /I , при котором о£е£ (В-ЛА) Ф о , причем пара матриц (А, В - Л А) обладает соответствующим свойством слева, справа). Строгие определения даны в § I главы 5.

Далее даны решения задач 1У-У1, теоремы существования и единственности, а также оценки норм решений задач 1У-У1Д в регулярном случае.

В § 7 этой главы изучаются особенности применения неявной схемы Эйлера для решения задач 1У-У1 с регулярной парой матриц. Здесь показывается, что разностное решение задачи Коши сходится к точному решению, вообще говоря, неравномерно: если индекс матрицы УА, где V - матрица из разрешающей пары матриц ( к 7)9 больше единицы, то в любой окрестности начальной точки отклонение точного решения задачи Коши от её разностного решения при измельчении шага сетки стремится к бесконечности.

В главе 6 на основании результатов, изложенных в предыдущих главах, строятся основы теории устойчивости дифференциальных и разностных систем линейных уравнений с вырожденной или прямоуголь ной матрицей при производных. Результаты этой главы удалось получить путём обобщения энергетического тождества А.А.Самарекого (см. [25], с. 359, [65], с. 109) и распространения метода А.М.Ляпунова [66] на случай систем вида /\x~x-rf с вырожденной матрицей А. Возможности применения построенной теории демонстрируются на практически важных примерах.

Актуальность темы диссертации определяется потребностью практики в решении и исследовании алгебро-дифференциальных систем, например, электроэнергетических.

7°

Целью работы является]выяснение структуры и постраение формул общих решений систем (I), (22°изучение вопросов корректной пос тановки краевых задач с условиями (3), (4) и исследование возможностей применения разностных схем для их приближённого решения.

Научная новизна диссертации состоит в том, что в ней на основе систематического использования различных обобщённых обратных матриц строится новый, весьма общий и конструктивный аппарат для решения, исследования и построения основ теории устойчивости систем вида (I], (2) и их разностных аппроксимаций. Попутно, в связи с изучением пар матриц (А В) из (I) и (2), получаются новые результаты относительно обобщённых обратных матриц.

Теоретическая и практическая ценность работы может быть определена тем, что представленные в ней теоретические результаты открывают перспективу для разработок численных в том числе, разностных методов решения систем (I), (2). Результаты диссертации уже позволили создать первый вариант пакета программ 31 N0&Е для решения задач типа Ш, (3) и (2), (4). Межведомственная ко-мисия, действовавшая на основании распоряжения Президиума СО АН СССР, N-15000 - 1075 от 05.12.82, 27 декабря 1982 г. признала пакет 5.Г МОЙ £ годным к эксплуатации и рекомендовала его к сдаче в программную часть Г0СФАП. Пакет создан сотрудником лаборатории вычислительной математики Иркутского ВЦ СО АН СССР А.А.Логиновым при участии В.Ф.Чистякова.

Отметим также, что в диссертации содержатся все предпосылки для качественного исследования систем (I), (3).

Условимся теперь в ряде обозначений. В качестве отрезка, на котором ищется решение, примем отрезок [0,1]. Множество суммируемых, непрерывных, абсолютно непрерывных на ¡0,1] функций будем обозначать соответственно через 21 , и (К . Если МЬУ матрица в частности, вектор , то включения М. будут обозначать, что все элементы матрицы -//принадлежат соответ ственно 2. ОЪ . Буквой Ь всюду в дальнейшем обозначается единичная матрица подходящего порядка (например, если

М И N матрицы соответственно с размерами (пг хц) и (/гх/п), то в выражении Е- ЛЦ\[ матрица В есть единичная матрица порядка щ , а в выражении Е - ММ — единичная матрица порядка П . В указателе размеров (т число "строк матрицы, /1- число столбцов.

Используются также обозначения: А4- сопряженная матрица к матрице А, Кк'ь А - ядро матрицы А, т.е. множество решений системы Ах-0 » Зт А * образ матрицы А, т.е. множество векторов вида ц=Ах * ЮлЛА- ранг матрицы А, т. е. размерность Зт, А » " линейное пространство п - мерных векторов, А - дефект матрицы А, т. е. размерность к61. Д .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, результаты диссертации ставят разработку теории разностных схем и теории устойчивости для линейных сингулярных систем о.д.у. на прочную основу. Автору стало известно, что публикации на тему диссертации находят отклик у нас и за рубежом,например, [70]

В заключение автор благодарит академика Н.Н.Яненко за плодотворные беседы, во многом определившим направленность диссертации, а также члена-корреспондента АН СССР В.М.Матросова за внимание к работе.

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уалш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972.

2. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М., Наука, 1977.

3. Артемьев G.G., Демидов Г.В. Алгоритм переменного порядка и шага для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 238, № 3, 1978.

4. Бахилина K.M., Лернер Д.М. Алгоритмы решения дифференциальных уравнений, не приведенных к форме Коши. В кн.: Известия Ленинградского ордена Ленина электротехнического институтаигл.В.И.Ульянова (Ленина), Выпуск 269, Ленинград, 1980.

5. Беккенбах 3., Беллман Р. Неравенства. М., Мир, 1965.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том первый. М., Физматгиз, 1959.

7. Воеводин В.В. О методе регуляризации. ЖВМ и МФ, 1969, 2, № 3.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1966.

9. Г.лазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный .линейный анализ в задачах. М., Наука, 1969.

10. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., Наука, 1973.

11. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М., Атомиздат,1.60.

12. Еременко В.А. О редукции линейной системы дифференциальных уравнении с вырожденной матрицей при производных. Укр. матем.журн., 32, I, с. 168-174, 1980.

13. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко Б.Л. Методы сплайн-функций. М., Наука, 1980.

14. Иванов В.К. О .линейных некорректных задачах. Докл. АН СССР, 1962, 145, J* 2, с.211-223.

15. Коновалов Л.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск, изд. ИГУ, 1972.

16. Корсуков В.М. Одна теорема о ранге произведения матриц и некоторые из нее следствия. В кн.: Прикладная математика. Иркутск, изд. СЭИ СО ЛН СССР, 1978.

17. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, изд. СО АН СССР, IS62.

18. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., Наука, 1970.

19. Ляпин Е.С. Полугруппы. М., Физматгиз, i960.

20. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977.

21. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Методы вычислительной математики. Новосибирск, Наука, 1975.

22. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории пе-пеноса нейтронов. М., Атомиздат, 1971.

23. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М., Наука, 1979.

24. Рябенький B.C. Формула Грина для систем разностных уравнений. Мат.заметки, 1969, т.5, в.5.

25. Самарский A.A. Теория разностных схем. М., Наука, 1977.

26. Скрипник В.П. Вырождающий параметр и вырожденные уравнения. Литовский матем. сб., XX, }£ I, с. 165-173, 1980.

27. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1972.

28. Соболев СЛ. Введение в теорию кубатурных формул. М., Наука, 1574.

29. Танана В.П. Методы решения операторных уравнении. М., Наука, 1981.

30. Тауфер И. Решение граничных задач для систем .линейных дифференциальных уравнений. ГЛ., Наука, 1981.

31. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979.

32. Фаге М.К. 0 методе прогонки. ДАН СССР, 1970, т.191, № 2, с.286-289.

33. Фаддеев Д.К., Кублановская В.Н., Фаддеева В.Н. Линейные алгебраические системы с прямоугольными матрицами. В кн.: Современные численные методы. Вып.1 (Материалы междунар.летней школы по численным методам. Киев, 1966). М., 1968, 16-75.

34. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 1960.

35. Чистяков В.Ф. Об одном способе приближенного решения задачи Коши для сингулярных линейных систем ОДУ с постоянными коэффициентами методом градиентного спуска. В кн.: Численные методы анализа (прикладная математика). Иркутск, изд.СЭИ СО АН СССР, 1980.

36. Чистяков В.Ф. О решении линейных сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом исключения неизвестных. В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, изд. СЭИ СО АН СССР, 1979.

37. Чистяков В.Ф. О свойствах одного класса сингулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Прикладная математика и пакеты прикладных программ. Иркутск, изд. СЭИ СО АН СССР, 1980.

38. Шлапак Ю.Д. Периодические решения линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных. Укр.матем.журн., 27, & I, с. 137-140, 1975.

39. Шлапак Ю.Д. О приводимости линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных. -Мат.физика, вып.21, с.60-64, 1977.

40. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосибирск, Наука, 1967.

41. Campbell S.L., Meyer C.D., Rose Л. J. Application of the Drazin inverse to linear systems of differential equations with singular constant coefficients.- SIAM J. Appl. Math., 1976, v. 31, N 3, p.411-425.

42. Carl D., Meyer Jr. Limits and the index of a square matrix.- SIAM J. Appl. Math., v. 26, H 3, p.409-478.

43. Drazin M.P. Pseudoinverses in associative rings and semigroups.- Amer. Math. Monthly, 1958, v. 65, p.506-515.

44. Harris W.A., Sibuya Jr.V., Weinberg Z.V. Reduction Algorithm for Linear Differential System.- Funcialaj Ekva-cioj, Ser. Interaacia, 11, Ж 2, p.59-67, 1968

45. Rao C.R., Mitra S.K. Generalized inverse of matrices and its applications. N.Y. John Wiley and Sons, 1971

46. Wilkinson J.H. The differential system Bx'eAx and generalized eigenvalue problem Au=ABu.- Nat. Phys. Lab., Rep. NAC 73, 1977.

47. Бояринцев Ю.Е., Корсуков B.M. Пршленение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Вопросы прикладной математики. Иркутск, изд. СЭИ СО АН СССР, 1975.

48. Бояринцев Ю.Е., Корсуков В.М. Структура общего непрерывного дифференцируемого решения краевой задачи для сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнении. В кн.: Вопросы прикладной математики. Иркутск, изд. СЭИ СО АН СССР, 1977.

49. Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А. Представление матрицы в виде суммы более простых и возможность понижения порядка систем уравнений. В кн.: Методы оптимизации и исследование операций (прикладная математика). Иркутск, изд. СЗИ СО АН СССР, 1976.

50. Бояринцев Ю.Е., Логинов A.A., Чистяков В.Ф. Вычислительная схема пакета для решения сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Разработка пакетов прикладных программ. Новосибирск, Наука, 1982.

51. Бояринцев Ю.Е. 0 разрешимости краевых задач для систем обыкновенных разностных уравнений. В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск, изд. Иркутск, ун-та им.Жданова A.A., 1973.

52. Бояринцев Ю.Е. К теории краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Методы оптимизации и исследование операций (прикладная математика). Иркутск, изд. СЭИ СО АН СССР, 1976.

53. Бояринцев Ю.Е. Об общих решениях краевых задач для сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. -Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1977, т.8, JS 7, с.12-21.

54. Бояринцев Ю.Е. 0 структуре общего решения краевой задачи для сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Семинар "Методы вычисл. и црикл.мат." под руководством акад. Г.И.Марчука. Новосибирск, 1978. Препринт 44.

55. Бояринцев Ю.Е. Сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и численные методы их решения.-В кн. : Прикладная математика. Новосибирск, Наука, 1978, С. 72108.

56. Бояринцев Ю.Е. Об одном представлении обратной матрицы Дразина. В кн.: Численные методы оптимизации прикладная математика . Иркутск, изд. СЭИ СО АН СССР,1978.

57. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, Наука, 1980.

58. Бояринцев Ю.Е. К теории систем с прямоугольными матрицами коэффициэнтов. В кн.: Численные методы оптимизации и их приложения. Иркутск, изд. СЭИ СО АН СССР, 1981.

59. Бояринцев Ю.Е. Разрешающая пара матриц и её приложения.- В кн.: Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, Наука, 1983.

60. Бояринцев Ю.Е. Разрешающая пара матриц. В кн.: Приближённые методы решения операторных уравнений и их приложения.- Иркутск, изд. СЭИ СО АН СССР, 1982.

61. Бояринцев Ю.Е. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений, неразрешённых относительно производных. В кн.: Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, Наука, 1982.

62. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. Москва, Наука, 1973.

63. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Гос-техиздат, 1950.

64. Яненко H.H., Шокин Ю.И. Опервом.дифференциальном приближении разностных схем для гперболических систем уравнений, Сибирский матем. ж. 10, 5 1969 , 1173 1187.

65. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н.О связи корректности первых дифференциальных приближений и устойчивости разностных схем для гиперболических систем уравнений, Матем. заметки 4, 5 1968 , 493 502.

66. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск, Наука, 1979.

67. Лапи. А МмЛи^Ььр тлРъохи Цсь ЦаМхл. рхоШт. иь шър1сся£ (Щ^>шъ1л.о2 аЛсуЖ <ихк: щилЛшц.--- - ЬСпи/^уСЬаХ ЗеМлок М&Ыхш.99п) Рг.лкгг.