Конечно-разностные методы решения уравнений с малым параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ СО ЗНАК00ПРВДЕЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

ПРИ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.

§ I. Построение семейства монотонных схем для первой краевой задачи

§ 2. Равномерная сходимость разностной схемы на неравномерной сетке

§ 3. Коэффициентная устойчивость разностных схем.

§ 4. Анализ сходимости схем построенного семейства на равномерной сетке

§ 5. Разностная схема для третьей краевой задачи

§ 6. Сочетание краевой и начальной задач.

§ 7. Построение неравномерной сетки

ГЛАВА П. О ПЛОХОЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ В СЛУЧАЕ ЗНАКОПЕРЕМЕННОГО КОЭФФИЦИЕНТА ПРИ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

§ 8. Анализ обусловленности системы разностных уравнений. Исследование метода прогонки для плохо обусловленной задачи

§ 9. Результаты численных экспериментов

ГЛАВА Ш. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

§ 10. Сходимость разностной схемы для дифференциального уравнения со слабой нелинейностью

§ II. Разностная схема для квазилинейного дифференциального уравнения.

§ 12. Анализ применимости построенных схем к решению уравнений химической кинетики

В раз,личных областях науки и техники, например, цри расчетах движения вязкой жидкости, распространения тепла, при изучении процессов горения, возникает потребность в решении уравнений с малым параметром 6 при старшей производной. Такие уравнения являются сингулярно-возмущенными в силу того, что при их вырождении теряется часть краевых условий. По этой причине происходит резкое изменение решения сингулярно-возмущенной задачи в некоторых узких (погранслойных) областях.

При использовании классических разностных схем для решения уравнений с малым параметром при старшей производной обнаруживается, что эти схемы дают достаточную точность, если шаг сетки значительно меньше величины малого параметра. Это приводит к трудностям при проведении практических расчетов, так как использование достаточно мелкой сетки не всегда возможно из-за ограниченных возможностей современных ЭВМ. Возникает необходимость в построении разностных схем, обладающих свойством равномерной сходимости относительно малого параметра. Разностные схемы целесообразно строить на неравномерной сетке, если требуется информация о решении в узкой погранслойной области.

Степень разработанности проблем ы. Большую роль при построении и исследовании разностных схем для сингулярно-возмущенных уравнений играют асимптотические методы. А. Пуанкаре [бз] предложил разложить решение в ряд по малому параметру £ и искать решение в виде частичных сумм этого ряда. Однако в случае сингулярного возмущения такой ряд теряет свойство равномерной сходимости. М. Лайтхилл [10б] разработал метод деформированных координат. Впоследствии этот метод стали называть методом ПЛГ (Пуанкаре, Лайтхилла, Го) [57]. В соответствии с этим методом деформируется одна из независимых переменных для того, чтобы разложение решения в ряд по £ приводило к сходящемуся ряду. Однако не всегда можно ожидать эффект от применения метода ПЛГ. М. Лайтхилл рекомендовал применять такой подход к гиперболическим уравнениям.

Другим общим методом является метод сращиваемых асимптотических разложений. Этот метод развивали К. Фридрихе [96], С. Каплун [102], A.M. Ильин и другие. Согласно этому методу в пограничном слое осуществляется растяжение координат и формируется внутреннее разложение решения. В переходной области происходит сращивание по определенному критерию внутреннего и внешнего разложений. В итоге для решения получается равномерное приближение. Описание этих методов приведено в монографиях М. Ван-Дайка [II] и А;Х. Най-фэ [57]: там же приведена обширная библиография.

Асимптотические методы для сингулярно-возмущенных уравнений разрабатывались в работах А.Н. Тихонова, А.Б. Васильевой, М.Й. Ви-шика, Л.А. Люстерника, В-.Ф. Кутузова, В. Вазова, O.A. Олейник, O.A. Ладыженской и других авторов. В работе А.Б. Васильевой [14] дается краткий обзор исследований по . асимптотическим методам. В [15] приведена методика построения регулярного и погранслойного рядов с оценкой остаточного члена, причем сначала рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, а затем метод распространяется на уравнения в частных производных.

С.А. Ломов [54] предложил метод подъема, основанный на идее введения новых дополнительных переменных, в которых задача принимает форму регулярно возмущенной задачи.

Теперь обратимся к анализу численных методов решения сингулярно-возмущенной краевой задачи. Рассмотрим краевую задачу: u"+ a(x)u'-6(x)u = f(x); (o.D u(0) = А, uCI) = В. (0.2)

Предполагаем, что 6(х)£ 0 , функции а , 6 , t - достаточно гладкие, £ > 0 .

Сначала для задачи (0.1)-(0.2) проведем анализ работ, где предполагается, что а(х)^ос>0 и разностная схема строится на равномерной сетке Q с шагом h . В работе А.М; Ильина [40] построена разностная схема, учитывающая экспоненциальный рост решения в погранслойной области. Построение основано на том, чтобы схема была точной на решении уравнения с постоянными коэффициентами, определяющего функцию пограничного слоя. Доказано, что |u(x)- uh(x)l^ Ch, xeQ, L где un(x) - решение разностной схемы. Здесь и всюду ниже в работе под С и С с индексами будем понимать положительные постоянные, не зависящие от 6 и шагов сетки. Ж. Миллер в [108] получил достаточные условия равномерной сходимости со скоростью 0(h) произвольной трехточечной разностной схемы. Р. Келлог и А. Цэн [104] провели анализ схемы.из [40], схемы направленных разностей и схемы Самарского ( [64], стр. 184). Они доказали, что схема Самарского и схема направленных разностей обладают свойством равномерной относительно £ сходимости вне погранслойной области некоторой ширины. В работах М.В. Алексеевского [I] и К.В. Емельянова [27] строится схема точности 0(h2) , равномерной относительно £ . При построении схемы осуществляется усечение точной схемы А.Н. Тихонова и A.A. Самарского [64]. В работе М.В. Алексеевского [2] приведена методика построения схем высокого порядка точности на основе аппарата точных разностных схем [64].

В работе В.В. Шайдурова [75] предложена нелинейная экстраполяция по малому параметру. Если для грубых значений малого параметра найдено приближенное решение, то для меньших значений параметра строится нелинейная комбинация, зависящая от решений, полученных для грубых значений £ . В работе Г. Хсиао и К. Жордана [101] решение вырожденной задачи ищется методом Рунге-Кутта, а погранелойная поправка находится преобразованием переменной. В [26] рассмотрена третья краевая задача для уравнения (0.1). Уравнение (0.1) сводится к системе двух уравнений первого порядка и находится приближение для решения и(Х) и его производной. Заметим, что при этом производная от решения в краевом условии предполагается ограниченной. В работе Г;И. Шишкина и В.А. Титова [76] построена разностная схема для уравнения с двумя малыми параметрами.

Случай, когда а(х) меняет знак на исходном интервале, характерен тем, что при этом могут появляться внутренние пограничные слои. К.В. Емельянов в [23] исследовал схему из [40] в случае, когда CL(X) меняет знак. Он показал, что в этом случае точность схемы становится несколько хуже:

Известно, что схема направленных разностей с одной стороны монотонна при любых соотношениях £ и h t a о другой - обладает большой схемной вязкостью. В работе В.А. Гущина и В.В. Щенни-кова [22] предлагается монотонная разностная схема второго порядка аппроксимации. Шаблон этой схемы - четырехточечный. В.П. Кочер-гин и A.B. Щербаков [46] - [48] предлагают использовать схему направленных разностей на последовательности вложенных сеток, исключая аппроксимационную вязкость этой схемы. Ф. Дорр в [94] на частном примере рассмотрел вопросы численной реализации схемы направленных разностей. Он показал, что при малых £ система разностных уравнений становится плохо обусловленной, если а(х) меняет знак, что ведет к большим счетным ошибкам.

Если необходима информация о решении в узкой погранслойной области, то необходимо вводить неравномерную сетку Q . Н.С. Бахвалов [6] рассмотрел систему уравнений второго порядка, причем в каждом уравнении отсутствует первая производная. Неравномерная сетка строится на основании того, чтобы оценка погрешности бшга одинаковой в каждом узле. Центрально-разностная аппроксимация исходной задачи на такой сетке дает второй порядок точности при всех t > 0 . К.Е. Баррет [88] на частном уравнении предлагает комбинировать схемы направленных и центральных разностей с экспоненциальными весами, добиваясь того, чтобы разностная схема была локально-точной. H.H. Яненко и В.Д. Лисейкин [52] предлагают осуществить преобразование координат, связанное с растяжением пограничного слоя,таким образом, чтобы цроизводные от решения до некоторого порядка стали ограниченными при всех £ . Разностные схемы в преобразованных координатах обладают свойством равномерной сходимости. С.Е, Пирсон [113] предлагает строить равнораспределению сетку, то есть сетку, на каждом шаге которой решение имеет одинаковое приращение. Для построения сетки он использует итерационный процесс, причем на каждом шаге процесса сетка зависит от решения на предыдущей итерации. Б, Андрей и Ж. Байт [85] вводят понятие мошторной функции, по которой строится равнораспределен-ная сетка.

В работе Ю.А. Кузнецова и К.В. Местиашвили [49] обсуждается возможность выбора неравномерной сетки при вариационно-разностном методе решения уравнения с малым параметром. Сетка строится исходя из минимизации погрешности, при этом при заданной точности число шагов не зависит от £ . В работах Б.М. Багаева [3] - [4] предлагается применять методы Ритца и Галеркина с включением в базис функций пограничного слоя. В энергетической норме оценивается точность метода. Аналогичный подход предложен в [98].

Вариационный подход применяли также Ж. Миллер [109], М. Велд-хьюзен [115]. У Ж. Миллера [109] базисные функции зависят от параметра 0 . При этом исходное уравнение записывалось в интегральном виде и использовалась квадратурная формула трапеций. В зависимости от значения 0 получается либо центрально-разностная схема, либо экспоненциально-точная схема из [40].

Отметим, что построение разностных схем для уравнений в частных производных с малыш параметрами проводилось, например, в работах К.В. Емельянова [25], Г .И» Шишкина [78], Л.А. Оганесяна [58] и другими авторами. В работе Ю.П. Боглаева [8] предложен итерационный метод, который распространен на квазилинейные и интегральные уравнения.

Представляет интерес разработка алгоритмов для численного решения краевой задачи: и" + a(u,x)u' = f(u,x); ц(0) = А, и(1) = В. (о,3)

Вопросам существования и единственности решения такой задачи посвящены, например,работы М.И. Вишика и Л. А. Люстерника [16], Е. Каддингтон и Н. Левинсон [89]. Асимптотический анализ решения такой паевой задачи проводился М.И. Вишиком и Л.А» Люстерником [16], A.B. Васильевой и В*Ф; Бутузовнм [13]. Ф. Дорр и др. в [95] исследовала асимптотические свойства решения с помощью принципа максимума.

Вопросам численного решения задачи (0.3) посвящено совсем немного работ. Ж. Лоренз в [107] предлагает сначала вне пограничного слоя решить вырокденную задачу методом Рунге-Кутта, а затем в пограничном слое решить исходную краевую задачу с помощью центрально-разностной схемы. В работе И.П. Боглаева [7] рассмотрен случай, когда в (0.3) а(и,х)= О .На основе аппарата точных* схем [64] построена разностная схема на неравномерной сетке и доказана её равномерная сходимость. Ф. Хавес в [100]предлагает метод линеаризации исходной нелинейной краевой задачи, оценивая погрешность на каждом шаге линеаризации, но при этом уравнение может оставаться нелинейным относительно первой производной. С.Е.Пирсон осуществляет в [114] центрально-разностную аппроксимацию производных и находит решение системы нелинейных уравнений с помощью метода Ньютона с уточнением. Ф. Дорр [93] исследовал вопрос существования решения схемы направленных разностей, Р. Келлог и др. в [105] изучали вопрос существования и единственности решения некоторых разностных схем для стационарного уравнения Бюргерса. Они использовали свойства М -функций и связали вопрос единственности со значением сеточного числа Рейнольдса.

Цель работы заключается в построении и исследовании новых, а также в дополнительном анализе известных разностных схем для обыкновенных линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной. Основное внимание уделяется вопросу построения равномерно сходящихся разностных схем на неравномерной сетке и анализу численного решения системы разностных уравнений в случае, когда в дифференциальном уравнении коэффициент при первой производной меняет знак.

Диссертационная работа дополняет и развивает исследования авторов обсуждаемых выше работ по конечно-разностным методам решения уравнений с малым параметром при старшей производной.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построена разностная схема на равномерной сетке для численного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. Схема учитывает экспоненциальный рост решения в пограничном слое. Доказана равномерная сходимость построенной схемы. Разработан метод построения неравномерной сетки для такой краевой задачи.

2. Построенная схема обобщена на случай третьей краевой задачи, с доказательством равномерной сходимости.

3. Рассмотрен случай, когда правая часть дифференциального уравнения зависит от решения | = Ки,х) , д-р/ди ^ О

Обоснована разностная схема для такой краевой задачи,

4. Доказана равномерная относительно 6 устойчивость решения известных равномерно сходящихся разностных схем к возмущению коэффициентов и краевых условий дифференциальной задачи.

5. Показано, что при определенных условиях система разностных уравнений для исходной' сингулярно-возмущенной задачи становится плохо обусловленной. Для решения плохо обусловленной системы уравнений модифицирован метод прогонки.

6. Проведено численное сравнение построенных схем с известными разностными схемами, показано преимущество предлагаемых схем. Дан численный анализ счета плохо обусловленных систем уравнений, возникающих: при решении уравнений с малым параметром. Показана целесообразность применения построенных схем к решению уравнений химической кинетики.

Практическая значимость исследования. В соответствии с развитой в диссертационной работе методикой написан комплекс програмд для решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Этот комплекс нашел применение при решении задач, работа над которыми ведется на основании постановления ГКНТ от 18.03.80 и распоряжения Президиума СО АН СССР В 15000-430 от 8.05.80. Указанный комплекс программ внедрен в Омском политехническом институте для моделирования динамических процессов в электрических цепях.

Апробирование работы. По теме исследования сделаны сообщения: на семинарах отдела моделирования динамики атмосферы и океана под руководством д.ф.-м.н. В;П. Кочергина и д.ф.-м.н. В.В. П,е-ненко в ВЦ СО АН; на семинаре "Методы вычислительной и прикладной математики" в ВЦ СО АН, г. Новосибирск, 1981 г.; на 1У Всесоюзной конференции "Вариационно-разностные методы в математической физике", г. Новосибирск, 1980; на семинаре "Оптимизация и разделение движений" под руководством д.ф.-М.н. А#Б. Васильевой, г. Красноярск, 1982 г.; на семинаре "Численные методы механики сплошной среды" под руководством.академика H.H. Яненко, г. Новосибирск, 1982 г.; на У Всесоюзной конференции "Вариационно-разностные методы в математической физике", г, Москва, 1983 г.; на семинаре "Нелинейные уравнения в математической физике" под руководством д.ф.-м.н. А.Ф. Сидорова в институте математики и механики УВД АН СССР, 1983 г.; на совместном семинаре ВЦ СО АН СССР и КрГУ, г. Красноярск, 1984 г.; на семинаре по аэротермохимии в ТГУ под руководством д.ф.-м.н. А.М. Гришина, г. Томск, 1984 г.; на П, Ш, ТУ Омских областных математических конференциях, . Г. Омск, 1979, 1981, 1984 гг.

Основное содержание работы отражено в 10 публикациях, в [29]

38].

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты исследования.

Для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной и отделенным от нуля коэффициентом при первой производной получены следующие результаты:

1. Построена разностная схема на неравномерной сетке на основе анализа асимптотического поведения решения дифференциальной задачи. Доказана равномерная относительно малого параметра сходимость этой схемы. Разработан алгоритм построения неравномерной сетки для такой краевой задачи.

2. Построенная схема обобщена на случай краевых условий третьего рода, с доказательством равномерной сходимости.

3. Доказана равномерная относительно малого параметра устойчивость решения известных равномерно сходящихся разностных схем к возмущению коэффициентов и краевых условий дифференциальной задачи.

4. Предложен и исследован метод сочетания краевой и начальной задач.

Показано, что в случае знакопеременного коэффициента при первой производной матрица системы разностных уравнений может стать плохо обусловленной. Проведен анализ влияния погрешностей округлений на решение в методе прогонки в данном случае. Получена модификация метода прогонки с учетом роста ошибок округлений.

Рассмотрен случай, когда правая часть обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной зависит от решения. Для такой краевой задачи построена разностная схема и доказана её равномерная сходимость.

Проведены численные эксперименты, подтверждающие правильность теоретических выводов. Численные эксперименты показали целесообразность применения построенных схем к решению уравнений химической кинетики.

На основе построенных разностных схем на неравномерной сетке для уравнения с малым параметром при старшей производной написан комплекс программ. Этот комплекс программ внедрен в Омском политехническом институте.

1. Алексеевский М.В. О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. - В кн.: Разностные методы математической физики. - М., МГУ, 1979, с. 3660.

2. Алексеевский М.В. Разностные схемы высокого порядка точности для сингулярно-возмущенной краевой задачи. Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, №7, с. П71-П83.

3. Багаев Б.М. Метод Галеркина для обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1979, т. 10, № I, с. 5-16.

4. Багаев Б.М. Метод Ритца для уравнения с малым параметром. Препринт ВЦ 00 АН СССР. Красноярск, 1980, й 21.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975, 631 с. 6Г. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задачпри наличии пограничного слоя. Ж. вычисл. мат. и мат.-физ., 1969, т. 9, № 4, с. 841-859.

6. Боглаев ИЛ, Приближенное решение нелинейной краевой задачи с малым параметром при старшей производной. Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1984, т. 24, №11, с. 1649-1656.

7. Боглаев Ю.П. Итерационный метод приближенного решения сингулярно-возмущенных задач. Докл. АН СССР, 1976, т. 227, № 5,с. 1033-1036.

8. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1968.

9. Валлиулин АЛ. Схемы повышенной точности для задач математической физики. Новосибирск, НГУ, 1973.1.. Ван.Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.:.1. Мир, 1967.

10. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига, 1978.

11. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

12. Васильева А.Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной за период 1966-1976 гг. Успехи мат. наук, 1976, т. 31, $ 6, с. 102122.

13. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи мат. наук, 1957, т. 12, №5, с. 3-122.

14. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1958, т. 121, № 5, с. 778-781.

15. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. -М.: Наука, 1977, 303.

16. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 318 с.

17. Гаевой В.П. Об одном методе построения разностных уравнений для двухточечных краевых задач. В сб.: Вычисл. системы, Новосибирск, 1978, ¡Ь 75., с. 96-110.

18. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 439 с.

19. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск, Наука, 1980.

20. Гущин В.А., Ценников В.В. Об одной монотонной разностной схеме, второго порядка точности. Ж. вычислит, мат. и матем.физ., 1974, т. 14, №3, е. 789-792.

21. Еме. льянов К.В. Разностная схема для уравненияби + хаСх)а'-6Сх)и=^(х). Разностные методы решения краевых задач с малым параметром и разрывными краевыми условиями. Труды Ин-та матем. и механ. УНЦ АН СССР, 1976, вып. 21, с. 5-18.

22. Емельянов К.В. Усеченная разностная схема для'линейной сингулярно-возмущенной задачи. Докл. АН СССР, 1982, т. 262, Л 5, с. 1052-1055.

23. Емельянов К.В, Разностная схема для трехмерного эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных. -Краевые задачи для уравнений математической физики. Труды Ин-та матем. и механ., УНЦ АН СССР, 1973, вып. II, с. 30-42. .

24. Емельянов К.В, 0 разностном методе решения третьей краевой задачи для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Ж. вычислит, математ. и математ. физ., 1975, т. 15, №6, с. 1457-1465.

25. Емельянов К.В. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1980, т. II, }£ 5, с. 54-74.

26. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махви-ладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980.

27. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром на неравномерной сетке. Препринт ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1980, й 229.

28. Игнатьев В.Н., Задорин А.И., Щеглаков И.С. Об одном подходе к решению уравнений с малым параметром. В сб.: Вычисления с разреженными матрицами. (Материалы Всесоюзной конференции). Новосибирск, 1981, с. 62-72.

29. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. О плохой обусловленности при численном решении уравнений с малым параметром. Препринтиг

30. ВЦСО АН СССР. Новосибирск, 1981, гё 84.

31. Задорин А.И. О вьщелении пограничного слоя и сочетании начальных и краевых задач при решении сингулярно-возмущенных уравнений. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1983, т. 14, № I, с. 42-50.

32. Задорин А.И., Игнатьев В.Н. О численном решении уравнения с малым параметром при старшей производной. Ж. вычислит, мат. и матем. физ., 1983, т. 23, №3, с. 620-628.

33. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. Численное моделирование двумерного пламени. Препринт ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1983, $ 446.

34. Задорин А.И. 0 двупараметрическом итерационном процессе решения плохо обусловленной разностной задачи. Тр. 3 омск. обл. мат. конф., Омск, 9-11 апр. 1981, Омск, 1982, 27-29, деп. ВИНИТИ №1018-83.

35. Задорин А.И. О существовании и единственности решения некоторых разностных задач для квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984, т. 15, № I, с.-33-34.

36. Задорин А.И. О численном решении третьей краевой задачи для уравнения с малым параметром. Ж. вычислит, мат. и матем. физ., 1984, т. 24, № 7.

37. Задорин А.И. Игнатьев В.Н. О сходимости разностной схемы на неравномерной сетке при наличии пограничного слоя. В кн.: Материалы конф. Вариационно-разностные методы в математической физике. Москва, 1984, ч. 2.

38. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Матем. заметки, 1969, т. 6, В 2, с. 237-248.

39. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для ' уравнения еди = f(х,^)в прямоугольнике. Мат. сб., 1975, т. 96(38), № 4, с. 568-583.

40. Ильин В.П., Перекрестова Т.Н. Об одной разностной схеме для параболического уравнения с первой производной. Препринт ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1981, № 79.

41. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -.М. : Наука, 1976.

42. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: НГУ, 1984.

43. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. - 831 с.

44. Кочергин В.П. Теория и методы расчета океанических течений. М.: Наука, 1978. - 128 с.

45. Кочергин В.П., Щербаков A.B. О разностных схемах второго порядка аппроксимации для эллиптического уравнения с мальм параметром при старших производных. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1974, т. 5, tè I, с. 88-97.

46. Кочергин В.П., Щербаков A.B. Метод последовательных приближений при решении задачи Дирихле для эллиптического уравненияс мальм параметром при старших производных. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1973, т. 4, № 3, с. 2538.

47. Кузнецов Ю.А., Местиашвили К.В. Об оптимизации вариационно-разностных методов для задач с пограничным слоем. В сб.: Разностные и вариационно-разностные методы. Новосибирск, 1977,вып. 2, с. IOI-IIO.

48. Ладыженская O.A. Об уравнениях с малым параметром при старших.производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными. Вестник ЛГУ, 1957, т. 7, $2, с. 104-120.

49. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

50. Лисейкин В.Д. О численном решении обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1982, т. 13, ВЗ, с. 71-80.

51. Ломов O.A. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. - 399 с.

52. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

53. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

54. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 455 с.

55. Оганесян Л.А. Вариационно-разностный метод для двумерных эллиптических уравнений с мальм параметром. В сб.: Методы аппроксимации и интерполяции. (Материалы Всесоюзной конференции). Новосибирск, 1981, с. 108-123.

56. Олейник O.A. О краевых задачах для уравнения с малым параметром при старших производных. Докл. АН СССР, 1952, т. 85,3, с. 493.

57. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.-: Мир, 1975.

58. Подкорытов Е.М. Экстраполяционный метод повышения точности приближенных решений для уравнения = I. -Дифференциальные уравнения с малым параметром. Труды Ин-та матем. а механ. УНЦ АН СССР, 1980, с. II8-I29. .

59. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. -М.: Наука, 1981, 798 с.

60. Пуанкаре А. Новый метод небесной механики, избранные тру-цы. М.: Наука, I97I-I974.

61. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

62. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976, 350 с.

63. Сечин А.Ю. Об одном численном методе высокого порядка точности для решения сингулярно-возмущенной краевой задачи. Препринт Отдела вычислительной математики АН СССР, Москва, 1982, № 40.

64. Сполдинг Д. Основы теории горения. М.-Л., 1959.

65. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980, • - 454 с.

66. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. Матем. сб., 1952, т. 31(73), № 3, с. 575-586.

67. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1980. 230 с.

68. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука 1980. -495 с.

69. Уилкинсон Д.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970, 564 с.

70. Фаддеев Д.К., Фадцеева В'.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963.

71. Форсайт Д., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. M.: Мир, 1980. - 277 с.

72. Шайдуров В.Б, Экстраполяция решений задач, содержащих экспоненциальный пограничный слой. Препринт ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1978, 53.

73. Шишкин Г.И., Титов В.А. Разностная схема для дифференциального уравнения с двумя мальм параметрами при производных.

74. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1976, т. 6, të I, с. 145-155.

75. Шишкин Г.И. Численное решение дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1981, т. 12, №4,с. 135-147.

76. Шишкин Г.И. Численное решение эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных. Докл. АН СССР, 1979, т. 245, гё 4, с. 804-808.

77. Шишкин Г.И. Разностная схема на неравномерной сетке для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Ж. вычислят, мат. и матем. физ., 1983, т. 23, № 3,с. 609-619.

78. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск.: Наука, 1967.

79. Abrahamson L., Keller H., Kreiss H. Difference approximation for singular perturbations of systems of ordinary differential equations.- Numer. Math.,1974,v.22,pp.367-392.

80. Abrahamson L., Osher Stanly. Monotonie: difference schemes for singular perturbation problems.- SIAM J.Numer.Anal.,1982, v.19,Г 5,pp.979-992.

81. Alan E.Berger, Jay M.Solomon, Melvyn Ciment. Uniformly accurate difference methods for a sihgular perturbation problem.-Boundary and Inter.Layers-Comput. and asympt.methods.Proc.BALL Iconf.Dublin,1980,pp.14-28.

82. Aly S., Simpson R., Hermance C. Numerical solution of the two-dimentional premixed laminar flame equation.- AIAA Journal, 1979,v.17,№ 1,pp.56-63.

83. Andrew В., White J. On selection of equidistiibuting meshes for two-point boundary-'value problems.- SIAM J.Numer.Anal., 1979,v.16,№ 3,pp.472-502.

84. Axelsson 0., Gustufsson I. Iterative solution of singubr perturbation 2-nd order boundary value problems.- Numer.Anal.sin-gul.perturb. Problems. London,1979,pp.387-394.

85. Babuska I. numerical stability in problems of Linear algebra.- SIAM J.Numer,Anal.,1972,v.9,№1,pp.53-77.

86. Barrett K.E. The numerical solution of singular perturbation boundary-value problems.- Quart.J.Mech.and Appl.Math.,1974, v.27,pp.57-68.

87. Coddington E.A.,Levinson N. A boundary value problem for a nonlinear differential equation with a small parameter.- Proc. Amer.Math.Soc.,1952,v.3,pp.73-81.

88. Carroll J., Miller J.J.H. Completely exponentially fitted finite difference schemes for some singular perturbation problems.- Boundary and Inter.Layers Comput.and Asympt.methods. Proc.BALL I conf.Dublin,1980,pp.225-230.

89. Diekmann 0., Hilhorst D. How many jumps? Variational characterization of the limit solution of a singular perturbation problem.- Lect.Notes.Math.,1980,v.810,pp.159-180.

90. Doolan E.P.»Miller J.J.H.,Schilders W.H.A. Uniform numerical methods for problems with initial and boundary layers.-Dublin:boole press,1980 ( Имеется перевод:Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем.- М.; Мир,1983,198 с.)

91. Dorr F.W. The numerical solution of singular perturbation of boundary value problems.- SIAM J.Numer.Anal.,1970,v.7, N 2,pp.281-313.

92. Dorr F.W. An example of Ill-Conditioning in the numerical solution of singular perturbation problems.-Math.of Comput., 1971,v.25,№ 114,pp.271-283.

93. Dorr F.W.,Parter S.V.,Shampine L.F. Application of the maximum principle to singular perturbation problems.-SIAM Review 1973,v.15,№ 1,pp.43-88.

94. Friedrichs K. Asymptotic phenomena in mathematical physics.- Bull.Amer.Math.Soc.,1955,№ 61,pp.484-504.

95. Gough D.,Spiedel E.,Toomre J. Highly stretched meshes as functionals of solutions.- Lect.Notes Phys.,1975,v.35,pp.191-196.

96. Groen p.P.N., Hemker p.w. Error bounds.'for exponentially fitted Galerkin methods applied to stiff two point boundary value problems.- Humer.Anal.Singul.perturb.problems.London,1979, pp.217-249.

97. Hegarty A.F.,Miller J.J.H.O'Riordan. Uniform second order difference schemes for singular perturbation problems.- Boundary and Inter.Layers-Comput.and asympt.methods.Proc.BALL I Conf. Dublin,1980,pp.301-305.

98. Howes F.A. An approximation method for a class of sin-gulary perturbed second-order boundary value problems.-J.of math, anal.and appl.,1977,pp.653-664.

99. Hsiac G.,Jordan K. Solution to the difference equations of singular perturbation probiems.-Numer.Anal.Singul.perturb.problems. London,1979,pp.433-440.

100. Kaplun S., Lagerstrom P. Asymptotic expansions of Na-vier-Stokes solutions for small Reynolds numbers.- J.Math.Mech., 1957,№ 6,pp.585-593.

101. Keller H.B. Approximation methods for nonlinear problems with application to two-point boundary value problems.-Math.Comp.,1975,v.29,pp.464-474.

102. Kellogg R.B., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problem without turning points.- Math.of Comput.,1978,v.32,№ 114,pp.1025-1039.

103. Kellogg R.B., Shubin G.R., Stephens A.B. Uniqueness and the cell Reynolds number.- SIAM J.Numer.Anal.,1980,v.17,№ 6,pp.733-739.

104. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid.- Phil.Mag.,1949,40,pp.1179-1201.

105. Lorens J. Combinations of initial and boundary value methods for a class of singular perturbation problem.- Numer.Anal. Singul.perturb.problems.London,1979,pp.295-315.

106. Miller J.J.H. Sufficient conditions for the convergence, uniformly in 6 of a three point difference scheme for singular perturbation problem.- Lect.Notes Math.,1978,v.679,pp.85-91.

107. Miller J.J.H. A finite element method for a two point boundary value problem with a small parameter affecting the highest derivative.- Math.models and numer.methods.Banach center publicat ions,1978,v.3,pp.143-146.

108. Miller J.J.H. On the convergence,uniformly in 6 of difference schemes for a two-point boundary singular perturbation problem.-Numer.Anal.Singul.perturb.problems.London^979,pp.467-474.

109. More J., Rheinbold W. On P- and S- functions and related classes of N- dimensional nonlinear mappings.-Linear Algebra Appl.,1973,v.6,pp.45-68.

110. Pearson C.E. On non-linear ordinary differential equations of boundary layer type.- J.Math.Phys.,1968,v.47,pp.35í-358.

111. Van.Veldhuiaen M. Higher Order methods for a singulary perturbed problem.- J*Numer.Math., 1978,№ 30,pp.267-279.

112. Van Veldhuizen M. Hidher order schemes of positive type for singular perturbation problems.- Humer.Anal.Singul.Perturb, problems.London,1979,pp.361-383.